Notas de geometría algebraica

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Notas de geometr´ıa algebraica

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Notas de geometr´ıa algebraica

Felipe Zald´ıvar

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´Indice general

Introducci´on . . . VII

Cap´ıtulo 1. Variedades afines . . . 1

1.1. El espacio af´ın . . . 1

Ejercicios . . . 13

1.2. El teorema de los ceros de Hilbert . . . 15

Ejercicios . . . 24

1.3. Morfismos entre variedades afines . . . 25

Ejercicios . . . 34

Cap´ıtulo 2. Variedades proyectivas . . . 39

2.1. El espacio proyectivo . . . 39

Ejercicios . . . 55

2.2. Morfismos entre variedades proyectivas . . . 57

Ejercicios . . . 65

2.3. Ejemplos . . . 68

Ejercicios . . . 74

Cap´ıtulo 3. Dimensi´on . . . 77

3.1. Dimensi´on de variedades afines . . . 77

Ejercicios . . . 81

3.2. El teorema del ideal principal y la dimensi´on de Krull . . . 82

Ejercicios . . . 91

3.3. El lema de normalizaci´on de Noether . . . 92

Ejercicios . . . 100

3.4. Dimensi´on de variedades proyectivas . . . 101

3.5. Dimensi´on y morfismos . . . 105

Cap´ıtulo 4. Propiedades locales . . . 113

4.1. Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares . . . 115

4.2. El espacio tangente de Zariski . . . 121

4.3. La diferencial de una aplicaci´on regular y morfismos ´etales . . . 127

4.4. Derivaciones y el anillo de n´umeros duales . . . 138

4.5. Expansi´on en serie de potencias . . . 142

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4.6. Factorizaci´on ´unica en el anillo local de un punto liso . . . 149

Ejercicios . . . 154 4.7. Variedades normales . . . 154 Ejercicios . . . 156 4.8. Ramificación . . . 156 Ejercicios . . . 158 Cap´ıtulo 5. Intersección . . . 159 5.1. Divisores . . . 160 5.2. Divisores en curvas . . . 165 5.3. El teorema de Bézout . . . 166 5.4. Multiplicidades de intersección . . . 168

Cap´ıtulo 6. Resoluci´on de singularidades . . . 171

6.1. Dilataciones . . . 172

6.2. Dilataciones en general. Formulaci´on algebraica . . . 180

6.3. Resoluci´on de singularidades . . . 190

Bibliograf´ıa . . . 197

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Introducci´on

Desde un punto de vista clásico, la geometr´ıa algebraica es el estudio de los espacios de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables. Para garantizar, desde el inicio, que estos espacios de soluciones no sean vac´ıos, se comienza considerando polinomios con coeficientes en un campo algebraicamente cerrado, donde el favorito es el campo de los números complejos. Después de esta-blecer la topolog´ıa natural en estos espacios y las funciones naturales entre ellos, se procede a un estudio topológico más profundo de los mismos introduciendo, para empezar, la noción de dimensión en sus varias formulaciones. En este mismo senti-do se introducen las nociones de puntos lisos, puntos singulares y espacios tangente. A lo largo de todo el texto se discuten ejemplos apropiados para ilustrar o motivar los conceptos y resultados principales.

En el caso importante de variedades complejas, los temas bosquejados arriba se pueden estudiar con herramientas anal´ıticas, pero la motivación para estudiarlos desde un punto de vista algebraico es explorar hasta qué punto la validez de estos resultados se mantiene al pasar a campos arbitrarios. Más aún, la teor´ıa de números pide, de cierta forma, que también se considere el caso de variedades definidas sobre campos arbitrarios, no necesariamente algebraicamente cerrados.

En este libro, de naturaleza elemental, seguiremos el enfoque clásico ((( preclási-co))) y estudiaremos variedades algebraicas, afines o proyectivas, sobre campos al-gebraicamente cerrados, definidas primero dentro del espacio af´ın o proyectivo, y después generalizadas al definirlas localmente isomorfas a espacios afines usan-do la gavilla de funciones natural para((pegar))en los traslapes. Los requisitos de álgebra (anillos conmutativos e ideales) son los m´ınimos, usualmente adquiridos en la licenciatura, y los resultados de álgebra que se considere que son no usuales y que son esenciales para el desarrollo de los temas geométricos, se introducirán conforme se vayan requiriendo, con demostraciones completas de los mismos y con las aplicaciones geométricas que los motivan. En algunos ejercicios se requie-re aumentar el nivel de álgebra conmutativa, y usualmente son generalizaciones de resultados geométricos demostrados en el texto. Se sugiere as´ı, de alguna manera, estudiar álgebra conmutativa en forma paralela y de manera motivada por las ideas geométricas que se van introduciendo, con demostraciones geométrico-algebraicas completas en el contexto del libro, pero que se algebrizan naturalmente.

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Cap´ıtulo

1

Variedades afines

En este cap´ıtulo comenzamos el estudio de objetos definidos como ceros de polinomios, y el resultado principal es un((diccionario)) que traduce propiedades geom´etricas de estos conjuntos a propiedades algebraicas de los ideales en el anillo de coordenadas correspondiente.

1.1. El espacio af´ın

SeaK un campo (algebraicamente cerrado). El espacio af´ın de dimensi´on n

sobreKes el conjunto

An=AnK =An(K) :={(a1, . . . , an) : ai ∈K}.

SiEes un subconjunto del anillo de polinomiosK[x1, . . . , xn], al conjunto de

ceros comunes, enAn_K, de los polinomios enE:

V(E) :={P = (a1, . . . , an)∈AnK : f(P) = 0 para todof ∈E}

se le llama unconjunto algebraico af´ın, o simplemente unconjunto af´ın. Obser-vamos que si I = hEi es el ideal de K[x1, . . . , xn] generado por E, entonces

V(E) = V(I) (esto nos dice que al definir conjuntos algebraicos afines basta con-siderar ideales de K[x1, . . . , xn]). En efecto, como E ⊆ hEi = I, siP ∈ V(I)

entoncesP es cero de todos los polinomios deI, en particular de los que est´an en

E ⊆I, es decir,V(I) ⊆V(E)(vea tambi´en la parte 4 del lema 1.1). Por otra par-te, siP ∈ V(E) y sif ∈ I = hEi, entoncesf es combinaci´on lineal de algunos

f1, . . . , fr ∈ E, es decir,f = g1f1 +· · ·+grfr con losgi ∈ K[x1, . . . , xn]. Se

sigue quef(P) = P

gi(P)fi(P) y como fi(P) = 0, entonces f(P) = 0, i.e., P ∈ V(I). M´as a´un, por el teorema de la base de Hilbert, el anilloK[x1, . . . , xn]

es noetheriano y por lo tanto todos sus ideales son finitamente generados, es decir, existe un conjunto finito de polinomios{f1, . . . , fr} ⊆E ⊆Ital que

V(E) =V(I) =V({f1, . . . , fr}) =V(f1)∩ · · · ∩V(fr)

es decir, todos los conjuntos afines son los ceros comunes de un conjunto finito de polinomios.

Las primeras propiedades de los conjuntos algebraicos afinesV(I)son: 1

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LEMA1.1. SeaKun campo(algebraicamente cerrado). Entonces,

(1)An_K y∅son conjuntos algebraicos afines.

(2)SiV1, . . . , Vkson conjuntos afines, entoncesV1∪ · · · ∪Vktambi´en es af´ın.

(3)Si{Vi}es una familia arbitraria de conjuntos afines, entoncesTiVitambi´en es af´ın.

(4)SiI1 ⊆I2son ideales deK[x1, . . . , xn], entoncesV(I1)⊇V(I2).

(5)SiI ⊆K[x1, . . . , xn]es cualquier ideal, entoncesV(I) =V( √

I).

Recuerde que si A es cualquier anillo conmutativo e I ⊆ A es un ideal, el

radicaldel idealIes el conjunto√I ={a∈A : an∈I, para algúnn≥0}. Es fácil probar (usando la expansión binomial) que√I es un ideal deA. Claramente,

I ⊆√I. Un idealI ⊆Ase dice que es unideal radicalsi√I =I.

Demostraci´on.Para (1), claramenteAnK =V(0)y∅=V(1). Para (2), basta

probar-lo para dos conjuntos afines, digamosV =V(I)yW =V(J). Entonces,

V ∪W =V(I)∪V(J) =V(I∩J).

En efecto, si P ∈ V(I)∪V(J), entoncesP pertenece a algunos de los conjuntos afines, digamosP ∈ V(I)por lo que para todof ∈ I se tiene quef(P) = 0, en particular para losf ∈I∩Jy as´ıP ∈V(I∩J). Rec´ıprocamente, siP ∈V(I∩J)

y si sucediera queP 6∈V(I)∪V(J), entonces existir´ıanf ∈ I yg ∈ J tales que

f(P)6= 0yg(P)6= 0y por lo tantof(P)g(P)6= 0. Sin embargo, comof g∈I∩J

yP ∈V(I∩J), se debe tener quef(P)g(P) = 0, una contradicci´on. Para (3) mostraremos que siVi = V(Ii), entoncesV P_iIi

= T iV(Ii). En efecto, siP ∈V P iIi , como cadaIi ⊆ P

iIi, entoncesP ∈V(Ii)para todoiy

por lo tantoP ∈T

iV(Ii). Rec´ıprocamente, siP ∈V(Ii)para todoi, entonces para

todof ∈ P

iIi, escribiendof = P

jgjfj (suma finita) con losfj ∈ Ij, se tiene

quef(P) =P

jgj(P)fj(P) = 0y as´ıP ∈V( P

iIi).

La parte (4) se demostr´o esencialmente antes. Para (5), como I ⊆ √I, por la parte (4) se sigue queV(√I)⊆V(I). Rec´ıprocamente, siP ∈V(I), dado cualquier

f ∈ √I, como existem tal que fm ∈ I, entonces fm(P) = 0 y por lo tanto

f(P) = 0, i.e.,P ∈V(√I).

OBSERVACION. Las partes 1, 2, 3 del lema anterior nos dicen que los conjuntos´ algebraicos afines satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en una topolog´ıa, a la que se llama latopolog´ıa de Zariskide AnK. SiX ⊆ AnK es un conjunto

alge-braico af´ın, la topolog´ıa de Zariski enX es la topolog´ıa inducida por la inclusión como subespacio. Nótese que en esta topolog´ıa, W ⊆ X es cerrado si y sólo si

W = X∩V conV ⊆AnK un conjunto algebraico y por lo tanto, por 1.1(3),

tam-bi´enW =X∩V es un conjunto algebraico. En otras palabras, los cerrados en la topolog´ıa de Zariski de un conjunto algebraico, tambi´en son conjuntos algebraicos.

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Lo que hemos hecho hasta ahora es asociar a cada ideal de polinomios de

K[x1, . . . , xn]un conjunto af´ın enAnK. Se tiene la construcci´on rec´ıproca: a cada

subconjuntoXdeAn_Kle asociamos el ideal deK[x1, . . . , xn]dado por los

polino-mios que se anulan enX:

I(X) :={f ∈K[x1, . . . , xn] : f(P) = 0 para todoP ∈X}.

Las propiedades b´asicas de esta construcci´on son:

LEMA1.2. SeaKun campo(algebraicamente cerrado). Entonces,

(1)I(∅) =K[x1, . . . , xn].

(2)SiX1 ⊆X2son subconjuntos deAnK, entoncesI(X1)⊇I(X2).

(3)SiV, W ⊆_An

K, entoncesI(V ∪W) =I(V)∩I(W).

(4)SiV ⊆_An

K, entonces p

I(V) =I(V), i.e., el idealI(V)es un ideal radical. Demostraci´on.La parte (1) es por vacuidad. Las partes (2) y (3) son directas, por ejemplo para (3), sif ∈ I(V ∪W), entonces para todoP ∈ V ∪W se tiene que

f(P) = 0. En particular, siP ∈V ⊆V∪W se tiene quef(P) = 0, i.e.,f ∈I(V). Similarmente,f ∈I(W). Rec´ıprocamente, sif ∈I(V)∩I(W), entoncesf ∈I(V)

yf ∈I(W)y as´ı, para todoP ∈V,f(P) = 0y para todoQ∈W,f(Q) = 0. Es decir, para todoP ∈ V ∪W se tiene que f(P) = 0, por lo quef ∈ I(V ∪W). Para (4), sif ∈p

I(V), entoncesfr ∈I(V), para alg´unry as´ı, para todoP ∈V

se tiene quefr₍_P_{) = 0}_{, i.e.,}₍_f₍_P₎₎r _{= 0}_{y por lo tanto}_f₍_P_{) = 0}_{, i.e.,}_f _∈_I₍_V₎_.

La otra inclusi´on siempre es v´alida:I ⊆√I. Al componer las dos correspondencias

V:{ideales deK[x1, . . . , xn]} → {subconjuntos deAnK}

y

I:{subconjuntos deAnK} → {ideales deK[x1, . . . , xn]}

que hemos definido arriba, si queremos que sean inversas una de la otra, observemos que en el lema 1.1 se tiene que:AnK = V(0)por lo que para queIsea inversa de

Vse requiere queI(An_K) = (0). Es decir, se necesita probar que si un polinomio f ∈K[x1, . . . , xn]se anula en todoAnK, entoncesf = 0es el polinomio cero. En

general esto no es cierto, por ejemplo para un campo finitoK =Fq, el polinomio f(x) = xq −x ∈ Fq[x]se anula en todoA1_F_q = Fq (por el teorema peque˜no de

Fermat) pero no es el polinomio cero. Sin embargo, si el campoK es infinito (en particular, siKes algebraicamente cerrado porque todos estos campos son infinitos) el resultado es cierto:

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Demostración.Inducción sobren ≥ 1. El cason = 1es porque sif ∈ I(A1_K) ⊆ K[x]no fuera cero, como el número de ra´ıces def es≤que su grado, esto contra-dice el queK es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para≤ n−1

y sea f ∈ I(AnK). Supongamos quef 6= 0. Observe primero queAn −1 K ⊆ A

n K

identificando (α1, . . . , αn−1) ∈ An_K−1 con(α1, . . . , αn−1,0) ∈ AnK. Factorizando

las potenciasxk_{en los monomios de}_f_{, escribamos}

(∗) f =ak(x1, . . . , xn−1)xkn+· · ·

y note que no puede suceder que k = 0(i.e., que no aparezca la variable xn en f) porque entonces f ∈ K[x1, . . . , xn−1] se anula en todoAnK, en particular en An_K−1 y as´ı f = 0, por hip´otesis de inducci´on. Podemos entonces suponer que k ≥ 1 y que ak(x1, . . . , xn−1) 6= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por

hip´otesis de inducci´on se tiene que ak 6∈ I(AnK−1) y por lo tanto existe un punto

(α1, . . . , αn−1) ∈ AnK−1 tal que ak(α1, . . . , αn−1) 6= 0. Substituyendo el punto

(α1, . . . , αn−1)en todos los coeficientesai en (∗) se obtiene el polinomio en una

variable:

˜

f =ak(α1, . . . , αn−1)xkn+· · · ∈K[xn]

donde el coeficienteak(α1, . . . , αn−1) 6= 0y por lo tanto f˜tiene≤ gr( ˜f)ra´ıces,

i.e., no se puede anular en todoA1K, i.e., existeαn∈K =A1Ktal que06= ˜f(αn) = f(α1, . . . , αn−1, αn), i.e., no se anula en todoAnK.

El resultado principal es el siguiente, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbert 1.15 cuya demostración se hará en la sección siguiente:

TEOREMA1.4. SeaKun campo(algebraicamente cerrado).

(1)SiV es un subconjunto arbitrario deAn_K, entoncesV ⊆V(I(V)), y la igualdad se tiene si y s´olo siV es un subconjunto algebraico af´ın.

(2)SiJ es un ideal deK[x1, . . . , xn], entoncesJ ⊆I(V(J)). M´as a´un,IV(J) = √

J y por lo tanto la igualdadIV(J) =J se tiene si y s´olo siJ es un ideal radical. Demostraci´on. Para (1), si P ∈ V, entonces para todo f ∈ I(V) se tiene que

f(P) = 0 y por lo tanto f ∈ V(I(V))y as´ı V ⊆ V(I(V)). Supongamos ahora queV = V(J) es algebraico af´ın. Entonces,J ⊆ I(V) y as´ı, por el lema 1.2, se tiene queV =V(J) ⊇V(I(V))y por lo tanto se tiene la igualdadV =V(I(V)). Rec´ıprocamente, siV =V(I(V)), entoncesV es algebraico, por definici´on.

Para (2), si f ∈ J, entonces para todo P ∈ V(J) se tiene que f(P) = 0 y por lo tantoJ ⊆IV(J). La segunda afirmación de la parte (2) es (una parte de) el contenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostración se pospondrá hasta

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En general, se pueden tener inclusiones estrictas en las dos partes del teorema anterior, como veremos en los ejercicios 3 y 4. Note que en ninguna de las par-tes demostradas se usó el que el campo K sea algebraicamente cerrado. Esto se usará para demostrar la segunda parte del inciso (2), lo cual, como mencionamos antes pospondremos hasta la sección sobre el teorema de los ceros de Hilbert. OBSERVACION. Aceptando por un momento que ya se ha demostrado el teorema´ anterior, notamos que este teorema y las partes (2) del lema 1.2 y (4) del lema 1.1 nos dicen que las correspondencias

{subconjuntos algebraicos deAn_K} I //{ideales radicales deK[x1, . . . , xn]} V

o

invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esto es una perfecta correspon-dencia que traduce la geometr´ıa de los conjuntos algebraicos afines a una situación algebraica. Hay una última observación que es el momento de hacer: si K es un campo arbitrario, los conjuntosV(I) pueden ser vac´ıos aún cuando el idealI sea propio. Un ejemplo, trivial, donde esto sucede es parax2+y2+ 1∈_R[x, y]para el cual se tiene queV(x2+y2+ 1) =∅enA2_R. El teorema de los ceros de Hilbert

ga-rantiza, adem´as de la correspondencia anterior (vea la parte 2 del teorema 1.4), que siI $K[x1, . . . , xn]yKes algebraicamente cerrado, entoncesV(I)6=∅. Es clara

entonces la importancia de este teorema de Hilbert y tambi´en la del sobrenombre del teorema (garantiza la existencia de ceros de un ideal propio).

Ejemplo1. Supongamos queK es algebraicamente cerrado. En la recta af´ınA1K,

¿cu´ales son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anilloK[x]es un DIP, entonces todo conjunto algebraicoV ⊆ A1_K es de la formaV = V(f) para

un polinomiof ∈ K[x], y comoK es algebraicamente cerrado entoncesf(x)se factoriza comof(x) =c(x−a1)· · ·(x−ak)conc, ai∈Ky por lo tanto

V(f) ={a1, . . . , an},

es decir, los conjuntos algebraicos deA1_K son los conjuntos finitos, el espacio total

y el vac´ıo.

Lo anterior sirve para mostrar que la topolog´ıa de Zariski enA1_Kes muy d´ebil y

bastante diferente de la topolog´ıa usual enA1_K =K, por ejemplo siK =C, ya que

enA1_C=Cse tienen m´as cerrados en la topolog´ıa m´etrica usual que en la topolog´ıa

de Zariski. Note tambi´en que los cerrados en la topolog´ıa de Zariski son cerrados en la topolog´ıa m´etrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topolog´ıa usual.

Ejemplo2. Si E ⊆ K[x1, . . . , xn] es un conjunto finito de polinomios lineales,

la variedad V(E) ⊆ An_K se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es

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Ejemplo3. SiE ⊆K[x1, . . . , xn]consiste de un ´unico polinomio no constantef ∈ K[x1, . . . , xn], a la variedadV(E) =:V(f) ⊆AnK se le llama unahipersuperficie.

Si f es de grado 1, se dice que V(f) es un hiperplano af´ın en An_K. En el caso

particular cuandon= 2,V(f)es unacurvaenA2_Ky es una recta sif es lineal. Ejemplo4. SiK es un campo, dada a una matrizm×ncon entradas enK, des-plegando sus renglones la podemos pensar como un elemento deAmnK . Entonces, si m = n, el grupo lineal especialSLn(K) ⊆An_K2 de matrices cuadradasn×ncon

determinante1, es un conjunto algebraico af´ın porque el determinante es un polino-mio, es decir, para(xij)n×n, su determinantedet(xij)∈K[x11, x12, . . . , xnn].

En forma similar se muestra que el grupo ortogonal On(K)de matrices

cuadra-dasAtales queATA= idnes un conjunto algebraico af´ın.

Irreducibilidad.SiXes un espacio topológico, un subespacio no vac´ıoZ deXse dice que esirreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios deZ. Unavariedad af´ınes un subconjunto algebraico irreducible de algúnAn(note que entonces este subconjunto es cerrado enAn). Un abierto de

una variedad algebraica af´ın se llama unavariedad casi-af´ın.

PROPOSICION´ 1.5. Un conjunto algebraico V es irreducible si y s´olo si su ideal asociadoI(V)es un ideal primo.

Demostraci´on.SiV es irreducible y si f, g ∈ K[x1, . . . , xn]son tales quef g ∈

I(V), entonces poniendoW1 =V(f),W2 =V(g), se tiene queV = (V ∩W1)∪

(V ∩W2), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es

irreducible, se sigue que V = V ∩W1 o V = V ∩W2, es decir, V ⊆ W1 o

V ⊆W2, por lo quef ∈ I(W1) ⊆I(V)og ∈I(W2) ⊆I(V), i.e.,I(V)es ideal

primo.

Rec´ıprocamente, si I(V) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados (i.e., conjuntos algebraicos afines)W1, W2 tales queV =W1∪W2 conWi V.

Por 1.2 se tiene que I(V) = I(W1)∩I(W2) y adem´as, por la inyectividad deI,

I(V) I(Wi). Por lo tanto, existen polinomiosfi ∈ I(Wi)−I(V) y como los

I(Wi) son ideales, entonces f1f2 ∈ I(Wi) y consecuentementef1f2 ∈ I(W1)∩

I(W2) =I(V), una contradicci´on con la hip´otesis de queI(V)es primo. Ejemplo5.AnKes irreducible ya que, por 1.3, su idealI(AnK) = 0, que es primo. Ejemplo6. Si f ∈ K[x, y]es un polinomio irreducible, entoncesp = hfi es un ideal primo y por lo tantoX =V(f)⊆A2_K es irreducible. Note que esta variedad

algebraica es la curva af´ın definida por f(x, y) = 0. Las figuras siguientes son algunas curvas enA2_R, todas ellas irreducibles excepto la ´ultima:

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-6 -6 Vhy2−x3i Vhy2−x2(x+ 1)i -6 -6 Vhx2+y2−1i Vh(y−x2)(y−x)i

A continuación veremos que todo conjunto algebraico af´ın V se puede des-componer, en forma única, como unión de subconjuntos algebraicos irreducibles. Esto es importante porque muchas preguntas sobre conjuntos algebraicos se pueden responder más fácilmente cuando éstos son irreducibles.

LEMA1.6. SeaXun espacio topol´ogico arbitrario. Son equivalentes:

(1)Xes irreducible.

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(3)Todo subconjunto abierto no vac´ıo deXes denso enX.

Demostraci´on.(1) ⇒ (2): SiU1 ∩U2 = ∅, tomando complementosX = (X −

U1)∪(X−U2)conX−Ui cerrados propios de X y as´ı, por hip´otesis, se debe

tener queX=X−U1 oX=X−U2, i.e.,U1 =∅oU2 =∅, una contradicci´on.

(2)⇒(1)es similar.

(1)⇔(3)es directo de la definici´on de densidad. COROLARIO1.7. SeaY ⊆Xun subconjunto de un espacio topol´ogicoX. SiY es irreducible entonces su cerraduraY es irreducible.

Demostración.Un abiertoU intersecta aY si y sólo si intersecta aY. Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles son cerradas y as´ı, en el caso de conjuntos algebraicos, las componentes irreducibles son variedades algebraicas.

PROPOSICION´ 1.8. SeaXun espacio topol´ogico. Entonces,

(1)Cada subconjunto irreducible deXest´a contenido en una componente irredu-cible.

(2)Xes la uni´on de sus componentes irreducibles.

Demostraci´on.La parte (2) se sigue de (1) ya que para todox∈Xel conjunto{x}

es irreducible y as´ı, por (1), est´a contenido en una componente irreducible deX. Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W ⊆ X un subconjunto irre-ducible y seaFla familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen aW. ComoW ∈F, entoncesF6=∅, y si{Xi}i∈Λes una cadena enF, entonces su uni´on

Y =S

i∈ΛXitambi´en est´a enFya queX⊆Y yY es irreducible porque siU1, U2

son abiertos deX tales queUi∩Y 6=∅, entonces existen ´ındices i1, i2 ∈ Λ tales

queUi∩Xik 6= ∅ paraj = 1,2, y como{Xi} es una cadena podemos suponer

queXi2 ⊆ Xi1 y por lo tanto Ui∩Xik 6= ∅, pero comoXik son irreducibles por

1.6 se sigue queU1∩U2∩Xik 6=∅y por lo tantoU1∩U2 ∩Y 6=∅que por 1.6

implica queY es irreducible, y por lo tantoY ∈F. ClaramenteY es cota superior de esta cadena y as´ı, por el lema de Zorn,Fdebe tener un elemento m´aximo, que es, por definici´on, una componente irreducible de X que contiene a W, como se

quer´ıa.

Un espacio topol´ogicoXse dice que esnoetherianosi toda cadena descendente de subconjuntos cerrados deX:

Y1 ⊇Y2⊇ · · · ⊇Yj ⊇ · · ·

se estaciona. Observe que si X es un conjunto algebraico af´ın, los cerrados deX

tambi´en son conjuntos algebraicos. El ejemplo que nos interesa es una consecuencia del teorema de la base de Hilbert:

(16)

COROLARIO 1.9. Si X ⊆ An es una variedad af´ın, entonces X es un espacio noetheriano.

Demostraci´on.Por 1.2, a una cadena descendente de cerrados (i.e., subconjuntos algebraicos) deX

Y1⊇Y2 ⊇ · · · ⊇Yj ⊇ · · ·

le corresponde la cadena ascendente de ideales deK[x1, . . . , xn]:

I(Y1)⊆I(Y2)⊆ · · · ⊆I(Yj)⊆ · · ·

que se estaciona porqueK[x1, . . . , xn]es un anillo noetheriano.

OBSERVACION. Un espacio topológico´ X es noetheriano si y sólo si todacadena ascendentede abiertos se estaciona. (Esto se sigue tomando complementos). Tam-bién, por el lema de Zorn, lo anterior es equivalente a queXsatisface la condición máxima para conjuntos abiertos o la condición m´ınima para conjuntos cerrados. PROPOSICION´ 1.10. Un espacio topológico noetherianoX tiene sólo un número finito de componentes irreducibles y ninguna componente está contenida en la unión de otras.

Demostración.SeaFla familia de cerrados deX que no se pueden escribir como unión finita de subconjuntos irreducibles deX. Probaremos queFes vac´ıo. Supon-gamos queF 6= ∅; por la observación previa a la proposición existe un elemento m´ınimoY ∈F; en particularY no es irreducible y as´ı existen cerradosY1, Y2 Y

tales que Y = Y1 ∪Y2. Por la minimalidad de Y se tiene que Yi 6∈ F y por lo

tantoYi es una unión finita de subconjuntos irreducibles deXy consecuentemente Y también lo es, lo cual es una contradicción. Se sigue queF = ∅y por lo tanto todos los cerrados deX, en particularXmismo, se pueden representar como unión finita de subconjuntos irreducibles y as´ı, por la proposición previa se sigue que

(∗) X=X1∪ · · · ∪Xn

con lasXicomponentes irreducibles deXyXi=6 Xj sii6=j.

Ahora, siY es cualquier componente irreducible deX, de la relaci´on

(∗) Y =Y ∩X=

n [

i=1

(Xi∩Y)

se sigue queY = Xi ∩Y para alg´uni(ya queXi ∩Y ⊆ Y y si sucediera que Xi ∩Y Y para todoi, como losXi∩Y son cerrados, entonces la relaci´on(∗)

contradice el hecho de queY es irreducible). De la igualdadY =Xi∩Y para alg´un ise sigue queY = Xi, por lo que lasXi,1 ≤i ≤ n, son todas las componentes

irreducibles deX, i.e., ´estas son un n´umero finito.

Finalmente, note que tampoco se puede tener queXi ⊆Sj6=iXj, ya que de lo

(17)

COROLARIO 1.11. SiV ⊆ An_K es cualquier conjunto af´ın, entoncesV tiene sólo un número finito de componentes irreduciblesV1, . . . , Vny en la representación

V =V1∪ · · · ∪Vn

ningúnVi es superfluo, i.e., ningúnVi está contenido en algún otro.

Ejemplo7. Sea f ∈ K[x1, . . . , xn]y supongamos quef = pe₁1· · ·perr es su

des-composici´on en factores irreducibles, con lospidistintos. Entonces, hfi=hpe1 1 · · ·p er r i= \ i hpei_i i

con loshpei_i iideales distintos. Se sigue que

p hfi=\ i q hpei_i i=\ i hpii

ya que claramentephpei_i i=hpii. Por lo tanto,

(∗) V(f) =[

i

V(pi)

con cadaV(pi)irreducible porque loshpii son ideales primos. M´as a´un,V(pi) 6⊆

V(pj), parai6=j. As´ı,(∗)es la descomposici´on de la hipersuperficieV(f)en sus

componentes irreducibles.

Anillos de coordenadas.As´ı como el anilloK[x1, . . . , xn]est´a naturalmente

aso-ciado al espacio af´ın AnK, a cada subvariedad algebraica V ⊆ AnK se le asocia,

en forma natural, su anillo de coordenadas af´ınidentificando los polinomios que definen la misma funci´on enV, es decir, se define

K[V] :=K[x1, . . . , xn]/I(V).

OBSERVACION. Los elementos´ φdel anillo de coordenadasK[V]de unaK-variedad

V ⊆_An

K se pueden considerar como funcionesφ:V →K, ya que siφ=f +I∈ K[V], conf ∈K[x1, . . . , xn], paraP = (a1, . . . , an)∈V se define

φ(P) :=f(a1, . . . , an),

y notamos que este valor no depende del representantef de la clase lateralφ, ya que siges otro tal representante, se tiene quef −g ∈I(V)y as´ıf(a1, . . . , an)− g(a1, . . . , an) = 0, para todo(a1, . . . , an)∈V.

Ejemplo8. Las coordenadasxi ∈ K[V] = K[x1, . . . , xn]/I(V)las podemos ver

como funcionesxi :V → K que asignan a cada puntoP = (a1, . . . , an) ∈V su i-´esima coordenadaxi(P) :=ai.

(18)

OBSERVACION. El anillo´ K[V]es elmenoranillo de funciones enV que contiene a las funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campoK(sus elementos vistos como funciones constantes).

Una consecuencia directa de 1.5 es:

COROLARIO 1.12. Un subconjunto algebraico af´ın V ⊆ _An

K es irreducible si y s´olo si su anillo de coordenadasK[V]es un dominio entero.

Ejemplo 9. Si K es algebraicamente cerrado y m ⊆ K[x1, . . . , xn] es un ideal

m´aximo, entoncesX=V(m)es una variedad irreducible que es un cerrado m´ınimo deAn_K (por la correspondencia 1.4 y por lo tanto debe consistir de un s´olo punto,

digamosP = (a1, . . . , an). Se sigue que todo ideal m´aximo deK[x1, . . . , xn]es

de la formam=hx1−a1, . . . , xn−ani. De hecho, se tiene algo m´as:

PROPOSICION´ 1.13. SeaKun campo algebraicamente cerrado y seaV ⊆AnK al-gebraico. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre los puntos deV y los ideales m´aximos del anillo de coordenadasK[V].

Demostraci´on.Sim⊆K[V] =K[x1, . . . , xn]/I(V)es un ideal m´aximo, entonces

corresponde a un ´unico ideal m´aximom ⊆ K[x1, . . . , xn]que contiene aI(V) y

por lo tantoV(m) ⊆V(I(V)) =V. Por el ejemplo 9 anteriorV(m)consiste de un ´unico punto y as´ı este punto pertenece aV.

Rec´ıprocamente, siP ∈V es un punto, entonces{P} ⊆V ⊆_An

Ky por 1.2 se

sigue queI{P} ⊇ I(V). Por otra parte, siP = (a1, . . . , an), entonces claramente

I(P) = hx1 −a1, . . . , xn−aniy ´este es un ideal m´aximo de K[x1, . . . , xn]que

contiene aI(V), i.e., corresponde a un ´unico ideal m´aximo deK[V]. Un anilloAesreducidosi su nilradical√0 = 0, es decir, siAno tiene elemen-tos nilpotentes.

PROPOSICION´ 1.14. Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] y V = V(I), entonces el anillo de coordenadasK[V]es reducido.

Demostraci´on.Por 1.4,I(V(I)) =√Iy as´ıK[V] =K[x1, . . . , xn]/ √

I por lo que el nilradical deK[V]esp√I =√I, i.e., es cero. Puntos racionales.Sik⊆Kes un subcampo, considerando puntos con coordena-das enk, el conjunto

AnK(k) :={(a1, . . . , an)∈AnK : ai∈k}

se llamar´a el conjunto de puntosk-racionales de AnK. El grupo de GaloisGk :=

Gal(K/k)act´ua sobreAn_Kmediante

(19)

para σ ∈ Gk y P = (a1, . . . , an) ∈ An_K. Se sigue que el conjunto de puntos k

-racionalesAnK(k)se puede caracterizar por

AnK(k) =subconjunto deAnKinvariante bajo la acci´on deGk

={P ∈_An_K : Pσ =P para todoσ ∈Gk}.

SiV es una variedad af´ın yk⊆Kes un subcampo, diremos queV está definida sobreksi su idealI(V)puede ser generado por polinomios con coeficientes enk. Usaremos la notaciónV /kpara indicar queV está definida sobrek. Nótese que aún cuandoV esté definida sobrek, el conjunto de puntos deV está, en general, enAn_K,

i.e., los polinomios que definen aV pueden tener (y, en general, tienen) ceros enK

fuera dek. Engeometr´ıa diofantinauno de los problemas b´asicos es la descripci´on del conjunto depuntosk-racionalesde la variedadV que se define por

V(k) :=V ∩AnK(k).

N´otese que sif ∈k[x1, . . . , xn]⊆K[x1, . . . , xn]y siP ∈AnK, entonces para

todoσ ∈Gkse tiene quef(Pσ) =f(P)σy por lo tanto, siV est´a definida sobrek

la acci´on deGkenAnKinduce una acci´on enV y se tiene que

V(k) :=puntos deV invariantes bajo la acci´on del grupo de GaloisGk

={P ∈V : Pσ =P para todoσ ∈Gk}.

Ejemplo10. SeaV el conjunto algebraico enA2Kdado por el polinomiox2−y2 = 1.

Observe que como los coeficientes de este polinomio son±1, entoncesV est´a de-finido sobre cualquier subcampo k de K. Ahora, si suponemos que carK 6= 2, entonces se tiene la biyecci´on

A1K(k)− {0} −→V(k) dada por t7→ t2+ 1 2t , t2−1 2t .

Ejemplo11. Recordemos que la conjetura de Fermat (ahora teorema por Wiles) ase-gura que, paran≥3, las únicas soluciones enteras dexn+yn=znson las triviales, i.e., aquellas conxyz = 0. Si ahora deshomogeneizamos esta ecuación dividiendo entrez 6= 0y ponemosX = x/z,Y = y/z, en la ecuación af´ın correspondiente

Xn+Yn = 1se buscan ahora soluciones con coordenadas racionales, enQ, y si V es la variedad definida por este polinomio, la conjetura de Fermat asegura en este caso, que las ´unicas soluciones son, paran≥3:

V(Q) = (

{(1,0),(0,1)} paranimpar, {(±1,0),(0,±1)} paranpar.

(20)

Ejercicios

EJERCICIO 1. Sea K un campo algebraicamente cerrado y suponga que f, g ∈ K[x, y]son dos polinomios coprimos. Demuestre queV{f, g} = V(f)∩V(g)es un conjunto finito.Sugerencia: Muestre primero quef, g son coprimos en el DIP

K(x)[y]y luego exprese su máximo común divisor como combinación lineal def

y g; después eliminando denominadores muestre que existen h ∈ K[x] y a, b ∈ K[x, y]tales queh=af+bg. Concluya que hay sólo un número finito de valores posibles de la coordenadaxde los puntos deV(f, g).

EJERCICIO 2. SeaK un campo algebraicamente cerrado. Demuestre que los sub-conjuntos irreducibles del planoA2Kson:A2K,∅, puntos y curvas irreduciblesV(f),

dondef es un polinomio irreducible tal queV(f)es infinito.

EJERCICIO3. SiJ ⊆K[x1, . . . , xn]es un ideal, la inclusi´onJ ⊆ I(V(J))de 1.4

puede ser estricta, por ejemplo si el campo baseK no es algebraicamente cerrado. Un ejemplo t´ıpico ser´ıa con K = R y f(x) = x2 + 1 ∈ R[x]tomando J = hx2+ 1i ⊆_R[x]. Muestre queI(V(J)) =R[x].

EJERCICIO4. A´un cuandoKsea algebraicamente cerrado, la inclusi´onJ ⊆I(V(J))

de 1.4 puede ser estricta. Muestre que para el polinomio f(x) = x ∈ _C[x] si

J =hf2i=hx2i ⊆C[x]se tiene queJ I(V(J)).

EJERCICIO5. SeaJ =hxy, xz, yzi ⊆K[x, y, z]. IdentifiqueV(J)⊆_A3

K.

¿Es irreducible?

¿C´omo es la inclusi´onJ ⊆I(V(J))? EJERCICIO6. SeaJ =hxy,(x−y)zi.

IdentifiqueV(J). Calcule√J.

EJERCICIO7. SeaKalgebraicamente cerrado. Demuestre que todaK-´algebra fini-tamente generada es isomorfa a un cocienteK[x1, . . . , xn]/I.

EJERCICIO8. Demuestre que un espacio topol´ogico irreducible es conexo. Sin em-bargo, se puede tener un espacio conexo que no es irreducible. Por ejemplo enA2_K

el conjuntoV(xy) es la uni´on de los ejes coordenados, que es conexo, pero no es irreducible.

EJERCICIO 9. Si V ⊆ AnK es algebraico af´ın, demuestre que es disconexo si y

s´olo si existen idealesI, J ⊆ K[x1, . . . , xn]tales que I ∩J = I(V) e I +J = K[x1, . . . , xn].

(21)

EJERCICIO10. Demuestre que en un espacio topol´ogico Hausdorff los puntos son los ´unicos subconjuntos irreducibles.

EJERCICIO11. Demuestre que un espacio topol´ogico Hausdorff es noetheriano si y s´olo si es finito.

EJERCICIO 12. Sea ρ : K[x1, . . . , xn] K[V] = K[x1, . . . , xn]/I(V) el

epi-morfismo can´onico. Muestre que, bajo la biyecci´on inducida porρentre ideales de

K[V]e ideales deK[x1, . . . , xn]que contienen aI(V), se tiene que ideales

radi-cales corresponden a ideales radiradi-cales, e ideales m´aximos corresponden a ideales m´aximos.

EJERCICIO13. SeaV ⊆An_K un conjunto algebraico af´ın. Sif ∈K[V]se define D(f) :={a∈V : f(a)6= 0}=V −Vhfi.

Demuestre:

D(f)⊆D(g)⇔V(f)⊇V(g)⇔√f ⊆√g.

D(f g) =D(f)∩D(g).

D(fn) =D(f).

Los conjuntosD(f)forman una base de la topolog´ıa de Zariski enV. De hecho, todo abierto deV es una uni´on finita de abiertos de la forma

D(f).

D(f) =∅si y s´olo sif es nilpotente.

D(f)es denso enV si y s´olo si para todog∈K[V]no nilpotente se tiene quef gno es nilpotente.

D(f)es denso enV si y s´olo sif no es un divisor de cero enK[V]. EJERCICIO14. Demuestre que los subconjuntos cerrados deV est´an en correspon-dencia biun´ıvoca con los ideales radicales deK[V].

EJERCICIO 15. SiV ⊆ AnK es una variedad af´ın, una subvariedadde V es

sub-conjunto af´ın irreducible W ⊆ An_K tal que W ⊆ V. Demuestre que existe una

correspondencia biun´ıvoca entre la familia de subvariedades deV y el conjunto de ideales primos deK[V].

EJERCICIO16. Descomponga el conjunto af´ınV(x2−yz, xz −x) ⊆ _A3

K en sus

componentes irreducibles.

EJERCICIO17. Muestre que lac´ubica alabeada{(t, t2, t3)∈_A3

K : t∈K} ⊆A3K

es un conjunto algebraico af´ın. Grafique este curva enA3_Rpara visualizar por qu´e se

dice que es alabeada (combada o torcida).

EJERCICIO18. Muestre que el conjunto{(r, θ) ∈ _A2

K : r = senθ}, con(r, θ)

coordenadas polares, es algebraico af´ın.

EJERCICIO 19. Muestre que el conjunto {(x, y) ∈ A2_K : y = senx} no es

(22)

EJERCICIO 20. Demuestre que toda variedad af´ın es compacta. (De hecho, casi-compacta, porque no es Hausdorff).

EJERCICIO21. Muestre que la par´abolaC=V(y−x2)⊆A2_Ces irreducible.

EJERCICIO22. DescompongaC = V(y4₋_x2_{, y}4₋_x2_y2 ₊_xy2₋_x3₎ _⊆ A2_C en

sus componentes irreducibles.

EJERCICIO23. Generalizando el ejercicio 17, muestre que el conjunto

V ={(t, t2, . . . , tn)∈_An

K : t∈K} ⊆A3K

es una variedad af´ın.

EJERCICIO24. Muestre queV =V(x2−y3, y2−z3)⊆A3_K es irreducible.

1.2. El teorema de los ceros de Hilbert

Despu´es de definir subconjuntos algebraicos afinesV(I) ⊆ AnK, para un ideal

propioI $K[x1, . . . , xn], lo primero que ten´ıamos que garantizar es que estos

con-juntos no son vac´ıos. Como mencionamos oportunamente, ésto es parte del teorema de los ceros de Hilbert (la partedébil), y después, para probar la biyectividad de la correspondencia en 1.4 {subconjuntos algebraicos deAn} I _/_/ {ideales radicales deK[x1, . . . , xn]} V o o

se requer´ıa queIV(J) = √J, lo cual también es parte del teorema de Hilbert que a continuación probaremos, aceptando por el momento un lema de Zariski sobre extensiones de campos, mismo que probaremos inmediatamente después, cuando ya se hayan introducido los preliminares correspondientes:

TEOREMA 1.15 (Teorema de los ceros de Hilbert). SeaK un campo algebraica-mente cerrado. Entonces,

(1)Todo ideal m´aximomdel anillo de polinomiosK[x1, . . . , xn]es de la forma

m=hx1−a1, . . . , xn−ani, con losaj ∈K.

(2)Para todo ideal propioI $K[x1, . . . , xn]se tiene queV(I)6=∅.

(3)Para todo idealI ⊆K[x1, . . . , xn]se tiene queI(V(I)) = √

I.

Demostraci´on.(1) Para comenzar, los idealeshx1−a1, . . . , xn−anison m´aximos

ya que

K[x1, . . . , xn]/hx1−a1, . . . , xn−ani 'K

porque mediante una traslaci´on podemos suponer que los ai = 0 y entonces el

(23)

su término constante y por lo tanto su núcleo lo forman los polinomios sin término constante, i.e., los polinomios divisibles por algúnxi, i.e., el núcleo eshx1, . . . , xni

y as´ı por el primer teorema de isomorfismo de Noether se tiene el isomorfismo deseado. Supongamos ahora quem⊆K[x1, . . . , xn]es un ideal m´aximo.

Conside-re entonces la composici´on de morfismos

ϕ:K ,→K[x1, . . . , xn]K[x1, . . . , xn]/m=:A

dondeAes un campo porquemes máximo. Más aún, laK-álgebraAes finitamente generada (por las clases residuales xi +m) y como es un campo, por el lema de

Zariski se sigue queAes algebraico sobreK, y comoKes algebraicamente cerrado entonces se tiene queϕ:K 'A. Para cadaxi+m∈Ase tiene as´ı un ´unicoai ∈K

tal queϕ(ai) =xi+m. Es decir,xi−ai ∈my por lo tantohx1−a1, . . . , xn−ani ⊆

m. Pero como comohx1−a1, . . . , xn−anies m´aximo, entonces se tiene la igualdad hx1−a1, . . . , xn−ani=m, como se quer´ıa.

Note ahora que (2) se sigue de (1) porque comoIes propio, entonces est´a conte-nido en un ideal m´aximo, que por (1) es de la formahx1−a1, . . . , xn−ani, es decir, I ⊆ hx1−a1, . . . , xn−ani. Entonces, por 1.1 se sigue queVhx1−a1, . . . , xn− ani ⊆V(I). Pero es claro que

Vhx1−a1, . . . , xn−ani={(a1, . . . , an)}

y por lo tantoV(I)contiene al punto(a1, . . . , an).

Mostraremos ahora que (3) se sigue de (2). Para comenzar, √I ⊆ I(V(I))

porque sif ∈√I, entoncesfm _∈_I_{para alg´un}_m_{, y por lo tanto para todo}_P _∈_V₍_I₎

se tiene que fm(P) = 0 y consecuentemente f(P) = 0, i.e., f ∈ IV(I). Para la inclusi´on rec´ıproca, seaf ∈ IV(I)y escribamos I = hh1, . . . , hri. Queremos

mostrar que fm ∈ I para alg´un m. Para hacer ´esto, considere el anillo Af := K[x1, . . . , xn]fobtenido al invertirfen el anilloA:=K[x1, . . . , xn]y el morfismo

de localizaci´onA→Af. Mostraremos que el idealIAf generado por la imagen de I en el anillo Af es todo Af, i.e, mostraremos que1 ∈ Af. Una vez probado lo

anterior, note que podemos escribir

1 =X

i

gihi/fm (escogiendo un denominador com´un)

y consecuentemente fm = P

igihi ∈ I = hh1, . . . , hri, como se quer´ıa. Basta

entonces probar queIAf =Af. Ahora, por el((truco))de Rabinowitsch, vea 1.26: Af 'A[t]/hf t−1i=K[x1, . . . , xn, t]/hf t−1i,

y por lo tanto

IAf 'IK[x1, . . . , xn, t]/hf t−1i=hI, f t−1i/hf t−1i

y as´ı debemos mostrar que el1∈Af est´a en el ideal

(24)

y usando la parte (2) basta mostrar que V(If) = ∅ en AnK+1, y para esto ´ultimo

observe que(a1, . . . , an, b) ∈ V(If)si y s´olo si los generadoreshi deI se anulan

en el puntoP = (a1, . . . , an)(ya que loshi no contienen la variable t), es decir, P ∈V(I), y comof ∈ IV(I), entoncesf se anula en P. Ahora, comof t−1se anula en el punto(P, b), i.e.,0 = (f t−1)(P, b) =f(P)b−1, entoncesbf(P) = 1. Pero esta ´ultima igualdad dice quef(P) 6= 0, en contradicci´on con el hecho de quef se anula enP. Se sigue queV(If) = ∅ y por la parte (2) esto implica que

If =h1i, como se quer´ıa.

En la demostración del teorema de los ceros de Hilbert usamos un lema de Zariski que a continuación probaremos, después de unos preliminares algebraicos, y también demostramos el lema de Rabinowitsh 1.26.

Algebras finitas y de tipo finito. Integridad.SeanA⊆Banillos de tal forma que

Bes unaA-´algebra.

Diremos queBes unaA-´algebra finitasiBes finitamente generado como

A-m´odulo, i.e., si existenα1, . . . , αn ∈ B tales que todo b ∈ B es una

combinaci´on lineal de losαicon coeficientes enA: b=a1α1+· · ·+anαn con losai∈A.

Diremos queB es detipo finitosobre Asi existenα1, . . . , αn ∈ B tales

que todo elementob∈Bes un polinomio en losαicon coeficientes enA,

i.e., existe un polinomiof ∈A[x1, . . . , xn]tal queb=f(α1, . . . , αn).

Sib∈B, diremos quebesentero sobreAsi existe unpolinomio m´onico φ(x) =xm+am1x

m−1

+· · ·+a1x+a0 ∈A[x]

tal queφ(b) = 0.

Diremos queB esenterosobreAsi todo elemento deB es entero sobre

A.

Claramente todaA-álgebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondiente es de primer gradof = a1x1+· · ·+anxn. También,B es unaA-álgebra de tipo

finito si y s´olo si existe un epimorfismo deA-´algebras

ϕ:A[x1, . . . , xn]B

sencillamente definiendoαi =ϕ(xi).

Ejemplo12. SiA⊆B son anillos, todo elementoαdeAes entero sobreAya que es ra´ız del polinomio m´onicox−α∈A[x].

Ejemplo13. ParaZ⊆Q, los racionalesr/s∈Qque son enteros son los elementos

(25)

y como se tiene una igualdad de la forma an bn +rn−1 an−1 bn−1 +· · ·+r1 a b +r0 = 0 conri ∈Z

multiplicando porbnqueda

an+rn−1an−1b+· · ·+r1abn−1+r0bn= 0

de donde se sigue quebdivide aany comomcd(a, b) = 1entoncesb|apero siendo coprimos ´esto s´olo es posible sib=±1y por lo tantoa/b∈Z, como se quer´ıa.

LEMA1.16. SeanA⊆Banillos yα∈B. Son equivalentes:

(1)αes entero sobreA.

(2)El subanilloA[α]⊆Bes finitamente generado comoA-m´odulo.

(3) Existe un subanillo C con A ⊆ C ⊆ B tal que α ∈ C y C es finitamente generado comoA-m´odulo.

Demostraci´on.(1)⇒(2): Comoαes entero sobreAse tiene que

αn=−(an−1αn−1+· · ·+a1α+a0)∈ h1, α, . . . , αn−1i

y por lo tanto

αn+1 =−an−1αn−(an−2αn−1+· · ·+a1α2+a0α)∈ h1, α, . . . , αn−1i

y por inducci´on, para todok≥0:

αn+k=−(an−1αn+k−1+· · ·+a1αk+1+a0αk)∈ h1, α, . . . , αn−1i

de donde se sigue que todas las potencias αt con t ≥ 0 est´an el el A-m´odulo

h1, α, . . . , αn−1iy como estas potencias generanA[α], entonces ´este es unA -m´odu-lo finitamente generado.

(2)⇒(3): SeaC =A[α].

(3)⇒ (1): Seay1, . . . , yn un conjunto de generadores deC como A-m´odulo, i.e., C =Ay1+· · ·+Ayn. Comoα∈C, losyi ∈CyCes un anillo entoncesαyi∈C

y escribiendo estos elementos en t´erminos de los generadoresyideC: αyi =ai1y1+· · ·+ainyn con losaij ∈A

y la igualdad anterior se puede escribir como

n X

j=1

δijα−aij

yj = 0 con1≤i≤nyδij una delta de Kronecker

el cual es un sistema de necuaciones lineales homog´eneas en y1, . . . , yn. Por la

regla de Cramer se tiene quedet(δijα−aij)·yi = 0para todoi, y comoCest´a

(26)

quedet(δijα−aij) ·1 = 0, i.e., det(δijα−aij) = 0. Finalmente,

desarrollan-do el determinantedet(δijx−aij)(poniendo la indeterminadaxen lugar deα) se

obtiene un polinomio con coeficientes enAque se anula enαy este polinomio es m´onico porque el t´ermino de gradoxnproviene del producto de los elementos de la diagonal principal(x−a11)· · ·(x−ann). Se sigue queαes entero sobreA.

COROLARIO1.17. SiA ⊆B son anillos yα1,· · ·, αn ∈ B son enteros sobreA, entoncesA[α1, . . . , αn]es unA-m´odulo finitamente generado.

Demostraci´on.Inducci´on sobren. COROLARIO1.18. SiA⊆B son anillos yα, β∈Bson enteros sobreA, entonces α±β yαβson enteros sobreA.

Demostraci´on.Por el corolario anteriorA[α, β]es finitamente generado sobreAy comoα±β yαβest´an enA[α, β], por la parte (3) del lema anterior se sigue que

son enteros sobreA.

COROLARIO1.19. SiA ⊆B son anillos yA:={α ∈B : αes entero sobreA}, entoncesAes un anillo yA⊆A⊆B.

Demostraci´on.Directo del corolario anterior. El anillo A se llama lacerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que

Aesintegralmente cerrado enB. SiA es un dominio entero yK es su campo de fracciones,Ase llama lacerradura enteradeAy siAes integralmente cerrado en su campo de fracciones, se dice queAesintegralmente cerrado.

Ejemplo14. Todo dominio de factorización única (DFU) es integralmente cerrado. Note que ésto generaliza el ejemplo 13 y la demostración es similar: si A es un DFU con campo de fraccionesK y si a/b ∈ K es entero sobre A, si suponemos quea/b6∈A, entonces existe un elemento irreduciblep∈Atal quep|bperop-a.

Por otra parte, comoa/bes entero sobreAse tiene una ecuaci´on polinomial

(a/b)n+cn−1(a/b)n−1+· · ·+c1(a/b) +c0 conci∈A.

Multiplicando porbnse obtiene la ecuaci´on

an+cn−1an−1b+· · ·+c1abn−1+c0bn= 0

donde p divide a cada término de la izquierda excepto a lo más a an y as´ı debe dividir aany como es irreducible debe dividir aa, lo cual es una contradicción. COROLARIO1.20. SiA⊆Bson anillos, son equivalentes:

(1)Bes unaA-´algebra finita.

(27)

Demostración.(1) ⇒ (2): Toda A-álgebra finita es de tipo finito. Más aún, como

B es finitamente generado comoA-m´odulo, por la parte (3) del lema anteriorB es entera sobreA.

(2)⇒ (1): Por hip´otesis existenα1, . . . , αn ∈ B tales queB = A[α1, . . . , αn], y

como losαi son enteros sobre A, entonces por el lema anterior (de hecho, por el

corolario 1.17)B=A[α1, . . . , αn]es unA-m´odulo finitamente generado.

PROPOSICION´ 1.21. SeanAun dominio entero con campo de fraccionesKyLes un campo que contiene a K. Siα ∈ Les algebraico sobreK, entonces existe un d∈Atal quedαes entero sobreA.

Demostraci´on.Como es algebraicoαsatisface una ecuaci´on polinomial

αm+am−1αm−1+· · ·+a1α+a0 = 0 con losai∈K.

Seadel com´un denominador de losaide tal forma quedai ∈Ay multipliquemos

la igualdad anterior pordm_{para obtener}

dmαm+am−1dmαm−1+· · ·+a1dmα+a0dm = 0

que se puede reescribir como

(dα)m+am−1d(dα)m−1+· · ·+a1dm−1(dα) +a0dm= 0

donde los coeficientes am−1d, . . . , a1dm−1, a0dm ∈ A y as´ı la igualdad anterior

muestra que dαes ra´ız de un polinomio m´onico con coeficientes enA, i.e.,dαes

entero sobreA.

COROLARIO1.22 (Zariski). SiK ⊆Lson campos conLde tipo finito, entonces L/K es una extensión algebraica y por lo tantoL/Kes una extensión finita. Demostración.Por hipótesis existenα1, . . . , αn∈Ltales queL =K[α1, . . . , αn]

y los elementos de Lson polinomios en los αi con coeficientes en K. Entonces,

basta mostrar que todos losαi son algebraicos sobreK. Supongamos que ´esto no

es as´ı y que algunos de losαi son trascendentes sobreK. Sin perder generalidad,

supongamos queα1 es trascendente sobreK y que el resultado es v´alido para

ex-tensiones de tipo finito con< ngeneradores. Ahora, comoα1es trascendente sobre

K,K[α1]es un anillo polinomial sobreKy su campo de fraccionesK(α1) ⊆L.

Claramente L es de tipo finito sobre K(α1) y est´a generado por los α2, . . ., αn

y as´ı, por hipótesis de inducción la extensiónL/K(α1) es algebraica; en

particu-lar, para 2 ≤ i ≤ n todos los αi son algebraicos sobre K(α1). Por 1.21, existe

un d ∈ K[α1]tal que dαi es entero sobre K[α1], para todoi ≥ 2. Entonces,

pa-ra cualquierf ∈ L = K[α1, . . . , αn]existe un N suficientemente grande tal que dNf ∈ K[α1, dα2, . . . , dαn] y as´ı, por 1.16 ´o 1.18, se sigue que dNf es entero

(28)

arbitrario, se tiene quedNf es entero sobreK[α1]y este ´ultimo es un dominio

en-tero y as´ı, por el ejemplo 14 es integralmente cerrado, es decir,dNf ∈ K[α1]. Se

sigue que

K(α1) = [

N

d−NK[α1]

lo cual es absurdo porqueK[α1]'K[x]es un anillo de polinomios sobre un campo

y por lo tanto tiene un n´umero infinito de m´onicos irreducibles (por el argumento de Euclides) que pueden ocurrir como denominadores de los elementos deK(α1).

Se sigue quen= 0, como se quer´ıa.

Localización.Una técnica usual al estudiar objetos geométricos es la de concentrar-se cerca de un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geométricas se pueden deducir de este procesolocalizado. Similarmente, en teor´ıa de números al estudiar congruencias, por ejemplo, módulo un enteron, factorizando el entero

ncomo producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estas congruencias módulo un primopo potenciaspr _{de este primo. Este proceso de} lo-calizacióntiene gran importancia, no sólo en geometr´ıa y teor´ıa de números, sino en el álgebra en general y en otras ramas de la matemática. En esta sección se algebriza el proceso de localización generalizando la construcción del campo de los números racionales a partir del dominio enteroZ.

Anillos de fracciones.SiAes un anillo yS⊆Aes unsubconjunto multiplicativo, i.e.,1 ∈ S ya, b ∈ S implica queab ∈ S, se define la relaci´on (que resulta de equivalencia, como se verificar´a en el ejercicio 25) enA×Smediante(a, s)∼(b, t)

⇔existeu∈Stal queu(at−bs) = 0. En el conjunto cocienteS−1A:=A×S/∼

denotamos a la clase de equivalencia de(a, s)como[a, s]o comoa/sy se definen las operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos deQ:

a s + b t := at+bs st y a s b t := ab st

y resulta que, para comenzar, están bien definidas, y hacen deS−1Aun anillo con-mutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es0/s, para cualquiers ∈ S y el uno es s/s, para cualquier s ∈ S. Más aún, se tiene un morfismo de anillos

ϕ:A→ S−1Adado porϕ(a) := a/1, al que se llama elmorfismo can´onico, que en general no es inyectivo. Al anilloS−1Ase le conoce como elanillo de fracciones

deAcon respecto aS.

Ejemplo15. La construcción anterior generaliza la construcción del campo de núme-ros racionalesQa partir del dominio enteroZ, dondeS =Z− {0}. De hecho, en

general, siAes un dominio entero yS =A− {0}, entoncesS es un subconjunto multiplicativo yS−1A =: K(A)resulta un campo al que se le llama elcampo de fraccionesdeA. En este caso, el morfismoϕ:A→K(A)es inyectivo.

(29)

Las primeras propiedades del anilloS−1Ason:

LEMA1.23. SiS ⊆Aes cualquier conjunto multiplicativo yϕ:A→S−1Aes el morfismo can´onico, entonces:

(1)s∈S⇒ϕ(s)es unidad deS−1A, i.e.,ϕ(S)⊆ S−1A∗ .

(2)ϕ(a) = 0⇔as= 0para alg´uns∈S. En otras palabras,

kerϕ={a∈A : existes∈Stal quesa= 0}.

(3)Todoa/s∈S−1Aes de la formaϕ(b)ϕ(t)−1, parab∈A,t∈S.

Demostración.Sólo probaremos (1). En este caso note que sis∈Sentonces1/s∈ S−1Ay se tiene queϕ(s)·(1/s) = (s/1)(1/s) =s/s= 1. De hecho, el anilloS−1Ajunto con el morfismo canónicoϕ:A→S−1Aestán determinados por la propiedad (1) del lema anterior:

TEOREMA1.24 (Propiedad universal del anillo de fracciones). Seaϕ:A→S−1A el morfismo can´onico. Sif :A →B es cualquier otro morfismo de anillos tal que f(S) ⊆ B∗, entonces existe un ´unico morfismo de anillosfˆ:S−1A → B tal que el diagrama siguiente conmuta:

A ϕ f _/_/ B S−1A ˆ f < <

Demostraci´on.Los elementos deS−1Ason clases de equivalencia de la formaa/s

y escogiendo un representante(a, s)∈a/sponemosfˆ(a/s) :=f(a)f(s)−1, recor-dando que por hip´otesisf(s)∈B∗y por lo tantof(s)−1 ∈B. Observe ahora que si

(a0, s0)∈a/ses otro representante, entonces existeu∈Stal queu(as0−a0s) = 0, y aplicando f a esta igualdad se obtiene que f(u)(f(a)f(s0)−f(a0)f(s)) = 0

donde f(u) ∈ B∗ por lo que f(a)f(s0) = f(a0)f(s) con f(s), f(s0) ∈ B∗ y as´ıf(a)f(s)−1 =f(a0)f(s0)−1, y consecuentementefˆes una funci´on. Claramente es un morfismo porquef lo es, y sia∈Aentonces

ˆ

f(ϕ(a)) = ˆf(a/1) =f(a)f(1)−1=f(a),

i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora queg :S−1A → B es otro morfismo tal queg◦ϕ=f. Para mostrar quefˆ=g, seaa/s∈ S−1Aarbitarrio. Escribiendoa/s= (a/1)(1/s)enS−1A, notamos queg(a/1) =g(ϕ(a)) =f(a)

yg(1/s) =g (s/1)−1=g ϕ(s)−1= g◦ϕ(s)−1=f(s)−1y as´ı

g(a/s) =g(a/1)g(1/s) =f(a)f(s)−1 = ˆf(a/s).

(30)

Como una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior deter-minanS−1Asalvo isomorfismo:

COROLARIO1.25. SiS ⊆Aes un subconjunto multiplicativo yf :A →B es un morfismo de anillos tal que

(1) f(S)⊆B∗.

(2) f(a) = 0⇒existes∈Stal queas= 0.

(3) Todob∈Bes de la formaf(a)f(s)−1, cona∈A,s∈S.

Entonces, existe un ´unico isomorfismofˆ:S−1A→Btal que el diagrama siguiente conmuta: A ϕ f _/_/ B S−1A ˆ f ' < <

Demostraci´on.La t´ıpica de objetos que satisfacen propiedades universales.

Ejemplo16. Sip⊆Aes un ideal primo, entoncesS =A−pes multiplicativo. Se suele usar la notaci´on

Ap:=S−1A.

Note queAes un dominio entero si y s´olo si el ideal0⊆Aes primo. Por lo tanto

A0 =K(A)es el campo de fracciones deA.

Ejemplo17. Sif ∈Ano es cero yS ={fn : n≥0}, entoncesSes multiplicati-vo. Usaremos la notaci´onAf :=S−1A.

LEMA1.26 (Rabinowitsch). Sif ∈AyAf es la localizaci´on deAcon respecto al conjunto multiplicativoS ={fn; n≥0}, entonces la funci´on

A[t]/hf t−1i −→Af

dada porantn+· · ·+a1t+a0 7→an/fn+· · ·+a1/f +a0es un isomorfismo. Demostraci´on.Sif = 0ambos anillos son cero y as´ı podemos suponer quef 6= 0. Ahora, en el anilloA[t]/hf t−1i se tiene que1 = f t, donde denotamos con el mismo s´ımbolo t a la clase de t en el cociente, y por lo tanto f es una unidad. Seaφ : A → B cualquier morfismo de anillos tal queφ(f) sea una unidad enB. Entonces,φse extiende a un morfismo

X aiti 7→

X

φ(ai)φ(f)−i :A[t]→B

(31)

A φ _/_/ B A[t] 9 9 A[t]/hf t−1i B B

porquef t−17→φ(f)φ(f)−1−1 = 1−1 = 0, y comoφ(f)es una unidad enBeste morfismo que extiendeφ:A→BaA[t]/hf t−1ies ´unico con esta propiedad. Se sigue que este cociente tiene la propiedad universal deAfy por lo tanto es isomorfo

aAf por medio de un isomorfismo que fija aAy mandataf−1.

Ejercicios

EJERCICIO25. Verifique que la relaci´on usada para definir el anillo de fracciones

S−1A es, en efecto, de equivalencia. Compruebe tambi´en que las operaciones de suma y producto enS−1Aest´an bien definidas y hacen deS−1Aun anillo conmu-tativo con uno.

EJERCICIO26. Demuestre que un ideal radicalI ⊆K[x1, . . . , xn]es una

intersec-ci´on finita de ideales primosI =p1∩· · ·∩pr. Si no hay inclusiones entre los ideales

primospi, entonces ´estos est´an un´ıvocamente determinados.

EJERCICIO27. SeaI ⊆ K[x1, . . . , xn]un ideal yf ∈ K[x1, . . . , xn]. Demuestre

quef ∈ √I si y sólo si 1 ∈ hI, f t−1i, donde hI, f t−1i ⊆ K[x1, . . . , xn, t]. Sugerencia: vea cómo se usó el ((truco)) de Rabinowitsch en la demostración del teorema de los ceros de Hilbert.

EJERCICIO28. Use el teorema de los ceros para probar que el radical de un ideal

I ⊆K[x1, . . . , xn]es la intersecci´on de los ideales m´aximos que lo contienen.

EJERCICIO29. SeaI ⊆Aun ideal. Demuestre queIes radical si y sólo siA/Ies un anillo reducido (i.e., no tiene nilpotentes diferentes de cero). SiI, J son ideales radicales deA, demuestre queI ∩J es radical. Sin embargo,I +J no tiene por qué ser radical. Muestre que paraI =hy−x2iyJ =hy+x2i, ambos son ideales primos deK[x, y], y por lo tanto son ideales radicales, peroI+J no es radical. De hecho, muestre que√I+J =hx, yi. Dibuje (o imagine) la situación geométrica, es decir, considere las variedades afines asociadas.

EJERCICIO30 SiV, V0 ⊆_An

Kson subconjuntos algebraicos afines, demuestre que

I(V∩V0) =pI(V) +I(V0₎_._Sugerencia_:_V_∩_V0_{es mayor subconjunto algebraico}

(32)

EJERCICIO31. Demuestre que, para un polinomiof ∈K[x], el idealhfies radical si y s´olo si f es libre de cuadrados (i.e., en su factorizaci´on como producto de polinomios irreducibles no aparencen factores repetidos).

EJERCICIO 32. Si V = V(x2, xy2), calcule I(V) y muestre que es el radical de

hx2, xy2i.

EJERCICIO33. Usando queK[x, y]es un DFU, muestre que los ideales primos de

K[x, y]son de la forma: (i) h0i.

(ii) hf(x, y)i, conf ∈K[x, y]irreducible. (iii) hx−a, y−bi, cona, b∈K.

Vea el ejercicio 2 de§1.1

1.3. Morfismos entre variedades afines

Ya que hemos definido variedades algebraicas afines, para poder compararlas necesitamos definirmorfismos entre ellas, donde la idea es pensar a un morfismo como una función definida por polinomios o cocientes de ellos. Para formalizar ésto comenzamos definiendo lasfunciones regularesen una variedad af´ın, análogas a las funciones holomorfas en una superficie de Riemann.

Aplicaciones polinomiales.Si V ⊆ _An

K y W ⊆ AmK son conjuntos algebraicos

afines, una funci´onf :V →W se dice que es unaaplicaci´on polinomialsi existen polinomiosf1, . . . , fm ∈K[x1, . . . , xn]tales que para todo puntoP ∈V se tiene

que

f(P) = f1(P), . . . , fm(P)

.

Observe que siW = A1K = K, la noción de aplicación polinomialf :V → W = K coincide con la noción de función polinomial en V del ejercicio 34, o equivalentemente con los elementos del anillo de coordenadasK[V]vistos como funcionesV →K.

PROPOSICION´ 1.27. SeanV ⊆ An_K,W ⊆ Am_K conjuntos afines. Denotemos con K[x1, . . . , xn]yK[y1, . . . , ym]a los anillos polinomiales correspondientes. Enton-ces, una funciónf :V →W es una aplicación polinomial si y sólo siyj◦f ∈K[V], para todas las funciones coordenadasyj ∈K[W](del ejemplo 8):

V f // fjHHHH_H_$_$ H H H H H W ⊆_Am K yj K

(33)

Demostración. Si f está dada por (f1, . . . , fm), entonces la composición yj ◦ f

calculada en un puntoP esyj ◦f(P) = yj(f1(P), . . . , fm(P)) = fj(P)la cual

es una funci´on polinomial porquefj lo es y as´ıyj◦f ∈K[V]. Rec´ıprocamente, si f = (f1, . . . , fm)y suponemos queyj◦f =fj ∈ K[V] = K[x1, . . . , xn]/I(V)

para todaj, entonces existenFj ∈K[x1, . . . , xn]tales quefj ≡Fj (m´od I(V))

y por lo tanto para todoP ∈V se tiene quefj(P) =Fj(P)y as´ıf = (F1, . . . , Fm)

con cadaFiun polinomio y as´ıf es polinomial. Ejemplo18. Para la curva af´ınC = V(y2−x3−x2) ⊆ A2_R(la c´ubica nodal), la

funci´on

f :A1_R=R→C⊆A2_R

-f A1_R C

dada porf(t) = (t2−1, t3−t)es una aplicación polinomial. Claramente está dada por polinomios y sólo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, lo cual es un cálculo directo. Note quef es inyectiva enA1_R− {±1}y quef(−1) =

(0,0) = f(1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en el origen y en el cap´ıtulo 3 se explicar´a esta terminolog´ıa).

Lacomposici´on de aplicaciones polinomialesse define en forma natural como sigue: siV ⊆ _An

K,W ⊆ AmK,U ⊆ ArK son conjuntos afines y sif :V → W y g : W → U son aplicaciones polinomiales, entonces la composici´on de funciones usual

g◦f :V →U

es polinomial ya que si f = (f1, . . . , fm) con los fi ∈ K[x1, . . . , xn]y si g =

(g1, . . . , gr)con losgj ∈K[y1, . . . , ym], entoncesg◦fest´a dada por los polinomios g1(f1, . . . , fm), . . . , gr(f1, . . . , fm)∈K[x1, . . . , xn].

Claramente la identidad idV : V → V es una aplicaci´on polinomial. Hemos

as´ı mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entre ellas forman una categor´ıa y as´ı podemos definir el que una aplicaci´on polinomial

(34)

f : V → W entre conjuntos afines sea unisomorfismo pidiendo que exista una aplicaci´on polinomialg:W →V tal quef◦g= idW yg◦f = idV. El resultado

siguiente relaciona la categor´ıa anterior con una categor´ıa algebraica: TEOREMA1.28. SeanV ⊆_An

K,W ⊆AmK conjuntos afines.

(1) Una aplicaci´on polinomialf : V → W induce un morfismo de K-´algebras f∗:K[W]→K[V].

(2)Rec´ıprocamente, cualquier morfismo de K-álgebrasϕ:K[W]→ K[V]es de la formaϕ=f∗para una única aplicación polinomialf :V →W.

En otras palabras, se tiene una biyecci´on

{Aplicaciones polinomialesf :V →W} ↔HomK-´alg(K[W], K[V]) dada porf ↔f∗.

(3)La correspondencia anterior es contravariante, i.e., sif :V → W yg:W → U son aplicaciones polinomiales, entonces

(g◦f)∗ =f∗◦g∗.

Una consecuencia inmediata es quef :V → W es un isomofismo si y s´olo si f∗:K[W]→K[V]es un isomorfismo deK-´algebras.

Demostraci´on.(1): La funci´on polinomialf :V →W inducef∗:K[W]→K[V]

por medio de la composición con f, es decir, si g ∈ K[W]la vemos como una función g : W → K, entonces f∗(g) := g◦ f : V →f W →g K. Se prueba fácilmente quef∗ es unK-morfismo.

(2): Seanyj ∈K[W] =K[Y1, . . . , Ym]/I(V)las funciones coordenadas del

ejem-plo 8. Usando el morfismo dadoϕ :K[W]→ K[V]calcul´andolo en lasyj

obte-nemos queϕ(yj) ∈K[V]y ponemos entoncesfj :=ϕ(yj). Considere entonces la

funciónf :V →Am_K dada por lasfj, i.e.,f(P) = (f1(P), . . . , fm(P)). Como las fj son polinomiales entoncesf es una aplicación polinomial y sólo falta verificar

que su imagen est´a enW. Para ´esto, supongamos queg∈I(W)⊆K[Y1, . . . , Ym];

entonces

g(y1, . . . , ym) = 0∈K[W]

porqueg∈I(W). Se sigue que

ϕ(g(y1, . . . , ym)) = 0∈K[V]

porqueϕes morfismo. Pero comog tiene coeficientes enK y ϕesK-morfismo, entonces

0 =ϕ(g(y1, . . . , ym)) =g(ϕ(y1), . . . , ϕ(ym)) =g(f1, . . . , fm).

Ahora, las fi son funciones en V y g(f1, . . . , fm) ∈ K[V]es la funci´on P 7→ g(f1(P), . . . , fm(P)), la cual hemos visto que se anula para todo g ∈ I(W), y

(35)

comoW es el conjunto de ceros deI(W), se sigue que(f1(P), . . . , fm(P))∈W,

i.e.,f(P)∈W, como se quer´ıa.

Resta probar que para la aplicaci´on polinomial f anterior se tiene que f∗ =

ϕ:K[W]→K[V]. Para ´esto, basta verificarlo en los generadoresyi del dominio.

Ahora, comof = (f1, . . . , fm)y losfi =ϕ(yi), entonces f∗(yj) =yj ◦f =fj =ϕ(yj)

como se quer´ıa. En forma an´aloga se prueba quef es ´unica con la propiedad de que

f∗(yj) =ϕ(yj).

(3): Directo usando la asociatividad de la composici´on de funciones.

Ejemplo19. La aplicaci´on polinomialf : A1_R = R → C = V(y2−x3) dada por f(t) = (t2, t3)

-f A1_R C

no es un isomorfismo porque el morfismo deR-´algebras correspondiente f∗ :R[C] =R[x, y]/hy2−x3i −→R[t]

est´a dado porx7→t2_,_y_7→_t3_{, por lo que la imagen de}_f∗_{es la}

R-´algebra generada

port2, t3, i.e.,R[t2, t3]que no es todoR[t].

Este ejemplo nos sirve tambi´en para notar que a pesar de quef es una aplicaci´on polinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversag:C→A1_R

est´a dada por:

(x, y)7→ (

0 six=y= 0,

y/x six6= 0

que no es polinomial.

(36)

C⊆A2K π

A1K

?

la proyecci´onπ :C → A1_K en la primera coordenada:π(x, y) = x es polinomial

y su inversa es la parametrizaci´on de la par´abolaϕ : A1_K → C ⊆ A2_K dada por ϕ(t) = (t, t2). Claramenteϕes polinomial y es inversa deπ. El hecho de queϕ

es un isomorfismo tambi´en puede verse algebraicamente ya que el morfismo que induce en los anillos de coordenadas ϕ∗ : K[C] → K[A1_K]est´a dado mediante x7→tdondeK[C] =K[x, y]/hy−x2i 'K[x]yK[A1_K]'K[t].

El campo de funciones.SiV ⊆ An_K es una variedad af´ın (i.e., es un

subconjun-to algebraico af´ın irreducible), sabemos que el anillo de coordenadasK[V]es un dominio entero (por 1.12). Su campo de fracciones se llama elcampo de funciones

de la variedadV y se denota porK(V). Los elementos deK(V)se conocen como

funciones racionales en V. Por definici´on, los elementos deK(V) son cocientes

g/hcong, h ∈ K[V] yh 6= 0. Note que, en general, el cocienteg/hno es una funci´on en todoV porquehpuede tener ceros enV.

Una funci´on racionalf ∈K(V)se dice que esregularen un puntoP ∈V si existe una expresi´onf = g/hcong, h ∈ K[V]y conh(P) 6= 0. Diremos quef

esregular enU ⊆ V si lo es en todos los puntos deU. No est´a de m´as observar que el anilloK[V]no es un DFU en general, por lo que las expresionesf = g/h

no son ´unicas. Note que siP ∈ V es un punto regular de una funci´on racional

f ∈ K(V), entonces se puede definir el valor de f en P escribiendo f = g/h

cong, h ∈ K[V]yh(P) 6= 0por lo que este valor esf(P) = g(P)/h(P) ∈ K. Es claro que este valorf(P)no depende de la expresi´on def comog/hporque si

g0/h0 es otra tal expresi´on entoncesf =g/h=g0/h0 implica quegh0 =g0hy por lo tantog(P)h0(P) =g0(P)h(P)por lo queg(P)/h(P) =g0(P)/h0(P). Se sigue quef ∈ K(V)define una (verdadera) funci´on de un subconjuntodomf de V en

Kdado por

dom(f) ={P ∈V : fes regular enP}.

PROPOSICION´ 1.29. SeanV ⊆A_Kn una variedad af´ın yf ∈K(V).

(1)domfes abierto y denso en la topolog´ıa de Zariski.

(2)SiKes algebraicamente cerrado, entonces

(37)

Es decir,f es regular1en todoV si y s´olo sif es polinomial enV.

Demostraci´on.(1): Comof ∈K(V), entoncesf =g/hcong, h∈K[V]yh6= 0. As´ı,hf ∈K[V]. Se define elideal de denominadoresdefcomo

If :={h∈K[V] : hf ∈K[V]} ⊆K[V]

i.e., el conjunto de elementos h ∈ K[V]tales que existe una expresi´onf = g/h

uni´on{0}(ya que el elemento0no se puede poner en un cociente como denomina-dor). ClaramenteIf es un ideal deK[V]y observe ahora que

V −domf ={P ∈V : h(P) = 0para todoh∈If}=V(If)

y por lo tantoV −domf es un subconjunto algebraico af´ın contenido enV (al que se llama elconjunto de polosdef). Se sigue quedomf =V −V(If)es abierto y

domf 6=∅. ComoV es irreducible, por 1.6(3) se sigue quedomf es denso enV. (2): De la igualdaddomf =V −V(If)se sigue que

domf =V ⇔V(If) =∅ ⇔If =K[V]⇔1∈If ⇔f ∈K[V],

la segunda implicaci´on por el teorema de los ceros de Hilbert ya queKes

algebrai-camente cerrado.

El conjunto de funciones regulares en un puntoP ∈V

OV,P ={f ∈K(V) : f es regular enP}

es claramente un subanillo deK(V)porque la suma y producto de funciones regu-lares enP es regular enP.

PROPOSICION´ 1.30. OV,P es un anillo noetheriano local.

Demostraci´on.Sif ∈O_V,P hemos definido el valor def enPescribiendof =g/h

con h(P) 6= 0 y luego poniendo f(P) := g(P)/h(P). Hemos as´ı definido un morfismo de evaluaci´onOV,P →Ky su n´ucleo

m_P :={ϕ∈O_V,P : ϕ(P) = 0}

es un ideal deOV,P que satisface que

OV,P/mP 'K

por lo quemP es un ideal m´aximo. Finalmente, observe que un elementou∈OV,P

es una unidad si y s´olo siu(P)6= 0y por lo tanto mP ={no unidades deOV,P}

1_{En la notación que se introduce después de la demostración, la parte (2) dice que}_O

V =K[V].

(38)

y consecuentementemP es el único ideal máximo deOV,P por lo queOV,P es un anillo localal que se conoce como elanillo local deV enP. La demostración de queOV,P es noetheriano la dejamos para el ejercicio 42.

SiU ⊆V es un abierto y si denotamos conOU al conjunto de funciones

regu-lares en todoU, entonces

OU = \

P∈U

OV,P

es un subanillo deK(V) que contiene aK, considerando a sus elementos como funciones constantes enU. SiU = ∅, por definici´on pondremosO∅ = 0, el anillo

cero. Note que 1.30 (2) (vea tambi´en la nota (1) al pie de p´agina) dice que

OV =K[V].

PROPOSICION´ 1.31. SiV es una variedad af´ın yU ⊆V es un abierto, una funci´on f ∈K(V)regular enU es continua, en la topolog´ıa de Zariski, si la vemos como f :U →Ke identificamosK =A1K.

Demostraci´on.Debemos mostrar que la imagen inversaf−1(T)de cualquier cerra-doT ⊆Kes cerrado enU. Ahora, como los cerrados deK=A1Kson los conjuntos

finitos de puntos (por el ejemplo 1) es suficiente probar que la imagen inversa de un puntof−1(a) ={P ∈U : f(P) =a}es cerrado enU, i.e., debemos probar que

f−1(a)∩U es cerrado. Para hacer ´esto, note que comof es regular enU existen polinomiosg, h∈K[V], conh6= 0enU, tales quef(P) =g(P)/h(P). Entonces,

f−1(a)∩U ={P ∈U : a=f(P) =g(P)/h(P)}

y como

a=g(P)/h(P)⇔g(P)−ah(P) = 0⇔(g−ah)(P) = 0

entonces

f−1(a)∩U =V(g−ah)∩U

el cual es cerrado porqueV(g−ah)lo es.

COROLARIO1.32 (Teorema de la identidad). 2Si,f, g:V →Kson dos funciones regulares en una variedad af´ınV ⊆_An

K, y sif =gen un abierto no vac´ıoU ⊆V, entoncesf =gen todoV.

Demostración.El conjuntoT de puntos dondef −g = 0es cerrado porque es la imagen inversa del0∈K yf −ges continua por la proposición anterior. Por otra parte,f−g= 0en el abiertoU por hipótesis, i.e.,U ⊆T. ComoV es irreducible, por (1.5) (3) se sigue queV =U ⊆T y as´ıT =V, como se quer´ıa.