Unidad 4 CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Junio 2020 Parte B

Unidad 4

CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

Junio 2020 Parte B

4.2 Fasores

Según se pudo notar en el ejercicio anterior, requiere de un trabajo no difícil pero arduo y lento además de la posibilidad de cometer errores. El circuito analizado es sumamente sencillo. Para circuitos mas complejos dicho análisis se vuelve impráctico.

Ante lo anterior se hace imperante la necesidad de disponer de un método alternativo de solución.

Se deben notar las siguientes características de este tipo de problemas.

Según las ecuaciones (19), (22) y (25) de la parte A la respuesta de cualquier voltaje o corriente es de igual frecuencia que la de la función de excitación.

El ángulo de atraso o adelanto depende de los parámetros R, L, C y .

La suma o resta de sinusoides es otra sinusoide y sus amplitudes no se suman como escalares.

¿Cuáles son las reglas para sumar sinusoides? Veamos

Sean las sinusoides x₁= A₁cos(t+₁) x₂= A₂cos(t+₂) Sean x = x1 + x2

) cos(

) cos(

)

cos( _{1 1 1}

1 2

1+ =  + +  + =  +

=x x A t A t A t

x

2 2

2 2

1 1

1

1costcos Asintsin A costcos A sintsin A

x= − + −

t A

A t A

A

x=( ₁cos₁+ ₂cos₂)cos −( ₁sin₁+ ₂sin₂)sin (a)

También

t A

t A

t A

x= cos( +)=( cos)cos −( sin)sin (b) Comparando (a) con (b)





 cos cos

cos _{1 2 2}

1 A A

A + = (c)





 sin sin

sin _{1 2 2}

1 A A

A + = (d)

Las ecuaciones (c) y (d) pueden interpretarse gráficamente de la siguiente manera

Puede verse que las amplitudes se combinan o se “suman” siguiendo la ley del paralelogramo como lo hacen los vectores y los números complejos.

Si se toma en cuenta que una sinusoide se forma si se proyecta un segmento de recta girando con velocidad angular  alrededor de uno de sus extremos en sentido antihorario.

Los vectores pueden tener más de dos direcciones en el espacio mientras que los segmentos giratorios asociados a sinusoides están limitados a un plano. Entonces las ondas representadas mediante segmentos giratorios se parecen al comportamiento de los números complejos. De hecho, un segmento de recta giratorio en un plano complejo se conoce como sinor.

Tomando en cuenta la igualdad de Euler e^j(t+)=cos(t+)+ jsin(t+)

 

Re



cos( ) sin( )



Re )

cos( + = ^{( )} =  + +  +

=V t V e ⁺ V t jV t

v _{m m} ^{j t} _{m m}

  

m ^{j j t}

  

^{j t}

t j

me V e e Ve

V

v=Re ^(+) =Re ^{ } =Re ^ (1) La cantidad Ve^jt se llama sinor.

t 1 1

2 2

3 3

4

4

5 5

6 6 7 7

8 8

1

2



/2 3/2

 /4 t

1

2

 A1

A2

A

A2cos2

A1cos1

Acos

A2sin2

A1sin1

Asin

El complejo V =V_me^j se conoce como FASOR. El término e^jt se conoce como FACTOR DE TIEMPO.

El Fasor viene a ser como la fotografía del sinor en el instante t = 0 en el plano complejo y se conoce como la transformada fasorial de v.

Variable temporal (En el dominio del tiempo) Transformada fasorial (En el dominio de la frecuencia)

) cos(t+

V_m V_me^j =V_m

) 90 cos(

)

sin(t+ =V t+− 

V_{m m} V_me^{j(−90)} ₌V_m/_−90

Para la notación fasorial se acostumbra usar como referencia la función coseno para la cual se expresa v(t) como la parte real del producto del fasor V por el factor de tiempo e^jt .

¿Qué pasa con las derivadas de las funciones sinusoidales, representadas mediante fasores?

Si v=Vmcos(t+)=Re

 

Ve^jt

Forma temporal

v = V

_m

cos(  t +  )

Forma fasorial

V

_m

 

t+

1 1

2

2 3

3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

v



t Re

Im

Vm

1

Sinor Onda generada por el sinor



^{+ + }

 

^{= }



=

 + +

= +

−

= V_msin( t ) V_mcos( t 90 ) Re V_me^{j( t 90)} Re V_me^{j t}e^j e^j90 dt

dv        _{ }  _{ }

  

m ^{j j t}

 

^{j t}



j t j

me e j jV e e j Ve

dt V

dv =Re _{ } =Re _{ } =Re  _

Similar se puede demostrar que la operación integral es 



 



= 



^{vdt Re V}_j^e_^jt

Representación temporal Representación fasorial )

cos(t+

V_m V =V_me^j =V_m

dt

dv jV



^vdt _j^V_

Revisión de conceptos sobre números complejos El número complejo z puede expresarse como

Forma rectangular: z=x+ jy

Forma polar: z=rcos+ jrsen =r Forma exponencial: z=re^j

Rectangular →Polar:

Magnitud: z =r= x²+y²

Argumento: 



 



= ⁻  x

1 y

 tan





= 

= +

= x jy re r

z

^j

Forma exponencial

Forma rectangular Forma polar

) , ( );

,

(x y r

r 

Re Im

x y

Polar→rectangular: x=rcos, y=rsen Operaciones básicas de números complejos

1 1 1

1 1

1

1





= 

= +

= x jy r e r

z

^j

z

₂

= x

₂

+ jy

₂

= r

₂

e

^j2

= r

₂

 

₂

Adición

z

₁

+ z

₂

= x

₁

+ jy

₁

+ x

₂

+ jy

₂

= ( x

₁

+ x

₂

) + j ( y

₁

+ y

₂

)

Sustracción

z

₁

− z

₂

= ( x

₁

+ jy

₁

) − ( x

₂

+ jy

₂

) = ( x

₁

− x

₂

) + j ( y

₁

− y

₂

)

Producto

z

₁

 z

₂

= r

₁

e

^j1

r

₂

e

^j2

= r

₁

r

₂

e

^j(2+2)

= r

₁

r

₂



₁

+ 

₂

División ^{1 2}

2 ) 1 ( 2 1 2

1 2

1 ^{1 2}

/

2

1 ^{ }

 





= = −

=

⁻

r e r

r r e

r e r z

z

j

j j

Raíz Cuadrada: ^{z =}

( )

^{z1/2 =}

( )

^{rej 1/2 = rej/2 = r//2}

También ^{z =}

( )

^{z1/2 =}

(

^rej+2

)

^{1/2 = rej(/2+)= r//2+}

Raiz n-ésima ^{z1/n =}

( )

^{rej 1/n =n rej(+k2)/n =n r//n+2k/n}

k = 0, 1, 2 . . . n −1, (argumento en radianes) n

k n

r

z^1/n=ⁿ // +360 /

k = 0, 1, 2 . . . n −1, (argumento en grados) Potenciación: ^{zn =}

( )

^{rej n =rnejn =rn/n}

Conjugado complejo

z = x + jy

→

z

^

= x − jy = re

^−j

= r / − 

Parte Real: Re(z)=x=rcos Parte Imaginaria: Im(z)=y=rsen

Producto por su conjugado

( ) ^z ( ) ^z

^

^{= ( x + jy )( x − jy ) = re}

^j

^re

^−j

^{= r}

²

^{/ 0  = z}

²

Forma alternativa de las expresiones del producto y del cociente en términos de componentes rectangulares

Producto

2 1 1

2 2

1 2

1 2

2 1 1

2

1

z ( x jy )( x jy ) x x jx y jx y jy jy

z = + + = + + +

) (

) (

) )(

(

_{1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1}

2

1

z x jy x jy x x y y j x y x y

z = + + = − + +

Cociente

2 2 2 2

2 1 1

2 2

1 2

1 2

2 2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

) )(

(

) )(

(

y x

jy jy y

jx y

jx x

x jy

x jy x

jy x

jy x

jy x

jy x z

z

+

− +

= −

− +

−

= + +

= +

2 2 2 2

2 1 1 2 2

2 2 2

2 1 2 1 2

2 2 2

2 1 1 2 2

1 2 1 2

1

( ) ( )

y x

y x y j x y

x

y y x x y

x

y x y x j y

y x x z

z

+ + −

+

= + +

− +

= +

4.3 Ley de Ohm en corriente alterna

Resistor

Dado v=Vmcos(t +)=Re



Ve^jt



, Por Ley de Ohm

  

m ^{j t}

  

^{j t}

t m j

t j t

j

e I e

I R e

V R

e V R

e V R

i v ^{  }



  

Re )

( Re Re

Re Re

=



=

 

=  



 



= 

=

= R I

V = R

I

V = : Impedancia compleja (2)

Inductor

Dado v=Vmcos(t +)=Re



Ve^jt



, Por la relación ⁱ⁼ _L¹



^vdt



Ref V I

 

^{j t}

t j t

j

e L I

j e V j

e V vdt L

i L ^







 ^{Re Re}

1Re

1 =



 



= 



 



= 

=



L I j

V =

 I ^{j L}

V =  : Impedancia compleja (3)

Capacitor

Dado v=Vmcos(t +)=Re



Ve^jt



, Por la relación

dt Cdv i=



^{j Vej t}

 

^{j CVej t}

  

^{Iej t}

dt C Cdv

i= = Re  ^ =Re  ^ =Re ^ I

C j

V =

1  I j C

V



= 1 : Impedancia compleja (4)



Ref V I

 Ref

V

I

Transformación de variables y transformación de circuitos

Así como se dice que el fasor V es la transformada de la función v(t), el fasor I es la transformada de la función i(t). También los circuitos se pueden transformar de acuerdo a las relaciones entre V e I para cada uno de los elementos de circuito

Circuito RLC serie

Dado v=V_mcos(t+_v)el voltaje aplicado a los terminales, se vio antes que



^{= +}

+

+ 1 cos( )

v

m t

V C idt

dt Ldi

Ri   (5)

Las transformaciones de las variables son V =V_m_v, la incógnita de la ecuación (5) es I , y

V CI I j

j I

R + + =

 ¹ (6)

La ecuación (5) corresponde al circuito de la izquierda y la ecuación (6) corresponde al circuito de la derecha

Resolviendo (6) para la corriente

V C I L j

j

R  =



 



 + +

 ¹

C L j

j R I V

 + ¹ +

=

R V R

I

jC 1

jL

Circuito en el dominio de la frecuencia R

vR

i

C

v L

Circuito en el dominio del tiempo vL

vC

V V L

V C

La cantidad _



 



 − +

= +

+

= R j L C

C L j

j R

Z  

 ^{1 1} se conoce como impedancia compleja y se

puede expresar también en forma polar

 

 = 



 



 − +

= Z

L C j R

Z 1

(7)

2

2 1



 



 − +

= R L C

Z   (8)















 −

= ⁻

R L C

 



1

tan ¹ (9)

Z V Z

V C L j

j R

I V ^{m v m} ( ^v )

1









 

−

= 



=  +

+

=

En forma temporal































 −

− +



 



 − +

= ⁻

R L C t

L C R

i V^m _v  





 

1 tan

cos 1

1 2

2

(10)

Igual que en la ecuación (25) de la parte A

Ejemplo 1. Resuelva el ejercicio 1 de la parte A

Resolver para i1,, i2 e i con vS = 155.6cos(200t) voltios

La fuente transformada es V_S =155.60voltios

Las ramas tienen impedancias Z₁=15+ j20 Ω Z₂ =10− j10 Ω La impedancia de entrada vista por la fuente es Z = 5 Ω + Z1||Z2.



−



=

−

− = + +

− + +

+ = +

= 17.759 3.103 18.03 9.91

10 10 20 15

) 10 10 )(

20 15 5 ( 5

2 1

2

1 j

j j

j j

Z Z

Z

Z Z 





− =



= 

= 8.63 9.91

91 . 9 03 . 18

0 6 . 155 Z

I V^S A

Por división de corriente



−



=





−  + +

= −

= + 8.63 9.91 4.53 56.89 10

10 20 15

10 10

2 1 1 2

j j

I j Z Z

I Z A





=





−  + +

= +

= + 8.63 9.91 8.01 41.24 10

10 20 15

20 15

2 1 2 1

j j

I j Z Z

I Z A

Poniendo las variables en forma temporal

Circuito en el dominio de la frecuencia Circuito en el dominio del tiempo

5  i1

i

vS

i2

15  10 

500 F

0.1 H -j10 

5  I 1

I

V S

15  10 

j20  I 2

) 91 . 9 200 cos(

63 .

8 + 

= t

i A i₁=4.53cos(200t−56.89)A i₂=8.01cos(200t+41.24)A Nótese que se obtienen los mismos resultados que en la parte A, como debe ser.

¿Cuáles son las reglas para operar sinusoides usando fasores? Veamos

Sean las sinusoides x₂ =A₂cos(t+₂) x₁= A₁cos(t+₁) Supongamos que se trata de un cociente, o sea

2 1

x x

Se convierten a fasor

Se hace la operación correspondiente.

) ( _{1 2}

2 1 2 2

1 1 2

1  



  −

 



=



= 

A A A

A X X

La última expresión se convierte a forma temporal

) cos(

) /

( _{1 2 1 2}

2

1 = A A t+ −

x x

El procedimiento aplicado a circuitos eléctricos es como sigue:

.1. Identifique la(s) fuentes sinusoidal(es) y observe la frecuencia de excitación .2. Convierta la(s) fuente(s) a la forma fasorial

.3. Represente cada elemento de circuito por su impedancia (o su admitancia)

.4. Resuelva el circuito fasorial, utilizando las herramientas vistas antes para análisis de circuitos.

.5. Convierta la o las respuestas fasoriales a su correspondiente en el dominio del tiempo.

)

cos( ₁

1

1= A t+

x x₂= A₂cos(t+₂)

1 1 =A1

X X2 = A22

Impedancia y Admitancia

De la ley de Ohm fasorial I

Z V =

La impedancia compleja es la relación entre los fasores voltaje y corriente

I

Z =V en ohmios, 

La admitancia compleja es la relación entre los fasores corriente y voltaje

V

Y = I en siemens, S (1 S = 1 ⁻¹)

Componentes rectangulares de Z y Y.

Dado Z = R + jX en donde R: resistencia en ohmios, X: reactancia en ohmios

jB X G

R j X X R

R X

R jX R jX R

jX R jX R jX R

Y Z = +

+ + −

= + +

= −

−

 −

= +

= +

= 1 1 1 _{2 2 2 2 2 2}

En donde G = Conductancia = Re(Y), B = Susceptancia = Im(Y) Notas importantes:

En relación al numeral 1, se pueden combinar excitaciones de la misma frecuencia, no así cuando son excitaciones de diferente frecuencia, dado que el circuito presenta diferente impedancia o admitancia para diferentes frecuencias. Cuando éste sea el caso, se analiza el circuito para cada frecuencia de excitación (aplicando superposición) y al final se suman las respuestas sin combinar. (Se deja la suma indicada).

En relación al numeral 4, hay que destacar que se pueden aplicar todas las leyes y teoremas vistos anteriormente, como son: Métodos de mallas y de Nodos, Superposición, Linealidad, Reducción serie/paralelo, Transformaciones delta/estrella, Equivalentes de Thevenin y de Norton, etc. Aquí las Impedancias sustituyen a las Resistencias y las admitancias sustituyen a las conductancias. Se respetan las mismas convenciones de signos, igual que antes.

2

2 X

R G R

= + _{2 2}

X R B X

+

= − Note que

G R1



Así mismo, dado Y = G + jB en donde G: conductancia es siemens, B: susceptancia, en siemens

jX B R

G j B B G

G B

G jB G jB G

jB G jB G jB G

Z Y = +

+ + −

= + +

= −

−

 −

= +

= +

= 1 1 1 _{2 2 2 2 2 2}

En donde R = Resistencia = Re(Z), X = Reactancia = Im(Z)

2

2 B

G R G

= + _{2 2}

B G X B

+

= − Note que

RG1

En forma polar

Dado Z = Z_Z en donde Z : magnitud de la impedancia, Z : argumento de la impedancia

Y Z

Z

Z Y Z

Y Z  

 ^{= − = }

= 

= 1 1 1

Y = Z1 _Y =−_Z Así mismo

Dado Y =Y_Y en donde Y : magnitud de la admitancia, Y : argumento de la admitancia

Y Y

Y

Y Z Y

Z Y  

 ^{= − = −}

= 

= 1 1 1

Z Y1

= _Z =−_Y

Combinaciones de impedancias Combinaciones de admitancias

Serie Z_eq =Z₁+Z₂+Z₃+... Serie 1 1 1 1 ...

3 2 1

+ + +

=Y Y Y Y_eq

Paralelo 1 1 1 1 ...

3 2 1

+ + +

= Z Z Z

Z_eq Paralelo Y_eq =Y₁+Y₂+Y₃ +...

Transformaciones delta-estrella y estrella-delta

Delta a estrella

c b a

c b

Z Z Z

Z Z Z

+

= +

1

c b a

a c

Z Z Z

Z Z Z

+

= +

2

c b a

b a

Z Z Z

Z Z Z

+

= +

3

Estrella a delta

1

1 3 3 2 2 1

Z

Z Z Z Z Z

Z_a = Z + +

2

1 3 3 2 2 1

Z

Z Z Z Z Z

Z_b = Z + +

3

1 3 3 2 2 1

Z

Z Z Z Z Z

Z_c = Z + +

Ayuda para recordar las transformaciones. Se superponen los dos arreglos.

Cada impedancia de la red Y es el producto de las impedancias de las dos ramas  adyacentes dividida entre la suma de las tres impedancias en .

Cada impedancia de la red  es la suma de todos los productos posibles de las impedancias Y tomados de dos en dos, dividido entre la impedancia opuesta en Y.

Z1 Z2

Z3

1 2

3

Zc

Zb

1

3

Za

2 2

Zc

Zb

1

3

Za

Z1 Z2

Z3

1 2

3

1 2

Z1 Z2

Z3

3 Zc

Zb Za

4.4 Análisis de mallas y de nodos usando fasores

Todas las reglas vistas para cuando los circuitos eran de corriente continua y con solo resistores se siguen aplicando tales como: nodos, supernodo, mallas, supermalla. Con la salvedad de que en lugar resistencias se usan impedancias. En lugar de conductancias se usan admitancias. También se pueden usar los métodos por inspección. Las variables a encontrar son corrientes y voltajes expresadas por números complejos. Se requiere de una buena calculadora o de un buen software para resolver ecuaciones simultáneas con números complejos.