Masas de estrellas binarias a partir de los datos del satelite Hipparcos

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(1)1. PROYECTO DE GRADO DE FÍSICA Masas de Estrellas Binarias a Partir de los Datos del Satélite Hippar os. Martha Ali ia Romero Mendoza Dire tor: Benjamín Oostra Proye to de grado para optar al grado de Físi a. Universidad de los Andes Fa ultad de Cien ias Departamento de Físi a Julio de 2005.

(2) Resumen Se da una introdu ión breve a la me áni a eleste, ha iendo énfasis en estrellas binarias. Esto nos ayuda a desarrollar métodos estadísti os para la obten ión de la masa para un gran número de estrellas. Primero, se lleva a abo una sele ión de estrellas binarias a partir de los datos del atálogo Hippar os. Luego, se ha e una aproxima ión suponiendo que la omponente se undaria de ada sistema binario está en el punto de la órbita en el que el semieje mayor de la elipse es igual a la distan ia entre las dos estrellas. También, se ha e una segunda aproxima ión suponiendo que la omponente se undaria ha re orrido exa tamente un uarto del periodo de la órbita, tomando omo ini io del re orrido el periastro. A partir de estas aproxima iones se halla un estimado de la masa para ada una de las estrellas y se analizan los resultados en ontrados..

(3) Índi e general 1. Introdu ión. 6. 2. Introdu ión a la Me áni a Celeste. 8. 2.1. Naturaleza de las Estrellas . . . . . . . . . . 2.1.1. Distan ia . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Color y Temperatura . . . . . . . . . 2.1.4. Diagrama HR . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ubi a ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Métodos Relativos . . . . . . . . . . 2.2.2. Métodos Absolutos . . . . . . . . . . 2.3. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Primera Ley de Kepler . . . . . . . . 2.3.2. Segunda Ley de Kepler . . . . . . . . 2.3.3. Ter era Ley de Kepler . . . . . . . . 2.4. Problema de Dos Cuerpos . . . . . . . . . . 2.4.1. Redu ión al problema de un uerpo 2.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Estrellas Binarias 3.1. Forma ión . . . 3.2. Cara teriza ión 3.3. Órbita . . . . . 3.3.1. Clases .. 8 8 9 10 10 11 11 12 14 14 17 18 19 19 21. 24 . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 2. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 27 28 29 29.

(4) 3. ÍNDICE GENERAL. 3.3.2. 3.4. Clasi 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 3.4.4. 3.4.5.. Órbita Elípti a . a ión . . . . . . . Ópti as . . . . . Visuales . . . . . Espe tros ópi as E lipsantes . . . Astrométri as . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 30 36 36 36 37 38 39. 4. Misión Hippar os. 40. 5. Sele ión de la Muestra. 42. 5.1. Catálogo Prin ipal de Hippar os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2. Catálogo de Componentes Dobles y Múltiples de Hippar os . . . . . . . . 46 5.3. Todas las Estrellas Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 6. Cál ulo de Masas 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.. Primera Aproxima ión . . . Segunda Aproxima ión . . . Masas Individuales . . . . . Rela ión Masa-Luminosidad. 52 . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 52 58 61 66. 7. Con lusiones. 68. A. Programa para Sele ión de Estrella más Cer ana. 72. B. Programa para Grá a de Estrellas Cer anas. 76. C. Programa Segunda Aproxima ión. 78.

(5) Índi e de guras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.. Medi ión del paralaje de una estrella er ana. . . . . . . . Diagrama Hertzsprung-Russell. . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de Coordenadas Horizontales. . . . . . . . . . . . Sistema de Coordenadas E uatoriales. . . . . . . . . . . . . Sistema de dos partí ulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de dos uerpos analizado desde el entro de masa. El movimiento de dos uerpos en un plano. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.. Cara teriza ión ompleta de un sistema binario. . . . . . . . . . . . . Elementos de una elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coordenadas polares de una elipse tomando el origen en el entro. . . Coordenadas polares de una elipse tomando el origen en uno de los fo Grá a de anomalía ex éntri a y anomalía verdadera de una elipse. .. . . . . . . .. . . . . . . .. 9 11 12 13 20 21 22. . . . . . . os. . .. 28 30 31 32 34. 5.1. Grá a que muestra uántas estrellas ve inas hay a una distan ia dada. . 5.2. Grá a de la antidad de estrellas on una ve ina a una distan ia dada. . 5.3. Grá a de movimiento relativo ontra paralaje para estrellas del atálogo prin ipal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Grá a de movimiento relativo ontra paralaje para estrellas del atálogo de omponentes dobles y múltiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Cara teriza ión de Ψ y la velo idad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 44 49 50 51. 6.1. Grá a de Ψ ontra la anomalía media para distintas ex entri idades. . . 53 6.2. Cara terísti as de la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 4.

(6) ÍNDICE DE FIGURAS. 6.3. Distribu ión de masa de todos los posibles sistemas binarios para la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Distribu ión de masa de in o sextos de los posibles sistemas binarios para la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Grá a logarítmi a de la masa del sistema ontra el error relativo para la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Distribu ión de la masa de los sistemas binarios para la segunda aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Distribu ión de la masa del 85 % de los sistemas binarios para la segunda aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Grá a logarítmi a de la masa del sistema ontra el error relativo del mismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Diagrama HR para todas las estrellas sele ionadas en la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10. Diagrama HR para todas las estrellas sele ionadas en la segunda aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Distribu ión de la masa de las omponentes para la primera aproxima ión on los tres alfas distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Distribu ión de la masa de las omponentes para la segunda aproxima ión on los tres alfas distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13. Compara ión de las masas halladas on la primera y segunda aproxima ión on α = 0,33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14. Grá a de la rela ión masa-luminosidad para las estrellas de la primera aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Grá a de la rela ión masa-luminosidad para las estrellas de la segunda aproxima ión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 55 55 57 59 59 60 63 63 64 65 65 66 67.

(7) Capítulo 1 Introdu ión La forma en que vemos el mundo siempre ha estado ligada a las estrellas. La ne esidad de entender lo que pasa más allá de la Tierra ha llamado la aten ión de mu hos lósofos y ientí os. En las últimas dé adas ha habido un auge por al anzar y omprender todo lo que hay en el espa io. Las estrellas por ser la mayoría de los puntos brillantes que observamos en la no he han re ibido gran aten ión de nuestra parte. Sin embargo, la in apa idad de a er arnos a ellas para poder estudiarlas ha e que el análisis de sus ara terísti as sea más ompli ado y mu has ve es más teóri o que prá ti o. Después del des ubrimiento del teles opio se hi ieron grandes avan es en la omprensión del Sol, el Sistema Solar y las estrellas. El en ontrar fenómenos interesantes en el espa io, hizo que se fabri aran mejores teles opios y se hi ieran ada vez más observa iones, pues se quería en ontrar la rela ión entre el omportamiento físi o de los uerpos en el espa io y los uerpos en la tierra. En 1650, uando el astrónomo jesuíta Giovanni Baptista Ri iolli observó a través de un teles opio que la estrella Mizar de la Osa Mayor, que a simple vista se veía úni a, se desdoblaba en dos, in entivó la búsqueda de otros sistemas omo este en algunos ientí os. Sin embargo, mu hos otros pensaron que las dos estrellas se observaban juntas por pura uestión de azar y que una estaba mu ho más lejos que la otra. El auge del estudio de estos sistemas se dio en gran parte porque, para esta épo a Kepler ya había formulado sus Leyes que expli aban el movimiento de los planetas. 6.

(8) CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN. 7. alrededor del Sol. Si se lograba demostrar que estas estrellas seguían re orridos elíptios, omo los planetas, se extenderían estas leyes a todo el espa io. Además, al estar estas estrellas regidas por las Leyes de Kepler, se podrían expli ar fenómenos omo el na imiento y la evolu ión de las estrellas. En la a tualidad se ree que más del 60 % de las estrellas están en sistemas de dos o más uerpos y ya se omprobó que se rigen por las Leyes de Kepler, lo que ha e que el interés por el estudio de estas sea mayor. Esto hizo que se lograra desarrollar un método para hallar las masas de las estrellas, que durante mu ho tiempo fue el úni o ono ido. En este proye to de grado se pretende expli ar omo a partir de varios métodos sistemáti os y estadísti os se puede hallar la masa aproximada de estrellas que pertene en a sistemas binarios. Desde ha e mu ho tiempo los sistemas binarios han sido estudiados para hallar la masa de ada una de las estrellas que los omponen. Sin embargo, generalmente este estudio se ha he ho en detalle para sistemas binarios individuales. Se ha en observa iones del sistema durante un largo tiempo (dependiendo del sistema estas observa iones pueden durar unos días o hasta siglos) y se toman datos que ayudan a des ribir la dinámi a del sistema. A partir de estos datos se halla la órbita que des riben las estrellas y luego se hallan la masa y otras propiedades del sistema. En estas páginas se quiere analizar la posibilidad de tomar las re ientes medi iones he has los teles opios espa iales para hallar masas sistemáti amente de mu has estrellas. Los datos que nos propor ionan estos teles opios son muy pre isos, pero solo para una fe ha determinada. Esto ha e que no sea tan sen illo hallar las distintas variables que nos ayudan a des ribir la órbita, ni las masas de la estrellas. Hasta el presente, el satélite Hippar os es el que ha medido on mayor pre isión el paralaje para mu has estrellas. Como el paralaje es una antidad esen ial para los ál ulos he hos en este trabajo, se ha es ogido el atálogo de Hippar os omo prin ipal fuente de informa ión..

(9) Capítulo 2 Introdu ión a la Me áni a Celeste 2.1. Naturaleza de las Estrellas 2.1.1.. Distan ia. Las unidades más utilizadas para medir distan ias lineales en astronomía son: - Unidad astronómi a (UA): es la distan ia promedio entre la Tierra y el Sol. Una unidad astronómi a son 1,496 × 108 km. Se utiliza para medir distan ias pequeñas omo la separa ión entre objetos en el Sistema Solar. - Año luz: se dene omo la distan ia que re orre la luz en un año medio terrestre. Se usa generalmente para determinar distan ias entre estrellas o galaxias. - Parse (p ): es la distan ia a la que se en uentra una estrella que tenga un ángulo de paralaje de 1 segundo de ar o (3.26 años-luz). Mu has medidas en astronomía no se dan omo distan ias lineales, se dan en ángulos. La unidad bási a es el grado (o ). El ír ulo esta dividido en 360o . Cada grado a su vez está dividido en 60 minutos de ar o (′ ) y ada minuto de ar o está dividido en 60 segundos de ar o (′′ ). Generalmente, las medidas se dan en segundo de ar o o ar o segundo. El paralaje es un fenómeno que onsiste en el desplazamiento aparente de una estrella er ana sobre el fondo de otras estrellas más lejanas, a medida que la Tierra se mueve a lo largo de su órbita alrededor del Sol. Este fenómeno ha sido aprove hado omo el primer y más simple método para la medida de las distan ias estelares (ver Figura: 2.1).. 8.

(10) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 9. Figura 2.1: Medi ión del paralaje de una estrella er ana. 2.1.2.. Magnitud. La luminosidad es la antidad de luz emitida por segundo. Si podemos ono er la luminosidad podremos ono er diversas ara terísti as de las estrellas omo su estru tura interna, evolu ión futura y distan ia. El brillo b de las estrellas que dete tamos en la Tierra es inversamente propor ional al uadrado de la distan ia d re orrida por la luminosidad L, b=. L 4πd2. (2.1). Por lo tanto la rela ión de luminosidad entre dos estrellas a y b es, La d2 ba = a2 Lb db bb. (2.2). La magnitud m se ha denido omo la unidad de medida de la luminosidad, es de ir, es la es ala que uanti a la diferen ia en el brillo de los objetos del ielo. Esta es una antidad logarítmi a que denió Norman R. Pogson, y su aproxima ión matemáti a para dos estrellas a y b es, ma − mb = 2,5log. La Magnitud puede ser :. . ba bb. . - Aparente visual(mv ): es el brillo observado en la Tierra.. (2.3).

(11) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 10. - Absoluta visual (Mv ): es el brillo observado en la Tierra si la estrella estuviera a 10pc de distan ia. Esto elimina el fa tor de distan ia en los ál ulos. 2.1.3.. Color y Temperatura. Una de las ara terísti as más prominente de la estrella es el olor. El olor es una ualidad que está estre hamente ligada a la temperatura. De a uerdo a la temperatura las estrellas irradian en determinada longitud de onda así: las más frías tiene un pi o de longitud de onda en el rojo, las más alientes irradian en el azul. La temperatura de las estrellas se mide utilizando un dispositivo CCD (Coupled Charge Dispositive) on un ltro denominado UBV, a este pro edimiento se le denomina fonometría UBV. En este pro edimiento se dirige el dispositivo a oplado al teles opio ha ia la estrella en estudio y se al ula la luminosidad utilizando los diferentes ltros. Si la estrella es muy aliente se vera muy brillante on el ltro U (ultravioleta) menos on el B (azul) y mu ho menos on el V (amarillo). 2.1.4.. Diagrama HR. El diagrama Hertzsprung-Russell o diagrama HR, muestra la rela ión entre la magnitud absoluta, la luminosidad, el olor y la temperatura super ial de las estrellas. Existen dos formas equivalentes de este diagrama. En una se gra a el olor ontra la magnitud absoluta. Estas dos antidades se obtienen al observar las estrellas. En la otra forma se gra an la luminosidad ontra la temperatura de las estrellas. En este diagrama ada estrella es representada por un punto. Dependiendo de la posi ión del punto en la grá a se puede identi ar en que etapa estelar se en uentra la estrella, pues los estudios han mostrado que las estrellas pueden estar solamente en iertas regiones de la grá a. La mayor antidad de estrellas se en uentra en la diagonal. Esta diagonal se denomina la se uen ia prin ipal y ubre un gran rango de estrellas omo se ve en la gura 2.21 . En la parte inferior izquierda se en uentran las enanas blan as y en la parte superior, por en ima de la se uen ia prin ipal se en uentran las gigantes y supergigantes. 1 grá. a tomada de: http://imagine.gsf .nasa.gov/do s/tea hers/life y les/Image31.gif.

(12) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 11. Figura 2.2: Diagrama Hertzsprung-Russell.. 2.2. Ubi a ión Para poder referirnos a un objeto espe í o en la bóveda eleste es ne esario poder ubi arlo de manera exa ta. Los astrónomos han desarrollado varios métodos de oordenadas para ubi ar objetos, unos se denominan relativos y otros son absolutos. 2.2.1.. Métodos Relativos. En estos métodos las oordenadas están rela ionadas on la lo aliza ión del observador y ambian ontinuamente on el desplazamiento de este y on la rota ión de la Tierra. Estos métodos son utilizados generalmente para dar una ubi a ión rápida de un objeto en un instante dado. El más ono ido de estos métodos es el de Coordenadas Horizontales. Este método utiliza dos oordenadas: azimut y altura. La altura se mide on un ángulo desde el horizonte hasta el objeto observado, y el azimut es el ar o omprendido entre el punto ardinal sur y el punto de interse ión en el horizonte desde donde se midió la altura del objeto que es perpendi ular a este (ver Figura: 2.3)..

(13) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 12. Altura. Figura 2.3: Sistema de Coordenadas Horizontales. 2.2.2.. Métodos Absolutos. Este tipo de oordenadas son las más utilizadas por astrónomos profesionales y a ionados, pues para ubi ar un objeto siempre son las mismas, sin importar ual sea la ubi a ión del observador. El método absoluto más utilizado es el de las Coordenadas E uatoriales. El sistema de oordenadas e uatoriales se basa en el sistema de ubi a ión terrestre que utiliza oordenadas de latitud y longitud. En el sistema de ubi a ión terrestre la latitud son las líneas que rodean la esfera terrestre en el plano horizontal. La Línea del E uador está en latitud 0◦ y divide la Tierra en dos hemisferios. A partir de la Línea del E uador se ha en ir unferen ias paralelas a esta separadas 15◦ . Generalmente se di e que el polo Norte está en latitud 90◦ y el polo Sur está en latitud −90◦ , es de ir, las latitudes son positivas de la Línea del E uador ha ia el Norte y negativas de la Línea de E uador ha ia el Sur. La latitud se expresa omo el ar o entre el E uador y la línea donde se en uentra el observador. La latitud se mide generalmente en grados (◦ ), minutos de ar o (′ ) y segundos de ar o (′′ ), y se rela ionan así: 1◦ = 60′. 1′ = 60′′.

(14) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 13. Las líneas de longitud van del polo Norte al polo Sur. En la línea de E uador estas líneas se en uentran ada 15◦ separando la Tierra en 24 se iones. La línea de referen ia, es de ir longitud 0◦ pasa por una línea grabada en una pla a de bron e olo ada en el piso debajo de un teles opio medidor de posi ión en el Antiguo Observatorio Real en Greenwi h, Inglaterra, desde este punto los meridianos y las horas avanzan ha ia el Este. La longitud se mide omo el ar o entre la línea de Greenwi h y la posi ión del observador. La onven ión di e que se miden 180◦ ha ia el Este y 180◦ ha ia el Oeste. La longitud se mide en horas(h), minutos(prime) y segundos(′′ ), y se rela ionan así: 1h = 60′. 1′ = 60′′. La proye ión de estas oordenadas en la esfera eleste nos da el sistema de oordenadas e uatoriales (ver Figura: 2.42 ). Al ha er la proye ión se rean un polo norte eleste, un polo sur eleste y un e uador eleste. En este momento la referen ia es que la estrella polar oin ide asi exa tamente on el polo norte eleste. Las oordenadas e uatoriales utilizan líneas de de lina ión y de as ensión re ta. Al proye tar las líneas de latitud obtenemos las de de lina ión y al proye tar las de longitud obtenemos las de as ensión re ta. El e uador eleste se obtiene al proye tar la línea del e uador, reando un plano paralelo al eje de rota ión de la Tierra.. Figura 2.4: Sistema de Coordenadas E uatoriales. 2 grá. a tomada de: http://almaak.tripod. om/temas/ oordenadas.htm.

(15) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 14. La de lina ión (δ ), de la misma forma que la latitud, es positiva desde el e uador eleste ha ia el Norte y negativa desde e uador eleste ha ia el Sur. Enton es, la de lina ión de una estrella es el ángulo omprendido entre el e uador eleste y la estrella. La as ensión re ta (α) se mide teniendo omo plano de referen ia el e uador eleste. El punto de referen ia, es de ir, as ensión re ta 0◦ es el Punto Vernal, que está ubi ado a tualmente en la onstela ión de los pe es y oin ide on la posi ión del Sol en el equino io de marzo.. 2.3. Leyes de Kepler Las leyes de Kepler son tres proposi iones matemáti as formuladas por el astrónomo alemán Johannes Kepler. Estas leyes tenían omo propósito des ribir el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Mu ho tiempo después Newton desarrolló las leyes de movimiento y gravita ión universal, y demostró que las Leyes de Kepler podían ser obtenidas a partir de estas. En ese momento fue uando se entendieron ompletamente las Leyes de Kepler y se demostró que en la Tierra y en el espa io todo se rige por las mismas leyes. Sin embargo, ahora se sabe que estas leyes no solamente expli an el movimiento de los planetas, sino que también se pueden apli ar a todos los sistemas elestes de dos uerpos. En este do umento utilizamos estas leyes para des ribir el omportamiento de los sistemas de dos estrellas o sistemas binarios. 2.3.1.. Primera Ley de Kepler. Los planetas des riben órbitas elípti as estando el Sol en uno de sus fo os.. En el otro fo o de la elipse no hay nada. Por la atra ión gravita ional entre los dos uerpos, la estrella está más tiempo er a del apoastro (parte de la órbita donde el planeta está más lejos de la estrella), y menos tiempo en el periastro (parte de la órbita en la que el planeta está más er a a la estrella)..

(16) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 15. Conexión on las Leyes de Newton Newton propuso que, Todo uerpo en el universo atrae los otros uerpos a lo largo de una línea que pasa por los entros de los uerpos. La atra ión es propor ional a la masa de los objetos e inversamente propor ional al uadrado de la distan ia entre estos.. Vamos a ver omo la primera Ley de Kepler es onsistente on las leyes de movimiento de Newton. Empezamos on la Ley de Newton: F = ma (donde F es la fuerza, m es la masa y a es la a elera ión del uerpo), d2~r (2.4) = f (r)r̂ dt2 Donde r es la posi ión de la partí ula y f (r) es la fuerza en dire ión radial r̂. m. En oordenadas polares tenemos que, d~r = ṙr̂ + rθ̇θ̂ dt. (2.5). Donde r es la distan ia radial y θ es el ángulo polar. r̂ y θ̂ denotan la dire ión radial y angular respe tivamente. d2~r ˙2 r̂ + rθ̈ + 2ṙθ̇ θ̂ = r̈ − r θ dt2. (2.6). m r̈ − rθ˙2 = f (r). (2.7). m rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0. (2.8). Reemplazando la e ua ión 2.6 en la e ua ión 2.5 y separando en omponentes obtenemos dos e ua iones,. Si onsideramos el momento angular,. |L| = r × m. d~r = mr2 θ̇ dt. Por lo tanto, el momento angular por unidad de masa l =. (2.9) |L| m. es,.

(17) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 16. (2.10). l = r2 θ̇. Para simpli ar el problema vamos a denir r omo, r=. 1 u. (2.11). Derivando on respe to al tiempo obtenemos, ṙ = −. 1 1 dθ du du u̇ = − 2 = −l 2 u u dt dθ dθ. d du d2 u d2 u = −lθ̇ 2 = −lu2 2 dt dθ dθ dθ Utilizando esto, la e ua ión de movimiento en dire ión r̂ es, r̈ = −l. d2 u 1 + u = − 2 2f 2 dθ ml u. 1 u. (2.12) (2.13). (2.14). La ley de Gravita ión de Newton nos di e que la fuerza entral es inversamente propor ional al uadrado de la distan ia, enton es si de imos que k es la onstante de propor ionalidad, d2 u k + u = dθ2 ml2. (2.15). Esta e ua ión diferen ial tiene la solu ión general: u = Acos (θ − θ0 ) +. k ml2. (2.16). Utilizando la e ua ión 2.11 y suponiendo θ0 = 0 obtenemos, r=. 1 Acos (θ) +. k ml2. (2.17). Esta e ua ión es la de una se ión óni a on origen en uno de los fo os. Por lo tanto, queda demostrado que la primera Ley de Kepler es onsistente on las Leyes de Newton..

(18) CAPÍTULO 2.. 2.3.2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 17. Segunda Ley de Kepler. El ve tor posi ión de ualquier planeta respe to del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.. Esta ley se ono e también omo la ley de áreas iguales. Durante el re orrido del planeta alrededor de la órbita, la distan ia a la estrella varía. Como un área igual debe ser barrida en periodos iguales y la distan ia a la estrella ambia onstantemente, se puede on luir que el planeta no tiene una velo idad onstante. De he ho, se ha logrado observar que la velo idad de los planetas es inversamente propor ional a la raiz de la distan ia de la estrella. Es de ir, la velo idad aumenta a media que se a er a a la estrella y disminuye a media que de aleja de esta. Kepler pudo proponer esta ley a partir de las observa iones he has por Brahe, pues estas indi aban el ambio de velo idad de los planetas.. Conexión on las Leyes de Newton ~ de una masa puntual es, Por deni ión el momento angular L ~ ≡ m~r × ~v L. (2.18). donde m es la masa del uerpo, ~r es el ve tor posi ión y ~v la velo idad de la partí ula. Como, ~v =. d~r dt. (2.19). Enton es la e ua ión 2.18 se puede re-es ribir así, ~ = ~r × m d~r L dt. (2.20). Derivando on respe to al tiempo, ~ dL = ~r × F~ dt. (2.21).

(19) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 18. Como ~r y F~ son ve tores paralelos, su produ to ruz es ero, y se puede armar que ~ es onstante. L El área barrida por una línea que une un planeta on la estrella, es la mitad del área formada por el paralelogramo entre ~r y d~r. Enton es, ~ L 1 1 d~r ~ dA = |~r × d~r| = ~r × dt = dt 2 2 dt 2m. (2.22). ~ es onstante, queda demostrado que el área barrida es onstante. Como L 2.3.3.. Ter era Ley de Kepler. El uadrado del periodo sideral es propor ional al ubo del semieje mayor de la elipse.. Una de las formas de esta Ley rela iona la masa de los objetos de un sistema de dos uerpos on el periodo y el semieje mayor, lo que la ha e muy útil. En seguida vamos a derivar esta rela ión. Si tenemos un sistema de dos objetos que orbitan uno alrededor del otro, el entro de masa del sistema está donde, m a ra = m b rb. (2.23). Donde ma y mb son las masas los objetos a y b respe tivamente y ra y rb son las distan ias del objeto a y b al entro de masa, respe tivamente. Si r = ra + rb , reemplazando en la e ua ión 2.23 y despejando ra obtenemos, m b rb M Donde M es la masa total del sistema ma + mb . ra =. (2.24). Las fuerzas que a túan sobre ada objeto deben estar equilibradas, por lo que la fuerza gravita ional debe ser igual a la fuerza entrípeta, Gma mb va2 = m a r2 ra. (2.25).

(20) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 19. donde va es la velo idad orbital del uerpo a. Esta velo idad está rela ionada on el periodo orbital T así, va =. 2πra T. (2.26). Por lo tanto la e ua ión de la igualdad de fuerzas toma la forma, Gmb 4π 2 ra = r2 T2. (2.27). Utilizando lo hallado en la e ua ión 2.24 tenemos la forma para la Ter era Ley de Kepler, GM r3 = 2 T 4π 2. (2.28). Esta e ua ión nos rela iona la distan ia entre las estrellas, el periodo orbital y la masa del sistema. Lo que ha e muy sen illo hallar la masa del sistema, si este es observado durante un tiempo onsiderable para poder determinar los parámetros de la órbita.. 2.4. Problema de Dos Cuerpos Un sistema binario se puede tratar omo el famoso problema físi o de dos uerpos. Se di e que se tiene un problema de dos uerpos uando dos objetos masivos intera ionan mediante la genera ión de ampos onservativos de inuen ia mutua. Este problema onsiste en el estudio dinámi o de dos objetos masivos y lo vamos a tratar a partir de la me áni a lási a no relativista.3 2.4.1.. Redu. ión al problema de un. uerpo. Se tiene un sistema aislado de dos uerpos de masa m1 y m2 , que intera túan por medio de una fuerza entral f (r). La posi ión de las partí ulas está dada por los ve tores ~r1 y ~r2 omo se muestra en la gura 2.5. Tenemos, 3 Lo. que sigue a ontinua ión está basado el en apitulo 9 de [8℄. Todas las grá as fueron tomadas del mismo libro..

(21) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 20. Figura 2.5: Sistema de dos partí ulas.. ~r = ~r1 − ~r2. (2.29). r = |~r| = |~r1 − ~r2 |. (2.30). Las e ua iones de movimiento son, m1~r¨1 = f (r)r̂. (2.31). m2~r¨2 = −f (r)r̂. (2.32). Si analizamos el problema desde el entro de masa R, omo lo muestra la gura 2.6, la e ua ión de movimiento es, ¨~ R =0. (2.33). ~ =R ~ 0 +V~ t. Si tomamos el origen en el entro de masa en ontramos que tiene la solu ión R ~ 0 = 0 y V~ = 0. que R Para en ontrar la e ua ión de movimiento para ~r se dividen las e ua iones 2.31 y 2.32 por m1 y m2 respe tivamente y se restan las e ua iones obteniendo, ~r¨1 − ~r¨2 =. Simpli ando obtenemos,. . 1 1 + m1 m2. . f (r)r̂. (2.34).

(22) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 21. Figura 2.6: Sistema de dos uerpos analizado desde el entro de masa. . m1 m2 m1 + m2. Deniendo la masa redu ida omo,. ¨ ¨ ~r1 − ~r2 = f (r)r̂. µ≡. m1 m2 m1 + m2. (2.35). (2.36). y utilizando la e ua ión 2.29 derivada dos ve es, se puede re-es ribir la e ua ión 2.35 así, µ~¨r = f (r)r̂. (2.37). Esta e ua ión es idénti a a la e ua ión de movimiento de una partí ula de masa µ sometida a una fuerza f (r). De esta forma se redu e el problema de dos uerpos al problema de un uerpo, del ual ya ono emos una solu ión exa ta. Este método no puede ser generalizado para problemas de más de dos uerpos, por lo que sólo se ono e una solu ión exa ta para el de dos uerpos. 2.4.2.. Propiedades. El movimiento está onnado a un plano Como la fuerza entral es ejer ida en la dire ión de r̂, esta no puede ejer er un ~ de µ es onstante, torque sobre la masa redu ida µ. Por lo tanto, el momento angular L y esto impli a que el movimiento de µ es en un solo plano. El momento angular de la masa redu ida es,.

(23) CAPÍTULO 2.. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. 22. Figura 2.7: El movimiento de dos uerpos en un plano.. ~ = ~r × µ~v L. (2.38). ~ siempre va a ser perpendi ular a ~r. Como L ~ está jo en el donde ~v = ṙ, por lo que L ~ que pasa por el espa io, enton es ~r sólo se puede mover en el plano perpendi ular a L origen. Como el movimiento solo es en un plano se pueden suponer que el movimiento se lleva a abo en el plano xy sin perder generalidad. Este movimiento lo podemos des ribir por medio de oordenadas polares, y la e ua ión 2.37 toma la forma, µ r̈ − rθ̇2 = f (r). (2.39). µ rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0. (2.40). De esta forma el problema se redu e a dos dimensiones.. La energía y el momento angular son onstantes del movimiento La magnitud del momento angular de la masa redu ida µ es, l = µrvθ = µr2 θ̇. (2.41). 1 1 E = µv 2 + U (r) = µ r˙2 + r2 θ˙2 + U (r) 2 2. (2.42). La energía total E de µ es,.

(24) CAPÍTULO 2.. 23. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CELESTE. donde U (r) es la energía poten ial dada por, U (r) − U (ra ) = −. Z. r. f (r)dr. (2.43). ra. Si usamos la e ua ión 2.41 podemos eliminar θ̇ de la e ua ión 2.42 obteniendo, 1 1 l2 E = µr˙2 + + U (r) 2 2 µr2. (2.44). Si denimos la energía poten ial efe tiva omo, Uef f (r) =. 1 l2 + U (r) 2 µr2. (2.45). Podemos re-es ribir la e ua ión 2.44 omo, 1 E = µr˙2 + Uef f (r) 2. (2.46). Al quitar toda referen ia a θ y utilizar la energía poten ial efe tiva, esta e ua ión tiene la misma forma de la e ua ión de movimiento de una partí ula en una dimensión. 2 El término µrl 2 se denomina poten ial entrífugo..

(25) Capítulo 3 Estrellas Binarias Las estrellas se pueden en ontrar solas o en grupos. Se di e que una estrella pertene e a un grupo uando hay 2 o más estrellas lo su ientemente er a omo para que haya una intera ión gravita ional entre estas. Los grupos de dos estrellas se denominan sistemas binarios, los de 3 o más estrellas se denominan sistemas múltiples. Generalmente, los grupos de estrellas se ven omo un solo punto de luz a simple vista. Al utilizar instrumentos más potentes omo un teles opio, se logra observar que en realidad estos puntos están formados por varias estrellas. Sin embargo, dependiendo del poder de resolu ión o separa ión del teles opio, se pueden identi ar mayor o menor antidad de sistemas múltiples o binarios. Para que un teles opio profesional pueda identi ar un sistema binario las estrellas que lo omponen deben tener omo mínimo una separa ión de 0.5 segundos de ar o y para un teles opio de a ionado 1.0 segundos de ar o. En los últimos 200 años se han llevado a abo mu has investiga iones on estrellas binarias. Estas investiga iones han ayudado a sa ar on lusiones a er a del omportamiento de estos sistemas, su naturaleza e in lusive a desarrollar teorías sobre fenómenos omo los hoyos negros, los pulsares y la gran antidad de rayos X que salen de algunas estrellas. Las observa iones han llevado a los astrónomos a des ubrir que: - Una de ada dos o tres estrellas pertene e a un sistema binario o múltiple. De todos los sistemas de estrellas alrededor del 10 % tienen más de 2 estrellas, es de ir, que asi el 90 % son sistemas binarios.. 24.

(26) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 25. - Del estudio de las órbitas des ritas por las estrellas se halló una rela ión dire ta entre el periodo y la ex entri idad de la órbita, es de ir, entre más orto sea el periodo más pequeña es la ex entri idad. - Se pueden en ontrar sistemas binarios que tienen separa iones muy variadas. Algunos sistemas se en uentran tan er a que las dos estrellas se al anzan a to ar, otros están tan separados que asi no se al anza a observar la atra ión gravitaional mutua. - En los sistemas binarios en que las dos estrellas tienen el mismo brillo, las dos son del mismo tipo espe tral. En los sistemas en que el brillo de las dos estrellas es diferente, la estrella menos brillante en más azul si la estrella más brillante es una estrella gigante y es más roja si la estrella más brillante está en la se uen ia prin ipal. - Se ono en dos métodos para determinar la masa de las estrellas. Uno es por la atra ión gravita ional y el otro por el fenomeno de lente gravita ional. En el espa io, solo es posible observar la atra ión gravita ional en los sistemas de estrellas, y de estos solo los sistemas de dos estrellas pueden ser analizados y solu ionados de forma exa ta; por esto se le da gran importan ia al estudio de estos sistemas. Cuando se ha identi ado una estrella binaria, y después de que su órbita y su paralaje han sido determinados, se puede hallar la masa del sistema apli ando dire tamente las Leyes de Kepler. Sin embargo, para mu hos asos la órbita de las estrellas es imposible de determinar; en algunos asos porque las omponentes se en uentran demasiado er a, en otros están demasiado separadas, en otros por la in lina ión de la órbita on respe to a la línea visual y en otros por la enorme distan ia de la Tierra al sistema. En la mayoría de estos asos es muy difí il en ontrar todos los datos ne esarios para hallar la masa del sistema exa tamente, y solo aproxima iones estadísti as pueden ser al uladas. Por lo general, se des ono e la in lina ión del sistema en uyo aso solamente se puede hallar una ota inferior para la masa del mismo. Pero estos datos son su ientes para desarrollar, veri ar y refutar teorías de la evolu ión estelar..

(27) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 26. Como una gran antidad de estrellas pertene en a sistemas binarios, estas son de gran importan ia para el entendimiento del pro eso por el que las estrellas se forman. El periodo y las masas del sistema están rela ionados on el momento angular del sistema. Como el momento angular es una antidad que se onserva, nos da informa ión importante a er a de la forma ión estelar. Las primeras estrellas binarias observadas fueron: - Estrellas Nu1 y Nu2 de Sagitario: Fueron observadas alrededor de 130 a. C. y fueron des ritas por Tolomeo omo una estrella doble en Alejandría, Egipto. - Mizar (Zeta de la Osa Mayor): Es una estrella doble identi ada en 1650 por el Padre Giovanni Baptista Ri ioli en Boloña, Italia. - Teta Orionis: es una estrella rodeada por la nebulosa de Orión identi ada en 1654, y fue observada omo un sistema múltiple de tres estrellas por Giovanni Batista Hodierna en Palma de Monte arlo, Si ilia. - Gamma Arietis: fue des ubierta en 1664 por Robert Hooke en Inglaterra. - Alfa Centauri: identi ada omo un sistema binario en 1685 por el Padre Fontenay en Sudáfri a. - Alfa Centauri: observada por segunda vez por el Padre Ri haud en India. Desafortunadamente, hasta el momento solo se ha desarrollado la teoría para el análisis del movimiento de dos uerpos que se atraen mutuamente. Hay teorías que tratan de expli ar el omportamiento de sistemas de más de dos partí ulas, pero no se ono en solu iones exa tas para estas. Sin embargo, algunos sistemas múltiples pare en estar formados por varios sistemas binarios, lo que ayuda a su estudio. Por esta razón, solo podemos utilizar los sistemas binarios que a partir de su atra ión gravita ional mutua nos dan pautas sobre el omportamiento estelar. El estudio de las estrellas binarias está ligado a la resolu ión del instrumento on el que estemos observando. A simple vista una estrella binaria o múltiple se ve omo un solo punto brillante. Si observamos on un teles opio logramos ver algunas estrellas binarias, pero no todas..

(28) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 27. Para poder ha er medi iones sobre estas estrellas es ne esario poder distinguir las dos omponentes. Así, se puede medir el movimiento propio de las estrellas, además de otras propiedades. Es importante medir el movimiento propio, pues este es el que nos ayuda a saber si realmente el movimiento de una es afe tado por la otra.. 3.1. Forma ión Hasta este momento no se sabe exa tamente ómo se forman los sistemas de estrellas. Sin embargo, se han desarrollado varias teorías, entre las que desta an dos. Una teoría nos di e que las estrellas binarias na en omo ualquier otra estrella en una nebulosa, la diferen ia está en donde se forman. En la nebulosa madre, las dos estrellas que onforman un sistema binario na en una muy er a a la otra. Después de que las estrellas han na ido, es de ir, en el momento en que empieza la fusión de hidrógeno, el viento solar de estas estrellas sopla el material sobrante de la nebulosa, dejando las dos estrellas solas. Por la er anía entre las dos estrellas ninguna puede es apar de la fuerza gravita ional he ha por la otra, y por lo tanto se forma un sistema en el que las dos estrellas se ven afe tadas mutuamente por la gravedad que es una fuerza entral. Esta fuerza ha e que las dos estrellas giren alrededor del entro de masa omún. Notese que esta teoría también se puede apli ar al na imiento de estrellas múltiples. Se ree que otra alternativa para la forma ión de sistemas binarios es análoga a la forma en que un planeta atrae un ometa onvirtiéndolo en un satélite. Esta teoría di e que si una estrella libre se a er a lo su iente al ampo gravita ional de otra estrella y no tiene su iente energía para es apar a este ampo, queda atrapada y omienza a des ribir una órbita alrededor de la estrella que la apturó. Una de las primeras teorías formuladas a er a de la forma ión de los sistemas binarios suponía que una estrella se podía dividir en dos, por medio de una explosión o algún fenómeno similar. Los dos fragmentos quedaban tan er a después de la separa ión que la atra ión gravita ional mutua ha ía que des ribieran órbitas omo en los asos anteriores..

(29) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 28. Figura 3.1: Cara teriza ión ompleta de un sistema binario.. 3.2. Cara teriza ión Para des ribir de manera onsistente los sistemas de estrellas, se han adoptado unos parámetros para su ara teriza ión. Cada una de las estrellas que onforman los sistemas se llaman omponentes. En un sistema binario la estrella más brillante es la omponente primaria o A y la menos brillante es la omponente se undaria o B. En los sistemas múltiples también se da el nombre a las omponentes de a uerdo a su brillo de mayor a menor on las letras del alfabeto, de a uerdo a la antidad de estrellas que lo ompongan. Al observar una estrella binaria hay dos parámetros que nos ayudan a des ribir la posi ión de las estrellas, su orienta ión y su separa ión. Estos parámetros nos sirven para dar la posi ión de la omponente se undaria on respe to a la primaria en un instante dado. La orienta ión se des ribe por medio del ángulo de posi ión. Este ángulo es el que se forma entre un ve tor que pasa por la omponente primaria on dire ión Norte-Sur, y un ve tor imaginario que pasa por las dos omponentes (ver Figura: 3.1). El ángulo de posi ión se mide del Norte ha ia el Este en grados. La separa ión se denomina distan ia angular. Esta distan ia es el ángulo que mide un observador desde la Tierra, entre las dos omponentes de la estrella binaria en segundos de ar o, y depende de la distan ia real entre las omponentes y la distan ia del observador a la estrella (ver Figura: 3.1)..

(30) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 29. 3.3. Órbita Las estrellas binarias son identi adas porque son dos estrellas que giran alrededor de un entro de masa omún des ribiendo una órbita elípti a por la atra ión gravita ional mutua. Entre más separadas estén las omponentes más lento es el movimiento de una alrededor de la otra. Se han medido periodos entre unos días y hasta ientos de años. 3.3.1.. Clases. En el apítulo de introdu ión a la me áni a eleste se estudió el problema de los dos uerpos, y ómo un sistema binario puede ser tratado omo un problema de este tipo. Además, se estudiaron las leyes de Kepler que estable en propiedades del movimiento de un uerpo alrededor de otro. Se sabe que en un sistema binario el movimiento de la omponente se undaria alrededor de la omponente primaria se puede des ribir omo una elipse Kepleriana, es de ir, des ribe una elipse que umple on las Leyes de Kepler. Sin embargo, lo que se observa en la mayoría de los asos no es esta elipse Kepleriana. Los astrónomos llaman órbita verdadera a di ha elipse Kepleriana. Nosotros observamos una órbita aparente. Esta órbita es una proye ión de la órbita verdadera sobre un plano perpendi ular a la línea visual (Tierra - estrella). Las dos órbitas des riben elipses on el mismo entro. Sin embargo, los fo os de la órbita verdadera no son los mismos fo os de la órbita aparente. Como la omponente primaria se en uentra en uno de los fo os de la órbita verdadera, esta omponente no se en uentra en un fo o de la órbita aparente. Por las Leyes de Kepler sabemos que en la órbita verdadera el radio ve tor entre las dos omponentes barre áreas iguales en tiempos iguales. Cuando esta órbita es proye tada todos los fa tores se redu en una misma antidad. Esto ha e que aunque en la órbita aparente la omponente primaria no se en uentre en uno de los fo os, el radio ve tor siga barriendo áreas iguales en tiempos iguales. Después de haber he ho gran antidad de observa iones sobre un sistema binario, lo primero que debe ha er un astrónomo es hallar la órbita aparente. Luego, si se tienen los datos su ientes puede ser determinada la órbita verdadera..

(31) CAPÍTULO 3.. 3.3.2.. ESTRELLAS BINARIAS. 30. Órbita Elípti a. Elipse Una elipse se puede denir omo, Un punto que se mueve de tal forma que la suma de la distan ia a dos puntos jos es onstante Los dos puntos jos de la elipse se denominan los fo os F1 y F2 y las distan ias de los fo os a el punto se denotan r1 y r2 respe tivamente (ver gura: 3.2). Los fo os están separados una distan ia onstante 2 . La deni ión de elipse, es rita en forma de e ua ión, se ve de la siguiente forma, r1 + r2 = 2a. (3.1). Donde a es el semieje mayor de la elipse. El semieje menor (b) de la elipse se mide perpendi ular al semieje mayor y pasa por el entro de la misma, omo se muestra en la gura 3.2. La e ua ión de una elipse uyos fo os están sobre el eje x y se ubi an el (−c, 0) y (c, 0) en oordenadas artesianas es, 2a =. p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2. Esta e ua ión se puede poner de una forma más simple,. Figura 3.2: Elementos de una elipse.. (3.2).

(32) CAPÍTULO 3.. 31. ESTRELLAS BINARIAS. x2 y2 + =1 a2 a2 − c 2. (3.3). b 2 ≡ a2 − c 2. (3.4). x2 y 2 + 2 =1 a2 b. (3.5). Deniendo,. La e ua ión toma la forma,. Esta es la forma más ono ida de la e ua ión que des ribe una elipse. El parámetro b es el semieje menor de la elipse y por deni ión b < a para toda elipse. r. θ. Figura 3.3: Coordenadas polares de una elipse tomando el origen en el entro. En oordenadas polares (ver gura 3.3), el ángulo θ medido desde el entro de la elipse se llama ángulo ex éntri o. Si se toma r omo la distan ia del entro a un punto de la elipse, en oordenadas polares se expresan x y y omo, x = rcos(θ). (3.6). y = rsen(θ). (3.7). Reemplazando x y y en la e ua ión 3.5 y despejando r2 se en uentra, r2 =. b 2 a2 b2 cos2 (θ) + a2 sen2 (θ). Deniendo una nueva onstante ǫ, llamada la ex entri idad, así:. (3.8).

(33) CAPÍTULO 3.. 32. ESTRELLAS BINARIAS. ǫ≡. r. 1−. b2 a2. (3.9). De esta e ua ión se derivan las rela iones, a2 ǫ 2 = a2 − b 2 ≡ c 2. (3.10). c = aǫ. (3.11). b 2 = a2 1 − ǫ2. Por lo tanto la e ua ión 3.8 queda, r=a. s. (3.12). . 1 − ǫ2 1 − ǫ2 cos2 (θ). (3.13). Si tomamos el origen de oordenadas en uno de los fo os (ver gura: 3.4), y no en el entro enton es x y y toman la forma,. r`. θ`. Figura 3.4: Coordenadas polares de una elipse tomando el origen en uno de los fo os.. x = c + r′ cos(θ′ ). (3.14). y = r′ sin(θ′ ). (3.15). Enton es, la e ua ión de la elipse toma la forma, (c + r′ cos(θ′ ))2 r′2 sen2 (θ′ ) 1= + a2 b2. (3.16).

(34) CAPÍTULO 3.. 33. ESTRELLAS BINARIAS. Utilizando las rela iones halladas entre a, b, c, y ǫ, de la e ua ión anterior se puede llegar a la expresión para el radio de la elipse, r′ = ± ǫr′ cos(θ′ ) − a 1 − ǫ2. . (3.17). Sabemos que para ǫ = 0 se obtiene un ír ulo de radio a. Si reemplazamos en la e ua ión anterior obtenemos r′ = ±(−a), omo a siempre es positiva y r también debe ser positivo se toma el signo negativo y la e ua ión para r queda, r′ =. a (1 − ǫ2 ) 1 + ǫcos(θ′ ). (3.18). Elementos Para des ribir ompletamente una órbita elípti a en el sistema solar son ne esarios seis parámetros, estos son: - a: semieje mayor de la órbita (ver gura 3.2). - ǫ: ex entri idad de la elipse. - i: in lina ión de la órbita. - Ω: longitud del nodo as endente. - ω : argumento del periastro. - t0 : tiempo de paso por el periastro. De estos seis parámetros in o des riben la elipse y uno nos da una referen ia on el tiempo. Sin embargo, estos seis parámetros no son su ientes en sistemas en los que no se ono e la masa de los uerpos. En estos sistemas es ne esario in luir el periodo T . El semieje mayor de la órbita, que denimos en la se ión anterior, está rela ionado on el tamaño de la elipse. El periodo, que también esta rela ionado on el tamaño de la elipse, se puede usar en ambio del semieje mayor, si se ono e la masa del sistema. La ex entri idad en órbitas elípti as puede tomar valores entre 0 ≤ ǫ < 1, onvirtiéndose la orbita en un ir ulo uando la ex entri idad es ero; entre más grande es la ex entri idad la orbita se ha e más elongada..

(35) CAPÍTULO 3.. 34. ESTRELLAS BINARIAS. La in lina ión y la longitud del nodo as endente denen el plano de la órbita. La in lina ión puede tomar valores de 0 a 90 grados on respe to a un plano fundamental; uando la in lina ión es ero grados la órbita verdadera y la aparente son la misma; uando es 90 grados el plano de la órbita del sistema oin ide on el plano visual. El argumento del periastro orienta la órbita en su plano. Este ángulo se mide sobre el plano de la órbita del uerpo en la dire ión del movimiento desde el nodo as endente hasta el periastro. La épo a ja el objeto en el tiempo en su órbita. Este elemento generalmente se toma omo el tiempo del paso por el periastro, y nos ayuda a jar un sistema de referen ia para las oordenadas elestes.. Anomalías Círculo auxiliar. r E C. Periastro v. F. Figura 3.5: Grá a de anomalía ex éntri a y anomalía verdadera de una elipse. En la me áni a eleste la anomalía media (M) se puede des ribir omo la fra ión del periodo orbital que se ha re orrido desde el último paso por el periastro expresado omo un ángulo. M − M0 = n(t − t0 ). (3.19). Donde M0 es la anomalía media en t0 ; si t0 se toma omo el momento de paso por el periastro M0 es nulo; t es el tiempo que nos interesa y n es el movimiento medio que se dene omo 2π/T ..

(36) CAPÍTULO 3.. 35. ESTRELLAS BINARIAS. La anomalía verdadera es el ángulo omprendido entre la dire ión del periastro y la posi ión de interés del uerpo orbitante medida desde el fo o en el que se en uentra la omponente primaria. La anomalía ex éntri a (E) es el ángulo entre la dire ión del periastro y la posi ión en un momento dado del objeto proye tada al ír ulo auxiliar de la elipse, medido desde el entro de la elipse (ver gura: 3.5). La E ua ión de Kepler rela iona la anomalía ex éntri a on la anomalía media así, M = E − ǫsen(E). (3.20). Como la e ua ión anterior es tra endental, esta no puede ser solu ionada dire tamente. Enton es, para valores pequeños de ex entri idad esta e ua ión puede ser soluionada iterativamente así, E0 = M. (3.21). Ei+1 = M + ǫsen (Ei ). (3.22). La propiedad más interesante de esta solu ión es que la se uen ia onverge rápidamente, si la e entri idad es menor a 0, 66. La rela ión entre la anomalía ex éntri a y la anomalía verdadera es, cosv =. tan. v 2. =. cosE − ǫ 1 − ǫcosE. r. 1+ǫ tan 1−ǫ. (3.23) E 2. (3.24). El ve tor posi ión y las anomalías se rela ionan así, r = a(1 − ǫcos(E)). r=a. Notese que v = θ′ (ver e ua ión 3.18). 1 − ǫ2 1 + ǫcosv. (3.25) (3.26).

(37) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 36. 3.4. Clasi a ión 3.4.1.. Ópti as. Las binarias ópti as o aparentes en realidad no tienen ninguna rela ión físi a. Estas estrellas se ven juntas por efe to de perspe tiva, pues se en uentran muy er a a la misma línea de visión pero una está mu ho más lejos de la Tierra que la otra. Para determinar si un sistema observado está físi amente rela ionado o si es una binaria ópti a hay varios métodos: - Se puede hallar la distan ia del Sol a las estrellas. Esta distan ia se puede hallar por paralaje, fotometría o espe tros opía. Si la distan ia es muy diferente se trata de una binaria ópti a. - El movimiento propio de una estrella, es el movimiento de la estrella transversal a la línea visual sobre la esfera eleste. Si dos estrellas están rela ionadas deben tener un movimiento propio pare ido. - El movimiento relativo entre las omponentes nos muestra omo una omponente se mueve on respe to a la otra. Si se está observando una binaria ópti a debería observarse un movimiento relativo lineal entre las omponentes, pues estas no sienten una atra ión gravita ional mutua. Si no es un binaria ópti a la que se está observando, las omponentes deberían des ribir órbitas una alrededor de la otra. Se han en ontrado asos en que el movimiento relativo del sistema no es observable, pero la medi ión de la distan ia y el movimiento propio indi an que están rela ionadas. En estos asos lo que su ede es que no hay una intera ión observable, y se puede dar porque la separa ión entre las omponentes es muy grande o porque las masas son muy pequeñas; estos asos se denominan sistemas jos. 3.4.2.. Visuales. Las estrellas binarias visuales son aquellas uya distan ia angular entre las omponentes es la su iente omo para poder ser observadas omo dobles a través de un.

(38) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 37. teles opio. Esta distan ia no se puede determinar de manera exa ta, pues depende de la resolu ión ( apa idad de separa ión) del teles opio por el que se esté observando. El rápido avan e te nológi o en las últimas dé adas ha he ho que ada vez los teles opios sean más grandes, puedan estar en el espa io y tengan una mayor apa idad de resolu ión. Esto ha he ho que se observen ada vez más estrellas binarias visuales. La apa idad de observar una estrella omo doble a través de un teles opio también depende en gran medida del brillo de sus omponentes. En los asos en que una o ambas omponentes brillan mu ho, es de ir, tienen baja magnitud, uesta más trabajo separar una omponente de la otra, di ultando su observa ión omo estrella doble. Pero, si una de las omponentes de la estrella no brilla o brilla muy po o, también se di ulta la observa ión. En on lusión, para que al observar una estrella binaria a través de un teles opio se puedan separar sus omponentes es ne esario que tengan una distan ia angular mayor o igual a la apa idad de separa ión del teles opio y que ninguna de las omponentes sea muy brillante o po o brillante. Para poder des ribir la dinámi a de una binaria visual, generalmente se ha en su esivas medi iones de la distan ia angular y el ángulo de posi ión. Dependiendo de la velo idad de rota ión de las estrellas estas medi iones toman mayor o menor tiempo. Lo que se quiere es que a partir de estas medi iones se pueda al ular la mejor órbita aparente. Lo ideal es tener puntos a lo largo de la órbita que logren ompletar una vuelta ompleta o un periodo, luego se gra an estos puntos en un plano de oordenadas polares, on la estrella primaria en el origen. Luego se en uentra la elipse que mejor se ajuste a estos puntos y satisfaga la ley de las áreas de Kepler. Esta elipse en ontrada sería la órbita aparente del sistema. 3.4.3.. Espe tros ópi as. Una binaria espe tros ópi a es aquella uyas omponentes no pueden ser identi adas por separado aún on el teles opio de mejor resolu ión. En estas binarias generalmente la distan ia angular entre las omponentes es muy pequeña, y la velo idad orbital muy grande. Estas binarias son estudiadas a partir de las omponentes de la velo idad orbital en la línea de visión de ada una de las estrellas, y además se observa un ambio periódi o en la velo idad radial..

(39) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 38. El nombre de estas estrellas está dado por el método más utilizado para medir el ambio de la velo idad radial de las mismas, utilizando un espe tros opio. Este instrumento toma los espe tros de las estrellas y a partir de estos se puede medir el orrimiento de las líneas espe trales de ada una de las estrellas debido al efe to Doppler. Si se toman espe tros periódi amente de la estrella, en mu hos asos se logran observar los espe tros de ambas estrellas. Si se estudian on uidado estos espe tros se observa omo en algunos de ellos las líneas son dobles y en otros sen illas. Las estrellas que presentan este fenómeno se denominan binarias de doble línea. Otra lase de estrellas espe tros ópi as es en las que en el espe tro solo se observan las líneas de una estrella del par. Sin embargo, se sabe que es un sistema binario porque se observa omo se desplazan las líneas del rojo al azul periódi amente por el efe to Doppler. La órbita de estas estrellas es determinada ha iendo un gran número de observaiones de la velo idad radial de una o ambas omponentes de la estrella binaria. Estas observa iones se gra an ontra el tiempo, y de la urva resultante se obtiene el periodo. Si la órbita es ir ular la urva obtenida es un seno, si es una órbita elípti a la urva depende de la ex entri idad y de la in lina ión de esta on respe to a la línea de visión. 3.4.4.. E lipsantes. Las binarias e lipsantes son estrellas en las que el plano de la órbita está muy er a o sobre la línea de observa ión. Esta propiedad ha e que desde la Tierra se observe omo se turnan las estrellas pasando una por delante de la otra, reando así e lipses mutuos periódi os. Estas estrellas son muy valiosas, pues si también son espe tros ópi as y se ono e el paralaje de la estrella se puede llevar a abo un análisis estelar extenso. Este tipo de estrella binaria también es onsiderada por algunos ientí os omo estrellas variables. Aunque no es una omponente de la estrella la que este ambiando ontinuamente su magnitud, los e lipses ha en que se observe un ambio en la magnitud del sistema. La estrella binaria e lipsante más ono ida es la estrella Algol (β Persei). Si se mira una urva de luz de la binaria e lipsante se observa que estas estrellas presentan unos periodos en que la intensidad de la luz es onstante y otros on disminu ión periódi a de la intensidad. Esto se puede expli ar si una estrella es más grande que la.

(40) CAPÍTULO 3.. ESTRELLAS BINARIAS. 39. otra. Cuando la estrella grande pasa por el frente de la pequeña se observa un e lipse total, mientras que si la estrella pequeña pasa por delante se observa un e lipse anular. El periodo de la órbita puede ser hallado a partir de la urva de luz del sistema. También se pueden determinar los tamaños relativos de las estrellas, en términos del radio de la órbita a partir de los ambios periódi os en el brillo del sistema. 3.4.5.. Astrométri as. Las binarias astrométri as son aquellas en las que una sola omponente puede ser observada visualmente. Para saber on erteza que se está observando un sistema binario se toman medi iones uidadosamente del movimiento de la estrella visible. Al analizar estas medi iones se ve que la estrella está des ribiendo una órbita, lo ual sólo se puede expli ar omo la atra ión gravita ional ejer ida por otro uerpo. Las observa iones del movimiento se ha en generalmente omparando la posi ión de la estrella on una estrella lejana. La estrella lejana tiene un movimiento imper eptible on respe to al movimiento de la estrella que se está analizando, por lo tanto si dete ta un ambio periódi o en la posi ión de la estrella, se sabe que su movimiento está des ribiendo órbitas. Sin embargo, estas medi iones solo se pueden llevar a abo en estrellas que se en uentren er a a la Tierra o en estrellas uya ompañera sea lo su ientemente masiva para que el movimiento sea dete table. En el aso en que se pueda dete tar el movimiento de la estrella visible a partir de medi iones astrométri as muy pre isas en un tiempo lo su ientemente largo, se puede obtener informa ión a er a de la masa y el periodo orbital de la ompañera por medio de las leyes de Kepler (ver apítulo de Introdu ión a la Me áni a Celeste)..

(41) Capítulo 4 Misión Hippar os La misión Hippar os fue autorizada en el año de 1980 por la Agen ia Espa ial Europea (ESA), el satélite fue diseñado y onstruído por esta misma Agen ia y se lanzó al espa io exterior el día 8 de agosto de 1989, re ogiendo datos desde noviembre de este año hasta marzo de 1993, año en el que se suspendió la omuni a ión y se dio por terminada la re ole ión de datos. La misión Hippar os fue el primer experimento espa ial dedi ado a la astrométri a, el objetivo prin ipal de esta misión era determinar de manera exa ta los datos astrométrios (posi ión, movimiento propio anual y paralajes trigonométri os - on pre isión de dos miliar o segundos-) para 100000 estrellas on una exa titud dos ientas ve es superior a las medi iones anteriormente realizadas. La misión Hippar os estaba dotada on un teles opio S himidt totalmente ree tivo, una de las grades novedades de este equipo era el he ho de estar equipado on un espejo onvergente que ombinaba los rayos de luz provenientes de dos ampos de luz diferentes separados 58 grados el uno del otro y de dimensiones 0,9 × 0,9 grados en un punto fo al omún; esto permitía que se pudieran ha er medi iones en ampos grandes y pequeños; el más pequeño barría grandes ír ulos sobre la esfera eleste y las imágenes de dos ampos de visión eran moduladas por una malla regular de 2688 rejillas lo alizadas en la super ie fo al las uales ubrían un área de 2,5 × 2,5 entímetros uadrados. El satélite estaba diseñado para girar lentamente ompletando una revolu ión en un lapso de dos horas, al mismo tiempo que estaba ontrolado para que se realizaran ambios onstantes en el eje de rota ión; de esta manera el teles opio fue apaz de. 40.

(42) CAPÍTULO 4.. MISIÓN HIPPARCOS. 41. es anear toda la esfera eleste varias ve es durante la misión. Mientras el teles opio es aneaba el ielo, la luz de la estrella era modulada por un sistema de rejillas y esta luz era muestreada por un dise tor de imágenes a una fre uen ia de 1200 Hz. Las estrellas para observa ión fueron sele ionadas antes que el Hippar os fuera lanzado al espa io. Estas estaban ontenidas en el Hippar os Input Catalog. Las estrellas sele ionas fueron observadas más de 100 ve es en un lapso de uatro años. De la misión Hippar os salieron dos atálogos: el atalogo de Hippar os que tiene 118218 estrellas on una pre isión astronométri a media de un miliar o segundo y resultados espe í os para estrellas dobles y múltiples; la pre isión de las magnitudes de Hippar os para estrellas onstantes esta en un rango de 0,0004 − 0,007 mag en un intervalo de 2 a 12 mag. Y el atálogo Ty ho que tiene más de un millón de estrellas. Estos atálogos fueron publi ados por la ESA en 1997. El onsor io INCA fue el responsable de la onstru ión del programa para realizar las observa iones desde el satélite mientras que el pro esamiento de la informa ión de más de mil gigabytes estuvo a argo de los onsor ios NDAC y FAST..

(43) Capítulo 5 Sele ión de la Muestra Para poder desarrollar un método sistemáti o para hallar la masa de las estrellas binarias del atálogo de Hippar os primero fue ne esario ha er una sele ión de las estrellas que nos servían para ha er los ál ulos, es de ir, des artar la mayor antidad posible de sistemas binarios ópti os.. 5.1. Catálogo Prin ipal de Hippar os En los apítulos anteriores vimos omo Hippar os tiene varios atálogos, donde lasi a de manera diferente las estrellas. Lo primero que se hizo fue rear una base de datos de todas las estrellas del atálogo prin ipal de Hippar os. Esta base de datos se reó utilizando la herramienta Igauss y se manipuló por medio de un programa en JAVA. Esta base de datos ontenía 117930 estrellas, uyos datos fueron bajados de Internet. Por medio del programa en JAVA se halló la ve ina más próxima a ada una de las estrellas y se halló la distan ia entre estas. El programa primero sele ionaba, alrededor de ada estrella, todas las estrellas que tuvieran una diferen ia en de lina ión menor a un grado de una estrella entral; luego ha ía una búsqueda en las bases de datos omparando la as ensión re ta y la de lina ión de la estrella entral on las de ada estrella sele ionada. Una vez es ogidas las posibles andidatas a ve ina más próxima se halló la distan ia entre la estrella entral y las andidatas. Esta distan ia se al ula sin tener en uenta el paralaje, es de ir, solo se está hallando la distan ia angular en dos dimensiones sobre el plano tangente a la esfera eleste. La distan ia angular se denomina ρ y se halló. 42.

(44) CAPÍTULO 5.. SELECCIÓN DE LA MUESTRA. 43. a partir de la siguiente fórmula: ρ=. p. (ARc − ARv )2 cos2 (DEc ) + (DEc − DEv )2. (5.1). Donde AR es as ensión re ta, DE es de lina ión, y los subíndi es c y v se reeren a la estrella entral y la ve ina respe tivamente. Como nos estamos moviendo sobre una esfera para ha er estos ál ulos, es ne esario multipli ar la as ensión re ta por el oseno de la de lina ión, pues entre más er a estemos a los polos más er a están las líneas de as ensión re ta (ver apítulo de introdu ión a la me áni a eleste). A partir de estos datos se reó una tabla que en la primera olumna tiene todos los HIP (Número úni o que identi a ada estrella en el atálogo prin ipal de Hippar os) de las estrellas atalogadas, en la segunda tiene el HIP de la estrella más er ana y en la ter era la distan ia entre estas dos estrellas en grados. Sabemos que no todas las estrellas son binarias. Por lo tanto, no todas las parejas de ve inas son estrellas binarias. Pero, ¾ ómo saber donde tomar el límite para separar los sistemas binarios de las demás estrellas?. Figura 5.1: Grá a que muestra uántas estrellas ve inas hay a una distan ia dada. Con estos datos se hizo una grá a de la distan ia ontra el número de estrellas (ver gura: 5.1). Esta grá a nos muestra que todas las estrellas siguen un patrón on forma de ampana. Esta ampana empieza en ero estrellas muy er anas, re e rápidamente hasta que llega a un máximo y luego de ae lentamente hasta llegar a ero..

(45) CAPÍTULO 5.. SELECCIÓN DE LA MUESTRA. 44. Sin embargo, si analizamos on uidado la grá a, se puede ver un omportamiento anormal de la distribu ión para las estrellas on separa ión muy pequeña (ver Figura: 5.2).. Figura 5.2: Grá a de la antidad de estrellas on una ve ina a una distan ia dada. Para ha er la grá a 5.2 del número de estrellas a una distan ia angular dada, los intervalos de onteo fueron más pequeños que para la grá a 5.1, enton es la antidad de estrellas es menor en ada intervalo pero hay más intervalos. En esta grá a se observa que para separa iones menores a 0,05 grados hay una gran antidad de estrellas. Lo que se esperaría es que la muestra disminuyera lentamente hasta llegar a ero. Este omportamiento anormal nos di e que estas estrellas tienen alguna parti ularidad. En esta grá a se puede ver que el omportamiento anormal en la distan ia angular es para estrellas que tengan separa ión menor o igual a 0.04 grados. En este punto se de idió mar ar la línea entre las posibles estrellas binarias y las demás estrellas. Esta distan ia es bastante amplia para sistemas binarios, pues 0,040 = 2, 4′ . Aunque se han observado sistemas binarios on una separa ión mayor a 2, 4′ se sabe que estos asos son muy difí iles de dete tar porque el movimiento orbital es muy pequeño. Al sele ionar solamente las estrellas on una distan ia angular menor o igual a 0.04 grados quedamos on 4233 parejas. Esto quiere de ir que solo el 7 % de la muestra.

(46) CAPÍTULO 5.. SELECCIÓN DE LA MUESTRA. 45. son posibles estrellas binarias. El segundo riterio que se utilizó para es oger las estrellas es el de re ipro idad. Este riterio lo que nos quiere de ir es que si una pareja pertene e a un sistema binario las parejas tienen que ser re ípro as, es de ir, esta estrella debe ser la ve ina próxima de su ve ina próxima. Se en ontraron 43 parejas que no umplían on este prin ipio, estas parejas también fueron des artadas. Las parejas que quedaron después de este paso eran todas re ípro as. Por esto mismo todas las parejas estaban repetidas. Enton es también se sa aron las parejas repetidas y quedaron 2095 parejas en la sele ión. Re ordemos que hasta ahora solo hemos tenido en uenta la distan ia angular, es de ir, la distan ia que se mide en un plano tangente a la esfera eleste. Esta distan ia por estar medida sobre un plano es la proye ión en dos dimensiones de la distan ia real entre las estrellas. Para poder tener una idea de la distan ia real entre las dos estrellas es ne esario tener en uenta el paralaje. El paralaje nos da una idea de ual es la distan ia de la Tierra a la estrella. Para que un par de estrellas pertenez an a un sistema binario deben tener un paralaje muy pare ido. Como se dis utió antes, el paralaje es un ángulo que se mide generalmente en segundos de ar o y no es negativo. La siguiente sele ión que se hizo fue a partir de las medi iones que el satélite Hipparos hizo de los paralajes. Lo que se hizo fue omparar el paralaje on la in ertidumbre de la medi ión, las estrellas que tuvieran mayor la in ertidumbre que el paralaje se sa aron de la sele ión. El paralaje es inversamente propor ional a la distan ia de la Tierra a la estrella. Así, entre más pequeño sea el paralaje, más lejos está la estrella y más difí il es identi ar un sistema binario. En teoría los paralajes negativos no existen; sin embargo, se hallaron parejas en las que una o ambas omponentes tienen paralaje negativo, al analizar los datos para todas las estrellas se puede observar que mu has parejas tienen paralajes negativos grandes o parejas en las que una omponente tiene paralaje negativo y la otra positivo y son muy pare idos. Esto quiere de ir que posiblemente sea un error de digita ión de los datos. Se sabe que en el atálogo de Hippar os hay estrellas que tienen paralajes negativos porque al estar tan lejos no era posible medirlas; por esto, y al omprobar que no apare en en la errata del atálogo se de idió eliminar todas las parejas que tuvieran por lo menos.