1 CONCEPTOS BASICOS. Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

1 CONCEPTOS BASICOS

1.1 FUNCION Definición 1.1

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, en los cuales se define una relación de A en B. Decimos que esa relación es una función, si y sólo si , todo elemento de A se relaciona con un

único elemento en B.

En otras palabras, para que una relación entre los conjuntos A y B sea una función, es necesario que por medio de ella “todo elemento del conjunto A esté asociado con un único elemento del conjunto B”.

La función f de A en B se denota por f : A→ B

Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

Si f: A → B es una función y x es un elemento cualquiera de A, entonces existe un

elemento y que pertenece a B, que está relacionado con x mediante la función f , a tal elemento

y se le llama imagen de x mediante f y se denota por y=f(x).

La expresión y=f(x), se lee “ y es la imagen de x mediante f ” o “ y es el valor de la función f en x” . Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del conjunto A, su correspondiente imagen.

Ejemplo ilustrativo 1.1 Consideremos los conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2 } y

B = { 0, 1, 2, 3, 4 }, y la función f : A → B donde f(x) = x2 . A f B • • • • • • • • • • • • • • • • A h B

Esta relación no es función pues existe un elemento de A relacionado con dos elementos de B

En este caso no es función puesto que un elemento de A no está relacionado con ningún elemento de B

1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función tal que f:A→ B con y=f(x). El conjunto A se llama dominio de la función f y se denota por Domf. Es decir Domf = A. y al conjunto B se le llama codominio de f.

Al subconjunto de B, conformado por todos los elementos relacionados con elementos del dominio mediante la función, lo llamaremos rango de la función f y lo denotaremos por Ragf.

Es decir Ragf = {y∈B: y=f(x) para algún x∈A}

En el ejemplo ilustrativo 1.1 el dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es el conjunto formado por las imágenes Ragf = { 0, 1, 4 }.

A= Conjunto de salida o dominio. B= Conjunto de llegada o codominio.

C= conjunto imagen o rango (C está contenido en B)

Observaciones.

1) Si la función esta definida de A en B entonces, el dominio de dicha función es el conjunto A

y el codominio es el conjunto B.

2) Todos los elementos del dominio de una función deben estar relacionados con algún

elemento del codominio (conjunto de llegada).

3) Pueden existir elementos en el codominio de una función (conjunto de llegada) que no son

imagen de elemento alguno del dominio.

4) No puede existir ningún elemento del dominio de una función que posea más de una imagen

en el conjunto de llegada (codominio).

Diagrama ilustrativo. f B A=Dominio C Figura 2

La regla y=f(x) nos permite encontrar la imagen de cada elemento del conjunto A, la función la podemos representar mediante un gráfico o como un conjunto de pares ordenados f = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) } A B 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 f Figura 1

Imagen Recíproca.

Sea f una función de A en B. Denominaremos imagen reciproca del elemento b∈B , al

conjunto de todos los elementos de A que según f tienen por imagen al elementos b

Correspondencia Recíproca.

Sea f una función de A en B. Llamaremos correspondencia recíproca de f a la relación de B en A tal que b estará relacionado con a si y sólo si b es la imagen de a mediante f.

Observaciones.

1) La correspondencia recíproca no define en todos los casos una función de B en A.

2) Para una función f cualquiera quedará definida su correspondencia recíproca que

denotaremos por f−1, y en caso de ser función la llamaremos función inversa de f.

Igualdad de funciones.

Sean f y g dos funciones cualesquiera, se dice que las funciones f y g son iguales (f=g) sí y sólo sí:

i) Dom f =Dom g

ii) f

( ) ( )

x =g x , para toda x perteneciente al dominio de ambas.

iii) Codominio de f es igual a codominio de g

Observación

Si se cumplen las dos condiciones (i) y (ii) se tendrá, en consecuencia, un mismo conjunto imagen (rango) para ambas funciones.

1.3 CLASIFICACION DE FUNCIONES SEGÚN SU NATURALEZA.

De acuerdo a la forma como se relacionan los elementos del dominio con los elementos del conjunto de llegada, clasificaremos a las funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, sin embargo una gran mayoría de las funciones no pertenecen a ninguno de estos grupos.

Función inyectiva.

Son funciones inyectivas aquellas en que a elementos diferentes del dominio le corresponden distintas imágenes en el conjunto de llegada. Expresando esto de otra manera tendremos:

Sea f :A→ B, diremos que f es inyectiva sí y sólo sí para cualesquiera a y b pertenecientes a A

se tiene que: a≠b⇒ f(a)≠ f

( )

b (elementos diferentes entonces imágenes diferentes)

Observación.

Debe ser obvio que si las imágenes se toman iguales, en una función inyectiva, los elementos que las generan resultarán también iguales. esto es:

( )

a f

( )

b a b

f = ⇒ =

Función Sobreyectiva.

Denominaremos funciones sobreyectivas a aquellas funciones en las que el conjunto de llegada (codominio) coincide con el rango o conjunto imagen. En otras palabras son aquellas funciones en las que todos los elementos del conjunto de llegada poseen imagen recíproca. De otra forma:

Sea f :A→ B, diremos que f es sobreyectiva sí y sólo sí: ) ( , x A tal que y f x B y∈ ∃ ∈ = ∀ Función Biyectiva.

Son biyectivas todas aquellas funciones inyectivas y sobreyectivas simultáneamente.

Ejemplo ilustrativo 1.2 Consideremos las funciones f, g, h e i, las cuales se visualizan

mediante un diagrama conocido como una representación sagital.

-1. 0. 1. .0 .1 .2 -1. 0. 1. .0 .1 -1. 0. 1. -1. 0. 1. .0 .1 .2 .3 .0 .1 .2 A A A _A B B C D f g h _i Figura 1 De acuerdo a las definiciones anteriores vemos que:

a) f no es inyectiva, ya que dos elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen. f tampoco es sobreyectiva, ya que el elemento 2 del codominio, no es imagen de ningún

elemento del dominio.

b) g es inyectiva, pues, no existen elementos diferentes del dominio con la misma imagen.

Pero, g no es sobreyectiva, ya que el elemento 3 del codominio, no es imagen de ningún elemento del dominio.

c) h no es inyectiva, dos elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen. En

cambio, h es sobreyectiva, por ser todos los elementos del codominio imágenes de algún elemento del dominio.

d) Es inmediato que i es inyectiva y sobreyectiva.

En el ejemplo ilustrativo anterior observamos que, los dos tipos de funciones, a saber, las inyectivas y las sobreyectivas, pueden aparecer combinadas de diferentes maneras, en una misma función. Esto es, dada una función, podemos encontrar una de las siguientes condiciones:

a) No es inyectiva ni sobreyectiva. b) Es inyectiva, pero no sobreyectiva. c) Es sobreyectiva, pero no inyectiva. d) Es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De estas cuatros combinaciones, la última es de gran importancia

Según la definición, una función biyectiva queda caracterizada por las propiedades siguientes:

a) Cada par de elementos diferentes del dominio tiene imágenes diferentes. b) Todo elemento del codominio es imágen de algún elemento del dominio.

Lo descrito, es lo que comunmente se conoce como función biunívoca, nombre que también identifica a las funciones biyectivas.

Observaciones.

Las únicas funciones cuya correspondencia recíproca es también función son las

biyectivas. Por lo tanto, para que una función

( )

f admita inversa

( )

f−1 , debe ser biyectiva. En

algunos casos, aun cuando la función dada no es biyectiva, pueden acotarse los conjuntos de salida y de llegada para definir otra función, con imágenes iguales a las de la función dada para los elementos del nuevo dominio. La nueva función definida será ahora biyectiva y por lo tanto admitirá la función inversa.

El acotamiento referido en la observación anterior no es único, y existen diferentes posibilidades para lograr una función similar a la dada con diferentes dominios y conjuntos de llegada que se biyectiva. Mas adelante retomaremos este tema.

En lo sucesivo se trataran funciones en las cuales, tanto el dominio como el codominio están constituidos por números reales (son subconjuntos de R). Tales funciones se llaman

funciones reales de variable real.

Ejemplo 1.1 Decida si la función f definida por: f R: →R ∧ f x( )=2x−3 es biyectiva.

Solución. Para determinar si es biyectiva o no, debemos recurrir a la demostración matemática,

apoyados en las definiciones dadas de función inyectiva y sobreyectiva.

Veamos si f es inyectiva. Dados dos números cualesquiera del dominio, digamos

x₁ y x₂, se cumple que: f x f x x x x x x x ( ₁) ( ₂) _{1 2} 1 2 1 2 2 3 2 3 2 2 = → − = − → = → =

Esto es, imágenes iguales corresponden a preimágenes iguales, y así queda demostrado que f es

inyectiva. f es sobreyectiva. En efecto, si despejamos x de la ecuación y=2x−3,

obtenemos x= +y 3

2

Por lo tanto, como y+ ∈3 R

2 para todo número real y, se cumple que Ragf = R. Esto es, el

rango y el codominio de la función f coinciden.

Siendo f una función inyectiva y sobreyectiva a la vez, podemos concluir que f es biyectiva.

Cuando se trabaja con funciones reales en la mayoría de los casos se considera que el codominio es R , por lo que, es habitual definir funciones indicando solo el dominio.

A veces no se presenta explícitamente el dominio y el codominio de una función, por ejemplo: “ f es una función tal que f(x) =

x − 1

1

con x ≠ 1 ” , se entiende que Domf = R-{1}.

También puede abreviarse escribiendo “ f es la función tal que f(x)= x − 1

1 ”.

En estos caso si el dominio no se especifica, se sobreentiende que está formado por todos los

números reales x para los cuales f(x) es un número real. Es decir Domf = { x ∈ R: f(x) ∈ R }

Ejemplo 1.2 Decida si la función

1 2₊ = x x x f( ) es biyectiva.

Solución. Primero que nada, veamos si f es inyectiva.

Para dos números cualesquiera x₁ y x₂ del dominio de f se tiene que

0 0 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 = − − − → = − − + → + = + → = ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 0 0 1 x x x x x x x x x x x = ∨ = → = − ∨ = − → = − − → x ) )( ( 1

Es decir, si dos números del dominio de la función f tienen la misma imagen, entonces los dos números son iguales, o uno es el inverso multiplicativo del otro (2 y ½ tienen la misma imagen). Así, f no es inyectiva. Por lo tanto, tampoco es biyectiva.

Obtención del dominio de una función real de una variable real.

En vista de que el dominio de una función real y=f(x) es el conjunto formado por

números reales x tales que f

( )

x resulta un número real, lo importante es obtener el conjunto de

todos estos valores de x, tomando en consideración las restricciones de la existencia en ℜ, que

son básicamente:

1.- Las raíces de índice par resultan valores reales, solamente cuando la cantidad subradical es

no negativa. Es decir: n g(x) ∈ℜ con n par, sí y sólo sí g

( )

x ≥0. Si n es impar no hay

restricción.

2.- Los cocientes resultan ser valores reales siempre que el denominador no sea nulo. Esto es:

( )

( )

∈ℜ⇔ f

( )

x ∈ℜ, g

( )

x ∈ℜ y g

( )

x ≠0 x g x f .

3.- Los logaritmos resultan ser valores reales solamente cuando la cantidad operada es positiva.

En otras palabras: log_a f

( )

x ∈ ℜ ⇔ f

( )

x >0.

4.- Las expresiones arcseno y arcocoseno resultan ser valores reales solamente cuando la

cantidad operada sea mayor o igual a –1 y a la vez menor igual a 1. Es decir: arcsenf

( )

x y

( )

x

f

arccos son valores reales sí y sólo sí −1≤ f

( )

x ≤1 ó equivalente f

( )

x ≤1.

Ejemplo 1.3 Hallar el dominio y el rango de la función f definida por

1 4 2₋ = x x f( ) , además

determinar si ella es inyectiva o sobreyectiva

Solución Se tiene que Domf =

      ∈ − ∈ R x R x 1 4 2 : .

De allí se obtiene que x∈Domf si y solo si x2-1≠0, pues la división por cero no está

definida. Así que Domf = R-{-1, 1 }

Por otra parte, tenemos que: Ragf =

{ }

      − − ∈ − = ∈ 11 1 4 2 , : x R x y R y para algún

Este conjunto lo determinamos despejando x de la expresión

1 4 2 ₋ = x y : 1 4 2₋ = x y ⇒ y(x2-1) = 4 ⇒ yx2-y = 4 ⇒ yx2 = 4+y ⇒ x2 = y y + 4 para y ≠0

tenemos entonces que x = y

y +

± 4 . Para que existan los x en R-{-1, 1 }, se debe cumplir

0 4 ≥ + y y y y y + 4 _≠

1. La segunda condición se cumple para todo y≠0, puesto que 4+y≠y

Por lo tanto Ragf =

(

−∞,−4

]

U

(

0,+∞

)

Puede observarse fácilmente que f(2) = f(-2) por lo que la función no es inyectiva y como el codominio no se ha indicado debemos suponer que es R, el cual no es igual al rango encontrado por tanto no es una función sobreyectiva.

Ejercicio. Hallar el dominio y el rango de la función g definida por 2

4 x

x

g( )= − y verificar que no es inyectiva ni sobreyectiva.

Respuesta: Domg =

[

−2,2

]

y Ragg =

[ ]

0,2

1.4 REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES REALES

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas, y f una función real de variable

real tal que f A: →B ∧ f x( )=y

A cada elemento ( , ( ))x f x de f, le podemos asociar un punto del plano cartesiano

(como se ilustra en la figura 4).

El conjunto de todos los puntos del plano, que se asocian con los elementos de f, se denomina representación gráfica de la función f.

E n e s te e je c o lo c a m o s lo s e le m e n to s d e l ra n g o f(x ) E n e s te e je c o lo c a m o s lo s e le m e n to s d e l d o m in io x (x , f(x )) X Y Figura 4

Ejemplo 1.4 Trazar la representación gráfica de la función f tal que f(x) = 2x

2 1 Solución. Si asociamos a cada uno de los pares

(x,2x) un punto en el plano cartesiano y sabiendo que todos los pares (x , 2x) están sobre la recta cuya ecuación es y=2x . Se concluye que tal recta es la representación gráfica de la función f.

Ejemplo 1.5 Trazar la representación gráfica de la función g definida por g x( )=x2

Solución Si trazamos algunos pares de la forma (x,x2) obtenemos una imagen como la de la figura 6. . . . . . 1 . . . . 1 . . . . ( 1 , 1 ) ( 2 , 4 ) ( - 1 , 1 ) ( - 2 , 4 ) 1 1. F i g u r a 1 0 F i g u r a 1 1 Y Y X X

Todos los pares ( ,x x2) están sobre una curva como la que se ve en la figura 7, esta curva es

conocida con el nombre de parábola.

Ejemplo 1.6 Trazar la representación gráfica de la función f tal que f x( )=x2, − < ≤2 x 3

El círculo vacío en uno de los extremos de la curva deja explícito que el punto (-2,4) no pertenece a la representación gráfica, y el círculo relleno en el otro extremo indica que ese punto pertenece a la representación gráfica y que dicha representación no se prolonga en ése extremo.

Partiendo de la representación gráfica de una función f, se puede decidir si f es inyectiva: la

condición f x( ₁)≠ f x( ₂) para x₁≠x₂ significa que ninguna recta horizontal corta a la

representación gráfica de f dos veces o más

Figura 6 Figura 7

Solución La regla de correspondencia que

permite identificar los elementos de esta función es la misma que se consideró en la función g definida en el ejemplo 1.5, pero, el

dominio de la función f es el intervalo

(

−2,3

]

y el de la función g es R. Luego, la representación gráfica de f (Figura 8) es una parte de la de g. o . .₉ . 4 . 3 . - 2 Y X Figura 8

X Y

X Y

y = f(x) y = f(x)

Función inyectiva Función que no es inyectiva F igura 2

El procedimiento de obtención de las representaciones gráficas nos conduce a un dibujo aproximado, lo cual es suficiente por los momentos, hasta que dispongamos de herramientas como la derivada, que nos permitirá llegar a dibujos más precisos.

Y X Y X Y X Y X (a ) (b) . . (c ) (d) F ig ura 13

La representación gráfica de una función no puede contener dos puntos situados sobre una misma vertical. Esta conclusión se desprende inmediatamente de la definición de función: dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la forma (a , b) y (a , c) y, por definición, una

función no puede contener los pares (a , b) y (a , c) si b≠c. Viceversa, si un conjunto de puntos

del plano tiene la propiedad de que no hay dos puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto corresponde a la representación gráfica de una función. Así, los dos primeros conjuntos de la figura 10 no son representaciones gráficas de funciones y los dos últimos si lo son.

Figura 10 Figura 9

Estudio y representación gráfica de las funciones más usadas.

Se trata de conocer la forma de las curvas correspondientes a las funciones más comunes, para que cuando sea necesario graficarlas baste con una pequeña tabla de valores para conseguir una buena aproximación a la representación exacta.

1) Función constante.

“Todos los elementos del dominio poseen la misma imagen”.

Su expresión matemática tiene la forma f

( )

x =b (b constante).

Dominio=ℜ. Rango=

{ }

b .

Su representación es una recta horizontal que pasa

por el punto

( )

0,b . La función no es inyectiva ni sobreyectiva

2) Función Identidad.

“Todo elemento del dominio es idéntico a su imagen”.

Expresión matemática: f

( )

x = x

Dominio = ℜ.

Rango = ℜ. Su representación es una recta que forma

45° con la dirección positiva del eje x, y pasa por el origen. Puede deducirse fácilmente que esta función es biyectiva

3) Función Afín.

“Las imágenes se obtienen multiplicando a los elementos del dominio por una constante y sumando otra”.

Expresión matemática: f

( )

x =ax+b

Dominio = ℜ.

Rango = ℜ. (sí a = 0, Rango =

{ }

b ).

Su representación gráfica es una recta de

pendiente a y ordenada en el origen b. las funciones constante e identidad, son casos particulares de la función afín, ya que pueden obtenerse para valores específicos de a y b. Es biyectiva salvo en el caso a=0

4) Función Potencia.

“Las imágenes se obtienen elevando a una potencia natural los elementos del dominio”.

Expresión matemática: f

( )

x = xn

(

n ∈ N

)

.

Dominio = ℜ.

Rango = ?.(depende del valor de n).

Y y=f(x)=b b X Y a a X Y f(x)=ax+b b • α tag(α)=a X

De cualquier forma pueden deducirse fácilmente que para n impar el rango es ℜ y para n par

es [0, +∞) . La representación gráfica también depende de n, y veremos aquí algunos casos.

1. Cuando n = 1. f

( )

x =x, es la función identidad ya estudiada.

2. Cuando n = 2. f

( )

x = x2, es la función potencial de segundo grado, y su gráfica es una

parábola. No es inyectiva pues f(-2)=f(2)

3. Cuando n = 3. f

( )

x =x3, es la función cúbica

o función potencial de tercer grado, y su gráfica se muestra en el gráfico siguiente:

Es biyectiva. Es necesario hacer la Demostración en clase

5) Función Polinómica.

“Toda función cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio (x) y sus

imágenes

(

f

( )

x

)

sea de la forma f

( )

x =a_nxn +a_n−1xn−1+...+a₁x₁+a_o es una función

polinómica”. En la definición anterior se debe tomar en cuenta:

i) n es un entero positivo.

ii) ai, i = 0,1,2,...,n son constantes reales.

iii) ai, i = 0,1,2,...,n se les denomina coeficientes del polinomio y al entero positivo n, se

le llama grado del polinomio (por supuesto a_n ≠0).

iv) Dominio = ℜ.

Observaciones:

1) Son funciones polinómicas todas las funciones estudiadas hasta ahora (constante,

identidad, afín y potencial), de donde puede deducirse que la representación gráfica y el rango de una función polinómica dependen de su grado y de sus coeficientes.

2) Entre las funciones polinómicas conviene destacar la de segundo grado (cuadrática) , por

ser de particular importancia la estudiaremos aparte.

6) Función Cuadrática o Trinomio de Segundo grado.

“Es una función cuadrática aquella cuya regla de correspondencia entre los elementos del

dominio y las imágenes es de la firma f

( )

x =ax2+b.x+c, donde a, b y c son constantes

reales y a≠0”.

Raíces del trinomio de segundo grado.

Las raíces del trinomio f

( )

x =ax2+b.x+c son los valores de x que hacen que f

( )

x =0.

Por lo tanto, dichas raíces se obtienen resolviendo la ecuación: ax2+b.x+c=0

Cuyo resultado son las raíces buscadas:

a c a b b x . 2 . . 4 2 1 =− − − y a c a b b x . 2 . . 4 2 2 = − + −

esta fórmula conocida popularmente como “la resolvente cuadrática” puede deducirse usando la técnica de completación de cuadrados, inténtelo.

X Y

Naturaleza de la raíces.

Denominaremos discriminante (∆) a la cantidad subradical que interviene en el cálculo de

las raíces

(

∆=b2−4.a.c

)

, entonces las raíces de un trinomio de segundo grado pueden ser:

i) Raíces reales distintas

(

x₁ ≠x₂

)

, sí ∆>0

ii) Raíces reales iguales

(

x₁ =x₂

)

, sí ∆=0.

iii) Raíces complejas conjugadas, sí ∆<0

Signo de f(x) = ax2 +b.x+c cuyas raíces son x1 y x2 .

a) Caso 1. Raíces reales diferentes. El signo de ax2+b.x+c es el mismo signo de a,

excepto en los valores x1 y x2

(

f

( ) ( )

x1 = f x2 =0

)

, y en el intervalo

(

x1, x2

)

donde tiene

signo contrario. Esto puede ser utilizado para resolver inecuaciones cuadráticas, como veremos en la página 14

b) Caso 2. Raíces reales e iguales. El signo de ax2 +b.x+c es el mismo signo de a, excepto

en x1 ya que f

( )

x1 =0.

c) Caso 3. Raíces imaginarias. El signo de ax2 +b.x+c siempre es el mismo signo de a, sin

importar cual sea el valor de x.

Valor máximo y mínimo de un polinomio de segundo grado.

Mediante la técnica de completación de cuadrados, todo polinomio de segundo grado puede

expresarse de la forma a.

(

x−h

)

2+k donde a, h y k son constantes reales. Entonces:

i) Sí a>0, la función f

( ) (

x =a.x−h

)

2+k, donde a, h, y k son constantes, tomará su

valor mínimo cuando x=h, y será igual a f

( )

h =k. En estas condiciones diremos que k

es el valor mínimo de la función f.

ii) Sí a<0, la función f

( ) (

x =a.x−h

)

2+k, donde a, h, y k son constantes, tomará su

mayor valor (máximo) cuando x=h, y será igual a f

( )

h =k. En estas condiciones

diremos que k es el valor máximo de la función f.

Representación Gráfica de una función polinómica de 2° grado.

Sea f

( )

x =ax2+bx+c, donde a,b,c son constantes

i) x₁ y x₂ son las raíces del polinomio.

ii) El discriminante ∆=b2 −4.a.c.

La gráfica de la función dependerá de los signos de a y de ∆, pero conviene siempre

escribir la ecuación en la forma f

( ) (

x =a x−h

)

2+k para obtener las coordenadas del

punto mínimo o máximo que denominaremos vértice. Las formas del las gráficas,

En todos los casos la curva es una parábola.

Método práctico para graficar trinomios de 2° grado.

Si se quiere una buena aproximación de la gráfica de un trinomio conviene seguir el método que se da a continuación:

1. Se expresa la función dada en la forma f

( ) (

x =a x−h

)

2 +k, lo que permitirá

determinar el vértice, ya que V

( )

h,k .

2. Se hace una tabla de cuatro valores adicionales, tomando como valores de x a:

2 1 , 2 , 1 + − − + h h y h

h de tal manera que la tabla tomará la siguiente distribución:

x h h+1 h+2 h -1 h - 2

y k k+a k+4a k+a k+4a

Método Gráfico para resolver inecuaciones cuadráticas

Si tenemos que resolver una inecuación cuadrática como ax2+bx+c≥0. Es suficiente con graficar

la correspondiente función f(x) = ax2+bx+c y observar para que valores de x, f(x) ≥0, que

X Y ∆>0 a>0 ∆=0 a>0 Y X X Y ∆<0 a<0

3. Se ubican estos puntos en la recta real y se unen con trazos continuos, recordando que la curva es una parábola con vértice

en

( )

h,k

Observación. La recta y=k representa la

tangente a la parábola en el punto

( )

h,k su

vértice. X Y y=k h-1 h h+1 k+a h-2 h+2 k+4a y=f(x)=a(x-h)2+k

equivale a observar cuál es la parte del gráfico que está por encima del eje X. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.6 Encontrar el conjunto solución de la inecuación 2x2-3x-5≥₀

7) Función Valor Absoluto o módulo.

Denominamos función valor absoluto de x, a la función que asigna a cada número real x el número no negativo x (valor absoluto de x), que se define mediante:

( )

   < − ≥ = = 0 0 x sí x x sí x x x f

Propiedades del valor absoluto:

i) x = x2 . ii) x ≥0, ∀ x ∈ℜ, x =0 ⇔ x=0.

iii) x = −x . iv) x2 = x 2 =x2.

v) x+y ≤ x + y (desigualdad triangular)

Función valor absoluto generalizada.

Considérese la función g

( )

x = f

( )

x , donde f

( )

x es una función cualquiera.

Entonces, de acuerdo a la definición de valor absoluto tendremos:

La figura anexa muestra la gráfica de la

función f(x)=2x2-3x-5. Puede observarse que

2x2-3x-5 ≥ 0, para los x∈(-∞ , -1]∪ [5/2 , ∞)

También puede verse que la solución de

2x2-3x-5 < 0 es (-1 , 5/2)

Y

X

Su representación gráfica consiste de una línea quebrada formada por las rectas y=x e y=-x. de acuerdo a la definición, la gráfica será: la parte correspondiente a la recta y=x situada en el primer cuadrante y la parte

correspondiente a la recta y = -x en el segundo cuadrante.

( )

( )

_{( )}

( )

_{( )}

   < − ≥ = 0 0 x f sí x f x f sí x f x g

Si de conoce la gráfica de f

( )

x la gráfica g

( )

x es la misma que la de f

( )

x excepto en

los puntos donde f

( )

x es negativa, en los cuales se debe cambiar el signo a la ordenada.

Veamos lo antes dicho:

1.5 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES

Sean f y g dos funciones reales tales que D = Domf ∩ Domg ≠

φ

.

La suma de f y g es la función f+g tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x) con x ∈ D

La diferencia de f y g es la función f-g tal que (f-g)(x) = f(x)-g(x) con x ∈ D

El producto de f y g es la función f.g tal que (f.g)(x) = f(x).g(x) con x ∈ D

El cociente de f y g es la función f / g tal que (f / g)(x) = f(x) / g(x) con x ∈ D-{ x: g(x) = 0 }

Algunas propiedades de la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones reales, son consecuencias inmediatas de las propiedades de sumas, diferencias, productos y

cocientes de números reales. Por ejemplo, si f , g y h son funciones tal que

D=Domf IDomgIDomh≠ ∅_{, entonces}

( f + g ) + h = f + ( g + h ), f + g = g + f, f. ( g . h ) = ( f . g ). h, f . g = g . f y f. ( g + h) = f . g + f . h

La gran mayoría de las funciones que trataremos se pueden expresar en términos de suma, diferencia, producto, cociente o raíces de funciones polinómicas. Tales funciones se llaman funciones algebraicas. El siguiente ejemplo ilustra como hallar el dominio de una función algebraica.

Ejemplo 1.7 Hallar el dominio de la función f definida por

f x x x x x x ( )= − − + ( − ) − − 2 3 4 1 6 3 4 1 5 3 5 2

Solución Consideremos las funciones g, h, i y j tales que

y=f(x)

g x( )=2x5, h x( )=3 4x -1 3 , i x( )=x x( 5−6) y j x( )= 3− 4x2−1

Así, se tiene que f x g x h x i x

j x

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= − +

Por lo tanto Domf =Domg∩Domh∩Domi∩Domj∩

{

x/ j(x)≠0

}

Veamos cual es el dominio de las funciones f, g, h, i y j. Como g e i son funciones polinómicas, entonces Domg = Domi = R.

Sabemos que la raíz cúbica esta definida para todo número real, por lo tanto

{

x R x R

}

R h= ∈ /4 −1∈ =

Dom .

Para la función j se tiene que

      _{∈ − − ≥} = x R 3 4x2 1 0 j / Dom . Esto es         ∪         − − = 2 5 2 1 2 1 2 5 , , Domj Además

{

}

        − − = ≠ 2 5 2 5 0 , ) ( / j x R x

Por lo tanto, el dominio de f es

                − − ∩                 ∪         − − ∩ ∩ ∩ = 2 5 2 5 2 5 2 1 2 1 2 5 , , , Domf R R R R = _       ∪         − − 2 5 2 1 2 1 2 5 , ,

El manejo de expresiones como las efectuadas en el ejemplo ilustrativo siguiente son de mucha utilidad para formar nuevas funciones

Ejemplo ilustrativo 1.3 Dada la función f definida por f x( )=2x2−3x+5 no se debe encontrar dificultad para comprobar que

3 2 4 10 14 8 1 2 5 3 2 1 5 3 2 2 2 2 2 − + = + − = − + − =       + + = − h x h x x x f x x x x f x x x f f(x) -h) + f(x y ) ( ) ( 1.6 COMPOSICION DE FUNCIONES

Sean A y B subconjuntos de R y consideremos las funciones

y x f R A f : → ∧ ( )= y g:B→R ∧ g(x)= y

Supongamos que Ragf ∩ ≠ ∅B , entonces existe x∈A tal que f x( )∈B (Ver figura11), así, a este elemento f (x) le podemos aplicar g para obtener g (f (x)).

x f(x) g(f(x)) A B Ragf Rag(g) f g Figura 11

Consideremos una función h dada por h(x) = g(f(x)), la cual se ilustra en la figura 12.

A

x g ( f ( x ) ) R a g ( g )

h

Figura 12

Esta función h manda directamente al elemento x∈A en el elemento g (f (x)) y recibe

el nombre de función compuesta de f y g.

La función h que acabamos de definir se denota por h = gof. La cual se lee:

“ h es igual a g compuesta con f ”

El símbolo “ o ” corresponde entonces a una nueva operación entre funciones que

llamaremos composición de funciones, cumpliéndose que gof es la función tal que

(gof )(x) = g (f (x)), x∈ ⊂D A

donde D=Dom(gof) =

{

x∈A/ f(x)∈B

} {

= x∈Domf / f(x)∈Domg

}

Ejemplo 1.8 Sean f y g dos funciones tales que f x( )= −4 x2 y g x( )= x

Hallar: i) Domf y Domg. ii) (gof )(x) y ( fog)(x). iii) Dom(go f ) y Dom( fog).

Solución. i) Es inmediato que Domf = R y Domg =

[

0,+∞

)

.

ii) (gof)( )x =g f x( ( ))=g(4−x2)= 4−x2

y (fog)(x)= f(g(x))= f( x)=4−

( )

x 2 =4−x

iii) Dom( gof ) =

{

x∈Domf / f(x)∈Domg

}

=

{

x∈R/4−x2 ≥0

}

=

[

−2,2

]

y Dom(fog)=

{

x∈Domg/g(x)∈Domf

}

=

{

x∈

[

0,+∞

)

/ x∈R

}

=

[

0,+∞

)

En el ejemplo anterior se observa que (gof)( )x ≠(fog)( )x . En general se tiene que

cuando (fog)(x) = 4 - x y el dominio de una función polinómica es R, Dom fog( )=

[

0,+∞

)

. La

causa de esto es que se están usando dos funciones f y g para obtener una nueva función

denotada por fog.

La mayor parte de las funciones con que trabajaremos en la práctica resultan de la

composición de otras funciones. Por ejemplo, sea h una función tal que h x( )= 1−x2 y

consideremos las funciones f, g, i y j definidas como siguen:

x x j x x i x x g x x f( )= 2, ( )=− , ( )=1+ , ( )=

Vemos que: joiogof = h. En efecto

) ( ) ( )) ( ( )) ( ( ( )))) ( ( ( ( ) )( f g i j ( oo o x = j i g f x = j i g x2 = j i −x2 = j1−x2 = 1−x2 =h x

En la figura 4 se ilustra esta composición

x f x2 g −x2 i 1− x2

1− x2

j h

Figura 13

1.7 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS

En cálculo, con frecuencia se requiere expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemático de tal situación. En esta sección se dan ejemplos que muestran el procedimiento explícito en la obtención de algunos modelos matemáticos.

Ejemplo 1.9 Un cilindro circular recto de radio r y de altura h está inscrito en un cono de

altura 12 y radio de la base 4, como se muestra en la figura 14. i) Exprese el volumen del cilindro como función del radio r.

ii) ¿Cuál es el dominio de la función resultante?.

A B C D E 1 2 h r 4 Solución

i) Sea v el volumen del cilindro,

entonces v=πr h2 (4)

Observemos en la figura que los triángulos ACD y ABE son semejantes, por lo tanto BE CD AB AC ₌ . Esto es r h 4 12 12 = − (5) Figura 14

Para expresar v en función de r, despejamos h de (5), obteniendo h = 12 - 3r

luego se sustituye h en (4), dando como resultado v(r)=πr2

(

12−3r

)

ii) El menor valor que r puede tomar es 0 y el mayor valor es 4, pues, ese es el radio de

la base del cono. De allí que r debe estar en el intervalo cerrado 0 4, . Luego. Domv= 0 4,

Para ciertas aplicaciones es necesario expresar una variable y como función de una variable t. Con el siguiente ejemplo se ilustra que a veces es más fácil introducir una tercera variable x como función de t ; esto es, x = g(t). A continuación se expresa a y como una función de x; esto es, y = f(x) y finalmente se forma la función y = f(x) = f (g (t)).

Ejemplo 1.10 Un globo de aire caliente sube verticalmente conforme se suelta una cuerda atada

a su base a razón de 2 m/seg. La polea que suelta la cuerda está a 8 metros de la plataforma en la que los pasajeros abordan el globo. Exprese la altura del globo en función del tiempo.

Inicialmente la cantidad de cuerda suelta es 8 m, pues, esa es la distancia de la polea a la

plataforma donde se encuentra el globo en ese momento. Entonces, después de t seg, la cantidad

de cuerda suelta es: x= + =8 2t f t( )

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC se tiene que

h= x2−64=g x( )

Así, La altura h del globo en función de t es h=g(x)=g(f(t))=2 8t+t2

Es decir h=2 8t+t2 que es lo que queríamos determinar.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.) Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

1 1 2 ) ( ) 1 1 ) ( ) 1 1 ) ( ) 2 4 1 ) ( ) 1 + x = f(x) ) 1 ) ( ) 2 2 2 2 2 − − = − + − = − − = − − = − − = x x x f f x x x f e x x f d x x f c x b x x f a 2 3 x x = f(x) ) 9 1 ) ( ) 2 3_{− − +} + = x h x x x x f g

Solución Sea x la cantidad de cuerda suelta a

los t segundos y h la altura del globo, cuando la cantidad de cuerda suelta es x. En la figura 15 se ilustra la posición del globo a los t segundos. x 8 h A _B C Figura 15

2) Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones 1 ) ( ) 1 2 1 ) ( ) 4 ) ( ) 2 3 x x x f c x x x f b x x f a = + − + = − = 2 2 2 2 2 x -2 4 = f(x) ) 9 1 ) ( ) 1 4 ) ( ) 25 ) ( e) ) ( ) d h x x f g x x f f x x f x x x f + = + + = − = − =

3) Hallar el rango de cada una de las siguientes funciones

(

]

(

26

)

1 1 4 3 2 2 ₋ = ∧ → − − = ∧ → − x x f R f b x x f R f a ) ( , : ) ) ( , : )

(

]

1 1 1 2 1 − = ∧ → − − x x f R f c) : , {} ( )

4) Para cada una de las siguientes parejas de funciones:

x x x x g x x x f ii x x f i 1 1 1 2 = − = + = = g(x) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) 1 2 2 ₋ = − = x x g x x f iii 1 1 2 − = − = x x g x x f iv ) ( ) ( ) x x x g x x g x x x f vi x x f v + = = + = ) ( ) ( ) ( ) = ) ( ) 2 determinar:

a) La regla de correspondencia de las funciones: f + g, f -g, f .g, f

g , fog y gof.

b) El dominio de cada una de las funciones dadas en (a).

5) Dada la función f definida por

      = ≠ = 0 1 0 x x x x x f si si ) ( , hallar: ) f(0 ) ) ( c) f(-1) ) ) 1 ( ) f b f x d a −

6) Si f es una función definida por f x

x ( )= + 1 1 , hallar: 1 1 − − − + x f x f b h x f h x f a) ( ) ( ) ) ( ) ( )

7) Dada la función h definida por

x x x h − + + = 4 1 4 ) ( 2 , hallar: Domh.

8) Dada la función f definida por f x

x ( )= − 1 1 a) ¿Cuál es el dominio de f ?. b) ¿Cuál es el dominio de fof ?.

9) Sea f una función definida de la forma f x( )=x5. ¿Existirá una función g tal que (fog)(x) = x para todo número real x?. Si así fuera, ¿Cuántas funciones habrán?.

10) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, siendo f, g, y

h funciones reales. Si es verdadera demuéstrela, si es falsa ofrezca un contraejemplo.

oh fog goh fo f gof fog e h f g f h g f d h g f h g f c f g g f b f g g f a ) ( ) ( ) ) . . ) ( ) ). . ( ) . ( ) . . ) ) = = + = + = = + = +

11) Expresar la longitud L de la diagonal de un cuadrado como función de su área A. 12) Expresar el área A de una circunferencia como función de su longitud L.

13) Un fabricante de envases construye cajas sin tapas utilizando láminas cuadradas de 72 cm. de lado, a las cuales recorta un pequeño cuadrado de cada esquina y dobla las aletas para formar los lados de la caja. Si x es la longitud del lado del pequeño cuadrado que recorta:

a) Expresar el volumen de la caja en función de x. b) Hallar el dominio de la función resultante.

14) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 1000 cm3. El material

para la construcción de la caja cuesta 2 $. el centímetro cuadrado. (a) Exprese el costo de la caja

en función de la longitud del lado de la base de la caja. (b) Hallar el dominio de la función

resultante.

15) Esbozar las representaciones gráficas de las siguientes funciones, trazando un número de puntos suficientes para obtener una buena idea del aspecto general.

a f x x b f x x x R c f x x x d f x _x x ) ( ) ) ( ) , ) ( ) , ) ( ) , , x R = − ∈ = ∈ = ≠ = ≠ 2 1 1 0 1 0 3 2

16) Indicar cuales de las figuras que se muestran a continuación corresponden a la representación gráfica de una función

Y X Y X Y X Y X X Y X ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) o .

2 EJEMPLOS DE FUNCIONES

El presente capítulo nos proporcionará criterios adicionales para la construcción de representaciones gráficas de ciertas funciones algebraicas. Estas funciones adquieren relevancia , dada la frecuencia con que aparecen en aplicaciones prácticas.

2.1 FUNCION AFIN

De la geometría analítica sabemos que la ecuación y =ax + b representa una recta de pendiente a que corta al eje Y en el punto (0 , b). Por esto, la función Afín f(x) = ax + b es llamada por algunos autores función lineal.

Una recta en el plano queda determinada por dos puntos distintos, por lo cual, para trazar la representación gráfica de una función afín basta con conocer dos elementos de tal función.

Ejemplo 2.1 Representar gráficamente la función f (x) = 3x-2

Solución La representación gráfica de la función f es una recta de pendiente 3 que corta

al eje Y en el punto (0 , -2). En efecto f (0) = 3.0 - 2 = -2

Necesitamos otro punto. Lo habitual es determinar el punto de intersección de la recta con el eje X, el cual corresponde a un punto de la forma (c , 0).

Como (c , 0) pertenece a f , entonces f (c) = 0 ⇒ 3.c - 2 = 0 ⇒ c= 2

3. Así,       0 , 3 2

es el punto de corte con el eje X. Luego, la representación gráfica de la función f es

la que se muestra en la figura anexa

Si b = 0, entonces la función afín f (x) = ax tiene como representación gráfica una recta que

pasa por el origen.

Si y es una función lineal de x, entonces y =ax + b para algunas constantes a y b, y se

dice que x e y están relacionadas linealmente. Las relaciones lineales entre variables aparecen

frecuentemente en las aplicaciones. El siguiente ejemplo es una ilustración de ello.

No es difícil demostrar que Ragf = R

La función identidad (caso particular de función afín con a=1 y b=0) se presenta con frecuencia y algunas veces se denota con I, más aún, si el dominio de la

función identidad es A≠R, esta función se suele

designar por I_A en vez de I. Esto es, I_A es una

función tal que I_A:A→A ∧ I_A(x)=x

Ejemplo 2.2 La relación entre la temperatura t del aire en ( ºF ) y la altitud h ( en metros sobre

el nivel del mar) es aproximadamente lineal. La temperatura a nivel del mar es de 60ºF. Si la altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece alrededor de 18 ºF.

a) Exprese t como función de h.

b) ¿Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 1500 metros?. Solución

a) Como t es una función lineal de h, entonces t=ah+b (1)

para algunas constantes reales a y b.

Dado que la temperatura del aire a nivel del mar es de 60ºF, entonces t=60 cuando h=0. Por lo tanto, sustituyendo estos valores en (1) se obtiene b = 60. Luego t=ah + 60 (2)

Por otra parte, cuando la altitud aumenta 500 metros, la temperatura del aire decrece alrededor de 18ºF, esto es, t = 60 - 18 = 42 cuando h = 500. Sustituyendo estos valores en (2) se obtiene 250 9 − = a . Por lo tanto t h( )= − 9 h+ 250 60

b) Como t(1500) = 6, entonces la temperatura del aire a una altitud de 1500 m. es de 6ºF.

2.2 FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

Veamos un ejemplo que ilustra el trazado de la representación gráfica de una función que no está definida mediante una única fórmula algebraica para todo número de su dominio.

Ejemplo 2.3 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

      > − ≤ ≤ − − < = 1 2 1 1 1 2 x x x x x f si si si ) (

Solución Se tiene que Domf =

(

−∞,−1

)

∪

[ ]

−1,1 ∪

(

1,+∞

)

=R.

Podemos determinar el valor de la función para cualquier x de su dominio de definición, por ejemplo 1 3 2 3 1 0 1 0 0 1 5 2 5 > − = ≤ ≤ = − < − = − pues ) ( , pues, ) ( , pues, , ) ( f f f

Consideremos las funciones g, h y j tales que g x x h x x x j x ( ) ( ) , ( ) , = < − = − ≤ ≤ = − 2 1 1 1 2 , x > 1

Ejemplo 2.4 Trazar la representación gráfica de la función f definida por f x( )= 3x−1

Solución De acuerdo a la definición de valor absoluto, se tiene que

   − − ≥ − − = 0 1 3 1 3 0 1 3 1 3 < si ) ( si ) ( x x x x x f Esto es       < − ≥ − = 3 1 3 1 3 1 1 3 x x x x x f si si ) (

Luego, la representación gráfica de la función f es la que se muestra en la figura 3.

Ejemplo 2.5 Trazar la representación gráfica de la función f tal que

f x = x−21−x

2 ) (

Solución Se tiene que

(

)

(

)

[

]

      < − − − − ≥ − − − = 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 x x x x x x x f si si ) ( Si trazamos la representación gráfica de cada una de estas funciones en un mismo plano

cartesiano obtenemos el

gráfico que se muestra en la figura 4, el cual corresponde a la representación gráfica de la . Y . g ( x ) = 2 . . 1 . h ( x ) = x . . . . . . . . . 1 X . . f ( x ) = - 2 . . F i g u r a 4 Figura 2 . Y . . . 1 . . . . . . 1 X . . . . Figura 6 . Y . . . . 1 . . . . . 1 X . . . . Figura 7 f x( )= 3x−1 f x( )= −x −x 2 2 1 Figura 3 Figura 4

Es decir       > − ≤ − = 1 si 2 3 2 1 si 2 2 5 ) ( x x x x x f

con lo cual se verifica que la representación gráfica de la función f es la que se muestra en la figura 4.

2.3 TRASLACIONES VERTICALES Y HORIZONTALES DE LA

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION

En esta sección veremos algunos criterios que permiten obtener la representación gráfica de nuevas funciones a partir de la representación gráfica de otras

Ejemplo 2.6 Sea f una función tal que f(x)= x, trazar la representación gráfica de las funciones g y h definidas como g(x) = f(x) + 3 y h(x) = f(x) - 2.

. Y . . . 1 . . . . . . 1 X . . . . F ig u ra 9 g x( )= x +3 f ( )x = x h x( )= x −2

Para obtener la representación gráfica de la función h disminuimos en 2 unidades la ordenada de cada uno de lo puntos de la representación gráfica de f. Así, la representación gráfica de la función h se muestra en la figura 5.

En este ejemplo se ilustran las traslaciones verticales de la representación gráfica de la función f.

En general, si f es una función cualquiera y c una constante real positiva, entonces

Para trazar la representación gráfica de la función g definida por:

Traslade la representación gráfica de la función f

g(x) = f(x) + c c unidades hacia arriba g(x) = f(x) - c c unidades hacia abajo Solución Para obtener la

representación gráfica de la función g hay que aumentar en 3 unidades la ordenada de cada uno de los puntos de la representación gráfica de f, como se muestra en la figura 5. Esto equivale a trasladar la representación gráfica de f hacia arriba 3 unidades.

Podemos obtener reglas similares para las traslaciones horizontales.

Ejemplo 2.7 Sea f una función tal que f x( )= x, trazar la representación gráfica de las funciones g y h definidas por g(x) = f(x + 3) y h(x) = f(x - 2).

Solución Se tiene que

   − < − − − ≥ + = + = 3 3 3 3 3 x x x x x x g si si ) ( y    < − ≥ − = − = 2 2 2 2 2 x x x x x x h si si ) (

Así. en la figura 6 se muestran las representaciones gráficas de las funciones f, g y h.

. Y . . . 1 . . . . . . 1 X . Figura 10 f x( )= x h x( )= +x 3 g x( )= x−2

En general, si f es una función cualquiera y c una constante real positiva, entonces

Para trazar la representación gráfica de la función g definida por:

Se traslada la representación gráfica de la función f.

g(x) = f(x + c) c unidades a la izquierda g(x) = f(x - c) c unidades a la derecha

Podemos aplicar traslaciones verticales y horizontales simultáneamente para trazar la representación gráfica de una función.

Observe que la representación gráfica de g es una traslación de 2 unidades a la derecha de la

representación gráfica de f y, la de

h, es una traslación de 3 unidades a

la izquierda de la representación de la misma función f. Figura 6 . Y . . . 1 . . . . . . 1 X . F ig u r a 1 1 f ( )x = x g x( )= x−3 +2 Figura 7

Ejemplo ilustrativo 2.1 La representación gráfica de la función g definida por g x( )= − +x 3 2, es una traslación de tres unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba de la

representación gráfica de la función f dada por f x( )= x. La gráfica de g se muestra en la

figura 7

Ejemplo 2.8 Trazar la representación gráfica de la función f dada por f x( )=x2 − −x 2, y hallar el: dominio, rango y valor mínimo o máximo que toma dicha función.

Solución Es inmediato que Domf = R y que la representación gráfica de f corresponde a una parábola.

Completando cuadrado en la ecuación y=x2 − −x 2 con respecto a x obtenemos

4 9 2 1 2 + =       − y x

Así, el vértice de la parábola es 

     − 4 9 2 1 , .

Como a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba. El punto de corte con el eje Y es (0 , -2).

Las raíces de la ecuación x2− − =x 2 0 son x₁ =2 y x₂ =−1, por lo tanto, la

parábola corta al eje X en los puntos (2 , 0) y (-1 , 0).

Con toda la información anterior se concluye que la representación gráfica de la función f es la parábola que se muestra en la figura 8

Es inmediato que       +∞ − = , Rag 4 9 f . Y . . . 1 . . . . . . 1 X . . . . F ig u ra 1 4 f ( )x = x2 − −x 2

Algunos problemas aplicados pueden resolverse encontrando valores mínimos o máximos de funciones cuadráticas, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

y que f tiene un valor mínimo, el cual es 4 9 − , y se obtiene cuando 2 1 = x Figura 8

Solución Sea A el área del rectángulo determinado por el punto P(x , y), entonces A = x.y (3)

Tenemos que expresar A en función de una de las dimensiones, digamos x.

Como el punto P(x , y) pertenece a la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (0 ,4),

entonces satisface la ecuación x y

2+ =4 1 (4)

Despejando y de (4) se tiene y = 4 - 2x, la cual se sustituye en (3) obteniéndose:

A=4x−2x2

que corresponde a una función cuadrática. Como a = -2 < 0, entonces A tiene un valor máximo

en x=1. Esto es, la abscisa del punto P, que permite obtener el rectángulo de área máxima, es

1. Para encontrar la ordenada, sustituimos este valor de x en (4), obteniéndose y = 2. Así, las coordenadas del punto P son (1 , 2).

Ejemplo 2.10 Se calcula que asistirán 14000 personas a un juego de baloncesto en el cual se

tendrá un precio de admisión de 5000 Bs. Por cada 500 Bs. que se le aumenten a las entradas, la asistencia disminuirá en 280 personas.

a) Expresar el ingreso en taquilla, en función de la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs. b) ¿Qué precio de las entradas producirá el máximo ingreso en la taquilla?

c) ¿Cuántas personas se calcula que asistirán al juego si el precio de admisión es de 7000 Bs.?. Solución

a) Sea I el ingreso en la taquilla y, x la cantidad de veces que se agregan los 500 Bs. Observe

que ) . )( . ( " , Si ) )( ( " , Si ) )( ( entonces , Si 2 500 5000 2 280 14000 2 500 5000 280 14000 1 5000 14000 0 + − = = + − = = = = I x I x I x

En general, tenemos que

) )(

( x x

I = 14000−280 5000+500

Ejemplo 2.9 Cada punto P(x , y) del segmento

de recta cuyos extremos son (0 , 4) y (2 , 0), determina un rectángulo con las dimensiones x e

y, como se ilustra en la figura 9. Encuentre las

coordenadas del punto P que permiten obtener el rectángulo de área máxima.

. Y 4 . . . P (x , y) . . . . . . 2 X . F igura 15_{Figura 9}

Es decir I =−140000x2+5600000x+70000000

b) El máximo ingreso en la taquilla se obtiene cuando x = 20. Esto es, cuando se agregan 20

veces 500 Bs. Así, el precio de las entradas que producirá este máximo ingreso es 5000 + 500.20, es decir 15000 Bs.

c) Si el precio de admisión es de 7000 Bs., entonces se agregaron 2000 Bs al precio

original.; esto es, se agregaron 4 veces 500 Bs. Por lo tanto, el número de personas que se calcula

que asistirán es 14000-280

.

4, es decir 12880 personas.

2.4 FUNCION RACIONAL Definición

Sean f y g dos funciones polinómicas, llamaremos función racional a toda función h,

definida de la forma h x f x

g x

( ) ( )

( )

= , g x( )≠0

Esto es, una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.

Trazaremos las representaciones gráficas de algunas funciones racionales particulares

Ejemplo 2.11 Trazar la representación gráfica de la función f definida por f x x

( )= 1

De acuerdo a la forma como está definida la función y observando su representación gráfica podemos sacar las siguientes conclusiones:

i) Como 1 0

x ≠ para todo número real x, la curva no corta al eje X.

ii) Como f (0) no existe, la curva no corta al eje Y.

iii) Domf =Ragf =R−

{ }

0.

Solución Si asociamos, a cada uno de esos pares

de la forma       x x,1 un punto en el plano

cartesiano nos daremos cuenta que el conjunto de todos los puntos generan una curva como la que se muestra en la figura. Dicha curva corresponde a la representación gráfica de la

función f y recibe el nombre de hipérbola

iv) Conforme le damos valores a x cada vez más pequeños, a través de valores mayores que cero, los valores de f crecen sin límite.

v) Conforme le damos valores a x cada vez más grandes, a través de valores mayores que cero, los valores de f decrecen sin límite.

vi) Si x crece, los valores de f se aproximan a cero.

vii) Los ejes X e Y son asíntotas de la curva.

Ejemplo 2.12 Trazar la representación gráfica de la función f definida por

f x x ( )= + 8 4 9 (5)

Solución Observe que f ( )0 8 9

= , luego la representación gráfica corta al eje Y en el

punto       9 8 0, . Además, 8

4x+9≠0 para todo número real x, por lo tanto, la representación

gráfica no corta al eje X.

En general, La representación gráfica de la función f definida por f x a

bx c

( )=

+ , siendo a, b y

c constantes reales diferentes de cero, es una traslación vertical c

b unidades de la

representación gráfica de la función g definida por g x a

bx ( )= . En efecto ) ( ) ( ) ( b c x g b c x b a c bx a x f = + + = + =

La expresión (5) se puede escribir como

4 9 2 ) ( + = x x

f , por lo tanto, la representación

gráfica de la función f es una traslación

vertical, 9

4 unidades hacia la izquierda, de la

representación gráfica de la función x

x

g( )=2. En la cual se observa que el eje X

y la recta cuya ecuación es x= −9

4 son