Cantidad de movimiento y colisiones

Cantidad de movimiento y

colisiones

Clase 1

UNIDAD DE FORMACIÓN BÁSICA INTEGRAL

La

cantidad de movimiento

de una partícula se define como

el producto de la velocidad

v

por la masa de la partícula:

La segunda ley de Newton establece que la fuerza sobre un

objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de

movimiento del objeto.

En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de

Newton se escribe como:

dt

p

d

F

 



Cantidad de movimiento y su conservación

 

Ejercicios:

# 41

Para dos partículas que

interactúan se cumple que:

dt

d

₁

12

p

F



dt

d

₂

21

p

F



De la tercera ley de

Newton, tenemos

que:

21

12

F

F





Conservación de la cantidad de

movimiento para dos partículas

m

₁

m

₂

F

₁₂

F

₂₁

P

₁

=

m

₁

v

₁

De aquí se obtiene que:



_{1 2}



0

2

1



p



_p



_p



p

dt

d

dt

d

dt

d

Esto significa que:

p

_total

=

p

₁

+

p

₂

= constante

Impulso y momento

El impulso se define como el cambio en la cantidad de

movimiento de un cuerpo:

p

p

p

p

F

I





























1 2

2

1

t t

t

t

_dt

dt

d

dt

El impulso de la fuerza

F

es igual

al cambio de momento de la

partícula.

El impulso es un vector que tiene

una magnitud igual al área bajo la

curva de fuerza-tiempo.

ti tf

La fuerza

F

que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama

fuerza de impulso

.

El impulso se puede escribir como:

I

=

F

_m



t.

Donde

F

_m

es

la fuerza promedio durante el intervalo.

t_i t_f

t F

F

_m

Ejercicios:

# 56

Cantidad de movimiento y

colisiones

Clase 2

UNIDAD DE FORMACIÓN BÁSICA INTEGRAL

Colisiones

Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si

m

₁ y

m

₂ son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que:

m

₁

v

_1i

+

m

₂

v

_2i

=

m

₁

v

_1f

+

m

₂

v

_2f

Donde

v

_1i,

v

_2i,

v

_1f y

v

_2f son las velocidades iniciales y finales de las masas

m

₁ y

m

₂.

m

₁

m

₂

F

₁₂

F

21

v

_1f

v

_1i

v

_2f

v

_2i

antes

Consideraremos colisiones en una dimensión.

Las colisiones se clasifican en:

Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:

Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.).

Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión.

v

_1f

=

v

_2f

2 f 2 2 2

1 2

f 1 1 2

1 2

i 2 2 2

1 2

i 1 1 2

1

_m

_v



_m

_v



_m

_v



_m

_v

Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente:

2 1 2 2 1 1 2 1

m

m

v

m

v

m

v

v

v

_{f f} i i











Si

m

₂ está inicialmente en reposo, entonces: 2 1 1 1

m

m

v

m

v

i





Si

m

₁

»

m

₂, entonces

v



v

_1i. Si

m

₁

«

m

₂, entonces

v



0

. Si

v

_2i

=



v

_1i , entonces:

Si en este caso

m

₁

=

m

₂, entonces:

v

= 0

i

v

m

m

m

m

v

₁ 2 1 2 1







Colisiones perfectamente

inelásticas

m

₁

m

₂

v

_1i

v

_2i

m

₁

+

m

₂

En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que: y 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 f f i

i

m

v

m

v

m

v

v

m







f f

i

i

m

v

m

v

m

v

v

m

_{1 1}



_{2 2}



_{1 1}



_{2 2}

Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:

f i

f

i

v

v

v

v

₁



₁



₂



₂

m

₁

m

₂

v

_1i

v

_2i

v

1f

v

2f

Antes de la colisión Después de la colisión

Es fácil mostrar que las

velocidades finales de los dos objetos son: i i f i i f

v

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

m

m

m

v

m

m

m

m

v

2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2

2





















En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada.

f i f f f i i i

u

u

v

v

u

v

v

u













2 1 2 1

Si

m

₁ =

m

₂, entonces

v

_1f = 0 y

v

_2f =

v

_1i. Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades.

Si

m

₁ »

m

₂, entonces

v

_1f 

v

_1i y

v

_2f 

2

v

_1i. Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado.

Si

m

₁ «

m

₂, entonces

v

_1f  

v

_1i y

v

_2f  (

2

m

₁/

m

₂

)

v

_1i  0. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la que traía.

Si

v

_2i = 0, entonces:

Ejercicios:

# 63

Colisiones en dos dimensiones

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como:

m

₁

v

_1ix

+

m

₂

v

_2ix

=

m

₁

v

_1fx

+

m

₂

v

_2fx

m

₁

v

_1iy

+

m

₂

v

_2iy

=

m

₁

v

_1fy

+

m

₂

v

_2fy

m

₁

m

₂

v

_1i

v

_2f

v

_1f

Antes de la colisión Después de la colisión

Consideraremos el caso en que m₂ está en reposo inicialmente. Después del choque m₁ se mueve a un ángulo q con la horizontal y m₂ se mueve a un ángulo f con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:

m

₁

v

_1i

=

m

₁

v

_1f

cos

q

+

m

₂

v

_2f

cos

f

0 =

m

₁

v

_1f

sen

q 

m

₂

v

_2f

sen

f

m

₁

m

₂

v

_1i

v

_2f

v

_1f

Antes de la colisión

Después de la colisión f

q

La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin

embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes

v

_1f

,

v

_2f

,

f, q.

2 2 2 2 1 2

1 1 2 1 2

1 1 2 1

f f

i

m

v

m

v

v

Ejercicios:

# 84

Cantidad de movimiento y

colisiones

Clase 3

UNIDAD DE FORMACIÓN BÁSICA INTEGRAL

Centro de masa

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el

cual paracería estar concentrada toda la masa del sistema.

En un sistema formado por partículas discretas el centro de

masa se calcula mediante la siguiente fórmula:

M

m

m

m

_{i i}

i i i CM







_



r

r

r

m₁

m₂

m_n m_i r₁

r₂

r_i

r_n

r_CM

x y

Centro de masa de un objeto

extendido

r_CM

x y

z

r_i

m_i

El centro de masa de un objeto

extendido se calcula mediante

la integral:





dm

M

CM

r

r

1

El centro de masa de cualquier

objeto simétrico se ubica sobre

el eje de simetría y sobre

Movimiento de un sistema de

partículas

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema

de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa:

M

m

dt

d

m

M

dt

d

i i CM

i i CM

CM











v

v

r

r

v

1

El momento total del sistema es:











_{i i i tot}

CM

m

La aceleración del centro de masa es:











i _{i i}

i CM CM

m

M

dt

d

m

M

dt

d

a

v

v

a

1

1

De la segunada ley de Newton:









_{i i i}

CM

m

M

a

a

F

dt

d

M

_CM tot

ext

p

a

F







Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

Ejercicios:

# 96

# 99

# 100

Ejercicios de repaso:

# 113