Simulaci´
on computacional de
conexiones mec´
anicas simples con
elementos de esterilla laminada de
guadua
Carlos Andr´
es Mambuscay Cachay
Universidad de los Andes Facultad de Ingenier´ıa
Departamento Ingenier´ıa Civil y Ambiental Bogot´a, Colombia
Simulaci´
on computacional de
conexiones mec´
anicas simples con
elementos de esterilla laminada de
guadua
Carlos Andr´
es Mambuscay Cachay
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: Ingeniero Civil
Director:
Ph.D.,Fernando Ramirez Rodriguez
Universidad de los Andes Facultad de Ingenier´ıa
Departamento Ingenier´ıa Civil y Ambiental Bogot´a, Colombia
A mi familia que siempre ha estado junto a m´ı apoyando cada uno de mis proyectos.
Agradecimientos
Quiero agradecer a mis padres por su ayuda, por su consejo, por su apoyo incondicional durante toda mi vida, que me ha permitido ser quien soy hoy en d´ıa. A mis hermanos quie-nes han sido una parte muy importante de mi vida, por ser mi gu´ıa y soporte en d´ıas dif´ıciles. A mi familia entera por brindarme tanto cari˜no y afecto.
Quiero agradecer al doctor Fernando Ramirez por su ayuda y paciencia en la conducci´on de ´este proyecto de grado. Al equipo de laboratorio de la Universidad por guiarme en las diferentes pruebas que fueron necesarias para el desarrollo de este proyecto.
ix
Resumen
El presente documento presenta un modelo tridimensional para conexiones simples con ele-mentos de esterilla laminada de guadua usando eleele-mentos finitos. El modelo tiene un compo-nente experimental importante sobre el cual se basa. Se describe los ensayos realizados para determinar las propiedades mec´anicas del material y pruebas de laboratorio de la resistencia al aplastamiento del material, propiedad usada para calibrar el modelo en computador. El modelo de material utilizado es el modelo de la teor´ıa de plasticidad anisotr´opica con el que se ha obtenido buenos resultados en modelos desarrollados en madera y materiales similares. La plataforma computacional que se utiliza es el programa comercial de simulaciones para ingeneir´ıa ANSYS 15.0. Las nociones te´oricas del modelo construido en este proyecto de grado se basan en el desarrollado por (Hong, 2007) para elementos de madera y por (Piscal, 2010) para elementos de guadua laminada (GLG).
Palabras clave: Modelo Computacional, Esterilla de laminada de guadua , Conexiones mec´anicas simples.
Agradecimientos VII
Resumen IX
1. Introducci´on 2
2. Revisi´on Bibliogr´afica 5
2.1. Teor´ıa de la Fluencia (EYM) . . . 5
2.1.1. Descripci´on general . . . 6
2.1.2. Derivaci´on de las ecuaciones de EYM . . . 8
2.1.3. Limitaciones y suposiciones en EYM . . . 15
2.2. Antecedentes de modelos para conexiones pernadas . . . 16
2.2.1. Modelos unidimensionales y bidimensionales . . . 16
2.2.2. Modelos tridimensionales . . . 17
2.3. Teor´ıa generalizada del potencial de Hill . . . 26
3. Esterilla laminada y caracterizaci´on mec´anica. 28 3.1. Proceso de Producci´on . . . 28
3.1.1. Paso 1: Recepci´on de materia prima . . . 28
3.1.2. Paso 2: Esterillado de la materia prima . . . 29
3.1.3. Paso 3: Ripiado . . . 30
3.1.4. Paso 4: Cepillado ´Aspero y corte transversal . . . 30
3.1.5. Paso 5: Inmunizado . . . 31
3.1.6. Paso 6: Secado . . . 32
3.1.7. Paso 7: Cepillado fino . . . 32
3.1.8. Paso 8: Cocido de la esterilla . . . 33
3.1.9. Paso 9: Refilado y armado . . . 33
3.1.10. Paso 10: Prensado . . . 34
3.1.11. Paso 10: Dimensionamiento y lijado . . . 34
3.2. Caracterizaci´on de la esterilla laminada de guadua . . . 34
3.2.1. Ensayos a compresi´on. . . 35
Contenido 1
4. Modelo computacional para conexiones simples de esterilla laminada de guadua 48
4.1. Modelo de los materiales de la conexi´on . . . 48
4.1.1. Esterilla laminada de guadua. . . 49
4.1.2. Acero . . . 53
4.2. Modelo del ensayo de aplastamiento . . . 54
4.2.1. Zona de aplastamiento . . . 55
4.2.2. Determinaci´on factores de calibraci´on . . . 60
4.3. Modelo de conexiones simples a cortante doble y aplicaci´on del EYM . . . . 60
5. Conclusiones y recomendaciones 66
A. Deducci´on alternativa de ecuaci´on para modo IIIs del modelo EYM 67
B. Deducci´on alternativa de ecuaci´on para modo V I del modelo EYM 69 C. Simulaci´on del ensayo de aplastamiento 70
D. Simulaci´on de conexi´on simple con elementos de esterilla laminada 80
La humanidad se ha percatado de las implicaciones negativas que tiene en el medio ambiente el conjunto de acciones que actualmente mantiene sobre ´este, en una b´usqueda inalcanzable de su propio bienestar. Por esta raz´on, en el campo de la construcci´on se han realizado nu-merosos esfuerzos para minimizar el imp´acto negativo que tiene su actividad en el planeta. Uno de los caminos que se han considerado es la implementaci´on de materiales sostenibles y renovables. Con dicho enfoque la utilizaci´on de la guadua como material estructural de construcci´on ha despertado gran inter´es debido a las caracter´ısticas que posee. Entre ´estas propiedades favorables se puede mencionar: su bajo costo, su alta tasa de crecimiento, la baja creaci´on de poluci´on durante su producci´on y su alta relaci´on resistencia-peso al compararse con materiales com´unmente usados en la construcci´on como el acero, el hormig´on o la ma-dera (Ramirez et al., 2012; Mahdavi et al., 2011; Falk, 2009). El cultivo de bamb´u,tiene un crecimiento radicular, este hecho tiene consecuencias positivas sobre el suelo en el que est´a, dado que evita la la p´erdida de suelo (erosi´on) y tambi´en se ha encontrado que ayuda en el aumento de la retenci´on de agua en el subsuelo (Rodr´ıguez et al., 2009). La capacidad de captura de carbono por parte de esta planta fue determinada en el proyecto “ Cualificaci´on del efecto sumidero de carbono de la Guadua Angustifolia Kunth” realizado por el Centro Nacional de Investigaciones del Caf´e-CENICAF´E- , obteniendo que dicho atributo es de 54 toneladas de di´oxido de carbono por hect´area en 6 a˜nos (9 Ton./Ha./a˜no) (Mart´ınez et al., 2005).De acuerdo a Lugt van der et al. (2006) desde el punto de vista del desempe˜no ambien-tal, el bamb´u es 20 veces m´as favorable que las alternativas de uso frecuente en construcci´on, lo cual respalda el uso de este material como una opci´on amigable con el medio ambiente. La utilizaci´on de la guadua como material de construcci´on data de mas de 3000 a˜nos en regiones del continente asi´atico , en Am´erica los antecedentes son de hace 9500 a˜nos apro-ximadamente(Colorado, 2002). En Colombia, actualmente el uso de la guadua se concentra principalmente en construcciones vinculadas con actividades culturales, estructuras de luces medianas y en la elaboraci´on de muros de bareque y otros elementos en viviendas tradi-cionales . En cuanto a la diversidad de bamb´ues, en nuestro pa´ıs existen 18 g´eneros, 105 especies,de las cuales 24 son especies end´emicas, 69 son bamb´ues le˜nosos y 36 son bamb´ues herb´aceos . Las investigaciones han hecho ´enfasis en la especie Angustifolia Kunth, obte-ni´endose as´ı estudios relacionados con esta especie en numerosas ´areas (taxonom´ıa, gen´etica molecular, fenolog´ı, anatom´ısa, fisiolog´ıa, biotecnolog´ıa, ecolog´ıa, flora y fauna asociada, bio-masa, cuantificaci´on de servicios ambientales,captura deCO2, inventarios forestales, m´etodos de propagaci´on, distancias de siembra, fertilizaci´on, calidades de sitio, manejo y reg´ımenes
3
de aprovechamiento, preservaci´on y secado, propiedades f´ısicas y mec´anicas, comportamien-to estructural, uniones, y estudios de mercadeo). (Londo˜no, 2011). De acuerdo a (Casta˜no, Moreno, 2004), se estima que en Colombia durante los a˜nos 1980 y 2005 el ´area en que el se ubicaron guaduales fue de 51000 ha, compuesto por un 90 % de origen natural y el 10 % restante fue cultivado. En los ´ultimos a˜nos ha sucedido por parte del Estado Colombiano, un especial inter´es por implementar estrategias que busquen potenciar todo lo que se refiere al uso de la guadua (Salas, 2006). Con este panorama se ampl´ıan las posibilidades de ´exito para llevar a implementar en el terreno real los conocimientos que se generen de las investi-gaciones relacionadas con el uso de este material.
La principal dificultad que se presenta cuando se emplean materiales naturales es la hetero-geneidad en su forma y en sus propiedades mec´anicas (Ramirez et al., 2012). Para el caso de la guadua Angustifolia Kunth, en su estado natural cuenta con un tallo de forma de cono truncado, que puede alcanzar longitudes de entre 20 y 25 metros. A lo largo este tallo se pueden apreciar divisiones constituidas por nudos, cuya distancia entre s´ı es de 7 a 10 cent´ımetros. El di´ametro varia entre 20 y 25 cent´ımetros y de acuerdo a la altura el espesor cambia, en el medio ´esta dimension est´a entre 2 y 2.5 cent´ımentros y hacia los extremos es de 1.5 cent´ımentros. Las medidas anteriormente se˜naladas pertenecen a las dimensiones promedio que se alcanzan cuando la planta tiene de 3 a 6 a˜nos de crecimiento,intervalo de tiempo en el que obtiene su m´axima resistencia.(Salas, 2006). El laminado de la guadua es una t´ecnica novedosa y una soluci´on implementada al problema de la variaciones de forma en los elementos del material natural. El objetivo del laminado es obtener un material de uso mas flexible, que permita cumplir con exigencias en forma que se requieren para las diferentes estructuras en las cuales se desee utilizar este material, sin perder las ventajas en resistencia que la guadua provee. La esterilla laminada de guadua es un material que dada la econom´ıa y la simplicidad del proceso de elaboraci´on se ha considerando como una alternativa en el uso en la construcci´on con derivados de la guadua.
Las conexiones son partes de gran importancia en el comportamiento de las estructuras. Son puntos en los cuales durante el proceso de dise˜no se debe prestar especial atenci´on asumiendo la singularidad de su comportamiento. En ellas se presentan discontinuidades en la forma de sus componentes adem´as, en ellas pueden verse implicados materiales con diferentes pro-piedades y por ende diferentes comportamientos. Las conexiones tipo pasador con elementos de madera han sido ampliamente estudiadas, lo que ha permitido crear las bases anal´ıti-cas para su dise˜no. En la reglamentaci´om estadounidense y en la de otros pa´ıses alrededor del mundo, para el dise˜no de estas uniones se han utilizado de referencia valores de resis-tencia encontrados atrav´es del modelo de la teor´ıa de fluencia o modelo europeo de fluencia (EYM). Debido a la similaridad que tiene la madera con las piezas elaboradas con laminados fabricados a partir de guadua, en este trabajo se eval´ua la idoneidad del uso de ´esta teor´ıa (EYM) en las conexiones con esterilla laminada de guadua. La Universidad de los Andes
de Colombia ha realizado numerosos estudios que indagan sobre comportamiento meca´anico de diferentes elementos producidos a partir de guadua, incluyendo dicha planta tanto en su forma natural como laminada. La investigaci´on desarrollada por Juan Carlos Atoche Arce en su trabajo de grado para optar a Magister en Ingenier´ıa Civil (Atoche, 2009), apunt´o al an´alisis experimental el desempe˜no de las conexiones mec´anicas simples utilizando miembros de guadua laminada. En dicho estudio se encontr´o que para la guadua laminada el modelo de la teor´ıa de la fluencia predice adecuadamente el comportamiento ante cargas laterales de las conexiones con miembros de Guadua Laminada.
El uso del modelo de la teor´ıa de fluencia requiere conocer la resistencia al aplastamiento de los elementos de madera, propiedad que se obtiene mediante el ensayo de aplastamiento del elemento en el laboratorio. En dicho ensayo se somete una pieza del material evaluado a una carga controlada, aplicada atrav´es de un sujetador (puntilla, perno, tornillo, etc). Debido al costo que implica realizar dicho ensayo, se desarrolla un modelo computacional del mismo, en el cual atrav´es de un ordenador se logre obtener los datos en laboratorio sin verse en la necesidad de usar equipos t´ecnicos. Con el modelo desarrollado se obtiene la resistencia al aplastamiento del material para diferentes configuraciones de geometr´ıa a un costo mucho menor comparado al que se tendr´ıa en el ensayo real. La metodolog´ıa para la elaboraci´on de este modelo aplicado al caso de la esterilla laminada de guadua se basa en la usada por Carlos Mario Piscal en su investigaci´on (Piscal, 2010) para la guadua laminada.
El objetivo principal del presente trabajo de grado es lograr desarrollar un modelo compu-tacional que responda a los resultados obtenidos en diferentes ensayos experimentales de aplastamiento realizados en elementos de esterilla laminada de guadua.
2. Revisi´
on Bibliogr´
afica
En este cap´ıtulo se presenta de manera general una descripci´on de la teor´ıa de fluencia, su base te´orica, las suposiciones tenidas en cuenta en la misma, las variables necesarias para su c´alculo y su desarrollo. Adem´as se nombraran las caracter´ısticas principales de algunos de los modelos que se han implementado para simular el comportamiento de las conexiones simples en madera y en guadua laminada. Tambi´en se hace una breve descripci´on del mode-lo constitutivo utilizado en la simulaci´on para describir la esterilla de guadua laminada. Es importante se˜nalar que la revisi´on de los modelos en madera se realizan debido a la similitud de comportamiento entre la madera y la esterilla de guadua laminada.
2.1.
Teor´ıa de la Fluencia (EYM)
La teor´ıa de la fluencia o modelo europeo de la fluencia (European Yield Model) es un pro-cedimiento que permite derivar la carga ´ultima de una conexi´on tipo pasador con piezas de madera sometido a una carga lateral. Su desarrollo inici´o con los trabajos del cient´ıfico dan´es K. W. Johanesen en 1941 y 1949, donde estableci´o que el comportamiento de una conexi´on pernada se basa en dos efectos, el efecto del sujetador y el efecto tensional. El efecto del suje-tador depende de la resistencia a la flexi´on del pasador y la resistencia al aplastamiento de la madera. El efecto tensional tiene dependencia directa con la resistencia a la tensi´on y con la acci´on de la fricci´on entre las superficies en contacto (Johansen, 1949; Aune, Patton-Mallory, 1986). Considerando que en ´estos efectos es aplicable la teor´ıa de la plasticidad, Johanesen formul´o la capacidad de las conexiones tipo sujetador con las bases de dicha teor´ıa. Obtuvo las expresiones para el c´alculo de la capacidad en conexiones sometidas a cortante simple y a cortante doble teniendo en cuenta dos suposiciones importantes: asumi´o despreciable la tensi´on axial en el perno y por lo tanto nula la contribuci´on lateral proveniente de la fricci´on, y tambi´en consider´o una relaci´on esfuerzo-deformaci´on perfectamente pl´astica para la uni´on. Cabe resaltar que en su investigaci´on, Johanesen tuvo en cuenta el deslizamiento entre el perno y los miembros de la uni´on llegando a proponer relaciones entre la magnitud de ´este, el di´ametro del sujetador en la conexi´on, la fuerza aplicada y el punto de fluencia.(Johansen, 1949)
Posteriormente se realizar´on numerosos aportes a la teor´ıa ampliando su campo de acci´on. En 1951 M¨oeller (1951) usa los principios de la teor´ıa e incluye en su estudio conexiones de
dos miembros sim´etricos y asim´etricos, adem´as de conexiones de tres miembros sim´etricos. Meyer (1957) en 1957 investig´o el efecto que tiene la fricci´on en el comportamiento de la conexi´on, adicionalmente indag´o sobre el efecto de las asimetr´ıas entre los miembros de las conexiones. Las contribuciones de H. Larsen, V. Reestrup (1969) en 1969 se encaminaron a conocer el comportamiento cuando se usan tornillos en las uniones, presentaron expresiones matem´aticas para estos casos. La inclusi´on del modelo en c´odigos de construcci´on en pa´ıses escandinavos se di´o con la asesor´ıa en fundamentos te´oricos de H. Larsen (1979) en 1979. Entre tanto, para el caso estadounidense, los primeros pasos para la verificaci´on de la teor´ıa de la fluencia en conexiones con caracter´ısticas comunes en ese pa´ıs, se present´o en la inves-tigaci´on de McLain, Thangjitham (1983) . (Aune, Patton-Mallory, 1986)
La validaci´on experimental del modelo de fluencia por parte de numerosas investigaciones (Trayer, 1932; Soltis et al., 1986; Wilkinson, 1978), ha llevado a que en la actualidad sea contemplado en los c´odigos de construcci´on de muchos pa´ıses alrededor del mundo. Como ejemplos de ´este hecho se podr´ıa mencionar que dicho modelo forma las bases de los crite-rios de dise˜no del Eurocode (EC5-1 1995) para estructuras que involucren conexiones con sujetadores. Por otra parte, la National Design Specification (NDS) para construcciones en madera que dicta los lineamientos de dise˜no para la construcci´on con madera en Estados Unidos y que es publicada por la AF& PA (American Forest & Paper Association), usa los fundamentos de ´este modelo para la determinaci´on de los valores de referencia en el dise˜no de conexiones para estructuras de madera. En la NDS el modelo se denomina modelo l´ımite de fluencia (Aune, Patton-Mallory, 1986)
2.1.1.
Descripci´
on general
La capacidad de una conexi´on se asume superada cuando: (1) la resistencia de alg´un miembro de la conexi´on es excedida; o (2) Hay formac´on de una o dos r´otulas pl´asticas (Wilkinson, 1993). El conjunto de ecuaciones que forman el modelo de la teor´ıa de la fluencia define la capacidad de la conexi´on considerando el caso m´as cr´ıtico para diversos modos de fluen-cia. Cada ecuaci´on interpreta las condiciones de un modo de falla. Los modos de fluencia examinados de acuerdo a la NDS se pueden clasificar en cuatro modos principales:
Modo I - Sucede aplastamiento uniforme de alguno de los miembros, bien sea el miem-bro principal o en alguno de los secundario, sin que exista rotaci´on del sujetador. 1
Modo II - Ocurre aplastamiento de alguno de los miembros, sucediendo tambi´en una ro-taci´on del sujetador debido al desplazamiento de la conexi´on. Se puede dar ´unicamente en conexiones a cortante simple.
2.1 Teor´ıa de la Fluencia (EYM) 7
Modo III - Se presenta una r´otula pl´astica en el sujetador ubicada en alguno de los miembros de la conexi´on. Es gobernada por una combinaci´on de la de la fluencia en el sujetador y el aplastamiento de la madera.
Modo IV - Se presentan r´otulas pl´asticas en el sujetador ubicadas tanto en el miembro principal como en los secundarios.(Atoche, 2009)
En las figuras 2-1 y 2-2 se muestran esquem´aticamente los modos de fallas descritos ante-riormente.
(a) ModoIm (b) Modo Is (c) Modo II
(d) ModoIIIm (e) Modo IIIs (f) Modo IV
Figura 2-1.: Modos de falla en conexiones sometidas a cortante simple
Para el modo II y IV no se denota si la falla ocurre en el miembro principal o en el secundario, debido a que la fluencia puede suceder en cualquiera de los dos miembros.
(a) Modo Im (b) Modo Is
(c) Modo IIIs (d) Modo IV
Figura 2-2.: Modos de falla en conexiones sometidas a cortante doble
El modo II no aplica en las conexiones sometidas a cortante doble, debido a la simetr´ıa entre los miembros secundarios.
2.1.2.
Derivaci´
on de las ecuaciones de EYM
La derivaci´on de estas ecuaciones, como ya se referenci´o, es el resultado de los estudios de varios investigadores desde 1941. Las ecuaciones que se usan en este trabajo corresponden a las formuladas en la NDS para construcciones de madera. Para su deducci´on es necesario suponer una distribuci´on uniforme de la carga a lo largo de las zonas de contacto entre el sujetador y los miembros de la conexi´on, y un comportamiento elasto-pl´astico de los mate-riales que intervienen. El procedimiento de dicha derivaci´on se basa aplicando equilibrio de est´atico sobre la conexi´on.
Modo I
Figura 2-3.: Diagrama del modo I de falla del EYM. (Heine, 2001)
En este modo hay aplastamiento uniforme de alguno de los miembros y no existe rotaci´on del sujetador. Con dichas condiciones se puede calcular la capaci-dad de la conexi´on en funci´on de la resistencia del miembro que alcanza la fluencia y la geometr´ıa de la conexi´on. Un par´ametro de entrada del EYM es la resistencia al aplastamiento de los miembros de madera en la conexi´on, dicha propiedad nos brinda el valor de la capacidad de carga por unidad de ´area en la pieza de madera ante la fuerza ejercida por un sujetador. Para una conexi´on a cortante simple el ´
area del miembro en fluencia que resiste la carga del sujetador en un miembro, es igual t∗den donde tes el espesor del miembro ydes el di´ametro del su-jetador. Con esta informaci´on es posible inferir que la ecuaci´on correspondiente a este modo de falla es la siguiente.
Z =tDFe (2-1)
donde:
t : espesor del miembro que alcanza la fluen-cia
D : di´ametro del sujetador
Fe :resistencia del aplastamiento del miembro por
unidad de ´area.
Para las conexiones sometidas a cortante doble, en el caso en el que los miembros secundarios fallan, el ´area que resiste la carga aplicada es el doble a la encontrada en una conexi´on a cortante simple. En
2.1 Teor´ıa de la Fluencia (EYM) 9
consecuencia la capacidad de la conexi´on tambi´en se incrementa en igual proporci´on. Lo anterior se representa en la ecuaci´on 2-31. En la tabla2-1se consignan las dem´as ecuaciones que describen ´este modo de falla de acuerdo a las caracter´ısticas de la conexi´on.
Modo II
Figura 2-4.: Diagrama del modo II de falla del EYM.(Heine, 2001)
En este modo ocurre giro del sujetador y pre-domina la falla debido al aplastamiento de los miembros. En este caso el sujetador es lo suficientemente r´ıgido para lograr que al girar a causa de la fuerza aplicada, aplas-te la madera que esta contacto con ´el. Una posible deducci´on de este modo se basa en el an´alisis del diagrama de carga sobre el perno.
Dado que el estado de fluencia es alcanzado por los miembros de la conexi´on, la fuerza que se aplica sobre la uni´on se puede expresar como
Fy =b1Femd=b2Fesd (2-2)
La figura de 2-4 presenta la idealizaci´on del dia-grama de carga sobre el sujetador y el diadia-grama de cuerpo libre de la pieza de madera. De acuerdo a ´esta figura, el momentoM que sucede en la fronte-ra entre los dos miembros, ser´ıa hallado as´ı.
M = (3
2a1+b1)Ra1−( 1
2a1+b1)Ra1− 1
2b1Rb1 (2-3) Dado que.
Ra1 =Fema1d (2-4)
Rb1 =Fesb1d (2-5)
Entonces:
M =Femd(a21− b2
1
2) (2-6)
De igual manera, se puede hallar la siguiente expre-si´on para el momentoM.
M =Fesd(
b2 2 2 −a
2
Resolviendo parab2 en 2-2.
b2 =b1 Fem
Fes
(2-8)
De la geometr´ıa representada en la figura 2-4.
a1 =
tm−b1
2 (2-9)
a2 = ts−b2
2 (2-10)
a2 = Fes
Fem
ts−b1 2Fes
Fem
(2-11)
Sustituyendo las ecuaciones 2-10 y 2-11 en la ecuaci´on 2-6 y resolviendo para b1 obtenemos
b1 = tm
1 + Fes
Fem
r
Fes
Fem
+ 2Fes Fem
[1 + ts tm
+ (ts tm
)2] + (Fes Fem
)3(ts tm
)2− Fes Fem
(1 + ts tm
)
(2-12)
Al sustituir b1 en la ecuaci´on 2-2 obtenemos la expresi´on para la carga de fluencia en para este modo en particular.
Fy =Femd
tm
1 + Fes
Fem
r
Fes
Fem
+ 2Fes Fem
[1 + ts tm
+ (ts tm
)2] + (Fes Fem
)3(ts tm
)2− Fes Fem
(1 + ts tm
) (2-13)
2.1 Teor´ıa de la Fluencia (EYM) 11
Modo III
Figura 2-5.: Diagrama del mo-do III de falla del EYM.(Heine, 2001)
En este modo ocurre la aparici´on de una r´otula pl´astica en el sujetador sobre alguno de los miem-bros de madera. Nuevamente se usa los principios b´asicos de est´atica para encontrar la expresi´on para la fuerza a la cual la conexi´on fluye bajo ´este mo-do.
Debido a la suposici´on realizada sobre una distribu-ci´on uniforme de la fuerza sobre los miembros de ma-dera, ´esta se puede expresar la fuerza como:
Fy =Femb1d=Fesb2d (2-14) Recordando que el m´aximo momento se d´a en el lugar donde la fuerza cortante es igual a cero, entonces:
Mmax =−Rb1 b1
2 +Rb2(b1+ b2
2) +Ra2(b1+b2+ a2
2 )
−Ra2(b1+b2+ 3a2
2) (2-15)
Definiendo las reacciones de acuerdo a la geometr´ıa de la conexi´on.
Ra2 =Fesa2d (2-16)
Rb1 =Femb1d (2-17)
Rb2 =Fesb2d (2-18)
Reemplazando en la ecuaci´on 2-15
Mmax =−Fem
b2 1
2 +Fesb2(b1 + b2
2)+
Fesa2(b1+b2 + a2
2)−Fesa2(b1+b2+ 3a2
2 )
(2-19)
Utilizando la ecuaci´on 2-2 y la geometr´ıa expuesta en figura 2-4se obtienen las expresiones para b1 y a2.
b1 =b2 Fes
Fem
(2-20)
a2 = Fes
Fem
ts−b1 2Fes
Fem
Reemplazando b1 y a2 en 2-19 y resolviendo para b2
b2 =
−ts
2Fes Fem + 1 + v u u u t t2 s
2Fes Fem
+ 12
+ t
2
s
2Fes Fem
+ 1
+ 4Mmax Fesd 2
Fes
Fem
+ 1
(2-22)
Reemplazando b2 en la ecuaci´on 2-22 en la ecuaci´on 2-14, se logra obtener la ecuaci´on para la carga de fluencia para este modo.
Fy =Fesd
−ts
2Fes Fem
+ 1
+Fesd
v u u u t t2 s
2Fes Fem
+ 12
+ t
2
s
2Fes Fem
+ 1
+ 4Mmax Fesd 2
Fes
Fem
+ 1
(2-23)
El procedimiento para la deducci´on anterior se basa en el seguido por Heine (2001). Dado que en la ecuaci´on 2-23Fy depende deMmax, en el anexo A se presenta una deducci´on alternativa
de esta ecuci´on de manera tal que la capacidad no este en funci´on de ´este par´ametro y hacer m´as simple el proceso de c´alculo.
2.1 Teor´ıa de la Fluencia (EYM) 13
Modo IV
Figura 2-6.: Diagrama del mo-do IV de falla del EYM.(Heine, 2001)
Este tipo de falla se caracteriza por la aparici´on de dos r´otulas pl´asticas. Al igual que en los dem´as modos la capacidad de la conexi´on puede ser explesada como.
Fy =Femb1d=Fesb2d (2-24)
Dado que el momento m´aximo se da en el lugar donde se forman las r´otulas pl´asticas, siguiendo la geometr´ıa de la figura 2-6, entonces.
2Mmax=−Femd
b21
2 +Fesdb2 b1 + b2
2
(2-25)
reemplazandob1 de la ecuaci´on 2-22 y despejando pa-rab2.
b2 =
2√Mmax
r
Femd 1 +
Fem
Fes
(2-26)
Y sustituyendob2 en 2-24.
Fy = 2Femd
v u u u t Mmax
Femd 1 +
Fem
Fes
)
(2-27)
El procedimiento para la deducci´on anterior se basa en la seguida por Heine (2001). La ecuaci´on obtenida 2-27 deja en t´erminos deMmax la capacidad de la
co-nexi´on, por esta raz´on en le anexo B, se comenta una derivaci´on alternativa.
La tabla2-1muestra las ecuaciones que la AF&PA establece en la edici´on del a˜no 2001 de la NDS para el c´alculo en el dise˜no de conexiones tipo pasador. El valor de Z a usar deber´a ser el m´ınimo valor calculado entre todas las ecuaciones correspondientes a la conexi´on analizada.
Modo Ecuaci´on
Cortante simple Cortante doble
Im Z =DtmFes (2-28) Z =DtmFem (2-29)
Is Z =DtsFes (2-30) Z = 2DtsFes (2-31)
II Z =k1DtsFes (2-32)
IIIm Z =
k2DtmFem
1 + 2Re
(2-33)
IIIs Z =
k3DtsFem
1 + 2Re
(2-34) Z = 2k3DtsFem 1 + 2Re
(2-35)
IV Z =D2
s
2FemFyb
3(1 +Re)
(2-36) Z = 2D2
s
2FemFyb
3(1 +Re)
(2-37)
Tabla 2-1.: Ecuaciones del modelo de fluencia, (NDS, 2001)
Donde:
k1 =
p
Re+ 2R2e(1 +Rt+R2tR3e−Re(1 +Rt)
1 +Re
(2-38)
k2 =−1 +
s
2(1 +Re) +
2Fyb(1 + 2Re)D2
2Feml2s
(2-39)
k3 =−1 +
s
2(1 +Re)
Re
+ 2Fyb(1 + 2Re)D 2
2Feml2s
(2-40)
Z = resistencia lateral del modo [N] D = di´ametro
tm = longitud de aplastamiento en el miembro principal [mm]
ls = longitud de aplastamiento en el miembro lateral [mm]
Fem = Resistencia al aplastamiento en el miembro principal [Mpa]
Fes = Resistencia al aplastamiento en el miembro lateral [Mpa]
2.1 Teor´ıa de la Fluencia (EYM) 15
Re Fem/Fes
Rt =lm/ls
2.1.3.
Limitaciones y suposiciones en EYM
Entre las limitaciones y suposiciones m´as significativos que tiene el EYM est´an:(Heine, 2001; Atoche, 2009)
El modelo valora ´unicamente el comportamiento por fluencia sin examinar la acci´on de grupo en conexiones con m´ultiples sujetadores .
El modelo no brinda informaci´on acerca de deformaci´on consecuencia de cualquier estado de carga.
El modelo necesita de la determinaci´on de factores de reducci´on cuando se analizan conexiones sometidas a cargas en direcci´on perpendicular a la que est´an orientadas las fibras del material.
No se analizan los efectos que tiene la presencia de arandelas en las conexiones pernadas o por la cabeza del clavo en las conexiones clavadas. El efecto de estas piezas es dif´ıcil de predecir y puede depender de muchos factores incluyendo el nivel de fuerza aplicada, el tipo de suejetador, el tama˜no de la cabeza del suejetador, el tipo de instalaci´on y fuerzas laterales que puden ser desarrolladas en el sujetador bajo una carga lateral.
La fricci´on desarrollada entre los miembros es ignorada conservadoramente. La resis-tencia al deslizamiento debido a la fricci´on com´unmente no es tenida en cuenta en el dise˜no debido a que dif´ıcilmente se puede estimar.
El material del sujetador y el de los miembros de la conexi´on se idealizan con un comportamiento elasto-pl´astico.
2.2.
Antecedentes de modelos para conexiones pernadas
En esta secci´on no se pretende realizar una recopilaci´on completa de todos los modelos que se han realizado alrededor del comportamiento de las conexiones pernadas. Los modelos que ac´a se describen son los antecedentes considerados por el autor como m´as importantes del modelo desarrollado en este trabajo.
2.2.1.
Modelos unidimensionales y bidimensionales
El primer modelo con el que se trato de describir an´aliticamente la curva fuerza-deformaci´on producto de la acci´on de una conexi´on pernada, fue realizado por Kuenzi (1955). En aquel modelo se asum´ıa el comportamiento del sujetador similar al de una viga sobre una funda-ci´on el´astica. Era aplicable a conexiones con perno a cortante simple o doble, pero con la desventaja de que s´olo logra predecir correctamente la deformaci´on mientras el la conex´on no supere el limite proporcional en el momento de ser cargada Smart (2002).
Figura 2-7.: Par´ametros del modelo de Foschi (1974)
Posteriormente (Foschi, 1974) desarrollo el primer modelo no lineal para explicar la curva fuerza-deformaci´on. Las ecuaciones del comportamiento elasto-pl´astico desarrolladas para la flexi´on en vigas fue aplicado a los sujetadores de las conexiones. El desarrollo del modelo consisti´o b´asicamente en la derivaci´on de una ecuaci´on exponencial ( 2-41) que relaciona la carga aplicada y el desplazamiento ocurrido en el sujetador. Dicha ecuaci´on contiene dos par´ametros de entrada (P0 yP1), que son obtenidos a trav´es del an´alisis de las curvas Fuerza-Deformaci´on de ensayos, estos par´ametros son identificados en dichas curvas como se muestra en la gr´afica 2-7.
P = (P0+P1w 1 +e −kw
2.2 Antecedentes de modelos para conexiones pernadas 17
Donde:
P0 : Pendiente de la as´ındota P1 : Intercepto con eje de la carga w : Desplazamiento
k : Rigidez inicial
Recientemente Heine y Dolan (2001) establecieron un modelo en el que combina las suposi-ciones en EYM y la funci´on exponencial propuesta por Foschi2-41, el cual se aproxima a los resultados de fuerza-desplazamiento en conexiones con un ´unico sujetador.
Rowlands et al. (1982) incluyeron las caracter´ısticas de pin r´ıgido, propiedades ortotr´opicas y superficie de contacto entre el sujetador y la madera; en su modelo bi-dimensional. Analiza-ron el efecto de la carga en los patAnaliza-rones de distribuci´on de esfuerzos, modelando conexiones sometidas a diferentes combinaciones de carga. Kharouf et al. (2005) et al , desarrollaron un modelo para el estudio de conexiones con uno o dos sujetadores y con relaciones espesor de miembro - di´ametro de sujetador relativamente bajas. Consideraron el algoritmo de multi-plicadores de Lagrange para modelar el contacto entre el sujetador y la madera. El modelo establecido es capaz de trazar las deformaciones inel´asticas locales y globales debida a cargas diferentes en los sujetadores. El modelo constitutivo de la madera es basado en la teor´ıa de la plasticidad.
En este tipo de modelos se supone que el esfuerzo se distribuye uniformemente sobre el espesor del miembro de la conexi´on, lo cual constituye una desventaja notable.
2.2.2.
Modelos tridimensionales
Con el aumento en la capacidad de computo en los ordenadores se hizo posible considerar los modelos tridimensionales. Este tipo de modelos permite considerar los efectos de la dis-tribuci´on de esfuerzos a los largo del sujetador. Guan, Rodd (1996) construyeron un modelo tridimensional en el cual se aplicaron propiedades el´asticas a la madera y propiedades elas-topl´asticas al sujetador.
De acuerdo a Patton-Mallory et al. (1997a) los modelos tridimensionales permiten el estudio m´as detallado del efecto en el comportamiento de una conexi´on, de variables geom´etricas como la distancia a los bordes, el espesor de los miembros, el di´ametro del sujetador, la loca-lizaci´on del soporte, etc. Patton-Mallory (1996) desarroll´o y evalu´o un modelo tridimensional para las conexiones en madera que asumen cargas paralelas a la direcci´on del grano. Este modelo se construy´o de manera tal que se puede evaluar la influencia de los cambios de geo-metr´ıa. Utiliz´o, en el modelo constitutivo del material de los miembros, para la compresi´on paralela a la direcci´on de las fibras de la madera y para el esfuerzo cortante, un an´alisis el´ asti-co no lineal , mientras que en los dem´as esfuerzos us´o la teor´ıa de elasticidad. En el modelo
del sujetador us´o propiedades elastopl´asticas y asumi´o para la zona de contacto elementos sin fricci´on. En dicho modelo la compresi´on paralela a la direcci´on de las fibras de la madera y la degradaci´on de la rigidez a cortante son descritos usando una relaci´on esfuerzo-deformaci´on tri-lineal. Los par´ametros el´asticos son determinados por medio de un ajuste num´erico de curvas de carga-desplazamiento (P−∆) obtenidas de de ensayos previos en laboratorio. Los resultados obtenidos atrav´es del modelo se aproximan a los reportados en ensayos de labora-torio, sin embargo (Patton-Mallory, 1996) ignor´o la disipaci´on de energ´ıa que ocurre debido la incapacidad del material de recuperar deformaci´on una vez a sufrido el aplastamiento, un hecho que con el modelo considerado para el material, al ser ajustado a la teor´ıa de la elas-ticidad, no ocurre, y puede recuperar parte de la deformaci´on causada. (Moses, 2000). En la figura2-8se puede ver la geometr´ıa utilizada. No se modelan los miembros secundarios de la conexi´on con el fin de aislar el comportamiento del sujetador. El modelo es simplificado de-bido a la simetr´ıa de la geometr´ıa en una cuarta parte de la configuraci´on real en los ensayos.
Figura 2-8.: Mallado t´ıpico de conexiones en el modelo de (Patton-Mallory et al., 1997b).
Moses (2000) basado en el trabajo de Patton-Mallory (1996) construy´o un modelo tridimen-sional con caracter´ısticas que mejoraban la predicci´on de la curva carga-deformaci´on para la region post-el´astica. El principal factor que influy´o en dicha mejora, fue considerar el modelo
2.2 Antecedentes de modelos para conexiones pernadas 19
de los miembros de madera basado en la plasticidad anisotr´opica para describir el compor-tamiento a compresi´on y la teor´ıa de falla por el eslab´on m´as d´ebil basada en la distribuci´on de Weibull. Los beneficios de este criterio de falla son: (1) Los esfuerzos no uniformes pue-den ser analizados, mientras las mayores concentraciones son amplificadas por el par´ametreo de forma; (2) La falla puede ser precedida por la probabilidad dad; (3) La variabilidad del material es capturada; y (4) La localizaci´on de la falla y el modo de falla pueden ser aislados (Moses, Prion, 2003). En el modelo no se incluyen los miembros secundarios, para eliminar la incertidumbre que causa la distribuci´on de cargas entre diferentes sujetadores, el efecto de la fricci´on entre miembros vecinos y el el efecto de sujetadores forzados. (ver figura 2-9.
Figura 2-9.: Enmallado t´ıpico de conexiones en el modelo de (Moses, 2000).
En 2001 Guan, Rodd (2001) presentaron un modelo tridimensional de una conexi´on en la que el sujetador era hueco. Los autores consideraron las implicaciones que ten´ıa en la cone-xi´on el uso de placas de refuerzo hechas de madera densificada (plywood or densified veneer wood). Los resultados experimentales sugirieron una mejora en el despe˜no de las conexiones reforzadas debido a que los elementos de apoyo contribu´ıan en la ductilidad, la rigidez y en obtener una mayor capacidad de carga en la uni´on. La figura 2-10 presenta el mallado t´ıpico, usado para la conexi´on, incluyendo dimensiones, cargas y condiciones de borde. El material constitutivo de la madera fue perfectamente pl´astico mientras el del sujetador y el de los refuerzos fue elastopl´astico. El contacto entre los platos de refuerzo fue modelado con el uso de lineas de deslizamiento y las superficies entre la madera y los refuerzos y entre la madera y el sujetador, fue modelado usando pares de contacto (contact pairs).
Figura 2-10.: Enmallado t´ıpico de conexiones en el modelo de (Guan, Rodd, 2001). 2
Con base en los trabajos de Aune, Patton-Mallory (1986) y Moses (2000), Hong (2007) form´o un modelo tridimensional para conexiones en madera con sujetadores. Su trabajo con-sidera cuatro objetivos principales: desarrollar un modelo emp´ırico para el comportamiento de la madera, desarrollar un m´etodo para modelar el aplastamiento localizado de la ma-dera, desarrollar un modelo no lineal en 3D FE para una conexi´on tipo pasador y evaluar las aplicaciones del mismo. Para el modelo constitutivo de la madera Hong (2007) elige el modelo de plasticidad anisotr´opica por las mismas razones expuestas por Moses (2000). Relaciones bilineales de esfuerzo-deformaci´on fueron consideradas en las tres direcciones or-togonales, de compresi´on, tensi´on y cortante. En cada direcci´on ortogonal se asumi´o una relaci´on esfuerzo-deformaci´on igual para solicitudes a tensi´on y a compresi´on, obtenida a partir de los resultados experimentales de ´este ´ultimo tipo de esfuerzo. Se aplica al modelo del material las caracter´ısticas isotrop´ıa transversal, valorando que las propiedades mec´ ani-cas de la madera en sentido radial y tangencial se asemejan entre si. Las simplificaciones y suposiciones en el modelo del material ya nombradas, permitieron reducir el n´umero de par´ametros necesarios de 6 a 2 direcciones principales.
La tabla 2-2 muestra los par´ametros del material usados por Hong (2007). El autor en-contr´o que el modelo del material no describ´ıa correctamente el comportamiento de una conexi´on debido al aplastamiento local en la interacci´on entre sujetador y miembro de la conexi´on. La gr´afica 2-12 muestra como la relaci´on carga-desplazamiento obtenida atrav´es de la aplicac´on del modelo a un ensayo de aplastamiento, difiere notablemente de lo encon-trado en los ensayos reales en el laboratorio. Por esta raz´on el propone que dado que la respuesta de carga-deformaci´on contiene la base de una relaci´on bilineal (Foschi, 1974) y si
2.2 Antecedentes de modelos para conexiones pernadas 21
la columna vertebral de la relaci´on carga-desplazamiento del sujetador en las tres direcciones es convertida a la correspondiente relaci´on bilineal esfuerzo-deformaci´on unitaria, entonces el material que representar´ıa adecuadamente el comportamiento registrado durante el aplas-tamiento podr´ıa ser definido usando las propiedades obtenidas de acuerdo a la tabla 2-2. Teniendo en cuenta lo anterior Hong (2007) define una zona alrededor del sujetador para la cual modela como una fundaci´on de madera bilineal (ver figura 2-11). En la figura 2-13
se muestra la geometr´ıa de la conexi´on completa aplicando el modelo del material obtenido atrav´es del modelo de la fundaci´on de madera.
Constante Direcci´on 3 M´etodo de determinaci´on
M´odulo el´astico X,Y,Z Ensayo de compresi´on o ensayo de aplastamiento
M´odulo el´astico a cortante XY, YZ, XZ Basados en Saliklis et al. (2003) las ecuaciones 2-42 y 2-43
Coeficiente de Poisson XY, YZ,XZ Promedio de valores hallados en la lite-ratura (Laboratory, 2010).
Esfuerzo de fluencia a Tensi´on X, Y,Z Igual a las propiedades a compresi´on M´odulo tangente a Tensi´on X, Y, Z Igual a las propiedades a compresi´on
Esfuerzo de fluencia a
Compresi´on X, Y, Z
Ensayo a compresi´on o ensayo de aplas-tamiento
M´odulo tangente a
Compresi´on XY, YZ, XZ 0.01 * M´odulo el´astico. Esfuerzo de fluencia a cortante XY, YZ, XZ Saliklis et al. (2003)
M´odulo tangente a Cortante XY, YZ, XZ 0.01 * M´odulo el´astico a cortante
Tabla 2-2.: Procedimiento para determinar constantes del material para modelo tridimen-sional (Hong, 2007)
Saliklis et al. (2003) desarrollo un modelo te´orico para el c´alculo de la curva esfuerzo-deformaci´on para cortante, usando las propiedades axiales del material. Con el uso de la siguientes ecuaciones se obtienen las propiedades para el material en correspondiente a es-fuerzos cortantes:
GLT, GT L =
√ ELET
2(1 +√νT LνLT)
(2-42)
GT T =
ET
2(1 +νT T)
(2-43)
(γy)T L,(γy)LT =
(σ0)T
2(ET −(Et)T)
r
ET
GT L
(2-44)
(γy)T T =
(σ0)T
2(ET −(Et)T)
r
ET
GT T
(2-45)
Donde:
L= Direcci´on paralela a la direcci´on de las fibras
T= Direcci´on perpendicular a la direcci´on de las fibras [MPa] E = M´odulo inicial.
Et= M´odulo tangente [MPa]
G= M´odulo a cortante [MPa] ν = Coeficiente de Poisson
γy= Deformaci´on unitaria de fluencia de la curva bilineal de esfuerzo cortante-deformaci´on
unitaria
σ0= Esfuerzo de que intercepta con el eje en la curva esfuerzo-deformaci´on [MPa]
Las propiedades usadas para el modelo bilineal de la fundaci´on de madera se obtuvieron a partir de las propiedades de la madera en resto de la pieza. La definici´on de estos par´ametros esta dada por las siguientes ecuaciones:
Radio de la fundaci´on de madera:
r=M ∗d (2-46)
M´odulo inicial de la fundaci´on:
EW F i=αiKi =αi(Py/Wy) (2-47)
Deformaci´on unitaria de fluencia de la fundaci´on de madera:
εW F =
(Wy/d)i
βi
(2-48)
Donde:
i : Direcci´on con respecto a la del las fibras del material. (⊥: Perpendicular ´o k: Paralelo) d : Di´amtro del sujetador (mm)
M : Factor para determinar el tama˜no de la zona de fundaci´on L : Longitud del bloque de madera (mm).
Py : Carga por unidad de longitud a a la cual sucede el punto de quiebre en la curva bilineal
carga-deformaci´on (N/mm)
Wy : Deformaci´on de fluencia en la curva carga/unidad de longitud-deformaci´on
αi : Factor de calibraci´on del m´odulo de la fundaci´on de madera
2.2 Antecedentes de modelos para conexiones pernadas 23
Figura 2-11.: Ilustraci´on conceptual para el modelo de la fundaci´on (Hong, 2007).
Figura 2-12.: Comparaci´on de curva fuerza-deformaci´on experimental y con el mode-lo(Hong, 2007).
Los factores de calibraci´on (αyβ) son obtenidos atrav´es de un proceso iterativo en el que son variados sucesivamente hasta lograr ajustar la curva de carga-defomaci´on a los resultados experimentales.
Piscal (2010) construy´o un modelo para conexiones simples con sujetadores en el que los miembros estaban compuestos por guadua laminada (Glued Laminated Guadua, GLG). Es-te autor sigui´o una metodolog´ıa similar a la usada por Hong (2007), aunque con algunas diferencias en el planteamiento de la modelo del material y la geometr´ıa de la conexi´on. Pis-cal (2010)) utiliza un modelo bilineal para el sujetador. Para el modelo constitutivo de GLG, tiene en cuenta su compotamiento elastopl´astico evidenciado en otras investigaciones (Co-rreal et al., 2014). e implementa las suposiciones de material homog´eneo y transversalmente isotr´opico. Al igual que los modelos de Moses (2000) y Hong (2007), el modelo de fluencia utilizado fue el criterio generalizado del potencial de (Hill, 1948) del cual en la siguiente secci´on se presenta un breve resumen. Los par´ametros requeridos por el modelo correspon-dientes a las curvas para esfuerzo cortante fue obtenido tambi´en con el uso del modelo de (Saliklis et al., 2003)
Uno de los principales cambios en el modelo de Piscal (2010) consisti´o en establecer un procedimiento para determinar el par´ametro M que en el modelo de Hong (2007) denotaba el factor por el cual di´ametro del sujetador era amplificado para obtener el di´ametro de la fundaci´on. Piscal (2010) determina la zona de aplastamiento desarrollando modelos compu-tacionales que simulan un ensayo de aplastamiento de acuerdo a la norma ASTM D 5764 AST (2013) y de con base en la distribuci´on de esfuerzos obtenida de estos modelos se de-terminaba el factorM. De acuerdo a los resultados obtenidos, Piscal estableci´o que el factor era directamente proporcional al di´ametro de l perno, siendo igual 1.6 veces el di´ametro. Una vez determinado el tama˜no de la zona de aplastamiento, (Piscal, 2010) establece que la deformaci´on unitaria de fluencia no depend´ıa ´unicamente del di´ametro del sujetador como fue propuesto por Hong (2007). La deformaci´on unitaria se defini´o as´ı:
γ = Desplazamiento
1,6D (2-49)
La figura2-14a indica la configuraci´on geom´etrica del modelo para el ensayo de aplastamien-to. Una vez determinado la zona de aplastamiento (ver2-14b) y calcular los par´ametros de reducci´on del M´odulo de el´asticidad y de esfuerzo de fluencia por medio de un proceso iterativo, Piscal (2010), desarrollo un modelo tridimensional para conexiones simples con sujetador a cortante doble. Las condiciones de borde del modelo se establecieron de forma que se garantizan que la conexi´on se sometida ´unicamente a carga lateral. La validaci´on de sus resultados se di´o mediante la comparaci´on con los resultados encontrados por Atoche (2009). La geometr´ıa del modelo se presenta en la figura 2-15. Piscal (2010) estudi´o la in-fluencia en el comportamiento de la conexi´on usando el modelo contruido de par´ametros como la distancia al extremo, la fricci´on y la configuraci´on geom´etrica (ej. inclinaci´on de la conexi´on).
2.2 Antecedentes de modelos para conexiones pernadas 25
(a) (b)
Figura 2-14.: (a) Configuraci´on geom´etrica del modelo computacional para ensayo de aplas-tamiento; (b) Determinaci´on de zona de aplastamiento (Piscal, 2010)
Figura 2-15.: Geometr´ıa del modelo de conexi´on simple sometida a cortante doble, (Piscal, 2010)
2.3.
Teor´ıa generalizada del potencial de Hill
El modelo de material con el cual se idealiz´o la esterilla de guadua laminada se basa en teor´ıa generalizada del potencial de Hill. Dicha teor´ıa desarrollada a partir la teor´ıa de la plasticidad anisotropica de Hill (1948), que a su vez se basa en una modificaci´on de la teor´ıa de von Mises para materiales isotr´opicos. Hill (1948) modificado por Shih C. F. (1978) y actualizada por Valliappan (1976) conforman la teor´ıa generalizada. El aporte realizado por Shih C. F. (1978) permite al modelo tener en cuenta las diferencias en los esfuerzos de fluencia a tensi´on y compresi´on. La modificaci´on de Valliappan (1976) consisti´o en incluir el modelo de endurecimiento por deformaci´on.El esfuerzo para el cual ocurre la fluencia es definido por la siguiente ecuaci´on:
F(σ, WP, α) = 0 (2-50)
Donde σ es el vector del estado actual de esfuerzos, WP es la cantidad de endurecimiento por deformaci´on a lo largo del historial de esfuerzos, yα es el vector con el que se tienen en cuenta las diferencias entre los esfuerzos a tensi´on y a compresi´on. La ecuaci´on 2-50 puede ser reformulada.
F =σT[M]σ−σTα−K = 0 (2-51)
La matriz [M] describe la forma de la superficie de fluencia.
[M] =
M11 M12 M13 0 0 0 M12 M22 M23 0 0 0 M13 M11 M33 0 0 0
0 0 0 M11 0 0
0 0 0 0 M55 0
0 0 0 0 0 M66
(2-52)
Los t´erminos de la diagonal son definidos en por la ecuaci´on 2-53 obtenida atrav´es de la evaluaci´on del criterio de fluencia en la ecuaci´on 2-51 para todas las posibles condiciones de esfuerzo uniaxial.
M ii= K σ+iσ−i
(2-53)
Dondeσ−i y σ+i son los esfuerzos a compresi´on y tensi´on respectivamente. En el sistema de
coordenadas cartesiano (X,Y,Z),i=X, Y, Z, XY, Y Z, XZ. Cuando se toman valores iguales para σ−i y σ+i , usando la ecuaci´on 2-53 obtenemos:
A44= K σ2
XY
A55= K σ2
Y Z
A66 = K σ2
XZ
2.3 Teor´ıa generalizada del potencial de Hill 27
K es definido normalizando [A] atrav´es de A11.
K =σ+xσ−x (2-55)
El vector α, describe la translaci´on de la superfie de fluencia.
α = [α1, α2, α3,0,0,0]T (2-56)
Donde :
αi =Aii(σ+i−σ−i) (2-57)
para i= 1,2,3
Asumiendo incompresibilidad pl´astoca del material,
M11+M12+M13 = 0 (2-58)
M12+M22+M23 = 0 (2-59)
M13+M23+M33 = 0 (2-60)
y
α1 +α2+α3 = 0 (2-61)
De esta manera se obtienen los valores de fuera de la diagonal dela matriz [M]
M12=−1/2(M11+M22−M33 (2-62)
M13=−1/2(M11−M22+M33 (2-63)
M23 =−1/2(−M11+M22+M33 (2-64)
Usando las ecuaciones 2-53, 2-57 y 2-61, se puede deducir la ecuaci´on de consistencia 2-65.
σ+1−σ−1 σ+1σ−1
+σ+2−σ−2 σ+2σ−2
+σ+3−σ−3 σ+3σ−3
= 0 (2-65)
Hay otros dos factores que limitan la magnitud del esfuerzo de fluencia que puede ser usado en el modelo. La superficie de fluencia debe ser cerrada para evitar inestabilidades num´ericas y [M] debe ser definido positivo. Por lo tanto la siguiente condici´on debe ser cumplida. M112 +M222 +M332 −2(M11M22+M22M33+M11M33)<0 (2-66)
mec´
anica.
La guadua o bamboo es un producto forestal de f´acil producci´on que en nuestro pa´ıs ha sido ampliamente usado en la regi´on Andina con especial ´enfasis en la zona cafetera. La guadua angustifolia Kunt, es la especie de mayor uso en la elaboraci´on de estructuras en Colombia lo que ha llevado a que de ´esta especie se cuente con una considerable cantidad de investi-gaciones alrededor de sus propiedades. La forma natural de esta planta es cil´ındrica, lo cual representa un problema en el momento del dise˜no y construcci´on de algunos elementos en las estructuras, como las conexiones. La laminaci´on de este material es un procedimiento novedoso que le brinda al constructor mayor libertad en la configuraci´on geom´etrica de la estructura. Los laminados en madera son muy utilizados alrededor del mundo mostrando grandes ventajas dado que mejora las propiedades mec´anicas de la madera. Recientemen-te la elaboraci´on de productos laminados de guadua ha tomado fuerza con aplicaciones en arquitectura, la decoraci´on de interiores y la construcci´on de muebles y de elementos habita-cionales (puertas, ventanas, pisos, etc). La esterilla laminada de guadua, es una alternativa de producci´on de art´ıculos laminados en este material con un menor costo de producci´on. En la actualidad hay varias empresas dedicadas a la producci´on industrial de laminados de esterilla de guadua. En este cap´ıtulo se realiza una breve descripci´on de la esterilla laminada, su proceso de producci´on y algunas de sus propiedades mec´anicas. Para la obtenci´on de las propiedades mec´anicas se hicieron pruebas de laboratorio, las cuales est´an sujetas a revisi´on debido a que el n´umero de ensayos realizados fue reducido.
3.1.
Proceso de Producci´
on
El proceso de producci´on de elementos en esterilla laminada se puede dividir en once pasos generales, los cuales se presentan acontinuaci´on. Esta descripci´on se basa en el proceso se-guido para la elaboraci´on de tableros de esterilla laminada[Juan Echeverry], debido a que pertenecen a las misma linea de producci´on, con algunas diferencias en los pasos finales.
3.1.1.
Paso 1: Recepci´
on de materia prima
En este paso la empresa productora recibe en sus instalaciones la materia prima proveniente de diferentes puntos de cultivo en la regi´on cafetera. En la selecci´on de las guaduas a utilizar
3.1 Proceso de Producci´on 29
se tienen en cuenta algunas exigencias en las caracter´ısticas geom´etricas de los culmos. El di´ametro de la secci´on transversal debe estar en el rango de 10 a 18 cent´’imetros, a lo largo de su extensi´on el tallo debe ser recto y de una longitud de alrededor de 3 metros. La figura
3-1 se muestra la disposici´on de los materiales para ser procesados. La importancia que tienen estas exigencias radican en el hecho de que su implemetaci´on son parte del control de calidad y permite que el proceso de producci´on sea desarrollado mas eficientemente.
Figura 3-1.: Recepci´on de material Becerra (2013)
3.1.2.
Paso 2: Esterillado de la materia prima
En este proceso se obtiene la esterilla de la guadua. Es un proceso que involucraba en su inicio, trabajos desarrollados manualmente dando lugar a la utilizaci´on de herramientas tra-dicionales (machete, hacha de mano). Hoy en d´ıa la empresa obtiene la esterilla con el uso de una m´aquina construida especialmente para este fin. La m´aquina empleada puede ser mani-pulada por un s´olo operario y es accionada por energ´ıa el´ectrica para el sistema de comando y por aire comprimido para sistema de potencia; su mecanismo consiste en un punz´on met´alico que tiene movimiento alternativo y que es accionado por un cilindro neum´atico. Para este paso se realizan alrededor del per´ımetro de las piezas cil´ındricas de la planta, peque˜nas in-cisiones y luego un corte longitudinal que permite abrir el cilindro. En este procedimiento el operario ajusta cada uno de los nudos del culmo bajo el punz´on, luego lo rota y desliza lentamente pasando a trav´es del tallo por cada nudo. El tiempo que se estima para dicho proceso es de 2 min/culmo.
Figura 3-2.: Proceso de Esterillado Fern´andez (2013)
3.1.3.
Paso 3: Ripiado
Esta etapa inicial con la recepci´on de la guadua picada, se procede abriendo el culmo en direcci´on longitudinal utilizando un palin y una hachuela. Cuando se tiene totalmente abierto el tallo , se inicia la remoci´on del diafragma interno de los nudos y la piel de la zona interior de los tallos. El material residual de este proceso es empleado como combustible. El tiempo requerido es aproximadamente de 2 min/tallo.
Figura 3-3.: Proceso de ripiado Fern´andez (2013)
3.1.4.
Paso 4: Cepillado ´
Aspero y corte transversal
Con el uso de un cepillo se quita el recubrimiento exterior y se homogeneiza la superficie eliminando entrenudos y prominencias. El proceso se realiza con la m´aquina que se presenta en la figura3-4a. Los residuos que se originan en esta etapa se recolectan por un sistema de ventilaci´on y posteriormente son usados como combustible. Luego, con el uso de una sierra el´ectrica doble se realizan los cortes para obtener piezas de 250 cent´ımetros.
3.1 Proceso de Producci´on 31
(a) (b)
Figura 3-4.: (a) Maquina lijadora Becerra (2013) (b) Corte transversal Fern´andez (2013)
3.1.5.
Paso 5: Inmunizado
Para evitar el ataque de agentes biol´ogicos y as´ı extender la vida ´util del material se trata las esterillas con con vapor de agua saturado a altas temperaturas. Este paso le permite tambi´en hacer m´as flexibles las fibras lo cual favorece el proceso de prensado. Para inmunizaci´on se recolectan en canastillas con capacidad para aproximadamente trescientas esterillas que son llevadas al autoclave. Este recipiente aplica una un presi´on de 70 psi y vapor de agua a 140 ◦C durante un periodo de tiempo que varia entre 1 y 2 horas.
3.1.6.
Paso 6: Secado
Desarrollado debido a la gran humedad con la que la esterilla abandona el proceso de in-munizado y la necesidad de obtener un nivel de humedad de 15 % para evitar la aparici´on de hongos y otros agentes que afecten el material. La humedad de la esterilla cuando sale del autoclave esta entre un 50 y un 60 %. El proceso se realiza en cuartos dedicados a este proceso con capacidad de secar 2200 esterillas. Estos cuartos est´an equipados de ventiladores Al finalizar esta etapa se obtienen humedades en la esterillas cercanas al 10 y 12 %.
Figura 3-6.: C´amara de secado Fern´andez (2013)
3.1.7.
Paso 7: Cepillado fino
Con el fin de obtener superficies m´as homog´eneas se realiza un nuevo cepillado, esta vez se requiere una mayor precision y cuidado en el momento de realizar el desgaste sobre las caras de la esterilla.
3.1 Proceso de Producci´on 33
3.1.8.
Paso 8: Cocido de la esterilla
Este paso se ejecuta con el objetivo de eliminar la los espacios m´as pronunciados en la esterilla. El procedimiento requiere del uso de una m´aquina cosedora, encargada de ajustar la esterilla y adheriendole un hilo con pegamento. Dicho pegamento es previamente calentado a temperaturas de entre 160 y 170 ◦C, para poderlo asir al hilo. La m´aquina coloca 10 lineas transversales de 4 hilos en distintos puntos de la esterilla. El procedimiento utiliza aire comprimido y electricidad.
Figura 3-8.: Cocido Fern´andez (2013)
3.1.9.
Paso 9: Refilado y armado
Una vez est´a cocida la esterilla, con una m´aquina refiladora , se recortan los bordes laterales. El armado del elemento se hace aplicando uniformemente sobre la esterilla el adhesivo Poli-mero 66 DO con una maquina y manualmente se arman los elementos sobreponiendo capas paralelas del material. Cuando lo espacios son grandes en las caras del elemento, se colocan ganchos con una engrapadora neum´atica.
3.1.10.
Paso 10: Prensado
Una vez se han armado los elementos se llevan a una prensa la cual aplica una presi´on de 1.2 MPa a una temperatura entre 150 ◦C y 170◦C durante 25 minutos.
Figura 3-10.: Prensa
3.1.11.
Paso 10: Dimensionamiento y lijado
En este proceso se realiza el dimensionamiento final del elemento, recortando longitudinal-mente de acuerdo al ancho del elemento requerido. Finallongitudinal-mente es llevado a la lijadora donde los elementos son reducidos en su espesor puliendo sus caras con el uso de lijas de grano 60 ,80 y 120.
3.2.
Caracterizaci´
on de la esterilla laminada de guadua
Para poder desarrollar el modelo computacional de un sistema es necesario conocer su com-portamiento ante diferentes solicitudes y las propiedades mec´anicas de los materiales en los elementos que intervienen. Para el caso que compete a este trabajo el material usado es la esterilla laminada de guadua. Con el objetivo de conocer las propiedades mec´anicas de los elementos de esterilla laminada de guadua, se programaron una serie de ensayos a compresi´on para determinar el m´odulo de elasticidad del material y el esfuerzo al cual dicho material alcanza la fluencia. Tambi´en se realizaron ensayos de aplastamiento sobre el laminado con puntillas para determinar algunos de los par´ametros b´asicos de entrada en el modelo de la teor´ıa de la fluencia (EYM). Los ensayos de aplastamiento son la base del modelo de la conexi´on dado que nos permiten calibrar los factores para posteriormente realizar una aproximaci´on m´as acertada del comportamiento de una conexi´on completa.
3.2 Caracterizaci´on de la esterilla laminada de guadua 35
3.2.1.
Ensayos a compresi´
on.
Estos ensayos fueron llevados a cabo para determinar el valor de los m´odulos, el esfuerzo de fluencia y de los m´odulos el´asticos tangentes de elasticidad de la esterilla laminada en las tres direcciones ortogonales. Se siguieron las especificaciones en la norma ASTM D143-09.
Descripci´on del montaje
Se dispusieron de elementos de esterilla laminada de 30x40x160 mm dadas las geometr´ıas posibles con los elementos dispuestos en laboratorio. La carga se aplic´o con el uso del p´ortico de carga del sistema MTS (Material Test System) del laboratorio de modelos estructurales de la Universidad de los Andes. Para distribuir la carga uniformemente sobre los elementos,en direcci´on radial y tangencial, se emple´o una placa met´alica. En la figura 3-11 se muestra la disposici´on de los montajes para cada caso de carga.
(a) (b) (c)
Figura 3-11.: Montaje de ensayos a carga axial a Direcci´on longitudinal (b) Direcci´on tan-gencial,(c)Direcci´on radial
Programaci´on y procedimiento
Se realizaron nueve ensayos por cada una de las direcciones ortogonales establecidas para cargar los elementos. Se aplic´o una fuerza variada continuamente, controlada con un p´ortico de carga (MTS). La figura 3-12 muestra la nomenclatura para la disposici´on de los ejes de coordenadas de acuerdo a la direcci´on de la carga con respecto al sentido de las fibras del material. La velocidad con la cual se aplic´o la carga dependi´o del sentido de ´esta, en el sentido perpendicular al grano, fue de 0.305 mm/min y en el sentido perpendicular al grano de 0.48 mm/mmin . La finalizaci´on del ensayo se di´o cuando el elemento probado no soport´o m´as carga y se observ´o una disminuci´on significativa de su resistencia durante el ensayo.
Figura 3-12.: Definici´on de ejes.1
Resultados
Los resultados que se obtuvieron de cada uno de los ensayos realizados en esta fase son presentados en la tabla 3-1 y las figuras 3-14 , 3-13 y 3-15. Los m´odulos de elasticidad y los esfuerzos de fluencia se definieron a partir de la curva fuerza-deformaci´on obtenida durante los ensayos, luego de ser convertida en una curva esfuerzo-deformaci´on unitaria. El esfuerzo y la deformaci´on unitaria se calcularon de acuerdo a las expresiones 3-1. El m´odulo el´astico es igual a la pendiente del tramo inicial de la curva esfuerzo-deformaci´on. El esfuerzo de fluencia se determin´o al trazar una linea recta con pendiente igual al m´odulo el´astico, corrida 0.2 % hacia la parte positiva del eje de la deformaci´on unitaria, y hallar el esfuerzo correspondiente al punto de intersecci´on en la gr´afica esfuerzo-deformaci´on entre la curva experimental y la linea marcada.
σ= F Ac
ε= D L0
(3-1)
Donde: σ : Esfuerzo
F : Carga Aplicada Ac : ´Area de contacto
ε : Deformaci´on unitaria D: Desplazamiento medido
L0 : Longitud inicial del elemento a lo largo de la linea de carga
3.2 Caracterizaci´on de la esterilla laminada de guadua 37
Probeta M´odulo El´astico (MPa)
Carga de Fluencia (kg-f)
L1 6443.10 72.16
L2 6752.15 55.69
L3 7122.25 78.21
L4 8827.64 76.42
L5 9485.21 80.43
L6 8403.84 91.31
L7 8424.08 88.06
L8 7742.34 74.13
L9 8890.04 84.81
T1 206.68 4.83
T2 270.36 6.52
T3 298.04 4.78
T4 405.50 8.20
T5 250.70 6.98
T6 212.66 6.12
T7 274.37 7.02
T8 208.73 3.97
T9 218.36 6.24
R1 274.91 11.77
R2 180.53 7.99
R3 219.01 7.52
R4 126.85 12.89
R5 175.63 9.12
R6 280.59 9.35
R7 185.31 8.14
R8 284.73 8.68
R9 183.17 7.10
Tabla 3-1.: Resultados ensayos a compresi´on de elementos de esterilla laminada de guadua
Las probetas fueron nombradas de acuerdo a la direcci´on de la carga que se aplic´o, las probe-tas nombradasLi fueron ensayadas para en direcci´on longitudinal, las probetas denominadas
Ti y Ri recibieron carga en las direcciones tangencial y radial, respectivamente.
El resultado promedio de los valores en cada una de las direcciones para el ´m´odulo el´astico , el esfuerzo de fluencia y m´odulo el´astico tangente se muestra en la tabla 3-4. El m´odulo tangente fue obtenido como la pendiente del segundo tramo recto en la gr´afica esfuerzo-deformaci´on unitaria de la curva promedio de las nueve curvas para cada sentido.
Direcci´on M´odulo de el´asticidad Esfuerzo de fluencia M´odulo tangente (Mpa) Media
(Mpa)
Coef. Variaci´on ( %)
Media (Mpa)
Coef. Variaci´on ( %)
Longitudinal 8010.85 13.12 76.39 13.46 242.86
Radial 212.11 24.44 8.42 21.89 8.98
Tangencial 259.18 26.39 5.83 21.23 91.17
Tabla 3-2.: M´odulos de el´asticidad , Esfuerzos de fluencia y M´odulos el´asticos tangentes para cada direcci´on
Los resultados de los ensayos muestran que los comportamientos de los elementos al ser cargados en sentido radial y tangente son similares entre si. La respuesta del material para solicitudes en direcci´on longitudinal se caracteriza por soportar una menor deformaci´on des-pu´es de llegar a la fluencia, aunque llega a soportar cargas mucho mayores. En los sentidos radial y tangencial se puede ver de manera m´as clara un conducta bilineal del material, al definirse mejor dos segmentos en la curva que pueden idealizarse por medio de lineas rec-tas; mientras en el sentido longitudinal el sector entre la fluencia y la falla no describe una recta visible, si no que llega a falla r´apidamente. Estas observaciones son comunes en otros materiales ortotr´opicos como la madera.
Figura 3-13.: Relaci´on Esfuerzo-Deformaci´on para ensayos con carga aplicada en direcci´on Longitudinal
3.2 Caracterizaci´on de la esterilla laminada de guadua 39
Figura 3-14.: Relaci´on Esfuerzo-Deformaci´on para ensayos con carga aplicada en direcci´on Radial
Figura 3-15.: Relaci´on Esfuerzo-Deformaci´on para ensayos con carga aplicada en direcci´on Tangencial
3.2.2.
Ensayos de resistencia al aplastamiento.
La resistencia al aplastamiento de los elementos de esterilla laminada se evalu´o de acuerdo a la norma ASTM D5764-97 ,”Standard Test Method for Evaluating Dowel-Bearing Strength of Wood and WoodBased Products”. Este ensayo estima la resistencia al aplastamiento de productos hechos en madera al ser sometidos a una carga est´atica ejercida atrav´es de un sujetador.
Descripci´on del montaje
Los ensayos fueron realizados en 3 grupos de acuerdo al di´ametro del sujetador. Los sujetado-res usados fueron clavos de 3.05 , 3.76 y 4.19 mm de di´ametro. La carga fue aplicada atrav´es de la m´aquina de ensayos a compresi´on Tritech 100 del Laboratorio de suelos, materiales y Pavimentos de la Universidad de los Andes. Los dispositivos de medici´on de desplazamiento fueron LVDTs con capacidad de lectura m´ınima de 0.025 mm y 26 mm de m´aximo desplaza-miento. En la figura??se muestra el montaje que se prepar´o para llevar a cabo los ensayos, en el cual se observa que la transferencia de la carga requiri´o del uso de un dispositivo espe-cialmente construido para este tipo de ensayos, dado el reducido tama˜no del sujetador. Los espec´ımenes usados fueron piezas prism´aticas de esterilla de guadua laminada que ten´ıan un agujero perforado en un extremo, en la mitad de su ancho. En esa abertura se coloc´o el su-jetador y sobre ´el se aplicaba una carga controlada. La norma ASTM D5764-97 permite dos configuraciones para realizar el ensayo, una en la que el esp´ecimen tiene el orificio completo y otra en al que la pieza tiene la mitad del orificio; en los ensayos realizados se utiliz´o la segunda opci´on. En la figura 3-16 se presenta la forma y la nomenclatura utilizada para dimensiones de las probetas utilizadas.
3.2 Caracterizaci´on de la esterilla laminada de guadua 41
(a) Esquema de configuraci´on del ensayo
(b) Montaje para ensayos de resistencia al aplas-tamiento
Figura 3-17.: Ensayos de aplastamiento para esterilla laminada de guadua.
Programaci´on y procedimiento
Los ensayos se programaron teniendo en cuenta tres di´ametros de puntillas y dos direcciones para la aplicaci´on de la carga, tomadas de acuerdo al sentido a las fibras en los elementos (tangencial y longitudinal). No se tuvo en cuenta la direcci´on radial al considerarse isotrop´ıa transversal en el material de acuerdo a materiales similares. Se hicieron 5 ensayos por cada di´ametro (3.05, 3.76 y 4.19) y cada direcci´on. La definici´on de la carga de aplastamiento se realiz´o de acuerdo al procedimiento gr´afico dictado por la norma ASTM D5764-97. Este m´etodo consiste en trazar una linea recta sobre la curva de la relaci´on fuerza deformaci´on obtenida en el ensayo, cuya pendiente sea igual a que se tiene en su parte proporcional,y est´e corrida en el eje de la deformaci´on el 5 % del di´ametro del sujetador (ver ??). Poste-riormente se determina la carga para el punto donde se intersecta la curva experimental y la linea reci´en trazada, ´esta carga corresponde a la carga de aplastamiento.
La nomenclatura utilizada para nombrar las probetas es:
PA: indica que se aplic´o la carga paralelo o longitudinal al sentido de las fibras. PE: indica que se aplic´o la carga perpendicular o tangencial al sentido de las fibras.
Di: indica el di´ametro del sujetador (i=1 −→D=3.05, i=2 −→D=3.76 , i=3 −→ D=4.19) Pi: indica la probeta (i=N´umero asignado)
