CALCULO
GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. 12-13
EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 1
1) Demostrar, aplicando el principio de inducción, las relaciones siguientes: a)
(
)(
)
6 1 2 1 ... 3 2 12 + 2 + 2 + +n2 = nn+ n+∀
n
∈
N
b) 2n ≤n!∀
n
≥
4
Solución: a) Paran
=
1
obtenemos 6 3 . 2 . 1 12 = ciertoSupongamos, por hipótesis de inducción, que es cierta la igualdad para
n
y debemos demostrarla paran
+
1
: 6 ) 3 2 )( 2 )( 1 ( ) 1 ( ... 2 12 + 2 + +n2 + n+ 2 = n+ n+ n+1
2+
2
2+
...
+
n
2+
(
n
+
1
)
2=
+ + +( +1)2 = 6 ) 1 2 )( 1 ( n n n n +[
+ + +]
= 6 ) 1 ( 6 ) 1 2 ( ) 1 (n n n n=
+
+
+
=
6
)
6
7
2
)(
1
(
n
n
2n
6 ) 3 2 )( 2 )( 1 (n+ n+ n+ b)Para
n
=
4
obtenemos 24 =16≤4!=24 ciertoSupongamos, por hipótesis de inducción, que es cierta la desigualdad para
n
y debemos demostrarla paran
+
1
:2
n+1≤
(
n
+
1
)!
2n+1 =2.2n ≤2.n! < (n+1).n!=(n+1)!
2) Hallar los números reales x que verifican:
a)
(
x−3)
2 ≥2 b)(
x+2)
2 <3 c)(
(
)(
)(
)
)
0
4
3
2
1
>
−
+
−
+
x
x
x
x
d)3
x
−
1
>
2
x
−
4
e) 1 1 1 2 + ≤ + x x Solución: a)(
x
−
3
)
2≥
2
⇔
x
−
3
≥
2
⇔
x
−
3
≥
2
óx
−
3
≤
−
2
⇔
⇔
x
≥
3
+
2
óx
≤
3
−
2
, es decir, son losb)
(
x
+
2
)
2<
3
⇔
x
+
2
<
3
⇔
−
3
<
x
+
2
<
3
⇔
−
3
−
2
<
x
<
3
−
2
, es decir, son los x∈(
−2− 3,−2+ 3)
c)
0
)
4
)(
3
(
)
2
)(
1
(
>
−
+
−
+
x
x
x
x
⇔
(x+1)(x−2)>0 y (x+3)(x−4)>0 ó (x+1)(x−2)<0 y (x+3)(x−4)<0 (x+1)(x−2)>0⇔
x
>
−
1
yx
>
2
óx
<
−
1
yx
<
2
⇔
x
>
2
óx
<
−
1
(x+3)(x−4)>0⇔
x
>
−
3
yx
>
4
óx
<
−
3
yx
<
4
⇔
x
>
4
óx
<
−
3
El numerador y el denominador son por tanto positivos⇔
x
>
4
óx
<
−
3
(x+1)(x−2)<0
⇔
−
1
<
x
<
2
; (x+3)(x−4)<0⇔
−
3
<
x
<
4
El numerador y el denominador son por tanto negativos⇔
−
1
<
x
<
2
Solución: son los x∈(−∞,−3)∪(−1,2)∪(4,+∞)
d)
3x
−
1
=
3
x
−
1
six
≥
1
/
3
ó1
−
3
x
six
≤
1
/
3
2
x
−
4
=2
x
−
4
six
≥
2
ó4
−
2
x
six
≤
2
Six
≤
1
/
3
,3
x
−
1
>
2
x
−
4
⇔
1
−
3
x
>
4
−
2
x
⇔
3
+
x
<
0
⇔
x
<
−
3
Si1
/
3
≤
x
≤
2
,3
x
−
1
>
2
x
−
4
⇔
3
x
−
1
>
4
−
2
x
⇔
5
x
>
5
⇔
x
>
1
⇔
1
<
x
≤
2
Six
≥
2
,3
x
−
1
>
2
x
−
4
⇔
3
x
−
1
>
2
x
−
4
⇔
x
>
−
3
⇔
x
≥
2
Solución: son los
x
∈
(
−
∞
,
−
3
) (
∪
1
,
+∞
)
e) 1 1 1 2 + ≤ + x x⇔
1 1 1 1 2 ≤ + + ≤ − x x⇔
−x2 −1≤ x+1≤ x2 +1 −x2 −1≤x+1⇔
x2 +x+2≥0⇔
0 4 7 2 1 2 ≥ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +x ( se verifica∀
x
) x+1≤ x2 +1⇔
x2 −x≥0⇔
x(x−1)≥0⇔
x
≥
1
óx
≤
0
Solución: son los
x
∈
(
−
∞
,
0
] [
∪
1
,
+∞
)
3) Hallar el dominio de las funciones siguientes: a) x x x x x f 2 5 ) ( 3 2 − − − = b)
g
(
x
)
=
x
2+
2
x
−
3
c) 1 9 ) ( 2 + + = x x sen x h d)⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
=
1
1
3
log
)
(
5 2 2x
x
x
x
m
Solución: a) ) 1 )( 2 ( 5 ) 2 ( 5 ) ( 2 + − − = − − − = x x x x x x x x x fDom
f
=
R
−
{
−
1
,
0
,
2
}
=
(
−∞
,
−
1
)
∪
(
−
1
,
0
)
∪
(
0
,
2
)
∪
(
2
,
+∞
)
b)Dom
g
=
{
x
∈
R
/
x
2+
2
x
−
3
≥
0
}
=
{
x
∈
R
/(
x
−
1
)(
x
+
3
)
≥
0
}
(x−1)(x+3)≥0⇔
x
≥
1
yx
≥
−
3
óx
≤
1
yx
≤
−
3
⇔
x
≥
1
óx
≤
−
3
Dom
g
=
(
−
∞
,
−
3
] [
∪
1
,
+∞
)
c)Dom
h
=
R
d)Dom
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
+
+
+
∈
=
1
1
3
/
5 2 2x
x
x
R
x
m
=⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
>
+
+
+
∈
1
1
3
/
2 2x
x
x
R
x
= ={
x
∈
R
/
x
2+
x
+
3
>
x
2+
1
}
=
{
x
∈
R
/
x
+
2
>
0
} (
=
−
2
,
+∞
)
4) Estudiar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos cosas:
a)
1
2
5
3
2
)
(
3 2 6+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
f
b) 4 3 51
)
cos(
)
(
2
)
(
x
x
x
sen
x
x
x
g
+
−
+
−
=
c)h
(
x
)
=
x
6tg
(
x
)
−
x
3cos(
x
)
d) x x x x sen x m − = (3)cos( ) ) ( Solución: a)(
)
1
2
5
3
2
)
(
3 2 6x
f
x
x
x
x
x
f
≠
+
+
−
+
−
=
−
y ≠−f(x) ninguna de las dos cosasb)
(
)
1
)
cos(
)
(
2
)
(
4 3 5x
g
x
x
x
sen
x
x
x
g
=
−
+
−
−
+
−
=
−
impar c)h
(
−
x
)
=
−
x
6tg
(
x
)
+
x
3cos(
x
)
=
−
h
(
x
)
impard) ( ) (3)cos( ) m(x) x x x x sen x m = + − − = − par
5) Se consideran las funciones
f
(
x
)
=
x
2−
x
g
(
x
)
=
e
−x h(x)=log(−x)a) Hallar f o f , goh , hog , f ogoh , f og y sus dominios
b) ¿Es f inyectiva en
R
? En caso negativo, restringir f , a partir de su grafica, a un dominio donde sí lo sea y hallar la función inversaf
−1 calculando su dominio.c) ¿alguna de las funciones f,g y
h
es acotada en su dominio? Calcular, si existen, el supremo, ínfimo, mínimo y máximo de cada una de estas funciones en el intervalo (0, 1]. Solución: a)(
f
o
f
)
(
x
)
=
f
(
f
(
x
))
=
f
(
x
2−
x
)
=
(
x
2−
x
)
2−
(
x
2−
x
)
=
x
4−
2
x
3+
x
∀x∈R(
)
x e x g x h g x h go ( )= ( ( ))= (log(− ))= −log(−x) =−1 ∀x<0(
h
o
g
)
(
x
)
=
h
(
g
(
x
))
=
h
(
e
−x)
=
log(
−
e
−x)
no existe(
)
x x x x x f x h g f x h g f ( ) (( )( )) 1 1 1 12 1 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = o o o ∀x<0(
f
o
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
))
=
f
(
e
−x)
=
(
e
−x)
2−
e
−x=
e
−2x−
e
−x ∀x∈Rb) f(x)= x(x−1) ; f(0)=0= f(1) por tanto f no es inyectiva en R
A partir de la gráfica se observa que f es estrictamente decreciente en
(
−
∞
,
0
.
5
]
y estrictamente creciente en[
0
.
5
,
+∞
)
. Así pues, f es inyectiva en cada uno de estos intervalos. Consideremosf
:
[
0
.
5
,
+∞
)
→
[
−
0
.
25
,
+∞
)
f
(
f
−1(
x
))
=
x
∀
x
∈
[
−
0
.
25
,
+∞
)
;[
f
−1(
x
)
]
2−
f
−1(
x
)
=
x
; t2 −t−x=0 siendot
=
f
−1(
x
)
; 2 4 1 2 1 x t = ± + La inversa es única; en este caso2 4 1 2 1 ) ( 1 x x f− = + + ;
Dom
f
−1=
[
−
0
.
25
,
+∞
)
; Imf
−1=
[
0
.
5
,
+∞
)
c) f no es acotada en R ya que no es acotada superiormente al ser Im
f
=
[
−
0
.
25
,
+∞
)
. g no es acotada en R ya que no es acotada superiormente al ser Im g =(
0
,
+∞
)
.Si
x
∈
(
0
,
1
]
,f
(
x
)
∈
[
−
0
.
25
,
0
]
= Im f ( ](
)
0
max
( ](
)
sup
1 , 0 1 , 0x
f
x
f
x x∈ ∈=
=
; ( ](
)
0
.
25
min
( ](
)
inf
1 , 0 1 , 0f
x
xf
x
x∈=
−
=
∈ Six
∈
(
0
,
1
]
,g
(
x
)
∈
[
e
−1,
1
)
= Im g ( ](
)
1
sup
1 , 0=
∈g
x
x , ( ](
)
max
1 , 0g
x
x∈ no existe ;
inf
( ](
)
min
(0,1](
)
1 1 , 0g
x
e
xg
x
x ∈ − ∈=
=
h
no está definida en(
0
,
1
]
; por tanto no tiene sentido calcular el supremo, ínfimo, ... ya que el conjunto imagen es el vacio.6) Calcular, empleando cuando se pueda infinitésimos equivalentes, los siguientes límites: a) lim 2( 2 ) a x a x sen − − si
x
→
a
, b) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 3 3 2 1 1 log ) lim( x x x six
→
∞
c))
(
1
)
cos(
)
(
lim
x
tg
x
x
sen
−
−
si 4π
→ x , d)(
)
( ) 1cos
lim
x
sen x six
→
0
e) x e 1/ 2 8 lim − + six
→
0
Solución: a) a a x a x a x a x a x sen a x a x a x 2 1 1 lim lim ) ( lim 2 2 2 2 = + = − − = − − → → →b) lim
(
2 3)
log 1 13 ⎟=lim(
2 + 3)
13 =1 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → ∞ → x x x x x x x x c) 2 2 ) cos( lim ) cos( ) ( 1 ) cos( ) ( lim ) ( 1 ) cos( ) ( lim 4 / 4 / 4 / = − =− − − = − − → → → x x x sen x x sen x tg x x sen x x x π π π d)(
x
)
sen xl
x→=
) ( / 1 0cos(
)
lim
;log
(
cos(
)
)
lim
cos(
)
1
lim
/
2
0
)
(
1
lim
log
2 0 0 0=
−
=
−
=
=
→ → →x
x
x
x
x
x
sen
l
x x x l=e0 =1 e) 4 0 2 8 2 8 lim 1/ 0 = + = + − → + x x e ; 0 2 8 2 8 lim 1/ 0 = ∞ + = + − → − x x e; no existe el límite en el cero.
a) x e x f − + = 1 1 1 1 ) ( b)
g
(
x
)
=
log(
x
2+
3
x
+
2
)
c)(
)
2 32
)
(
−
=
x
x
x
h
d)l
(
x
)
=
x
.
e
1/xutilizando, cuando corresponda, infinitésimos equivalentes y jerarquía de infinitos. Solución: a)
Dom
f
=
R
−
{}
1
Verticales : 0 1 1 ) ( lim 1 = + = +∞ →− e x f x ; 1 1 1 ) ( lim 1 = + = −∞ →+ e x f x No hay Horizontales: lim ( ) 2 1 1 1 ) ( lim 0 f x e x f x x→+∞ = + = = →−∞ ; 2 1 =y horizontal a los dos lados Oblicuas: No tiene (por tener una asíntota horizontal a los dos lados).
b)
Dom
g=
{
x
∈
R
/
x
2+
3
x
+
2
>
0
}
=
(
−
∞
,
−
2
) (
∪
−
1
,
+∞
)
Verticales: −=
(
−+
+
)
=
=
−∞
− → −→
(
)
log
lim
3
2
log(
0
)
lim
22
2
g
x
xx
x
x
x
=
−
2
asíntota vertical por la izquierda.+
=
(
++
+
)
=
=
−∞
− → −
→
(
)
log
lim
3
2
log(
0
)
lim
2 1 1x
x
x
g
x x
x
=
−
1
asíntota vertical por la derecha. Horizontales:
lim
g
(
x
)
log
(
lim
x
23
x
2
)
lim
g
(
x
)
x x
x→+∞
=
→+∞+
+
=
+∞
=
→−∞ No tiene asíntotas horizontalesOblicuas: y=ax+b ,
a
≠
0
(
)
x
x
g
x
x
x
x
x
g
a
x x x)
(
lim
0
2
3
log
lim
)
(
lim
2 −∞ → +∞ → +∞ →=
=
+
+
=
=
ya que six
→
+∞
log(x)<< xNo tiene asíntotas oblicuas
c)
Dom
h
=
R
−
{ }
2
Verticales: lim ( ) 0 8 ) ( lim 2 2 x h x h x x→ − + → + = +∞ =Horizontales: =+∞
+∞
→ ( )
lim h x
x , xlim→−∞h(x)=−∞ ; No tiene asíntotas horizontales
Oblicuas: y=ax+b ,
a
≠
0
x
x
h
x
x
x
x
h
a
x x x)
(
lim
1
)
2
(
lim
)
(
lim
2 2 −∞ → +∞ → +∞ →=
−
=
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−∞ → +∞ → +∞ →x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x x x 2 3 2 2 2 3)
2
(
lim
4
)
2
(
4
4
lim
)
2
(
lim
y= x+4 asíntota oblicua por los dos lados
d)
Dom
l
=
R
−
{ }
0
Verticales:lim
(
)
0
.
0
.
0
0
0=
=
=
−∞ → −l
x
e
x ;=
+∞=
∞
→ +(
)
0
.
0
.
lim
0e
x
l
x indeterminación +=
+=
→ →x
e
x
l
x x x1
/
lim
)
(
lim
/ 1 0 0+∞
=
+∞ →t
e
t tlim
, ya que si t = x →+∞ 1 et >>t
x
=
0
asíntota vertical por la derechaHorizontales:
=
+∞
=
+∞
+∞ →.
.
1
lim
1/x xx
e
;lim
→−∞.
=
−∞
.
1
=
−∞
/ 1 xx
x
e
; No tiene asíntotas horizontales.Oblicuas: y=ax+b ,
a
≠
0
x x l e x x l a x x x x ) ( lim 1 lim ) ( lim 1/ −∞ → +∞ → +∞ → = = = =[
]
(
)
[
l x x]
x x e x x x l b x x x x x − = − = = = − = −∞ → +∞ → +∞ → +∞ → 1 lim ( ) 1 . lim 1 lim ) ( lim 1/ ya que ex −1≈x
six
→
0
y =x+1 asíntota oblicua por los dos lados.8) Justificar que las siguientes funciones son continuas en su dominio y definirlas, cuando sea posible, en el resto de puntos para que sean continuas en toda la recta real.
a)
x
e
e
x
f
x x2
)
(
−−
=
b)4
16
)
(
2+
−
=
x
x
x
g
c) x xe
e
x
h
1/ / 11
1
)
(
−
+
=
d) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x sen x x x l 1 3 ) ( 2 e))
1
(
)
cos(
1
)
(
−
−
=
x
x
x
x
m
Solución:a)
Dom
f
=
R
−
{ }
0
; f es continua en su dominio por ser diferencia y cociente de continuas.lim 1 1 2 2 lim 2 1 lim 2 1 lim ) ( lim 0 0 2 0 0 0 = = = − = − = → → → → → x x x x x x x x x x x xe e x xe e x e e x f (ex −1≈x si
x
→
0
) Si definimos f(0)=1 f es continua en R b)Dom
g
=
R
−
{ }
−
4
g es continua en su dominio por ser racional (cociente de funciones polinómicas).
lim 4 8 4 ) 4 )( 4 ( lim ) ( lim 4 4 4 + = − =− − + = − → − → − → x x x x x g x x x Si definimos g(−4)=−8 g es continua en R c)
Dom
h
=
R
−
{ }
0
h
es continua en su dominio por ser suma, resta, cociente y composición de continuas.1
1
1
)
(
lim
0−
=
+
=
−−∞∞ → −e
e
x
h
x ;1
1
0
1
0
1
1
1
1
lim
)
(
lim
/ 1 / 1 0 0−
=
−
+
=
−
+
=
+ + → → x x x xe
e
x
h
h
presenta una discontinuidad esencial de salto finito en el punto 0; por tanto no es posible definirh
en dicho punto para que sea continua en R.d)
Dom
l
=
R
−
{ }
0
l
es continua en su dominio por ser suma, producto, cociente y composición de continuas.1 0 3 lim 2 0 ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → x sen x x
x por ser producto de una función con límite 0 por otra acotada.
Si definimos l(0)=0
l
es continua en R. e)Dom
m
=
R
−
{ }
0
,
1
m
es continua en su dominio por ser diferencia, producto y cociente de funciones continuas.0
)
1
(
2
lim
)
1
(
2
/
lim
)
1
(
)
cos(
1
lim
0 2 0 0−
=
−
=
−
=
−
→ → →x
x
x
x
x
x
x
x
x x x ;=
∞
−
=
−
−
→0
)
1
cos(
1
)
1
(
)
cos(
1
lim
1x
x
x
x
m
presenta una discontinuidad esencial en el punto 1; por tanto no es posible definirm
en dicho punto para que sea continua en R. Si definimos m(0)=0 sería continua enR
−
{}
1
. 9) Demostrar que la ecuación cos(x)=kx ,k
>
0
, tiene, al menos, una solución en el intervalo(
0
,
π
/
2
)
.Solución:
Tenemos que demostrar que la ecuación kx−cos(x)=0
(
k
>
0
)
tiene, al menos, una raíz en el intervalo(
0
,
π
/
2
)
. Sea f(x)=kx−cos(x)(
k
>
0
)
f es continua
∀
x
∈
R
; en particular lo es en[
0
,
π
/
2
]
; f(0)=−1<0 ;(
)
0 2 2 / =π
>π
k f .Aplicando el teorema de Bolzano se demuestra el resultado.
10)Decir, de las siguientes funciones, cuáles están acotadas superiormente e inferiormente, y las que tienen máximo y mínimo (sin utilizar derivadas).
a) 1 1 ) ( − = x x f en
[ ]
0,2 , b) 1 1 ) ( − = x x g en[ ]
2,3 c) 4 21
)
(
x
x
x
h
+
=
en todo R Solución:a) f no está acotada superiormente ni inferiormente en
[ ]
0,2 ya que =−∞− − → 1 1 lim 1 x x y =+∞ − + → 1 1 lim 1 x x . En consecuencia no existe [ ]
(
)
max
2 , 0f
x
x∈ y no existe xmin
∈[ ]0,2f
(
x
)
.b) ges continua en el intervalo cerrado
[ ]
2,3 ; por tanto es acotada superiormente e inferiormente en[ ]
2,3 y alcanza el máximo y el mínimo en dicho intervalo.c) 4 2 4 2
1
lim
0
1
lim
x
x
x
x
x x→+∞+
=
=
→−∞+
h
está acotada superiormente e inferiormente en R ya que es continua en todo punto y el límite en el infinito es un número real. Además como la función no toma valores negativos,h
(0) = 0 y el límite en el infinito es cero resulta que el conjunto imagen es un intervalo de la forma[
0
,
h
(
a
)
] [
=
0
,
h
(
−
a
)
]
. Por tanto tiene máximo(
h
(a
)
)
y mínimo (0).11) Estudiar la continuidad y derivabilidad en los puntos
x
=
0
yx
=
−
1
de la función:(
)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ − − − ∈ ≥ = 1 , 1 2 0 , 1 , 0 , ) ( ) ( 2 x x x x x x sen x fHallar la función derivada de f en los puntos donde exista. Solución:
f es continua en
x
=
0
⇔
lim ( ) lim ( ) (0) 0 0 f x x f x f x→ − = → + =lim
(
)
lim
20
0 0=
=
→ → −f
x
xx
x ; lim ( ) lim ( ) 0 0 0 = → = → + f x x sen x x ; f(0)=sen(0)=0f es continua en
x
=
−
1
⇔
lim ( ) lim ( ) ( 1) 1 1 − = = + − →− − → f x x f x f x lim ( ) lim 2 1 1 1 1 = − − = − → − → − f x x x x ;lim
(
)
lim
21
1 1=
→−=
− → +f
x
xx
x ; f(−1)=1f es continua en
x
=
0
y enx
=
−
1
; por tanto es continua en todos los reales. f es derivable enx
=
0
⇔
R h f h f f h ∈ − + = ∃ → ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ´( 0´(
0
)
lim
(
)
(
0
)
lim
0
2 0 0=
=
−
=
→ → − −h
h
h
f
h
f
f
h h ; 1 ) ( lim ) 0 ( ) ( lim ) 0 ´( 0 0 = = − = → → + + h h sen h f h f f h h f no es derivable enx
=
0
f es derivable enx
=
−
1
⇔
∃
R h f h f f h ∈ − − + − = − → ) 1 ( ) 1 ( lim ) 1 ´( 0´( 1 ) lim ( 1 ) ( 1) lim 2( 1 ) 1 1 lim 2 2 0 0 0 =− − = − − + − − = − − + − = − → → → − − h h h h h f h f f h h h
´( 1 ) lim ( 1 ) ( 1) lim
(
1)
1 lim 2 2 2 0 2 0 0 − = − = − + − = − − + − = − → → → + + h h h h h h f h f f h h h f es derivable enx
=
−
1
y f´(−1)=−2⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≤
−
−
∈
>
=
1
,
2
)
0
,
1
(
,
2
0
),
cos(
)
´(
x
x
x
x
x
x
f
12) Hallar la función derivada de las siguientes funciones:
a)
f
(
x
)
=
e
x b)⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
1
)
(
)
(
log
)
(
2x
tg
x
tg
x
g
c)
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ − = 0 , 0 , 1 ) ( 2 x x x e x j xd)
l(x)=(
3+2x)
log(3+2x)Solución: a) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ = − 0 , 0 , ) ( x e x e x f x x f es derivable en
x
=
0
⇔
∃
f
´(
0
−)
∈
R
,∃
f
´(
0
+)
∈
R
yf
´(
0
−)
=
f
´(
0
+)
´(
0
)
lim
(
)
(
0
)
lim
1
lim
1
0 0 0
−
=
−
=
−
=
−
=
→ − → → − −h
h
h
e
h
f
h
f
f
h h h h
´(
0
)
lim
(
)
(
0
)
lim
1
lim
1
0 0 0
=
=
−
=
−
=
→ → → + +h
h
h
e
h
f
h
f
f
h h h hPor tanto no existe f´(0)
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − > = − 0 , 0 , ) ´( x e x e x f x x b)
g
(
x
)
=
log
(
tg
2(
x
)
)
−
log
(
tg
(
x
)
+
1
)
;(
)
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
2
)
´(
2 2 2+
+
−
+
=
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
x
tg
x
g
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
1
)
(
1
)
(
2
)
(
1
)
´(
2x
tg
x
tg
x
tg
x
g
c)´(
0
)
lim
(
)
(
0
)
lim
0
0
2 0 0=
−
=
−
=
→ → − −h
h
h
j
h
j
j
h h
´(
0
)
lim
(
)
(
0
)
lim
1
lim
1
0 0 0
=
=
−
=
−
=
→ → → + +h
h
h
e
h
j
h
j
j
h h h hPor tanto no existe j´(0)
⎩
⎨
⎧
<
>
=
0
,
2
0
,
)
´(
x
x
x
e
x
j
xd) log l(x)=log(3+2x).log(3+2x)=
(
log(3+2x))
2x
x
x
l
x
l
2
3
2
).
2
3
log(
2
)
(
)
´(
+
+
=
;(
)
x x x x l x 2 3 4 ). 2 3 log( . 2 3 ) ´( log(3 2 ) + + + = +13) Sea
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
)
(
1
)
cos(
)
(
x
sen
x
arctg
x
f
a) Comprobar que la función derivada es una constante.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa
x
=
0
.
Solución: a)
(
)
(
)
(
+)
= − + − + + = 2 2 2 ) ( 1 ) cos( ) cos( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( cos 1 1 ) ´( x sen x x x sen x sen x sen x x f =(
+)
+ = − − − ) ( cos ) ( 1 ) ( cos ) ( ) ( 2 2 2 2 x x sen x x sen x sen(
)
2
1
1
)
(
2
1
)
(
2
)
(
2
1
)
(
=
−
+
+
−
=
+
−
−
x
sen
x
sen
x
sen
x
sen
b) y− f(0)= f´(0)(x−0) ; y x 2 1 4 − =π
14) Hallar la derivada de la función inversa de
f
(
x
)
=
x
2−
x
six
∈
[ ]
1
,
2
.Comprobar que se obtiene lo mismo utilizando el resultado correspondiente a la derivada de la función inversa.
Solución:
Si
x
∈
[ ]
1
,
2
f(x)= x(x−1) es estrictamente creciente (por tanto inyectiva) y[ ] [ ]
1
,
2
0
,
2
:
→
f
. La inversa es (ver ejercicio 5b): 2 4 1 2 1 ) ( 1 x x f − = + + ,x
∈
[ ]
0
,
2
x
x
x
f
4
1
1
4
1
2
4
2
1
)
)´(
(
1+
=
+
=
− ∀x∈(0,2)Utilizando el resultado correspondiente a la derivada de la función inversa, resulta:
(
)
x x x f x f f x f 4 1 1 1 4 1 1 1 1 ) ( 2 1 ) ( ´ 1 ) )´( ( 1 1 1 + = − + + = − = = − − −15) Demostrar que la ecuación −1−e−x =0
x x
tiene exactamente una raíz positiva y encontrar un intervalo (con extremos enteros consecutivos) que la contenga.
Solución: Sea e x x x x f( )= −1− − con x∈(0,∞) ; ´( )= 12 +e−x ≠0 x x f ∀x∈(0,∞)
Así pues, la ecuación f(x)=0 tiene, a lo sumo, una raíz positiva como consecuencia del teorema de Rolle.
f es continua en
[ ]
1
,
2
,f
(
1
)
=
−
e
−1<
0
,f
(
2
)
=
0
.
5
−
e
−2>
0
. Por tanto, aplicando Bolzano, podemos afirmar que en el intervalo( )
1
,
2
la ecuación f(x)=0 tiene, al menos, una raíz real.De todo lo anterior se deduce que la ecuación f(x)=0 tiene exactamente una raíz positiva y se encuentra en
( )
1
,
2
.16) a) Sea
x x
f( )= 1 , ¿Existe c ∈
(
−
1
,
1
)
tal que2 ) 1 ( ) 1 ( ) ´(c = f − f − f ? Justificar si la respuesta anterior está en contradicción con el teorema del valor medio.
b) Demostrar que 1− <log < −1
a b a b b a si
0
<
a
<
b
Solución: a) ´( ) 12 x x f =−∀
x
≠
0
⇒
f´(x)<0 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 1 ( − f − = − − = f Por tanto la respuesta es no.f no es continua en
[
−
1
,
1
]
ni derivable en(
−
1
,
1
)
; así pues, la respuesta no está en contradicción con el teorema del valor medio ya que la función f no verifica las hipótesis de dicho teorema en[
−
1
,
1
]
.b) Sea f(x)=log(x),
x
∈
[ ]
a
,
b
; f es continua en[ ]
a
,
b
, derivable en( )
a
,
b
yx x f´( )= 1
Por el teorema del valor medio ∃c∈(a,b) tal que
a b a f b f c f − − = ( ) ( ) ) ´( , es decir, a b a b a b a b c − = − −
= log( ) log( ) log
1 ó equivalentemente c a b a b 1 ). ( log = −
0
<
c
<
b
⇒
b c 1 1 >⇒
b a b a b a b > − = − 1 log0
<
a
<
c
⇒
a c 1 1 <⇒
log < − = −1 a b a a b a b (nótese queb
−
a
>
0
)17) Calcular, usando la regla de L´ Hopital, los siguientes límites: a)
)
(
)
(
lim
x
sen
x
x
x
tg
−
−
(x→0) ; b)))
log(cos(
))
log(cos(
lim
bx
ax
(x→0) Solución: a)=
(
+
)
=
−
−
+
=
−
−
→ → →(
)
)
(
1
)
(
2
lim
)
cos(
1
1
)
(
1
lim
)
(
)
(
lim
2 0 2 0 0sen
x
x
tg
x
tg
x
x
tg
x
sen
x
x
x
tg
x x x(
)
2
)
cos(
)
(
1
2
lim
2 0=
+
→x
x
tg
x b)(
(
)
)
(
(
)
)
2 2 2 2 2 2 0 0 0 01
(
)
)
(
1
lim
)
(
)
(
lim
)
cos(
)
(
)
cos(
)
(
lim
)
cos(
log
)
cos(
log
lim
b
a
bx
tg
b
ax
tg
a
bx
btg
ax
atg
bx
bx
bsen
ax
ax
asen
bx
ax
x x x x−
+
=
+
−
=
−
−
=
−
−
=
→ → → →18) Dada la función f(x)=log(x+1)
a) Aproximar dicha función por una parábola en un entorno del cero.
b) Acotar el error que se comete al considerar el valor del polinomio anterior para calcular
). 1 . 1 log( Solución: a) 1 1 ( ( 2
)!
1
(
)
(
!
)
0
(
...
!
2
)
0
´´(
!
1
)
0
´(
)
0
(
)
(
+ ++
+
+
+
+
+
=
n n n nx
n
c
f
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
, c∈(0,x) ó c∈(x,0)=
T
n(
f
,
0
)(
x
)
+
R
n(
f
,
0
)(
x
)
2 2 ! 2 ) 0 ´´( ! 1 ) 0 ´( ) 0 ( ) )( 0 , ( ) (x T f x f f x f x f ≅ = + + f(x)=log(x+1)⇒
f(0)=0 1 1 ) ´( + = x x f⇒
f´(0)=1 ; 2 ) 1 ( 1 ) ´´( + − = x x f⇒
f´´(0)=−1 Por tanto: 2 2 1 ) 1 log(x+ ≈x− x b) (0.1) 0.095 2 1 1 . 0 ) 1 . 0 ( ) 1 1 . 0 log( ) 1 . 1 log( = + = f ≈ − 2 = 3 3 3 3 3 2 2(
0
.
1
)
)
1
(
3
1
)
1
.
0
(
6
)
1
(
2
)
1
.
0
(
!
3
)
´´´(
)
1
.
0
)(
0
,
(
)
1
.
0
(
)
1
.
0
)(
0
,
(
+
=
+
=
=
−
=
c
c
c
f
f
T
f
f
R
c
∈
(
0
,
0
.
1
)
⇒
c
+
1
>
1
⇒
(
c
+
1
)
3>
1
⇒
0
<
1 ) 1 ( 1 3 < + c Por tanto: 10 5 3 1 ) 1 . 0 ( 3 1 ) 1 . 0 )( 0 , ( 3 3 2 < = < − f R 4 10−19)
Utilizar un desarrollo de Mac-Laurin adecuado para calcular sen(1) con un error menor que 10−2. Solución: f(x)=sen(x)⇒
f(0)=0 ; f´(x)=cos(x)⇒
f´(0)=1 f´´(x)=−sen(x)⇒
f´´(0)=0 ; f´´´(x)=−cos(x)⇒
f´´´(0)=−1f
(4(
x
)
=
sen
(
x
)
⇒
f
(4(
0
)
=
0
;f
(5(
x
)
=
cos(
x
)
⇒
f
(5(
0
)
=
1
Resulta :f
(2n+1(
x
)
=
(
−
1
)
ncos(
x
)
,f
(2n+1(
0
)
=
(
−
1
)
nf
(2n+2(
x
)
=
(
−
1
)
n+1sen
(
x
)
2 1 1 2 ( 2 1 2)!
1
2
(
)
0
(
...
!
2
)
0
´´(
!
1
)
0
´(
)
0
(
)
)(
0
,
(
+ + +=
+
+
+
+
+
n n nx
n
f
x
f
x
f
f
x
f
T
= = 2 1 5 3)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
++
−
+
−
+
−
n nx
n
x
x
x
2 2 2 2 ( 1 2)!
2
2
(
)
(
)
)(
0
,
(
+ + +=
+
n n nx
n
c
f
x
f
R
=
2 2 1)!
2
2
(
)
(
)
1
(
+ ++
−
n nx
n
c
sen
, c∈(0,x) ó c∈(x,0)+
+
−
+
−
+
−
=
2 +1 5 3)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
)
(
n nx
n
x
x
x
x
sen
2 2 1)!
2
2
(
)
(
)
1
(
+ ++
−
n nx
n
c
sen
, c∈(0,x) ó c∈(x,0))!
2
2
(
)
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
1
!
3
1
1
)
1
(
1+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
+n
c
sen
n
sen
n n , c∈(0,1)10
2
)!
2
2
(
1
)!
2
2
(
)
(
)!
2
2
(
)
(
)
1
(
1 2≥
⇔
<
+
<
+
=
+
−
+ −n
n
n
c
sen
n
c
sen
n Sin
=
2
,2
n
+
1
=
5
y por tanto 120 101 120 1 6 1 1 ! 5 1 ! 3 1 1 ) 1 ( ≈ − + = − + = sen 120 101 ) 1 ( ≈20) Demostrar que
x
=
0
es un punto crítico de la funcióncos(
)
2
)
(
x
e
e
x
f
x x+
+
=
− y estudiar si es máximo, mínimo, punto de inflexión o ninguna de estas tres cosas.Solución:
(
)
( ) 2 1 ) ´(x e e sen xf = x − −x −
⇒
f´(0)=0 , es decir,x
=
0
es un punto crítico(
)
cos( ) 2 1 ) ´´(x e e x f = x+ −x −⇒
f´´(0)=0(
)
( ) 2 1 ) ´´´(x e e sen x f = x − −x +⇒
f´´´(0)=0(
)
cos( ) 2 1 ) ( 4 ( x e e x f = x + −x +⇒
f
(4(
0
)
=
2
Como la primera derivada que no se anula en
x
=
0
es de orden par y dicha derivada es positiva aplicando el criterio de la derivada enésima resulta que f(0)=2 es un mínimo relativo.21)
Hallar los extremos absolutos y relativos de la funciónf
(
x
)
=
2
x
3−
9
x
2+
12
x
+
15
six
∈
[ ]
0
,
3
.Solución:
Sabemos que una función continua en un intervalo cerrado alcanza el máximo y el mínimo (absoluto) en algún punto del intervalo. Los puntos críticos son en este caso los extremos del intervalo junto con los puntos interiores donde la derivada se anule o no exista.
f es derivable en todo punto por ser un polinomio.
´(
)
=
6
2−
18
+
12
=
0
x
x
x
f
⇔
x2 −3x+2=0⇔
x
=
1
,x
=
2
f(0)=15 ; f(1)=20 ; f(2)=19 ; f(3)=24 Por tanto : [ ](
)
(
3
)
24
max
3 , 0=
=
∈f
x
f
x ; [ ]15
)
0
(
)
(
min
3 , 0=
=
∈f
x
f
xComprobemos que f(1)=20 es un máximo relativo y f(2)=19 un mínimo relativo. f´´(x)=12x−18
⇒
f´´(1)<0 y f´´(2)>0
22)
Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio R.Solución:
Sean
x
e y la base y la altura del rectángulo. Por el teorema de Pitágoras se verifica la siguiente relación:x
2+
y
2=
(
2
R
)
2 ,es decir,y
=
4
R
2−
x
2 y por tanto:2 2
4
)
(
x
x
R
x
0 4 2 4 4 2 2 4 ) ´( 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − − + − = x R x R x R x x x R x A
⇔
x2 =2R2⇔
x
=
2
R
Se puede comprobar que A´´
( )
2R <0 , es decir, la función A alcanza un máximo en dicho punto. Las dimensiones sonx
=
2
R
,y
=
4
R
2−
2
R
2=
2
R
y sería un cuadrado. 23) Seaf
(
x
)
=
x
.
e
1/xa) Determinar el dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y hacer un esbozo de la grafica de f.
b) ¿Es f acotada inferiormente o superiormente en su dominio? ¿Es acotada inferiormente en (0,∞)?. Calcular, si existen, el ínfimo de f(x) en (0,∞) y el supremo de f(x)
en (−∞,0). Solución: a)
Dom
f =(
−
∞
,
0
) ( )
∪
0
,
∞
Asíntotas verticales: lim 0 / 1 lim / 1 0 0 = = = −∞ → − → −e e e x x x x⇒
lim
1/0
.
0
0
0=
=
− → x xxe
= = +∞ =+∞ → + → +e e e x x x x / 1 lim / 1 0 0 lim⇒
+=
∞
→0
.
lim
1/ 0 x xxe
indeterminación=
=
=
+∞
+∞ → → → + +t
e
x
e
xe
t t x x xx
lim
lim
1
/
lim
/ 1 0 / 1 0 ya que si
t
→
+∞
, e t t >> Por tantox
=
0
es una asíntota vertical por la derecha.Asíntotas horizontales:
=
+∞
=
+∞
+∞ →.
1
lim
1/x xxe
;lim
→−∞=
−∞
.
1
=
−∞
/ 1 x xxe
No tiene asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas : y=ax+b ,
a
≠
0
=lim ( ) =lim 1/ =1 ∞ → ∞ → x x x x e x fa ;
=
lim
[
(
)
−
]
=
lim
(
1/−
1
)
=
lim
(
1
/
)
=
1
∞ → ∞ → ∞ →
f
x
ax
x
e
x
x
b
x x x xy= x+1 asíntota oblicua por los dos lados. Crecimiento y decrecimiento: ´( ) 1/ 1/ ( 1/ 2) 1/ 1 1⎟=0 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − + = x e x xe e x f x x x
