INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY.

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(1)

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE MONTERREY.

CAMPUS MONTERREY.

PROGRAMA DE GRADUADOS DE LA DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA.

"DISEÑO E IMPLEMENT ACIÓN DE UN NUEVO CONTROLADOR DE TRES PARÁMETROS USANDO MODELOS DE ALTO ORDEN"

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN AUTOMATIZACIÓN CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA DE CONTROL.

POR

ING. SALVADOR EDUARDO RAMÍREZ BRAMBILA.

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SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

"DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN NUEVO

CONTROLADOR DE TRES PARÁMETROS USANDO

MODELOS DE ALTO ORDEN"

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA

OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN AUTOMATIZACIÓN

CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA DE CONTROL

POR:

ING. SALVADOR EDUARDO RAMÍREZ BRAMBILA

TESIS

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DEDICATORIA

A mis padres:

Filegonio Ramírez Catana.

María Isabel Brambila de Ramírez.

Por su ejemplo y apoyo en todo momento. Por el amor que me han brindado, la confianza y su motivación.

(4)

Agradezco al Dr. Carlos Narváez su apoyo, dedicación y consejos en la elaboración de este trabajo; así como a mis profesores por proporcionarme las herramientas formativas para la obtención del grado académico de Maestría en Automatización. Mención especial para mi comité de tesis, quienes con sus comentarios han enriquecido esta investigación.

Agradezco al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey, y al comité de becas, por haberme brindado la oportunidad de realizar mis estudios de posgrado.

Gracias a mi querida familia por estar conmigo en todo momento y por enseñarme a seguir adelante. A mi hermana Rosalba Ramírez Brambila por su cariño, confianza, deseo de superación y la alegría que me provoca al estar a mi lado.

(5)

ÍNDICE ÍNDICE i RESUMEN iii CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.1 Controladores automáticos. 1-1 1.2 Identificación de procesos. 1-1

1.3 Aproximación del tiempo muerto. 1-3

1.4 Robustez y sensibilidad. 1-3

1.5 Objetivo de la investigación. 1-4

CAPITULO 2. DISEÑO DEL CONTROLADOR.

2.1 Antecedentes. 2 -1

2.2 Características del IMC. 2-2

2.3 Proyección de dinámicas de modelos

de primer a segundo orden. 2-5

2.4 Aproximación del tiempo muerto. 2-7

2.5 índices de desempeño. 2-9

2.6 Estructuras analizadas. 2-10

2.7 Controlador propuesto. 2-19

CAPITULO 3. SENSIBILIDAD Y ROBUSTEZ.

3.1 Definición de sensibilidad y robustez. 3-1

3.2 Controladores a comparar. 3-3

3.3 Pruebas comparativas de robustez. 3-6

CAPITULO 4. EXPRESIÓN DISCRETA DEL CONTROLADOR.

4.1 Simulación contra realidad. 4-1

4.2 Proceso real a controlar. 4-1

4.3 Discretización del controlador. 4-1

CAPITULO 5. PRUEBAS EXPERIMENTALES.

5.1 Código del programa. 5-1

5.2 Resultados experimentales. 5-6

5.3 Observaciones. 5-25

CAPITULO 6. CONCLUSIONES.

6.1 Conclusiones. 6-1

(6)

ANEXO B. Tabla de respuesta de pruebas de simulación 3a etapa. B-l ANEXO C. Respuesta del controlador 4a etapa de pruebas. C-l

ANEXO D. Funciones de MATLAB. D-l

ANEXO E. Mascaras de SIMULINK - MATLAB. E-1

(7)

RESUMEN.

En u n a investigación preliminar desarrollada por Narváez y Sánchez (1), sé presentó u n a técnica de identificación de procesos en forma gráfica, con el objeto de obtener u n modelo de segundo orden con tiempo muerto. En esos estudios se observó que los procesos identificados como u n sistema de alto orden presentan mejores beneficios, además se iniciaron los primeros desarrollos de u n controlador que pueda aprovechar las ventajas del nuevo modelo.

Actualmente se cuenta con distintos algoritmos de control que van desde elementos tan básicos como u n control proporcional hasta estrategias de control moderno como IMC o Espacio de Estados. En cuanto m á s complejo es el algoritmo de control, las ventajas que presentan se van incrementando. Sin embargo, en m u c h a s ocasiones esta complejidad no es de la misma proporción de las ventajas obtenidas, además de la necesidad de contar con u n experto que desarrolle, modifique, ajuste e implemente el control.

En este trabajo se presenta el desarrollo de u n controlador a partir de los parámetros obtenidos mediante u n a identificación gráfica con el método NS4 (1).

La estructura de control que se utilizó se desarrolla a partir de la estrategia de u n Modelo de Control Interno "IMC", el cual se estructura en u n algoritmo de uso fácil y con tres parámetros adimensionales de ajuste, que inician en valores propuestos de operación con el objeto de incrementar su sencillez.

Además, el controlador que se propone se h a sometido a pruebas de simulación, de sensibilidad y robustez, así como a u n desarrollo computacional que permite la implementación del controlador en u n proceso real.

(8)

CAPÍTULO

1.

INTRODUCCIÓN.

1.1 Controladores automáticos.

Un controlador automático compara el valor real de la salida de u n a planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la variación y produce u n a señal que reducirá la desviación a cero o a u n valor pequeño. Esta dinámica h a sido u n objetivo común para distintas estructuras que se h a n diseñado con el fin de cumplir con esta meta. La Figura 1.1 representa u n lazo de control automático en donde Ge representa al controlador, Gp corresponde al proceso, R es la referencia, Y es la salida del sistema y P son las perturbaciones que pueden presentarse en u n sistema.

Figura 1.1. Sistema de control automático estándar.

Actualmente se cuenta con distintos algoritmos de control que van desde elementos tan básicos como u n control proporcional hasta estrategias de control moderno como IMC o Espacio de Estados. En cuanto m á s complejo es el algoritmo de control, las ventajas que presentan se van incrementando. Sin embargo, en m u c h a s ocasiones esta complejidad no es de la misma proporción de las ventajas obtenidas, además de la necesidad de contar con u n experto que desarrolle, modifique, ajuste e implemente el control.

La sencillez de la estructura de u n PID, aunado a la gran variedad de técnicas de sintonización y modelos que se h a n desarrollado desde su origen, lo mantienen como el controlador industrial mayormente utilizado.

El desempeño que proporciona el PID ante plantas con dinámicas de alto orden no es óptimo en la mayoría de los casos y esto se debe a que sin importar cual sea la estructura que utilicemos, tendrán como punto en común: La identificación del proceso, la cual en la mayoría de los casos corresponde a u n modelo de primer orden con tiempo muerto. La dinámica de los controladores puede evaluarse formalmente bajo los criterios de sensibilidad y de robustez.

1.2 Identiñcación de procesos.

Existen m u c h a s técnicas para identificar los procesos para modelarlos como sistemas de primer orden con tiempo muerto, sin embargo por su sencillez y

(9)

Introducción facilidad de implementación el método gráfico de lectura de dos puntos es el m á s utilizado.

Narvaez y Sánchez [1] proponen u n procedimiento para la obtención de u n modelo de segundo orden con tiempo muerto, utilizando u n a técnica gráfica que siga manteniendo la sencillez y la facilidad de implementación de este método. Además de incrementar la precisión en la representación de la dinámica del modelo con respecto al proceso real, al contar con u n a estructura de segundo orden. Y — — • — \ — - — i

/

/

/

/

/

/

/

/ /. 1

/

/ / / i 0 1 0 + 2 0 t 3 0 t 4 0 5 0 + 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 l0 . 3 k > . 6 K ) . 8 i

Figura 1.2. Respuesta de un proceso de segundo orden ante una entrada escalón.

La nueva propuesta esta inspirada en el procedimiento de Smith para modelos FOPDT y se denomina NS4 (Narváez - Sánchez 4 constantes). Consiste en:

1. Realizar u n a prueba escalón de magnitud A. Registrando el tiempo de inicio del escalón como to y dibujando la respuesta del proceso contra el tiempo. Permitir al proceso estabilizarse y registrar y0, Yoo como se muestra en la Figura 1.2.

2. Calcular y0.3 = yo + 0.3Yoo y0.6 = yo + O.6Y00 y0.8 = yo + O.8Y00

3. En la curva de respuesta, localizar yo.3, yo.6, yo.s. Leer los tiempos to.3,

to.6, to.s como se muestra en la Figura 1.2. 4. Calcular: Ai = to.6 - to.3 y A2 = tos - to.6

(10)

5. Calcular las constantes de tiempo: n = 3.94157A2 - 2.98045Ai y X 2 = 6.80261Ai - 5.50026A2. Si 1 2 es negativo, hacerlo cero. Si X 2 > ti, calcular x = \v/r,r2 y hacer xi = X 2 = x.

6. Calcular el tiempo muerto de 6 = t0 3 - to - 0.39423n - 0.73313x2. Si 9 es negativo, hacerlo cero.

7. Calcular la ganancia de:

K = Yoo/A.

8. Expresar el modelo como: Y,,, = -,- ^ ^

(S) (TIS + \)(T2S + Í)

1.3 Aproximación del tiempo muerto.

El tiempo muerto genera cierto grado de dificultad al ser utilizado en el diseño de controladores. Por esta razón existen algunas aproximaciones comúnmente u s a d a s para aproximar el tiempo muerto. Unas de las m á s u s a d a s son las aproximaciones de Padé de primer y de segundo orden, las cuales se muestran en las ecuaciones 1.1 y 1.2 respectivamente.

1 - *

e ~a = 2 Ecuación 1.1

2

, es e2s2

1 - + —

e"f t = 2 V2v Ecuación 1.2 , 0s 62s2

1 + +

2 12

Narvaez [3] propone aproximar el tiempo muerto con la siguiente ecuación:

- A

1

e = Ecuación 1.3

1+

s n )

Donde "n" puede tomar el valor de u n número entero positivo a partir de 1. Sánchez [2] demostró que valores de n mayores de 3 no aportan beneficios adicionales significativos, por lo cual n=2 es el valor más pequeño que mejora los resultados obtenidos al usar las ecuaciones 1.1 y 1.2.

1.4 Robustez y sensibilidad.

Un lazo de control se considera robusto si es capaz de mantener su dinámica a pesar de la presencia de perturbaciones, de cambios en la planta o de u n a identificación no tan precisa. Los conceptos de sensibilidad y de robustez están estrechamente relacionados, ya que al evaluar qué tan sensible al cambio es u n a

(11)

Introducción

estructura podemos determinar su robustez. Si u n sistema es muy sensible al cambio entonces se considera poco robusto.

1.5 Objetivo de la investigación.

El objetivo de este trabajo es desarrollar la estructura de u n controlador a partir de u n modelo de segundo orden, cuyos parámetros son obtenidos mediante u n a identificación gráfica con el método NS4. La estructura de control debe de ser de uso fácil y con el menor número de parámetros de ajuste, con el objeto de incrementar su sencillez.

El controlador que se proponga deberá someterse a pruebas de sensibilidad, además de los algoritmos de simulación se implementarán en u n proceso real.

(12)

CAPÍTULO

2 .

DISEÑO DEL CONTROLADOR.

2 . 1 A n t e c e d e n t e s .

Sánchez [2] presentó u n a aplicación de segundo orden, con las constantes obtenidas a partir del método de identificación NS4, en u n controlador con filosofía IMC (ecuación 2.1). Su comportamiento fue comparado con otros tres controladores: u n PID (ecuación 2.2), u n IMC utilizando u n proceso de primer orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con dos retrasos de la mitad del tiempo muerto (ecuación 2.3) y u n IMC utilizando u n proceso de segundo orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con la ecuación de Padé (ecuación 2.4). e s¿ +6s + \ T.+T2 (T,S + ÍÍT2S + l) 4 _ Ge = 7 - - \ - — , — r — ^ ; Ecuación 2.1 K(X + 0) ( r 1 + r 2 > ^ w + 0^ 4 S 2 + ± - 5 + 1 A+0 Á+0 Gc = Kc T;S + 1 TS +"a l Ecuación 2.2 Gc = (ra + l) — 5 + 1 J k(a + 0) TS , e2 A - 4 V + Á0 + o2 Ecuación 2.3 Á + 8 A + 0 - 5 + 1 - 5 + 1 X, + T7 (T.S + l¥ ? "75 +l) 2 Gc= ) - t ^ - t - Ecuación 2.4 k{á+e) ( r , +r2)s Á o - ^ 5 + 1 A + 0

De estas pruebas se observaron algunas ventajas del controlador desarrollado a partir del método NS4 con filosofía IMC, por lo que es esta estrategia la que utilizaremos en este trabajo para iniciar el diseño de u n a estructura que cumpla con los objetivos de esta investigación.

(13)

Diseño del controlador 2.2 Características del IMC.

El controlador tipo IMC (Modelo de Control Interno) introducido por García y Morari (4) en el año de 1982, se basa en el conocimiento del modelo exacto del proceso a controlar, permitiendo u n sistema de control estable y robusto.

El Diagrama a bloques del sistema de control IMC se muestra en la Figura 2.1, donde Gp es la función de transferencia del proceso, Gi es la ecuación del controlador, Gm es el modelo del proceso y P es la perturbación introducida al sistema. La sección que se encuentra encerrada en líneas punteadas es la parte que representa a todo el controlador (Ge).

Figura 2.1. Estructura básica del modelo de control interno.

El diagrama puede simplificarse a la estructura equivalente al de la figura 1.1, el cual representa la estructura tradicional de u n sistema de control, en donde la ecuación del controlador corresponde a la siguiente expresión:

Gc = Ecuación 2.5

La respuesta Y de la estructura mostrada en la Figura 2.1 se muestra en la ecuación 2.6. Si el modelo del proceso es igual a la función de transferencia del mismo (Gm = Gp), el denominador de la ecuación se hace uno, quedando como resultado la ecuación 2.7. G G Y = P + — - — - - - (R - p) \ + GtGp-GtGmK Ecuación 2.6 Y = P + G,Gm(R-P) Ecuación 2.7

En este caso, el sistema se comporta como si no existiera retroalimentación, es decir, como si fuera u n lazo abierto, tal y como se muestra en la Figura 2.2 en donde la estabilidad del sistema depende de Gj y de Gp.

(14)

R - k . \ fe Gi fe Gp

+*(

w Gp

Figura 2.2 Estructura del controlador IMC cuando Gm - Gp.

Idealmente sería adecuado tener u n a respuesta Y sin retraso cuando sólo ocurre u n cambio de referencia (es decir no hay perturbaciones). Para que lo anterior pueda suceder es necesario que G¡GP=1 por lo tanto:

G,. = 1

G„ Ecuación 2.8

La ecuación 2.8 establece que la ecuación del controlador IMC debe de ser la inversa de la función de transferencia del proceso.

Para el caso de que se presente solamente u n a perturbación P, se desearía que la salida Y no fuera afectada (Y=0). Para que esto ocurra debe darse que GiGp=l; lo anterior conduce al mismo resultado de la ecuación 2.8.

Sin embargo, la aplicación de la ecuación 2.8 frecuentemente genera u n a función de transferencia que no puede ser implementada por ser impropia o de fase no mínima. Por ejemplo, cuando hay tiempo muerto, al ser invertido el termino implica predicción, por lo que no puede ser implementado.

Para evitar lo anterior usualmente se expresa Gm como:

Gm = Ge

Ecuación 2.9

Donde G es u n término de fase mínima. De esta manera, Gi se aproxima como: G, = 1

Ecuación 2.10

La principal desventaja de éste controlador radica en el modelo del proceso, ya que para tener u n óptimo funcionamiento, se debe de conocer con exactitud el proceso que se desea controlar, y en la mayoría de las aplicaciones industriales cuando mucho se tiene u n a modelación de primer orden con tiempo muerto. Otra desventaja que tiene este controlador, deriva en que la ecuación de éste es el inverso de la del modelo del proceso, y si los ceros del proceso son inestables, el controlador tendrá polos inestables que deberán de ser eliminados.

(15)

Diseño del controlador

En resumen, si no se tiene u n modelo exacto del proceso y ceros estables, se tiene que eliminar términos de la ecuación del controlador, lo cual repercutirá en u n pobre desempeño y no serán aprovechadas las ventajas que el IMC posee. Para mejorar el desempeño del controlador IMC, García y Morari [4] recomiendan agregar u n filtro en la trayectoria, Figura 2.3.

P R

Figura 2.3 Adecuación del control de modelo interno incorporando un filtro.

Con esta modificación se obtiene:

G,G„ = 1 e"f t Ecuación 2.11

' p /Ls + l

Si implementamos la estructura IMC para u n modelo de segundo orden, debemos de considerar las siguientes ecuaciones:

Ke-* Gn - , x, r Ecuación 2.12 G. K 0 \2 s + l Ecuación 2.13

Donde Gm representa el modelo del proceso con la aproximación del tiempo muerto expresada en la ecuación 1.3. Despejando Gi e introduciendo el valor de Gp en la ecuación 2.11 obtenemos la siguiente expresión:

(r^ + lX^s + l)

G = /; \ Ecuación 2.14

(16)

Al introducir las ecuaciones 2.13 y 2.14 en la ecuación 2.5 y acomodando los términos de la ecuación, se obtiene u n modelo de u n controlador tipo IMC con estructura de segundo orden, el cual se muestra en la ecuación 2.15.

@2 2 n 1 ( i V , i \ • - s + 6s + l Gc= r -, ,/ V- A Ecuación 2.15 K[A + 0] {T1+T2)S w + 9 2 4 .v' + 4 - . + 1 A + 0 ¿ + 0

Este controlador fue probado por Sánchez [2], y presentó algunos beneficios. El valor de X que propuso fue:

A = p(r, + T2 ) Ecuación 2.16

Donde (3 es u n a constante de suavizado. Por lo tanto el controlador propuesto es:

O2 2

ti +t7 ( v + Q f c j + l ) 4 S + l Ecuación 2.17

C=K\p(rí+r2) + 0] (r¡+r2)s fi( ^ ^ ^ j l

4 s2+ , ^ ^ ^ + 1

Como podemos observar el controlador esta conformado por tres partes: La primera es equivalente a u n a ganancia, la sección intermedia es similar a u n PID y el último término equivale a u n compensador de adelanto - atraso de segundo orden. A pesar de los beneficios que mostró este controlador, no se evaluó si el valor de X es el mejor o si la aproximación del tiempo muerto representa la mejor aproximación para obtener u n a buena dinámica del controlador.

2 . 3 P r o y e c c i ó n d e d i n á m i c a s d e m o d e l o s d e p r i m e r a s e g u n d o o r d e n .

En ocasiones nos enfrentamos a situaciones donde, partiendo de u n modelo de segundo orden, requerimos evaluar su comportamiento en relación con la dinámica de u n sistema de primero. Por ejemplo, u n PID requiere como parámetros datos obtenidos de u n modelo de primer orden, si contamos con el comportamiento del sistema expresado como u n segundo orden, no es necesario realizar u n a nueva identificación del proceso para obtener los parámetros de primer orden, ya que podemos proyectar las constantes del modelo de segundo a u n sistema de primer orden.

Un ejemplo de la respuesta de u n modelo de primer orden puede observarse en la Figura 2.4. Mientras que la respuesta de u n sistema de segundo orden, puede verse en la Figura 2.5.

(17)

Diseño del controlador 0.9 o.e 0.7 -0.5 0.3 0.2 0.1 -1

/

/

/

/

/

/ i _ /

/

1 j 1 1 ts1 0 10 20 30 40 50 GO 70 80 90 100

Figura 2.4. Respuesta de un sistema de primer orden sin tiempo muerto.

0.9 0.6 0.5 0.4 0.3 0.1

-—

/

/

/ / " '

/

/

/ / '

/

ts2 40 50 GO 00 90 100

Figura 2.5. Respuesta de un sistema de segundo orden sin tiempo muerto.

Para a m b a s respuestas definimos sistemas sin tiempo muerto, pues para la proyección de este parámetro, basta con hacerlos equivalentes en ambos sistemas. Un modelo de segundo orden puede expresarse según la ecuación 2.13.

K

(18)

Para este modelo, el tiempo de asentamiento (tS2), puede ser aproximado como se expresa en la ecuación 2.19.

ts2 « 4T] + 2r2 Ecuación 2.19

en donde r, > r2

El tiempo de asentamiento de u n modelo de primer orden (tsi) puede ser aproximado mediante:

tsl = 4/1 Ecuación 2.20

Donde X es la constante del tiempo del modelo. Si igualamos las dinámicas de los dos modelos con respecto a su tiempo de asentamiento, obtenemos:

42 = (4r, + 2 r2) Ecuación 2.21

Donde:

X = r, +

v 2 y

Ecuación 2.22

Para hacer m á s flexible la aproximación, se introduce la constante p y se obtiene:

Á = J3 f r2

T, +

v 2

Ecuación 2.23

Donde (3 corresponde a u n a constante de suavizado, ya que al aumentar su valor se hace m á s lenta la respuesta. Está ecuación puede ser u s a d a para definir la constante del filtro en la ecuación 2.15.

2.4 Aproximación del tiempo muerto.

El método NS4 es u n método sencillo para la obtención de las constantes de u n modelo de segundo orden. Por otra parte, la ecuación 1.3 es u n a expresión de fase mínima que representa la dinámica del tiempo muerto. Debemos evaluar si dicha expresión no genera inestabilidades o expresiones impropias al ser usado para el control. 1

f,

o

Y'

1 + - s \ n ) Ecuación 1.3

(19)

Diseno del controlador

Sánchez [2] estudió el comportamiento de la ecuación 1.3 y obtuvo los resultados mostrados en la Figura 2.6, en donde, para fines de comparación se incluye las aproximaciones de Padé de primero y segundo orden.

0 10 20 30 40 50 G0 70 30 90

Figura 2.6 Serie de aproximaciones del tiempo muerto.

Al comparar las aproximaciones, Sánchez [2] obtuvo las sumatorias de errores al cuadrado SSE, mostrados en la Tabla 2.1.

APROXIMACIÓN SSE

Padé 1er. Orden. 5.643

Padé 2o. Orden. 3.5 n=l 4.842 n=2 3.341 n=3 2.684 n=4 2.243 n=5 2.033

Tabla 2.1. Aproximaciones y sus correspondientes SSE.

De estos resultados se puede concluir que: valores de "n" mayores de 3 no aportan beneficios adicionales significativos y por lo tanto, n = 2 es el valor m á s pequeño que mejora las aproximaciones comúnmente usadas. De esta manera se puede obtener u n modelo de fase mínima para procesos con tiempo muerto como se m u e s t r a en la ecuación 2.27, donde G representa el modelo de fase mínima del proceso sin tiempo muerto.

G =G • * - Ecuación 2.24

í a V

(20)

2.5Índices de desempeño.

Narváez [3] h a propuesto índices de desempeño como indicadores de medición del comportamiento de u n controlador. Estos valores se establecen de manera comparativa y, dependiendo del porcentaje de variación o de magnitud, podemos conocer las características del desempeño del controlador.

Se utilizan cuatro índices, dos de ellos se definen para cambios en referencia y los dos restante para la presencia de perturbaciones. Para expresar las variables que intervienen en este análisis, podemos analizar u n modelo como el de la Figura 2.7. D + R

O

^ fe G c fe Gp fe/

)

p G c w Gp + ( —

O

Figura 2.7 Sistema retroalimentado para evaluación de índices de desempeño.

Podemos observar en la Figura 2.7 que existen dos trayectorias de operación: Y/R,

Y/D. Si evaluamos el bloque del proceso, es decir en lazo abierto, y lo sometemos a u n a entrada escalón, podemos definir dos parámetros: Yoo, que corresponde a la magnitud que alcanza el proceso ante la presencia de la entrada escalón y tsp, que es el tiempo de asentamiento; tiempo que tarda en entrar a la b a n d a de ±2%

de Yoo. Estos dos parámetros presentan u n equivalente ante cambios en

referencia y ante perturbaciones.

De acuerdo a la gráfica de la figura 2.8, los cuatro índices que se utilizan para evaluar el desempeño del controlador son:

• Ir. Corresponde al tiempo de asentamiento del lazo cerrado ante cambios de referencia con respecto al tiempo de asentamiento del lazo

abierto (t2r/tir).

• Ip. Corresponde al tiempo de asentamiento del lazo cerrado ante presencia de perturbación con respecto al tiempo de asentamiento del lazo abierto (t2d/ti<j).

• %Desv. Es la razón en porcentaje de los valores de Ym/Yoo. Es decir, la magnitud alcanzada de u n a perturbación en lazo cerrado con respecto a la magnitud de respuesta de la misma perturbación en lazo abierto (C/D).

• %Stl. Puede compararse al sobretiro, ya que es equivalente al valor máximo alcanzado del sistema en lazo cerrado con respecto a la respuesta en lazo abierto ante u n cambio de referencia (A/B).

(21)

Diseno del controlador

La Figura 2.8, representa la respuesta del proceso en lazo abierto y en lazo cerrado al aplicarle u n a perturbación del tipo escalón unitario.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

2.6 Es truc turas analizadas.

Una de las primeras estructuras que fueron evaluadas fue el controlador denominado CNS4-2, Controlador Narváez - Sánchez de cuatro lecturas y con aproximación de tiempo muerto de segundo orden, expresado en la ecuación 2.17.

r (r «._I.iV,. , + ú --s2+0s + \ Ecuación 2.17 Gct_ Ti+T2 IV + 'X^ + lJ 4

4 s>+ \ 4

,

+

l

P{t,+t2) + G fi{rl+T2) + 0

En esta expresión se utilizan los parámetros obtenidos a partir de la identificación NS4 y cuenta con u n solo término de ajuste, el cual corresponde a:

P-El objetivo de u n término de ajuste es el de aprovechar los datos que se obtienen de u n a identificación previa y, sin necesidad de crear reglas de sintonía, poder mejorar el desempeño del controlador moviendo únicamente u n a variable que no presente unidades de medida.

(22)

Si se considera la ecuación 2.23 para definir la constante de filtro, X, se obtiene u n a nueva estructura, la cual se presenta en la ecuación 2.25. Este controlador tiene también u n solo parámetro adimensional de ajuste ((3).

Gc-K R, ( Y + LXR2S + L) (R, + R2> s2 +ds + \ Ecuación 2.25 P h+-2) P h+! -s + — P\ e+-+e P\ rl + -f\ + 0 - 5+ 1

Otra alternativa es hacer X = 0, que equivale a la máxima velocidad de respuesta del lazo. Este nuevo controlador se define como la expresión 2.26

Gc = r, + r2 ( r ,J + Í){T2S +1) ^ - 5 + 1^

l

2 K0 ( T , +T2)S e Ecuación 2.26 5 + 1

Debido a que la expresión en el compensador es impropia, el orden del numerador se tiene que reducir. Por otra parte, para modular el término de ganancia se introduce la constante adimensional, a, y se obtiene el controlador expresado en la ecuación 2.27. Ge = a r]+r2 (r^ + l\r2s + l) ¡3°S + \ V K6 ( T , +T2)S 6 Ecuación 2.27 s + l

Un cuarto controlador se obtuvo al considerar que las constantes de tiempo del modelo de segundo orden eran iguales, con lo cual el valor de X se modificaba, quedando la expresión de la siguiente manera:

3

A = P r. Ecuación 2. 28

2

Y por consiguiente el controlador obtenido se presenta en la ecuación 2.29.

Gc = fí2 H ± L _ ( M + I X V + I ) T * 2 + F T + 1 E C U A C I Ó N 2 ' 2 9 ' 2 J j - i2 + ^ + L p-r.+e s2T.+o 2 1 H 2 1

(23)

Diseño del controlador

Primera etapa de pruebas.

Para estas cuatro propuestas se elaboraron pruebas de desempeño utilizando los controladores anteriormente mencionados, con u n proceso de segundo orden con tiempo muerto con los parámetros que se muestran en la siguiente expresión:

Las pruebas consistieron en ejecutar los modelos en simulación en MATLAB -SIMULINK, tanto para cambios en referencia como para presencia de u n a perturbación. Ambas señales son de tipo escalón unitario. Los parámetros de ajuste, a y (3 se modificaron desde 0.1 hasta 1.2, con incrementos de 0.1. En total se realizaron 250 pruebas entre los cuatro controladores.

Estas pruebas demostraron los siguientes puntos:

• La estructura del controlador utilizando la estrategia IMC es en general estable y robusta, ya que no presenta cambios drásticos ante distintos valores de las constantes de ajuste.

• Existe u n compromiso entre el comportamiento del controlador para seguimiento y para regulación, por lo que no es posible obtener el mejor desempeño para ambos objetivos al mismo tiempo.

• Los controladores con A. = 0yA. = TI + X2/2, presentaron mejor respuesta alcanzando indicadores de desempeño de: %Desv. = 14, %STL = 0, Ir = 0.52 e Ip=0.79 para ciertos valores de ajuste, por lo que se sometieron a u n a segunda etapa de prueba.

Segunda etapa de pruebas.

Para la segunda etapa de pruebas se utilizaron diez procesos para evaluar el desempeño de los dos controladores que fueron seleccionados. Los procesos tienen u n a dinámica de cuarto orden en el 90% de los casos y se simuló u n proceso de quinto orden, cabe hacer mención que algunos de estos procesos presentan durante la identificación u n valor de tiempo muerto superior al valor de la constante de tiempo m á s grande de la planta. Estos procesos pueden observarse en el Anexo A.

Para el proceso con A,=ii + 12/2 se realizaron 14 pruebas a cada proceso, ante cambios en referencia y perturbación para los valores de p que demostraron u n mejor desempeño, p varió de 0.2 a 0.5 con incrementos de 0.05. En u n a selección de los mejores casos puntuales, los indicadores de desempeño que se obtuvieron fueron: %Desv. = 29, %STL = 9.4, Ir = 0.739 e Ip=1.14. Sin embargo, de manera general no se obtiene u n desempeño óptimo. En la Tabla 2.2, se presenta la respuesta del controlador con el proceso:

Gp = 1 -30s Ecuación 2.30

(l005 + lX505 + l)

Gp = 1 -SOS

(10(b + l)3(80s + l)(60s + l) e

(24)

B E T A " T»I R E F IR T.I P E R T I P Y M % D E S V % S T L 0 . 2 1 6 6 5 . 8 6 1 . 6 2 7 7 5 4 1 5 3 1 . 5 7 1 . 4 9 6 5 3 6 0 . 5 1 0 8 0 . 5 1 0 8 2 8 . 4 3 0 . 2 5 1 7 0 5 . 5 3 1 . 6 6 6 5 1 7 1 5 6 6 . 9 1 1 . 5 3 1 0 6 8 0 . 5 2 5 7 0 . 5 2 5 7 2 6 . 8 7 0 . 3 1 7 2 6 . 6 8 1 . 6 8 7 1 8 3 1 5 9 9 . 4 1 . 5 6 2 8 1 5 0 . 5 3 9 2 0 . 5 3 9 2 2 5 . 3 9 0 . 3 5 1 4 7 9 . 6 4 1 . 4 4 5 7 9 4 1 6 3 4 . 5 5 1 . 5 9 7 1 6 0 0 . 5 5 1 6 0 . 5 5 1 6 2 3 . 2 4 0 . 4 1 5 0 4 . 1 4 1 . 4 6 9 7 3 4 1 6 6 8 . 0 4 1 . 6 2 9 8 8 4 0 . 5 6 3 1 0 . 5 6 3 1 2 1 . 1 1 0 . 4 5 1 5 1 9 . 0 4 1 . 4 8 4 2 9 3 1 7 0 2 . 2 7 1 . 6 6 3 3 3 1 0 . 5 7 2 2 0 . 5 7 2 2 1 9 . 2 1 0 . 5 1 5 2 8 . 5 7 1 . 4 9 3 6 0 5 1 7 3 3 . 7 2 1 . 6 9 4 0 6 2 0 . 5 8 2 9 0 . 5 8 2 9 1 7 . 3 9

Tabla 2.2. Respuesta del controlador con X = Xi + T2/2 para un proceso de quinto orden.

Como podemos observar, tenemos sobretiros de m á s del 10 % (Valor que utilizaremos como tolerancia) y los tiempos de establecimiento superan al del proceso en lazo abierto.

Para el proceso con X = 0 se realizaron 40 pruebas a cada proceso, ante cambios en referencia y perturbación, para los valores de a y P que demostraron u n mejor desempeño, a varió de 0.35 a 0.5 con incrementos de 0.05, mientras que P fue evaluada de 2 a 4 con incrementos de 0.05. En u n a selección de los mejores casos puntuales, los indicadores de desempeño que se obtuvieron fueron: %Desv. = 26.46, %STL = 0, Ir = 0.44 e Ip=1.38. Sin embargo, de manera general no se obtiene u n desempeño óptimo.

Estas pruebas demostraron los siguientes puntos:

• La estructura del controlador utilizando la estrategia IMC es en general estable y robusta, exceptuando el controlador con A,=0, que para ciertos valores de ajuste, alcanza la inestabilidad.

• Existe u n compromiso entre el comportamiento del controlador p a r a seguimiento y para regulación, por lo que no es posible obtener el mejor desempeño para ambos objetivos al mismo tiempo.

• Independientemente del algoritmo que se analice, no son suficientes las constantes de ajuste en la ganancia o en el compensador de adelanto atraso, pues la dinámica de la estructura del PID permanece constante evitando la adaptación del controlador a u n a nueva dinámica.

• Ambos controladores en general no presentan u n desempeño óptimo, por lo que se buscó u n a nueva propuesta.

Para obtener u n a mejor alternativa, se realizo u n a modificación al controlador cuyo desempeño, hasta ahora, es el m á s estable. La modificación consiste en incorporar u n coeficiente de ganancia en las constantes de tiempo que conforman el PID, esto con el objeto de ajusfar los valores de los términos proporcional, integral y derivativo al mismo tiempo, dependiendo del proceso que se pretende controlar. El controlador obtenido se presenta en la ecuación 2.32. En esta estructura continuamos utilizando el coeficiente P del algoritmo inicial y se incorpora u n a variable a en la sección del PID, además de separar la dinámica en la etapa de ganancia, con respecto a la etapa de adelanto atraso, incorporando u n a constante 7 en lugar de la "Beta" original.

(25)

Diseño del controlador Gc = r h (AR,_> + \%a,T2s +1) a(r¡ + r2)s Ecuación 2.32 R,+ s + \

Para evaluar el comportamiento de este controlador se utilizó el modelo de proceso cuya ecuación equivalente (modelo identificado) tiene el valor del tiempo muerto superior a la constante de tiempo m á s grande del sistema, este proceso es el mismo que se presentó en la ecuación 2.31.

Se corrieron 40 simulaciones para distintos valores de a y y; Para a se cubrieron valores de 0.4 a 1 con incrementos de 0.2, mientras y varió de 0.6 a 1 con intervalos de 0.1. El valor de p se mantuvo constante en 0.1, pues fue el valor que permitió u n comportamiento menos violento del sistema, además de mantener el controlador con sólo dos parámetros de ajuste. Las conclusiones que obtuvimos con este algoritmo son:

• Para el coeficiente p utilizado en el compensador de adelanto atraso, se observó u n comportamiento menos violento al utilizar valores m á s pequeños.

• Es posible ajusfar el comportamiento del controlador al variar alguna de las variables de sintonía (a o y), sin embargo el algoritmo es m u y sensible al cambio y en el 90% de los casos los indicadores obtenidos son superiores a la dinámica del proceso en lazo abierto.

• Sigue existiendo u n compromiso entre la dinámica de seguimiento y la dinámica de regulación.

• Existen tres constantes de sintonía, y no se observa en forma simple, u n procedimiento de ajuste.

• Es necesario evaluar u n a nueva estructura de control.

Al independizar el módulo de ganancia con respecto al compensador de adelanto atraso, observamos que para valores pequeños de p se presenta u n comportamiento m á s estable del sistema, por lo que si proponemos que dicho valor tienda a cero obtenemos la ecuación 2.33 para el compensador.

a Ecuación 2.33

^ + 1 4

Como podemos apreciar, esta expresión cuenta con u n numerador de orden superior al denominador, por lo que la respuesta del sistema se vuelve violenta. Una primera propuesta es presentar u n compensador de adelanto atraso del mismo orden, por lo que u n a opción es la de reducir el orden del numerador, lo CUAL NOS LLEVA A LA ECUACIÓN 2.34.

(26)

0 I 5 + 1 - Ecuación 2.34 0 1 - 5 + 1 4

Esta expresión fue modificada al incorporar u n coeficiente de ajuste "cp", tal y como lo muestra la ecuación 2.35. Por desgracia, desde las primeras pruebas de simulación, su comportamiento no se reflejó para distintos valores de q> < 2; y cuando se observó u n cambio significativo, la manipulación era violenta y la respuesta general del sistema fue poco estable.

e .

(p -— 5 + 1

2 Ecuación 2.35

La siguiente propuesta fue la de conservar el numerador como u n a expresión de segundo orden y por lo tanto incrementar el orden del denominador. El incremento de orden se hizo mediante la aproximación:

0

5 + 1 5 + 1

8 J Ecuación 2.36

Además de esta modificación, se propone incrementar la razón del numerador con respecto al denominador, con el objeto de hacer m á s representativo la acción del compensador de adelanto atraso. La expresión resultante se muestra en la ecuación 2.37.

(

ñ

,Y

- 5 + 1 02 52 +0S + 1 (0 5 + 1 02 64' 2 0 T r + —5 + 1 Ecuación 2.37

Además de estas modificaciones, se incorporó u n a constante, pe, que permitiera variar la acción del compensador, esta variable se observa en la ecuación 2.38.

r

0 ^2 V ¿ (0 J Y Ecuación 2.38 V 8 5 + 1

(27)

Diseno del controlador

Al probar este compensador de adelanto atraso en el controlador de la ecuación 2.25. se observó que su aportación es significativa por lo que se decidió realizar u n a tercera serie de pruebas.

Tercera etapa de pruebas.

Durante el desarrollo de esta etapa de pruebas se buscó analizar el comportamiento de controlador con u n máximo de dos parámetros de sintonía, por lo que se realizó u n a serie de combinaciones de las estructuras h a s t a ahora planteadas, obteniendo cuatro nuevas estructuras. Para observar la dinámica y el desempeño de estos algoritmos se utilizó el proceso de la ecuación 2.31.

La primera estructura que se obtuvo fue utilizando la expresión de ganancia que resultó de proponer 1 = 0, además utiliza el compensador de adelanto atraso obtenido en la ecuación 2.38. El algoritmo se expresa en la ecuación 2.39.

„ r

l +

r

2

(r

1

,

+

lXr

2

,

+

l

) ^ T

í 2 +

^

+ 1

.

Gc = y 1 - - — '- —-= Ecuación 2.39

K0 (r,+T2)s G2 2 0 .

v 1 2 / —s +—s + \

64 4

Donde p y y son constantes adimensionales de sintonía.

La segunda estructura que se propuso, ecuación 2.40, es similar a la ecuación anterior, con la variante de que el parámetro de sintonía se presenta en la estructura PID y se elimina del compensador adelanto atraso.

9 2 n t

Gc = p 1 2 ^ -r— \ ¿ -4 Ecuación 2.40

K0 a(t,+T2)s 02 2 0 ,

v 1 2' -s +-S + 1

64 4

Aquí las constantes de sintonía de a y p son también adimensionales.

La tercera estructura evaluada, utiliza en la parte de ganancia, el valor de X

definida en la ecuación 2.23.

A = /3 TT + Ecuación 2.23

Además utiliza como compensador de adelanto atraso, el algoritmo expresado en la ecuación 2.38. El controlador obtenido se muestra en la ecuación 2.41.

(28)

e2 Gc = K r, + -í

-(

V +

lXr

2

5

+ l ) ^ ^ 2 + ^ c f t +

l

+ 9

(r, +r

2

>

— s +—s + l 64 4 Ecuación 2.41

El cuarto controlador a evaluar es similar al anterior, con la variante de que el parámetro de sintonía del compensador de adelanto atraso se suprime y se incorpora u n a constante de ajuste en la estructura PID. Este algoritmo se presenta en la ecuación 2.42. 6 Gc = K r, + (at^s + \\GCT2S + l) 4 -s2 +0S + 1 + 0 e2 64 2 e 1 s + — s + l Ecuación 2.42

Cada controlador se evaluó en 56 simulaciones. El coeficiente de sintonía de la sección de ganancia se varió de 0.3 a 0.9 con incrementos de 0.1, mientras que el coeficiente de sintonía del compensador de adelanto atraso o el PID varió de 0.1 a 0.9 con incrementos de 0.1 a 0.2 tal y como se muestra en las tablas de respuesta del anexo B.

Si analizamos las tablas de respuesta de cada controlador podemos concluir lo siguiente:

• Sin importar cual sea el controlador. Existe u n compromiso entre el desempeño y la regulación del sistema.

• Los controladores cuyo valor de X es diferente de cero, tienen u n comportamiento más acotado. Sus indicadores se mueven en u n rango menor que los controladores con X = 0. Esto permite mantener el sistema en u n nivel de operación, con la seguridad que no se alcanzaran respuestas abruptas o fuera de los valores de tolerancia que se especifiquen al sistema.

• Los controladores con constante de sintonía en el PID alcanzan indicadores más atractivos, aunque para algunos valores de dichas constantes el sistema se comporta de manera inestable.

• Los controladores con constante de sintonía en el compensador de adelanto atraso, se comportan de manera más estable y la señal de manipulación que generan es menos violenta.

• El controlador más estable y con u n a manipulación menos violenta fue el de la ecuación 2.41, sin embargo, sus valores de operación, aunque aceptables, son superados por los controladores con constante de suavizado en el PID.

• Se requiere analizar si los beneficios observados en cada controlador puede ser integrados en u n a sola estructura por lo que se inicio u n a

nueva etapa

de

pruebas.

(29)

Diseño del controlador

Cuarta etapa de pruebas.

Debido a que el controlador de la ecuación 2.41 presentó u n mejor comportamiento en cuanto a estabilidad, además de evitar cambios violentos en la señal de manipulación, fue esta la estructura seleccionada para incorporarle la sección de PID con constante de ajuste, esto con el objeto de evaluar la posibilidad de integración en u n a estructura de las ventajas anteriormente analizadas. Sin embargo, esta modificación nos genera u n a estructura con tres parámetros de ajuste, tal y como se muestra en la ecuación 2.43.

202 Gc = K P r, + + 0 a{rl + r2 )s O2 i 0 . — s + - s + l 64 4 Ecuación 2.43

Utilizando el proceso de la ecuación 2.31, se realizaron diversas simulaciones variando los parámetros del controlador de 0.1 a 2.0 con incrementos de 0.1. Al evaluar los resultados observamos que los valores que demostraron u n a respuesta óptima fueron los siguientes:

0.8 < p < 1.2 a = 0.6 pe = 1.1

Con el objeto de mejorar el desempeño del controlador se evaluaron incrementos de 0.01 alrededor de los parámetros anteriores. Esto permitió definir que los valores de operación que mejoraban cualquier desempeño h a s t a ahora obtenido, se lograban con las siguientes variables:

0.8 < p < 1.2 a = 0.62 pc = 1.13

Los valores de p varían en u n rango, debido al compromiso entre regulación y seguimiento. A valores menores de 1 se obtiene mejor respuesta para rechazar perturbaciones, mientras que para valores superiores a 1 se obtiene mejor respuesta para seguimiento.

Con el objeto de evaluar si estos valores son válidos para diferentes sistemas se realizaron simulaciones con procesos de segundo, tercero, cuarto y quinto orden, los cuales se muestran en el Anexo A. Los resultados obtenidos, los cuales se presentan en el Anexo C, fueron satisfactorios. Por lo que podemos afirmar que el controlador de la ecuación 2.43 es el algoritmo que proporciona el mejor desempeño a partir de los parámetros obtenidos con el método de identificación NS4.

A partir de este modelo, se requiere acomodar las variables que intervienen, con el objeto de presentar a los futuros usuarios u n a herramienta de fácil sintonía y de sencilla operación.

(30)

2.7Controlador propuesto.

Con el objeto de facilitar la utilización del algoritmo de control definido en la ecuación 2.43 y a partir de las pruebas en simulación que se realizaron, definimos la siguiente estructura:

Gc = r , + r ,

8

Ur,c ^ , - , \ , T / n c n , - , \ ,1 {ar + 0. 1 3 )2 —s2 +{av + 0. 1 3 V & + 1

[(0.5aF + 0 . 1 2 ^ , 5 + 11(0.50,, +0.\2}t2s + \\ 7 4 K_ [ R

K ( 0 . 7 ^ + 0 . 3

( 0 . 5 aF + 0 . 1 2 X r , +t2)s 62_

64 s +—s + \ 2 & ,

Ecuación 2.44

Como podemos observar, en este nuevo acomodo del algoritmo, se incorporan tres parámetros independientes de los obtenidos en el procedimiento de identificación NS4. Estos parámetros son: ak, a F y av.

La estructura que se proporcionó a cada u n a de estas variable es con el objeto de utilizar a la unidad como valor de default y con ello proporcionar de manera automática los valores de las constantes que nos proporcionan u n mejor desempeño:

• Constante de la sección de ganancia ak = 1 • Constante de la sección de PID aF = 1 • Constante de la sección adelanto atraso av = 1

Las pruebas desarrolladas a este controlador nos permiten distinguir el comportamiento del sistema al manipular algunas de las variables, además de permitirnos definir u n nombre para cada u n a de ellas. La descripción de estas variables se presenta a continuación. Su funcionamiento se analiza con apoyo del proceso de la ecuación 2.31.

Gp= •——1 e~sos Ecuación 2.31

(100s + l)3(80s + l)(60.s + i) Factor de suavizado de ganancia ak

Este parámetro se denomina factor de suavizado de ganancia debido a que al aumentar su magnitud disminuimos el valor de la sección de ganancia, el rango de operación para esta acción se propone de 1 a 3, ya que en las pruebas no se requirió u n a magnitud mayor. Aunque puede utilizarse constantes superiores a los valores propuestos. Si hacemos que la constante de factor de suavizado tienda a infinito, anulamos la acción del controlador y de hecho de todo el sistema, al obtener cero en la sección de ganancia. Recomendamos que se utilice el valor propuesto de 1 y que si se desea suavizar la ganancia se realicen incrementos de 0.1.

(31)

Diseño del controlador

En caso de requerir aumentar la ganancia debemos disminuir el valor de ak, el rango de operación para esta acción se limita de 1 a 0. En este caso el controlador puede tolerar el valor de cero, ya que la estructura cuenta con u n a protección. Para modificar el factor de suavizado de ganancia en este rango, recomendamos iniciar con el valor propuesto de 1 e ir disminuyendo en decrementos de 0.1.

La respuesta a distintos valores de factor de suavizado de ganancia, manteniendo las otras dos constantes en sus valores propuestos se presentan en la Figura 2.9 y Figura 2.10.

Como podemos observar en la figura anterior, al incrementar el factor de suavizado de ganancia, a.K, disminuimos el sobretiro y mejoramos el tiempo de establecimiento. El valor propuesto de 1, proporciona u n sobretiro en el rango del

10% y u n tiempo de establecimiento menor al del proceso en lazo abierto.

Para el caso de la respuesta ante u n a perturbación, podemos observar que al incrementar el factor de suavizado de ganancia, BLK, incrementamos el tiempo de establecimiento y disminuimos la acción de rechazo al aumentarse el porcentaje de desviación. Debemos de hacer mención de que a pesar de que a valores m á s pequeños del factor de suavizado, el rechazo de la perturbación es mayor, no podemos asegurar que la banda de 2% se alcance en la primera entrada de la señal a esa zona, como ejemplo específico para este proceso podemos observar la

respuesta

para aK = 0.

(32)

1.2 0.6 0.2 0 -0.2 ! : y 7 \ \ .. X - 2 5 -/ : 0 \ X .y \ ^ 2 . 0 0 500 1000 1500

Figura 2.10 Respuesta del sistema ante una perturbación de tipo escalón para distintos valores de a * . .

Debemos enfatizar que existe u n compromiso entre cambios de referencia y presencia de perturbaciones, ya que al incrementar el factor de suavizado de ganancia podemos mejorar significativamente la respuesta para cambios en referencia, pero reducir el desempeño en presencia de perturbaciones. El valor propuesto de 1 para &K, nos permite operar el controlador en u n punto intermedio y es decisión del usuario definir la dinámica deseada.

Factor de suavizado de frecuencia aF

Este parámetro se denomina factor de suavizado de frecuencia debido a que al a u m e n t a r su magnitud disminuimos la frecuencia del lazo. El rango de operación para esta acción se propone de 1 a 3. El valor inicial propuesto es aF = 1, que fue el que presentó el mejor comportamiento, y durante las pruebas no h u b o necesidad de modificar su magnitud para mejorar el desempeño del sistema. Recomendamos utilizar el valor propuesto de 1 y, si hay necesidad de suavizar la frecuencia, se realicen incrementos de 0.1.

En caso de requerir aumentar la frecuencia debemos disminuir el valor de aF, el rango de operación para esta acción se limita de 1 a 0. En este caso el controlador puede tolerar el valor de cero, ya que la estructura cuenta con u n a protección. Para modificar el factor de suavizado de frecuencia en este rango, recomendamos iniciar con el valor propuesto e ir disminuyendo en decrementos de 0.1.

(33)

Diseño del controlador

La respuesta a distintos valores de factor de suavizado de frecuencia, manteniendo las otras dos constantes en sus valores propuestos, se presentan en la Figura 2.11 y Figura 2.12.

Figura 2.11. Respuesta del sistema para distintos valores de aFante un cambio de

referencia de tipo escalón unitario.

Como podemos observar, además de modificarse la frecuencia del sistema, se presenta u n a disminución del sobretiro, aunque esta disminución es m á s drástica y menos controlable que si utilizamos el factor de suavizado de ganancia para mejorar el desempeño del sistema a partir de este criterio. Para este caso en particular no se incluyó la respuesta de aF = 0, debido a que su comportamiento fue inestable, por lo que enfatizamos iniciar operando el controlador en los valores propuestos y a partir de ahí hacer los ajustes que requiera el sistema. Para el caso de perturbaciones, el factor de suavizado de frecuencia opera de la misma manera, al aumentar su valor disminuimos la frecuencia del sistema, además de afectar en ambos casos el tiempo de asentamiento. La variación del porcentaje de desviación no se modifica significativamente a distintos valores del factor de suavizado de frecuencia.

(34)

0.5 PROCESO \ \ '•- 2 . 0 \ \ X : , 5 / _ , v - y x J \ " K . ^ 1 ^ - — 0 500 1000 1500

Figura 2.12. Respuesta del sistema para distintos valores de aF ante una perturbación de

tipo escalón unitario.

Los tiempos de establecimiento varían en forma m á s drástica en ambos casos, por lo que recomendamos que el factor de suavizado de frecuencia sea exclusivo para esta variable, frecuencia, y que se utilice el factor de suavizado de ganancia para cumplir con la tarea de modificar el tiempo de asentamiento.

Factor de velocidad ay

Este parámetro se denomina factor de velocidad debido a que al aumentar su magnitud se observa u n a mayor rapidez en la respuesta inicial del lazo. El rango de operación para este parámetro difiere de los parámetros anteriores, pues si observamos las gráficas de respuesta del controlador a distintos valores del factor de velocidad, podemos apreciar que existe u n mínimo o límite de la dinámica, ocurriendo este cambio en el valor propuesto como inicial, el cual corresponde a: av = 1.

Respecto a la dinámica de velocidad, esta característica permanece constante en todo el rango de operación, incrementándose la velocidad de respuesta si a u m e n t a m o s el factor de velocidad, y si disminuimos av hacemos m á s lenta la dinámica. Esta situación es de esperarse, pues el factor de velocidad se ubica en el Lead - Lag del controlador.

(35)

Diseño del controlador

Para cambios en referencia, el sobretiro se incrementa tanto al disminuir como al a u m e n t a r el factor de velocidad, siendo su punto de quiebre o de menor valor el que se presenta en el dato propuesto. El menor valor que acepta ave s cero, ya que la estructura del controlador cuenta con u n a protección para aceptar este dato. El valor máximo de av que permitió el controlador antes de generar inestabilidad en el lazo es de 1.6, enfatizamos que este valor se obtuvo para este proceso en particular y puede existir alguna estructura que requiera u n a configuración igual o mayor a este valor.

Por estas razones recomendamos que el factor de velocidad av tenga u n rango de operación de 1 a 0, tomando el valor inicial como 1 y realizando, en caso de ser necesario, decrementos de 0.1. Durante las pruebas no hubo necesidad de modificar la magnitud de av = 1, para mejorar el desempeño del sistema.

Las respuestas a distintos valores de suavizado de velocidad, manteniendo las otras dos constantes en s u s valores propuestos se presentan en las Figura 2.13 y 2.14. 1.4 1.2 0.6 0.4 0.2 0 I : / " \ 1.6 / \V/ ,1-* / / \ i i" J / X * s r } Á.2/ / • , \ 1

1

.0/ / :\ V /

,(/.... Í 0 R /. \ / ; : : : : : : : : : ± ^ 3 — ' v / / / : _ ^ ^ í s w ^ t í r , .. //..//;/ / / V . , 7 v ¡I 1 / i PROCE \\\¡i\ / SO

L A

1 V ' s I I - - ,*ÍE—=^J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Figura 2.13. Respuesta del sistema para distintos valores de av ante un cambio de

referencia de tipo escalón unitario.

Respecto a la magnitud del sobretiro, como podemos observar en este caso no se observa cambio significativo y de hecho no identificamos u n comportamiento de la forma en que varía el tiempo de establecimiento, por lo que recomendamos que este parámetro sea únicamente de ajuste de la constante que opera.

(36)

Para el caso de perturbaciones, el suavizado de factor de velocidad opera de la m i s m a manera: al aumentar su valor, aumentamos la velocidad del sistema. En este caso, la variación del porcentaje de desviación se modifica significativamente a distintos valores de suavizado de velocidad, pero no tenemos u n control del tiempo de establecimiento, además de presentarse la dinámica descrita con respecto al límite o cambio de comportamiento. De t a l manera que recomendamos utilizar el dato propuesto para av, así como de ajustar el porcentaje de desviación con el factor de suavizado de ganancia.

1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 PROCESO . Á

L

^^-C^-,..X

N

'O.6

? X 1.0 " ~ ¿ " _ :

^^^^^

• • •_• v •:.J..:..:..:.:.::.:.:..:.:.5

i

0 500 1000 1500

Figura 2.14. Respuesta del sistema para distintos valores deav ante una perturbación de

tipo escalón unitario

Observaciones

El controlador que proponemos en este trabajo presenta tres parámetros de ajuste: factor de suavizado de ganancia, factor de suavizado de frecuencia y factor de velocidad. Los valores propuestos de las tres constantes es la unidad y se recomienda operarlas en u n rango de 0 a 3 para las dos primeras y de 0 a 1 para factor de velocidad.

El controlador observó u n desempeño del sistema que se mejora al mover únicamente la constate de suavizado de ganancia, ya que con ello modificamos: los tiempos de establecimiento, el porcentaje de desviación y la magnitud de sobretiro. Por ello podemos decir que este controlador es en realidad de u n solo parámetro de ajuste, ya que con sólo variar los datos de u n a sola variable logramos mejorar los resultados.

(37)

Diseño del controlador

Hasta el momento, los procesos seleccionados para las pruebas h a n demostrado que las constantes de suavizado de frecuencia y suavizado de velocidad proporcionan u n a buena dinámica si se utilizan en los valores propuestos en esta investigación. Sin embargo, en la estructura del algoritmo de control dejamos como variable estos parámetros, con el objeto de permitir a los usuarios de este controlador realizar los ajustes que considere necesarios al enfrentar procesos cuya dinámica no sea satisfecha con los beneficios que proporciona nuestro sistema en los valores que especificamos como propuestos.

(38)

CAPÍTULO

3 .

SENSIBILIDAD Y ROBUSTEZ.

3.1 Definición de sensibilidad y robustez.

La eficiencia de u n controlador puede evaluarse de acuerdo a criterios de estabilidad, desempeño, sensibilidad, reducción de error, ancho de banda, consumo de energía, economía, etc. En el capítulo 2, se realizaron pruebas de desempeño del controlador propuesto, que demostraron u n buen comportamiento del algoritmo, superando a u n controlador de tipo PID sintonizado por criterios ITAE tradicionales.

El criterio que deseamos evaluar en forma comparativa, con el objeto de determinar las ventajas de nuestra propuesta, es el de sensibilidad. La sensibilidad es u n a medición de la dependencia de las características de u n sistema de control con base a elementos particulares.

La sensibilidad diferencial, S, de la función de transferencia de lazo cerrado de u n sistema de control H(s) con respecto a las características de u n elemento dado K(s) se define como:

, „ d\nH(s) %changeinH(s) ., „„

5 " (s) = v - = -- Ecuación 3.1

d\nK(s) %change in K(s)

Donde H(s) esta definida en términos de la entrada del sistema de control R(s), y de la salida, Y(s), esto también puede obtenerse como:

o W, , clH(s)/H(s)

S" 0) = v ' v— Ecuación 3.2

K dK{s)IK{s)

En donde podemos decir que la sensibilidad diferencial de H(s) con respecto a K(s) se define como el porcentaje de cambio en H(s) dividido entre el porcentaje de cambio en K(s). Si acomodamos la ecuación 3.2 y la escribimos nuevamente tenemos que:

K(s)^dH(s)

.v (.v) -= * Ecuación 3.3

H(s) dK{s)

Si observamos u n proceso y su controlador como el de la Figura 3.1, podemos definir K(s) como el proceso y a H(s) como la función de transferencia de lazo cerrado, por lo que si aplicamos la ecuación 2.3, tenemos:

(39)

Sensibilidad y Robustez S"K ( 5 ) = K(s) Gc(s)K(s) 1 + (ic(s)K(s) dK(s) Gc(s)K{s) l + Gc(s)K(s) Ecuación 3.4 Por lo que = K(s)[\ + Gc(s)K(s)\, [1 + Gc(s)K(s)}[Gc(s)] - [Gc(s)K(s)}[Gc(s)] 3 g K Gc(s)K(s) [\ + Gc(s)K(s)]2

Si resolvemos esta expresión obtenemos la ecuación 3.6, la cual se denomina función de sensibilidad.

S"(s)= Ecuación 3.6

1 + Gc(s)K(s)

R(s) Gc(s) Gc(s) K(s) K(s) Y(s)

Figura 3.1. Proceso y controlador en lazo cerrado.

Como podemos observar, la ecuación 3.6 es la misma que presenta Rivera y Morari(4), quienes describen también el concepto de sensibilidad complementaria y el cual podemos analizar si observamos la ecuación 3.7.

T + S = - ' + = 1 Ecuación 3.7

1 + Gc(s)K(s) 1 + Gc(s)K(s)

La sensibilidad complementaria, T, puede definirse como el desempeño, pues su función de transferencia es equivalente a la del lazo cerrado. Si sumamos la sensibilidad a la sensibilidad complementaria, independientemente del proceso y del controlador, siempre da el valor de uno. Esto es u n punto que debemos de tener m u y en cuenta, pues el hecho de que u n sistema sea muy sensible disminuye el desempeño del sistema y viceversa.

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