• No se han encontrado resultados

Listas de vectores linealmente dependientes:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Listas de vectores linealmente dependientes:"

Copied!
4
0
0

Texto completo

(1)

Dependencia lineal

Objetivos. Conocer las definiciones y ejemplos de listas de vectores linealmente depen- dientes y linealmente independientes,

Requisitos. Combinaci´on lineal, sistema de ecuaciones lineales homog´eneas.

Listas de vectores linealmente dependientes:

definici´ on y ejemplos

1. Combinaci´on lineal trivial, combinaci´on trivial nula. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sean a1, . . . , am algunos vectores del espacio V . Una combinaci´on lineal

m

X

j=1

λjaj se llama:

trivial, si todos los coeficientes son cero: λ1 = . . . = λm = 0.

nula, si

m

X

j=1

λjaj = 0.

Toda combinaci´on lineal trivial es nula, pero para algunos vectores existen combinaciones lineales nulas no triviales.

2. Definici´on (lista linealmente dependiente). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sean a1, . . . , amvectores del espacio V . La lista (ak)mk=1se denomina linealmente dependiente si existen escalares λ1, . . . , λm ∈ F no todos iguales a cero y tales que λ1a1+ . . . + λmam = 0. En otras palabras, si existe una combinaci´on lineal nula y no trivial de estos vectores.

3. Ejemplo. En el espacio R3 la lista de vectores (a, b, c) donde

a =

 2

−1 3

, b =

 5 2

−1

, c =

 1 4

−7

 es linealmente dependiente, pues

2a − b + c =

 4

−2 6

−

 5 2

−1

+

 1 4

−7

=

 0 0 0

= 0.

Dependencia lineal, p´agina 1 de 4

(2)

Listas de vectores linealmente independientes:

definici´ on y ejemplos

La definici´on de vectores linealmente dependientes se puede escribir as´ı:

∃λ1, . . . , λm ∈ F λ1a1+ . . . + λmam = 0

∧ λ1 6= 0 ∨ . . . ∨ λm 6= 0.

Construyamos la negaci´on de esta proposici´on:

∀λ1, . . . , λm ∈ F λ1a1+ . . . + λmam 6= 0

∨ λ1 = 0 ∧ . . . ∧ λm = 0.

Tomando en cuenta que la proposici´on P ∧ Q es equivalente a la proposici´on P → Q llegamos a la siguiente definici´on formal de vectores linealmente independientes:

∀λ1, . . . , λm ∈ F λ1a1+ . . . + λmam = 0

⇒ λ1 = . . . = λm = 0.

4. Definici´on (lista linealmente independiente). Sea V un EV/F y (ak)mk=1 una lista de vectores en V . La lista (ak)mk=1 se llama linealmente independiente si no es linealmente dependiente, esto es, si para todos λ1, . . . , λm ∈ F la igualdad

λ1a1+ . . . + λmam = 0 implica que λ1 = . . . = λm = 0.

La misma definici´on se puede decir con otras palabras de varias maneras. Los vectores a1, . . . , am se llaman linealmente independientes:

si la combinaci´on lineal de estos vectores se anula solamente para todos los escalares iguales a cero;

si la ´unica combinaci´on lineal nula de estos vectores es la trivial;

si toda combinaci´on lineal de estos vectores es diferente de cero, excepto la combi- naci´on lineal trivial.

5. Ejemplo. En el espacio R3 consideremos a la lista de vectores (a, b, c), donde

a =

−3 0 0

, b =

 2 4 0

, c =

 5

−1 5

.

Mostremos que esta lista de vectores es linealmente independiente. La igualdad λ1a + λ2b + λ3c = 0

Dependencia lineal, p´agina 2 de 4

(3)

se puede escribir como el siguiente sistema de ecuaciones lineales homog´eneas:

−3λ1 + 2λ2 + 5λ3 = 0;

2 − λ3 = 0;

3 = 0.

La matriz del sistema es escalonada y el n´umero de renglones no nulos coincide con el n´umero de las inc´ognitas (3). Por lo tanto las inc´ognitas se pueden determinar de manera

´

unica, empezando con la ´ultima ecuaci´on:

λ3 = 0, λ2 = 0, λ1 = 0.

Esto significa que la lista de vectores (a, b, c) es linealmente independiente.

6. Ejercicio. Demuestre que los siguientes elementos de R4 son linealmente independien- tes:

e1 =

 1 0 0 0

, e2 =

 0 1 0 0

, e3 =

 0 0 1 0

, e4 =

 0 0 0 1

 .

7. Ejercicio. Demuestre que el sistema de polinomios f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2 es linealmente independiente en P(R).

8. Ejemplo. Dos elementos de V2(O) son linealmente dependientes ⇐⇒ son colineales.

9. Ejemplo. Cualesquiera tres vectores del espacio V2(O) son linealmente dependientes.

10. Ejemplo. Tres elementos−→

OA,−−→ OB,−→

OC de V3(O) son linealmente dependientes ⇐⇒

son complanares.

11. Ejercicio. En el espacio C[0, 1] consideremos dos elementos: f (t) = et y g(t) = e3t. El sistema (f, g) es linealmente independiente.

Dependencia lineal, p´agina 3 de 4

(4)

Algoritmo para determinar si una lista de vectores en F

n

es linealmente dependiente o no

12. Ejercicio. Sea A ∈ Mm,n(F). La lista de las columnas de A es linealmente depen- diente ⇐⇒ el sistema de ecuaciones lineales homog´eneas Ax = 0 tiene una soluci´on no trivial.

13. Ejercicio. Determine si la siguiente lista de vectores en R3 es linealmente dependiente o no:

a =

 1

−1 2

, b =

 1 2

−2

, c =

 3 1 1

.

14. Ejercicio. Determine si la siguiente lista de vectores en R4 es linealmente dependiente o no:

a1 =

−1 2 1 3

, a2 =

 3 1

−2 2

, a3 =

 1 5 0 8

 .

15. Ejercicio. Determine si la siguiente lista de vectores en P(R) es linealmente depen- diente o no:

f1(x) = −x2+ 2x + 3, f2(x) = x2− x + 2, f3(x) = 2x2+ 3x + 1.

Dependencia lineal, p´agina 4 de 4

Referencias

Documento similar

base En el plano pueden utilizarse infinitas bases. Los vectores representados a continuación serían bases del plano. Trabajar con la base canónica es lo normal, por ser lo más cómodo

Ecuaci´ on cuadr´ atica reducida (repaso).. Ecuaci´ on cuadr´ atica en

Si en alg´ un paso del algoritmo en la matriz del sistema surge un rengl´ on cero, y el t´ ermino independiente que corresponde a este rengl´ on es distinto de cero, entonces el

Si m < n, entonces el sistema de ecuaciones lineales homog´ eneas Ax = 0 es compatible indeterminado, esto es, tiene por lo menos una soluci´ on no trivial..

An´ alisis de sistemas de ecuaciones lineales, soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales con par´ ametros, espacio generado por un conjunto de vectores.. Encontrar un sistema

Encuentre un sistema de ecua- ciones lineales homog´ eneas cuyo conjunto soluci´ on sea S.. Encuentre un sistema de ecua- ciones lineales homog´ eneas cuyo conjunto soluci´ on

Escriba una funci´ on que calcule la inversa de la matriz dada L, donde L es una matriz cuadrada triangular superior.. Calcule el n´ umero

Escriba el algoritmo de la sustituci´ on hacia adelante que se usa para resolver un sistema de ecuaciones lineales Lx = b, donde L es una matriz triangular inferior de orden n