Tema 4. Modelos multivariantes recursivos. Variables exógenas. Modelos uniecuacionales. Causalidad en sentido de Granger.

Tema 4. Modelos multivariantes recursivos. Variables

exógenas. Modelos uniecuacionales.

1.

El Modelo VAR(p) estacionario.

Causalidad en sentido de Granger.

2.

Estimación de modelos VAR

3.

Modelos VAR con variables exógenas.

Modelo VAR recursivos.

4.

Modelos uniecuacionales dinámicos:

1. Modelo VAR(p) estacionario.

Causalidad en sentido de Granger.

Objetivo: Describir las relaciones dinámicas

entre dos o más variables económicas

recogidas en el vector W

de dimensión

nx1.

La popularidad de los modelos VAR para

modelizar sistemas dinámicos de variables

económicas es debida a Sims (1980) que

critica a los modelos econométricos

Vamos a considerar, por ejemplo, el siguiente modelo para un sistema bivariante de dos variables:

Si intentamos estimar cada una de estas dos

ecuaciones por MCO, los estimadores serán no

El problema surge por una falta de

identificación de las relaciones

contemporáneas.

Una alternativa para poder estimar es

restringir de forma adecuada los

parámetros del modelo:

i)

Imponer restricciones sugeridas por la

Teoría Económica

ii)

Trabajar con modelos de series

Para esta segunda opción vamos a considerar la siguiente expresión alternativa del modelo

Vamos a ver como son las perturbaciones del nuevo modelo:

En este último modelo la relación

contemporánea aparece modelizada como

covarianza entre las perturbaciones en

lugar de aparecer explícitamente en el

modelo. Se pierde la relación de

El modelo VAR(p) viene dado por:

donde

y es una matriz simétrica definida positiva.

Ejemplo: Modelo VAR(1) para un sistema bivariante

Cada variable aparece regresada en su propio

pasado y en el pasado de las demás variables.

En un modelo VAR las relaciones contemporáneas entre las variables del sistema se recogen en la matriz .Dichas relaciones no representan relaciones de causalidad.

El modelo VAR(p) puede escribirse alternativamente como

El modelo es estacionario si las raíces de la

ecuación son estrictamente mayores que uno en módulo.

El modelo VAR(p) puede estimarse

consistentemente ecuación por ecuación. Si hay un componente de MA, la estimación debe

Causalidad en sentido de Granger

En un sistema bivariante, la variable no causa a

la variable en el sentido de Granger si para

todo s>0, el error cuadrático medio (ECM) de la predicción de dado es el mismo que el ECM de la predicción de dado

La causalidad en el sentido de Granger es mejor

interpretarla en el sentido de predicción que en el de causalidad propiamente dicha.

En un modelo VAR, la no causalidad en sentido de Granger significa que todas las matrices son triangulares.

Ejemplo: En el modelo VAR(1) anterior

2. Estimación

La estimación del modelo VAR(p) puede hacerse por Máxima Verosimilitud estimando el sistema completo. Sin embargo, dado que no existen componentes de Medias Móviles, la estimación MCO ecuación por ecuación es consistente y

asintóticamente normal si se cumple una de las siguientes condiciones:

i) no hay parámetros iguales a cero en el modelo

(todas las ecuaciones tienen las mismas variables).

ii) La matriz de varianzas y covarianzas de la

3. Modelos VAR con variables exógenas.

Modelos recursivos.

El objetivo de la exogeneidad es simplificar el

análisis econométrico para reducir el número de ecuaciones que tenemos que considerar en el sistema. Una variable es exógena cuando el

análisis que se pretende realizar, puede hacerse sin necesidad de modelizar expresamente la

ecuación de dicha variable.

Vamos a considerar dos tipos de exogeneidad:

1) Exogeneidad débil cuando el objetivo es la

predicción de parámetros.

2) Exogeneidad fuerte cuando el objetivo es la

Decimos que hay exogeneidad débil cuando los

parámetros en y son de variación libre y no tiene elementos comunes. Además, los

parámetros que queremos estimar solo dependen de

Para que haya exogeneidad fuerte, además de las

dos condiciones anteriores, no debe haber

causalidad en sentido de Granger. En este caso,

Cuando hay variables fuertemente exógenas, se

obtiene lo que se conoce como modelo VARX.

Modelos recursivos

En los modelos recursivos las ecuaciones del modelo se pueden ordenar de tal forma que una variable endógena de orden superior no influye, ni

conteporáneamente ni desfasada, en una variable endógena de orden inferior.

El modelo se dice que es recursivo cuando (i) es

posible ordenar las variables del modelos VARX de forma que las matrices tengan una estructura

En este caso, no es causada ni por ni por Además, no es causada por

Finalmente, no existen relaciones contemporáneas entre las tres variables.

Cuando se cumple la hipótesis de

recursividad, todas las variables

explicativas de cualquier ecuación son

fuertemente exógenas.

4 Modelos uniecuacionales dinámicos:

retardos distribuidos y f. de transferencia

Si en un sistema de variables, todas las variables excepto una son exógenas, obtenemos el modelo uniecuacional de regresión dinámica. Vamos a

considerar, dos formulaciones alternativas de modelos dinámicos uniecuacionales suponiendo que el sistema tiene dos variables y que una de ellas es fuertemente exógena:

— Modelo de retardos distribuidos

Modelo de retardos distribuidos

En este caso, el modelo viene dado por:

Los resultados clásicos del estimador MCO se

mantienen para este modelo. Este modelo es el modelo de regresión dinámico clásico aunque pueden plantearse problemas en su estimación por la posible multicolinealidad entre los retardos de las variables explicativas.

El multiplicador de largo plazo viene dado por

Modelo de función de transferencia

Alternativamente se puede plantear lo que se

conoce como modelo de función de transferencia

en el que se diferencia la relación dinámica entre las variables exógenas y la variable endógena

Cuando aparecen varios retardos de una

variable significa que cambios en la

variable z afectan a la variable y en varias

etapas. Por ejemplo, un gasto en

publicidad en un periodo determinado,

afectará a las ventas futuras durante

varios periodos de tiempo.

Por lo tanto el modelo de función de transferencia podría expresarse como:

Vamos a interpretar el polinomio

Los coeficientes de dicho polinomio se

conocen como función de respuesta a un

impulso.

Para definir un impulso vamos a considerar que

estamos en una situación de equilibrio en la que la perturbación es cero y la variable exógena

toma un valor constante, c. En un momento del tiempo, la variable exógena tiene un cambio unitario transitorio en su valor. Es decir,

Cuando las variables están expresadas en

logaritmos, es la elasticidad contemporánea y es la elasticidad de la variable y con

respecto a la variable x tras i periodos de desfase. Vamos a ver cuáles son los efectos de un impulso

sobre la variable endógena. Para ello vamos a empezar suponiendo modelos sencillos para el

polinomio

υ

υ

υ

υ

0

υ

i

El efecto puede durar mas periodos de tiempo y también aparecer después de un lapso de

Como antes puede haber lapsos de

tiempo antes de que haya efectos y

además podemos tener algunos

Si las raíces del polinomio están fuera del círculo unidad, variaciones transitorias de la variable explicativa no pueden tener efectos permanentes en la variable endógena.

El polinomio alarga la estructura sin efectos sistemáticos mientras que el polinomio

Función de respuesta a un escalón

Ahora vamos a considerar que la variable

explicativa tiene un cambio unitario permanente en el momento t*, es decir,

La función de respuesta a un escalón viene dada por los coeficientes que miden el impacto sobre la variable endógena de dichos cambios.

A cada uno de estos coeficientes se les conoce con el nombre de multiplicadores y, si las variables están en logaritmos, pueden interpretarse como elasticidades acumuladas

A partir del modelo de transferencia, es posible