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CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL

FUNCIÓN SENOIDAL

Sea una función senoidal de la forma t Sen V ) t (  _m   _(4.1)

donde Vm es la amplitud del valor máximo que tiene la función. La

frecuencia está dada en radianes o frecuencia angular  está dada en radianes por segundos (rad / s).

La función senoidal es una función periódica, definida para toda t

) t ( ) T t (    _(4.2)

donde T es el periodo, la función para un ciclo completo o periodo 

   2

T (4.3)

Por consiguiente, en un segundo la función pasa por 1/T ciclos, su frecuencia es     2 f (4.4)

Una expresión más general podemos escribirla como



 



 

(t) V_m Sen t (4.5)

Donde  es el ángulo de fase, como está en radianes por segundo,  debe expresarse en radianes. Sin embargo, los grados son medidos para un ángulo.

Podemos escribir que V_mSen



t



se adelanta a V_mSent por  radianes o grados, como se muestra en la figura

Nótese que una fase adelantada positivamente ( > 0) implica un desplazamiento a la izquierda de la gráfica de la función. En general, las sinodales 1 Vm₁Sen



t



y 2 Vm₂ Sen



t



, están adelantadas por ( ), es decir; que 2está en retrazo con respecto a 1.

Ejemplo:



0



1 4 2 30  Sen t



0



2 6 2 12  Sen t

1está adelantada con respecto a 2, o 2está en retrazo con respecto a

1, por lo tanto

  = 30°  (12) = 42°

lo que significa que 1 se desplaza hacia la izquierda por 42° con respecto

Esto no importa que tipo de función utilicemos, puesto que podemos realizar la conversión de una sinodal a cosenoidal o viceversa utilizando la siguiente identidad Ejemplo:



0



1 4 2 30  Sen t



0



2 2 2 18  Cos t

El desfasamiento es de 30°  188° = 158°, es decir; 1 está adelantado de

2o 2atrasado de 1por 158°.

La suma de una onda sinodal y una cosenoidal, el resultado es otra función sinodal de la misma frecuencia

Puede ser escrita como



    





  

t BSen t A B Cos t Cos Sent Sen

ACos 2 2 (4.6)

Haciendo uso de la trigonometría podemos transformar (4.6) de la forma



 



     t BSen t A B Cos t ACos 2 2 (4.7) t Sen t Cos       _{ } 2 Sen



t



Sent t Cos t Sen       _{ } 2 Cos



t



Cost















 



                        188 2 2 90 198 2 2 180 18 2 2 180 2 2 2 t Sen t Sen t Cos t Cos t Cos                 Sen t B A B t Cos B A A B A t BSen t ACos 2 2 2 2 2 2

De acuerdo a la figura 4.3, nos muestra el triángulo para la suma de dos ondas sinodales, de manera que

A B tan1



 _(4.8)

El resultado es una sinodal de la misma frecuencia y el resultado es similar si sus fases son diferentes.

Ejemplo: Efectuar:  5 Cos 3t + 12 Sen 3t

EJERCICIOS:

4.1.1. Encuentre el periodo de las siguientes funciones: a) 4Cos



5t 33



b)       _        _ 6 2 3 4 2t Sen t Cos c) 6Cos2t Respuesta: 2/5 ;  ; 1

4.1.2. Encuentre la amplitud y fase de la siguientes funciones: a) 3Cos2t4Sen2t

b)



4 33



Cos



2t30







3 34



Cos



2t60



Respuesta: 5 ; - 53.1° ; 5; 36.9°

4.1.3. Encuentre la frecuencia de las siguientes funciones: a) 3Cos



6t10



b) 4Sen377t Respuesta: 3 ; 60 Hz.                    5 12 tan 3 12 5 3 12 3

5Cos t Sen t 2 2Cos t 1



 





NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo cualquiera se puede escribir en su forma triángular de la manera siguiente:

jb a

A  (4.9)

Donde A es cualquier número complejo, a es la parte real, b la parte imaginaria y j  1 es la representación de una raíz imaginaria.

Utilizando la figura 4.4 sirve para convertir cualquier número complejo en su forma rectangular a la forma polar, de modo que (4.9) la podemos escribir en forma polar       A A A j _(4.10)

Donde A es la magnitud, obtenida como

2 2

b a

A  

y el ángulo  dado por

a b tan1

 

Ejemplo: Transformar a su forma polar a: A =  5 – j12

  



                 38 . 67 5 12 tan 13 12 5 1 2 2  A A=1367.38°

FASORES

Para dar comienzo al entendimiento de los fasores, iniciaremos con nuestra función senoidal para el voltaje en función del fiempo



 







 Vm Cos t (4.9)

de manera que si nosotros conocemos la frecuencia , entonces  queda espcíficamente por su amplitud Vm y su ángulo de fase , lo cual hace un

número complejo que puede representar de la manera siguiente       m j m V V V  _(4.10)

La ecuación (4.10) se define como una representación fasorial o fasor. Ejemplo: La representación fasorial de  = 5 Cos (3t + 12°) V donde

Vm = 5 y  = 12°,  = 3 rad/s es conocida podemos

encontrar a V

V = 5 12° V

Del mismo modo podemos representar a la corriente en función del tiempo a su forma fasorial



 



 I Cos t i _m (4.11) La cual resulta       m j m I I I  (4.12) EJERCICIOS:

4.1.4 Encuentre la representación fasorial de a) 6 Cos(2t + 45°), b) 4Cos2t + 3 Sen2t, c) – 6 Sen(5t – 65°).

Respuesta: 6 45°; 5  – 36.9°; 6  25°.

4.1.5. Encuentre la función en el dominio del tiempo siendo  = 2 representada por los fasores a) 5  – 60°, b) 6 + j8, c) – j6.

IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

Considerando un circuito general con dos terminales, como se muestra en la figura 1-1; si el voltaje y corriente están en el dominio del tiempo, en las terminales del circuito son

Sus fasores son

la impedancia, entonces; queda definida por el voltaje fasor con la corriente fasor y la denotaremos por la letra Z, es decir

por lo tanto de (1.2) tenemos

dondeZ es la magnitud y Z el ángulo de Z de manera que

La magnitud de la impedancia es la proporción de magnitudes de voltaje con respecto a los fasores de corriente.







I



m V m t Cos I i t Cos V          (1.1) I m V m I I V V       (1.2) I Z V  (1.3) I V m m Z I V Z Z     (1.4) m m I V Z , _Z _V_I

La impedancia es un número complejo, siendo compuesta por dos números complejos, pero no es un fasor, no está en función senoidal de dominio del tiempo, como lo es un fasor voltaje o de corriente.

la impedancia se puede escribir en su forma rectángular como

donde R es la componente resistiva o resistencia y X es la componente reactiva o

reactancia, cada uno medidos en ohms, misma unidad de la impedancia.

Si comparamos (1.4) con (1.5), podemos escribir a Z como

o bien

Estas expresiones se obtienen de la figura 1.2

Ejemplo 1.1: Encuentre la impedancia Z si 0

60 10 V  volts y 0 20 2 I  amperes. utilizando la ecuación (1.4) 2 2 X R Z   , R X tan1   Z Z Sen Z X Cos Z R       jX R Z  (1.5)

      0 0 0 40 5 20 2 60 10 Z en la forma rectángular      5 (Cos40 jSen40 ) 3.83 j3.21 Z 0 0

En la gran mayoría de los circuitos que actualmente se realizan, podemos encontrar diferentes tipos de impedancias como, las impedancias resistivas, las impedancias inductivas y las impedancias capacitivas. Se encuentran fácilmente por la relación que existe con V – I, estas relaciones las podemos identificar con los subíndices R, L y C, como se denota a continuación.

Para el caso de una resistencia, la impedancia si es puramente resistiva si la reactancia es cero, Las impedancias de inductores y capacitores si son puramente reactivos si su resistencia es cero.

y la reactancia capacitiva

en ambas reactancias, es la frecuencia angular y tanto como L es positiva ( XL

) y para la capacitancia negativa ( XC). En caso especial de (1.5) X = 0, cuyo caso

especial la impedancia es resistiva; si X  0 la impedancia es inductiva y X  0 es capacitiva la impedancia.

La inversa de toda impedancia de la forma

Se denomina con el nombre de admitancia, representada con la letra Y, muy similar a la conductancia cuyo resultado es debido al inverso de la resistencia. Las unidades de la admitancia es el mho o siemens.

L j X Z_L  _L   (1.7) 0 C 0 L R 90 C C 1 j Z 90 L L j Z R Z              (1.6) C 1 j X ZC C     (1.8) Z 1 Y (1.9)

La admitancia al igual que la impedancia es un número complejo y su representación en forma rectángular es

siendo G la componente real llamada conductancia y B la componente imaginaria llamada suceptancia, la cual podemos escribir

Siendo las unidades de Y, G, y B en mhos. Para obtener sus componentes, podemos hacer el arreglo siguiente

Separando cada término, tenemos la parte real y la parte imaginaria, G y B respectivamente

Ejemplo 1.2: Encuentre, la admitancia si la impedancia Z =4 + j3 ohms. Utilizando (1.12)

De manera similar a Z, podemos decir que Y puede escribirse de acuerdo al elemento correspondiente jB G Y  (1.10) jX R 1 Z 1 jB G Y      (1.11) 2 2 X R jX R jX R jX R jX R 1 jB G                      (1.12) 2 2 X R R G   , _{2 2} X R X j B    (1.13) 25 3 j 4 3 j 4 3 j 4 3 j 4 1 Y _                  25 3 j 25 4 Y   mhos C j Y L 1 j Y G Y C L G       (1.14)

COMBINACIONES DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

Impedancias en serie.

Consideremos al circuito de la figura 1.3 para nuestro estudio, debido al circuito fasor de corriente I, fluye por cada elemento, de manera que se analizará para N elementos.

Aplicándole al circuito LVK se tiene

Por lo tanto

De manera similar para la admitancia equivalente o resultante de las N admitancias en serie, es O bien N 2 1 T N 2 2 T Z Z Z Z V V V V           I Z V  (1.15) N 2 1 T Y 1 Y 1 Y 1 1 Y      (1.16) N 2 1 T T Y 1 Y 1 Y 1 1 Y 1 Z       (1.17)

Impedancias en Paralelo.

aplicando la LCK al circuito se tiene

Cuando se tienen dos impedancias en paralelo podemos utilizar, la siguiente expresión

para el caso de las N admitancias

N 2 1 T Z 1 Z 1 Z 1 1 Z      (1.18) N 2 1 T Y Y Y Y    (1.20) 2 1 2 1 T Z Z Z Z Z    (1.19)

DIVISIÓN DE VOLTAJE Y DIVISIÓN DE CORRIENTE

El divisor de voltajes un método práctico que nos ayuda a obtener las caídas de los voltajes en cada una de las impedancias que se desee obtener; el divisor de voltaje se puede aplicar únicamente en los circuitos donde todos sus elementos que lo constituyen están conectados en serie, como se observa en la figura 1.5. El cual nos muestra las caídas de tensión en cada impedancia.

Por lo tanto para obtener cada uno de los voltajes se tiene

Sea el circuito paralelo de la figura 1.6 para nuestro es análisis del divisor de corriente. T N N T T 2 2 T T 1 1 N 2 1 T Z Z V V Z Z V V Z Z V V V V V               (1.21)

Sabemos que la corriente total es la suma de cada una de las corrientes que pasa por cada impedancia. Así como; el voltaje el mismo para todos las impedancias. Y la impedancia total la suma de las inversas de cada impedancia, de manera que para calcular cada una de las corrientes utilizaremos las siguientes expresiones

Para el caso de las admitancias en paralelo se tiene

Para dos elementos en paralelo podemos en impedancias como admitancias podemos utilizar las siguientes expresiones

Ejercicios:

1.1 Ecuentre la corrientei y v en estado permanente usando fasores

R = 2 Cos(8t – 36.9) A.

1.2 Encuentre la corrientei e i1de estado estable.

R = 1 Cos(3t + 36.9) A, 1.41Cos(3t + 81.9) A T N T N T 2 T 2 T 1 T 1 T N 2 1 T I Z Z I I Z Z I I Z Z I I I I I I                 (1.22) T T N N T T 2 2 T T 1 1 T I Y Y I I Y Y I I Y Y I I          (1.23) T 2 1 1 2 T 2 1 2 1 I Z Z Z I I Z Z Z I       , T 2 1 2 2 T 2 1 1 1 I Y Y Y I I Y Y Y I       (1.24) dfgjh