SEÑALES Y SISTEMAS I
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Definición
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Definición
Supongase un sistema lineal como el de la
fi
gura
La relación entre la entrada y la salida está descrita por la siguiente
ecuación diferencial
a
n
d
n
y(t)
dt
n
+
...
+
a
1
dy(t)
dt
+
a
0
y(t) =
b
m
d
m
u(t)
dt
m
+
...
+
b
1
du(t)
dt
+
b
0
y(t)
n
X
i
=0
a
i
d
i
y(t)
dt
i
=
m
X
i
=0
b
i
d
i
u(t)
dt
i
n
X
i
=0
a
i
y
(
i
)
(t) =
m
X
i
=0
b
i
u
(
i
)
(t)
Aplicamos transformada de Laplace
L
(
n
X
i
=0
a
i
y
(
i
)
(t)
)
=
L
(
m
X
i
=0
b
i
u
(
i
)
(t)
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Definición
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Definición
n
X
i
=0
a
i
L
n
y
(
i
)
(
t
)
o
=
m
X
i
=0
b
i
L
n
u
(
i
)
(
t
)
o
n
X
i
=0
a
i
"
s
i
Y
(
s
)
−
i
−
1
X
k
=0
s
i
−
k
−
1
y
(
k
)
(0)
#
=
m
X
i
=0
b
i
"
s
i
U
(
s
)
−
i
−
1
X
k
=0
s
i
−
k
−
1
u
(
k
)
(0)
#
n
X
i
=0
a
i
s
i
Y
(
s
)
−
n
X
i
=0
i
−
1
X
k
=0
a
i
s
i
−
k
−
1
y
(
k
)
(0) =
m
X
i
=0
b
i
s
i
U
(
s
)
−
m
X
i
=0
i
−
1
X
k
=0
b
i
s
i
−
k
−
1
u
(
k
)
(0)
Despejando
Y
(
s
)
tenemos
Y
(
s
) =
P
m
i
=0
b
i
s
i
U
(
s
)
P
n
i
=0
a
i
s
i
+
P
n
i
=0
P
i
−
1
k
=0
a
i
s
i
−
k
−
1
y
(
k
)
(0)
P
n
i
=0
a
i
s
i
−
P
m
i
=0
P
i
−
1
k
=0
b
i
s
i
−
k
−
1
u
(
k
)
(0)
P
n
i
=0
a
i
s
i
P
m
i
=0
bis
iU
(
s
)
P
n
i
=0
aisi
|
{z
}
Respuesta de estado cero
P
n
i
=0
P
i
−
1
k
=0
ais
i
−
k
−
1
y
(
k
)(0)
P
n
i
=0
aisi
−
P
m
i
=0
P
i
−
1
k
=0
bis
i
−
k
−
1
u
(
k
)(0)
P
n
i
=0
aisi
|
{z
}
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades Ejemplo
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Ejemplo
Considere el circuito RL mostrado en la
fi
gura
Con condición inicial
I
0
. Donde
v
(
t
) =
µ
(
t
)
,
R
= 1Ω
y
L
= 1
H
. Determine la respuesta total e identi
fi
que la
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades Ejemplo
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Ejemplo
Aplicamos sumatoria de voltajes
L
di(t)
dt
+
Ri(t) =
v(t)
Reemplazamos los valores dados en el ejercicio
di(t)
dt
+
i(t) =
µ(t)
sI
(s)
−
i(0) +
I
(s) =
1
s
I
(s)(s
+ 1) =
1
s
+
I
0
I
(s) =
1
s(s
+ 1)
+
I
0
s
+ 1
I
(s) =
1
s
−
1
(s
+ 1)
+
I
0
s
+ 1
Hallamos la transformada inversa de Laplace y obtenemos
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Definición
Función de transferencia
Definición
La respuesta transitoria
y
tr
de un sistema es la parte de la respuesta
del sistema que tiende a cero cuando t tiende a in
fi
nito
. En otras
palabras
l´ım
t
−→∞
y
tr
(t) = 0
La respuesta de estado estable
y
ss
de un sistema es la parte de la
respuesta que permanece después que la parte transitoria se hace
cero
Recordemos la respuesta total del ejemplo anterior
i(t) = 1
−
e
−
t
+
I
0
e
−
t
Reorganicemos la respuesta
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia Función de transferencia
Ejemplo Clasificación Ejemplo Definiciones
Ubicación de los polos
Función de transferencia
Se de
fi
ne la función de transferencia de un sistema continuo
o discreto como la relación en el dominio de la frecuencia
entre salida y entrada con condiciones iniciales nulas.
G
(
s
) =
Y
(
s
)
U
(
s
)
!
!
!
CI
=0
G
(
z
) =
Y
(
z
)
U
(
z
)
!
!
!
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia
Ejemplo
Clasificación Ejemplo Definiciones
Ubicación de los polos
Ejemplo
Considere el sistema mostrado en la
fi
gura. Derive la función de
transferencia
G(s) =
V
I
(
(
s
s
)
)
Aplicamos sumatoria de voltajes
L
di(t)
dt
+
Ri(t) +
1
c
Z
t
0
i(τ
)dτ
=
v(t)
L
d
2
i(t)
dt
2
+
R
di(t)
dt
+
i(t)
c
=
dv(t)
dt
Ls
2
I
(s) +
RsI
(s) +
I
(s)
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia
Ejemplo
Clasificación Ejemplo Definiciones
Ubicación de los polos
Ejemplo
I
(
s
)
"
Ls
2
+
Rs
+
1
c
#
=
sV
(
s
)
I
(
s
)
V
(
s
)
=
s
(
s
2
+
Rs
+
1
C
)
=
Cs
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia Ejemplo
Clasificación
Ejemplo Definiciones
Ubicación de los polos
Clasificación
1.
Función impropia
Grad
N >
Grad
D
l´ım
s
−→∞
G(s) =
∞
2.
Función propia
Grad
N
≤
Grad
D
l´ım
s
−→∞
G(s) =
C
!
Función bipropia
Grad
N
=
Grad
D
l´ım
s
−→∞
G(s) =
C
!
Función estrictamente propia
Grad
N <
Grad
D
l´ım
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia Ejemplo
Clasificación
Ejemplo
Definiciones
Ubicación de los polos
Ejemplo
1.
G
(
s
) =
s
2
+ 1
2
s
2.
G
(
s
) =
s
2
+
s
+ 1
s
2
+ 2
3.
G
(
s
) =
1
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia Ejemplo
Clasificación Ejemplo
Definiciones
Ubicación de los polos
Definiciones
1.
Funcion coprima
Una funcion es coprima si el
numerador y el denominador no tienen factores comunes.
G
(
s
) =
s
+ 1
s
2
+ 2
s
+ 1
2.
Cero
Si G es coprima un cero
z
de
G
es el valor tal que
G
(
z
) = 0
3.
Polo
Si G es coprima un polo
p
de
G
es el valor tal que
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia Ejemplo
Clasificación Ejemplo Definiciones
Respuesta de entrada cero y de estado cero
Propiedades
Respuesta transitoria y de estado estable
Función de transferencia
Función de transferencia Ejemplo
Clasificación Ejemplo Definiciones
Ubicación de los polos
