02- Probabilidades

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(1)Facultad de Ciencias Naturales, UNSa Área de Estadística Material de apoyo didáctico elaborado por Silvia Sühring. PROBABILIDADES La palabra probabilidad se utiliza comúnmente para sugerir que existe incertidumbre sobre lo que sucedió o sucederá. Estamos acostumbrados a hacer y a oír afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidades: el pronóstico del tiempo, de los resultados de un partido de fútbol, de los resultados de una elección, etc. Gran parte de la teoría sobre probabilidades se desarrolló a través de los intentos por resolver problemas de azar, como los juegos de cartas, y se remonta al siglo XVII, cuando los matemáticos Pascal y Fermat formularon los principios de la teoría de la probabilidad. En la estadística, esta teoría proporciona la base para la inferencia estadística. A través de sus principios podemos • hacer predicciones: por ejemplo, cuál es la probabilidad de que un alumno regularice Estadística?; cuál es la probabilidad de encontrar un nido de colibrí en un árbol de cierta especie?; cuál será el resultado de un cruzamiento entre dos genotipos para un determinado carácter? • tomar decisiones: Por ejemplo, decidir si hay que aplicar o no un método de desinfección de semillas para obtener mayor porcentaje de germinación a partir del cálculo la probabilidad de cometer un error al tomar esa decisión. Con el estudio de probabilidades podremos contestar a preguntas como: 1. ¿Qué queremos decir al afirmar que la probabilidad de un evento es por ejemplo 0,2? 2. ¿Cómo se determinan en la práctica los números que llamamos probabilidad? 3. ¿Cuáles son las reglas matemáticas que los rigen? 1. ¿Qué queremos decir al afirmar que la probabilidad de un evento es por ejemplo 0,2? Una probabilidad (P) siempre está asociada, o se refiere, al resultado de un experimento; es una medida de su incerteza. Si P = 0 : el evento es imposible, nunca puede ocurrir Si P = 1 : el evento es cierto, va a ocurrir en cada repetición de algún fenómeno aleatorio. Si P = 0,2 : el evento es muy poco posible, pero ocurrirá una vez cada tanto en una larga secuencia de experimentos Si P = 0,6 : El evento ocurrirá más frecuentemente de lo que no ocurrirá. En la estadística se denomina experimento aleatorio a cualquier proceso que puede repetirse bajo las mismas condiciones un sinnúmero de veces, y que genera un conjunto de datos, resultados u observaciones. Ese conjunto de datos dependerá del azar. El experimento aleatorio tiene entonces tres características: 1- reglas o condiciones bien definidas Probabilidades – 2016. 1.

(2) 2- repetibilidad bajo esas reglas 3- no se sabe cuál será el resultado en una de las repeticiones del experimento en particular, aunque se pueden enumerar de antemano los posibles resultados. Ejemplos: Lanzar una moneda al aire, registrar el número de machos en una camada de cerdos, colocar 20 semillas en una bandeja y registrar cuantas germinan. 2. ¿Cómo se determinan en la práctica los números que llamamos probabilidad? A cada resultado posible de un experimento aleatorio estará asociado un valor de probabilidad comprendido entre 0 y 1. Este número indica la posibilidad de que ese resultado se produzca. Existen varias definiciones posibles de probabilidad: clásica, frecuencial y personalista. Definición clásica Si un experimento puede producir n resultados mutuamente excluyentes, siendo todos igualmente probables y si f de esos resultados se consideran favorables, la probabilidad de que f aparezca un resultado favorable es p = . n Dos resultados son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos, o sea si la ocurrencia de uno impide la del otro. Ejemplo: Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire y observar de que lado cae, los resultados serán: cara o cruz. Como no puede caer cara y cruz a la vez, estos resultados son mutuamente excluyentes. La probabilidad de que el resultado sea cara será: nº resultados favorables (cara) / nº total de resultados posibles = 1/2 = 0.5 Las objeciones a esta definición son: que no se indica lo que se interpreta por igualmente probables y que muchas veces en la práctica los resultados no son igualmente probables. Cuando no se puede aplicar el concepto anterior, porque no se puede determinar o conocer de antemano el “número definido de casos igualmente probables”, se define la probabilidad en términos de frecuencia de ocurrencia. Definición frecuencial Si un experimento se realiza n veces con f éxitos, se supone que la frecuencia relativa tiende a un límite cuando n aumenta. La probabilidad de éxito es entonces: lim f/n n→∞ Por supuesto que no se puede llegar a este límite, por lo que se estima la probabilidad con un n grande, o simplemente se considera que nos acercamos al verdadero valor de probabilidad cuando a seguir aumentando el n no varía la probabilidad calculada. Ejemplo 1: Siembro n1 semillas de acacia, calculo p1 (porcentaje de semillas germinadas como f1/n1), luego siembro n2 semillas más y calculo p2 del total: (f1+f2)/(n1+n2); siembro n3 semillas más y calculo la p3 del total: (f1+f2+f3)/(n1+n2+n3); así sucesivamente. Cuando la probabilidad no Probabilidades – 2016. 2.

(3) cambie (se estabilice) aunque sigamos aumentando n, puedo decir que el porcentaje de germinación de las semillas de acacia corresponde al nº total de semillas germinadas/ nº total de semillas sembradas. En este caso p = 0,48 muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. fi 15 12 18 14 15 12 17 15 13 14 14. ni 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30. ∑fi 15 27 45 59 74 86 103 118 131 145 159. ∑ni 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330. probabilidad 0,5 0,45 0,5 0,4916 0,4933 0,4777 0,4904 0,4916 0,4851 0,4833 0,4818. 0, 51 0, 5 0, 49 0, 48 0, 47 0, 46 0, 45 0, 44 0, 43 0, 42 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Ejemplo 2: Al lanzar n veces una moneda al aire, cada resultado individual del experimento será impredecible. Sin embargo, los resultados promedios mostrarán una cierta regularidad, la probabilidad de que salga cara será en nº de veces que salió cara/ nº total de veces que arrojé la moneda ≈ aproximadamente 0,5. Cuando no puede aplicarse ni el primer ni el segundo concepto de probabilidad se utiliza la definición subjetiva que indica que la magnitud de la probabilidad depende de la confianza que tiene un individuo en particular de la veracidad que tiene una proposición o afirmación. Esta definición no tiene valor en el campo de la estadística. La probabilidad varía dependiendo de la persona que la calcule. No se basa en el concepto de repetibilidad, sino en la intuición, en evidencias indirectas, en conceptos fundamentales relacionados a la cuestión. Con este concepto se puede evaluar la probabilidad de un evento que sólo puede suceder una vez, por ejemplo, la probabilidad de que se encuentre la cura para el cáncer en los próximos 5 años. Vemos que el primer concepto clásico de probabilidad se basa en conocimientos previos de los resultados, no es necesario realizar el experimento para calcular las probabilidades deseadas la probabilidad se calcula a priori. En el concepto de la teoría frecuencial, la probabilidad se basa en la frecuencia relativa realmente observada luego de repetir el experimento un número grande de veces, está calculada a posteriori. Sin embargo ambos son objetivos, a diferencia del tercer concepto en el que la probabilidad se basa en la percepción del que la calcula, es subjetivo. Más definiciones importantes Dado un experimento aleatorio, se define al conjunto de todos los resultados posibles del mismo como ESPACIO MUESTRAL, y se lo indica con la letra S. Cada uno de los resultados posibles del experimento se denomina PUNTO MUESTRAL, y se los representa generalmente con letras o números.. Probabilidades – 2016. 3.

(4) ⇒. Ejemplo: Consideremos a todos los alumnos que cursan Estadística clasificados en mujeres y varones. El experimento aleatorio consiste en seleccionar un alumno de la lista. Los resultados posibles de esta selección serán: que sea varón (V) o que sea mujer (M). S = {V,M } Si el experimento hubiera sido elegir dos alumnos de la lista, los puntos muestrales que conforman el espacio muestral serían: S = {VV, VM, MV, MM } La P(S) = 1 El espacio muestral se representa mediante un rectángulo en el diagrama de Venn. Un EVENTO o SUCESO es un subconjunto del espacio muestral. Se utilizan las letras mayúsculas A, B, C, ... para denotar los eventos. En el último ejemplo podríamos definir el suceso A = {VM, MV} Los sucesos pueden ser nulos (cuando no contienen elementos) simples o elementales (cuando tienen un solo elemento) compuestos (cuando tienen más de un elemento) El diagrama de Venn es un esquema que representa al espacio muestral con un rectángulo y a los sucesos mediante una elipse dentro del espacio muestral.. S. A. B. Se dice que la unión de dos conjuntos conforma un nuevo conjunto que contiene a los puntos muestrales de A y de B. La unión de A y B se denota por A ∪ B. La probabilidad de A ∪ B, se denota P(A ∪ B) y se denomina probabilidad total. Se dice que la intersección de dos conjuntos conforma un nuevo conjunto que contiene a los puntos muestrales comunes a A y de B, es decir que pertenecen a A y a B simultáneamente. La intersección de A y B se denota por A ∩ B. La probabilidad de A ∩ B, P(A ∩ B) se denomina probabilidad conjunta.. S. S. A. A. B. A∪B. B A∩B. Se dice que dos sucesos, A y B son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir juntos, es decir si no tienen elementos en común. (A ∩ B) = ∅ Su probabilidad conjunta es cero: P(A ∩ B)=0. Probabilidades – 2016. 4.

(5) Ejemplo: los eventos A = {VV, VM } y B = {MV, MM } no tienen elementos en común, por lo tanto su unión es un conjunto vacío. Se dice que dos sucesos, A y B son no mutuamente excluyentes cuando tienen resultados en común o puntos muestrales en común. (A ∩ B) ≠ ∅ Su probabilidad conjunta es distinta de cero: P(A ∩ B) > 0 Ejemplo: los eventos A = {VV, MM} y B = {MV, VM, MM} tienen elementos en común: A ∩ B = {MM}. P(A ∩ B) = probabilidad del punto muestral MM. Se dice que dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es un suceso que contiene a todos los elementos del espacio muestral S. (A ∪ B) = S P(A ∪ B) = P(S) = 1 Ejemplo: Los eventos A = {VV, MM. } y B = {MV, VM }. son colectivamente exhaustivos ya. que: (A ∪ B) = {VV, VM, MV, MM } = S. Con frecuencia se desea conocer la probabilidad correspondiente a un suceso particular A, P(A), asociado con un experimento. Para ello debemos conocer el conjunto de puntos muestrales de S y el subconjunto de puntos muestrales de A. La probabilidad del suceso A se puede obtener: a) si cada elemento del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir, se calcula aplicando la definición clásica de probabilidades: haciendo el cociente entre el número de resultados favorables dividido por el número de resultados posibles: n(A)/ n(S). Ejemplo: si el experimento consiste en lanzar un dado, S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} cada elemento es igualmente probable. Si el suceso A = {2, 5, 6}, entonces la P(A) = 3/6. b) Si los puntos muestrales no tienen la misma probabilidad de ocurrir, se calcula la probabilidad de un evento A como la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales que incluye ese evento A. Ejemplo: Si el experimento consiste en seleccionar dos alumnos de una lista donde el 30% son mujeres y el resto varones, y si A es el subconjunto de resultados donde por lo menos un miembro del par es una mujer, entonces A estará formado por: A = { VM, MV, MM } En este caso cada elemento de A no es igualmente probable, por lo tanto debemos calcular la probabilidad de cada punto muestral incluido en A y sumarlos para obtener la probabilidad del suceso A: P(A) = P(VM) + P(MV) + P(MM) Los resultados posibles de un experimento pueden establecerse realizando el DIAGRAMA DEL ÁRBOL Los resultados se obtienen leyendo a lo largo de cada rama del árbol. Ejemplo 1: si el experimento consiste en extraer dos muestras sucesivas de alumnos, los que serán clasificados de acuerdo al sexo, el diagrama será:. Probabilidades – 2016. 5.

(6) 1º extracción. 2º extracción resultados posibles V .......................... VV. V M ......................... VM V .......................... MV M M ........................ MM Ejemplo 2: Si el experimento consiste en seleccionar un solo alumno, pero será clasificado de acuerdo a dos características, sexo y carrera (Agronomía, Biología o Recursos), el diagrama será: 1º característica 2º característica resultados posibles A .......................... VA V B ......................... VB R ......................... VR. M. A .......................... MA B ......................... MB R ......................... MR. Para calcular la probabilidad asociada a un evento en particular o realizar operaciones entre los eventos de un mismo espacio muestral (uniones, intersecciones y complementos), debemos conocer los TEOREMAS DE PROBABILIDAD. Teorema 1 - Si A es un evento, luego: 0 ≤ P(A) ≤ 1 para todo A P(A) = n(A)/ n(S) , donde n(A) puede variar de 0 a n Teorema 2 - Si S representa al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, luego la P(S) = nº de casos favorables / nº de casos posibles. P( S ) =. n( S ) =1 n( S ). Teorema 3 - Dados dos sucesos A y B, definidos en un mismo espacio muestral, tales que (A ∩ B) = ∅ , o sea mutuamente excluyentes, la unión de los sucesos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos pertenecientes a A o a B, o tanto a A como a B. La probabilidad de esa unión será: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Regla aditiva especial. Ejemplo: Si el experimento consiste en arrojar un dado y registrar qué número sale, el especio muestral definido (S), será: S = {1,2,3,4,5,6} Si. A = {1,2} y B = {4,5,6} entonces. Probabilidades – 2016. (A ∪ B) = {1,2,4,5,6} 6.

(7) P(A) = 2/6. P(B) = 3/6. P(A∪B) = 2/6 + 3/6 = 5/6. Generalizando, si A1, A2, A3, ... es una sucesión finita o infinita de sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles, la P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +... Teorema 4 - Dados dos sucesos A y B, definidos en el mismo espacio muestral, tales que (A ∩ B) ≠ ∅ , o sea no mutuamente excluyentes, la P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B) Ejemplo: Suceso A = {1,2,3,4,5 }. Regla aditiva general. (A ∩ B) = {4,5 }. Suceso B = {4,5,6 } Los elementos del nuevo subconjunto A ∪ B se obtienen (A ∪ B) = (A) + (B) - (A ∩ B) = {1,2,3,4,5} + {4,5,6} - {4,5} = {1,2,3,4,5,6} P(A) = 5/6. P(B) = 3/6. P(A∩B) = 2/6. P(A∪B) = 5/6 + 3/6 – 2/6 = 6/6. Generalizando para más de dos sucesos: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Teorema 5 - (de complementación) A cada suceso está asociado un suceso complementario, que incluye a todos los puntos muestrales de S que no están contenidos en A. Ese nuevo suceso se denomina complemento de A y se simboliza Ā. P ( A ) = 1 − P ( A). S. S. A. Sucueso A. A. Suceso complementario de A = A. En nuestro ejemplo si A = {1, 2, 3, 4, 5} Ā = {6} La probabilidad de A es : P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – P(6) = 1 – 1/6 = 0.83 Dado que la suma de los dos sucesos es S, y la P(S) = 1 Ejemplo: Se sabe que el 40% de los individuos de una población son machos. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar de esta población sea hembra? Rta: P(H) = 1 – P(M) = 1 – 0.40 = 0.60. Probabilidades – 2016. 7.

(8) Teorema 6 - Probabilidad condicional Dados dos sucesos A y B definidos en un mismo espacio muestral, la probabilidad condicional de A habiendo ocurrido B es igual a la probabilidad conjunta de A y B dividido la probabilidad de B. La probabilidad condicional se simboliza P(A/B) y se lee “probabilidad de A dado B”. Se denomina probabilidad condicional porque el evento B, el que ya ocurrió, actúa como condicionante modificando la probabilidad de ocurrencia de A. En este caso el conjunto de todos los resultados posibles constituye un subconjunto de S; la población de interés es reducida por un conjunto de condiciones o información adicional, no aplicables a la población total. P(A/B) = P (A ∩ B) P(B). ⇒. Ejemplo: Los alumnos de Estadística son clasificados de acuerdo al sexo y la carrera. Varón Mujer Total Agronomía 30 26 56 Biología 10 15 25 Recursos 15 4 19 Total 55 45 100 La probabilidad de ser de Agronomía dado que es varón (P(A/V), sería la probabilidad de ser de agronomía pero no entre todos los alumnos sino entre el grupo de varones. P(A/V) = nº(A ∩ V) / nº(V) = 30 / 55 = 0.54 P(A/V) = P (A ∩ V) / P(V) = 0.30 / 0.55 = 0.54 Si: P(A/B) = P (A ∩ B) ⇒ P(A ∩ B) = P(B) × P(A/B) P(B) P(B/A) = P (A ∩ B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A) × P(B/A) P(A). y si:. Se deduce que: P(A ∩ B) = P(A) × P(B/A) = P(B) × P(A/B). Regla multiplicativa general. Esta regla puede enunciarse como teorema: Teorema 7 - Dados dos sucesos cualesquiera A y B, definidos en un mismo espacio muestral, la probabilidad de que A y B ocurran juntos es igual a la probabilidad de un suceso por la probabilidad condicional del otro = regla multiplicativa general.. Probabilidades – 2016. 8.

(9) Existen ejemplos en los que la probabilidad de un suceso A dado B es igual a la probabilidad de A, es decir que la probabilidad de A no está afectada por la ocurrencia de B. La P(A/B) = P(A). Estos sucesos A y B se dice que son independientes. También puede decirse que si dos sucesos son independientes: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Regla multiplicativa especial. Esta regla puede enunciarse como teorema: Teorema 8 - Dados dos sucesos A y B, definidos en un mismo espacio muestral, si son independientes entonces la probabilidad de que A y B ocurran juntos es igual a la probabilidad de un suceso por la probabilidad del otro = regla multiplicativa especial. Se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Por ejemplo la P(A/B) = P(A). Ejemplo: Pelaje Hembra Blanco 12 Negro 9 Total 21. Macho 8 6 14. Total 20 15 35. P(B/H) = 12 /21 = 0.57 P(B/M) = 8 / 14 = 0.57 P(B) = 20 / 35 = 0.57 P(B) = P(B/H) = P(B/M) ⇒ son independientes. Además, puedo calcular la probabilidad conjunta real y la que correspondería si los sucesos son independientes, si coinciden implica que los sucesos son independientes La probabilidad real P(B∩H) = 12/35 = 0,343 Si fueran independientes la P(B∩H) = P(B) . P(H) = (20/35).(21/35)= 0,343 (coinciden!) La independencia está muy relacionada con la forma en que se realiza el experimento, si selecciones o extracciones sucesivas se hacen con o sin reposición. Las extracciones sucesivas realizadas con reposición generan sucesos independientes. Las extracciones sucesivas realizadas sin reposición generan sucesos dependientes. Ejemplo: Se tienen en un bioterio 4 ratones enfermos (E) y 6 ratones sanos (S). a) Si se extraen al azar dos ratones, con reposición, cual es la probabilidad de obtener dos ratones enfermos? Respuesta: P(E y E) = P(E ∩ E) = (4/10) × (4/10) = 0.16 b) Y si la extracción se hace sin reposición? Respuesta: P(E y E) = P(E ∩ E) = (4/10) × (3/9) = 0.1333 Las reglas generales de multiplicación son útiles para resolver muchos problemas en las que el resultado final de un experimento depende de los resultados de varias etapas intermedias. Ejemplo: Veamos de nuevo el caso de los alumnos de Estadística. El espacio muestral está dividido de acuerdo a dos clasificaciones: sexo y carrera. La probabilidad de seleccionar un alumno varón puede calcularse como la suma de las probabilidades de los sucesos mutuamente excluyentes: (A y V), (B y V) y (R y V). Probabilidades – 2016. 9.

(10) Podríamos expresarlo: P(V) = P(V ∩ A) + P(V ∩ B) + P(V ∩ R) P(V) = P(A) × P( V/A) + P (B) × P(V/B) + P(R) × P(V/R) En forma general podemos enunciar el Teorema de la probabilidad total: Si los eventos B1, B2, ...,Bk constituyen una división del espacio muestral S, de tal forma que P(Bi) ≠ 0 para i= 1,2,...,k, entonces para cualquier evento A de k. k. i =1. i =1. P( A) = ∑ P( A ∩ Bi ) = ∑ P( Bi ) × P( A / Bi ). Podemos desarrollar un razonamiento similar para calcular una probabilidad condicional:. P( Br / A) =. P( Br ∩ A) P( Br ) × P( A / Br ) P( Br ) × P( A / Br ) = = P( A) ∑ P( Bi ∩ A) ∑ P( Bi) × P( A / Bi). De esta deducción surge un teorema: Teorema de Bayes Si los eventos B1, B2, ...,Bk constituyen una división del espacio muestral S, donde P(Bi) ≠ 0 para i = 1, 2, ...,k, entonces para cualquier evento A en S tal que la P(A) ≠ 0:. P ( Br / A ) =. P ( Br ) × P ( A / Br ) k. ∑ P( B ) × P( A / B ) i. i. i =1. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE PROBABILIDAD Ejemplo 1: Al analizar una muestra de sapos se registran dos características: sexo (M y F) y especie (J y K) de cada individuo. a) Si se selecciona al azar un animal de la muestra, defina en este caso el espacio muestral. Enuncie dos sucesos mutuamente excluyentes, dos sucesos que no sean mutuamente excluyentes. Solución: Espacio muestral: S = {MJ; MK; FJ; FK } Dos sucesos mutuamente excluyentes: A = {MJ; FK } y B = {FJ } Dos sucesos no mutuamente excluyentes: A = {MJ; MK; FJ} y B = {MJ; FK }. Probabilidades – 2016. 10.

(11) b) Si las características consideradas son independientes, y las proporciones encontradas de cada una fueron: machos 45%, especie J 30%; calcule la probabilidad de cada elemento del espacio muestral definido en a). Solución: al ser independientes los sucesos se puede aplicar la regla multiplicativa especial para calcular las probabilidades de cada punto muestral, ya que P(MJ), probabilidad de que un sapo sea macho y de la especie J, equivale a decir P(M ∩ J) P(MJ) = P(M)xP(J) = 0.45 x 0.30 = 0.135 P(MK) = P(M)xP(K) = 0.45 x 0.70 = 0.315 P(FJ) = P(F)xP(J) = 0.55 x 0.30 = 0.165 P(FK) = P(F)xP(K) = 0.55 x 0.70 = 0.385 Si calculamos bien cada probabilidad la suma debería dar 1 = P(S) P(S) = P(MJ)+P(MK)+P(FJ)+P(FK) = 0.135+0.315+0.165+0.385 = 1 Ejemplo 2: Se estudió la resistencia a la rabia en animales de un rodeo y se obtuvo la siguiente distribución: resistencia a la rabia machos hembras Alta 15 23 Baja 10 19 Si se selecciona al azar un animal: a) ¿Cuál es el espacio muestral definido? Solución: S = {MA; MB; HA; HB } b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga baja resistencia y sea macho? Solución: es una probabilidad conjunta en función del total de animales del rodeo. Utilizo la definición clásica, calculando la probabilidad como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles. P(B y M) = P (BM) = P(B ∩ M) = 10/(15+10+23+19) = 10/67= 0.149 c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alta resistencia a la rabia? Solución: Es una probabilidad marginal, también la calculo usando la definición clásica para este caso. P(A) = (15+23)/67 = 0.567 Ejemplo 3: En una parcela de observación se registraron 20 árboles de la especie A, 37 de la especie B y 25 de la C. Además, se determinó que la probabilidad de que un árbol presente líquenes es: 1/6, 1/2 y 1/5 respectivamente. Si se selecciona al azar un árbol de esta parcela: Nota: de este enunciado se extrae la siguiente información: En total hay 20 + 37 + 25 = 82 árboles P(A) = 20/(20+37+25) = 20/82= 0.24 P(B) = 37/82 = 0.45 P(C) = 25/82 = 0.31 P(L/A) = 1/6 = 0.17 P(L/B) = 1/2 = 0.5 P(L/C) = 1/5 = 0.20 Donde L: tiene líquenes y N: no tiene líquenes a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de la especie A? Solución: aplico el Teorema de complementación P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0.24 = 0.76 Probabilidades – 2016. 11.

(12) b) ¿Cuál es la probabilidad de que presente líquenes y sea de la especie B? Solución: aplico la regla multiplicativa general, ya que estos sucesos (el hecho de presentar o no líquenes y el ser de alguna especie) no son independientes. P(L ∩ B) = P(B). P(L/B) = 0.45 x 0.5 = 0.225 c) Cuál es la probabilidad de que presente líquenes? Solución: aplico el teorema de probabilidad total, probabilidad de presentar líquenes P(L) se puede obtener sumando las probabilidades conjuntas: P(L) = P(L ∩ A) + P(L ∩ B) + P(L ∩ C) = = (0.24 x 0.17) + (0.45 x 0.2) + (0.31 x 0.20) = = 0.041 + 0.225 + 0.062 = 0.328 d) Cuál es la probabilidad de que, si tenía líquenes, haya sido de la especie B? Solución: se debe calcular la probabilidad de ser de la especie B, pero no en el contexto de todos los árboles, sino en el de los árboles que cumplen la condición de tener líquenes. Es decir que es una probabilidad condicional. La condición que se cumplió es “si tenía líquenes”. P(B/L) = P(B ∩ L) / P(L) = 0.225 / 0.328 = 0.686 e) Enuncie dos sucesos mutuamente excluyentes y enumere sus puntos muestrales respectivos. Calcule su probabilidad total. Solución: M = {AL } N = {CL; BL } Como son mutuamente excluyentes calculo su probabilidad total utilizando la regla aditiva especial: P (M ∪ N) = P(M) + P(N) La probabilidad de cada suceso se obtiene sumando las probabilidades de los puntos muestrales que lo componen. Entonces: P (M ∪ N) = P(M) + P(N) = P(AL) + [P(CL)+P(BL)] = 0.041 + [0.062 + 0.225] = 0.328 Ejemplo 4: Del total de alumnos que cursaron Cálculo Estadístico en el año 2000, 113 eran de Agronomía, 171 de Recursos Naturales y 136 de Biología. Si se seleccionan de la lista dos alumnos al azar: a) Enumere los puntos muestrales de S. Solución: S = {AA; AB; AR; BA; BB; BR; RA; RB; RR } b) Calcule la probabilidad de que uno sea de Agronomía si el muestro se realizó con reposición. Solución: Los sucesos que se generan son independientes, lo que ocurre en la primer selección no afecta la probabilidad de lo que ocurre en la segunda selección ya que el muestreo es con reposición. P(1 sea A) = { AB; BA; AR; RA } = P(AB)+P(BA)+P(AR)+P(RA) * P(AB) = P(A).P(B) = (113/420) . (171/420) = 0.1095. Probabilidades – 2016. 12.

(13) P(BA) = P(B).P(A) = (171/420) . (113/420) = 0.1095 P(AR) = P(A).P(R) = (113/420) . (136/420) = 0.0871 P(RA) = P(R).P(A) = (136/420) . (113/420) = 0.0871 *P(1A) = 0.1095+0.1095+0.0871+0.0871 = 0.3932 c) Calcule la probabilidad de que uno sea de Agronomía, si el muestro se realizó sin reposición. Solución: Los sucesos que se generan no son independientes, porque lo que ocurre en la primer selección afecta la probabilidad de lo que ocurra en la segunda selección ya que el muestreo es sin reposición. P(1A) = { AB; BA; AR; RA } = P(AB)+P(BA)+P(AR)+P(RA) * P(AB) = P(A).P(B) = (113/420) . (136/419) = 0.0873 P(BA) = P(B).P(A) = (136/420) . (113/419) = 0.0873 P(AR) = P(A).P(R) = (113/420) . (171/419) = 0.1098 P(RA) = P(R).P(A) = (171/420) . (113/419) = 0.1098 *P(1A) = 0.0873+0.0873+0.1098+0.1098= 0.3942. Probabilidades – 2016. 13.

(14)