DESIGUALDADES E INECUACIONES

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DESIGUALDADES E INECUACIONES

En el estudio de la matemática además del signo igual (=) aparecerán los signos

< ,  , > , 

que se utilizan para relacionar los números o expresiones algebraicas cuando no son iguales.

> : mayor que < : menor que



: mayor o igual que



: menor o igual que

Nosotros estamos acostumbrados a utilizar estos signos pero no nos hemos dado el tiempo de estudiarlos. Lo usamos en frases tan típicas como, yo soy mayor que tú, menos de $2.000 no, te puedo prestar como máximo $5.000, etc.

ORDEN EN IR

El conjunto de los números reales IR es un conjunto ordenado, por lo tanto podemos comparar sus elementos mediante una relación de orden y podemos decir que :

Para a, b



IR se tiene:

a < b  a – b  IR^- a > b  a – b  IR⁺

a



b  a – b  IR⁺ a



b  a – b  IR

-

LEY DE TRICOTOMÍA

Dados a, b



IR se cumple que: a > b



a < b



a = b

Ejemplo, tenemos los números 5 y 9, ahora ¿el 5 es mayor que 9? o ¿es menor? o ¿es igual?.

Basta con que cumpla una de esas condiciones.

INTERVALOS

Estamos acostumbrados a hablar de agrupamientos de números, pero matemáticamente como se escribirían: por ejemplo “A mí me dán entre $200 y $500 para venir al colegio”, “Cuando trabaje quiero ganar por lo menos $1.000.000”, “Los jóvenes de 15 años deben pesar entre 50 y 65 kg.”, “La década de los noventa es entre los años 1990 y 1999”. ¿Puedes anotarlo con símbolos matemáticos o números?. Para poderlo hacer es necesario conocer los llamados intervalos.

INTERVALO CERRADO:

 ^{a , b}  ⁼  ^{x  IR / a  x  b} 

GRÁFICAMENTE

-



a b +



- 2 -

INTERVALO ABIERTO:

 ^{a , b}  ⁼  ^{x  IR / a < x < b} 

GRÁFICAMENTE

-



a b +



INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA:

 ^{a , b}  ⁼  ^{x  IR / a  x < b} 

GRÁFICAMENTE

-



a b +



INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA:

 ^{a , b}  ⁼  ^{x  IR / a < x  b} 

GRÁFICAMENTE

-



a b +



PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Dados a , b



IR se cumple que : i. a > b



a



c > b



c

ii. a > b

 a  c > b  c

^,  ^{c > 0} iii. a > b

 a  c < b  c

,  c < 0 EJERCICIOS RESUELTOS

1. Cómo graficar intervalos?

Se tiene el siguiente intervalo: [-7, 0[

2. Si tengo el gráfico, cómo lo escribo como intervalo?

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Graficar los siguientes intervalos:

a) [-1, 15] b) ] -14, 15 [

c) ] 0, 14] d) [15, 25 [

2. Escriba como notación algebraica los siguientes intervalos:

a) b)

-1 15

12 +

-7 0

Ubico los puntos –7 y 0, luego achuro todo ese trayecto, marco con círculos los extremos, los achuro si contiene a ese punto y lo dejo en blanco si no lo contiene.

0 9

Los puntos que son límites son los que van dentro del intervalo, o sea, 0 y 9. Luego tienes que fijarte si los círculos son achurados o no, así el intervalo es ]0, 9[

- 3 - INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita . Ejemplo: x + 5 < 8 se cumple “para todo x menor que 3 “.

Resolver una inecuación es encontrar el intervalo de números reales para el cual la inecuación se transforma en una desigualdad verdadera y para resolverlas se debe aplicar las propiedades de las desigualdades.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo:

Resolver la inecuación: 2x – 5 < x + 2 / -x x – 5 < 2 / + 5 x < 7

La solución se puede entregar como:

Intervalo real

 ^{-  , 7} 

En forma de conjunto

 ^{x  IR / x < 7} 

Gráficamente

-



7 +



EJERCICIOS. Escriba los siguientes conjuntos como intervalos:

1.

 ^{x  IR / 2 < x  3} 

^2.

 ^{y  IR / y > - 4} 

3.

x IR / x < -2 x > 4} 

^{ }

Resuelva las siguientes inecuaciones y representa gráficamente:

4. 5x + 2 < 2x –1 5. 3 – 4x



-3 + 2x 6.

2 1 -

2x

> 0

7. 4x -

3

1 +

2x

+ 1 < 0 8.

0

3 1 + - 6x 2

3x -

2



Problemas de aplicación:

1. E

ncuentre los números enteros positivos tales que su quinta parte más tres sea mayor que la mitad de su triple.

2. Encuentre los números naturales cuya tercera parte sea mayor que su mitad más uno.

3. El doble de la suma de un número, y 3 no es más que 14.

4. El 75% de un número, disminuido en 8 es menos que 10.

5. En la fórmula F =

9

5

C + 32 , C representa el número de grados Celsius y F el de grados Fahrenheit. Hallar la temperatura en grados centígrados y dibujar el gráfico de la solución si durante un determinado mes en la ciudad A:

a) La temperatura máxima fue de 59°F.

b) La temperatura mínima fue de 50°F.

- 4 -

INECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO

Propiedades de las desigualdades con valor absoluto:

i) x < a -a < x < a ii) x a -a x a

iii) x > a x >a x < -a iv) x a x a x -a

    

      

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo : Resolvamos

2x + 8



4

Según la propiedad correspondiente

2x + 8



4



-4



2x + 8



4

Resulta una inecuación doble la que se resuelve de la siguiente manera : -4



2x + 8



4 / -8

-12



2x



-4 / : 2 -6



x



-2

El conjunto solución en este caso se representa como:

S = { x  IR / -6



x



-2 } =

 -6 , -2 

gráficamente :

-



-6 -2 +



EJERCICIOS

Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:

2 7 3

1 6. 4x

2 13 8 5. x

5 15 6 4. x

10 4

2x 3.

3 7 1 2. x

14 5

3x 1.



 

 

 





 





Resuelva las siguientes inecuaciones dobles:

7. -3 < x + 4 < 0 8. -8 < -1 + 3x < 11 9. -4 < x + 6 < 8

10. 6x < 7x + 4 < 2 + 8x 11. 5 < 3x - 7 < 13 12. 0 < 3x - 5 < x + 9

- 5 -

SISTEMA DE INECUACIONES

Un sistema de inecuaciones lineales es aquel que tienen dos o más inecuaciones simultáneamente. Para resolverlos se determinan el conjunto de números reales que satisfacen todas las desigualdades del sistema. Este conjunto se llama conjunto solución del sistema, determinado por una región del plano que se obtiene al interceptar los semiplanos o conjunto solución correspondiente a cada una de las inecuaciones.

SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo : Determinemos el conjunto solución del sistema 3x - 5  -10

x + 8 < 12

Resolvamos cada inecuación en forma independiente

3x - 5  -10 / + 5 x + 8 < 12 / - 8

3x  -5 / 

1

3

x < 4

x 

3

5

-

S1 = { x  IR / x 

-5

3

} S2 = { x  IR / x < 4 }

-



-5

3 +



-



4 +



S1 = -5 , +

3 







 S2 = ] -  , 4]

Así la solución final será S = S1  S2 :

-



-5

3 4 +



Por lo tanto, S1  S2 = { x  IR /

-5

3

 x < 4 } Esto es: S =

-5 , 4

3









EJERCICIOS.

Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

1. 7x - 2 < 3x + 5 2. 2x - 1



x 2(x - 1)



3(x + 3) 1 - 4x



-2 x > 0

- 6 -

4

1 6

- 2

x L y

1

L

2

3. (x + 4 )(x - 1) < x(x - 2) 4. (x - 2)² - x²



0 3x - 4 < 2x + 2 - x



-2

5. 2

x 4





8 6. x



0

x 2

2



3

 2x

5 + 1 < 11 x

2 + 1 > 3

Resuelva los siguientes problemas usando inecuaciones:

7. Sandra, Ricardo y Marianne son hermanos. Sandra tiene 15 años y Ricardo tiene 3 más que Marianne. La suma de los años de Ricardo y Marianne no alcanza a igualar la edad de Sandra. ¿ Cuántos años tiene Marianne si su edad es un número impar?.

8. Se dispone de un número de monedas, entre 197 y 205, que son repartidas entre las personas A, B y C. Se sabe que B recibe 15 monedas más que C y A recibe el doble de lo que recibe B . ¿ Cuántas monedas recibe cada uno ?

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Son de la forma ax + by > c. El conjunto solución, en general, son semiplanos.

Ejemplo: x + y < 1

y

1 x

EJERCICIOS PROPUESTOS

Representar la gráfica del conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

1. 2x - y



3 2. x + 2y < 1 3. x - y > -2 SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Tienen la forma a1x + b1y > c1

a2x + b2y > c2

Su solución se consigue en el plano cartesiano, haciendo la intersección de los conjuntos soluciones de cada inecuación.

Ejemplo L1: 2 x + 3 y  12 L2: -2 x + y  -2

graficamos la intersección de los semiplanos o conjunto solución correspondiente a cada inecuación.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Representar la solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:

1. x + 2y > 10 2. x + y < 5 3. -1< x  2 2x + y  3 x + 3y  12 2y  x + 4

4. x  0 5. y  0 6. x  0 y  0 y - x  4 y  4 2x + 3y  6 8x + 3y  12 y > x

II. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales, representado las soluciones como intervalos y gráficamente.

1)

3 x  5  2 x  9

2)

7 x  3  8 x  9

3)

2 1 8

1 3 x

6 1

x

    

4)

2

5 2

4 x 2 8

x 1



 



5)

2 x



3



7

6)

2 5

2 4 x 2 8

x 1



 



7)

5 x  3  4 x  7  2 x  3

₈₎

3 x



2 y



7 x



2

₉₎

x



y



4



2 x



2 y



4

10)

4 x



10



6

11)

2 x



y



6

12)

3 x



5 y



8



6 y



2 x



8

13 )

2 x



x



8



3 x



7



x



5

III. Resuelva los siguientes sistemas:

1. x + 3 ≥ 5 3. x – y < 1 2x -7 <1 7x +2y > -3x +1 X < 0

2. -7 ≤ 4x + 2 ≤ 9 4. x ≤ 0 -x > 11 y ≥ 3 x + 9 ≥ 3x + 2 2x + 2y < 2