PROBLEMAS DE CENTRO DE MASA
Por: Irvins Shariff Mejia AlamHablando de equilibrio, la mayoría de nosotros alguna vez, hemos intentado mantener equilibrada una escoba en un dedo, o hemos visto los clásicos equilibristas hechos de alambre, qué se mantienen sobre una pequeña base sin caerse, e incluso, algunos llevan el equilibrio a otro nivel, creando complejas columnas de rocas, y para todos estos casos se requiere ubicar el centro de masa1, y para esto, existen tres métodos, el geométrico, el que podemos definir como de tanteo2, y el cálculo que relaciona las masas y su posición. En este pequeño artículo nos enfocaremos en este último.
𝑟𝑐𝑚=∑ 𝑚𝑖 𝑖∙ 𝑟𝑖 𝑚𝑖 = 1
𝑀∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
𝑖
Siendo (𝑀) la masa total del sistema de partículas, (𝑚𝑖) la masa de la partícula i-ésima, y (𝑟𝑖) el vector de la masa i-ésima respecto al eje de referencia. Entonces podemos ocupar esta ecuación para ubicar el centro de masa de tres cuerpos sólidos y homogéneos (𝑚1, 𝑚2 𝑦 𝑚3) sobre una regla uniforme de madera, y así poder equilibrarla3.
𝑟𝑐𝑚 =(𝑚1∙ 𝑟1) + (𝑚2∙ 𝑟2) + (𝑚3∙ 𝑟3) 𝑚1+ 𝑚2+𝑚3
El cálculo del centro de masa sería:
𝑚1= 5 𝐾𝑔 𝑟1= −2 𝑚
𝑟𝑐𝑚 =(5 ∙ −2) + (10 ∙ 0) + (20 ∙ 2) 5 + 10 + 20 =30
35=6
7= 0.85714 𝑚 𝑚2 = 10 𝐾𝑔 𝑟2= 0 𝑚
𝑚3 = 20 𝐾𝑔 𝑟3= 2 𝑚
1 Punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él, se aplicara la resultante de fuerzas que actúan sobre un sistema.
2 Manera más o menos seria, para decir que se busca el centro de masa por prueba y error.
3 Se tomaron estos valores, porque, existe un video explicativo externo, con el cual se pueden comparar los procedimientos y resultados, el cual está ubicado en https://www.youtube.com/watch?v=Imc2fGfBOrE
Verifiquemos las unidades: F
𝑚1= 5 𝐾𝑔 𝑟1= −2 𝑚
𝑟𝑐𝑚=(𝐾𝑔 ∙ −𝑚) + (𝐾𝑔 ∙ 𝑚) + (𝐾𝑔 ∙ 𝑚)
𝐾𝑔 =𝐾𝑔 ∙ 𝑚
𝐾𝑔 = 𝑚 𝑚2 = 10 𝐾𝑔 𝑟2= 0 𝑚
𝑚3 = 20 𝐾𝑔 𝑟3= 2 𝑚
Hasta este momento todo es correcto, tal como lo aprendimos en la escuela.
Pero, ¿Qué sucedería si cambiamos los valores de las masas a algo más genérico? El centro de masa no cambiará, cuando todas las masas se multipliquen por un mismo factor 𝑘 ≠ 0, y se mantenga la proporción de distancias. Y ya que los tres valores tienen como factor común al número cinco, podemos generalizar de la siguiente manera. Y como podemos corroborar, el resultado es el mismo.
𝑟𝑐𝑚=(1 ∙ −2) + (2 ∙ 0) + (4 ∙ 2) 1 + 2 + 4 =6
7= 0.85714
¿Y si ahora pasamos a la realidad? Al no disponer de las pesas de una balanza de laboratorio, tendremos que improvisar un poco, y lo más parecido que podemos conseguir en cuanto a similitudes de masa entre diferentes piezas, son las monedas, ya que son elaboradas con la misma proporción de materiales y procesadas con un mismo cuño4.
Para este experimento, acordaremos qué, una moneda de $ 1 (un peso mexicano) equivale a una unidad de masa (1 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 = 1 𝑈𝑀), y, para mantener los mismos valores de distancia de los ejercicios previos, usaremos una unidad arbitraria que denominaremos (𝑈𝐷).
𝑚1 = 1 𝑈𝑀5 𝑟1= −2 𝑈𝐷6
𝑟𝑐𝑚=(1 ∙ −2) + (2 ∙ 0) + (4 ∙ 2) 1 + 2 + 4 =6
7= 0.85714 𝑈𝐷 𝑚2 = 2 𝑈𝑀 𝑟2= 0 𝑈𝐷
𝑚3 = 4 𝑈𝑀 𝑟3= 2 𝑈𝐷
Los materiales e instrumentos son:
21 monedas de $ 1
Una regla de madera de pino de 60 cm
Un escalímetro de aluminio que usaremos como fulcro7
Vernier profesional
Bolígrafo
El procedimiento es el siguiente:
1. Por método de tanteo, se determina el centro de masa y se marca en el anverso de la regla de madera, ya que, aun cuando está graduada, sus dimensiones son mayores a la escala indicada en ella.
2. Partiendo del centro de masa de la regla de madera, se marca una nueva graduación [-2, 2], aprovechando la longitud total de la regla, y también se marcará la ubicación del punto correspondiente a 0.85 UD.
3. Se coloca la cantidad de monedas equivalente a las masas del último ejercicio (1, 2, 4), en la posición indicada en la ecuación (-2, 0, 2). Se apoya la regla sobre el escalímetro que servirá de fulcro en la marca 0.85 UD, debiendo quedar el sistema equilibrado. Lo que no sucede, aun cuando se remplazan todas las monedas de $1.
4. Se busca el punto de equilibrio por tanteo, y este se encuentra entre [0.25 y 0.3].
5. Se recrea el experimento usando otras denominaciones, $2 y $5, teniendo resultados similares, pero no iguales, existiendo un corrimiento que se aleja del cero, dado que, sí es importante la superficie que las masas ocupan sobre la regla.
6. Se marcan los puntos de equilibrio para cada denominación.
7. El punto de equilibrio sigue muy alejado del centro de masa calculado.
8. Vista superior del sistema equilibrado, la flecha indica la ubicación del centro de masa obtenido.
9. Marcas correspondientes a los puntos de equilibrio de cada denominación, y la correspondiente al centro de masa calculado.
10. Se reemplazó la regla de 60 cm por una de 1m, siendo la marca de 50cm la utilizada como cero, y cada unidad de distancia corresponde a 10 cm, las monedas utilizadas son de $10.
11. Como podemos observar, el punto de equilibrio es aún lejano al centro de masa calculado, el cual es señalado por la flecha.
12. Se repitió el experimento utilizando los valores originales del ejercicio m=5, m=10 y m=20, con efectos similares a los anteriores. Nuevamente la flecha indica el centro de masa calculado.
Resultados del experimento.
El punto de equilibrio del sistema no corresponde con el centro de masa obtenido, incluso se ubica alejado de este, y cercano al cero trazado en la regla.
Dado que en el lector puede surgir ciertas discrepancias con estos resultados, ya que utilizamos monedas comunes para sustitución de masas, se decidió recurrir a ciertos objetos que exceden todos los requerimientos posibles para un experimento casero como este, las onzas troy8 de plata9. Las cuales, no solo tienen composición, masa y dimensiones iguales certificadas, sino que, además, al conocer su peso exacto, podemos contrastar fehacientemente los cálculos con la realidad, usando su peso y masa reales, así como utilizarlas como equivalentes unitarios de medida.
8 La onza troy es una unidad de medida de peso británica, que actualmente se emplea en metales preciosos, y equivale a 31.1034768 gramos.
9 En México el equivalente en peso a la onza troy, es la onza libertad de plata pura 0.999, cuyo peso es de 31.103 gr. Fuente: https://www.cmm.gob.mx/cmtienda/serie-familia-libertad-plata-satin. Para fines prácticos, en este trabajo usaremos el nombre onza troy en vez de onza libertad. Nota: No confundir esta terminología, con la antigua onza troy mexicana de plata 0.925 que pesa 33.625 gramos.
Hagamos los cálculos, ahora considerando como unidad de masa una moneda de una onza troy de plata (𝑜𝑧𝑡), y cada unidad de distancia (𝑈𝐷) equivale a 10 cm.
𝑚1= 1 𝑜𝑧𝑡 𝑟1= −2 𝑈𝐷
𝑟𝑐𝑚=(1 ∙ −2) + (2 ∙ 0) + (4 ∙ 2) 1 + 2 + 4 =6
7= 0.85714 𝑈𝐷 𝑚2= 2 𝑜𝑡𝑧 𝑟2= 0 𝑈𝐷
𝑚3= 4 𝑜𝑡𝑧 𝑟3= 2 𝑈𝐷
Nuevamente el resultado es el mismo que obtuvimos anteriormente, entonces repitámoslo, usando unidades de masa reales.
1𝑜𝑧𝑡 = 31.1034768 𝑔𝑟 (𝑝𝑒𝑠𝑜) 𝑆𝑖 𝑤 = 𝑚 ∙ 𝑔 → 𝑚 =𝑤
𝑔 𝑦 𝑔 = 9.80665 𝑚/𝑠2 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 1 𝑜𝑧𝑡 = 0.0311034768 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2
9.80665 𝑚/𝑠2 = 0.003171671 𝑘𝑔
𝑚1= 0.003171671 𝑘𝑔 𝑟1= −2 𝑈𝐷 𝑚2= 0.006343342 𝑘𝑔 𝑟2= 0 𝑈𝐷 𝑚3= 0.012686684 𝑘𝑔 𝑟3= 2 𝑈𝐷
𝑟𝑐𝑚 =(0.003171671 𝑘𝑔 ∙ −2 𝑈𝐷) + (0.006343342 𝑘𝑔 ∙ 0 𝑈𝐷) + (0.012686684 𝑘𝑔 ∙ 2 𝑈𝐷) 0.003171671 𝑘𝑔 + 0.006343342 𝑘𝑔 + 0.012686684 𝑘𝑔 = 𝑟 =(−0.006343342 𝑘𝑔 ∙ 𝑈𝐷) + (0) + (0.025373368 𝑘𝑔 ∙ 𝑈𝐷)
=0.019030026 𝑘𝑔 ∙ 𝑈𝐷
Para finalizar esta sección, hagamos una vez más el ejercicio, reemplazando ahora las unidades de distancia (𝑈𝐷) por unidades de longitud en metros.
𝑚1= 0.003171671 𝑘𝑔 𝑟1= −20 𝑐𝑚 𝑚2= 0.006343342 𝑘𝑔 𝑟2= 0 𝑐𝑚 𝑚3= 0.012686684 𝑘𝑔 𝑟3 = 20 𝑐𝑚
𝑟𝑐𝑚 =(0.003171671 𝑘𝑔 ∙ −0.2 𝑚) + (0.006343342 𝑘𝑔 ∙ 0 𝑚) + (0.012686684 𝑘𝑔 ∙ 0.2 𝑚) 0.003171671 𝑘𝑔 + 0.006343342 𝑘𝑔 + 0.012686684 𝑘𝑔 = 𝑟𝑐𝑚 =(−0.0006343342 𝑘𝑔 ∙ 𝑚) + (0) + (0.0025373368 𝑘𝑔 ∙ 𝑚)
0.022201697 𝑘𝑔 =0.0019030026 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
0.022201697 𝑘𝑔 𝑟𝑐𝑚=0.0019030026 𝑚
0.022201697 = 0.085714 𝑚 = 8.5714 𝑐𝑚
Con esto, si tomamos la marca de 50 cm como nuestro cero, el centro de masa debería estar en la marca correspondiente a 58.5714 cm, pero se ubica sobre los 55 cm.
Verifiquemos los cálculos con el método de suma geométrica de vectores, considerando las onzas troy como lo que son, unidades de peso. Primero realizamos la suma de vectores (a+b), y de la resultante la sumamos al vector c.
El vector resultante (c+b+a)=(a+b+c)= 7 ozt, se origina en el mismo punto que hemos obtenido para el centro de masa. Si usáramos este punto para suspender este sistema con una cuerda o para sostenerlo, debería permitir que la tensión de la cuerda o la normal, anularan este vector resultante, dejando el sistema en equilibrio.
Verifiquemos una vez más, ahora utilizando la ecuación de la recta, para calcular el punto de intersección con el eje 𝑥, de la recta que une la suma de vectores (b+a) y el vector c.
1. Determinemos las coordenadas para cada punto. (𝑥1, 𝑦1)=(-0.666,-4), y (𝑥2, 𝑦2)=(2,3).
2. Recordemos la ecuación de la pendiente de una recta.
𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥2− 𝑥1
Sustituimos.
𝑚 = 3 − (−4)
2 − (−0.666)= 7
2.666= 2.625
3. Ahora recordemos la ecuación de la recta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
4. El punto donde la recta intersecta el eje 𝑦 es (b).
𝑏 = −2.25
5. Entonces la ecuación nos queda.
𝑦 = 2.625𝑥 + (−2.25) 𝑦 = 2.625𝑥 − 2.25
6. Y por último despejamos 𝑥.
2.25 = 2.6256𝑥 2.25
2.625= 𝑥 0.85714 = 𝑥
Y nuevamente, encontramos a nuestro viejo amigo "0.85714".
Pensando un poco, ya que tenemos solo dos vectores, uno de ellos resultante de la suma de los vectores a y b, y conociendo la ubicación del centro de masa,
podemos reducir el sistema a una palanca de primer grado, para verificar si el resultado obtenido es correcto, y de ser así, el producto de las masas por sus respectivas distancias al centro de masa debe ser el mismo.
Usando como base la ley de la palanca: Potencia*Brazo de potencia=Resistencia*Brazo de Resistencia.
𝑝 ∙ 𝐵𝑝 = 𝑟 ∙ 𝐵𝑟
Entonces 𝑟 =𝑎 + 𝑏 𝑦 𝑝 =𝑚3, y como el centro de masa se ubica a la derecha del punto cero de la escala, tenemos que restárselo al brazo de potencia y sumárselo al brazo de resistencia. Aquí emplearemos como unidad de peso la onza troy.
𝑚3∙ (𝑟3− 𝑟𝑐𝑚) = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑟𝑎+𝑏+ 𝑟𝑐𝑚)
Recordando que 𝑚3 = 4 𝑜𝑧𝑡; (𝑎 + 𝑏) = 3 𝑜𝑧𝑡; 0.85714… es (6
7), y que 0.666… es (2
3),
sustituyendo tenemos.
4 ∙ (2 −6
7) = 3 ∙ (2 3+6
7) 4 ∙ (14
7 −6
7) = 3 ∙ (2 3+6
7) 4 ∙ (8
7) = 3 ∙ (14 21+18
21) 4 ∙ (8
7) = 3 ∙ (32 21) (32
7) = (96 21) Simplificando (96
21) = (32
7) (32
7) = (32 7)
Al ser cierta esta igualdad, al colocar las piezas en los sitios correspondientes, el sistema debe quedar equilibrado. Pero, esto no va a ser posible, puesto que la extensión restante de la regla de madera obviamente evitaría alcanzar el equilibrio. ¿Será esta la causa de la discordancia entre el centro de masa calculado y el real?
Repitamos el experimento eliminando el sobrante de la regla de madera.
1. Medimos el diámetro de la onza troy.
2. Marcamos su huella en la regla de madera. El que la regla vaya a ser dada en sacrificio por la ciencia, no implica que debamos hacerlo sin evitar el mayor desperdicio posible, por lo que ahora, nuestro cero será la ubicación que marca 30 cm, y nos queda aún otro segmento de casi 50 cm que podemos ocupar más tarde para alguna otra cosa.
3. Cortamos los excedentes.
4. Colocamos las piezas en su lugar. Pero, nuevamente la realidad está alejada de los cálculos, y los sobrantes de la regla ya no parecen ser tan relevantes comparativamente con la diferencia entre el centro de masa real y el calculado.
Aun así, intentemos realizar la verificación bajo el principio de la ley de la palanca, para esto necesitaremos utilizar las medidas en cm, por lo que si 1 UD= 10 cm, 0.85714 UD son 8.5714 cm, y que 0.666 UD equivale a 6.66 cm.
1. Marcamos las nuevas ubicaciones para las piezas.
2. Realizamos el corte necesario y colocamos las onzas.
Aunque ahora la diferencia es mínima, sigue existiendo discrepancia entre el centro de masa real y el calculado.
Si tras utilizar todos los métodos anteriores, siguen existiendo diferencias entre los resultados, surgen preguntas obligadas. ¿Por qué al realizar los experimentos, el resultado es diferente? Incluso, mientras la masa ocupa menor superficie sobre la regla, mayor es lo que se aleja el centro de masa real del calculado. ¿En dónde está el error, en los experimentos o en los métodos de cálculo?
¿Y si incluimos también la regla en el cálculo?
El primer experimento se realizó en función de unidades de masa (UM) definidas por la de una moneda de $1, porque en ese momento no disponíamos del peso exacto para hacer los cálculos. Así que, tendremos que obtener el valor correspondiente a la regla.
Según la información obtenida del Banco de México10, el peso de una moneda de 1 peso, es de 3.95 gr, por lo que, la regla de 60 cm que pesa 45 gr equivale a 11.394 UM, o lo que es lo mismo 11.394 monedas de $1. Pasemos a los cálculos ahora incluyendo a la regla que llamaremos 𝑚4, recordemos que el centro de masa de la regla es donde ubicamos el cero.
𝑚1= 1 UM 𝑟1= −2 UD 𝑟𝑐𝑚=(1 ∙ −2) + (2 ∙ 0) + (4 ∙ 2) + (11.394 ∙ 0) 1 + 2 + 4 + 11.394 = 6
18.394= 0.32619 𝑈𝐷
𝑚2= 2 UM 𝑟2= 0 UD
𝑚3= 4 UM 𝑟3= 2 UD
Recordemos la ubicación del centro de masa real del sistema regla-monedas.
Este resultado, aunque se aproxima considerablemente, sigue sin ser correcto, pero recordemos también, que esta regla no fue recortada.
Repitamos el cálculo del experimento con las onzas troy, incluyendo la regla recortada y utilizando masas reales. 𝑚4 y 𝑟4son los datos de la regla.
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 = 81.82 𝑔𝑟 𝑆𝑖 𝑤 = 𝑚 ∙ 𝑔 → 𝑚 =𝑤
𝑔 𝑦 𝑔 = 9.80665 𝑚/𝑠2 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 =0.08182 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2
9.80665 𝑚/𝑠2 = 0.008343318 𝑘𝑔
𝑚1= 0.003171671 𝑘𝑔 𝑟1= −0.2 𝑚 𝑚2= 0.006343342 𝑘𝑔 𝑟2= 0 𝑚 𝑚3= 0.012686684 𝑘𝑔 𝑟3 = 0.2 𝑚
𝑚4= 0.08343318 𝑘𝑔 𝑟4= 0 𝑚
𝑟𝑐𝑚=(0.003171671 𝑘𝑔 ∙ −0.2 𝑚) + (0.006343342 𝑘𝑔 ∙ 0 𝑚) + (0.012686684 𝑘𝑔 ∙ 0.2 𝑚) + (0.008343318 𝑘𝑔 ∙ 0 𝑚) 0.003171671 𝑘𝑔 + 0.006343342 𝑘𝑔 + 0.012686684 𝑘𝑔 + 0.008343318 𝑘𝑔 =
𝑟𝑐𝑚=(−0.000634334 𝑘𝑔 ∙ 𝑚) + (0) + (0.002537336 𝑘𝑔 ∙ 𝑚) + (0)
0.03054515 𝑘𝑔 =0.001903002 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
0.03054515 𝑘𝑔 𝑟𝑐𝑚 =0.001903002 𝑚
0.03054515 = 0.062301281 𝑚 = 6.2301281 𝑐𝑚
¡Bingo! Ya vamos por buen camino.
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Por último, repitamos la búsqueda del centro de masa mediante el método gráfico para el sistema regla-monedas, considerando la masa equivalente de la regla como 2.63081782 ozt, y su centro de masa en 0 UD.
De gramos a onzas troy
𝑤 = 81.82 𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2
31.1034768 𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2= 2.63081782 𝑜𝑧𝑡
Ya tenemos el resultado deseado, los cálculos por fin concuerdan con la realidad.
