5.5 Integración numérica

5.5

Integraci´

on num´

erica

M´

etodos de Newton-Cˆ

otes

De cara a calcular la integral definida:

∫

b

a

f (x) dx

se llaman M´

etodos de Newton-Cˆ

otes a los que se basan en integrar, en lugar de la funci´

on

dada f (x), un polinomio de interpolaci´

on que aproxime a f (x) en [a, b]. Se trata por

tanto de toda una familia general de m´

etodos, seg´

un el polinomio de interpolaci´

on que se

considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos para interpolar, etc.). Para

el caso de las interpolaciones lineal y cuadr´

atica, estos m´

etodos se denominan M´

etodo

de los Trapecios y M´

etodo de Simpson, respectivamente.

M´

etodo de los trapecios

Como se ha comentado, el M´

etodo de los trapecios es un M´

etodo de Newton-Cˆ

otes

basado en la interpolaci´

on lineal.

La idea esencial por tanto, de cara a integrar f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta

(b, f (b)), es aproximar f (x) por su polinomio de interpolaci´

on lineal en [a, b] (ver figura).

f (x)

≈ P

1

(x) =

x

− b

a

− b

f (a) +

x

− a

b

− a

f (b) ,

∀x ∈ [a, b]

y as´ı:

I =

∫

b a

f (x) dx

≃

∫

b a

P

1

(x) dx =

b

− a

2

(f (a) + f (b))

a b x fHxL a b x P1HxL

En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el ´

area del trapecio

que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos:

(a, f (a)) y (b, f (b)).

Si recordamos la expresi´

on del error de la interpolaci´

on lineal, suponiendo que f (x)

es continua y derivable dos veces en el intervalo [a, b]:

f (x) = P

1

(x) + ε(x)

ε(x) =

f

′′

_(ξ)

2

(x

− a)(x − b),

a

≤ ξ ≤ b

Tendremos entonces que:

I =

∫

b a

f (x)dx =

b

− a

2

(f (a) + f (b)) + E

donde el error de la integraci´

on num´

erica E ser´

a, obviamente:

E =

∫

b a

ε(x)dx =

f

′′

_(ξ)

2

∫

b a

(x

− a)(x − b) dx

Integrando en esta ´

ultima expresi´

on y denominando h = b

− a se concluye f´acilmente

en que:

E =

−

h

3

12

f

′′

_(ξ)

_{⇒ |E| ≤}





h

3

12

M

2





siendo M

2

el valor m´

aximo que alcance la derivada segunda de la funci´

on en el intervalo

dado [a, b].

M´

etodo de los Trapecios compuesto

Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el M´

etodo de los Trapecios Simple

suele ser muy impreciso. Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en

otros m´

as peque˜

nos y aplicar en cada uno de ellos el M´

etodo simple.

De esta manera, el M´

etodo de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en

tomar una partici´

on P =

{x

0

, x

1

, . . . , x

n

} de [a, b], (x

0

= a, x

n

= b), equiespaciada, es

decir: x

i+1

− x

i

= h,

∀i = 1, . . . , n. Tendremos as´ı que:

h =

b

− a

n

Teniendo en cuenta las propiedades b´

asicas de la integral definida:

∫

b a

f (x) dx =

∫

x1 x0

f (x)dx +

∫

x2 x1

f (x)dx + . . . +

∫

xn xn−1

f (x)dx

y aplicando a cada integral el M´

etodo simple:

∫

b a

f (x) dx

≈

h

2

(f (x

0

) + f (x

1

)) +

h

2

(f (x

1

) + f (x

2

)) + . . . +

h

2

(f (x

n−1

) + f (x

n

)) =

=

h

2

(f (x

0

) + 2 (f (x

1

) + f (x

2

) + . . . + f (x

n−1

)) + f (x

n

))

Tenemos por tanto la expresi´

on final para el M´

etodo de los Trapecios Generalizado:

∫

b a

f (x) dx

≈

h

2

(

f (a) + 2

n−1

∑

i=1

f (x

i

) + f (b)

)

En lo que respecta al error de integraci´

on, ser´

a evidentemente igual a la suma de los

errores de cada una de las aplicaciones del m´

etodo simple:

E = E

1

+ E

2

+ . . . + E

n

=

−

h

3

12

f

′′

_(ξ

1

)

−

h

3

12

f

′′

_(ξ

2

)

− . . . −

h

2

12

f

′′

_(ξ

n

)

si denominamos M

2

al m´

aximo de la funci´

on f

′′

(x) en [a, b] tendremos finalmente:

|E| ≤





h

3

12

nM

2



 =





(b

− a)

12

h

2

_M

2





Tomaremos habitualmente E definido no negativo, por lo que es frecuente escribir

directamente:

E

≤





h

3

12

nM

2



 =





(b

₁₂

− a)

h

2

M

2





obviando el valor absoluto para E.

Ejemplo:

Calcular el valor aproximado de la integral, ∫ 1

0

xdx (x + 1)(x + 2)

utilizando la regla de los trapecios compuesta con n = 8 subintervalos. Evaluar exactamente el valor de la integral y comp´arese con el valor aproximado obtenido.

De forma exacta: I = ∫ 1 0 x (x + 1)(x + 2)dx = x (x + 1)(x + 2)= A x + 1+ B x + 2 = A(x + 2) + B(x + 1) (x + 1)(x + 2) ⇒ x = A(x + 2) + B(x + 1) ⇒ { x =−1 ⇒ A = −1 x =−2 ⇒ B = 2 = ∫ 1 0 ( −1 x + 1 + 2 x + 2 )

dx = − log(x + 1) + 2 log(x + 2)|1₀= log(x + 2) 2 (x + 1)  1 0 = = log9 2 − log 4 = 0.1177830 M´etodo de los Trapecios, con n = 8.

Dividimos el intervalo [0, 1] en 8 subintervalos y calculamos los correspondientes valores del integrando:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

0. 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0

f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) f (x5) f (x6) f (x7) f (x8) 0. 0.05228 0.08888 0.11483 0.13333 0.14652 0.15584 0.162319 0.16666 Finalmente, aplicamos la f´ormula antes deducida:

I ≈ h

2[f (x0) + 2 (f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4) + f (x5) + f (x6) + f (x7)) + f (x8)] ≈ 0.125

2 [0 + 2(0.05228 + 0.0888 + 0.11483 + 0.1333 + 0.14652 + 0.15584 + 0.162319) + 0.1666] ≈ 0.117166

que da una buena aproximaci´on al resultado exacto. En la pr´oxima secci´on completaremos este ejercicio mediante el uso del M´etodo de Simpson y comprobaremos que proporciona una mejor a´un aproximaci´on.

Si realizamos el mismo c´alculo con un n´umero diferente de subintervalos, se obtienen los siguientes resultados: n In n = 1 0.08333 n = 2 0.108333 n = 3 0.113492 n = 4 0.11535 n = 5 0.11622 n = 10 0.11739 n = 100 0.1177791

M´

etodo de Simpson

El M´

etodo de Simpson es un m´

etodo de Newton-Cˆ

otes de segundo orden, es decir basado

en integrar un polinomio de interpolaci´

on de segundo grado, de la forma siguiente:

Dada la funci´

on f (x) en [a, b], tomaremos como tercer punto para la interpolaci´

on

el punto medio de dicho intervalo, es decir: x

m

=

a+b₂

, y denominaremos h =

b−a₂

a la

semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolaci´

on de grado 2 que

pasa por (a, f (a)), (x

m

, f (x

m

)) y (b, f (b)) ser´

a:

P

2

(x) = f (a) +

f (x

m

)

− f(a)

h

(x

− a) +

f (a) + f (b)

− 2f(x

m

)

2h

2

(x

− a)(x − x

m

)

No es dif´ıcil calcular la integral de P

2

(x) entre a y b, de manera que se obtiene:

∫

b a

f (x) dx

≈

∫

b a

P

2

(x) dx =

h

3

(f (a) + 4f (x

m

) + f (b))

f´

ormula del M´

etodo de Simpson (o M´

etodo de Simpson simple).

La evaluaci´on del error de integraci´on da lugar a un curioso resultado.

Suponiendo que la funci´on f (x) es derivable al menos cuatro veces en el intervalo considerado, podemos desarrollar por la f´ormula de Taylor la funci´on f (x) en x = xmhasta tercer orden (resto

de Taylor de orden 4): f (x) = P3(x) + R4(x) = = f (xm) + f′(xm)(x− xm) + f′′(xm) 2 (x− xm) 2₊f′′′(xm) 3! (x− xm) 3_{+ R4(x)} con R4(x) =f (4)_(ξ) 4! (x− xm) 4

De esta manera tendremos:

f (a) = f (xm− h) = f(xm) + f′(xm)(−h) + f′′(xm) 2 (−h) 2₊f′′′(xm) 3! (−h) 3₊f(4)(ξ) 4! (−h) 4 f (b) = f (xm+ h) = f (xm) + f′(xm)h + f′′(xm) 2 h 2₊f′′′(xm) 3! h 3₊f(4)(ξ) 4! h 4

Con un breve c´alculo se concluye en la expresi´on (para la f´ormula del M´etodo de Simpson): h 3 (f (a) + 4f (xm) + f (b)) = h 3 ( 6f (xm) + f′′(xm)h2+ 1 12f (4)_(ξ)h4 ) = = 2hf (xm) + f′′(xm) 3 h 3₊ 1 36f (4)_(ξ)h5

Por otro lado, si integramos el desarrollo de Taylor tendremos (simplificando los resultados): ∫ b a f (x)dx = ∫ b a (P3(x) + R4(x)) dx = = ∫ b a ( f (xm) + f′(xm)(x− xm) + f′′(xm) 2 (x− xm) 2 +f ′′′_(x m) 3! (x− xm) 3 + R4(x) ) dx = = 2hf (xm) + f′′(xm) 3 h 3₊f(4)(ξ) 60 h 5

Finalmente el error de integraci´on no es m´as que (tomando nuevamente el error como definido positivo): E =    ∫ b a f (x)dx − h 3(f (a) + 4f (xm) + f (b))    de manera que: E =f (4)_(ξ) 60 h 5₋f (4)_(ξ) 36 h 5 =−1 90f (4)_{(ξ) h}5

Si denominamos M4 al m´aximo que alcance la derivada cuarta de la funci´on en el intervalo [a, b], tendremos finalmente:

E≤1 90h 5_M 4  

hemos demostrado por tanto que el error puede acotarse por el m´aximo de la derivada cuarta de la funci´on.

Una consecuencia inmediata de este resultado es que si tenemos que integrar un

polinomio de grado 3, la integraci´

on exacta por la regla de Barrow y la “aproximada”

por el M´

etodo de Simpson (independientemente de la anchura del intervalo) coinciden,

el error es exactamente cero.

Una explicaci´

on gr´

afica de este sorprendente resultado (no olvidemos que Simpson se

basa en integrar un polinomio de grado 2, diferente por tanto al integrando, polinomio

de grado 3), la observamos en la Figura 6.1.

a xm b

Figura 5.1:

Gr´afica de un polinomio de grado 3 en un intervalo [a, b] y del correspondiente polinomio de grado dos (en gris) que interpola los puntos de abscisa a, xmy b. Puede observarse

como el error de interpolaci´on (por defecto) entre a y xm es id´entico al error (por exceso) entre

xm y b.

M´

etodo de Simpson Compuesto

De manera completamente an´

aloga a lo expuesto para el M´

etodo de los Trapecios, es

posible generalizar (mejorando la precisi´

on) el M´

etodo de Simpson por medio de la

sub-divisi´

on del intervalo dado en otros m´

as reducidos. De esta forma si partimos el intervalo

[a, b] en n subintervalos de anchura h =

b−a_n

tendremos la partici´

on:

{x

0

, x

1

, . . . , x

n

}. De

cara a aplicar el M´

etodo de Simpson simple paso a paso observamos inmediatamente que

n debe ser un n´

umero par para conseguir que todo [a, b] quede incluido en la integraci´

on

num´

erica. Tendremos entonces:

∫

b a

f (x) dx =

∫

x2 a

f (x)dx +

∫

x4 x2

f (x)dx + . . . +

∫

xn xn−2

f (x)dx

y los puntos x

1

, x

3

, . . . , x

n−1

representar´

an el papel de “puntos medios” en cada una de

De forma expl´ıcita se obtiene:

∫

b

a

f (x) dx

≈

h

3

(f (a) + 4I + 2P + f (b))

donde I y P representan las sumas:

I =

n−1

∑

i=1, impares

f (x

i

) = f (x

1

) + f (x

3

) + . . . + f (x

n−1

)

P =

n−2

∑

i=2, pares

f (x

i

) = f (x

2

) + f (x

4

) + . . . + f (x

n−2

)

De cara a la estimaci´

on del error, en cada uno de los pasos deberemos considerar

E

≤





h

5

90

M

4





De esta forma, el error de integraci´

on en el M´

etodo compuesto vendr´

a dado por:

E

≤





h

5

90

(

M

₄1

+ M

₄2

+ ... + M

n 2 4

)

 ≤





h

₉₀

5

n

₂

M

4





donde se denota M

₄i

a los m´

aximos de la derivada cuarta en cada aplicaci´

on del m´

etodo

simple y M

4

al m´

aximo de la derivada cuarta en todo [a, b].

Concluimos por tanto en la expresi´

on:

E

≤





b

− a

180

h

4

_M

4





Ejemplo 1.

Calcular el valor aproximado de la integral

∫ 1 0

x dx (x + 1)(x + 2) utilizando la regla de Simpson compuesta con n = 8.

Recordemos la tabla de valores utilizadas en la secci´on anterior al realizar este ejercicio mediante el m´etodo de los trapecios:

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0. 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0 f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) f (x5) f (x6) f (x7) f (x8) 0. 0.05228 0.08888 0.11483 0.13333 0.14652 0.15584 0.162319 0.16666 de manera que I ≈ h 3[f (x0) + 4 (f (x1) + f (x3) + f (x5) + f (x7)) + 2 (f (x2) + f (x4) + f (x6)) + f (x8)] ≈ 0.125 3 [4(0.05228 + 0.11483 + 0.14652 + 0.162319) + 2(0.0888 + 0.1333 + 0.15584) + 0.1666] ≈ 0.117773

que al ser comparado con el valor exacto 0.1177830 y el obtenido por la regla de los trapecios 0.117166 nos permite concluir que este m´etodo es m´as preciso que el anterior.

Comparando de manera general los dos m´etodos tendremos:

n I(Trapecios) I(Simpson) n = 1 0.08333 n = 2 0.108333 0.116667 n = 3 0.113492 n = 4 0.11535 0.117689 n = 5 0.11622 n = 6 0.117763 n = 8 0.117776 n = 10 0.11739 0.11778 n = 100 0.1177791 0.117783

Ejemplo 2.

Teniendo en cuenta que no es conocida una primitiva de la funci´on f (x) = ex2_,

calc´ulese el valor de la integral definida ∫ 1

0 ex2dx con un error menor a 0.003.

La funci´on con la que debemos trabajar es ex2

. Aplicando la f´ormula de Simpson cometemos un error dado por

E≤(b − a)h 4 180M4



 , M4≥ f(4)(x) , ∀x ∈ [0, 1] Calcularemos las derivadas correspondientes:

f′(x) = 2xex2

f′′(x) = 2(1 + 2x2)ex2 f′′′(x) = 4(3x + 2x3)ex2 f(iv)(x) = 4(4x4+ 12x2+ 3)ex2

Se puede observar que f(iv)_{(x) es creciente en [0, 1] de modo que el m´aximo valor de dicha funci´on} coincide con el valor en x = 1, esto es, f(iv)_{(1) = 4e}1_{(4 + 12 + 3) < 4· 3 · 19 = 228, por lo que} consideraremos que M4≤ 228. Por ello,

E(N )≤(b− a) 5 180N4 228 = 19 15N4              E(1)≈ 1.2666 E(2)≈ 0.0791 E(3)≈ 0.0156 E(4)≈ 0.0049 E(5)≈ 0.0020 de modo que para que el n´umero de subintervalos sea par hemos de tomar

xi x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = 0. 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1. f (xi) f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) f (x5) f (x6) = 1. 1.02817 1.11752 1.28403 1.55962 2.0026 2.71828 Finalmente: I ≈ h 3 [f (x0) + 4 (f (x1) + f (x3) + f (x5)) + 2 (f (x2) + f (x4)) + f (x8)] ≈ 1/6 3 [1 + 4(1.02817 + 1.28403 + 2.0026) + 2(1.11752 + 1.55962) + 2.71828] ≈ 1.4628

Ejemplo 3.

Una cuerda vibra adoptando la forma, y = sen x

entre las abscisas x = 0 y x = 4 en un instante t0. Calc´ulese aproximadamente la longitud de la cuerda, utilizando un m´etodo num´erico con n = 8.

Dado que tenemos que calcular la longitud de la funci´on f (x) = sen x, entre x = 0 y x = 4, aplicaremos la f´ormula L = ∫ b a √ 1 + (f′(x))2_{dx =} ∫ 4 0 √ 1 + cos2_xdx

que nos proporciona la integral que debemos estimar num´ericamente mediante la regla de Simpson con n = 8 como propone el enunciado.

g(x) =√1 + cos2_x xi x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 = 0. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 g(xi) g(x0) g(x1) g(x2) g(x3) g(x4) g(x5) g(x6) g(x7) g(x8) = 1.41421 1.33047 1.13663 1.0025 1.08313 1.28134 1.40715 1.37002 1.19468 I ≈ h 3[g(x0) + 4 (g(x1) + g(x3) + g(x5) + g(x7)) + 2 (g(x2) + g(x4) + g(x6)) + g(x8)] ≈ 0.5 3 [1.41421 + 4(1.33047 + 1.0025 + 1.28134 + 1.37002) + 2(1.13663 + 1.08313 + 1.40715) + 1.19468] ≈ 4.96667

Es posible calcular de forma precisa, por otros m´etodos, este resultado, obteni´endose: 4.966615, por lo que deducimos que el M´etodo de Simpson proporciona un valor muy correcto en este caso.

Ejemplo 4.

Un agricultor desea conocer la superficie aproximada de un prado limitado por una carretera, dos caminos perpendiculares a ella y la ribera de un r´ıo, de manera que si colocamos

unos ejes cartesianos sobre la carretera (eje OX) y uno de los caminos (eje OY, abscisa x = 0), el segundo camino ser´a la recta vertical x = 2 (unidades en cientos de metros). Se toman varias medidas desde la carretera hasta la ribera, obteni´endose las siguientes coordenadas para los puntos de la ribera: (0, 1.5), (0.5, 1.8), (1, 2.1), (1.5, 1.75), (2, 1.3).

Calcular aproximadamente el ´area de dicho terreno utilizando las reglas de los trapecios y de Simpson. Determinar el ´area si extendemos el terreno hasta la abscisa x = 2.5 sabiendo que el r´ıo en tal caso pasa por el punto (2.5, 1.1).

En este caso desconocemos la funci´on de forma expl´ıcita, teniendo en cuenta tan solo los valores de la tabla que nos han sido facilitados. Se tiene:

xi x0 x1 x2 x3 x4

= 0. 0.5 1.0 1.5 2.0

f (xi) f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4)

= 1.5 1.8 2.1 1.75 1.3

de modo que usando el m´etodo de los trapecios podemos escribir

I1 ≈ h 2 [f (x0) + 2 (f (x1) + f (x2) + f (x3)) + f (x4)] ≈ 0.5 2 [1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75) + 1.3] ≈ 3.4333

mientras que si usamos el m´etodo de Simpson se llega a

I2 ≈ h 3 [f (x0) + 4 (f (x1) + f (x3)) + 2 (f (x2)) + f (x4)] ≈ 0.5 3 [1.5 + 4(1.8 + 1.75) + 2(2.1) + 1.3] ≈ 3.5333

Si se a˜nade un nuevo punto, la tabla queda dada por

xi x0 x1 x2 x3 x4 x5

= 0. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

f (xi) f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) f (x5)

= 1.5 1.8 2.1 1.75 1.3 1.1

Ahora la regla de los trapecios proporcionar´a:

I ≈ h

2 [f (x0) + 2 (f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4)) + f (x5)]

≈ 0.5

2 [1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75 + 1.3) + 1.1]≈ 4.125

mientras que si el m´etodo de Simpson no es aplicable de forma directa dado que estamos con-siderando un n´umero impar de subintervalos en este caso. Lo que podemos hacer es considerar la regla de Simpson para los 4 subintervalos primeros y estimar el quinto subintervalo mediante la regla de los trapecios. As´ı queda

I = I2+ I′= 3.5333 + 0.5