C A P ÍTU LO 2 Fundones y sus gráficas
2.1 C o n c e p to d e v a r ia b le , fu n c ió n , d o m in io
e im a g e n d e u n a fu n c ió n
Jorge es el de m enor estatura de su clase y cada 6 m eses se m ide en la pared. Él ha registrado su crecimiento conform e ha pasado el tiem po y, con esa información, construyó una tabla para hallar una relación y encontrar un significado.
Edad (años) E statu ra (m )
j
14.5 1.60 15.0 1.62 15.5 1.65 16.0 1.68 16.5 1.70 17.0 1.72 17.5 1.75 18.0 1.80
Jorge no sólo nota que existe una relación entre la edad y la estatura, sino que esta segunda no es constante y que varía conform e pasa el tiempo; también observa que una cambia con respecto a la otra.
V a r ia b le
Una v a r ia b le es un símbolo cualquiera que puede representar cualquier valor.
V a ria b le in d e p e n d ie n te es aquella que toma valores independientemente de otros factores y que no podemos controlar de manera directa, pero podemos controlar su rango para efectos de estudio de un determinado comportamiento; por ejemplo el tiempo, cuyo efecto incide sobre la variable dependiente.
V a ria b le d e p e n d ie n te es aquella que toma valores de acuerdo con la función o modelo ma temático y el cambio de valores de la variable independiente.
F u n c ió n
1. Una función es un conjunto de pares ordenados de núm eros (xty ) en el que no existen dos o más pares ordenados con el mismo valor de x y diferentes valores de y.
2. Una función es una relación entre dos variables (*,;>) de tal manera que a x (la variable in dependiente), le corresponde uno y sólo uno de los valores de y (la variable dependiente). 3. Una función de X —> Y es una relación entre x y y , con la propiedad de que si dos pares
ordenados tienen el mismo valor d e * , entonces también tienen el mismo valor de y.
Ejemplo:
F i g u r a 2.1
F u n c ió n d e X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha, y a su vez la de unicidad asegura que sólo sale una.
F i g u r a 2 . 2 M áquina de funciones. independiente; en este caso, nuestra materia Variable dependiente, producto terminado s o
El dominio
es el conjunto de valores que toma la variable X, para los cuáles la
función está definida. También se le conoce como conjunto de partida.
El contradominio
es el conjunto de valores posibles para Y. También se llama
conjunto de llegada.
El rango
es el conjunto de valores del contradominio que son
imágenes de X …
y=f(x)
Es importante aclarar, que en muchas ocasiones el contradominio y rango son
iguales, es por ello, que suelen crearse confusiones, sin embargo,
no son lo
mismo.
Con el siguiente diagrama de flechas, los conceptos quedarán claros:
Dominio = {1; 2; 3}
Contradominio = {3; 6; 9; 12}
Rango = { 3; 6; 9}
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Estrategia para encontrar e l dom inio y la imagen de cualquier función
1. Identifica el nombre o tipo de función.
2. Reconoce las restricciones algebraicas de la función.
• Si existen raíces pares, el contenido del radicando debe ser mayor que o igual a cero. • Si existen divisiones, el denominador debe ser diferente de cero.
• Los logaritmos deben ser m ayores que 0.
3. Si es una función compuesta, analiza sus componentes individuales y combina los posibles dominios.
4. Si la función representa un modelo matemático, incluye las limitantes físicas del problema. 5. Una vez determinado el dominio, procede a obtener la imagen.
6. La imagen de una función está dada por el valor mayor y el valor menor del dominio, excepto para aquellos en los cuales el dom inio es simétrico; para tales casos se usará el valor menor o m ayor y la mitad del dominio.
No t a: En algu n as fu n cio n es (co m o e n e l caso d e las fu n cio n es r a cio n a les y la s trigon om étricas) es m ás factib le d e term in a r p rim ero la im a g en y lu eg o el d o m in io .
E J E M P L O
f ( x ) = J 2 5 - X 2
Método:
1. Se trata de una función raíz cuadrada por lo que el contenido del radicando debe ser mayor o igual a cero.
2. El radicando se iguala a 0.
2 5 - x 2 = 0
3. Se despeja en términos de x.
—jc2 = —25
Multiplicamos todo por menos uno
a:2 = 25
x = •¡2 5 =±5
Como se dijo antes, el radicando debe ser mayor o igual a cero.
Si evaluamos la función dando a x valores que están en el intervalo [-5 , 5] se verifica que 25 - x 2 > 0 , con lo cual se obtiene el dom inio D: [-5 , 5].
Como el dom inio es simétrico, se sustituyen ya sea el valor mayor o menor, y el número que se encuentre a la mitad de dicho intervalo.
La mitad del intervalo [-5 , 5] es el número 0.
Primero sustituimos el valor más grande de la ecuación y resolvemos,
/ ( * ) = % / 2 5 -x2 = '/ 2 5 - 5 2 = 0
Tomando el valor mayor del dom inio se obtiene el prim er dato de la imagen que corresponde alO.
Ahora sustituimos el valor de en medio, el 0, y procedemos a resolver.
f ( x ) = sl2 5 - 0 2 = x /2 5 = 5
Por último, tomando la mitad del intervalo se obtiene el dato final de la imagen
/:[ 0 , 5]
Todo esto quiere decir que la gráfica se extiende en el eje de las a: desde el - 5 hasta el 5 y alrededor del eje de las y desde el 0 hasta el 5.
C A P ÍTU LO 2 Fundones y sus gráficas
2 .2 R e p r e s e n t a c ió n e id e n tific a c ió n
d e fu n c io n e s
N o t a c ió n d e f u n c io n e s
La notación de funciones perm ite distinguir la variable dependiente de la independiente, y se expresa de la siguiente manera:
/ ( * ) = ** + 2 ,
donde / representa el nombre de la función (puede ser cualquier otra letra pero p o r convención se denota con la letra / ) ; luego se escribe entre paréntesis la letra de la variable independiente x, y después del signo de igualdad = se escribe el resto del modelo matemático.
E v a lu a c ió n d e f u n c io n e s
Evaluar una función significa encontrar el valor real que le corresponde a la variable dependiente, una vez asignado un valor a la variable independiente.
E J E M P L O
Si definimos una función f ( x ) = - 2 + 3*2 - - , el valor de la función cuando x = 2, sería:
/ ( 2 ) = - 2 + 3 ( 2 ) 2 - I = - 2 + 12 - i
/ W = 7
Existen tres maneras de representar e identificar las funciones: analítica, tabular y gráficamente. Cada una expresa la manera en que podemos visualizar los problem as reales utilizando símbolos, datos ordenados o gráficos, con el fin de poder com prender y analizar m ejor las situaciones de un problema.
á) Analíticamente, representa el lenguaje matemático puro a través de símbolos y números que se expresan mediante una fórmula matemática.
Ejemplo:
f { x ) = x + 5
Analíticamente y no representa una función de x si al momento de despejar y ésta tiene exponente par.
Ejemplo:
y 1 = 2 i x - 2
b) Tabularmente, a través de un conjunto de pares ordenados (x, y).
X -5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
Tabularmente y no representa una función de x si existen dos pares ordenados con dife rente valor de jc para el mism o valor de .y.
Ejemplo:
c) Gráficamente, es decir, a través del dibujo de los pares ordenados en el plano cartesiano o en cualquier otro sistema de coordenadas.
G ráficam ente^ no representa una función de jc si en la gráfica ésta es cruzada dos o más veces por una línea vertical (vea las gráficas 2.1 y 2.2).
(2, 5) y ( 2 ,- 5 ) .
