Teorema de Sard y la dependencia funcional de Funciones Reales Diferenciables

“PEDRO RUIZ GALLO"

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

TEOREMA DE SARD Y LA DEPENDENCIA FUNCIONAL DE FUNCIONES REALES DIFERENCIABLES

TESIS

Para optar el título profesional de

Licenciado en Matemáticas

presentado por:

Omar Alfredo Díaz Tantarico

Dra. Gloria María Ortiz Basauri

En primer lugar agradezco al Dios todopoderoso con todo mi corazón, por permitirme culminar este trabajo importante en mi carrera y también algunas personas que fueron el pilar y el empuje necesario a la realización de este trabajo de tesis.

Doy gracias a mi querida asesora profesora Gloria María Ortiz Bazauri por su paciencia infinita, apoyo moral y comprensión que me guío en la realización de esta tesis.

A mis mentores y amigos en especial a los Mag. Mat. Fernando Huancas Suarez y Mag. Mat. Pedro Pablo Julca Córdova y Mg. Mat. Alan Chávez Obregón que me enseñaron y apoyaron en el pregrado, a quienes estaré eternamente agradecido por sus enseñanzas. A mi esposa e hija por ser el motor y motivo en mi vida, en el cual me dió fortaleza y confianza para seguir adelante con el término de mi trabajo.

Dedico:

A Dios todopoderoso, el que me ha da-do fortaleza para terminar con satisfac-ción este anhelado trabajo.

A mí querida y adorada hija Eilidh, que es el motor de mi vida.

A mí querida esposa Carmen por su inval-orable confianza y motivación en concretar este proyecto en mi carrera para seguir ade-lante y alcanzar mis objetivos.

El presente trabajo tiene como objetivo principal mostrar la aplicación del Teorema de Sard a la dependencia funcional de aplicaciones reales diferenciables definidas en subconjuntos del Rn además permite simplificar la demostración de los teoremas de la dependencia funcional.

El teorema de Sard ha sido investigado desde 1940 y posteriormente se han ido encon-trando varias aplicaciones. En este trabajo de investigación, uno de los objetivos fue presentar el teorema para funciones diferenciables C∞ _{f : R}m _{→ R}n _{justificando cada}

paso de la demostración en sus tres casos: m > n, m=n y m < n.

Sard’s theorem has been investigated since 1940 and several applications have been added later. This research work paper, in one of the objectives was to present the the-orem to work differentiable C∞ _{f : R}m _→Rn _{justifying each step of the demonstration}

in its three cases: m > n, m=n y m < n.

Agradecimientos 4

Dedicatoria 5

Presentación 6

Resúmen 7

Abstract 8

Introducción 11

1. Preliminares 12

1.1. Valor regular y valor crítico de una aplicación diferenciable. . . 12 1.2. Conjuntos de medida nula. . . 13 1.3. Teorema de Fubbini . . . 20

2. El Teorema de Sard 23

2.2. Caso II:m =n . . . 26 2.3. Caso III: m > n . . . 28

3. Aplicación del Teorema de Sard para la dependencia funcional de

fun-ciones reales diferenciables 43

3.1. Dependencia funcional de funciones reales diferenciables (C∞_{) como} com-ponentes de una función (C∞_{), F : Ω⊂R}n_−→Rn _{. . . 43}

3.2. Dependencia funcional de funciones reales diferenciables (C∞_{) como} com-ponentes de una función (C∞_{), F : Ω⊂R}m _−→Rn _{. . . 49}

Conclusiones 54

Sugerencias 56

En el presente trabajo de investigación se analizó a profundidad el Teorema de Sard, ya demostrado por Arthur Sard en los años 40, dando las justificaciones de cada una de las afirmaciones dadas, trabajo arduo pero satisfactorio. Además, se desarrolló una aplicación del teorema a la dependencia funcional de funciones reales diferenciales. Para mejor comprensión el trabajo fue dividido en tres capítulos:

En el primer capítulo, se desarrolló los preliminares básicos indispensables de análisis, topología y variedades diferenciables.

El segundo capítulo, está dirigido a la justificación de cada afirmación del Teorema de Sard, “Sea f : U → Rn _{una aplicación C}∞ _{en un abierto U ⊂ R}m_{, sea C = {x ∈} U/Ran[f0_{(x)]< n}

}, entonces f(C) tiene medida nula en Rn_”. La demostración se hace en sus tres casos, para m < n, m=n y el caso más complicado m > n.

Preliminares

1.1. Valor regular y valor crítico de una aplicación

diferenciable.

Definición 1.1. (Punto crítico y valor crítico)

Sean Mm _{y N}n _{variedades diferenciables de clase C}k_{,(k ≥ 1) y f : M}m _{−→ N}n _una

aplicación de clase Ck_{,(k ≥ 1). Un punto p ∈ M}m _{es punto crítico de f si, dimImg}

[df(p)]< n. Un punto q_∈Nn _{es un valor crítico, si todo p∈f}−1_{(q)es punto crítico.}

Ejemplo 1.1. Sea la funciónf :R2 _−→Rdefinida por _{f(x, y) =x}2_+y2.

Definición 1.2. (Punto regular y valor regular)

Sean Mm _{y N}n _{variedades diferenciables de clase C}k_{,(k ≥ 1) y f : M}m _{−→ N}n _una

aplicación de clase Ck_{,(k ≥1).}

Un puntop_∈Mm_{es punto regular def sidimImg[df(p)] =n. Un puntoq =f(p)}

∈Nn

es valor regular de f, si todo p_∈f−1_{(q)es punto regular.}

Ejemplo 1.2. Considere la función f :R_−→R definida por _{f(x) =x}2. Se prueba que es de clase Ck_,(k

≥1)y que todo punto de R_{− {0}}es un valor regular de _f.

1.2. Conjuntos de medida nula.

Definición 1.3. Un cubo n₋dimensional C _⊂ Rn de lado _{r > 0} es un producto carte-siano den intervalos compactos de lado “r”:

C = [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3]× · · · ×[an, bn] tal que bi−ai =r.

El volumen del cuboC queda definido como V ol(C) = _kC_k=

n

Y

i=1

(bi ₋ai) =rn_.

Definición 1.4. (Conjuntos de Medida Nula)

Un subconjunto X _⊂ Rn tiene medida nula en Rn, y lo escribimos _med(X) = 0, si para todo ε > 0, existe una sucesión de cubos (Wk)k≥1 tales que X ⊂

∞ [

k=1

Wk y

∞ X

k=1

V ol(Wk)< ε.

Ejemplo 1.3. El conjunto S=_{p_{} ⊂}Rn_{, tiene medida nula.}

Dado >0, consideremos un cubo C de arista r = pn

ε/2 tal que S = {p} ⊂C, así el

Ejemplo 1.4. El conjunto S=_{pi_}i=1,k ⊂Rn, también tiene medida nula.

De la misma forma que el ejemplo anterior, dado un ε > 0, consideremos una sucesión de cubos (Wi)i=1,k de arista r= n

Figura 1.1 Sucesión de cubos.

Observamos que se cumple: S_⊂ k

[

i=1

Wi y además tenemos

k continua, entonces la gráfica de f tiene medida nula.

Demostración.

Como Graf(f) = _{(x, f(x)/x_∈ I)_{} ⊂} Rn+1, _f es continua e _I compacto, se tiene que

kf(x)₋f(y)_k < ε,_∀x, y _∈ I; para ε > 0 damos una sucesión finita _{Rk_}k≥1 de cubos

cerrados en I tal que _∀ x, y _∈ Rk : _kx₋y_k < δ, donde δ depende de ε y además

V ol(Rk) = 1 10k.

I

R

Rn

b

b

b

R1 R2 R3

Figura 1.2 Sucesión finita.

A continuación formamos la nueva sucesión de cubos de la forma:

Ck =    

  

Rk_×[yk−1, yk], yk−1 < yk

Rk_×[₋ε

3,

ε

3], yk−1 =yk

Se tiene ´ınf(f)Rk =yk−1; sup(f)Rk =yk

Si escogemos un punto arbitrario ak ∈ Rk resulta f(ak) = bk tal que´ınf(f)Rk < bk <

sup(f)Rk, significa que (ak, bk) ∈ Rk × [yk−1, yk], ∀ k ≥ 1. Siendo f uniformemente

continua resulta _|yk−1−yk| < ε, ∀ k ≥ 1. Por tanto Graf(f)⊂

[

k≥1

∞

Por lo tanto, por la Definición 1.4 se cumple que, med

∞

Proposición 1.2. Todo subconjunto de un conjunto de medida nula, también tiene medida nula.

Demostración.

Sea X _⊂ Rn _{un conjunto de medida nula, por Definición 1.4 existe una sucesión de}

cubos (Wi)i∈N tal que X ⊂

un subconjunto arbitrario Y ⊂ X y se tiene la siguiente relación Y ⊂ X ⊂ ∞ [

i=1

Wi,

luego tenemos Y _⊂

∞

Proposición 1.3. Todo conjunto numerable en Rn _{tiene medida nula.}

Teorema 1.2. Si X _⊂Rn _{tiene medida nula y f :X −→}Rn _{es Lipschitziana, entonces}

f(X) tiene medida nula.

Demostración.

Como f es Lipschitziana en X,_∃ c > 0 tal que _kf(x)₋f(y)_{k ≤} c_kx₋y_k,_∀ x, y _∈ X. La medida de X es nula, entonces se tiene que _∃(Wi) cubos abiertos con arista ri tales que X ⊂ chitziana, entonces f(X) tiene medida nula.

Demostración.

Para cada x_∈X, damos Vx una bola abierta con centro en x, tal que X _⊂SVx y por hipótesis resulta _kf(a)₋f(b)_{k ≤}kx_ka₋b_k con kx >0y _∀a, b_∈Vx. Por el teorema de Lindelof, existe un recubrimiento numerable de abiertos tal queX ⊂

∞ [

i=1

Vxi. Tomemos la

norma del máximo y esto convierte los abiertosVx en cubos abiertos con aristari. por el Teorema 1.2 se tienemed[f(X_∩Vi

Teorema 1.4. Sea f :U _−→Rn _{de claseC}1 _{en un conjunto abiertoU ⊂}Rn_{. SiX ⊂U} tiene medida nula enRn_{, entonces f(X)⊂}Rn _{también tiene medida nula.}

Demostración.

Para cada x _∈ X, sean Vx (bola abierta de centro en x) tal que Vx _⊂ U y como

f _∈C1_{, entonces definimos Kx = sup{kf}0_(x)y

k/y _∈ Vx_} luego por el teorema de Valor Medio resultakf(z)−f(y)k ≤Kxkz−yk, ∀z, y ∈Vx. Así se tiene que f es localmente Lipschitziana, por el Teorema 1.3 se concluye quemed[f(X)] = 0.

Lema 1.1. (del cubrimiento)

Un cubrimiento abierto del intervalo [0,1], contiene un recubrimiento finito, [0,1] =

k

[

j=1

Ij tal que

k

X

j=1

|Ij|<2.

Demostración.

El conjunto[0,1] es compacto, entonces para todo cubrimiento abierto de [0,1]existirá un recubrimiento finito de intervalos Ij = haj, bji donde j = 1, r tal que aj < aj+1 <

bj < aj+2. Seguimos la demostración por inducción de r.

Sea j = 1, r: a1 < a2 < b1 < a3 < b2· · ·< ar−1 < br < ar+1

Para r = 1 : a1 < a2 < b1 < a3, donde a1 = 0 y b1 = 1

(b1−a1) = (a2−a1) + (b1−a2) = 1<2 (trivial)

r= 2 : a1 < a2 < b1 < a3 < b2 < a4 donde a1 = 0 y b2 = 1 para r≥2

(b2−a2) + (b1−a1) = (b2−a1) + (b1−a2) 2

X

j=1

(bj−aj) = 1 + (b1−a2

| {z }

0<l<1

r= 3: a1 < a2 < b1 < a3 < b2 < a4 < b3 < a5 dondea1 = 0 y b3 = 1

Parar =k+ 1, mostremos entonces que se cumple:

k+1

1.3. Teorema de Fubbini

Rn_.

Demostración.

Sin perder generalidad podemos suponer queK ⊂Rn−1_{×[0,1]yK∩R}n−1 _{tiene medida}

nula en Rn−1_{× {t} ∀t ∈[0,1], hacemos Kt =K ∩R}n−1

t y dadoε >0 consideremos un

cubrimiento deKt por cubos abiertos Wi

t en Rn

−1_{× {t} tal que} X

i≥1

V ol(Wi t)< ε.

R

Rn−1

0 1

t+α

t₋α

K

Rn_t−1

Wt

Figura 1.3

SeaWtla proyección de[

i≥1

Wti sobre el primer eje Rn−1 deRn−1×[0,1], siendoxn=tla

última coordenada, se tiene para “t ” fijo la función_kxn₋t_kes continua enK. Además se anula enKt, esto es para un puntop_∈Kttal quep= (x1, x2, x3,· · · , xn−1, t)se satisface

kxn−tk= 0. SiendoK compacto, aplicando el teorema de Wierstrass se cumple que en

K la función _kxn₋t_k tiene un mínimo “α” que también será mínimo en Wt_×[0,1], por tanto se tiene_{x_∈K/_kxn₋t_k< α_{} ⊂}Wt_×Iα

t dondeItα =ht−α, t+αiy[0,1]⊂

[

t Iα

Por el lema 1.1 existe un recubrimiento finitoIj para j = 1, r tal que

Definición 1.5. Sea M una variedad diferenciable m dimensional. Un subconjunto

C _⊂Mtiene medida nula, si para todo sistema de coordenadas _{(h, U)}en_M, el conjunto

h(U _∩C)_⊂Rm _{tiene medida nula.}

Lema 1.2. Sea K ⊂ Rn _{un conjunto compacto. Existe una función diferenciable ϕ :} Rn_−→R_{, tal que ϕ(x) = 0 si y solo si x∈K.}

El Teorema de Sard

Teorema 2.1. (Teorema de Sard)

Sea f :Mm

−→Nn _{una aplicación de clase C}∞ _{entre variedades, sea C el conjunto de} puntos críticos de f. Entonces la imagen f(C) tiene medida nula.

Figura 2.1 Rm

Rn >

>

>

>

f

ψ◦f◦ϕ−1

ψ ϕ

M N

(ϕ, U)

(ψ, V)

C

U

f(C)

(V)

ψ(f(C))

ψ(V)

Tomando un sistema de coordenadas (ϕ, U) en M tal que para x _∈ C _∩U, se tiene

f(x) _∈ V _∩f(C), para otro sistema de coordenadas (ψ, V) en N, bastará demostrar que para todo x ∈ C ∩U, f(C ∩U) tiene medida nula en N. Si cubrimos a C con la unión de abiertos (Un)n≥1 tal que C ⊂

[

n∈N

C _∩ Un y luego aplicando f tenemos

f(C)_⊂f([

n∈N

C_∩Un)_⊂ [

n∈N

f(C_∩Un). Por otra parte si med[(f(C_∩U))] = 0 en N sí y solo si med[ψ ◦f ◦ϕ−1 _{◦ϕ(C ∩U)] = 0 en R}n_{, vemos que ϕ(C∩U) es el conjunto}

de puntos críticos de la aplicación ψ_◦f_◦ϕ−1_{. Por tanto, el Teorema de Sard se reduce}

con aplicaciones diferenciables f :Rm _−→Rn _{y queda enunciado de la siguiente forma.}

Teorema 2.2. Sea f : U −→ Rn _{una aplicación C}∞ _{en un abierto U ⊂ R}m_{, sea} C =_{x_∈U/dim[Img df(x)]< n_}. Entonces f(C) tiene medida nula en Rn_.

La demostración del teorema se hará en 3 partes, los casos m < n, m=n y el caso más complicadom > n.

Observación. Sim < n, entoncesU =C.

En efecto, seax_∈U arbitrario y de la diferenciabilidad de f resultadf(x) :Rm_−→Rn_,

del teorema del núcleo e imagen m= dim[Kerdf(x)] + dim[Imdf(x)], entonces se tiene dim[Imdf(x)]_≤dim[Kerdf(x)] + dim[Imdf(x)], luego dim[Imdf(x)]_≤m < n y de esto dim[Imdf(x)] < n _⇒ x _∈ C. Por tanto U _⊂ C y siendo por definición C _⊂ U, se concluye que U =C.

2.1. Caso I:

m < n

Por lindelof, para toda cubierta abierta deU tal queU _⊂SVx para cadax_∈U, admite un recubrimiento enumerable U ⊂ S∝i=1Vi, se tiene f(U) ⊂

S∝

i=1f(Vi) ⊂

S∝

i=1f(Vi).

Basta probar f(Vi) = 0 en Rn y por la Proposición 1.2, resulta la med f(Vi) = 0

Demostración.

SeaV un cubo abierto parax_∈U con las aristas paralelas a los ejes coordenados deRm tal que V _⊂ U. Dividimos cada arista de V en r partes iguales, además consideramos los hiperplanos que pasan por las líneas de división paralelos a los ejes coordenados de Rm_{, y sea h la longitud de su arista de V. El cubo V se divide en r}m _{cubitos iguales,}

sea Ki uno de esos cubitos cerrados con diámetro h

r

√

m.

Se sabe que la función f es diferenciable y V es compacto, existe un número M >0tal que _kf(x)₋f(y)_{k ≤}M_kx₋y_{k ≤} Mh

√

m

r para todo x, y ∈V. Luego f(Ki)⊂ Wi con Wi _⊂Rn es un cubo cerrado con longitud de su arista 2Mh

√

m

r .

Wi f(Ki)

2M h√m

r

2M h√m

r f(x)

f(y)

f

(

K

)

⊂

W

El volumen Wi es Vol(Wi) =

Wi, cuya suma de volúmenes es

rm

Sea R un rectángulo cerrado de lado a > 0 tal que R ⊂ U, cuyas aristas son paralelas a los ejes coordenados. Todo punto x ∈ U es centro del cubo R, luego dividimos R en pequeños cubos cerradosSi de lado a

kf(y)₋f(x)₋f0_(x)(y

−x)_k< ε_ky₋x_k para un ε >0.

Dado ε > 0, elegimos un rectángulo Si tal que Si _∩C =_{6 ∅} y tomando xi _∈ Si _∩C, entonces detf0_{(xi) = 0 y por tanto f}0_{(xi)(y −xi) pertenece a un subespacio Ei tal} que dim(Ei) _≤ n ₋ 1 en Rn, esto es _{f0_(xi)(y

− xi)/y _∈ Si_{} ⊂} Ei. Luego por la desigualdad anterior obtenemos _kf(y)₋f(xi)₋f0

(xi)(y₋xi)_k < ε√n a

n y haciendo ei = f0_{(xi)(y−xi), el conjunto {f(xi)−f(y)/y ∈ Si} y el vector ei = f}0_(xi)(y−xi) están a una distancia menor a ε√n a

k. Se sabe que f ∈ C

1 _{esto nos permite definir}

M = sup_{kf0_(xi)

k/xi _∈Si_}, luego _kf0_(xi)

k ≤M, aplicando el teorema del valor medio se tienekf(y)−f(xi)k ≤Mky−xikconxi, y ∈Si, comokx−yk<√n a

k paraxi, y ∈Si

entonces se tiene _kf(xi)₋f(y)_{k ≤} M√na k

así que f(y) pertenece a un rectángulo cerrado “P” en Rnque tiene como base un rectángulo “_Q” enRn−1 de lado_2M√_n

_a

k

y de altura 2ε√na k

.

P

2ε√na

k

2M√na

k

2M√na

k

Q

Figura 2.4

del rectángulo cerrado “P” queda determinado por:

Ahora para completar la prueba vamos a subdividir el conjunto de los puntos críticos del siguiente modo. Sea C1 = {x ∈ C/Jf(x) = 0} y en forma general Ck = {x ∈

U/se anulan todas las derivadas parciales de f hasta el orden k _}. A continuación se dará la demostración en tres partes.

A) El conjunto f(C₋C1)tiene medida nula (cero).

. Suponiendo que la dim Img < 1, entonces

∂f(x)

Nuestro objetivo es considerar en dimensión superior n _≥ 2, y escogeremos un

x0 ∈C−C1 para después encontrar un abierto V que contiene a x0 y terminar con

med[f(V ∩C)] = 0.

Sea un elemento arbitrario x0 ∈ C−C1, vemos que x0 6∈C1 entonces nos garantiza

que al menos un elemento de la matirz jacobiana Jf(x0) es no nula. Sin pérdida

de generalidad suponemos que ∂f1(x0)

f

g h−1

h

U

Rm

Rm

Rn

V

C

C0

W

Figura 2.5

Sea g :W −→Rn definida por _f◦h−1 _{y sea C}0 _{⊂W =h(V)el conjunto de puntos} críticos de g, luego se afirma que C0 _=h(V

∩C).

En efecto, sea p _∈ h(V _∩C) entonces aplicando la derivada se tiene dg(p) = d(f _◦ h−1_{)(p)⇒dg(p) =d[f(h}−1_(p))]◦dh−1_(p).

Luego Ran[dg(p)] _≤ m´ın_{Ran[df(h−1_{(p))], Ran[dh}−1_{(p)]} como Ran[df(h}−1_{(p))] <}

n y m > n resulta Ran[dg(p)] < n, y para todo p _6∈ h(V _∩ C) se tiene que el Ran[dg(p)] =n, puesto que dh−1 _{es un isomorfismo, por tanto haciendo C}0 _{=h(V ∩}

C) se tiene la tesis.

Por otra parte, se tieneg(C0_{) =f(V}

punto de W de la forma (t, x2, x3, . . . , xm) pertenece al hiperplano {t} ×Rn−1.

linealmente dependiente en γ. partes cada lado L

k, se tiene k

V _⊂ Rm conteniendo a _x, tal que _{med[f(V ∩C})] = 0. Por el teorema de Lindelof podemos cubrir con un conjunto numerable de abiertosVi tal queC₋C1 ⊂

[

o igual a ise anulan, pero existe al menos una derivada parcial de orden i+ 1 no se anula, supongamos que

Sin perder generalidad suponemos que la derivada parcial de l respecto a x1 en

dh(x0) =

por el teorema de la Función Inversa se cumple:

g◦

(_{0_{} ×}Rm−1_{∩W)⊂ {0} ×}Rn−1 luego:

0≤med{g◦({0} ×Rm−1_{∩W)} ≤med{{0} ×}Rn−1_{} = 0} entonces med_{g◦₍

{0_{} ×} Rm−1 _{∩ W)} = 0} luego como _g(C0_{) ∩ {0} ×}Rn−1_{, C}0 ₌

h(Ci∩V) puntos críticos de g. Por Teorema de Fubinni: med{g(C0_{)}= 0 siendo}

g(C0_{) = f(Ci}

∩V), se tiene med_{f(Ci_∩V)_}= 0 sabemos por Teorema de Lindelof, cubrimos a Ci − Ci+1 con un conjunto numerable de abiertos Vi ∈ N tal que:

Ci−Ci+1 ⊂

[

j∈N

Vj∩C

f(Ci₋Ci+1)⊂f

[

j∈N

Vj _∩C

!

= [

j∈N

f(Vj _∩C)

luego aplicamos med_{f(Ci₋Ci+1)} ≤ med

( [

j∈N

f(Vj _∩C) )

≤ X

j∈N med

( [

j∈N

f(Vj _∩C) )

Se tiene: 0_≤med_{f(Ci₋Ci+1)} ≤Pj∈N0, en R n

por lo tanto med[f(Ci−Ci+1)] = 0

C) med(f(Ck)) = 0, para “k” suficientemente grande.

Como Ck = _{x _∈ U/Randf(x) < n_}, cubrimos a Ck con una colección numerable de cubos Im

Rm

Ck

Im

1

Im

2

Im

3

Im s₋1

Im s

δ

δ Im

s0

Figura 2.7

b

b

b

luego para “k” suficientemente grande demostraremos que med[f(Ck∩Im s0)] = 0.

En efecto, de la definición de Ck y tomando arbitrariamente un x_∈Ck_∩Im

s0 tal que

x+h_∈Im

s0 ∀h∈R

m_{, aplicando el Teorema de Taylor:}

f(x+h) =f(x) +R(x, h) , _kR(x, h)_{k ≤}M_kh_kk+1

dondeM >0es constante y depende def y deIm

s0, subdividimosI

m s0 enr

m_subcubos

de lado δ/r

δ r

Ism0

δ r

δ

r δ_r δ_r δ_r

δ r δ r

Figura 2.8

δ r

Volf(Ck_∩Is0j)

m _{tendrá el mismo valor, luego}

Volf(Ck_∩Is0j)

Observación. Comom > n, resulta m

n >1y siendo “k” suficientemente grande se

aplicamos

f(Ck) _⊂ f[Ck_∩Im sj

f(Ck) _⊂ [

s,j

f(Ck_∩Im sj)

Vol[f(Ck)] _≤ Volh[f(Ck_∩Im sj)

i

Vol[f(Ck)] _≤ X

s≥1

X

j=1

f(Ck_∩Im sj)

≤ X

s≥1

(0 + 0 +. . .+ 0) =X

s≥1

0

≤ 0, s_∈N

0_≤Vol[f(Ck)] _≤ 0, “k”suficientemente grande entonces, Vol[f(Ck)] = 0

por lo tanto med[f(Ck)] = 0

Ahora por conjuntos tenemos:

Ck−1 =Ck∪(Ck−1−Ck)ya que

C∞ ⊂. . .⊂Ck⊂Ck−1 ⊂. . .⊂C1 ⊂C

aplicamos f, f(Ck−1)⊂f(Ck)∪f(Ck−1−Ck)

luego med[f(Ck−1)]≤med[f(Ck)] +med[f(Ck−1−Ck)]

de A), B) y C) resulta: med[f(Ck−1)] = 0 y por indución, para “k” tenemos

med[f(C1)] = 0, pero como f(C) =f(C1)∪f(C−C1), aplicando medida

medf(C)]≤med[f(C1)] +med[f(C−C1)]

Ejemplo 2.1. Sea la funciónf :A_⊂Rn_−→R _{, f ∈C}1, con _A abierto, tal que

Ejemplo 2.2. La esferaSn _{tiene medida nula. Se sabe que S}n_{es unión de2n funciones}

Aplicación del Teorema de Sard para

la dependencia funcional de funciones

reales diferenciables

3.1. Dependencia funcional de funciones reales

difer-enciables (C

_{) como componentes de una función}

(C

₎

_{, F}

_{: Ω}

_⊂

_R

_−→

_R

Definición 3.1. Sean f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω−→ R funciones reales diferenciables (de clase} C∞_{), definidas en un abierto Ω ⊂R}n_{. Diremos que las n funciones son funcionalmente}

ϕ(f1_{(x), f}2_{(x), . . . , f}n_{(x)) = 0 para todox}

∈K.

Figura 3.1

Ω

K

Rn R

fi_(x)

fi

Nota. Desde aquí en adelante se considera el término funciones diferenciables aquellas funciones de clase C∞_.

Ejemplo 3.1. Sean las funciones diferenciablesf1_{, f}2 _:R2 _{−→Rtal que f}1_{(x, y) =xy}

f2_{(x, y) = y. Se define la función diferenciableϕ :R}2 _{−→Rtal queϕ(p, q) =p}2_+q2_−1.

Haciendo ϕ(p, q) = 0, se tiene ϕ−1_{(0) = {(x, y) ∈ R}2_/x2 _+y2 _{= 1} = S}1 _{⊂ R}2_{. Por lo}

tanto f1 _{y f}2 _{son funcionalmente dependientes sobre K =S}1_.

Ejemplo 3.2. Sea la función diferenciable f : R _−→ R tal que _{f(x) = (x+a)}r un polinomio de grado “r”.

Se define también la función diferenciable ϕ : R _−→ R tal que _{ϕ(y) = y}2. Haciendo

ϕ(f(x)) = 0, se tiene [(x+a)r_]2 _{= 0. Luego x = −a es solución de multiplicidad “2r”}

en R. Por lo tanto en _{K ={−a} ⊂}R la función_f es funcionalmente dependiente.

Definición 3.2. Sea F : Ω−→Rn una aplicación cuyas componentes son las funciones

Se dice que las funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{son funcionalmente dependientes sobre K ⊂Ω,}

si y solamente si existeϕ :Rn_−→R diferenciable que no se anula en ningún abierto de Rn, y tal que _ϕ(F(x)) = 0, para todo _x∈K.

Observación. Haciendo ϕ(F(x)) = 0, para todo x ∈ K, entonces F(K) ⊂ ϕ−1_(0).

Luego nuestras interrogantes ¿ϕ−1_{(0) puede contener conjuntos abiertos o cerrados?, así}

como también, ¿qué clase de conjunto será F(K)?.

Para garantizar la dependencia funcional de f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{sobre K ⊂ Ω, ¿qué}

condi-ciones debe reunir el conjuntoK?. De todo esto, el siguiente teorema nos dará respuestas a nuestras interrogantes.

Teorema 3.1. Sea F : Ω −→ Rn _{una aplicación diferenciable, definida en un abierto} Ω_⊂Rn_{, y sea un compacto K ⊂ Ω. Las funciones diferenciables f}1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω−→}

R_{, componentes de F, son funciones dependientes sobre K, si y solamente si F(K) es}

un conjunto de interior vacío en Rn_.

Demostración.

⇒] Supongamos por contradicción que el int F(K)6=φ, entonces existe algún abierto

V tal que el V _⊂F(K). Por hipótesis K es compacto y F continua, entonces F(K) es compacto. Luego por el Lema 1.2, existe una función diferenciableϕ:Rn _{−→Rtal que} ϕ(F(K)) = 0, entonces ϕ(F(V)) = 0 y esto es una contradicción. PuesF(V) es abierto y por Definición ϕ no se anula en ningún abierto del Rn.

⇐] Si IntF(K) =_∅, entonces las funciones diferenciables f1_{, f}2_{, . . . , f}n_{: Ω−→R, son}

En efecto, como el int F(K) = φ, no existe ningún abierto V en F(K). Como K

es compacto y F continua, entonces F(K) es compacto y por el Lema 1.2, existe ϕ

diferenciable tal que ϕ(F(K)) = 0. Luego ϕ no se puede anular en ningún abierto del Rn. Se sigue que las funciones _f1_{,· · · , f}n componentes de _F son funcionalmente dependientes sobre K.

Ejemplo 3.3. Sea f1_{, f}2 _{: Ω−→Rfunciones diferenciables definidas por:}

f1(x, y) = x, y f2(x, y) = r

1− x2

4 , donde Ω =<−2,2>×R Definimos la función diferenciable F : Ω_−→R2 tal que

F(x, y) = x,

r 1₋ x

2

4 !

, Ω_⊂R2 Se tiene F(K) = _{(x, y)_∈R2_/x

2

4 +y

2 _{= 1, y >0}

} tiene interior vacío en R2.

Por el Teorema 3.1 las funcionesf1_yf2_{son funcionalmente dependientes sobre cualquier}

compacto K _⊂Ω.

Figura 3.2

K

R2 F

−2 2 −2 2

1 R

Teorema 3.2. Sea F : Ω_−→Rn _{una aplicación diferenciable cuyo dominioΩ⊂}Rn _es un conjunto abierto. Para que las funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω −→ R, componentes de} F, sean funcionalmente dependientes sobre todo conjunto compactoK _⊂Ω, es necesario y suficiente que el determinante de la matriz jacobiana de F se anule sobre Ω_⊂Rn_.

Demostración.

Condición necesaria: Debe probarse que el determinante de la matriz jacobiana de

F se anule, esto es J[dF(x)] = 0 _∀x_∈Ω.

Suponiendo que J[dF(x)] 6= 0 para algún x ∈ Ω, por el teorema de la función inversa existe una vecindad U de x, U _⊂ Ω tal que F es un difeomorfismo sobre la vecindad

F(U) de F(x). Tomamos una vecindad compacta V _⊂U que contiene a x, luego F(V) es también una vecindad compacta deF(x), la cual implica queF(V)contiene al menos un abierto en Rn, luego, _{IntF(V) 6= ∅}, por el Teorema 3.1 las funciones _f1_{, f}2_{, . . . , f}n no son funcionalmente dependientes sobre V y esto es una contradicción. Por lo tanto

J[dF(x)] = 0.

Probemos la condición suficiente:

Ejemplo 3.4. Sean las aplicaciones diferenciables f1_{, f}2 _{:h−3,3i × h−3,3i −→Rtales}

que f1_{(x, y) = x, f}2_{(x, y) = x+ 1 y dada F : Ω −→ R}n _{una aplicación definida por} F(x, y) = (x, x+ 1), donde Ω = h−3,3i × h−3,3i. Se tiene: dF(x, y) =



  

1 0

1 0 

  

tal que J[dF(x, y)] = 0 para todo (x, y) _∈ Ω _⊂ R2, luego las funciones _f1 y _f2 son funcionalmente dependientes para todo compacto K _⊂Ω.

En particular, si escogemos K ={(0,0),(1,1)} ⊂Ω, se satisface.

Ejemplo 3.5. Sean las funciones diferenciablesf1_{, f}2 _{: Ω −→Rdefinidas porf}1_{(x, y) =}

xyf2_{(x, y) =−xdondeΩ ={(x, y)∈R}2_/x2_+y2 _{<1}. Se define la función diferenciable}

F : Ω _−→ R2 tal que _{F(x, y) = (x,−x}), se tiene _{dF(x, y) =} 

  

1 0

−1 0 

 

 tal que

J[dF(x, y)] = 0 para todo (x, y) ∈ Ω⊂ R2. Por teorema 3.2 se tiene que las funciones

f1 _{y f}2 _{son funcionalmente dependientes para cualquier compactoK ⊂Ω, en particular}

para K =_{(x, y)_∈Ω/y =x _{∧ −}1

2 ≤x≤ 1 2}

Figura 3.3

Ω

R2

F

−1 -1/2 1/2 1

1

−1

-1/2 1/2

3.2. Dependencia funcional de funciones reales

difer-enciables (C

_{) como componentes de una función}

(C

₎

_{, F}

_{: Ω}

_⊂

_R

_−→

_R

Definición 3.3. Sea una colección de “n” funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω −→ R}

diferen-ciables, definidas en el conjunto abierto Ω _⊂ Rm. Sea _{F : Ω −→} Rn una aplicación definida por F(x) = (f1_{(x), f}2_{(x), . . . , f}n_{(x))dónde x∈Ω. Las funcionesf}1_{, f}2_{, . . . , f}n

se dicen funcionalmente dependientes sobre el conjunto K _⊂Ω, si y solamente si existe una función ϕ:Rn_−→R, diferenciable la cual no se anula en ningún abierto de Rn tal que ϕ(F(x)) = 0, ∀x∈K.

Teorema 3.3. Sea F : Ω _−→ Rn _{una aplicación diferenciable, definida en un} abier-to Ω _⊂ Rm_{, además se define f}1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω −→} R _{funciones componentes de F y} considerandom > n. Para que las funcionesf1_{, f}2_{, . . . , f}n_{sean funcionalmente}

dependi-entes sobre todo compacto K _⊂Ω, es necesario y suficiente que eldim[Img dF(p)]< n

en todo punto p_∈Ω.

Demostración.

Probando la suficiencia: Sea un conjunto compacto K _⊂ Ω, y siendo de hipótesis

dim[Img dF(p)] < n en todo punto p de Ω, por el teorema de Sard se tiene que

todo compactoK _⊂Ω.

Probando la necesidad: Supongamos que las funcionesf1_{, f}2_{, . . . , f}n _sean

funcional-mente dependientes sobre todo compacto K _⊂ Ω. Afirmamos que existe un punto p de Ωtal que la matriz jacobiana

∂fi ∂xj(p)

tiene rangon, esto probará que conduce a una contradicción a la dependencia funcional de las funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n_.

Supongamos que D = det para todo puntop∈Ω. Su matriz jacobiana será:

dψ(p) =

Como vemos dicha matriz también tiene rango igual am y a la vez también presenta el mismo determinante de la matriz anterior D= det

Aplicando el teorema de la función inversa, la función ψ aplica difeomorficamente desde un abierto U ⊂Ωde p, sobre un abiertoV de ψ(p). Sea un cubo A ⊂V deψ(p) cuyas aristas son paralelos a los ejes coordenados de Rm, y hacemos _{U ∩ψ}−1_{(A) = W en el}

(x1_{, x}2_{, x}3_{, . . . , x}m_{) → (x}1_{, x}2_{, x}3_{, . . . , x}n_{)en la que deja lasm−n últimas coordenadas,}

además se tiene F =Q◦ψ como se ve en el siguiente gráfico:

Figura 3.4

W

Rm

ψ

Rm

b b

A

ψ(p)

Rn

b

F Q

F(p)

p

Sabemos que ψ es continua y la proyección también lo es, por tanto F = Q◦ψ es continua. Si escogemos una vecindad compactaZ _⊂W, entoncesF(Z)también será una vecindad compacta cuyo interior es no vacío, esto implica que las funcionesf1_{, f}2_{, . . . , f}n

no son funcionalmente dependientes sobre el compacto Z y esto es una contradicción. Por lo tanto para todo punto p ∈ Ω debe cumplir que su dim[Img dF(p)] < n y esto implica la tesis.

Ejemplo 3.6. Sean las funciones diferenciablesf1_{(x, y, z) =x}2_+y2_+z2 _yf2_{(x, y, z) =k}

subconjunto abierto tal queF(x, y, z) = (x2_+y2_+z2_{, k), su matriz jacobiana es:}

dF(x, y, z) = 

  

2x 2y 2z

0 0 0 

  

Donde dim[Img dF(p)]<2, _∀p_∈Ω.

Por lo tanto, las funcionesf1 _{y f}2 _{componentes deF son funcionalmente dependientes}

sobre cualquier compactok ⊂Ω.

Teorema 3.4. Sea F : Ω −→ Rn _{una aplicación diferenciable, definida en un abierto} Ω _⊂ Rm_{, además se define f}1_{, f}2_{, . . . , f}n _{: Ω −→ R funciones componentes de F y} K _⊂ Ω un conjunto compacto. Si dim[Img dF(p)] < n; _∀p _∈ Ω con m < n, las funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{son funcionalmente dependientes sobre todo K.}

Demostración. Sea C =_{x_∈Ω/dim[Img dF(p)]< n_} el conjunto de puntos críticos para F : Ω −→ Rn siendo _{m < n}, se tiene _{C = Ω} y el teorema de Sard resulta Int[F(Ω)] =∅. Luego por el Teorema 3.1 las funcionesf1_{, f}2_{, . . . , f}n_{son funcionalmente}

dependientes sobre todo compacto K _⊂Ω.

Observación. Para el caso n =m ya está demostrado en el Teorema 3.2.

Ejemplo 3.7. Sean las funcionesf1_{(x, y) =x}2_+y2_{, f}2_{(x, y) = x−yyf}3_{(x, y) =x}2_+y3_,

definidas en un conjunto abiertoΩ_⊂ R2 que no contenga el cero. Definimos la función

dF(x, y) =

Por tanto, las funciones f1_{, f}2_{, f}3 _{componentes de F son funcionalmente dependientes}

1. Sea K _⊂Rn un compacto y sea Rn_t−1 un hiperplano en Rn con la última compo-nente t constante. Si la intersección de cada hiperplano con K tiene medida nula en Rn−1_{, entoncesK tiene medida nula en R}n_.

2. Sea f :U _−→Rn _{una aplicación C}∞ _{en un abierto U}

⊂Rm_{, sea C el conjunto de}

puntos críticos de f, entonces f(C) tiene medida nula en Rn.

3. Para que las funciones f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{componentes de F sean funcionalmente}

de-pendendientes sobre K _⊂Ω, es necesario y suficiente que intF(K) =φ.

4. Sean f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{funciones reales diferenciables de clase C}∞ _{componentes de F} definidas en un abiertoΩ⊂Rn, y sea _K un compacto enΩ, para que las funciones

f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{dependan funcionalmente sobre K, es necesario y suficiente que el}

determinante de la matriz Jacobiana de F se anule en un abierto Ω_⊂Rn_.

suficiente que dim[Img dF(p)]< n, _∀p_∈Ω.

6. Sean f1_{, f}2_{, . . . , f}n _{funciones reales diferenciables de clase C}∞ _{componentes de}

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