Integraci´
on
Integrales indefinidasDefinici´on. Diremos queF : (a, b)→Res unaprimitiva def : (a, b)→Rcuando F0(x) =f(x), ∀x∈(a, b).
Usaremos el s´ımboloF(x) =R
f(x) dxpara denotar queF(x) es una primitiva def(x).
Observaci´on. Todas las primitivas de f difieren entre ellas en una constante. Por eso escribiremos
R
f(x) dx=F(x) +c, donde la constante librec∈Rrecibe el nombre deconstante de integraci´on. Teorema. f continua⇒f admite primitiva.
Tabla de primitivas inmediatas. A partir de la lista de derivadas de funciones elementales dada en el tema anterior, se obtiene la siguiente tabla:
Z uαdu= u α+1 α+ 1+c ∀α6=−1, Z du u = ln|u|+c, Z eudu= eu+c, Z audu= a u lna+c ∀a >0, Z sinudu=−cosu+c, Z cosudu= sinu+c, Z du cos2u = tanu+c, Z du √ 1−u2 = arcsinu+c, Z du 1 +u2 = arctanu+c, Z sinhudu= coshu+c, Z coshudu= sinhu+c, Z du cosh2u= tanhu+c, Z du √ 1 +u2 = argsinhu+c, Z du √ u2−1 = argcoshu+c, Z du 1−u2 = argtanhu+c.
Observaci´on. En la tabla anterior se puede pensar queu=ϕ(x) y du=ϕ0(x) dx. Concretamente, si
F(x) =R
f(x) dxes una primitiva def(x), entonces
Z f(ϕ(x))ϕ0(x) dx= u=ϕ(x) du=ϕ0(x) dx = Z f(u) du=F(u) +c=F(ϕ(x)) +c.
Se debe practicar todo lo que sea necesario hasta adquirir soltura en el c´alculo de primitivas inmediatas. Ejemplo 1. A continuaci´on damos algunos ejemplos de primitivas inmediatas:
Z tanxdx= Z sinx cosxdx= u= cosx du=−sinxdx =− Z du u =−ln|u|+c=−ln|cosx|+c, Z sinnxcosxdx= u= sinx du= cosxdx = Z undu= u n+1 n+ 1 +c= 1 n+ 1sin n+1x+c, Z x4p3 x5−1 dx= u=x5−1 du= 5x4dx =1 5 Z u1/3du= 1 5 u4/3 4/3 +c= 3 20 x 5−14/3 +c, Z exp(ex+x) dx= Z exp(ex)exdx= u= ex du= exdx = Z eudu= eu+c= exp(ex) +c.
Uno puede saltarse los pasos intermedios cuando ha adquirido la soltura antes mencionada. N Cambios de variable. Un m´etodo potente para calcular primitivas consiste en realizar un proceso inverso al seguido en la secci´on anterior:
Z f(x) dx= x=ϕ(t) dx=ϕ0(t) dt = Z f(ϕ(t))ϕ0(t) dt.
Este proceso se denomina cambio de variable, pues cambiamos la vieja variable x por una nueva variable t, esperando simplificar la integral. Los cambios de variable tambi´en se pueden escribir al rev´es; es decir, poniendo la nueva variable en funci´on de la vieja:t=η(x) y dt=η0(x) dx. Realizar cambios de variable es un arte d´ıficil, pues hay pocas reglas precisas para decidir el cambio adecuado en cada caso. En las siguientes p´aginas describiremos algunas de esas reglas.
Observaci´on. Es imprescindible deshacer el cambio de variables despu´es de calcular la primitiva. Ejemplo 2. A continuaci´on damos algunos ejemplos de cambios de variable:
Z ln(2x) xln(4x)dx= t= ln(4x) x= et/4 dt= dxx = Z ln(et/2) t dt= Z t−ln 2 t dt= Z dt−ln 2 Z dt t =t−ln 2·ln|t|+c= ln(4x)−ln 2 ln|ln(4x)|+c, Z 1 +x 1 +√xdx= x=t2 t=√x dx= 2tdt = Z 1 +t2 1 +t 2tdt= 2 Z t3+t t+ 1 dt= Cociente de polinomios = = 2 Z t2−t+ 2dt−4 Z dt 1 +t = 2 t3 3 −t 2+ 4t−4 ln|1 +t|+c = 2x√x/3−x+ 4√x−4 ln1 + √ x+c, Z x−√arctanx 1 +x2 dx= t= arctanx x= tant dt= dx 1+x2 = Z tant−√tdt= Z tantdt− Z t1/2dt =−ln|cost| −t 3/2 3/2 +c=−ln cos(arctanx) − 2 3arctan 3/2x+c.
El ´ultimo resultado se puede reescribir para que quede m´as bonito mediante el siguiente truco:
x= tant= sint
cost ⇒sint=xcost⇒1 = cos
2t+ sin2t= (1 +x2) cos2t⇒cost= √±1
1 +x2.
El signo menos queda descartado, pues six= 0, entoncest= arctanx= 0 y cost= 1. Por tanto,
Z x−√arctanx 1 +x2 dx= 1 2ln(1 +x 2)−2 3arctan 3/2x+c. N Integraci´on por partes. La f´ormulaR
udv=uv−R
vduse suele recordar mediante la siguiente regla memot´ecnica: “un d´ıa v´ı una vaca vestida de uniforme”. Esta f´ormula sirve para calcular integrales del tipoR
f(x)g0(x) dx, en cuyo caso se debe escoger comou=f(x) el factor que sea f´acil de derivar y como dv=g0(x) dxel factor que sea f´acil de integrar.
Observaci´on. La sencilla regla memot´ecnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales y Senos/cosenos) suele ser ´util para decidir qu´e se integra y qu´e se deriva. Por ejemplo, para integrar por partes R
x2exdxderivamos el polinomiou=x2 e integramos la exponencial dv = exdx, pues la letra P precede a la letra E en la palabra ALPES.
Ejemplo 3. A continuaci´on damos algunos ejemplos de integraci´on por partes:
Z x2exdx= u=x2, du= 2xdx dv= exdx, v= ex =x2ex−2 Z xexdx= u=x, du= dx dv= exdx, v= ex =x2ex−2 xex− Z exdx = (x2−2x+ 2)ex+c, Z xnlnxdx= " u= lnx, du= dx x dv=xndx, v=xn+1 n+1 # = x n+1 n+ 1lnx− 1 n+ 1 Z xndx = x n+1 n+ 1 lnx− 1 n+ 1 +c, Z arctanxdx= u= arctanx, du= dx 1+x2 dv= dx, v=x =xarctanx− Z x 1 +x2dx =xarctanx−1 2 Z 2x 1 +x2dx=xarctanx− 1 2ln(1 +x 2) +c. N
Ejercicio. Probar integrando por partes dos veces que
Z
eaxsin(bx) dx=asin(bx)−bcos(bx)
a2+b2 e
ax, Z eaxcos(bx) dx= acos(bx) +bsin(bx)
a2+b2 e
ax.
Integrales racionales. Una funci´on racional es un cociente de polinomios: f(x) = p(x)/q(x) con
p(x), q(x)∈R[x]. Las integrales de estas funciones se denominanintegrales racionales. Lasfracciones
simples son aquellas funciones racionales de alguna de las siguientes formas:
A
(x−a)n,
A+Bx
(x−α)2+β2n
dondeA, B, a, α, β∈Ryn∈N. Necesitaremos calcular las integrales de estas fracciones simples para
calcular integrales racionales. Las siguientes f´ormulas cubren los casos m´as sencillos:
Z dx (x−a)n = ln|x−a|+c, sin= 1, (x−a)1−n 1−n , sin≥2, Z dx (x−α)2+β2 = 1 βarctan x−α β +c, Z dx (x−α)2+β22 = 1 2β3arctan x−α β + 1 2β2 x−α (x−α)2+β2 +c.
Ejercicio. Probar las f´ormulas anteriores. Indicaci´on: Realizar el cambio de variableu= (x−α)/βen las dos ´ultimas integrales y, adicionalmente, el cambiot= arctanu(ou= tant) en la tercera integral. Ejemplo 4. Calcular la integral racionalR x
x2+2x+2dx.
Las ra´ıces del denominadorq(x) =x2+ 2x+ 2 son complejas conjugadas:x
1,2=α±βi =−1±i,
luegoq(x) = (x−α)2+β2 = (x+ 1)2+ 1. Esta manera de escribir los polinomios de segundo grado
sin ra´ıces reales se denominacompletar cuadrados. El numeradorp(x) =xtiene grado uno. Por tanto, la fracci´on p(x)/q(x) es simple, aunque su integral no aparece en la lista anterior. Para calcularla, debemos trocearla en dos partes, una que genera un logaritmo y otra que genera un arco tangente:
Z x x2+ 2x+ 2dx= 1 2 Z 2x+ 2−2 x2+ 2x+ 2dx= 1 2 Z 2x+ 2 x2+ 2x+ 2dx− Z 1 (x+ 1)2+ 1dx = 1 2ln(x 2+ 2x+ 2)−arctan(x+ 1) +c.
No hace falta poner el valor absoluto en el logaritmo, ya que el denominador es siempre positivo. N Toda funci´on racionalf(x) =p(x)/q(x) se puede escribir como un polinomio m´as una suma de unas cuantas fracciones simples. El polinomio es el cocientec(x) de la divisi´onp(x)/q(x). Sir(x) es el resto de esa misma divisi´on, entonces p(x)/q(x) = c(x) +r(x)/q(x) con gr[r(x)] <gr[q(x)] y la suma de fracciones simples se obtiene encontrando las ra´ıces (reales y complejas conjugadas) del denominador
q(x) y buscando los numeradores adecuados en cada fracci´on simple para que se cumpla la identidad
r(x)
q(x) =
X
Todas las fracciones simples con denominadores de la forma: •(x−a)n, siaes una ra´ız real de multiplicidadmy 1≤n≤m • (x−α)2+β2n
, siα±βi son ra´ıces complejas de multiplicidadmy 1≤n≤m
.
Observaci´on. Si gr[p(x)]<gr[q(x)], entonces el cociente esc(x) = 0 y el resto esr(x) =p(x). Ejemplo 5. Calcular la integral racionalR
f(x) dx, donde
f(x) =p(x)/q(x), p(x) =−50x−10, q(x) =x5−2x3+ 2x2−3x+ 2.
En este caso,c(x) = 0 yr(x) =p(x), pues gr[p(x)]<gr[q(x)]. Mediante el m´etodo Ruffini vemos que
q(x) = (x−1)2(x+ 2)(x2+ 1), luego la descomposici´on def(x) como suma de fracciones simples es:
f(x) = p(x) q(x) = A x−1+ B (x−1)2 + C x+ 2 + D+Ex x2+ 1 ,
donde las constantesA, B, C, D, E∈Rde los denominadores se determinan imponiendo que se cumpla
la identidad anterior. Se obtieneA= 5, B=−10, C= 2, D= 9 yE=−7. Por tanto,
Z f(x) dx= 5 Z dx x−1−10 Z dx (x−1)2+ 2 Z dx x+ 2 + 9 Z dx 1 +x2 −7 Z xdx 1 +x2 = 5 ln|x−1|+ 10 x−1+ 2 ln|x+ 2|+ 9 arctanx− 7 2ln(1 +x 2) +c. N Integrales trigonom´etricas. Son integrales de la forma R
R(sinx,cosx) dx, donde R(sinx,cosx) es una expresi´on racional en las funciones sinxy cosx. Cae fuera de este contexto toda integral con ra´ıces, logaritmos, exponenciales o exponentes no enteros, aunque tenga senos y cosenos. Por ejemplo,
R
exp(sinx) dxyR √
cosxsinxdxno son integrales trigonom´etricas.
En primer lugar, conviene recordar las relaciones trigonom´etricas cos2x+ sin2x= 1 y
cos2x=1 + cos 2x
2 , sin
2x= 1−cos 2x
2 , sin 2x= 2 cosxsinx, cos 2x= cos
2x−sin2x.
Usando estas relaciones, es posible comprobar que cualquier integral de la formaRR(sinx,cosx) dx, conRracional, se puede transformar en una integral racional mediante un cambio de variable adecuado. El cambio depende de la forma que tengaR. Las reglas son las siguientes:
CasoR impar en el seno:t= cosx, dt=−sinxdx. CasoR impar en el coseno:t= sinx, dt= cosxdx.
CasoRpar en seno y coseno:t= tanx,x= arctant, dx= dt
1+t2, sinx= t √ 1+t2 y cosx= 1 √ 1+t2. CasoR general:t= tan(x/2),x= 2 arctant, dx=1+2 dtt2, sinx=
2t
1+t2 y cosx=
1−t2
1+t2.
Comprobamos que las expresiones de los dos ´ultimos casos para sinxy cosxson correctas usando el truco visto al final del ejemplo 2:
t= tanx= sinx
cosx⇒sinx=tcosx⇒1 = cos
2x+ sin2 x= (1 +t2) cos2x⇒ ( cosx=√1 1+t2 sinx= √t 1+t2. Observaci´on. Estos cuatro cambios est´an ordenados en orden de dificultad creciente. Si realizamos alguno de los tres primeros cambios sin que R tenga la forma adecuada, entonces no se obtiene una integral racional. S´olo el ´ultimo cambio funciona en el 100 % de los casos, pero intentaremos evitarlo pues es el cambio m´as complicado.
Ejemplo 6. A continuaci´on damos por orden un ejemplo de cada uno de los cuatro casos anteriores:
Z sinx 1 + cos2xdx= t= cosx dt=−sinxdx =− Z dt 1 +t2 =−arctant+c=−arctan(cosx) +c, Z cos3xsin2nxdx= t= sinx cos2x= 1−t2 dt= cosxdx = Z (1−t2)t2ndt= Z t2ndt− Z t2n+2dt = t 2n+1 2n+ 1− t2n+3 2n+ 3+c= sin2n+1x 2n+ 1 − sin2n+3x 2n+ 3 +c, Z dx 1 + cos2x= t= tanx dx= dt 1+t2 cos2x= 1 1+t2 = Z 1 1 +1+1t2 dt 1 +t2 = Z dt 2 +t2 = √1 2arctan t √ 2 +c=√1 2arctan tanx √ 2 +c,
Z dx 1 + sinx−cosx= " t= tan(x/2), dx= 2 dt 1+t2 sinx=1+2tt2, cosx= 1−t2 1+t2 # = Z 1 1 +1+2tt2 − 1−t2 1+t2 2 dt 1 +t2 = Z dt t2+t = Z dt t − Z dt t+ 1 = ln|t| −ln|t+ 1|+c = ln t 1 +t +cln tan(x/2) 1 + tan(x/2) +c. N
Integrales que contienen ciertas ra´ıces. Las integrales de funciones que contienen la expresi´on √
α2−x2se suelen calcular mediante el cambio x=αsint, dx=αcostdt.
Ejemplo 7. En el siguiente ejemplo, aplicamos el cambio anterior conα= 4.
Z dx x2√16−x2 = x= 4 sint dx= 4 costdt = Z 4 costdt 16 sin2t·4 cost = 1 16 Z dt sin2t = u= tant dt= 1+duu2 sint= √u 1+u2 = 1 16 Z 1 +u2 u2 du 1 +u2 = 1 16 Z u−2du= −1 16u+c= −1 16 tant+c=− √ 16−x2 16x +c. Integrales definidas
Queremos calcular el ´area comprendida entre el eje horizontal y la gr´afica de una funci´on continua positivaf definida en un intervalo compacto [a, b]. A partir de ahora, el s´ımboloRb
af(x) dxdenotar´a el valor de esa ´area, entendi´endose que hablaremos “´area con signo” (es decir, ´area positiva dondef ≥0 y ´area negativa dondef ≤0) cuando la funci´onf es negativa en algunos puntos del intervalo [a, b].
A continuaci´on, definimos con m´as precisi´on el significado del s´ımboloRb
a f(x) dx. La idea b´asica es obtener el ´area asociada a una funci´on f : [a, b] →R como el l´ımite de la suma de las ´areas con signo de ciertos rect´angulos con bases cada vez menores. Para eso necesitamos fijar las bases de los rect´angulos (lo cual nos conduce al concepto de partici´on) y despu´es las alturas de los rect´angulos (lo cual nos conduce al concepto de suma de Riemann).
Definici´on. Unapartici´on de un intervalo compacto [a, b] es un conjunto de puntos ordenados
a=x0< x1<· · ·< xN−1< xN =b.
La cantidadk∆xk= m´ax1≤j≤N∆xj, con ∆xj =xj−xj−1, es eltama˜no de la partici´on.
Definici´on. Seaf : [a, b]→Runa funci´on. Dada una partici´on arbitraria del intervalo [a, b] como la anterior y unos puntos arbitrarioscj ∈[xj−1, xj],j= 1, . . . , N, entonces
N
X
j=1
f(cj)∆xj es unasuma de Riemann de la funci´onf en el intervalo [a, b].
La anterior suma de Riemann se puede interpretar como la suma de las ´areas de losN rect´angulos de bases ∆xj y alturas f(cj). Parece l´ogico pensar que la suma de las ´areas de esos N rect´angulos tender´a a Rb
af(x) dx si tomamos rect´angulos de base cada vez menor; es decir, si k∆xk → 0. Sin embargo, esto no es siempre cierto, lo cual motiva la siguiente definici´on.
Definici´on. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Diremos que f esintegrable (en el sentido de
Riemann)si existe el l´ımite de sus sumas de Riemann cuandok∆xk →0, en cuyo caso escribiremos
Z b a f(x) dx= l´ım k∆xk→0 N X j=1 f(cj)∆xj.
Teorema. f continua en [a, b]⇒f integrable en[a, b]. Notaci´on. Ra a f(x) dx= 0 y Ra b f(x) dx=− Rb a f(x) dx. Las propiedades b´asicas de la integral son:
Aditividad:Si a < c < b, entonces Rabf(x) dx=Racf(x) dx+Rcbf(x) dx. Linealidad:Si α, β∈R, entonces Rab αf(x) +βg(x) dx=αRb a f(x) dx+β Rb a g(x) dx. Monotonicidad:Sif(x)≤g(x) para toda x∈[a, b], entoncesRb
a f(x) dx≤
Rb
ag(x) dx.
Teorema (Regla de Barrow). Si f : [a, b] → R es una funci´on continua y F : [a, b] → R es una
primitiva de f, entonces Z b a f(x) dx=hF(x)i x=b x=a=F(b)−F(a).
Demostraci´on. Sea a=x0 < x1<· · ·< xN−1< xN =buna partici´on arbitraria del intervalo [a, b]. Usando el teorema del valor medio para la funci´on F(x) en cada intervalo [xj−1, xj], sabemos que existen unos puntoscj ∈[xj−1, xj] tales queF(xj)−F(xj−1) =F0(cj)(xj−xj−1). Por tanto,
F(b)−F(a) = N X j=1 F(xj)−F(xj−1) = N X j=1 F0(cj)(xj−xj−1) = N X j=1 f(cj)∆xj−→ Z b a f(x) dx
cuando k∆xk → 0, debido a que f es integrable y la ´ultima suma es una suma de Riemann de la
funci´onf en el intervalo [a, b].
Definici´on. Sif : [a, b]→Res una funci´on integrable, ¯f =b−a1
Rb
af(x) dxes supromedio.
Teorema (Teorema del valor medio para integrales). Si f : [a, b] → R es una funci´on continua,
entonces existec∈[a, b] tal quef¯=f(c)o, equivalentemente,
Z b
a
f(x) dx= (b−a)f(c).
Demostraci´on. Comof es continua y [a, b] es compacto, sabemos que existenm, M ∈[a, b] tales que
f(m)≤f(x)≤f(M) para todo x∈[a, b]. La propiedad de monotonicidad de la integral implica que (b−a)f(m) = Z b a f(m) dx≤ Z b a f(x) dx≤ Z b a f(M) dx= (b−a)f(M).
Dividiendo las desigualdades anteriores porb−a, vemos que f(m)≤f¯≤f(M). Finalmente, como
f es una funci´on continua en [a, b], el teorema del valor intermedio implica que existe un punto
c∈ hm, Mi ⊂[a, b] tal que f(c) = ¯f.
Ejemplo 8. La funci´onf(x) = 3x2−2xes continua en el intervalo compacto [1,4] y su promedio es
¯ f = 1 4−1 Z 4 1 (3x2−2x) dx=1 3 x3−x2x=4 x=1= (64−16−1 + 1)/3 = 16.
Por tanto, sabemos que existe alg´un puntoc∈[1,4] tal que 3c2−2c=f(c) = 16 o, equivalentemente,
3c2−2c−16 = 0. Las soluciones de esta ecuaci´on de segundo grado son
c±=
1±√1 + 3·16
3 =
1±7
3 ⇒c−=−26∈[1,4], c+= 8/3∈[1,4].
Descartamos la primera soluci´on, pues cae fuera del intervalo [1,4]. As´ı pues, c = 8/3 es el punto predicho por el teorema del valor medio. N
Definici´on. Si f : [a, b] → R es una funci´on continua, entonces su funci´on integral es la funci´on F : [a, b]→Rdada por
F(x) =
Z x
a
Observaci´on. La variable mudat que aparece en el integrando no debe ser la misma que la variablex
que aparece en el extremo de la integral. EscribirRaxf(x) dxoRatf(t) dtes un error de principiante. Teorema (Teorema fundamental del c´alculo). Si f : [a, b] → R es continua y F(x) = Raxf(t) dt, entonces F : [a, b]→R es derivable yF0=f.
Demostraci´on. Usando la propiedad de aditividad de la integral y el teorema del valor medio para integrales, deducimos que six, x+h∈[a, b], entonces existe un puntoc=c(x, h)∈ hx, x+hital que
F(x+h)−F(x) = Z x+h a f(t) dt− Z x a f(t) dt= Z x+h x f(t) dt=hf(c(x, h)).
Finalmente, basta calcular la derivada mediante la definici´on:
F0(x) = l´ım h→0
F(x+h)−F(x)
h = l´ımh→0f(c(x, h)) =f(x),
puesf es continua y l´ımh→0c(x, h) =x.
Ejemplo 9. La funci´on f(x) = ln2(x+ e) es continua en el intervalo [0,+∞). Buscamos la recta tangente a la gr´afica de su funci´on integral F(x) =Rx
0 f(t) dt en el punto de abcisax= 0. Sabemos
quey=F(c) +F0(c)(x−c) es la recta tangente en el puntox=c. En nuestro casoc= 0, luego
F(c) =F(0) =
Z 0
0
f(t) dt= 0, F0(c) =F0(0) =f(0) = ln2e = 12= 1.
As´ı pues, la recta tangente esy= 0 + 1(x−0) =x, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. N Teorema(Regla de Leibniz). Sif es continua,αyβ son derivables yG(x) =Rαβ((xx))f(t) dt, entonces
Ges derivable y
G0(x) =f(β(x))β0(x)−f(α(x))α0(x).
Demostraci´on. SiF es una primitiva def, la regla de Barrow implica queG(x) =F(β(x))−F(α(x)). Por tanto,G0(x) =F0(β(x))β0(x)−F0(α(x))α0(x) =f(β(x))β0(x)−f(α(x))α0(x).
Ejemplo 10. La derivada deG(x) =Rx3
a sintdtesG
0(x) = sin(x3)3x2.
Integraci´on num´erica
Definici´on. Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable y consideramos la partici´on uniforme de N
intervalos dada por xj =a+jh,j = 0, . . . , N, donde la cantidad h= (b−a)/N recibe el nombre de paso de integraci´on. Seafj=f(xj). Entonces:
TN(f; [a, b]) = b−a2N f0+ 2f1+· · ·+ 2fN−1+fN
es laregla de los trapecios.
SN(f; [a, b]) = b−a3N f0+ 4f1+ 2f2+ 4f3+· · ·+ 2fN−2+ 4fN−1+fN
es laregla de Simpson. En este segundo caso se necesita queN sea par.
La regla de los trapecios se llama as´ı debido a que el valor aproximadoTN(f; [a, b]) es igual al ´area debajo de la linea poligonal que une los puntos (xj, fj) paraj = 0, . . . , N. Es decir,TN(f; [a, b]) es la suma de las ´areas de los trapecios de bases ∆xj =xj−xj−1 =h= (b−a)/N y alturas fj−1,fj paraj = 1, . . . , N. En cambio,SN(f; [a, b]) es igual al ´area debajo de la funci´on construida porN/2 arcos de par´abolas, de forma que el arcoj-´esimo interpola los puntos (x2j−2, f2j−2), (x2j−1, f2j−1) y
(x2j, f2j) paraj= 1, . . . , N/2. Por eso se necesita queN sea par en la regla de Simpson. Observaci´on. Sif : [a, b]→Res una funci´on continua y convexa, entoncesTN(f; [a, b])≤
Rb
af(x) dx, pues el lado superior de cada trapecio est´a por debajo de la gr´afica de la funci´onf(x). Por contra, si
f es concava, entoncesTN(f; [a, b])≥R b
Si la funci´onf es suficientemente regular, ambas reglas dan aproximaciones num´ericas del valor de la integral Rb
a f(x) dxy las aproximaciones dadas son m´as precisas conforme crece el n´umeroN de subintervalos en la partici´on. Adem´as, se intuye que la regla de Simpson es m´as precisa que la regla de los trapecios, pues la aproximaci´on de una gr´afica por arcos de par´abola es m´as precisa que la aproximaci´on por lineas poligonales. Esta intuici´on queda confirmada por los siguientes resultados:
Sif ∈C2([a, b]) yM 2= m´axx∈[a,b]|f00(x)|, entonces Z b a f(x) dx−TN(f; [a, b]) ≤ M2 12 (b−a)3 N2 = (b−a)M2 12 h 2 = O(h2). Sif ∈C4([a, b]) yM4= m´axx∈[a,b]|f(4)(x)|, entonces Z b a f(x) dx−SN(f; [a, b]) ≤ M4 180 (b−a)5 N4 = (b−a)M4 180 h 4 = O(h4).
De cara a implementar estos m´etodos en un ordenador, resulta interesante observar que
S2N(f; [a, b]) =
4T2N(f; [a, b])−TN(f; [a, b])
3 .
Aplicaciones de la integral
En las asignaturas C´alculo 2 y Ecuaciones Diferenciales se ver´an varias aplicaciones f´ısicas de la integral: masa, centros de masa, momentos de inercia, etc´etera. En esta asignatura nos centramos en las siguientes aplicaciones geom´etricas.
´
Area entre dos gr´aficas. Si S = (x, y)∈R2:g(x)≤y≤f(x), x∈[a, b] es la regi´on plana
comprendida entre las gr´aficas de unas funcionesf, g: [a, b]→R, entonces
Area[S] =
Z b
a
f(x)−g(x)
dx.
Volumen de un cuerpo revoluci´on por el m´etodo de los discos (o anillos).
• Eje de revoluci´on horizontal.Sea W ⊂R3 un cuerpo de revoluci´on cuyo eje de revoluci´on
es paralelo al eje x. Si W es la ´uni´on disjunta de anillos D(x) de radiosr(x)≤R(x) con
x∈[a, b], entonces Vol[W] = Z b a Area[D(x)] dx=π Z b a R2(x)−r2(x) dx.
• Eje de revoluci´on vertical. Sea W ⊂ R3 un cuerpo de revoluci´on cuyo eje de revoluci´on
es paralelo al ejey. Si W es la ´uni´on disjunta de anillos D(y) de radios r(y)≤R(y) con
y∈[c, d], entonces Vol[W] = Z d c Area[D(y)] dy=π Z d c R2(y)−r2(y) dy.
Volumen de un cuerpo revoluci´on por el m´etodo de los cilindros (o capas).
• Eje de revoluci´on horizontal.Sea W ⊂R3 un cuerpo de revoluci´on cuyo eje de revoluci´on
es paralelo al eje x. SiW es la ´uni´on disjunta de cilindros C(y) de radios r(y) y alturas
h(y) con y∈[c, d], entonces Vol[W] = Z d c Area[C(y)] dy= 2π Z d c r(y)h(y) dy.
• Eje de revoluci´on vertical.Sea W ⊂R3 un cuerpo de revoluci´on cuyo eje de revoluci´on es
paralelo al ejey. SiW es la ´uni´on disjunta de cilindrosC(x) de radiosr(x) y alturash(x) con x∈[a, b], entonces Vol[W] = Z b a Area[C(x)] dx= 2π Z b a r(x)h(x) dx.
Longitud de una curva.Si Ces la gr´afica de una funci´onf : [a, b]→R, entonces Long[C] = Z b a q 1 + f0(x)2 dx. ´
Area de una superficie de revoluci´on. Si S es la superficie de revoluci´on obtenida al girar la gr´afica de la funci´onf : [a, b]→Ralrededor del ejex, entonces
Area[S] = 2π Z b a f(x) q 1 + f0(x)2 dx.
Ejemplo 11. Calcular el ´area de la regi´on encerrada por la elipsex2/a2+y2/b2= 1, dondea, b >0.
La elipse es sim´etrica respecto ambos ejes de coordenadas, luego el ´area total es igual a cuatro veces el ´area de la parte de la elipse contenida en el primer cuadrante. Adem´as, el ´area de esa cuarta parte es igual al ´area debajo de la gr´afica de la funci´onf(x) =bp1−x2/a2 cuandox∈[0, a]. Por tanto,
´ Area = 4 Z a 0 f(x) dx= 4b a Z a 0 p a2−x2dx= x=asint, dx=acostdt x= 0→t= 0, x=a→t=π/2 = = 4ab Z π/2 0 cos2tdt= 2ab Z π/2 0 1 + cos(2t) dt=abh2t+ sin(2t)i t=π/2 t=0 =πab. N
Ejemplo 12. Calcular la longitud del astroidex2/3+y2/3= 1.
El astroide es sim´etrico respecto ambos ejes de coordenadas, luego la longitud total es igual a cuatro veces la longitud de la parte del astroide contenida en el primer cuadrante. Adem´as, la longitud de esa cuarta parte es igual a la longitud de la gr´afica de la funci´onf(x) = 1−x2/33/2
cuando x∈[0,1]. Observamos que f0(x) =3 2 1−x 2/31/22 3x −1/3= 1−x2/31/2 x−1/3. Por tanto, Longitud = 4 Z 1 0 q 1 + f0(x)2 dx= 4 Z 1 0 q 1 + (1−x2/3)x−2/3dx = 4 Z 1 0 x−1/3dx= 4 x2/3 2/3 t=1 t=0 = 6. La integral definidaR1 0 x
−1/3dxtiene una dificultad t´ecnica y conceptual que hasta ahora no hab´ıamos
visto. El integrando h(x) = x−1/3 es una funci´on no acotada en el intervalo de integraci´on, pues
l´ımx→0+h(x) = +∞. Este tipo de integrales se denominan impropias (esta en concreto es un ejemplo de integral impropia de segunda especie) y se estudian en la ´ultima secci´on del tema. N
Ejemplo 13. Calcular el volumen del cuerpo de revoluci´onW ⊂R3obtenido al girar respecto al ejex
la regi´on planaS limitada por las curvas
y=√3x, y= 0, x= 8.
En primer lugar, resulta imprescindible dibujar la regi´onS de la forma m´as precisa posible, de cara a representar correctamente el cuerpoW.
Por el m´etodo de las capas.En la regi´onS la variabley se mueve en el intervalo [c, d] = [0,2] y el cilindro asociado a la variableytiene alturah(y) = 8−y3y radior(y) =y. Por tanto,
Vol[W] = 2π Z d c r(y)h(y) dy= 2π Z 2 0 y(8−y3) dy= 2π Z 2 0 (8y−y4) dy= 2π 4y2−y 5 5 y=2 y=0 =96π 5 . Por el m´etodo de los discos.En la regi´onS la variablexse mueve en el intervalo [a, b] = [0,8]. Adem´as, el disco asociado a la variablextiene radioR(x) =√3x. Por tanto,
Vol[W] =π Z b a R2(x) dx=π Z 8 0 x2/3dx=π x5/3 5/3 x=8 x=0 =96π 5 . N
Integrales impropias
Lasintegrales impropiasson integrales definidas cuyo intervalo de integraci´on tiene longitud infinita (integrales impropias de primera especie), cuyo integrando alcanza un valor infinito en alg´un punto (integrales impropias de segunda especie) o ambas cosas a la vez (integrales impropias de tercera especie). Una integral impropia puede tener un valor finito, un valor (m´as o menos) infinito o no tener ning´un valor definido.
Empezamos considerando aquellas integrales impropias con integrando acotado en todo el intervalo de integraci´on, pero que dicho intervalo sea de la forma [a,+∞). La dificultad radica en que, aunque ya hemos definimos el significado de las integrales definidasRaMf(x) dxpara todoM > a, a´un no hemos definido el significado de la integral impropiaR+∞
a f(x) dx. Como es natural, la integral impropia se define mediante el correspondiente l´ımite. Vamos a verlo.
Definici´on. Dada una funci´onf : [a,+∞)→Rque sea integrable en todos los intervalos compactos
de la forma [a, M], conM > a, diremos que la integral impropiaR+∞
a f(x) dxesconvergente cuando el l´ımite l´ımM→+∞R
M
a f(x) dxexiste y toma un valor finito. Y diremos que esdivergente de lo contrario, lo cual incluye tanto que el l´ımite anterior no exista como que el l´ımite sea (m´as o menos) infinito. Si el l´ımite existe, entonces escribiremosR+∞
a f(x) dx= l´ımM→+∞
RM
a f(x) dx.
Esta definici´on s´olo clarifica un tipo de integrales impropias, pero hay muchos otros tipos. Podemos considerar, por ejemplo, integrales con integrando acotado en todo el intervalo de integraci´on, pero que dicho intervalo sea de la forma (−∞, b]. O integrales impropias con intervalo de integraci´on acotado, pero que el integrando valga infinito en uno de los dos extremos del intervalo. Estos cuatro tipos de integrales impropias se resumen en el siguiente cuadro.
Funci´on Intervalos compactos L´ımite que da la integral impropia Impropia Especie
f : [a,+∞)→R [a, M],∀M > a R+∞ a f(x) dx=M→l´ım+∞ RM a f(x) dx En +∞ 1 a f : (−∞, b]→R [N, b],∀N < b Rb −∞f(x) dx=N→−∞l´ım Rb Nf(x) dx En−∞ 1 a f : (a, b]→R [α, b],∀α∈(a, b] Rb a f(x) dx= l´ımα→a+ Rb αf(x) dx En a 2 a f : [a, b)→R [a, β], ∀β∈[a, b) Rabf(x) dx= l´ım β→b− Rβ a f(x) dx Enb 2 a
Cuadro 1. Los cuatro tipos de integrales impropias m´as sencillos.
Mediante la propiedad de aditividad podemos escribir cualquier integral impropia como una suma de integrales impropias de las cuatro formas anteriores. Por ejemplo:
Sif es continua enR, entoncesR−∞+∞f(x) dx=R−∞c f(x) dx+Rc+∞f(x) dx, conc∈Rarbitrario. Sif es continua en el intervalo abierto (a, b) y vale infinito en ambos extremosayb, entonces escribiremosRb a f(x) dx= Rc a f(x) dx+ Rb c f(x) dx, conc∈(a, b) arbitrario.
Si f es continua en el intervalo abierto (a,+∞) y vale infinito en a, entonces escribiremos
R+∞ a f(x) dx= Rc a f(x) dx+ Rb c f(x) dx, conc∈(a,+∞) arbitrario.
Si f es continua en todo R menos en un punto c donde vale infinito, entonces escribiremos R+∞ −∞ f(x) dx= Ra −∞f(x) dx+ Rc a f(x) dx+ Rb c f(x) dx+ R+∞ b f(x) dx, para algunosa < c < b. Ejemplo 14. (Muy importante) Las siguientes integrales impropias aparecen en incontables ocasiones:
Z 1 0 xαdx= 1 α+1, siα >−1 (convergente) +∞, siα≤ −1 (divergente) Z +∞ 1 xαdx= −1 α+1, siα <−1 (convergente) +∞, siα≥1 (divergente)
Veamos como se prueban estos resultados. Siα6=−1, tenemos que Z 1 0 xαdx= l´ım →0+ Z 1 xαdx= l´ım →0+ xα+1 α+ 1 x=1 x= = l´ım →0+ 1−α+1 α+ 1 = 1 α+1, siα >−1 +∞, siα <−1 Z +∞ 1 xαdx= l´ım M→+∞ Z M 1 xαdx= l´ım M→+∞ xα+1 α+ 1 x=M x=1 = l´ım M→+∞ Mα+1−1 α+ 1 = −1 α+1, siα <−1 +∞, siα >−1 Los c´alculos cuandoα=−1 son m´as simples. Concretamente,
Z 1 0 dx x = l´ım→0+ Z 1 dx x = l´ım→0+ lnxxx=1= =− l´ım →0+ln= +∞ Z +∞ 1 dx x =Ml´ım→+∞ Z M 1 dx x =M→l´ım+∞ lnxx=M x=1 =Ml´ım→+∞lnM = +∞. N
El lector debe convencerse de que si integra la funci´on f(x) =xα en intervalos de la forma (0, b] y [b,+∞) con b > 0 arbitrario, se obtiene la misma clasificaci´on convergente/divergente que en el intervalo (0,1] y [1,+∞), respectivamente. Eso es debido a que el car´acter convergente/divergente de una integral impropia s´olo depende del comportamiento del integrando cerca de los “puntos” donde la integral es impropia. Ejemplo 15. R+∞ 0 x αdx=R1 0 x αdx+R+∞ 1 x
αdxsiempre es divergente, pues en el ejemplo anterior hemos visto que al menos una de las dos integrales vale infinito. N
Ejemplo 16. Las siguientes integrales impropias son convergentes:
Z +∞ 0 e−xdx= l´ım M→+∞ Z M 0 e−xdx= l´ım M→+∞ −e−xx=M x=1 =Ml´ım→+∞ 1−e −M = 1, Z +∞ 0 dx 1 +x2 =Ml´ım→+∞ dx 1 +x2 =M→l´ım+∞ arctanxx=M x=0 =Ml´ım→+∞arctanM =π/2, Z 1 0 lnxdx= l´ım →0+ Z 1 lnxdx= l´ım →0+ xlnx−xx=1 x= = l´ım→0+ −1−ln+ =−1.
La ´ultima primitiva se ha calculado integrando por partes, tomandou= lnxy dv = dx. El l´ımite l´ım→0+ln= 0 se calcula aplicando el m´etodo de L’Hˆopital. N
Las dos ideas fundamentales para estudiar la convergencia de integrales impropias son:
Usar el concepto deconvergencia absoluta para reducir el estudio de las integrales impropias de funciones que cambian de signo al caso de funciones positivas; y
Aplicar los criterios de comparaci´on y del cociente para reducir el estudio de las integrales impropias de funciones positivas complicadas al caso de funciones positivas m´as sencillas. Observaci´on. La interpretaci´on de la integral de funciones positivas como el ´area por debajo de la gr´afica de la funci´on ayuda a entender muchos de los resultados que a continuaci´on se dan sin pruebas. Definici´on. Diremos que la integral impropia de un funci´onf(x) esabsolutamente convergente si la correspondiente integral impropia de la funci´on positiva |f(x)|es convergente.
Teorema. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
Observaci´on. El rec´ıproco no es cierto. Veremos en el ejemplo 21 que la integral R+∞
0 sinx
x dx es convergente pero no absolutamente convergente.
Teorema(Criterios de comparaci´on). Los cuatro criterios de comparaci´on b´asicos son:
1. Si las funcionesf, g: [a,+∞)→Rson continuas y0≤f(x)≤g(x)cuandox→+∞, entonces R g convergente⇒R f convergente, y R f divergente ⇒R g divergente.
3. ´Idem si las funcionesf, g: (a, b]→Rson continuas y 0≤f(x)≤g(x)cuando x→a+.
4. ´Idem si las funcionesf, g: [a, b)→Rson continuas y 0≤f(x)≤g(x)cuando x→b−.
La idea principal de la demostraci´on consiste en recordar la propiedad de monotonicidad de la integral, luego 0≤R
f ≤R
g en los intervalos adecuados y, a continuaci´on, observar que toda integral impropia de una funci´on positiva o bien es convergente o bien es igual a +∞.
Ejemplo 17. Estudiar la convergencia de la integral impropiaR−∞+∞e−x2dx. La funci´onf(x) = e−x2
es par, luegoR+∞
−∞ f(x) dx= 2
R+∞
0 f(x) dx. A priori, no podemos calcular
el valor exacto de esta integral, pues no conocemos ninguna primitiva de la funci´onf(x). Por tanto, estudiaremos la convergencia aplicando el criterio de comparaci´on. Para ello, necesitamos encontrar una funci´on g(x) que s´ı sepamos integrar tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x → +∞. Escogemos
g(x) = e−x. Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [0,+∞) y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para toda
x≥ 1. Efectivamente: x≥ 1 ⇒ x2 ≥x ⇒ −x2 ≤ −x ⇒ e−x2 ≤e−x. Vimos en el ejemplo 16 que
R+∞ 0 e −xdx= 1<+∞. Por tanto,R+∞ −∞ e −x2 dx= 2R0+∞e−x2dxes convergente. N
Observaci´on. La integral impropia R−∞+∞e−x2dx es bastante famosa y recibe el nombre de integral gaussiana. Es posible calcular su valor exacto usando t´ecnicas de c´alculo en varias variables. Concre-tamente, ver´eis queR+∞
−∞ e −x2
dx=√πen la asignatura deC´alculo 2.
Teorema(Criterios del cociente). Los cuatro criterios del cociente b´asicos son:
1. Seanf, g: [a,+∞)→Rfunciones continuas, positivas cuandox→+∞y∃L= l´ımx→+∞fg((xx)). SiL= 0, entonces:R g convergente ⇒R f convergente; SiL= +∞, entonces:R g divergente ⇒R f divergente; y Si0< L <+∞, entonces:R g convergente ⇔R f convergente.
2. ´Idem sif, g: (−∞, b]→Rson continuas, positivas cuando x→ −∞y ∃L= l´ımx→−∞fg((xx)).
3. ´Idem sif, g: (a, b]→R son continuas, positivas cuandox→a+ y ∃L= l´ımx→a+f(x)/g(x). 4. ´Idem sif, g: [a, b)→R son continuas, positivas cuandox→b− y∃L= l´ımx→b−f(x)/g(x).
Dada una integral impropia con un integrando positivo complicadof(x), buscaremos un integrando positivo m´as “sencillo”g(x) que nos permita aplicar el criterio del cociente adecuado. De cara a decidir qu´e funci´ong(x) debemos escoger, suele ser ´util estudiar el comportamiento de la funci´onf(x) cerca del “punto” donde la integral original sea impropia.
Ejemplo 18. Estudiar la convergencia de la integral impropiaR+∞
1
x2arctanx
2x3+sinx dx.
Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemos ninguna primitiva de la funci´onf(x) = x22xarctan3+sinxx.
Paso 1: ¿D´onde es impropia la integral? La funci´onf(x) es continua en el intervalo [1,+∞), pues el denominador no se anula cuandox≥1. De hecho, 2x3+ sinx≥2x3−1≥1 para todo
x≥1. Por tanto, la integral s´olo es impropia en +∞.
Paso 2: ¿C´omo se comporta f(x) cuando x → +∞? Estudiamos cada parte de f(x) por separado. Por un lado, l´ımx→+∞arctanx=π/2, luego el numerador se comporta como πx2/2 cuandox→+∞. Por el otro lado, sinxoscila entre−1 y 1, mientras que 2x3 crece sin parar
cuandox→+∞, luego el denominador se comporta como 2x3cuando x→+∞. Combinando
estas observaciones, vemos que six→+∞, entonces f(x) se comporta como
g(x) = πx 2/2 2x3 = π 4x −1.
Paso 3: Aplicar el criterio del cociente.La funci´ong(x) = π4x−1 es positiva y
L= l´ım x→+∞ f(x) g(x) =x→l´ım+∞ 4x3arctanx π(2x3+ sinx) = 2 πx→l´ım+∞ arctanx 1 +sinx3x = 2 π π/2 1 + 0 = 1.
Adem´as,R+∞ 1 g(x) dx= π 4 R+∞ 1 x
−1dxes divergente, tal y como se vi´o en el ejemplo 14. Por
tanto, el criterio del cociente implica que la integral impropiaR+∞
1 f(x) dxes divergente. N
Ejemplo 19. Estudiar la convergencia de la integral impropiaR0+∞2+e1−cosx+sin5(x)xdx.
Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemos ninguna primitiva de la funci´onf(x) = 2+e1−cosx+sin5(x)x.
Paso 1: ¿D´onde es impropia la integral? La funci´onf(x) es continua en el intervalo [0,+∞), pues el denominador no se anula cuandox≥0. De hecho, 2 + sinx+ ex≥1 + ex≥2 para todo
x≥0. Por tanto, la integral s´olo es impropia en +∞.
Paso 2: ¿C´omo se comportaf(x)cuandox→+∞?En primer lugar, la funci´onf(x) es positiva cuandox→+∞, pues tanto el denominador como el numerador son positivos. Estudiamos cada parte def(x) por separado. Concretamente, el numerador oscila entre los valores 0 y 2, ya que cos5(x) oscila entre−1 y 1. Adem´as, 2 + sinxoscila entre 1 y 3, mientras que excrece sin parar cuandox→+∞, luego el denominador se comporta como ex cuandox→+∞.
Paso 3: Aplicar el criterio de comparaci´on.La funci´ong(x) = 2e−x es f´acil de integrar y
0≤f(x) = 1−cos 5(x) 2 + ex+ sinx≤ 2 1 + ex ≤ 2 ex =g(x),
para todax≥0. Adem´as,R0+∞g(x) dx= 2R0+∞e−xdx= 2<∞es convergente, tal y como se vi´o en el ejemplo 16. Por tanto, el criterio de comparaci´on implica que la integral impropia
R+∞
0 f(x) dxes convergente. N
Ejemplo 20. Estudiar la convergencia de la integral impropiaR+∞
0
1−2 cos5(x)
2+ex+sinxdx.
Esta integral parece casi igual que la anterior, pero contiene una dificultad adicional. El numerador de la funci´on h(x) = 12+e−2 cosx+sin5(xx) oscila entre −1 y 3, luego cambia de signo infinitas veces cuando
x → +∞. Por tanto, no es posible aplicar directamente ninguno de los criterios. Sin embargo, si podemos adaptar el razonamiento del ejemplo 19 a la funci´on|h(x)|. Concretamente,
0≤ |h(x)|=|1−2 cos 5(x)| 2 + ex+ sinx ≤ 3 1 + ex ≤ 3 ex,
para todax≥0. Por tanto,R0+∞|h(x)|dx≤3R0+∞e−xdx= 3, luegoR0+∞h(x) dxes absolutamente convergente y, finalmente,R+∞
0 h(x) dxes convergente. N
Ejemplo 21. La integralR+∞
0 sinx
x dxes convergente pero no absolutamente convergente.
Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemos ninguna primitiva de la funci´onf(x) = sinxx.
Paso 1: La integralR0+∞f(x) dxes convergente.En primer lugar, recordamos que si definimos
f(0) = 1, entoncesf(x) es continua enx= 0. Por tanto, la integralR+∞
0 f(x) dxs´olo es impropia
en +∞. Descomponemos la integral en dos partes:R+∞
0 f(x) dx=
R1
0 f(x) dx+
R+∞
1 f(x) dx. La
primera integral definida no es impropia, luego tiene un valor finito. Para probar la convergencia de la segunda, integramos por partes:
Z +∞ 1 sinx x dx= u=x−1, du=−x−2dx dv= sinxdx, v=−cosx = l´ım M→+∞ h −cosx x ix=M x=1 − Z M 1 cosx x2 dx ! = cos(1)− l´ım M→+∞ cosM M + Z M 1 x−2cosxdx ! = cos(1)− Z +∞ 1 x−2cosxdx.
La funcionesh(x) =x−2cosxyg(x) =x−2son continuas y 0≤ |h(x)| ≤g(x) para todox≥1.
Adem´as,R+∞
1 g(x) =
R+∞
1 x
−2dx= 1, tal y como se vi´o en el ejemplo 14. Por tanto, aplicando
el criterio de comparaci´on obtenemos que R+∞
R+∞
1 h(x) dx es tambi´en convergente. En particular,
R+∞
1 f(x) dx= cos(1)−
R+∞
1 h(x) dxes
convergente.
Paso 2: La integralR0+∞|f(x)|dxes divergente. Empezamos con una desigualdad sencilla:
x∈R⇒0≤ |sinx| ≤1⇒sin2x≤ |sinx| ⇒ |f(x)|= sinx x ≥sin 2x x = 1 2x− cos 2x 2x .
Esto es todo lo que se necesita para probar el car´acter divergente, pues
Z +∞ 0 |f(x)|dx≥ Z +∞ 1 |f(x)|dx≥ 1 2 Z +∞ 1 x−1dx− Z +∞ 1 cos 2x 2x dx= +∞ − 1 2 Z +∞ 2 cost t dt= +∞.
Al final hemos usado que la integral R+∞
1 x
−1dx es divergente (lo vimos en el ejemplo 14),
mientras que la integralR+∞
2 cost
t es convergente (esto se prueba mediante una integraci´on por partes completamente an´aloga a la efectuada en el primer paso). N
Observaci´on. La integral impropiaR+∞
0 sinx
x dxtambi´en es famosa y recibe el nombre deintegral de Dirichlet. En el ejemplo anterior hemos probado que la integral de Dirichlet es convergente pero no absolutamente convergente. Eso significa que la suma de las ´areas positivas y negativas es igual a infinito, mientras que la diferencia da un valor finito. De hecho, es posible calcular ese valor finito exacto usando transformadas de Laplace. Concretamente,R+∞
0 sinx
