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COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES
DEPARTAMENTO DE UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FISICA Y GEOLOGIA FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
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Diseñar y construir un sistema para comprender el análisis vector.
Verificar experimentalmente las condiciones de equilibrio para un sistema.
Verificar que los vectores (fuerzas) cumplen la definición de la adición de vectores.
Encontrar fuerzas resultantes de vectores y determinar experimentalmente las componentes de uno o varios vectores.
Figura 1. Mesa de vectores
Muchas cantidades físicas importantes, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, son cantidades vectoriales. Es necesario entonces tener claridad en la notación y representación que vamos a usar para los vectores.
Adición de Vectores.
Sean los vectores y . La suma se obtiene en el triangulo (ver figura 2), dibujando un vector a continuación del otro, o bien en el paralelogramo graficándolos en un origen común (ver figura 3).
Figura 2. Figura 3.
Materiales Cantidad
Mesa de fuerzas+ 3 poleas + 3 tornillos +3 hilos +1 aro central
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Pesas de (5,10,20,50 g.) + 3 ganchos de 50 g. c/u
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Objetivos
Esquema del Laboratorio y Materiales
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En general , y entonces , pero . Lo que muestra la importancia de la notación correcta en el algebra vectorial.
Si deseamos determinar la magnitud del vector resultante aplicamos la Ley del coseno
donde , es el ángulo entre el vector y .
Si y son fuerzas que actúan sobre un cuerpo, será la fuerza resultante. La fuerza que equilibre esta, es la cual es de igual magnitud que pero en sentido opuesto, es decir (ver figura 4).
Figura 4. Figura 5.
Descomposición de Vectores.
Cualquier vector se puede expresarse como la suma de dos (o más) vectores. Este conjunto de vectores que al sumarse den se les llama la componentes de . Las más usadas comúnmente son las rectangulares, esto es, el vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares (ver figura 5).
El vector , puede expresarse como , donde y , con y , en consecuencia
Este resultado se puede generalizar en el caso que deseamos encontrar el vector resultante de la suma de muchos vectores, es decir , por lo que es conveniente utilizar el método de componentes rectangulares, de esto resulta (para el caso de dos componentes) , por consiguiente
Donde es el numero de vectores, es el ángulo que el vector hace con el semieje positivo y y son las componentes de a lo largo de los ejes e .
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Montaje Experimental I: Suma de Vectores.
1. Realice el montaje de las paleas y el juego de masas como se observa en la figura 1, para ello desplace la polea 1 cierto ángulo entre 0 y 90 grados según el goniómetro de la mesa y regístrelo en la tabla de1, como y sobre el portapesas que pasa sobre ella coloque una cantidad de masa entre 0 y 150 gr, regístrela en la tabla 1
.
2. Desplace la polea 2 un ángulo entre 90 y 180 grados según el goniómetro de la mesa y regístrelo en la tabla 1, como y en el portapesas que pasa sobre esta polea coloque masa entre 0 y 150 gr, regístrela en la tabla 1 como .
3. Ahora gire la polea 3 y varié la masa del portapesas 3, hasta que quede centrado el anillo con el circulo dibujado sobre la mesa. Registre la masa del poratapesas 3 como en la tabla 1, esta es la masa equilibrante. Tome el ángulo que señala la polea 3 y regístrelo en la tabla de datos 1 como este es el ángulo equilibrante.
Montaje Experimental II: Composición de Vectores.
1. Coloque la polea 1 a y sobre el portapesas coloque una masa entre 0 y 150 gr, regístrela en la tabla de datos 4, como , esta masa en kilogramos [kg] multiplicada por la gravedad , donde esta es la componente horizontal del vector fuerza que vamos a componer.
2. Coloque la polea 2 a y sobre el portapesas coloque una masa entre 0 y 150 gr, regístrela en la tabla 4, como , esta masa en kilogramos [kg] multiplicada por la gravedad , donde esta en al componente vertical del vector fuerza que vamos a componer.
3. Coloque la masa sobre el portapesas 3 y ajuste la polea 3 hasta que se equilibre el anillo con el círculo dibujado sobre la mesa. Cuando se logre el equilibrio registre la masa del portapesas 3 en la tabla 4 como
y registre el ángulo de la polea 3 según el goniómetro de la mesa, en la tabla 4 como .
1. Convierta a kilogramos las masas , , registre estos datos en la tabla 1.
2. A cada uno de los datos de masas anterior, multiplíquelos por el valor de la gravedad para encontrar las fuerzas , y respectivamente.
3. Recuerde que la magnitud de la fuerza resultante es igual a la magnitud de la fuerza equilibrante y que la dirección de la fuerza resultante es menos que la dirección de la fuerza equilibrante. Registre estos valores en la tabla 1.
Masa [g] Masa [kg] Fuerza [Newton]
Angulo [grados]
Tabla 1. Método experimental.
4. En una hoja de papel milimetrado, grafique las fuerzas y de la tabla de datos 1, escogiendo para ello un escala adecuada, de tal forma que se puedan observar en forma clara y permita realizar la suma de estas fuerzas por cualquier método grafico (método del paralelogramo, método del triangulo, etc). Mida la magnitud y la dirección de la fuerza resultante encontrada mediante este método y regístrelos en la tabla 2, como y
.
5. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza equilibrante y regístrelos en la tabla 2, como y .
Procedimiento
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Masa [g] Masa [kg] Fuerza[Newton]
Angulo [grados]
Tabla 2. Método Grafico.
6. Tome los valores de las fuerzas y , y mediante el método analítico encuentre sus componentes. Luego súmelas y encuentre la magnitud y dirección de la fuerza. Registre estos valores en la tabla 3, como y . 7. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza equilibrante y regístrelos en la tabla 3, como y .
Masa [g] Masa [kg] Fuerza [Newton]
Angulo [grados]
Tabla 3. Datos del Método Analítico.
8. Encuentre el error porcentual de la fuerza resultante experimental ( tabla 1, valor experimental) y la fuerza resultante analítica ( tabla 3, valor teórico) mediante la formula:
9. Tome los datos de la masa , y de la tabla 4 y conviértalos a kilogramos. Registre en la tabla 4. 10. A cada dato de masa anterior, multiplíquelos por la gravedad para encontrar , y .
11. Recuerde que la magnitud de la fuerza resultante es igual a las magnitud de la fuerza equilibrante y de dirección opuesta. Registre estos valores en la tabla 1, como y . Estps son las magnitudes y dirección del vector compuesto.
Masa [g] Masa [kg] Fuerza [Newton]
Angulo [grados]
Tabla 4. Composición de un vector. Método Experimental.
12. Sobre una hoja de papel milimetrado y utilizando una escala adecuada y el método del paralelogramo, grafique las componentes y y encuentre el vector que estamos buscando. Tome una regla y mida la magnitud de este vector y regístrela en la tabla 5, como . Ahora tome un transportador y mida la dirección del vector y regístrela en la tabla 5, como .
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Masa [g] Masa [kg] Fuerza[Newton]
Angulo [grados]
Tabla 5. Composición de Vectores. Método Grafico.
Masa [g] Masa [kg] Fuerza [Newton]
Angulo [grados]
Tabla 6. Composición de Vectores. Método Analítico.
14. Tome el valor de las componentes y y usando el método analítico encuentre la magnitud y la dirección del vector fuerza resultante. Registre estos valores en la tabla 6, como y .
16. Encuentre el error porcentual de la fuerza resultante por el método grafico ( tabla 2, valor experimental) y la fuerza resultante por el método analítico ( tabla 3, valor teórico).
1. ¿Cuales de los tres métodos (experimental, grafico y analítico) en su concepto es el mas exacto, justifique su respuesta?
2. ¿Analice las fuentes de error presentes y como fueron minimizadas en esta experiencia de laboratorio? 3. ¿El modelo vectorial de las fuerzas, predice en forma precisa los resultados que usted midió, justifique su
respuesta?
