Triangulo Educativo
Factorial de (-6) (-6)!= -6
(no existe) 6! = 6 Un medio factorial
2 2 de 6 (si existe) -5! = - 5 Menos factorial de
5 (si existe) 1 ! = 1 Factorial de 1/4
4 4 (no existe)
Para realizar el estudio del análisis combinatorio se hacen necesarias algunas herramientas, tales como la factorial de un número y los números combinatorios.
* Solamente está definido la factorial para números enteros y positivos así por ejemplo:
Factorial de 8 FACTORIAL
Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número indicado inclusive.
n! = 1 x 2 x 3 x ... x n; n ∈ Z+
8! = 8 (si existe)
NOTACIÓN:
n = n = n!
Se lee "factorial de n o n factorial"
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE UN FACTORIAL Ejemplos:
2! = 2 = 1x2 = 2 3! = 3 = 1x2x3 = 6 4! = 4 = 1x2x3x4 = 24 5! = 5 = 1x2x3x4x5 = 120 6! = 6 = 1x2x3x4x5x6 = 720 7! = 7 = 1x2x3x4x5x6x7 = 5 040
Nota
Las factoriales mayores que 5 o igual que 5; siempre terminarán en cero.
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES
I. Solamente existe factoriales para números enteros y positivos.
Es decir:
si n = n!
Donde:
n: Entero y positivo
II. Por axioma de las matemáticas, se define que:
0! = 1; 1! = 1
III. El factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto de factorial de otro número menor que él por todos los números consecutivos a este último; hasta completar dicho número.
Así:
7! = 7 x 6 x 5!
9! = 9 x 8 x 7x 6!
(n-1)! = (n-1) x (n-2) x (n-3)!
23 5
3 4 N.º de ceros = x = 4 IV. En factoriales, las siguientes operaciones no se
cumplen:
(n+m)! ≠ n!+m! (n - m)! ≠ n! - m!
APLICACIONES DE LAS FACTORIALES
Cantidad de ceros en que termina la factorial de n: (n ≥ 5) Para determinar la condición que nos permita determinar la cantidad de ceros finales de la factorial de n (n ≥ 5), analicemos algunos ejemplos.
m ! ≠ m! 1500=3 x 53 x 22; entonces n n!
V. Si a! = b! ⇒ a = b; donde a y b son diferentes de cero.
(x+3)! = 8! ⇒ x + 3 = 8
∴ x = 5 Ejemplo 1:
¡Halla la suma de cifras de (2x)! si (x+1)! = 24 Resolución:
(x+1)! = 24 = 1 x 2 x 3 x 4 (x+1)! = 4! de lo cual se deduce:
x+1 = 4
∴ x = 3
Buscamos (2x)! = 6! = 720 Nos pide la suma de cifras:
7+2+0=9 Ejemplo 2:
Calcula "a" en:
N.º de ceros=2 = Exponente del 2
2200=11 x 52 x 23 ; entonces N.º de ceros=2 = Exponente del 5
De lo anterior, deducimos que la cantidad de ceros depende directamente del exponente de 2 ó 5; en forma más explícita podemos afirmar que la cantidad de ceros está dado por el menor exponente del factor 2 o del factor 5.
Una regla práctica sería aplicar divisiones sucesivas.
Ejemplos:
Determina en cada caso en cuantos ceros termina cada factorial:
23!; 78! y 700!
* 23! = . . . 00 . . . 00 x cifras Aplicando divisiones sucesivas:
a!+(a+1)!+(a+2)!
a! =
Resolución:
a!+a!(a+1)+a!(a+1)(a+2)
a! =
a![1+(a+1)+(a+1)
a!+(a+1)!
a
a!+a!(a+1) a a![1+(a+1)]
* 78! = . . . 00 . . . 00 x cifras Aplicando divisiones sucesivas:
78 5 3 15 5
(a+2)] =
a a!
a[(a+2)+(a+1)(a+2)] = a![a+2]
Factorizando:
a(a+2)[1+(a+1)]= a![a+2]
a(a+2) = a!
↓ ↓
4 x 6 = 4!
∴ a = 4
Nota:
En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien el otro caso, pero nunca pueden ocurrir simultáneamente.
- 3 N.º de ceros = x
=15+3
N.º de ceros = 18
* 700! = . . . 00 . . . 00 x cifras
Aplicando divisiones sucesivas:
700 5 - 140 5
- 28 5 3 5 5
- 1
N.º de ceros = x=140+28+5+1 N.º de ceros = 174
Triangulo Educativo
3
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES I. Principio de Adición
Si el suceso "A" puede realizarse de "m" maneras y el suceso "B" de "n" maneras, entonces el suceso "A" o el suceso "B" se puede realizar "(m+n)" maneras.
Ejemplo 1:
Si se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares de zapatos diferentes, ¿cuántas maneras de calzar tiene en total?
Resolución:
Zapatillas (A): A1+A2+A3 = 3 Zapatos (B): B1+B2+B3+B4+B5= 5
∴ N.º de maneras: 3+5=8 Ejemplo 2:
Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús. Si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus, ¿cuántas
Luego, el número de maneras de ir de "A" a "C" son:
∴ N.º de maneras = 4 x 3 = 12 Ejemplo 4:
Un alumno tiene 3 libros de física y una alumna tiene 5 libros de química. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro?
Resolución:
Q1 F1
Q2
F2 Q3
maneras tenemos para decidir nuestro viaje? Q4
Resolución: F
Q5 Punto de
partida
Punto de
llegada 3 maneras de
prestar
5 maneras de prestar Para el tren hay 3 maneras de llegar.
∴ N.º de maneras = 3 x 5 = 15 Punto de
partida
Punto de llegada
Ejemplo 5:
Para el microbus hay 4 maneras de llegar.
∴ N.º de maneras = 3 + 4 = 7 II. Principio de Multiplicación
Si el suceso "A" se puede realizar de "m" maneras y el suceso "B" se puede realizar de "n" maneras, entonces los sucesos "A" y "B" se pueden realizar en forma conjunta de:
m x n maneras siempre que se efectúe uno después del otro.
Ejemplo 3:
De una ciudad "A" a otra ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad "B" a la ciudad "C" hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de "A" a "C"?
Resolución:
Si se tiene 5 blusas de distintos colores y 7 pantalones de distintos colores, ¿de cuántas maneras diferentes podrá combinar sus prendas?
Resolución:
P1
B1 P2
P3
B2 P4
P5
B3 P6
P7
∴ N.º de maneras = 3 x 7= 21
A B C Nota
Hay 4 maneras de ir de A a B
Hay 3 maneras de
ir de B a C
Este principio se puede generalizar para más de dos sucesos.
ACTIVIDADES
1 Calcula:
E =
Resolución:
15!+16!+17!
15! x 17
3 Juan quiere vestirse eligiendo una prenda de cada clase y dispone de: 4 polos, 5 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas se puede vestir?
Resolución:
Rpta: Rpta:
2 Si
(a-2)! +(a-1)! 1
4 En la figura, cada línea representa un camino.
calcula:
Resolución:
= ;
a! 3
(a+1)!
(a-2)!
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad 1 a la ciudad 4?
1 2 3 4
Resolución:
Rpta: Rpta:
Triangulo Educativo 5 En los siguientes ejercicios, de cuántas mane-
ras se puede llegar de A hasta B sin regresar en ningún caso.
A)
6 Reduce:
K = Resolución:
11 x 32! x 24!
2! x 33! x 23!
A B
B)
A B
Resolución:
Rpta: Rpta:
ACTIVIDADES
7. Halla "a"
(a-5)! x (a-6)! 2 (a-5)!-(a-6)! = 720(a -12a+35)
8. Para ir de A a B hay 3 rutas diferentes y para ir de B a C hay 5 rutas diferentes. ¿Cuántas rutas diferentes hay para ir de A a C pasando por B?
9. ¿De cuántas maneras se puede viajar de M a N avanzado?
10. ¿Cuántas de las proposiciones son ciertas?
I. El factorial sólo se aplica a números natura- les.
II. -4! = -24 III. 3! + 5! = 8!
IV. (-a)! no existe si a ∈ Z-. V. b ! no existe si a
a =kb y k ∈N.
11. Si:
(x+3)!+(x+1)!(x+2)(x+3)=240, calcula el valor de:
(x+1)!
A B
M C N
12. Reduce:
E= x!
100! + 99! + 98! +...+ 1!
D 99! 89! 97! 0!
a) 5 b) 8 c) 13
d) 40 e) 53
a) 5 b) 6 c) 9
d) 5! e) 6!
a) 28 b) 16 c) 18
d) 29 e) 24
ACTIVIDADES
1. En cuántos ceros termina el resultado de la si- guiente expresión:
E =(20! x 32! x 50!)
a) 100 b) 105 c) 23
d) 115 e) 120
2. Efectúa:
7. Halla "x".
(x+2)(x+1)x! = (5x-58)!
a) 15 b) 13 c) 16
d) 18 e) 19
8. Se desea hacer parejas (varón y mujer) con 8 varones y 5 mujeres. ¿Cuántas parejas se pueden formar?
E = 9! x 3!+5! x 8!
29 x 8!
3. Halla el valor de "x" en:
(x-4)! = 120
9. Katty desea ir a una fiesta para lo cual dispone de 3 blusas, 2 faldas y 4 chompas (todas las prendas de diferente color). ¿De cuántas maneras distin- tas se puede vestir Katty considerando los 3 tipos de prenda?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
4. Si (n+1)! = (n-2)![125-n], calcula n +1
a) 10 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
5. De cuántas maneras se puede comprar cualquiera de los objetos señalados en la lista: 3 camisas; 2 pantalones y 4 polos.
a) 24 b) 10 c) 11
d) 9 e) 14
6. Dado que:
A B C
10. Halla la suma de valores de "n".
(n-8)! = 1
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
11. Determina "x" en la igualdad:
x+1
2 ! = 720
a) 1439 b) 11 c) 9
d) 1470 e) 1
12. Reduce:
(3!)! (2!)! (4!)!
¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir y volver de "A" a "C" si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?
120x6 + +
2 23!
a) 11 b) 24 c) 23
d) 144 e) 132 a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
