Tema 7. Integrales múltiples

(1)

Integrales m´

ultiples

7.1. Definici´

on.

En esta sección estudiamos el cálculo de la integral de una función real de dos variables denominada integral doble. Se puede utilizar el esquema del tema anterior para la integral de Riemann.

Definici´on 7.1.1. Seaf :A= [a, b]×[c, d]⊆R2_→_R_{acotada en el rect´}_angulo_{[a, b]}_×_{[c, d]}

Si P1 ={x0, x1,· · · , xn} es una partici´on de [a, b] y P2 = {y0, y1,· · · , ym} es una

partici´on de [c, d], se obtiene una partici´onP =P1×P2 de[a, b]×[c, d]formada por

los rect´angulos de la forma:

Ri= [xi, xi+1]×[yj, yj+1], i= 1,2,· · ·, n, j= 1,2,· · · , m.

Sobre cada uno de los rect´angulos construimos dos paralelep´ıpedos de alturas: mij = inf{f(x, y) : (x, y)∈[xi, xi+1]×[yj, yj+1],

Mij = sup{f(x, y) : (x, y)∈[xi, xi+1]×[yj, yj+1]

Sumamos los vol´umenes de los paralelep´ıpedos de alturas mij yMij:

U(f, P) = n ∑ i=1 m ∑ j=1 Mij(xi+1−xi)(yj+1−yj), L(f, P) = n ∑ i=1 m ∑ j=1 mij(xi+1−xi)(yj+1−yj)

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Decimos que f es Integrable (Riemann) sobre A y definimos la integral de Rie-mann def(x, y)sobre Acomo:

∫∫

A

f(x, y)dxdy=inf{U(f, P)}=sup{L(f, P)}.

Nota 7.1.2. Si f : A⊂R2 _→_R_{es una funci´}_{on continua , al igual que ocurr´ıa en una}

variable,f es integrable.Dado que las funciones que utilizaremos en este tema serán todas continuas,todas serán también integrables.

7.2. Propiedades

1.- Sif ygson integrables enA, entonces f±ges integrable enAy

∫∫ A (f±g)(x, y)dxdy= ∫∫ A f(x, y)dxdy± ∫∫ A g(x, y)dxdy

2.- Sif es integrable enAyα∈R, entonces αf es integrable enAy:

∫∫ A (αf)(x, y)dxdy=α ∫∫ A f(x, y)dxdy 3.- Sif ygson integrables enAyf(x, y≤g(x, y)∀(x, y)∈A, ∫∫ A f(x, y)dxdy≤ ∫∫ A g(x, y)dxdy 4.- Sifes integrable enA,|f|es integrable enAy ∫∫ A f(x, y)dxdy≤ ∫∫ A |f(x, y)|dxdy 5.- Seanf, g : A⊆R2_→_R_y_A 1, A2tales queA1∪A2=A, A1∩A2=∅.

f es integrable enAsi y s´olo si lo es enA1 yA2. En este caso:

∫∫ A f(x, y)dxdy= ∫∫ A1 f(x, y)dxdy+ ∫∫ A2 f(x, y)dxdy

7.3. Teorema de Fubini

El Teorema que vamos a enunciar nos proporciona una importante herramienta para el cálculo de integrales múltiples , ya que permite reducir el cálculo de una integral múltiple sobreRn al cálculo de n integrales ordinarias.

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Teorema 7.3.1. (Teorema de Fubini). Seaf : D⊆R2_→_R_{integrable en} _D. Si D= [a, b]×[c, d], entonces: ∫∫ D f(x, y)dxdy= ∫ b a (∫ d c f(x, y)dy ) dx Si D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, con g1, g2 : [a, b] → R

continuas en [a, b] y tales queg1(x)≤g2(x)∀x∈[a, b], entonces:

∫∫ D f(x, y)dxdy= ∫ b a (∫ g2(x) g1(x) f(x, y)dy ) dx Si D = {(x, y) ∈ R2 _: _c _≤ _y _≤ _{d, h}

1(y) ≤ x ≤ h2(y)}, con h1, h2 : [c, d] → R

continuas en [c, d] y tales queh1(y)≤h2(y)∀y∈[c, d], entonces:

∫∫ D f(x, y)dxdy = ∫ d c (∫ h2(y) h1(y) f(x, y)dx ) dy

7.4. Cambio de variable en integrales dobles

Teorema 7.4.1. Seanf : D ⊆R2 →Rintegrable en D y h : R2→R2 de clase C1 en D y biyectiva. Si el cambio de variables    x = h1(u, v) y = h2(u, v)

transforma D′ (regi´on del plano (u, v)) enD (regi´on del plano (x, y)) se tiene:

∫∫

D

f(x, y)dxdy=

∫∫

D′

f(h1(u, v), h2(u, v))|J h(u, v)|dudv

donde J(u, v) =      ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v     

Nota 7.4.2. El cambio de variable m´as com´un enR2 _{es el cambio a coordenadas polares:}

  

x = ρcosθ y = ρsenθ

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El determinante de su Jacobiano es: |J h(ρ, θ)|= ∂x ∂ρ ∂x ∂θ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ =

sencosθθ −ρρcossenθθ

=ρ Por tanto: _∫∫ D f(x, y)dxdy= ∫∫ D′ ρf(ρ, θ)dρdθ

7.5. Ejercicios resueltos

1. CalcularI= ∫∫ J (2x+y)dxdy, siendoJ = [1,3]×[0,1].

SOLUCI ´ON: Aplicando el Teorema de Fubini, resulta que I= ∫ 3 1 dx ∫ 1 0 (2x+y)dy= ∫ 3 1 ( 2xy+y 2 2 )y=1 y=0 dx= ∫ 3 1 (2x+ 1/2)dx= = ( x2+x 2 )x=3 x=1 = (9 + 3/2)−(1 + 1/2) = 9. 2. CalcularI= ∫∫ J

cosxdxdy, siendoJ = [1,2]×[0,2].

SOLUCI ´ON: Aplicando el Teorema de Fubini, resulta que I= ∫ 2 1 dx ∫ 2 0 cosxdy= ∫ 2 1 cosxdx ∫ 2 0 dy= 2 ∫ 2 1 cosxdx= = 2 senx x=2 x=1 = 2(sen 2−sen 1). 3. CalcularI= ∫∫ D y x+ 1dxdy, siendo D={(x, y)∈R2: 0≤x≤1,0≤y, x≤2−y2}.

SOLUCI ´ON: El recintoDes el siguiente:

D 2-y2 x= 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 1.0 1.5

Por lo tanto, si x∈[0,1], entonces 0≤y≤√2−x; y aplicando el Teorema de Fubini, se tiene que

I= ∫ 1 0 dx ∫ √ 2−x 0 y x+ 1dy= ∫ 1 0 1 x+ 1dx ∫ √ 2−x 0 ydy=

(5)

= ∫ 1 0 1 x+ 1 ( y2 2 )y=√2−x y=0 dx=1 2 ∫ 1 0 2−x x+ 1dx= 1 2 ∫ 1 0 ( 3 x+ 1−1 ) dx= = 1 2(3 ln|x+ 1| −x) x=1 x=0 =3 ln 2−1 2 . 4. CalcularI= ∫∫ D y x+ 2dxdy, siendoD={(x, y)∈R 2_:_{x, y}_≥_{0, x}2₊_y2_≤₄_}_.

D x2 +y2 =4 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Por lo tanto, si x∈[0,2], entonces 0≤y ≤√4−x2_{; y aplicando el Teorema}

de Fubini, se tiene que I= ∫ 2 0 dx ∫ √ 4₋x2 0 y x+ 2dy= ∫ 2 0 1 x+ 2dx ∫ √ 4₋x2 0 ydy= = ∫ 2 0 1 x+ 2 ( y2 2 )y=√4−x2 y=0 dx=1 2 ∫ 2 0 4−x2 x+ 2 dx= 1 2 ∫ 2 0 (2−x)dx= = 1 2 ( 2x−x 2 2 )x=2 x=0 = 1 2(4−2) = 1.

5. Calcular el ´area del recintoD={(x, y)∈R2:x2≤y≤x}.

D yx yx2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.5 1.0 1.5

Por lo tanto, si x∈[0,1], entoncesx2 _≤_y _≤_{x; y el ´}_{area ser´}_a _A₌

∫∫

D

dxdy. Aplicando el Teorema de Fubini, se tiene que

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A= ∫ 1 0 dx ∫ x x2 dy= ∫ 1 0 y y=x y=x2 dx= ∫ 1 0 (x−x2)dx= ( x2 2 − x3 3 )x=1 x=0 = 1 2− 1 3 = 1 6. 6. Demostrar que ∫ +∞ −∞ e−x2dx=√π.

SOLUCI ´ON: Para ello, vamos a calcular la siguiente integral doble

∫∫ R2

e−x2−y2dxdy por dos m´etodos diferentes.

Por un lado, por el Teorema de Fubini resulta que

∫∫ R2 e−x2−y2dxdy= ∫ +∞ −∞ (∫ +∞ −∞ e−x2−y2dy ) dx= = (∫ +∞ −∞ e−x2dx ) (∫ +∞ −∞ e−y2dy ) = (∫ +∞ −∞ e−x2dx )2 .

Por otro lado, si realizamos el cambio a polares resulta que

∫∫ R2 e−x2−y2dxdy= ∫ (0,+∞)×(−π,π) e−r2rdrdα= = ∫ π −π dα ∫ +_∞ 0 re−r2dr= 2π·−1 2 e −r2 +∞ 0 =π. Por consiguiente, uniendo ambas partes, tenemos que

(∫ +∞ −∞ e−x2dx )2 = ∫∫ R2 e−x2−y2dxdy=π

de donde se deduce que

∫ +_∞

−∞

e−x2dx=√π.

7.6. Ejercicios propuestos

1.- Calcular las siguientes integrales dobles en el recinto que se indica: a) ∫∫ I eydxdy, I= [0,1]×[1,3] b) ∫∫ I (x+ 1)dxdy, I= [0,3]×[0,1] c) ∫∫ D x2ydxdy, D={(x, y)∈R2 : 0≤x≤1 0≤y≤x}

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d) ∫∫ D xeydxdy, D={(x, y)∈R2 : 0≤x≤1 0≤y≤2x2} e) ∫∫ D xydxdy, D={(x, y)∈R2 : x2+y2≤4 ;x2+y2≥1y≥0, x≥0} f) ∫∫ D xdxdy, D= { (x, y)∈R2 : 0≤x; 0≤y;x 2 4 + y2 25 ≤1 } g) ∫∫ D senxdxdy, D= { (x, y)∈R2 : 0≤x; 0≤y;x−y≤0 ;y−x 2 ≤1 } h) ∫∫ D 1 1 +y dxdy, D= { (x, y)∈R2 : 1≤x; 0≤y;x≤1−y2} i) ∫∫ D 1 x−2dxdy, D= { (x, y)∈R2 : y≥3 ;y≤4−x2}

2.- Calcular mediante una integral doble el ´area del recinto:

D={(x, y)∈R2 : 1≤x;x−y≤0 ;y+x≤4}

3.- Calcular mediante una integral doble el ´area del recinto: