Capitulo 1 - Modelado de Lineas de Transmision - 2011

MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION

1.1 INTRODUCCION

La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta centros de consumo. La transmisión de dicha energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y de acuerdo al diseño de la línea puede ser de transmisión aérea o subterránea. En el caso de la transmisión subterránea, esta normalmente se realiza a través de cables de alta tensión, cuyo uso se ha venido incrementando durante las últimas décadas, debido a cuestiones de confiabilidad, estética y medio ambiente.

Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución.

En México y otros países, los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 34 hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por último, niveles de tensión menores a 34 kV están relacionados con redes de distribución.

Por otro lado, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo que el aislante común entre conductores sea el aire circundante a los conductores, además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica.

En base a esto, se tendrá como objetivo el desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales:

• Resistencia serie • Inductancia serie

• Conductancia en derivación • Capacitancia en derivación.

Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los correspondientes al efecto en derivación.

Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.

1.2 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION

Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

1.2.1 Resistencia de la Línea

La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la

resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número de estos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

1.2.1.1 Resistencia de Corriente Directa

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente: Ω = A l R₀ ρ (1.1) donde:

ρ = resistividad del material conductor (Ω-m)

l = longitud del conductor (m)

A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m2)

Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft2, respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas, que es lo más usual.

El estándar internacional de conductividad es el cobre recocido. El cobre comercial estirado en frío tiene un 97.3% y el aluminio un 61% de la conductividad estándar del cobre recocido. ρ es

igual a 1.77 ×10-8 Ω-m (10.66 Ω-cmil/ft) para el cobre estirado en frío a 20ºC. Para el aluminio a 20ºC, ρ es igual a 2.83 ×10-8 Ω-m (17.00 Ω-cmil/ft). Un circular mil (cmil) es el área de un

círculo que tiene un diámetro de 1 mil (10-3 pulgadas); el área en mm2 es igual al área en cmil multiplicada por 5.067×10-4.

Además, la resistencia de c.d. de conductores trenzados es mayor que el valor calculado mediante la ecuación (1.1), debido a la colocación en espiral de los filamentos individuales, la cual los hace más largos. Para cada milla en el conductor, excepto en el del centro, la corriente en todos los filamentos fluye a través de una longitud mayor. El incremento en la resistencia, debido al trenzado, se estima en 1% para conductores de tres filamentos y del 2% para conductores concéntricamente trenzados.

1.2.1.2 Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia

Un cambio en la temperatura causa una variación en la resistencia, en forma prácticamente lineal, dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Esta variación está dada por la siguiente ecuación: 1 2 1 2 t T t T R R + + = (1.2) donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2, respectivamente. La constante T varía de acuerdo al material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero. Algunos valores de T son los siguientes:

T = 234.5 para el cobre recocido con 100% de conductividad. T = 241.0 para el cobre estirado en frío con 97.3% de conductividad. T = 228.0 para el aluminio estirado en frío con 61% de conductividad.

La distribución uniforme de la corriente en la sección transversal de un conductor, solamente se presenta para la corriente directa. Conforme se incrementa la frecuencia para la corriente alterna, la no uniformidad de la distribución se hace más pronunciada. Un incremento en la frecuencia da origen a una densidad de corriente no uniforme. A este fenómeno se le conoce como efecto piel, el cual es descrito a continuación.

1.2.1.3 Efecto Piel

Para el análisis de este efecto, será necesario considerar lo siguiente:

1. A partir de la Figura 1.1 se hará el análisis, donde se muestra la sección transversal de un conductor, en la cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro.

Figura 1.1 Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos.

2. Las dimensiones del conductor son uniformes, es decir, si se secciona el conductor en diferentes tramos, todas las secciones transversales resultarán ser iguales.

3. La corriente será la misma para toda la longitud del conductor, esto es, la corriente que entra por un extremo del conductor, será la misma que saldrá por el otro extremo.

4. Apoyándose en las dos suposiciones anteriores, puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial.

A B

Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos, ésta será la misma para ambos (suposición 4). En corriente directa, la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Si se trata de corriente alterna, además de la caída de tensión por resistencia, existirá un voltaje inducido en cada filamento, resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A, debido a la posición geométrica de ambos. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A), serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). Por lo tanto, para producir caídas de tensión iguales, las densidades de corriente deben ser mayores cerca de la periferia del conductor, para compensar la reactancia menor.

El resultado final es que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no será uniforme, siendo conocido como efecto piel, el cual causará que la resistencia de c.d. se incremente ligeramente. Esta es la llamada resistencia de c.a. Por otro lado, la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida.

Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas, se tendrá lo siguiente:

R cd ca R

R = α

y para la inductancia interna:

L cd i ca i) (L ) L ( = α

donde αR y αL son ligeramente mayor y menor que la unidad, respectivamente.

Ejemplo 1.1. Las tablas de características eléctricas [1] dan para el conductor trenzado de aluminio marigold, una resistencia de c.d. de 0.01558 Ω por 1000 pies a 20ºC y una resistencia de c.a. de 0.0956 Ω/milla a 50ºC. El conductor tiene 61 filamentos y su tamaño de 1113 MCM (mil circular mils1). Entonces, considerando un incremento del trenzado del 2% a 20ºC, el valor de la resistencia de c.d. debe ser el siguiente:

01558 . 0 02 . 1 1000 1113 1000 0 . 17 0 _× × = × =

R Ω por 1000 pies de longitud.

De la ecuación (1.2), para la temperatura de 50ºC:

01746 . 0 20 228 50 228 01558 . 0 0 ₊ = + =

R Ω por 1000 pies de longitud.

En este caso, la relación entre las resistencias de c.d. y c.a. es la siguiente:

03722 . 1 2788 . 5 01746 . 0 0956 . 0 0 = × = R R_ca

Es decir, el efecto piel causa un incremento del 3.722% en el valor de la resistencia de corriente directa.

1.2.1.4 Efecto Corona

Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa, sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión, debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales.

Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase.

El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos, llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores.

Comúnmente, estas pérdidas son expresadas en kW/km, pero resulta difícil obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta, debido a la gran cantidad de variables involucradas. Los resultados son obtenidos mediante relaciones empíricas y métodos estadísticos. Sin embargo, el efecto corona debe tomarse en cuenta para el diseño adecuado de líneas de transmisión.

1.2.1.5 Inductancia de Dos Conductores Paralelos

La inductancia es usualmente definida dividiendo los enlaces de flujo por la corriente. Para la inductancia propia, los enlaces de flujo de un circuito dado son divididos por la corriente en ese circuito, esto es:

1 11

I L= λ

donde λ₁₁ es el enlace de flujo en Weber-vuelta del circuito 1, debido a la corriente I en ₁

Amperes. La inductancia mutua es definida en forma semejante. El cálculo de la inductancia propia de un conductor cilíndrico recto de longitud finita es usualmente dividida en dos componentes:

e i L L

donde L es la inductancia del conductor debida a los enlaces de flujo internos, mientras que _i L _e

es la inductancia propia debida a los enlaces externos al conductor. Entonces, puede mostrarse que, para una densidad de corriente uniforme se tiene:

π µ_ω 8 s L_i = H donde: ω

µ = permeabilidad del conductor en H/m = 4

π

× 10-7 H/m para materiales no ferrosos. s = longitud del conductor en metros.

Los enlaces de flujo externos son definidos como:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + = s r r r r s s n l s I m e 2 2 2 2 1 2π µ λ Wb-vuelta donde: m

µ = permeabilidad del medio circundante al conductor = 4

π

× 10-7 _{H/m para el aire.} r = radio del conductor en metros.

Si s>>r como ocurre siempre con las líneas de transmisión de alta tensión, la expresión para la inductancia externa puede simplificarse en la forma siguiente:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = = 2 1 2 1 r s n l s I L_e e m π µ λ H

Sumando las inductancias interna y externa, se obtiene la inductancia de un conductor cilíndrico de longitud finita s: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + = 2 1 2 8 r s n l s s L m π µ π µ_ω H

En la mayoría de los casos, los conductores no están hechos con materiales ferromagnéticos y el medio circundante es el aire, de modo que µ_m y µ_ω son iguales y tienen un valor de 4π×10-7 H/m. Esto implica que debe suponerse que para conductores ACSR el material ferromagnético prácticamente no transporta corriente. Con esta aproximación, la inductancia puede escribirse como: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × + × = 10− 2 10− 2 1 2 1 _{7 7} r s n l s s L

o también como: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} × = − 2 1 4 1 10 2 7 r s n l s L H

Por otra parte,

7788 . 0 1 1 4 1 4 / 1 ln e n l = = −

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} × = − − 1 7788 . 0 2 10 2 1 2 7788 . 0 1 10 2 7 7 r s n l s r s n l n l s L

Para conductores cilíndricos se puede definir D_s=0.7788r, de modo que la expresión anterior

se puede rescribir como:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × =2 10−7 2 1 s D s n l s L H o también, ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ × =2 10−7 2 1 s D s n l L H/m

1.2.2 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas

Como se mencionó anteriormente, este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra.

Para condiciones normales de diseño, la reactancia correspondiente a la inductancia, xL = ωL, es la parte dominante de la impedancia serie, la cual determina el efecto sobre la capacidad

de transmitir y la caída de tensión. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación x/r >> 1 para líneas de transmisión de alta tensión.

El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las líneas tienen un retorno por medio de un conductor ficticio de longitud infinita, situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. Además, este conductor tendrá un radio medio geométrico, denotado por D , igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los _sg

Figura 1.2 Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.

Al observar la Figura 1.2, las caídas de tensión están dadas por:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ g a ' gg ga ag ' aa ' g g ' a a g a I I z z z z V V V V V V (1.3)

Sabiendo que V_g =V_g' =V_a' = 0, se deduce que V_g' −V_a' = 0. Restando renglones en la

ecuación (1.3):

(

g g'

)

a g a ' a a V V V V V V V − − − = − = Además,

(

aa' ag

)

a

(

ag gg'

)

g a g ' gg a ag g ag a ' aa I z I z I z I z z I z z I V z + − − = − + − =

Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente, resultando:

(

aa' ag

)

a

(

ag gg'

)

( )

a

(

aa' gg' ag

)

a aa a a z z I z z I z z z I z I V = − + − − = + −2 = donde: ag gg ' aa aa z z z z = + − 2 (1.4)

cuyas componentes son impedancias primitivas, las cuales, a su vez, están definidas por las siguientes expresiones: a g I I =− a I g’ a a’ g ref

+

tierra local ag D z_ag z_aa' z_gg' tierra remota

_

a V 0 = g V

ag ag g g ' gg a a ' aa M k j z L k j r z L k j r z ω ω ω = + = + = Ω/ul (1.5)

donde r es la resistencia del conductor de la línea, _a r_g es la resistencia del supuesto conductor

que representa al efecto de retorno por tierra;

ω

es la frecuencia en rad/s; L y _a L son las _g

inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra, respectivamente, mientras que

ag

M representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores; ul representa cualquier

unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud.

Si se substituye las expresiones (1.5) en la ecuación (1.4), se obtiene lo siguiente:

(

a g

)

(

a g ag

)

aa r r j k L L M

z = + + ω + − 2 (1.6)

donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes:

1 2 ₋ = sa a D s n l L 1 2 ₋ = sg g D s n l L (1.7) 1 2 ₋ = ag ag D s n l M

En estas expresiones (1.7), s es la longitud del conductor a. Si se suma las inductancias, tal como se describe en (1.6), sg sa ag ag g a D D D n l M L L 2 2 = − + (1.8) Sabiendo que D_sg=1, se definirá a la constante D como: _e

sg ag e D D D 2 = (1.9) y substituyendo en la ecuación (1.7), la impedancia de la línea estará dada por:

(

)

sa e g a aa D D n l k j r r z = + + ω (1.10)

En las expresiones anteriores, D es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a. Para _sa

calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra, Carson encontró que, empíricamente, ésta puede ser calculada mediante las fórmulas siguientes:

f . r_g =1588×10−3 Ω/mi (1.11) f . r_g = 9869×10−4 Ω/km

donde f es la frecuencia en Hz. El cálculo de la constante D está dado por: _e

ft f

D_e = 2160 ρ (1.12)

siendo ρ la resistividad de la tierra en Ω-m.

1.2.3 Ecuaciones de Carson

En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea.

Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = _ii i ii i s i ii i ii Q R S n l D R n l G j G P r z 4ω 2ω 2 Ω/mi (1.13) ) 2 ( 2 4 _ij ij ij ij ij Q D S n l G j G P z = ω + ω + Ω/mi (1.14) donde: ii

z = impedancia propia del conductor i. ij

z = impedancia mutua entre los conductores i y j. i

r = resistencia del conductor i. ω = frecuencia en rad/s.

G = 0.1609347 ×10−3 i

R = radio exterior del conductor i.

( )

₍

₎

... 2 6728 . 0 2 16 2 3 1 8 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = ij ij ij ij ij ij k n l Cos k Cos k P π θ θ ... 2 3 1 2 2 1 0386 . 0 + + + − = _{ij ij} ij ij k Cos k n l Q θ donde k_ij=8.565×10−4S_ij f _ρ

Las distancias S y _ij D se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 1.3, donde las _ij

primeras relacionan a los conductores con sus imágenes.

Figura 1.3 Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.

Normalmente, S >>_ij D , de modo que los ángulos _ij θ_ij serán pequeños y las funciones Cos(.)

dentro de las expresiones de la Serie de Carson podrán ser aproximadas a 1. Para una distancia

ij

S = 100 pies, una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 Ω-m, se tiene que:

(

)

_{( )}

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × + × + × − = − − − 4 2 4 4 10 565 . 8 2 6728 . 0 1 16 10 565 . 8 100 60 100 10 565 . 8 2 3 1 8 ln P_ij π 378184598 0 001122078 0 015637 0 3927 0. . . . P_ij= − + =

de modo que puede aproximarse a lo siguiente:

j i ij D ij S ii S _Sjj j' i' ij θ

P_ij = π 8 De la misma manera, 42464711 . 1 015637 . 0 44761 . 1 03860 . 0 015637 . 0 2 2 1 03860 . 0 + + =− + + = − = ij ij k n l Q

que, de acuerdo a los resultados anteriores, puede simplificarse a:

ij ij k n l Q 2 2 1 03860 . 0 + − =

Analizando de manera más detallada la expresión anterior, se obtiene lo siguiente:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × + − = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × + − = − − ij ij ij ij S f n l f S n l n l f S n l Q ρ ρ ρ 2 1 8393 . 3 1 2 1 10 565 . 8 2 2 1 03860 . 0 10 565 . 8 2 2 1 03860 . 0 4 4 Resultando: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ij ij S f n l Q ρ 2 1 8393 . 3

Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ii ii S f n l Q ρ 678603422 . 7 2 (1.15) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ij ij S f n l Q ρ 678603422 . 7 2 (1.16)

Substituyendo las expresiones anteriores en (1.13): ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + = _ii si ii g i ii Q D S n l G j r r z 2ω 2 (1.17) donde:

(

fG

)

fG

(

.

)

(

.

)

f r_g 2 31416 2 01609347 10 3 8 2 4 = = × − = π π π f . r_g=158837×10−3 Ω/mi (1.18) 2G=0.3218694×10−3=k (1.19)

Substituyendo (1.15) dentro del paréntesis en (1.17), este resulta en lo siguiente:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + si si si ii si ii ii si ii D f n l n l D f n l e n l D f n l S f D S n l S f n l D S n l ρ ρ ρ ρ ρ 5988 . 2161 ) 5988 . 2161 ( 678603422 . 7 678603422 . 7 7.678603422 Definiendo: f . D_e=21615988 ρ ft Entonces, si e g i ii D D n l k j r r z = + + ω Ω/mi (1.20) De la misma manera: ij e g ij D D n l k j r z = + ω Ω/mi (1.21)

Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para k y para r , los cuales _g

Tabla 1.1 Constantes para el cálculo de inductancias.

Constante Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10

k 2 π k km mi km Mi 0.0002000 0.0003219 0.001257 0.002022 0.0004605 0.0007411 0.002893 0.004656 f = 50 Hz f k ω k km mi km Mi 0.01000 0.01609 0.06283 0.10111 0.02302 0.03705 0.14460 0.23280 f = 60 Hz f k ω k km mi km Mi 0.01200 0.01931 0.07539 0.12134 0.02763 0.04446 0.17360 0.27940

1.2.4 Impedancia Serie de la Línea Trifásica

El cálculo de la impedancia serie de la línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se realiza similarmente al cálculo de impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 1.4, identificándose impedancias, voltajes y corrientes.

Figura 1.4 Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra. g b’ c’ g I g’ a’ ref 0 = g V tierra local z_bc tierra remota z_gg' b I b

+

zbb' c I c

+

zcc' a I a

+

zaa'

_

_

z_ab z_ac z_cg z_bg z_ag

_

Vc b V a V

De la Figura 1.4, se observará que:

(

a b c

)

g I I I

I = − + + (1.22)

y las caídas de tensión, en la dirección dada a las corrientes, se expresan como sigue:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ g c b a gg gc gb ga cg ' cc cb ' ca bg ' bc ' bb ' ba ag ' ac ' ab ' aa ' g g ' c c ' b b ' a a ' g g ' c c ' b b ' a a I I I I z z z z z z ' z z z z z z z z z z V V V V V V V V V V V V (1.23)

Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior, se tiene:

. V ; V V ; V V ; V V_a' − _g' = 0 _b' − _g' = 0 _c' − _g' = 0 _g = 0

Además, se conoce el valor de I , y partiendo de estas condiciones, puede establecerse el _g

siguiente sistema de ecuaciones:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a I I I z z z z z z z z z V V V (1.24)

y en forma más compacta, la ecuación anterior puede escribirse como:

i ij i z I

V = (1.25)

donde las impedancias definidas en (1.24), de acuerdo a la ecuación (1.10), pueden calcularse tal como se muestra a continuación. Para las impedancias serie propias de cada fase:

(

)

i a b c D D n l k j r r z si e g i ii = + + ω ; = , , (1.26)

Además, para las impedancias serie mutuas entre fases, se tiene la expresión siguiente:

c b a j i j i D D n l k j r z ij e g ij = + ω ; ≠ , , = , , (1.27)

En ambos casos, las unidades estarán dadas en Ω/ul. Debe observarse que el efecto de retorno por tierra hace que en los elementos fuera de la diagonal de una matriz trifásica tengan una parte real, representada por r . En caso de que el efecto de retorno por tierra no fuese considerado, esta _g

componente no aparecería en la ecuación (1.27).

1.2.4.1 Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda

Por lo general, en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV, se coloca conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestacion, con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas.

La Figura 1.5 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda. Por simplicidad, las impedancias resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no son mostrados.

Figura 1.5 Línea trifásica con dos hilos de guarda.

Para este circuito, el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente:

_

_

_

b’ g c’ g I g’ a’ ref 0 = g V tierra local tierra remota z_gg' b I b

+

z_bb' c I c

+

zcc' a I a

+

zaa' c V b V a V v’ v I v z_vv' w’ w I w z_ww'

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ w v c b a ww wv wa wb wa vw vv va vb va cw cv '' cc '' cb '' ca bw bv '' bc '' bb '' ba aw av '' ac '' ab '' aa w v c b a I I I I I z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z V V V V V (1.28)

Donde resulta claro que, debido al aterrizaje de los conductores de guarda, sus correspondientes voltajes serán iguales a cero.

Nótese que en (1.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento se determina ya sea con la ecuación (1.26) o la (1.27), dependiendo si se trata de un elemento diagonal o fuera de esta.

Considerando la partición matricial mostrada en (1.28) y compactando cada bloque submatricial, se obtiene: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ vw abc D C B A vw abc I I z z z z V V (1.29)

El objetivo es que, a partir de (1.29), se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico. Esto significa que se debe obtenerse un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a,

b, c, y que, además, tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. Para esto, se aplica

el procedimiento que se describe a continuación.

Realizando las operaciones matriciales indicadas por la partición en la ecuación (1.29), se obtiene lo siguiente: vw D abc C vw vw B abc A abc I z I z V I z I z V + = + = (1.30)

Debido a que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero, la segunda ecuación de (1.30) se simplifica como sigue:

vw D abc C I z I z + = 0

abc C vw DI z I z = − abc C D vw z z I I = − −1 (1.31)

Substituyendo (1.31) en la primera expresión de (1.30):

abc C D B abc A abc z I z z z I V = + −1 Factorizando a I_abc:

(

A B D C

)

abc abc z z z z I V = − −1 (1.32)

La ecuación (1.32) también puede escribirse en forma simplificada como:

abc abc abc z I V = de donde: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − cc cb ca bc bb ba ac ab aa C D B A abc z z z z z z z z z z z z z z 1 (1.33)

Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (1.28), se ha reducido de cinco renglones a tres. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (1.32). La ecuación (1.33) representa un procedimiento matricial conocido como Reducción de Kron. Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de hilos de guarda. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sea igual a cero.

Posteriormente, se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (1.28) es equivalente.

Ejemplo 1.2. Sea la línea de transmisión de 230 kV mostrada en la Figura 1.6, con la información siguiente y suponiendo una resistividad de 100 Ω-m y una frecuencia de 60 Hz, calcular la impedancia serie de la línea en Ω/km.

Conductores de fase. Hilos de guarda

Tipo: ACSR 954 MCM. Tipo: EBB500

Diámetro exterior: 1.196 pulgadas. Diámetro exterior: 0.374 pulgadas.

RMG: 0.0403 ft. RMG: 0.001 ft.

Figura 1.6. Línea de transmisión de 230 kV, un conductor por fase y dos hilos de guarda.

La matriz de impedancias serie sin reducir es la siguiente:

a b c v w 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.38515726 0.05921400 +j0.31758076 0.05921400 +j0.37670252 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.37670252 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.31758076 0.05921400 +j0.38515726 0.05921400 +j0.38515726 +j0.354565140.05921400 +j0.317580760.05921400 +j1.118921163.80918312 +j0.32444614 0.05921400 0.05921400 +j0.31758076 +j0.354565140.05921400 +j0.385157260.05921400 +j0.324446140.05921400 +j1.11892116 3.80918312

De acuerdo a la partición matricial definida en la ecuación (1.29) se tiene:

0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.37670252 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 0.05921400 +j0.32444614 +j0.37670252 0.05921400 +j0.840253230.12931965 0.05921400 +j0.38515726 +j0.35456514 0.05921400 +j0.317580760.05921400 0.05921400 +j0.31758076 +j0.35456514 0.05921400 +j0.385157260.05921400

Calculando la matriz z_D−1 y realizando las operaciones indicadas en la ecuación (1.33), se

obtiene: 0.05921400 +j0.38515726 +j0.31758076 0.05921400 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.31758076 0.05921400 +j0.38515726 3.80918312 +j1.11892116 0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.32444614 3.80918312 +j1.11892116 18.2 m 5.14 m 5.75 m 5.75 m v w a b c vw abc z _, = _Ω/km A z = z =_B D z = C z =

Note que el efecto de los hilos de guarda sobre el equivalente trifásico es un incremento de la resistencia mientras que la reactancia disminuye con respecto a la matriz z . _A

1.2.4.2 Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados por Fase

Resulta claro que, conforme se incrementa la transferencia de potencia a través de una línea de transmisión, también se tiene un incremento en las pérdidas, así como en el efecto corona. Una manera de reducir las pérdidas es incrementando el nivel de tensión de las líneas. Otra forma de reducir estos efectos se basa en la definición de resistencia, la cual puede reducirse incrementando la sección transversal de cada conductor de fase.

Sin embargo, si se utiliza un conductor único con sección transversal mayor en cada fase, éste tendría que ser de un calibre que, desde un punto vista de esfuerzos mecánicos, sería impráctico.

Los conductores agrupados causan el mismo efecto de incrementar la sección transversal de los conductores de fase, permitiendo el transporte de altas cantidades de energía, reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión, sin presentar los problemas de los conductores de calibres excesivos. A manera de ejemplo, la Figura 1.7 presenta una línea de transmisión con cuatro conductores agrupados en cada fase.

Figura 1.7 Líneas de transmisión con cuatro conductores por fase.

0.17729475 +j0.80093306 +j0.337229730.10708398 +j0.285372910.10602364 0.10708398 +j0.33722973 0.17767188 +j0.80050272 0.10708398 +j0.33722976 0.10602364 +j0.28537291 0.10708398 +j0.33722976 0.17729475 +j0.80093306 Ω/km = − = _{A B D}− _C abc z z z z z 1

La Figura 1.8 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase. Por otro lado, la Figura 1.9 muestra el circuito representativo, en este caso, para la fase a de la línea. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y, además, estarán acoplados entre sí.

Figura 1.8 Secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase.

Figura 1.9 Conductores agrupados para la fase a.

Utilizando las ecuaciones (1.26) y (1.27), puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones, la cual ya incluye el efecto de retorno por tierra, en cada uno de sus elementos. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ t s r c b a tt ts tr tc tb ta st ss sr sc sb sa rt rs rr rc rb ra ct cs cr ' ' cc ' ' cb ' ' ca bt bs br ' ' bc ' ' bb ' ' ba at as ar ' ' ac ' ' ab ' ' aa t s r c b a I I I I I I z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z V V V V V V 1 1 1 (1.34)

De la Figura 1.8, puede observarse las siguientes relaciones de corriente:

a r r’

Transformación

a’ r

c’ t

b’ s

b

a

c

r I a’

+

tierra local tierra remota

_

a V z_aa' z_rr' 1 a I a I

t c c s b b r a a I I , I I I , I I I I = ₁ + = ₁ + = ₁+

así como también las siguientes relaciones de voltaje:

0 0 0 − = − = = − _{a s b t c} r V , V V , V V V

Entonces, efectuando las restas indicadas, el conjunto de ecuaciones (1.34) se modificará y, en forma compacta, resultará en el siguiente:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ rst abc D C B A abc I I z z z z V 0 (1.35) donde: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = '' cc ' ' cb ' ' ca ' ' bc '' bb '' ba '' ac ' ' ab ' ' aa A z z z z z z z z z z (1.36) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − = ' ' cc ct ' ' cb cs ' ' ca cr ' ' bc bt ' ' bb bs ' ' ba br ' ' ac at ' ' ab as ' ' aa ar B z z z z z z z z z z z z z z z z z z z (1.37) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − = ' ' cc tc ' ' cb tb ' ' ca ta ' ' bc sc ' ' bb sb ' ' ba sa ' ' ac rc ' ' ab rb ' ' aa ra C z z z z z z z z z z z z z z z z z z z (1.38) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 D D D D D D D D D z_D (1.39)

donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones:

t s r q p c b a h i z z z z D_{pq pq iq ph ih} , , , , , , = = + − − = (1.40)

1.2.5 Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión

Para cada línea de transmisión con un solo circuito, una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 1.10. Se considerará que los conductores de fase están integrados por un conductor principal y varios conductores agrupados. Entonces, la matriz de impedancias serie general debe construirse bajo el siguiente orden:

1. Conductores principales.

2. Conductores agrupados.

3. Conductores de guarda.

Figura 1.10 Forma general de la matriz de impedancias serie.

Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos, esto es, que la torre de transmisión soporte más de un circuito, o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía, entonces el orden anterior se modificará. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. En este caso, el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue:

1. Conductores principales de A 2. Conductores principales de B 3. Conductores agrupados de A 4. Conductores agrupados de B 5. Hilos de guarda de A 6. Hilos de guarda de B

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

hilos de guarda hilos de guarda conductores agrupados conductores agrupados conductores principales conductores principales

La Figura 1.11(a) presenta dos circuitos por el mismo derecho de vía, cada uno con un conductor por fase, operando al mismo nivel de tensión. Además, la estructura incluye dos hilos de guarda. En este caso, si los dos circuitos están en paralelo, es decir, que la corriente en cada circuito es igual, entonces, el modelo equivalente se podrá reducir a un modelo trifásico de orden 3. En caso de que no sean circuitos paralelos, pero que como se observa en la fotografía, comparten el mismo derecho de vía, entonces, se tendrá un modelo de orden 6.

En la Figura 1.11(b) se tiene seis circuitos por el mismo derecho de vía, dos de ellos a un nivel de tensión mayor y situados por arriba de los otros cuatro que operan a un nivel de tensión menor; además, también se tiene dos hilos de guarda en esta torre de transmisión. Si no hay circuitos paralelos, entonces, el modelo matemático de esta configuración será de orden 18; en caso de haberlos, el orden de este modelo será menor, de acuerdo a los circuitos en paralelo que existan.

(a) (b) Figura 1.11 Líneas de transmisión con circuitos múltiples por el mismo derecho de vía: (a) dos circuitos a un mismo nivel de tensión;

(b) seis circuitos con dos niveles de tensión diferentes.

1.2.6 Aspectos Computacionales

El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital, se muestra en la Figura 1.12. En los apartados siguientes se habrá de describir en detalle cada bloque, marcando las especificaciones generales que cualquier programa de computadora digital de este tipo debe contener.

Figura 1.12 Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión.

1.2.6.1 Lectura de Datos

Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes: • Número total de conductores

• Número de hilos de guarda

• Resistencia en Ω/ul de cada conductor • Radio medio geométrico de cada conductor • Coordenadas geométricas de cada conductor • Frecuencia

• Resistividad del terreno • Unidad de longitud deseada

1.2.6.2 Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores

Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación:

(

) (

2

)

2 j i j i ij x x y y D = − + − ; i ≠ j (1.41) donde:

xi, xj = coordenadas horizontales de los conductores i y j, respectivamente. yi, yj = coordenadas verticales de los conductores i y j, respectivamente.

Podrá observarse que Dij = Dji, de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre

conductores triangular superior o inferior, sin incluir la diagonal. Lectura de datos

Construcción de la matriz de distancias D _ij

Cálculo de la matriz general de impedancias

Reducción de hilos de guarda

1.2.6.3 Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie

Como ya se mencionó anteriormente, el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (1.26) y los no diagonales mediante la ecuación (1.27).

1.2.6.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases

Aplicando la ecuación (1.33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión. Adicionalmente, puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. Para esto, primeramente se reduce los hilos de guarda y, posteriormente de aplicar las ecuaciones (1.38)-(1.39), se reducirá los conductores agrupados en las fases. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue.

Primeramente, se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (1.35):

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = D C B A original z z z z z (1.42)

Entonces, aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial, esta matriz por bloques se modifica a la siguiente: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 0 0 0 0 L O M L M M L ' B ' A ificada mod z z z (1.43)

donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por:

' A abc z

z = (1.44)

1.3 ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION

La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. Sin embargo, el primero de ellos se desprecia por las razones descritas a continuación.

1.3.1 Conductancia de Líneas de Transmisión

Concretamente, para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Este parámetro resulta de la observación de las

“corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador, la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este efecto de corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea.

1.3.2 Capacitancia Monofásica

A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:

2 0 2 r q ε π ξ= V/m (1.45)

donde ε₀ = 8.854×10-12 F/m, q es la carga en Coulombs y r es la distancia, en metros, de la carga al punto en el cual se mide el campo eléctrico. De acuerdo a la Figura 1.13, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:

V D D n l q V 1 2 12 =_2πε (1.46)

donde ε es la permitividad del medio circundante.

Figura 1.13 Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.

A partir de la ecuación (1.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual se representa por la Figura 1.14.

Figura 1.14 Línea monofásica para el análisis de capacitancias.

D b q a q 1 1 D 2 D 2 q a r rb

La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente: D r n q r D n q V b b a a ab = _2πε l + _2πε l (1.47)

y sabiendo que q_a = − q_b, la ecuación anterior se simplifica como sigue:

b a a ab r r D n q V 2 2πε l = V (1.48) Por definición, la capacitancia es:

ab V

q

C = F/ul (1.49)

substituyendo (1.48) en (1.49), y considerando que r_a = r_b,

(

D/r

)

n C_ab l πε 2 = F/m (1.50)

1.3.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión

En esta sección, se presenta el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra.

La Figura 1.15 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados se determinan mediante la ecuación siguiente:

∑

= = n j ij ij j i D H n l q V 1 2 1 ε π (1.51) donde:

Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia

del conductor i a su propia imagen.

Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i.

qj = carga del conductor j.

Note que: 12 12 ₎ 0.01797548510 10 854 . 8 ( 2 1 2 1 _{= ×} × = − π ε π =17.9755485×109 F-1 m = 17.97554848×106 F-1 km

Figura 1.15 Conductores con sus respectivas imágenes, representados por cargas.

La ecuación (1.51) puede compactarse para obtener:

q P

V = (1.52)

donde V es el vector de voltajes, P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector que contiene a las cargas. La matriz de coeficientes de potencial se define como:

j i D H n l P j i r H n l P ij ij ij i ii ii ≠ = = = ; 2 1 ; 2 1 ε π ε π F-1 _{m (1.53)}

donde ri es el radio exterior del conductor i. Si la ecuación anterior se escribe en la forma:

V P q = −1 coul/m (1.54) se podrá definir: 1 − = P C F/ul (1.55) jn D ji H ni H nj H jn H in H ij H n q i q ij D jj H ii H nn H j q − i q − in D j q n q −

En términos fasoriales, para la densidad de carga Q y el voltaje V, la ecuación (1.54) se escribe como:

V C

Q = (1.56)

multiplicando ambos miembros por jω:

V C j Q j I = ω = ω (1.57)

y sabiendo que I = Y V, entonces

C j

Y = ω (1.58)

donde Y , en este caso, es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión. 1.3.4 Aspectos Computacionales

La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie, desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico. Se debe notar que la matriz P, para fines computacionales, será considerada como real. A diferencia de la matriz de impedancias, se requiere de la inversión matricial (1.55) y multiplicar por jω para obtener la matriz de admitancias equivalente. Esto puede observarse en la Figura 1.16. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.

1.3.4.1 Lectura de Datos

Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión, el único dato adicional, con respecto a los definidos para la impedancia serie, es el radio exterior de los conductores.

Figura 1.16 Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en derivación Y_abc, para líneas de transmisión trifásicas.

Lectura de datos

Construcción de la matriz de distancias H _ij

Cálculo de la matriz de coeficientes de potencial P

Reducción de hilos de guarda y conductores agrupados por fase

1.3.4.2 Formación de la Matriz de Distancias

Las distancias son calculadas en base a las coordenadas geométricas de los conductores. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical, entonces, la fórmula para encontrar tales distancias es:

(

)

2

(

)

2 j i j i ij x x y y H = − + + (1.59)

1.3.4.3 Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial

Para un programa de cómputo, las ecuaciones (1.53) pueden rescribirse como sigue:

j i D H n l k P j i r H n l k P ij ij ij i ii ii ≠ = = = ; ' 1 ; ' 1 F-1 _{ul (1.60)}

donde k’ puede tener los valores mostrados en la Tabla 1.2. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea.

Tabla 1.2. Constantes para capacitancias en nF/ul

Constante Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10

k’ (1/3) k’ km mi km mi 55.630 89.525 18.543 29.842 24.159 38.880 8.053 12.960 f = 50 Hz f k’ ω k’ km mi km mi 2781.49 4476.24 17476.57 28125.04 1207.97 1943.99 7589.90 12214.42 f = 60 Hz f k’ ωk’ km mi km mi 3337.78 5317.49 20971.89 33750.07 1449.57 2309.33 9107.88 14657.32 nota: n = nano =10-9.

1.3.4.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados

Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie.

1.3.4.5 Cálculo de la Matriz Y_abc

La matriz de admitancias en derivación trifásica, se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida, y multiplicándola por el término jω, tal como lo muestran las ecuaciones (1.55) y (1.58). El orden de la matriz por invertir es de 3, únicamente. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = cc cb ca bc bb ba ac ab aa abc y y y y y y y y y Y (1.61)

y las unidades pueden ser Siemens (Ω-1_{) o submúltiplos de Siemens/ul. Las más usuales son} dadas en Siemens/milla y Siemens/kilómetro. Los signos de los elementos en (1.61) se deben a que todos los elementos de la matriz de coeficientes de potencial P son positivos.

Ejemplo 1.4. Sea la línea de transmisión del ejemplo 1.2. Calcular la matriz de admitancias en derivación en términos de Siemens/km. Para esto, debe notarse que se tiene como datos a los diámetros exteriores de los conductores de fase y los hilos de guarda: 1.196 y 0.374 pulgadas, respectivamente, de manera que en los cálculos deben ser convertidos a radios exteriores y en las mismas unidades que las distancias entre los conductores de la línea.

Primeramente, se calcula matriz de coeficientes de potencial del orden igual a los cinco conductores que conforman la línea. Esta matriz es la siguiente:

a b c v w 140.0713040 33.4384651 21.5962639 37.6128693 22.1430225 33.4384651 140.0713040 33.4384651 30.4795589 30.4795589 21.5962639 33.4384651 140.0713040 22.1430225 37.6128693 37.6128693 30.4795589 22.1430225 165.4734340 25.7477341 22.1430225 30.4795589 37.6128693 25.7477341 165.4734340

La partición matricial es la siguiente:

140.0713040 33.4384651 21.5962639 33.4384651 140.0713040 33.4384651 21.5962639 33.4384651 140.0713040 37.6128693 22.1430225 30.4795589 30.4795589 22.1430225 37.6128693 vw abc P _, = µF-1 km B P = A P = µF-1 km µF-1 _km

37.6128693 30.4795589 22.1430225 22.1430225 30.4795589 37.6128693

La matriz de coeficientes de potencial reducida es la siguiente:

129.8781890 23.9137173 13.1158962 23.9137173 130.3547670 23.9137173 13.1158962 23.9137173 129.8781890

Una vez calculada esta matriz, se obtiene la matriz de admitancias en derivación equivalente de la línea de transmisión aplicando las ecuaciones (1.55) y (1.58):

j3.018729 -j0.515269 -j0.209976 -j0.515269 j3.081092 -j0.515269 -j0.209976 -j0.515269 j3.018729

1.4 TRANSPOSICIÓN DE CONDUCTORES EN LÍNEAS

Hasta este momento, se ha calculado los parámetros serie y derivación de la línea de transmisión en por unidad de longitud. En general, se observa que los equivalentes trifásicos de líneas de transmisión presentan un cierto grado de desbalance. En esta sección, se presenta una técnica matemática que representa el efecto de las transposiciones de líneas, a fin de observar su efecto sobre tales desbalances.

A manera de ilustración, únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie, debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar.

El equivalente trifásico de la impedancia serie, relacionando a los voltajes con las corrientes es el siguiente: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a I I I z z z z z z z z z V V V (1.62)

Aquí, es clara la existencia de acoplamientos mutuos, de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes. Además, estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí, aun para corrientes balanceadas, debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea.

165.4734340 25.7477341 25.7477341 165.4734340 D P = C P = abc P = abc Y = µSiemens/km µF-1 km µF-1 km µF-1 km

Solamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero, es decir, que Dab = Dbc = Dca. Sin embargo, este tipo de

arreglo es pocas veces utilizado en la realidad, debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea.

Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea. En la práctica, solo las líneas de transmisión de alto voltaje y de longitud considerable presentan transposiciones (por ejemplo, líneas de 230 o 400 kV y de longitudes mayores a 100 km).

1.4.1 Método General de Transposiciones

Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición, tal como muestra la Figura 1.17, donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones. Esta transposición se dice que es completa, debido a que solo se requiere de dos rotaciones para balancear perfectamente el circuito trifásico. En la práctica, puede realizarse otra rotación adicional con el fin de mantener en la misma posición a las fases del circuito trifásico.

Figura 1.17 Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión.

Matemáticamente, para lograr las rotaciones se utiliza las matrices de rotación siguientes:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 φ R (1.63) S

a

b

a

c

b

3 s 2 s 1 s

Sección 1 Sección 2 Sección 3

Posición 1 a I Posición 2 b I Posición 3 c I

c

y su inversa: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 φ R (1.64)

pudiéndose comprobar que t

R R_φ−1= _φ.

Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales:

(

abc

)

abc abc R Z R R I V

R_φ = _{φ φ}−1 _φ (1.65)

que es llamada “Transformación Rφ” y, además,

(

abc

)

abc

abc R Z R R I V

R_φ−1 = _φ−1 _{φ φ}−1 (1.66)

la cual es conocida como “Transformación R_φ−1”.

Si se desea analizar el efecto de la transposición, sin tomar en cuenta la longitud S de la línea, entonces se define lo siguiente para un ciclo completo:

3 2 1 ,, k ; S s f_k = k = (1.67) donde:

∑

f_k = 1 (1.68) Partiendo de la Figura 1.17, el cálculo de parámetros con transposiciones, para cada una de las secciones es como sigue:

Primera sección: ( )1

( )

Z

( )

s1 Z = _abc Ω (1.69) Segunda sección: ( )2

(

R 1Z R

)

( )

s2 Z = _φ− _{abc φ} Ω (1.70) Tercera sección: