5.- Expresiones Algebráicas

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ACTIVIDADES

1 _{Escribe estos enunciados como expresión algebraica.} a) El doble de un número b.

b) El doble de la suma de dos números m y n. c) El cuadrado de un número x más 4 unidades. d) El producto de tres números a, b y c. e) El doble de un número y más 3 unidades.

2 _{Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.}

a) El doble de un número más dos unidades. x - 5

b) Un número disminuido en cinco unidades. x

3

c) La tercera parte de un número. 2 ? x + 2

d) El cubo de un número. x + 10

e) El doble de un número. 2 x

f ) Un número aumentado en diez unidades. x3

g) La diferencia de dos números. x + 1

h) El número siguiente a un número entero. x - y

3 Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones matemáticas.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

Los años que tenía el año pasado

Los años que tendrá dentro de un año

La edad que tenía hace 5 años

La edad que tendrá dentro de 5 años

Los años que faltan para que cumpla 70 años

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos x + y - 2

El triple de un número más cinco 3 ? x + 5

El cuadrado de un número más una unidad x2 _{+ 1}

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VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.

Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3 x + 2 para x = 1. Sustituimos x por 1 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones:

x = 1

" 3 ? 1 + 2 = 3 + 2 = 5

EJEMPLO

4 Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + 1

"

b) a + b

"

c) b

2

"

d) 2 ? (m - n) "

e) x3 _{- 1}

_"

f ) 2 ? x + 1

"

5 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2 x + 1 para estos valores:

Valor Sustitución Operación Valor numérico

x = 0 2 ? 0 + 1 2 ? 0 + 1 = 0 + 1 1

x = 2

x = -1

x = -2

6 _{Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican.}

Valores x + y 2 x - 3y ( x + y)2

x = 1 y = 0 1 + 0 = 1 2 ? 1 - 3 ? 0 = (1 + 0)2 _{= 1}2 ₌

x = -1 y = 2

x = 1 y = -2

x = -2 y = 3

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MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

GRADO DE UN MONOMIO

El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal. ACTIVIDADES

1 _{Completa las tablas.}

Monomio Coeficiente Parte literal

x 1 x

-3 xy -3

-5 xy2

x y 3 1 ₂

Monomio Coeficiente Parte literal

a b 3 2 2

-2 xyz

-3b2_c

xyz 7 5 ₂

-2 _{Calcula el grado de los siguientes monomios.}

a) -5 x2

_"

3

2 5

_"

_"

b) 7x2_y

_"

_"

_"

EJEMPLO

Monomio 3 x -5 ab -5 x3 _x

5 3

Coeficiente 3 -5 -5

5 3

Parte literal x ab x3 _x

EJEMPLO

Monomio Grado Explicación

-3 x 1 El exponente de x es 1 ( x1₎

4 a2_{y 3 La suma de los exponentes de a}2_y1 _{es 2 + 1 = 3}

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MONOMIOS SEMEJANTES

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

• La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

• Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

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3 Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

-3 x -3 x 1

-2 a3_b

-2 a b

xyz

7ab2_c3

6y2_z

4 _{Escribe dos monomios semejantes para cada monomio.}

Monomio Monomios semejantes

-5 x

-ab

-2yx3

-3y2_z3

a b 3 2 ₂

5 xy

5 x; 2 x son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal ( x ). 3 xy2_{; -xy}2 _{son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal ( xy}2 _).

x2_y3_{; xy}2 _{no son monomios semejantes.}

EJEMPLO

2 x+x = (2 + 1) x = 3 x

2 x+y

"

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MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

3 x?2 x= (3 ? 2) ?x?x= 6 x2 _{4 x?(-2 x}2_{)= [4 ? (-2)] ?x?x}2_{= -8x}3 EJEMPLO

9 _{Realiza estas multiplicaciones.}

a) 4 a ? 3 a = c) -2 x ? (-5 x) = e) m ?m2₌

b) 3 x2_{? 3 x}2 _{= d) 3 x}2_{? (-3 x}2 _{) = f ) x? x} 3 2

5 3 2₌ 5 Realiza las siguientes operaciones.

a) a +a +a +a = d) 5 x - 3 x -x =

b) 2 x2_+x2 _+x2_{= e) -5 x}3_{- 3 x}3₌

c) 5mn -mn - 4mn = f ) p - 2p + 5p =

6 _{Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.}

a) 2 x + + = c) 2 x3_{+ =}

b) + 5p + = d) + 2 xy + =

7 Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula.

a) 7x - = c) 5 pq - =

b) -x2_{= d) - 4 x}2_{y =}

8 _{Reduce las siguientes expresiones algebraicas.}

a) 6 x2_{+ 4 x- 2 x}2 _-x

Sumamos y restamos los monomios semejantes y calculamos el resultado:

b) 5 x2_{- 2 x + 3 x}2_{-x =}

c) ab -ab + 7ab + 4 ab - 2 ab =

d) 3 ab3_{- 2ab + 5 ab}3_{-ab + 4 ab =}

e) -10 xy - 5 xy + 2 xy + 4 x - 8y + 2y + 2 x =

6 x2 _{- 2 x}2 _{+ 4 x - x}

4 x2 _{+ 3 x}

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DIVISIÓN DE MONOMIOS

El cociente dedosmonomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte

literal es el cociente de las partes literales.

6 x : 2 x = ? ?

x x

x x

2 6

2 6

3 1 3

= = = 10 x3 _{: (-5 x) = ?}

x x

x 5

10

2

3

2

- =

-EJEMPLO 10 Calcula y reduce.

a) 4 x ? (2 x - 5) = 4 x ? 2 x - 4 x ? 5 = 4 ? 2 ?x ?x - 4 ? 5 ?x = 8x2_{- 20 x}

b) 3 ? (2 x + 3 x2_{) =}

c) 2a ? (4a3_{- 3 a}2_{) =}

d) (3 -ab +ab2_{) ? 2a =}

e) 2 ? (x2_{+ 3 x) - 2 x =}

f ) -3 x ? (x3_{- 2 x + 4) - 12 x =}

g) -x3 _{? (-5 x + 4 - 3 x}2_{- 10 x) =}

h)

-3 1

x ? (-x4_{+ 3 x - 2 x) +x}2 ₌

11 _{Resuelve estas divisiones de monomios.}

a) 8x3 _{: 2 x = d) a}4 _{: a}2₌

b) (-12 x5_{) : (-12 x} 4_{)= e) (-14y} 4_{) : (-2y} 2_{) =}

c) 20m4 _{: 15m}3_{= f ) (-20 z}5_{) : 4 z}4₌

12 _{Efectúa las siguientes operaciones.}

a) (7x5 _{: 2 x) + x =}

b) (6 x7 _{: x}3 _{) - (5 x : x) =}

c) (8a2_{b : 4 ab) + b}2₌

d) 3 x(x + 1) - (4 x2 _{: x) =}

e) (12a3_b2 _{: 3 a}2_{b) - b=}

f ) 3 ? (4 xy2 _{: 2 xy) - 2y=}

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POLINOMIOS

Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes.

• Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.

• Los términos que no tienen parte literal se denominan términos independientes. • El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

ACTIVIDADES

1 _{Completa esta tabla:}

Polinomio Términos Término independiente Grado de polinomio

-2 x3 _{+ 3 x - 5}

5ab - 5ax2_b

x3 _{- 2 x}2 _{- x - 3}

6 x - 7

5 xy - 2y

2

3 a2b + 1

3 xy + 5 xy2

2 Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un término, otro con dos términos y un tercero con tres términos.

3 _{Indica el grado de los siguientes polinomios.}

a) -x + 3 x2

_"

b) x2_{y - 3 x Grado = d) -5 x}4_-x3_{- 8}

_"

Polinomio Términos Término independiente Grado de polinomio

2 x3 _{- 3 x - 1 2 x}3_{; -3 x; -1 -1 3, que es el grado de 2 x}3

-2 xy + 9 -2 xy; 9 9 2, que es el grado de -2 xy

-5 x -5 x No tiene 1, que es el grado de -5 x

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SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumarpolinomios se suman los monomios semejantes. Para restarla se suma al primero el polinomio opuesto del segundo.

A( x)=2 x2₊₅

B( x)= x3_{-5 x}2_{-2 x +3}

A( x) + B( x) =(2 x2_+5)+(x3_{-5 x}2_{-2 x +3)=} = x3_{-3 x}2_{-2 x +8}

A( x) - B( x) =(2 x2_+5)-(x3_{-5 x}2_{-2 x +3)=} =2 x2_{+5- x}3_{+5 x}2_{+2 x -3=}

=-x3_+7x2_{+2 x +2} EJEMPLO

4 Halla el valor numérico del polinomio x2_{- 2 x + 1 para los valores que se indican.}

Valor Valor numérico del polinomio

x = 0 0 2 _{- 2 ? 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1}

x = 1

x = -2

5 Dados los polinomios A( x) = 6 x2_{- 8x+ 1 y B( x) =-9x}2_{- 2 x+ 7, calcula.}

a) A( x) + B( x) b) A( x) - B( x) c) B( x) - A( x)

6 _{Dados los polinomios A( x)} = x3_{- 3 x+ 2, B(x) =-2 x}2_{+ 7xy C(x) =-x}3_{- 2, calcula.}

a) A( x)+ B( x) + C( x) b) A( x) + B( x) - C( x) c) A( x)) - B( x) - C( x)

x3 _{- 2 x}2 _{- 2 x +5} +

x3_-5x2_{-2 x +3}

x3_-3x2_{-2 x +8}

x3 _{- 2 x}2 _{- 2 x +5} +

-x3_{+5 x}2_{+2 x -3}

-x3_+7x2_{+2 x +2} Opuesto "

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7 Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.

P( x) = 3 x3_{+ 2 x}2_{- 5 x}3_{+ 4 x}2_{- 7x + 2 x}3 Q( x) =-4 x2_{- 5 x}3_{+ 2 x}2_{- 6 x + 2 x}2_{+ 5 x}3_{- 1} R( x) = 2 x4_{- 6 x}3_{+ 4 x + 2 x}2_{- 3 x}3_{+ 8x - 2}

P(x) = 3 x3_{+ 2 x}2_{- 5 x}3_{+ 4 x}2_{- 7x + 2 x}3_{= 3 x}3_{- 5 x}3_{+ 2 x}3_{+ 2 x}2_{+ 4 x}2_{- 7x = 6 x}2_{- 7x}

8 _{Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula.}

a) P( x)+Q( x) b) Q( x) +R( x) c) Q(x) -R( x) d) P( x) -Q( x)

9 _{Dados los polinomios}A( x)=-4 x3_{+6 x}2_{-8 x +1yB( x)=2 x}2_{-7, calcula.}

a) A( x) ?B( x) b) B( x) ? 3 x c) A( x) ?x d) B( x) ? (-3 x)

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para calcular el producto dedospolinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes.

A( x) = x3 _{- 5 x}2 _{- 2 x + 1} B( x) = 2 x2 _{+ 3 x}

A( x) ? B( x)

"

x3_{- 5 x}2_{- 2 x + 1 x} # 2 x 2_{+ 3 x}

3 x 4_{- 15 x} 3_{- 6 x}2_{+ 3 x}

2 x5_{- 10 x} 4_{-24 x} 3_{+ 2 x}2 _{+ 3}

2 x5_-27x 4_{- 19x} 3_{- 4 x}2_{+ 3 x} EJEMPLO

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SACAR FACTOR COMÚN

Una aplicación de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta operación consiste en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos.

10 _{Extrae factor común en las siguientes expresiones.}

a) 3b + 4b c) 15 x4_{- 5 x}2_{+ 10 x e) 12 x}2_{- 3 x}2_{+ 9x}3

b) 3 a + 6 b + 12 d) 6 x2_{y + 4 xy}2 _{f ) 10 xy}2_{- 20 xy + 10 x}2_y

11 Simplifica las fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador.

a) ?( ) ? ( ) ?( ) ?( )

x

x x

x x x

x

x x x

x 5 10 10 5 10 1 5

2 5 1

1

2 1

2 1

3 2 2 2

2 + = + = + = + = + b) x y x y 3 6 3 2 4 2 - = c) a b a b 3 3 3 = d) m m 12 12 3 = e) a a a 6 9 4 6

2_- 3

-=

f )

x y x y x y

2 2 2 2_- 3 2

= EJEMPLO

Expresión Factor común Sacar factor común

5 x + 5y 5 5 ? ( x +y)

7x2 _{- 3 x x x ? (7x - 3)}

5 x2 _{- 5 x 5 x 5 ?x( x - 1)}

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2 _Calcula.

a) ( x - 1)2 _{= c) (2a - 3b)}2 ₌

b) (a - 6b)2 _{= d) (5 - 3 x)}2 ₌

ACTIVIDADES

1 _Calcula.

a) ( x + 5)2 _{= c) (2 + x)}2 ₌

b) (a + 2b)2 _{= d) ( xy + 1)}2 ₌

CUADRADO DE UNA SUMA

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a +b)2_=a2_{+ 2ab +b}2

a + b # a + b

ba + b2 a2 _{+ ab}

a2_{+ 2ab +b}2

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a -b)2_=a2_{- 2ab +b}2

a - b # a - b

- ba + b2 a2 _{- ab} a2_{- 2ab +b}2

IGUALDADES NOTABLES

Las igualdades notables son ciertas igualdades cuya aplicación resulta muy útil para abreviar cálculos con expresiones algebraicas.

Las principales igualdades notables son:

• Cuadrado de una suma: (a + b)2 _{= a} 2 _{+ 2ab + b} 2 • Cuadrado de una diferencia: (a - b)2 _{= a} 2 _{- 2ab + b} 2 • Suma por diferencia: (a + b) ? (a - b) = a 2 _{- b} 2

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3 _Calcula.

a) ( x + 5) ? ( x - 5)= c) (7 + x) ? (7 - x)=

b) (2a + b) ? (2a - b)= d) (5a + 1) ? (5a - 1)=

4 _{Expresa en forma de igualdad notable.}

a) x2 _{+ 2 x + 1= d) 4 x}2 _{- 4 x + 1=}

b) x2 _{+ 10 x + 25= e) 9a}2 _{- 30ab + 25b}2₌

c) x2 _{- 16= f ) 4 x}2 _{- 36=}

5 _{Simplifica las fracciones, utilizando las igualdades notables.}

a)

x x

x

4 4 4

2 2

- +

-=

b)

x

x x

25 10 5 2

2 2

-- +

=

SUMA POR DIFERENCIA

El producto de una suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b) ? (a - b) = a2 _{- b}2

a + b

# _{a - b}

- ba - b2

a2 _{+ ab+b}2