LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

II

LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La integración es la operación inversa a la derivación. El símbolo de integración es



_{, aunque} en realidad no puede considerarse separado de la diferencial, o sea que en



F x

 

dx la función

F(x) es lo que se integra y de alguna manera puede considerarse enmedio del símbolo



y de la diferencial dx.

De tal manera que si y = f(x) es la función original, su derivada es dy ( ); entonces la dx F x

integral de esta última regresa a la función original, es decir

( ) ( )

F x dx f x



Por ejemplo, si la función original es y = x2_{, su derivada es otra función de equis, en este caso,}

2x. Por lo tanto, si se integra 2x se regresa a la función original x2_:

(a)

2 2x dx x



Sin embargo, si y = x2 _{+ 2, su derivada es}

(la misma que de la función y = x2 ₎

2 dy

x dx 

y, por lo tanto, su integral es la función original, esto es que

(b)

2 2x dx x 2



Pero obsérvese que tanto (a) como (b) son la misma integral



2x dx y sin embargo tienen diferente resultado. Esto se debe a que cualquier función que termine en la suma de una constante, al derivarse dicha función se obtiene cero al final como resultado de la derivada de la constante final. Entonces al integrar debe agregarse siempre un término constante + C. Así aparecerán todas las fórmulas de integración.

Una integral de una función F(x), visto de otra forma, es lo mismo que preguntarse: ¿La derivada de qué otra función da F(x)? Así, en los ejemplos recientes, la integral



2x dx equivale a pregun-tarse ¿la derivada de qué da 2x? Y la respuesta es la derivada de x2_{; pero también de, por ejemplo,}

x2 _{+ 2; o de x}2 _{+ 5; o de x}2 _{+ 23. En general, de x}2 _{+ C.}

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

Son cinco las fórmulas fundamentales o más elementales de integración: (1)



dx x c  (2) , para n… - 1 1 n n x x dx c    



(3)



c u dx c u dx



(4)





u v w ... dx  







u dx



v dx



w dx ... (5) dx ln x c x  



En donde: c= constante. u, v, w, ... = funciones o variables.

La fórmula (2) funciona para todos los valores de n, excepto para cuando n = - 1, porque vuelve cero el denominador. Cuando n = - 1 se tiene la fórmula (5).

Ejemplo 1: Integrar _{x dx}6



Solución: Por la fórmula (2):

6 1 6 6 1 x x dx c    



7 6 7 x x dx c



COMPROBACIÓN:

Una integral, por su propia definición, se comprueba derivando su resultado:

7 7 7 7 d x d x d c c dx dx dx               

7 1 0 7 d x dx    _{ }  

 

6 1 7 7 x  6 x 

que es lo que se integró.

Ejemplo 2: Integrar



24x dx2

Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

2 2

24x dx24 x dx





Ahora empleando la fórmula (2):

2 1 24 2 1 x c     _{ }    3 24 3 x c   2 3 24x dx8x c



COMPROBACIÓN:

Derivando el resultado de esta integral:



₈ 3



₈ 3

d d d

x c x c

= 24x 2

que es lo que se integró.

Ejemplo 3: Integrar



7x dx9

Solución: Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

9 9

7x dx7 x dx





Ahora empleando la fórmula (2):

9 1 9 7 7 9 1 x x dx c     _{ }   



10 9 7 7 10 x x dx c



Ejemplo 4: Integrar



_6x2 _8x9



_dx



Solución: Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:



_6x2 _8x9



_{dx 6x dx}2 _{ 8xdx 9dx}









Para cada una de las tres integrales pendientes se utiliza la fórmula (3), donde la constante se echa para afuera de la integral:

2 2

6x dx 8xdx 9dx6 x dx8 xdx9 dx













 

2 1 1 1 2 6 8 9 6 8 9 2 1 1 1 x x x dx xdx dx x c          _{ } _{ }       







3 2 6 8 9 3 2 x x x c    



_6x2 _8x9



_dx2x3 _4x2 _{9x c}



Ejemplo 5: Integrar 4 2 5 1 4 x x dx x  _{  }     



Solución: Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 5 1 2 5 1 4 4 4 4 x x dx x dx x dx dx dx x x  _{  }  _{   }    











2 5 4 4 dx x dx xdx dx x 















Para la primera y segunda integral se emplea la fórmula (2) ; para la tercera integral la fórmu-la (1) y para la cuarta integral la fórmula (5) :

3 2 ₅ 4 3 2 4 x x x ln x c    _{ }      3 2 2 5 1 4 5 4 4 3 2 4 x x x x x dx ln x c x  _{  }  _{    }    



Ejemplo 6: Integrar



x dx7

Solución: En estas integrales debe escribirse la función con exponente fraccionario para convertirla a la forma un_: 7 7 2/ x dx x dx





7 1 _{9 2} 2 7 9 1 2 2 / x x c c       9 2 7 2 9 / x x dx c



Ejemplo 7: Integrar dx₉ x



Solución: Escribiendo la función con exponente negativo:

9 9 dx x dx x  





9 1 8 9 1 8 x x c c           9 8 1 8 dx c x   x 



Ejemplo 8: Integrar ₃ 5 11 6 dx x



Solución: Escribiendo con exponente fraccionario y negativo la función y afuera de la integral la cons-tante, se tiene que:

5 3 3 ₅ 11 11 6 6 / dx x dx x  





5 ₁ 2 3 3 11 11 5 2 6 ₁ 6 3 3 / x x c c   _          _  _ _  _  _{ }   _      2 3 2 3 11 3 33 6 2_x / c 12_x / c    _  _      2 3 3 5 11 11 4 6 / dx c x x   



Ejemplo 9: 9x2 6x 4 dx x  _{ }     



Solución: Empleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

2 4 2 4 9x 6x dx 9x dx 6x dx dx x x  _{ }  _{  }    









Para las dos primeras integrales debe utilizarse la fórmula (2)de la potencia y para la tercera integral la fórmula (5):

 

2 1 1 1 9 6 4 2 1 1 1 x x ln x c        _{ } _{ }        3 2 9 6 4 3 2 x x ln x c     2 4 3 2 9x 6x dx 3x 3x 4ln x c x  _{ }  _{   }    



EJERCICIO 2.1 1)



x dx11 2) 10 x dx



3)



6xdx 4) 6 9x dx



5)





6x5



dx 6)



_11x3 _9x2 _{ x 5}



_dx



7)

_



7x2 8x2



dx 8)



_3x2 _10x11



_dx



9) dx₄ 10) x





₂dx_x 11) 8 3 4₂ 2 12) 5 3 x dx x x  _{ }     



9 9 3 5 3 5 x dx x         



13) 6 11 14) 11 6 x dx x  _     



5 5 9 2 9 2 x dx x       



15) 16) 5 8 5 ₈ 11 10 11 10 x dx x         



13 ₄ 13 4 13 11 13 11 x dx x         

