Programación lógica con árboles. Introducción. Contenido. Introducción. 1. Programación con árboles 2. Otras estructuras arbóreas

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Programación lógica con árboles

Ingeniería Informática Ingeniería Técnica en Informática

Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación

Universidad de Málaga

Programación lógica con árboles ₂

Contenido

1. Programación con árboles 2. Otras estructuras arbóreas

Introducción

Programación lógica con árboles

Introducción

Objetivo: representar en Prolog estructuras de datos y procesarlas

Para cada estructura de datos, daremos:

definición formal (conjunto inductivo) representación sintáctica (gramática formal) definición de dominio

relaciones

Aplicaremos las técnicas de programación básicas: recursión, recursión de cola, generar/comprobar

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Programación con árboles

Programación lógica con árboles ₆

Definición de árbol binario

SeaD un dominio o tipo base

Definición: el conjunto de árboles binarios B de D se define

1. nil B (árbol vacío) [base]

2. si I, D B AR D, entonces I::R::D B [recursivo]

:: :: es un constructor ternario: B × D × B B hijo izquierdo ::raíz::hijo derecho

Ejemplo:

(nil :: a :: nil ) :: b :: (nil :: c :: nil)

b

a c

Representación Prolog de árboles binarios

Necesitamos términos recursivos para representar árboles Seguimos la definición inductiva de B:

Caso base ÆconstantevacioB

Caso recursivo Æ estructura funtor nodoB/3 ÆnodoB(I,R,D)

Un árbol binario bien formado es un término de la gramática:

AB ::= vacioB

| nodoB(AB,T,AB)

Ejemplo de árbol binario bien construido

El árbol binario:

se representa por el término Prolog:

nodoB(nodoB(nodoB(vacioB, 1, vacioB), 2, nodoB(vacioB, 3, vacioB)), 4, nodoB(nodoB(vacioB, 5, vacioB), 6, nodoB(vacioB, 7, vacioB))) 4 2 1 3 6 5 7

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Programación lógica con árboles ₉

El predicado arbolB_ej/1

% arbolB_ej(?A) arbolB_ej( nodoB(nodoB(nodoB(vacioB, 1, vacioB), 2, nodoB(vacioB, 3, vacioB)), 4, nodoB(nodoB(vacioB, 5, vacioB), 6, nodoB(vacioB, 7, vacioB)))).

Cada hecho define un árbol binario bien construido:

?- arbolB_ej(A), miembro(3,A).

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Programación lógica con árboles ₁₀

Definición de dominio

Seguimos la definición inductiva de B:

% es_arbolB(+A)

es_arbolB(vacioB). % base

es_arbolB(nodoB(I,R,D)) :- % recursivo

es_arbolB(I), es_arbolB(D).

Usos de es_arbolB/1

?- arbolB_ej(A), es_arbolB(A). % test

Yes

?- es_arbolB(A). % generador anómalo

A = vacioB ; A = nodoB(vacioB, _G309, vacioB) ; A = nodoB(vacioB, _G309, nodoB(vacioB, _G313, vacioB)) ; A = nodoB(vacioB, _G309, nodoB(vacioB, _G313, nodoB(vacioB, _G317, vacioB))) ; ...

Tabla de comportamiento de es_arbolB/1

es_arbolB(A)

Uso Comportamiento Significado

(+) test AB

(-) generador anómalo

Ejercicio: ¿Por qué no funciona el uso (-)? ¿Cómo lo solucionarías?

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Programación lógica con árboles ₁₃

El predicado miembro/2

miembro(?X,+A)– Xpertenece al árbol binario A

Es similar a miembro/2para listas:

miembro(X,nodoB(_,X,_)). % base

miembro(X,nodoB(I,_,_)) :- % recursivo (I)

miembro(X,I).

miembro(X,nodoB(_,_,D)) :- % recursivo (D)

miembro(X,D).

caso base Æ acceso directo a la raíz casos base y recursivos no son excluyentes

Programación lógica con árboles ₁₄

Usos de miembro/2

?- arbolB_ej(A), miembro(5,A). % test

Yes

9 ?- arbolB_ej(A), miembro(X,A). % gen acotado

X = 4 ; X = 2 ; X = 1 ; X = 3 ; X = 6 ; X = 5 ; X = 7 ; No

Ejercicio: ¿En qué orden se generan los elementos del árbol?

Tabla de comportamiento de miembro/2

miembro(X,A)

(+,+) test comprueba que XA (-,+) generador acotado genera elementos de A

en preorden

Ejercicio: ¿Cómo se comportan los usos (+,-)y(-,-)? ¿De qué depende el orden en que se generen los elementos? Escribir definiciones que generen los elementos en inorden y postorden.

¿Cómo almacenar el recorrido en predorden en una lista?

El predicado preorden/2

preorden(+A,?Rs)–Rses el recorrido en preorden de A

Aplicamos recursión sobre el árbol A:

preorden(vacioB,[]). % base

preorden(nodoB(I,R,D),RID) :- % recursivo

preorden(I,PreI), preorden(D,PreD),

concatena([R|PreI],PreD,RID).

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Programación lógica con árboles ₁₇

Usos de preorden/2

% test ?- arbolB_ej(A), preorden(A,[4,2,1,3,6,5,7]). Yes % generador único ?- arbolB_ej(A), preorden(A,Rs). Rs = [4,2,1,3,6,5,7] ; No % generador anómalo ?- preorden(A,[4,2,1,3,6,5,7]). A = arbolB_ej ; % y se cuelga...

Programación lógica con árboles ₁₈

Tabla de comportamiento de miembro/2

preorden(+A,?Rs)

(+,+) test comprueba que Rses el recorrido en preorden de A

(+,-) generador único genera en Rsel recorrido en preorden de A

Ejercicio: Construir las tablas de inorden/2ypostorden/2

¿Es posible generar el árbol a partir del recorrido?

Generación de árboles binarios

arbol_preorden(+Rs,?A)–Rses el recorrido preorden de A

Hay que dirigir la recursión por la lista (el recorrido):

arbol_preorden([],vacioB). % base

arbol_preorden([R|Rec],nodoB(I,R,D)) :- % recursivo

concatena(RecI,RecD,Rec), % (-,-,+)

arbol_preorden(RecI,I), arbol_preorden(RecD,D).

Ejercicio: definir los predicados arbol_inorden/2 y

arbol_postorden/2

El predicado suma/2

suma(+A,?N)– los nodos del árbol binario AsumanN

Aplicamos recursión al árbol binario A:

suma(vacioB,0). % base

suma(nodoB(I,R,D),N) :- % recursivo

suma(I,SI), suma(D,SD), N is SI+R+SD.

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Programación lógica con árboles ₂₁

El predicado sustituye/3

sustituye(+X,+AX,+Y,?AY)–

el árbol AYesAX, con todas las Xreemplazadas por Y

Aplicamos recursión al árbol AX:

sustituye(_,_,vacioB,vacioB).

sustituye(X,Y,nodoB(Ix,R,Dx),nodoB(Iy,R,Dy)) :-X \== R, sustituye(X,Y,Ix,Iy), sustituye(X,Y,Dx,Dy). sustituye(X,Y,nodoB(Ix,R,Dx),nodoB(Iy,Y,Dy)) :-X == R, sustituye(X,Y,Ix,Iy), sustituye(X,Y,Dx,Dy).

Programación lógica con árboles ₂₂

Ejercicios

1. Define los siguientes predicados sobre árboles binarios:

iguales(+A,+B) simetricos(+A,+B) frontera(+A,?F)

2. Los árboles binarios de búsqueda se pueden representar por términos de la forma:

ArbolBB ::= vacioBB

| nodoBB(ArbolBB,T,ArbolBB)

dondeTes un término Prolog.

Define los predicados esta(+X,+A), no_esta(+X,+A), inserta(+X,+A,?AX) y borra(+X,+AX,?A). Utiliza los predicados extralógicos de comparación de términos

Otras estructuras arbóreas

Fórmulas proposicionales sin variables

Definición: el conjunto F se define

1. >, " F [base] 2. si A, B F entonces [recursivo] A A B F A B B F ¬ A F Términos Prolog: F := cierto | falso | y(F,F) | o(F,F)

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Programación lógica con árboles ₂₅

Definición de dominio

es_fbf(P) – se satisface si P es una fórmula proposicional sin variables es_fbf(cierto). es_fbf(falso). es_fbf(o(P,Q)) :-es_fbf(P), es_fbf(Q). es_fbf(y(P,Q)):-es_fbf(P), es_fbf(Q). es_fbf(no(P)) :-es_fbf(P).

Programación lógica con árboles ₂₆

Derivación simbólica (I)

derivada(+Fx,+X,?DF)–DFes la derivada de Fxrespecto de X

derivada(X,X,1).

derivada(C,X,0)

:-atomic(C), % C es constante y

C \= X. % no coincide con el diferencial

derivada(-U,X,-DU) :-derivada(U,X,DU).

Derivación simbólica (II)

derivada(U+V,X,DU+DV) :-derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV). derivada(U-V,X,DU-DV) :-derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV).

Derivación simbólica (III)

derivada(U*V,X,U*DV+DU*V) :-derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV). derivada(U/V,X,(DU*V-U*DV)/V*V) :-U \== 1, derivada(U,X,DU), derivada(V,X,DV).

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Programación lógica con árboles ₂₉

Derivación simbólica (y IV)

derivada(1/V,X,-DV/(V*V)) :-derivada(V,X,DV). derivada(sin(X),X,cos(X)). derivada(cos(X),X,-sin(X)). derivada(X^N,X,N*X^NN) :-N>0, NN is N-1.

Programación lógica con árboles ₃₀

Ejemplos

Prolog deriva bastante bien:

?- derivada(x^3+x,x,U). U = 3*x^2+1 ;

No

?- derivada(x^3+x,x,3*x^2+1). Yes

pero no sabe nada de conmutatividad:

?- derivada(x^3+x,x,1+3*x^2). No

ni simplifica las derivadas:

?- derivada(3*x,x,U). U = 3*1+0*x ;