Capítulo 1
Números naturales y números enteros
Empezamos aquí a estudiar los números naturales. Todos sabemos que al hablar de los números naturales nos estamos refiriendo a los números 0,1,2,· · ·. Sin embargo, para un estudio de algunas propiedades de los números naturales esta definición de números naturales es totalmente insuficiente. Necesitamos fijar una base como punto de arranque, a partir de la cual iremos desarrollando la teoría.La primera cuestión que nos planteamos es donde situar el punto de partida. Las posibilidades son varias. Por ejemplo, podemos empezar postulando la existencia de un conjunto (los números naturales) que satisface una serie de axiomas (los axiomas de Peano). A partir de estos axiomas podemos definir las operaciones básicas que todos conocemos (suma y producto) y el orden.
También es posible situar el punto de arranque en la teoría de conjuntos, y en el marco de esta teoría construir un conjunto (N) del cual se demuestra que satisface los axiomas de Peano. En este caso, los axiomas de Peano son una consecuencia de la construcción hecha deN, mientras que en el caso anterior estos axiomas constituyen el principio de la teoría. Una vez demostrados los axioms de Peano, se enlazacon el caso anterior.
Estos planteamientos, sin embargo, no nos interesan en este momento. Nosotros supondremos que tenemos un conjunto, representado por N, cuyos elementos son los números naturales, y que en este conjunto tenemos definidas dos operaciones (suma y producto), de las que conocemos sus propiedades básicas. Tenemos definido también un orden de los números naturales, y sabemos que los números natu-rales satisfacen el axioma de inducción. En la sección siguiente recordaremos todas estas propiedades y axiomas.
También supondremos la existencia de los números enteros (Z), los números racionales (Q), los números reales (R) y los números complejos (C) con su estructura algebraica y de orden (salvo enC).
1.1.
Principio de inducción y recurrencia
Como hemos dicho, comenzamos suponiendo que tenemos un conjunto N. Los elementos de este conjunto se llamannúmeros naturales.
Dados dos números naturales,myn, hay definidos dos nuevos números naturales, llamados respecti-vamente suma y producto demyn, y representados mediantem+nym·n(o simplementemn). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
i) Para cualesquieram, n, p∈N,(m+n) +p=m+ (n+p)(es decir, la suma es asociativa). ii) Para cualesquieram, n∈N,m+n=n+m(es decir, la suma es conmutativa).
iii) Existe en N un elemento, representado por 0 tal que para cada m ∈ N se tiene que m+ 0 = m (existencia de elemento neutro para la suma).
iv) Sim+n=m+pentoncesn=p(Propiedad cancelativa).
v) Para cualesquieram, n, p∈N,(m·n)·p=m·(n·p)(es decir, el producto es asociativo). vi) Para cualesquieram, n∈N,m·n=n·m(es decir, el producto es conmutativo).
vii) Existe en N un elemento, representado por 1 tal que para cada m ∈ N se tiene que m·1 = m (existencia de elemento neutro para el producto).
viii) Sim·n=m·p y m6= 0entonces n=p.
ix) Para cualesquiera m, n, p ∈ N, m·(n+p) = m·n+m·p (la suma es distributiva respecto al producto).
También enNhay definida una relación como sigue:
m≤n si existe p∈N tal quem+p=n que satisface las siguientes propiedades:
x)m≤mpara todom∈N.
xi) Sim≤nyn≤mentonces m=n. xii) Si m≤nyn≤pentoncesm≤p,
xiii) Para cualesquieram, n∈N,m≤nó n≤m. xiv)m≤nimplica quem+p≤n+ppara todop∈N. xv)m+p≤n+pimplica quem≤n.
xvi)m≤nimplica quem·p≤n·p.
xvii) Si m·p≤n·pyp6= 0entoncesm≤n.
Todo lo dicho anteriormente es igualmente válido para otros conjuntos, como Q+, R+, los múltiplos positivos de 1
2, etc. Lo que distingue a Nde estos conjuntos es el Principio de inducción.
Principio de inducción:
Si Aes un subconjunto deNtal que: 0∈A
Sin∈Aentoncesn+ 1∈A EntoncesA=N.
Este principio es la base de muchas demostraciones en las que intervienen los números naturales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.1.1. Vamos a demostrar que para todon∈Nse verifica que 20+ 21+· · ·+ 2n= 2n+1−1
Para esto, consideramos el conjunto A cuyos elementos son los números naturales para los que se verifica la propiedad anterior, es decir,
A={n∈N: 20+· · ·+ 2n = 2n+1−1} Claramente se tiene que 0∈A, pues20= 20+1−1.
Supongamos ahora quen∈A, y veamos quen+ 1∈A, es decir, supongamos que20+ 21+· · ·+ 2n=
2n+1−1 y comprobemos que20+ 21+· · ·+ 2n+ 2n+1= 2n+2−1.
20+ 21+· · ·+ 2n+ 2n+1= (20+ 21+· · ·+ 2n) + 2n+1= 2n+1−1 + 2n+1= 2·2n+1−1 = 2n+2−1 Por el principio de inducción se tiene queA=N, es decir, la propiedad es cierta para todon∈N.
Una demostración basada en el principio de inducción es lo que se conoce como una demostración por inducción.
Si queremos demostrar por inducción queP(n)es cierto para todon∈N(dondeP(n)es una propiedad que hace referencia an), hemos de realizar dos pasos:
- Paso 1: Demostramos queP(0)es cierto.
- Paso 2: Demostramos que siP(n)es cierto, entonces también es ciertoP(n+ 1). La suposición de queP(n)es cierto es lo que se conoce comoHipótesis de inducción.
Si quisiéramos demostrar que P(n) es cierto para todon ≥k, el primer paso deberá ser demostrar queP(k)es cierto, mientras que el segundo no variaría.
Ejemplo 1.1.2. Demuestra que para todo n≥1se verifica que
1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1) 2 Hacemos esto por inducción:
Paso 1: Paran= 1 el resultado es trivialmente cierto.
Paso 2: La hipótesis de inducción es que1 + 2 +· · ·+n= n(n2+1). A partir de ella hemos de probar que1 + 2 +· · ·+n+ (n+ 1) = (n+1)(2n+2) (1 + 2 +· · ·+n) +n+ 1 = n(n+ 1) 2 +n+ 1 = n(n+ 1) 2 + 2(n+ 1) 2 = (n+ 1)(n+ 2) 2
El principio de inducción nos dice que siA es un subconjunto de Nque satisface las dos siguientes propiedades:
0∈A
n∈A=⇒n+ 1∈A
EntoncesA=N. Este axioma puede leerse de la forma siguiente:
SiA es un subconjunto deNque es distinto deN, entonces, o06∈A, o existen∈Ntal que n∈Ayn+ 16∈A.
Esta formulación del principio de inducción (equivalente a la vista anteriormente) nos permite de-mostrar una propiedad importante de los números naturales.
Teorema 1.1.1. [Principio de buena ordenación] SeaAun subconjunto deNdistinto del conjunto vacío. EntoncesA tiene mínimo.
Se dice quemes el mínimo deA sim∈Aym≤npara todon∈A. Demostración: SeaB el conjunto de las cotas inferiores de A, es decir
B={m∈N:m≤n para todon∈A} ClaramenteB6=N(pues sim∈A,m+ 16∈B).
También es cierto que0∈B (¿por qué?).
Por tanto, debe existirm∈Ntal quem∈B ym+ 16∈B
Por pertenecerm aB se tiene quem≤npara todon∈A. Queda entonces comprobar quem∈A. Ahora bien, supongamos quem6∈A, entonces, para cualquiern∈Ase tiene quem≤n(puesm∈B) y quem6=n(puesm6∈A), luegom+ 1≤npara todon∈A. Por tanto, tendríamos quem+ 1∈B, lo cual no es posible.
Deducimos por tanto quem∈A, como queríamos. ¥
Hasta ahora hemos usado el principio de inducción para demostrar propiedades referentes a los números naturales. Veamos ahora como definir funciones con dominio en N.
Definición 1. SeaX un conjunto. Una sucesión en X es una aplicaciónx:N→X. Si x:N→X es una sucesión, denotaremos normalmente al elementox(n)comoxn.
A la hora de definir una sucesión en X, podemos optar, bien por definir explícitamente el valor de xn para todon∈N, o bien, definir el valor dex0, y a partir dexn definir lo que valexn+1. El principio
de inducción nos asegura que de esta forma se define una funciónx:N→X (aunque formalizar esto es bastante engorroso, la idea consiste en considerarAel subconjunto de los números naturales npara los quexn está definido. Claramente,0∈Ay sin∈Aentoncesn+ 1∈A, luegoA=N).
Esta forma de definir sucesiones se llama recursiva, pues para obtener el valor de xn necesitamos el
valor de xn−1, que a su vez necesita el valor dexn−2, y así, hasta x0. Es decir, la sucesión recurre a la
propia sucesión para obtener un valor determinado. Ejemplo 1.1.3.
1. Dadoa∈R∗, definimos la sucesión x
n como sigue:
x0= 1 xn+1=a·xn
Es fácil comprobar que xn =an.
2. Definimos la sucesiónxn = 2n+1−1. En este caso hemos dado explícitamentexn para cadan∈N.
Definimos ahorayn como sigue:
y0= 1
yn+1=yn+ 2n+1
Que ha sido definida de forma recursiva.
En el ejemplo 1.1.1 se ha comprobado que xn=yn para todon∈N.
3. La sucesiónxn = 1 + 2 +· · ·+npuede ser definida recursivamente como:
x1= 1 xn+1=xn+n+ 1
También se podría comenzar conx0= 0.
En el ejemplo 1.1.2 se comprueba que xn =n(n2+1).
4. Podemos definirn! de forma recursiva: a) 0! = 1
b) (n+ 1)! = (n+ 1)·n! 5. Sea m∈N. Definimos la sucesión:
x0= 0 xn+1=xn+m
Es fácil comprobar quexn =m·n(hágase). Vemos entonces como definir el producto de números
naturales a partir de las suma.
Consideremos ahora la sucesión dada por
f0= 1 f1= 1 fn =fn−1+fn−2 Es fácil calcular los primeros términos de esta sucesión:
f2= 1 + 1 = 2;f3= 1 + 2 = 3; f4= 2 + 3 = 5;f5= 3 + 5 = 8
y así sucesivamente. Parece claro que está bien definido el valor defnpara cualquiern∈N. Sin embargo,
esta definición no se ajusta al método de recurrencia dado anteriormente (pues en este caso, para calcular un término es necesario recurrir a los dos términos anteriores, mientras que en el método dado anteri-ormente, únicamente necesitamos conocer el término anterior). Para subsanar este problema, veamos un nuevo principio de inducción.
Teorema 1.1.2. [Segundo principio de inducción]
SeaA un subconjunto deN. Supongamos que se verifica: 1. 0∈A.
2. Para cualquiern,{0,1· · ·n−1} ⊆A=⇒n∈A EntoncesA=N.
Formalmente, la primera condición no es necesaria, pues para n = 0 la segunda condición afirma ∅ ⊆ A =⇒0 ∈A, y puesto que la primera parte es siempre cierta (∅ ⊆A), la condición 2 implica que 0∈A. Sin embargo, en la práctica suele ser necesario comprobar que0∈A.
Notemos también que si la condición 1 se cambia por una de la forma 0,1,· · · , k ∈ A, la tesis del teorema sigue siendo cierta.
Demostración: Supongamos que A 6= N. Entonces el conjunto B = N\A es distinto del conjunto vacío. Por tanto, por el principio de buena ordenación tenemos queB tiene un mínimo. Sea esten0. Esto implica que{0,1,· · ·, n0−1} ⊆A(pues ninguno de sus elementos pertenece aB), luego por la condición 2 tenemos que n0∈A, lo que es imposible, puesn0∈B. Deducimos entonces que A=N ¥
Este segundo principio puede usarse, tanto para definir sucesiones como para probar propiedades de los números naturales.
Ejemplo 1.1.4. Sea xn la sucesión definida mediante
x0= 1 xn+1=
n
X
k=0 xk
Calculemos una fórmula general paraxn. Para esto, hallemos los primeros términos:
x0 = 1; x1 = x0 = 1; x2 = x0+x1 = 1 + 1 = 2; x3 = 1 + 1 + 2; x4 = 1 + 1 + 2 + 4 = 8; x5= 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16.
Parece ser quexn responde a la expresión
xn=
½
1 si n= 0 2n−1 si n≥1
Comprobémosla por inducción, utilizando el segundo principio Paso 1: El resultado es cierto paran= 0 yn= 1.
Paso 2: La hipótesis de inducción es x0= 1; x1= 1; · · · xn = 2n−1
A partir de esto tenemos quexn+1= 1 + 1 + 2 +· · ·+ 2n−1= 1 + (1 + 2 +· · ·+ 2n−1) = 1 + 2n−1 = 2n, como queríamos.
En esta demostración se ha sustituido(1 + 2 +· · ·+ 2n−1)por 2n−1, algo que podemos hacer como
vimos en el ejemplo 1.1.1
Podemos comprobar que realizar esta demostración usando el primer principio de inducción no es posible. Nuestra hipótesis de inducción sería quexn= 2n−1, y a partir de ella, tendríamos que demostrar
quexn+1= 2n. Sin embargo, lo único que podemos hacer es
xn+1=x0+x1+· · ·+xn−1+xn=x0+x1+· · ·+xn−1+ 2n−1
y puesto que nuestra hipótesis no nos dice nada del valor de xn−1, xn−2, etc., no podemos demostrar concluir quexn+1= 2n.
1.2.
Representación de números naturales. Sistemas de numeración
Comenzamos esta sección con un resultado de todos conocidos.
Teorema 1.2.1. [Algoritmo de la división] Seana, b∈N, conb6= 0. Entonces existen únicos elementos c, r∈Ntales que:
a=bc+r yr < b.
Obviamente, lo único que estamos haciendo es la división usual deaentreb.
Los númerosc yrse llaman respectivamente cociente y resto de la división deaentreb.
Demostración: Sea b6= 0. Demostremos, en primer lugar, la existencia dec yrpara cualquiera∈N. Esta demostración la haremos usando el primer principio de inducción.
Paraa= 0el resultado es cierto. Basta tomarc=r= 0.
Supongamos quea=bc0+r0 conr0< b. Entoncesa+ 1 =bc0+ (r0+ 1). Dado quer0< bse tiene que r0+ 1≤b. Pueden ocurrir dos cosas:
a)r+ 1< b. Entonces tomamosc=c0 yr=r0+ 1, y se tiene quea+ 1 =bc+ryr < b. b)r+ 1 =b. Tomamosc=c0+ 1yr= 0. Claramente,a+ 1 =bc+ryr < b.
Para ver la unicidad razonamos como sigue:
Supongamos quea=bc+r=bc0+r0 con r, r0< b. Entonces: - Si r=r0,bc=bc0 y al serb6= 0 deducimos quec=c0.
- Si r6=r0 podemos suponer r < r0, de donde se deduce que 0 < r0−r < bde donde0 < r0−r= b(c−c0) < b, y esto último no es posible, ya que b(c−c0) ≥ b, ya que al ser c−c0 6= 0 se tiene que c−c0≥1). ¥
Definición 2. Seana, b∈N. Se definen los números naturalesamódbyadivbcomo los únicos números naturales que satisfacen que
a=b·(adiv b) + (amódb); amódb < b
Es decir,amódbes el resto que resulta de dividiraentrebyadivbes el cociente de dividir aentre b.
Ejemplo 1.2.1. Se tiene que13 mód3 = 1y 13div3 = 4, pues13 = 3·4 + 1.
Sabemos que el conjunto de los números naturales es infinito. Sin embargo, para representar un número natural, empleamos únicamente los símbolos0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con estos símbolos, llamados dígitos, combinados de manera adecuada podemos representar todos los números naturales. Los números 0y1representan los elementos neutros para la suma y el producto. El resto de los números, representados por estos dígitos pueden obtenerse fácilmente mediante2 = 1 + 1,3 = 2 + 1, y así sucesivamente hasta 9 = 8 + 1. El número siguiente, es decir9 + 1 es representado, como todos sabemos como10.
En una representación de un número natural, el valor de cada uno de estos dígitos depende de la posición que ocupe. Así, en el número1343no representa lo mismo el dígito3 situado a la derecha que el dígito3 situado entre los dígitos1 y4. Analizando algo más el valor de cada uno de los dígitos, vemos que el valor del1 que se encuentra a la izquierda es103, el valor del 3que se encuentra inmediatamente a la derecha es 3·102, el valor del 4 es 4·10, mientras que el valor del 3 situado a la derecha es 3. El número representado mediante1343 es entonces la suma de todos estos resultados, es decir,1343 = 103+ 3·102+ 4·10 + 3.
El origen de la elección de10como base de la representación de los números naturales parece ser que se encuentra en el número de dedos que tenemos en las manos. Nos planteamos ahora qué ocurriría si en lugar de elegir como base a10eligieramos cualquier otro númerob. La respuesta viene en el siguiente teorema.
Teorema 1.2.2. Sean a, b∈Ncon a6= 0 yb ≥2. Entonces existen únicosm∈Ny a0, a1· · · , am ∈N
am6= 0.
a= Pm
k=0
akbk =ambm+· · ·+a1b+a0
ai< b.
Demostración:Haremos la demostración de existencia por inducción ena, usando el segundo principio de inducción. La unicidad se deja como ejercicio.
El paso inicial consiste en este caso en probarlo paraa= 1,2,· · · , b−1. En estos casos basta tomar m= 0ya0=a.
Sea ahoraa∈N, cona≥b. La hipótesis de inducción nos garantiza, para cualquierc < a,c6= 0, que se satisface la tesis del teorema.
Por el teorema 1.2.1 existenc, rtales quea=bc+ryr < b. Además, por sera≥btenemos quec6= 0, y al serb≥2se tiene quec < a. Le aplicamos a este númeroc la hipótesis de inducción y obtenemos la existencia de un númerok∈Ny números c0,· · · , ck tales queck 6= 0,c=ckbk+· · ·+c1b+c0yci< b.
Tomamos ahoram=k+ 1,a0=ryai=ci−1 para1≤i≤my se tiene que:
a=bc+r=b(ckbk+· · ·c1b+c0) +r=ckbk+1+· · ·+c1b2+c0b+r=ambm+· · ·+a1b+a0
Además,am=ck6= 0,a0=r < b yai+1=ci< b. ¥
Ejemplo 1.2.2. Tomemos, por ejemplo,b= 5y hallemos los distintos números que nos aparecen en el teorema para diferentes valores de a.
a= 3. En este caso, al ser a < btomamos m= 0 y a0=a.
a= 17. Dividimos 17entre5;17 = 5·3 + 2, luegoa0=r= 2y el resto de los números los hallamos de los obtenidos parac= 3. Aquí m= 0 + 1y a1= 3. Fácilmente se comprueba que17 = 3·5 + 2. a = 89. Dividimos nuevamente entre 5, y obtenemos 89 = 17·5 + 4. Por tanto a0 = 4 y el resto lo
obtenemos a partir de lo hallado para17. Por tanto,k= 1 + 1 = 2,a1=c0= 2 ya2=c1= 3. Se observa como89 = 3·52+ 2·5 + 4.
a = 441. Se tiene que 446 = 5·89 + 1, luego a0 = 1, m = 2 + 1 = 3, a1 =c0 = 4, a2 =c1 = 2 y a3=c2= 3. Ahora se ve como 446 = 3·53+ 2·52+ 4·5 + 1.
Definición 3. Seana, b∈Nconb≥2. Elegimos b símbolos que se corresponden con los números desde 0 hastab−1, e identificamos estos números con sus símbolos. Supongamos quea=ambm+· · ·+a1b+a0
con ai < b. Diremos entonces que amam−1· · ·a1a0 es una representación del número a en base b, y escribiremos
a= (amam−1· · ·a1a0)b
Observaciones:
1. Cada uno de los símbolos que aparecen en la representación de un número se denomina cifra. 2. Sia= (am· · ·a1a0)b, podemos añadir ceros a la izquierda y obtenemos también una representación
dea. Normalmente, elegiremos como representación deaaquella para la que la cifra de la izquierda sea distinta de cero (si esto es posible).
3. Sia= (am· · ·a1a0)b yam6= 0, diremos que el númeroatienem+ 1cifras en baseb.
4. A la hora de especificar la base lo haremos en base decimal. Si la expresáramos en base b nos quedaría siempre10.
5. Cuando no se especifique la base en que está expresado un número supondremos que está en base decimal, salvo que el contexto deje suficientemente claro la base en que estamos trabajando. Ejemplo 1.2.3.
1. Si queremos expresar el número446en base5, necesitamos una expresión de este número en función de potencias de5. Sabemos que446 = 3·53+ 2·52+ 4·5 + 1, luego
446 = (3241)5
Si analizamos como se obtuvo esta expresión podemos notar que la cifra de la derecha es el resto de dividir446 entre5, mientras que el resto de las cifras resultan de la expresión de89 = 446div5 en base5, por tanto la segunda cifra por la derecha es el resto de dividir89entre5, y así sucesivamente. Por tanto, para expresar un número en base b, lo dividimos entreby tomamos el resto. El cociente de la división lo dividimos entre b y volvemos a tomar el resto, y así, hasta que el cociente sea menor queb. En el ejemplo anterior se procedería como sigue:
446 = 5·89 + 1 89 = 5·17 + 4 17 = 5·3 + 2
Tomando los restos y el último cociente tenemos las cifras que forman el número446 en base5. 2. Vamos a expresar el número (23143)6 en base 8. Para esto, podemos pasarlo a base decimal y
después pasarlo a base8.
(23143)6= 2·64+ 3·63+ 62+ 4·6 + 3 = 2·1296 + 3·216 + 36 + 4·6 + 3 = 3303
3303 = 8·412 + 7 412 = 8·51 + 4 51 = 8·6 + 3 Por tanto tenemos que(23143)6= 3303 = (6347)8
3. Vamos ahora a expresar el número(10101111011000001010100)2en base8y en base16. En primer lugar lo pasamos a base decimal.
(10101111011000001010100)2= 222+ 220+ 218+ 217+ 216+ 215+ 213+ 212+ 26+ 24+ 22= 5746772 Realizamos las divisiones por8 hasta obtener un cociente menor que8
5746772 = 8·718346 + 4 718346 = 8·89793 + 2 89703 = 8·11224 + 1 11224 = 8·1403 + 0 1403 = 8·175 + 3 175 = 8·21 + 7 21 = 8·2 + 5
y de aquí deducimos que(10101111011000001010100)2= (25730124)8
Para expresar un número en base16necesitamos16símbolos. Emplearemos los números0,1,· · ·,9 junto con las letras A, B, C, D, E, F. Estas últimas representan los números 10,11,12,13,14,15 respectivamente.
Realizamos a continuación las divisiones por 16.
5746772 = 16·359173 + 4 359173 = 16·22448 + 5 22448 = 16·1403 + 0 1403 = 16·87 + 11 87 = 16·5 + 7
luego(10101111011000001010100)2= (57B054)16
Ahora bien, dado que8 = 23, podíamos haber procedido como sigue:
(10101111011000001010100)2 = 222+ 220+ 218+ 217+ 216+ 215+ 213+ 212+ 26+ 24+ 22
= 2·221+ (22+ 1)218+ (22+ 2 + 1)215+ (2 + 1)212+ 26+ 2·23+ 22 = 2·87+ 5·86+ 7·85+ 3·84+ 82+ 2·8 + 4
y como16 = 24, podíamos haberlo hecho de forma análoga:
(10101111011000001010100)2 = 222+ 220+ 218+ 217+ 216+ 215+ 213+ 212+ 26+ 24+ 22 = (22+ 1)220+ (22+ 2 + 1)216+ (23+ 2 + 1)212+ (22+ 1)24+ 22 = 5·165+ 7·164+ 11·163+ 5·16 + 4
y de aquí es fácil obtener la representación del número dado en base8 y en base16.
Podemos apreciar como para pasar de base2 a base 8 = 23 podemos agrupar las cifras del número en base2de tres en tres (empezando por la derecha). Cada uno de estos tres grupos da lugar a una cifra en base8. De la misma forma, cada 4 cifras de un número en base2 da lugar a una cifra del mismo número en base16.
1 0 |{z} 2 1 0 1 | {z } 5 1 1 1 | {z } 7 0 1 1 | {z } 3 0 0 0 | {z } 0 0 0 1 | {z } 1 0 1 0 | {z } 2 1 0 0 | {z } 4 101 |{z} 5 0111 |{z} 7 1011 |{z} B 0000 |{z} 0 0101 |{z} 5 0100 |{z} 4
En general, para pasar un número de baseba basebkbasta con agrupar las cifras del número escrito
en baseben grupos dekcifras, empezando por la derecha. Cada uno de estos grupos determina una cifra en basebk.
Recíprocamente, para pasar un número de base bk a base b es suficiente expresar cada cifra del
número en baseb (completando con ceros a la izquierda para que nos de kcifras). 4. Vamos a encontrar una baseb donde se de la igualdad 21·23 = 1033.
Obviamente,b debe ser mayor o igual que4, pues en otro caso no podríamos tener el dígito3. Al estar escritos los números en baseb lo que tenemos es la igualdad
(2b+ 1)(2b+ 3) =b3+ 3b+ 3
Operando nos quedab3−4b2−5b= 0, que podemos comprobar que tiene tres raíces, que sonb=−1, b= 0 yb= 5. La solución es por tanto b= 5.
1.3.
Números enteros. Divisibilidad
Al igual que con los números naturales comenzamos recordando algunos hechos conocidos de los números enteros.
Los números enteros forman un conjuntoZque contiene aN. Dados dos números enteros,ayb, hay definidos dos nuevos números enteros, llamados respectivamente suma y producto deayb, y representados mediante a+bya·b(o simplementeab). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades:
i) Para cualesquieraa, b, c∈Z,(a+b) +c=a+ (b+c). ii) Para cualesquieraa, b∈Z,a+b=b+a.
iii) El elemento neutro para la suma enNes también un elemento neutro para la suma enZ.
iv) Para cadaa∈Zexiste un elemento en Z, representado por−atal que a+ (−a) = 0 (Existencia de opuesto para la suma).
v) Para cualesquieraa, b, c∈Z,(a·b)·c=a·(b·c). vi) Para cualesquieraa, b∈Z,a·b=b·a.
viii) Sia·b=a·c ya6= 0entoncesb=c.
ix) Para cualesquieraa, b, c∈Z,a·(b+c) =a·b+a·c.
Nótese que la propiedad iv) implica que la suma es cancelativa. También esta propiedad permite definir la resta o diferencia de dos números enteros. Dadosa, b∈Zse definea−bcomo el número a+ (−b).
También enZhay definida una relación como sigue: a≤b si b−a∈N que satisface las siguientes propiedades:
x)a≤apara todoa∈Z.
xi) Sia≤b yb≤aentoncesa=b. xii) Si a≤b yb≤centonces a≤c.
xiii) Para cualesquieraa, b∈Z, a≤b ob≤a. xiv)a≤bimplica quea+c≤b+c para todoc∈Z. xv)a≤byc≥0 implica quea·c≤b·c.
xvi)a≤byc≤0 implicab·c≤a·c. xvii)a·c≤b·c yc >0 entoncesa≤b. xviii)a·c≤b·cyc <0 implica queb≤a.
Por último, tenemos definida la aplicación valor absoluto| |:Z→Ncomo sigue: |a|=
½
a sia≥0 −a sia <0 y que satisface las propiedades:
xix)|a|= 0 si, y sólo si,a= 0. xx)|a·b|=|a| · |b|.
xxi)|a+b| ≤ |a|+|b|.
xxii)|a| ≤b si, y sólo si,−b≤a≤b.
El teorema 1.2.1 tiene ahora una versión para los números enteros.
Teorema 1.3.1. Seana, b∈Zconb6= 0. Entonces existen únicos números enterosc, rtales quea=bc+r y0≤r <|b|.
A los númeroscyrque nos da el teorema se les llama respectivamente cociente y resto de la división deaentreb.
Para demostrar el teorema, lo que hay que hacer es distinguir casos según sean a y b mayores o menores que0 y referirse al caso conocido (a, b∈ N). El siguiente ejemplo puede ayudar a analizar los diferentes casos. Ejemplo 1.3.1. a= 86,b= 15. 86 = 15·5 + 11 a= 86,b=−15. 86 = (−15)·(−5) + 11 a=−86,b= 15. −86 = 15·(−6) + 4 a=−86,b=−15. −86 = (−15)·(−6) + 4
Al igual que se hizo con los números naturales, podemos ahora, dadosa, b∈Z, conb6= 0definir los númerosadiv byamódbcomo el cociente y el resto de la división deaentrebrespectivamente. Nótese queamódb=amód −bpara cualquierb∈Z∗.
Pasamos ya a definir la relación de divisibilidad enZ.
Definición 4. Dados a, b∈Z, se dice queadivide a b, o que b es un múltiplo dea, y escribiremos a|b, si existe c∈Ztal queb=a·c.
Hagamos un repaso de las propiedades más importantes, y cuya demostración es casi inmediata. Propiedades:
1. Para cualquier a∈Zse verifica que1|aya|0. 2. Para cualquier a∈Z,a|a.
3. Sia|byb|aentoncesa=±b. 4. Sia|byb|centonces a|c. 5. Sia|bya|c entoncesa|(b+c).
6. Sia|bentonces a|bcpara cualquierc∈Z. 7. a|bsi, y sólo si,b móda= 0.
Según la definición que acabamos de dar, sia|bexiste un elementoc tal queb=a·c. Este elemento, salvo cuandoa= 0está totalmente determinado por ayb. Lo denotaremos entonces como b
a.
Aunque estamos usando una notación de fracción, en este contexto b
a sólo tiene sentido cuandoa|b,
en cuyo caso es un elemento deZ.
Definición 5. Seana, b dos números enteros. Se dice que des un máximo común divisor de ay bsi se satisfacen las dos siguientes condiciones:
d|ayd|b.
Sic|ayc|b entoncesc|d.
Nótese que la primera condición nos dice que d debe ser un divisor común de a y b. La segunda condición nos dice que de todos los divisores comunes es el "más grande".
Nótese también que sides un máximo común divisor deayb, también lo es−d, de ahí que hayamos hablado de un máximo común divisor y no de elmáximo común divisor. Además, si d es un máximo común divisor, no hay otro máximo común divisor aparte de −d. Dados a, b ∈ Z, denotaremos por mcd(a, b)al único máximo común divisor deaybque pertenece aN.
De la misma forma que se ha definido el máximo común divisor de dos números podría hacerse para tres o más.
La definición del mínimo común múltiplo es semejante a la que acabamos de dar.
Definición 6. Seana, bdos números enteros. Se dice quemes un máximo común divisor de ayb si se satisfacen las dos siguientes condiciones:
a|my b|m.
Sia|ny b|n entonces m|n.
Las mismas observaciones que se han hecho para el máximo común divisor valen ahora para el mínimo común múltiplo.
Algunas propiedades referentes al máximo común divisor son: Propiedades:
1. mcd(a, b) =mcd(a,−b) =mcd(−a, b) =mcd(−a,−b) =mcd(|a|,|b|). 2. mcd(a,0) =|a|ymcd(a,1) = 1
3. Sia|bentoncesmcd(a, b) =|a|.
4. mcd(a, mcd(b, c)) =mcd(mcd(a, b), c) =mcd(a, b, c). 5. mcd(ac, bc) =mcd(a, b)·c
6. Sid|ayd|b entoncesmcd¡a d,bd
¢
= mcdd(a,b).
Se deja como ejercicio enunciar las propiedades correspondientes al mínimo común múltiplo.
Hasta ahora hemos hablado del máximo común divisor, y hemos dado algunas propiedades. Estas propiedades podrían, en un principio, no tener sentido, pues el máximo común divisor de dos números podría no existir. Veremos a continuación que el máximo común divisor de dos números enteros existe, y daremos un método para calcularlo. Comenzamos con el siguiente lema.
Lema 1.3.1. Seana, b∈Z. Entonces, para cualquier q∈Z se tiene quemcd(a, b) =mcd(b, a−bq). Demostración: Sea d∈Z, y supongamos qued|ayd|b. Entoncesd|bq, luego d|b yd|(a−bq).
Por otra parte si suponemos qued|b yd|(a−bq)deducimos que d|bq, luegod|(a−bq+bq)y d|b, es decir,d|ayd|b. ¥
Nótese que lo que hemos demostrado es que para cualquierq ∈Z, los divisores comunes de ayb, y los divisores comunes debya−bq son los mismos, luego el máximo común divisor de ambas parejas de números será el mismo (si existe).
Corolario 1.3.1. Seana, b∈Z, con a6= 0. Entoncesmcd(a, b) =mcd(b, amódb). Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor.
Sean a, b∈ Z. Puesto que mcd(a, b) = mcd(|a|,|b|), podemos suponer que a, b ∈N. Comenzamos a efectuar divisiones: a = b·c1 + r1 b = r1·c2 + r2 r1 = r2·c3 + r3 . . . . ri−2 = ri−1·ci + ri . . . .
Obtenemos una sucesión de números naturalesr1, r2· · ·, que es decreciente. Deberá por tanto existir k∈Ntal querk6= 0 yrk+1= 0. Tenemos entonces:
a = b·c1 + r1 b = r1·c2 + r2 r1 = r2·c3 + r3 . . . . ri−2 = ri−1·ci + ri . . . . rk−2 = rk−1·ck + rk rk−1 = rk·ck+1+ 0
Por el corolario anterior tenemos que los divisores comunes deaybcoinciden con los divisores comunes deri yri+1, para cualquieri≤k. Como el máximo común divisor derk y0existe, y valerk, deducimos
quemcd(a, b) =rk (el último resto no nulo).
Con esto es posible diseñar un algoritmo que calcule el máximo común divisor de dos números enteros ayb. Algoritmo EUCLIDES(a, b) Entrada:a, b∈Z Salida:d=mcd(a, b) (a, b) := (|a|,|b|) Mientras b6= 0 (a, b) := (b, amódb)
Devuelvea
Ejemplo 1.3.2. Vamos a calcular el máximo común divisor de 48 y 30. Al ser a y b positivos, no es necesario ejecutar la primera sentencia.
(a, b) = (48,30) Al serb= 306= 0hacemos (a, b) = (30,18) Comob= 186= 0hacemos (a, b) = (18,12) Dado queb= 126= 0hacemos (a, b) = (12,6) Puesto queb= 66= 0hacemos (a, b) = (6,0) Y ahorab= 0
Por tanto, el máximo común divisor de48y 30esa= 6.
Teorema 1.3.2. [Identidad de Bezout] Seana, b ∈Z y d=mcd(a, b). Entonces existen u, v ∈Z tales qued=au+bv.
Demostración: Sabemos que para el cálculo del máximo común divisor deaybpodemos realizar una serie de divisiones r−1 = r0·c1 + r1 r0 = r1·c2 + r2 r1 = r2·c3 + r3 . . . . ri−2 = ri−1·ci + ri . . . . rk−2 = rk−1·ck + rk rk−1 = rk·ck+1+ 0
donder−1=ayr0=b. Vamos a demostrar que para cadai tal que−1≤i≤k existenui, vi ∈Z tales
queri=a·ui+b·vi.
Claramente, parai=−1ei= 0el resultado es cierto, pues
r−1=a·1 +b·0yr0=a·0 +b·1 (es decir,(u−1, v−1) = (1,0)y(u0, v0) = (0,1)). Supongamos que para todoj < iexistenuj yvj tales querj=a·uj+b·vj. Entonces:
ri = ri−2−ri−1·ci
= (a·ui−2+b·vi−2)−(a·ui−1+b·vi−1)·ci
= a·(ui−2−ui−1·ci) +b·(vi−2−vi−1·ci)
Basta entonces tomarui=ui−2−ui−1·ci yvi=vi−2−vi−1·ci ¥
Esta demostración además nos dice como encontrar los coeficientesuyv.
Ejemplo 1.3.3. Vamos a hallar el máximo común divisor de 1005y 450, y a expresarlo en función de estos dos números.
Realizamos las divisiones, y a la vez vamos expresando los restos en funciónde1005y 450. 1005 = 450·2 + 105 105 = 1005·1 + 450·(−2) 450 = 105·4 + 30 30 = 450−105·4 = 450−(1005·1 + 450·(−2))·4 = 1005·(−4) + 450·(1−(−2)·4) = 1005·(−4) + 450·9 105 = 30·3 + 15 15 = 105−30·3 = (1005·1 + 450·(−2))−(1005·(−4) + 450·9)·3 = 1005·(1−(−4)·3) + 450·(−2−9·3) = 1005·(13) + 450·(−29) 30 = 15·2 + 0
De donde deducimos quemcd(1005,450) = 15, y15 = 1005·13 + 450·(−29). Estos datos pueden ser ordenados como sigue:
a b r c u v 1 0 0 1 1005 450 105 2 1 -2 450 105 30 4 -4 9 105 30 15 3 13 -29 30 15 0
Donde los valores iniciales son las dos primeras filas, así como los dos primeros elementos de la tercera fila. Es claro como se obtiene la tercera y cuarta columnas a partir de las dos primeras. También es claro como un elemento de la primera columna coincide con el elemento de la segunda columna de la fila superior. De la misma forma se obtiene la segunda columna. Por último, para obtener un elemento de la columna quinta, se toma el que está en su misma fila y en la columna cuarta, se multiplica por el que está inmediatamente encima de él y el resultado se le resta al que está dos posiciones encima suya. De forma análoga se completa la sexta columna.
Veamos un algoritmo que recoge todos estos cálculos. Este algoritmo calcula, dadosa, b∈Zsu máximo común divisordy los coeficientesuyv tales qued=au+bv.
Puesto que en el cálculo deui es necesario tener presente los valores deui−1yui−2necesitaremos de una variable xdonde almacenar ui−2. De la misma forma necesitaremos una variable y para almacenar
vi−2. Algoritmo BEZOUT(a, b) Entrada:a, b∈Z Salida:(d, u, v):d=mcd(a, b); d=au+bv Si b= 0 Devuelve (a,1,0); Fin (x, u) := (1,0) (y, v) := (0,1) r:=amódb Mientras r6= 0 c:=adivb (x, u) := (u, x−u·c) (y, v) := (v, y−v·c) (a, b) := (b, r) r:=amódb Devuelve (b, u, v) Fin
En el caso de que a ó b valieran cero, en el resultado final podría devolver un valor para d negativo. Bastaría entonces multiplicard, uyv por−1.
Una consecuencia inmediata del teorema 1.3.2 es el siguiente corolario:
Corolario 1.3.2. Seana, b∈Z. Entonces existenu, v∈Ztales que1 =au+bvsi, y sólo si,mcd(a, b) = 1.
Demostración: El teorema de Bezout nos dice que simcd(a, b) = 1entonces existenu, v ∈Z satisfa-ciendo la igualdad deseada.
Recíprocamente, supongamos que tenemos u, v ∈ Z tales que 1 = au+bv. Sea ahora d un divisor común deayb. Entonces:
d|a =⇒ d|au d|b =⇒ d|bv
¾
=⇒ d|(au+bv) =⇒ d|1
De donde se deduce quemcd(a, b) = 1. ¥
Corolario 1.3.3. Seana, m, n∈Z. Entoncesmcd(a, mn) = 1si, y sólo si,mcd(a, m) = 1ymcd(a, n) = 1.
Demostración: Si mcd(a, mn) = 1existen u, v ∈Z tales que1 =au+mnv. Agrupando de manera apropiada tenemos que1 =au+m(nv)y1 =au+n(mv), luegomcd(a, m) =mcd(a, n) = 1.
Recíprocamente, supongamos que mcd(a, m) =mcd(a, n) = 1. Existen entonces um, vm, un, vn ∈ Z
tales que1 =aum+mvmy1 =aun+nvn, luego
1 =aum+mvm(aun+nvn) =a(um+mvmun) +mn(vmvn)
lo que nos dice quemcd(a, mn) = 1. ¥
Corolario 1.3.4. Seana, b, c∈Z. Sia|(bc)y mcd(a, b) = 1entonces a|c.
Demostración: Sabemos, por el corolario anterior que existenu, v∈Ztal queau+bv= 1, y existex tal quebc=ax. Entonces:
c=c(au+bv) =cau+cbv=cau+axv=a(cu+xv) de donde se deduce quec es múltiplo dea. ¥
Utilizaremos este corolario para demostrar que dos números cualesquiera tienen también mínimo común múltiplo.
Lema 1.3.2. Seana, b∈Z. Simcd(a, b) = 1entonces ab es un mínimo común múltiplo dea yb. Demostración: Claramenteabes múltiplo común deayb.
Supongamos ahora quea|nyb|n. Entoncesn=bc, luego a|bc, y por el corolario anteriora|c, lo que implica quec=ax. Por tanto,n=abx, de donde se deduce queab|n. ¥
Proposición 1.3.1. Seana, b∈Ny d=mcd(a, b). Entoncesmcm(a, b) =ab d.
Demostración: Seana0 =a
d yb0= bd. Entoncesmcd(a0, b0) = 1, luego mcm(a0, b0) =a0b0.
Se tiene entonces quemcm(a0d, b0d) =a0b0d, o lo que es lo mismo mcm(a, b) = ab
d
¥
Nótese quemcd(a, b)·mcm(a, b) =ab.
Ejemplo 1.3.4. Sabemos que mcd(4,6) = 2. Por tanto,mcm(4,6) = 24 2 = 12. Sabemos quemcd(1005,450) = 15. Entoncesmcm(1005,450) = 1005·30 = 30150.
1.4.
Ecuaciones diofánticas
Nos planteamos en esta sección resolver enZecuaciones de la forma ax+by=c
dondea, b, c∈Z. Fácilmente uno observa que estas ecuaciones no tienen siempre solución. Por ejemplo, la ecuación
8x+ 20y= 135
no puede tener solución, pues para cualesquieraxey números enteros, el miembro de la izquierda es un número par, luego no puede valer135. Dicho de otra forma, el miembro de la derecha es múltiplo de2, y el miembro de la izquierda no lo es.
Para tratar de generalizar este hecho, podemos verlo como que hemos encontrado un númerod(d= 2) que verifica qued|8,d|20, perod6 |135.
Si pensamos ahora, por ejemplo en la ecuación18x+ 48y= 100, ese razonamiento parad= 2no nos sirve, pues todos los coeficientes que intervienen son múltiplos de 2. Vemos, no obstante que para d= 3
podemos razonar como en el ejemplo anterior (el miembro de la izquierda es múltiplo de 3 y no así el miembro de la derecha).
Repetir este razonamiento a una ecuación general de la formaax+by=cnos lleva a probar con todos los divisores comunes deayb, pero dado que en el máximo común divisor deaybestán recogidos todos los divisores comunes deayb, nos quedamos únicamente con éste.
Dada la ecuación ax+by=c, sead=mcd(a, b). Hemos razonado que una condición necesaria para que tenga solución es queddivida ac.
La siguiente proposición nos asegura que esta condición es también suficiente. Proposición 1.4.1. Seana, b, c∈Z yd=mcd(a, b). Entonces la ecuación
ax+by=c tiene solución entera si, y sólo si,d|c
Demostración: La condición necesaria (ax+by=c tiene solución=⇒ d|c) es fácil de probar. Veamos la condición suficiente (nos garantiza la existencia de solución).
Supongamos qued|c. Seaz= c d
Por el teorema de Bezout, existenuyvtales qued=au+bv. Multiplicamos ambos miembros porz, y obtenemos que
c=dz= (au+bv)z=a(uz) +b(vz) luegox=uzey=vzes una solución de la ecuación. ¥
La demostración anterior no sólo nos dice cuando una ecuación de la formaax+by=ctiene solución sino que nos proporciona una forma de encontrar una.
Ejemplo 1.4.1. Vamos a encontrar, si es posible, una solución a la ecuación105x+ 465y= 195. Calculamos el máximo común divisor de105 y 465.
a b r c u v 1 0 0 1 105 465 105 0 465 105 45 4 105 45 15 2 30 15 0
Vemos quemcd(105,465) = 15, que divide a 195(pues195 = 15·13). Completamos entonces la tabla
a b r c u v 1 0 0 1 105 465 105 0 1 0 465 105 45 4 -4 1 105 45 15 2 9 -2 30 15 0
luego 15 = 105·9−465·2. Multiplicamos por13 y nos queda 195 = 105·117−465·26 Por tanto una solución esx= 117,y=−26.
Sabemos ya, dada una ecuación de la forma ax+by = c decidir si tiene o no solución, y en caso afirmativo, encontrar una. Sin embargo, cuando existe una solución a esta ecuación pueden encontrarse otras más. Así, por ejemplo, tenemos que
195 = 105·117−465·26 195 = 105·86−465·19 195 = 105·55−465·12 195 = 105·24−465·5 195 = 105·(−7) + 465·2 195 = 105·148−465·33
Proposición 1.4.2. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). Supongamos que x0, y0 es una solución de la ecuación ax+by=c. Entonces todas las soluciones de esta ecuación son:
x = x0 + k b d
y = y0 − k a d
k∈Z Demostración:Se tiene quea¡x0+kb
d ¢ +b¡y0−ka d ¢ =ax0+akb d+by0−bkad =ax0+by0+akbd−bkad =
c, luego todas las parejas(x, y)de la forma dada en el enunciado son soluciones. Veamos que toda solución adopta esa forma. Seana0 =a
d yb0= bd.
Six,yes una solución de la ecuación, entoncesax0+by0=ax+by, de dondea(x−x0) +b(y−y0) = 0, es decir,a(x−x0) =b(y0−y), lo que implica quea0(x−x0) =b0(y0−y).
Se tiene entonces queb0|a0(x−x0), y como mcd(a0, b0) = 1 (¿por qué?) deducimos queb0|(x−x0), o sea, existek∈Ztal quex−x0=kb0, de donde
x=x0+kb0=x0+kb d
b0(y0−y) =a0(x−x0) =a0kb0, luegoy0−y=ka0, o, lo que es lo mismo,y=y0−ka0 ¥
Ejemplo 1.4.2. Una solución de la ecuación 105x+ 465y = 195 es x0 = 117 e y0 =−26. Todas las soluciones de esta ecuación son entonces
x= 117 + 31k
y=−26−7k k∈Z Si la damos distintos valores a kobtenemos distintas soluciones: k= 1: x= 148, y=−33.
k= 2: x= 179, y=−40. k=−1: x= 86, y=−19. k=−4: x=−7, y= 2.
1.5.
Números primos. Teorema fundamental de la aritmética
En esta sección vamos a demostrar el conocido teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo número natural mayor o igual que 2se expresa de forma única como producto de números primos.
Comenzamos definiendo los números irreducibles.
Definición 7. Sea pun número entero distinto de 0,1 y−1. Se dice quepes irreducible si sus únicos divisores son ±1y ±p.
Ejemplo 1.5.1. Son irreducibles 2,3,5.
No es irreducible4, pues2 es un divisor suyo. Claramente, sipes irreducible también lo es −p.
Veamos a continuación una caracterización de los números irreducibles. Proposición 1.5.1. Seapun número entero distinto de 0,1 y−1. Entonces:
pes irreducible ⇐⇒ (p|ab =⇒ p|aóp|b) Antes de hacer la demostración veamos algún ejemplo.
Ejemplo 1.5.2. Sabemos que si el producto de dos números es par, al menos uno de ellos debe ser par. Puesto que ser par es equivalente a ser múltiplo de2, lo que estamos diciendo es que
2|ab implica2|aó2|b
lo que de acuerdo con la proposición es decir que 2 es irreducible (algo que ya sabíamos).
Por otra parte, si tomamosa= 8 y b= 15, entonces ab= 120, que es múltiplo de 6, mientras que ni anib lo son, luego la implicación
6|ab implica6|aó6|b
es falsa, pues hemos encontradoa y b para los que se da la primera parte de la implicación, pero no la segunda. De acuerdo con la proposición esto nos diría que6 no es irreducible.
Vamos ya a la demostración.
Demostración: Hagamos en primer lugar la implicación hacia la izquierda. Es decir, suponemos que la implicaciónp|ab =⇒ p|aó p|b es cierta y queremos probar quepes irreducible.
Seadun divisor dep. Esto implica quep=dx, de dondep|dx. Pueden ocurrir dos cosas: quepdivida ado quepdivida ax.
Si p|d, comod|pentoncesd=±p.
Sip|xentoncesx=pypara algúny∈Z. Se tiene quep=dx=dyp, luegody= 1y por tantod=±1. Por tanto, sides un divisor depentoncesd=±pod=±1, lo que dice quepes irreducible.
Veamos ahora la implicación hacia la derecha.
Supongamos que pes irreducible y que tenemos dos números enteros a yb tales que p|ab (es decir, ab=px).
Puede ocurrir quepdivida aa(en cuyo caso no hay nada que probar), o quepno divida aa. Veamos entonces quep|b.
Es claro que mcd(p, a) = 1. El corolario 1.3.4 nos dice quep|b, como queríamos.
¥
Como es bien conocido, a los números irreducibles los llamaremos también números primos.
Como ejercicio, demuestra que si p es un número primo y tenemos a1, a2,· · ·, an ∈ Z tales que
p|(a1a2· · ·an)entonces existei∈ {1,2,· · ·, n} tal quep|ai.
Estamos ya en condiciones de dar el teorema fundamental de la aritmética.
Teorema 1.5.1 (Teorema fundamental de la aritmética). Seaa∈N,a≥2. Entonces,aes primo, oase expresa de forma única (salvo el orden y el signo) como producto de números primos.
Observación:
Sea a = 6. Sabemos que alo podemos poner como producto de primos de la forma 6 = 2·3. Pero también podemos ponerlo como6 = (−2)·(−3). Aunque estrictamente hablando estas dos factorizaciones son distintas, ambas podrían considerarse iguales. De ahí que digamos que la factorización es única salvo el signo. De la misma forma, las factorizaciones6 = 2·3 = 3·2son iguales salvo el orden.
Demostración: Demostremos en primer lugar la existencia de la factorización. Esto lo haremos ha-ciendo uso del segundo principio de inducción.
El primer paso consiste en demostrarlo para a= 2. Pero como 2 es primo, el resultado es cierto en ese caso.
La hipótesis de inducción afirma que el resultado es cierto para todoc < a. Bajo esa hipótesis hemos de demostrar el resultado paraa.
Si aes primo, ya tenemos que el resultado es cierto.
Si a no es primo, entonces tendrá un divisor que no será nia ni 1 (ni −a ni −1). Supongamos que esb, y además lo tomamos perteneciendo aN. Se tiene entonces quea=bc, y ambos númerosb ycson menores quea. Por la hipótesis de inducción b se expresa como producto de primos (b =p1· · ·ps) y c
también (c=q1· · ·qs). Por tanto a=p1· · ·psq1· · ·qs. Es decir,aes producto de números primos.
Demostremos ahora la unicidad. Esta demostración también se hará por inducción. Paraa= 2el resultado es trivialmente cierto.
La hipótesis de inducción dice ahora que todo númeroc < ase expresa de forma única como producto de números primos.
Supongamos que tenemos dos factorizaciones del númeroa como producto de números primos posi-tivos:
a=p1p2· · ·pr=q1q2· · ·qs.
Entonces se tiene quep1|(q1· · ·qs), y por serp1primo, debe existir algúnital quep1|qi. Reordenamos
los primosq1,· · ·, qspara que el primo al que dividap1sea el primero (es decir,p1|q1). Comoq1es primo,
entoncesp1=q1. Tenemos entonces que a
p1 =p2· · ·pr=q2· · ·qs. Por hipótesis de inducción, los primos
que aparecen en la primera factorización de a
¥
La factorización de un número como producto de primos permite de forma fácil determinar los divisores de un número. Así, sia=pe1
1 pe22· · ·perr yb=pf11pf22· · ·pfrr entoncesb|asi, y sólo si,fi≤ei.
De esta forma es fácil comprobar que el conjunto D(a) ={pf1
1 pf22· · ·prfr : 0≤fi≤ei}
es el conjunto de todos los divisores positivos dea.
Ejemplo 1.5.3. Sea a= 180. Entoncesa= 22325. Los divisores de ason entonces:
203050= 1 203051= 5 203150= 3 203151= 15 203250= 9 203251= 45 213050= 2 213051= 10 213150= 6 213151= 30 213250= 18 213251= 90 223050= 4 223051= 20 223150= 12 223151= 60 223250= 36 223251= 180 Es decir,
D(180) ={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,45,60,90,180}
También podemos calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números. Proposición 1.5.2. Sean a, b ∈ N∗. Supongamos que a = pe1
1 pe22· · ·perr y b = pf11pf22· · ·pfrr son las
factorizaciones deay b como producto de irreducibles. Entonces: mcd(a, b) =pmín{e1,f1} 1 p mín{e2,f2} 2 · · ·p mín{er,fr} r mcm(a, b) =pmáx{e1,f1} 1 p máx{e2,f2} 2 · · ·p máx{er,fr} r
Esta proposición puede generalizarse fácilmente para el cálculo del máximo común divisor y/o el mínimo común múltiplo de3 ó más números.
Ejemplo 1.5.4. Seana= 350yb= 1155. Entonces se tiene quea= 2·52·7y b= 3·5·7·11. Por tanto mcd(350,1155) = 20305171110= 5·7 = 35 mcm(350,1155) = 21315271111= 11550
1.6.
Clases residuales módulo m
En esta sección vamos a construir, para cada m≥ 2 los conjuntos Zm, de los que estudiaremos su
aritmética.
Definición 8. Seana, b, m∈Z. Se dice queaes congruente con bmódulom, y se escribe a≡b(módm) óa≡mb, sim|(b−a). Es decir:
a≡b(módm)si existe k∈Ztal queb−a=km
Nótese quea≡b(módm)si, y sólo si,a≡b(mód−m). Por tanto, al hablar de congruencias módulo mpodemos suponer que m∈N.
Además, la relación de congruencia módulo 0 es la relación de igualdad (a ≡ b(mód0) si, y sólo si, a =b) que no nos aporta nada nuevo. En la relación de congruencia módulo 1 todos los elementos están relacionados con todos los elementos, luego también carece de interés. Nos centraremos entonces en módulos mque sean mayores que1.
Ejemplo 1.6.1. Claramente, 5 ≡ 17(mód4) pues 17−5 es múltiplo de 4. De la misma forma 5 ≡ 17(mód6). Sin embargo56≡15(mód8) pues17−5 no es múltiplo de 8.
Proposición 1.6.1. Dadom≥2. Entonces la relación≡mes una relación de equivalencia.
Demostración: Hemos de demostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva.
Reflexiva: Dado que0 =a−aes múltiplo demtenemos que para cualquiera∈Zse verifica que a≡a(módm).
Simétrica: Supongamos que a ≡ b(módm). Entonces m|(b−a), luego m|(a−b), es decir, b ≡ a(módm). Transitiva: a≡b(módm) =⇒ m|(b−a) b≡c(módm) =⇒ m|(c−b) ¾ =⇒ m|[(b−a) + (c−b)] =⇒ m|(c−a) =⇒ a≡c(módm) ¥
Como ejercicio se pide probar quea≡b(módm)si, y sólo si,amódm = b módm.
Puesto que para cadamla relación ≡m es de equivalencia, podemos considerar el conjunto cociente.
Este conjunto será denotado por Zm. La clase de un número entero aen Zm será denotada por[a]m o
simplemente[a].
Veamos a continuación qué conjunto esZm.
Ejemplo 1.6.2.
Comenzemos con el conjunto Z2. Para ello calculemos las clases de equivalencia. [0]2={a∈Z: 0≡a(mód2)}
Ahora bien,0≡a(mód2) si, y sólo si,2|(a−0), es decir,[0]2 está constituida por todos los números múltiplos de2 (números pares)
De la misma forma se tiene que
[1]2={a∈Z: 1≡a(mód2)}={a∈Z:amód2 = 1mód2} es decir, los números impares.
Se tiene entonces que
[0]2={· · ·,−4,−2,0,2,4,6,· · · } [1]2={· · ·,−5,−3,−1,1,3,5· · · } Y como todo número entero pertenece a[0]2 o a[1]2 deducimos queZ2={[0]2,[1]2}. De la misma forma se comprueba que
[0]3={· · ·,−6,−3,0,3,6,· · · } [1]3={· · ·,−5,−2,1,4,7,· · · } [2]3={· · ·,−4,−1,2,5,8,· · · } y queZ3={[0]3,[1]3,[2]3}
En general, dado m≥2 yr tal que0≤r < m se verifica que [r]m={a∈Z:amódm=r}
es decir, en la clase derestán los números enteros que al dividir pormda restor, y puesto que al dividir un número entre mel resto sólo puede tomar los valores0,1,· · ·, m−1 deducimos que
Zm={[0]m,[1]m,· · ·,[m−1]m}
Vamos a continuación a estudiar la estructura algebraica de estos conjuntos. Para ello necesitamos el siguiente lema:
Lema 1.6.1. Seana, b, c, d∈Zym≥2. Entonces:
1. a≡c(mód m) b≡d(módm) ¾ =⇒a+b≡c+d(módm) 2. a≡c(mód m) b≡d(módm) ¾ =⇒ab≡cd(módm) Demostración: 1. a≡c(módm) =⇒ m|(c−a) b≡d(módm) =⇒ m|(d−b) ¾ =⇒ m|(c−a+d−b) =⇒ m|(c+d−(a+b)) =⇒ a+b≡c+d(módm)
2. a≡c(módm) =⇒ m|(c−a) =⇒ m|(c−a)b b≡d(módm) =⇒ m|(d−b) =⇒ m|c(d−b) ¾ =⇒ m|[c(d−b) + (c−a)b] =⇒ m|(cd−ab) =⇒ ab≡cd(módm) ¥
Nótese que a partir de este lema se tiene que si[a]m= [c]m, y[b]m= [d]mentonces[a+b]m= [c+d]m
y[ab]m= [cd]m. Esto da pie a la siguiente definición.
Definición 9. Seana, b∈Z ym≥2. Se definen enZm las operaciones:
[a]m+ [b]m= [a+b]m [a]m[b]m= [ab]m
El lema anterior nos asegura que estas definiciones no dependen de los representantes que se elijan para[a]my[b]m.
Ejemplo 1.6.3. Seam= 9. EnZm se tiene que[5] + [7] = [12] = [3]. Si en lugar de[5] tomamos [23],
y en lugar de [7] tomamos [34] se tiene que [23] + [34] = [57] = [3] (pues 57−3 = 9·6). Vemos como la elección del representante del primer sumando (5ó23) como la elección del representante del segundo sumando (7 ó34) no influye en el resultado final de la suma.
De la misma forma,[5]·[7] = [35] = [8], mientras que[23]·[34] = [782] = [8].
Supongamos que tenemos dos números enteros a, b tales que b|a, m ≥2 y quisiéramos definir [a]m
[b]m como sigue: [a]m [b]m = ha b i m
Tomamosm= 8,a= 6yb= 2. Entonces tendríamos que [6][2] = [3]. Ahora bien,[6]8= [14]8, mientras que [14][2] = [7], y claramente [3] 6= [7] en Z8. Es decir, el resultado final depende de los representantes elegidos. Esta operación, por tanto, no está bien definida.
Nota:A partir de ahora, dadoa∈Z, denotaremos poraal elemento [a]m∈Zm. En cada momento
deberá quedar claro siarepresenta un número entero o un elemento deZm. Así, se tiene que
Zm={0,1,2,· · · , m−1}
e igualdades como4+6 = 3,5 = 1ó9 = 0tendrán sentido en un contexto apropiado (la primera igualdad es válida enZ7, la segunda enZ4 oZ2 y la tercera enZ9 oZ3).
Proposición 1.6.2. Seam≥2. Las operaciones suma y producto verifican las siguientes propiedades: i)a+ (b+c) = (a+b) +c
ii)a+b=b+a iii)a+ 0 =a
iv) Para cadaa∈Zm existe b∈Zm tal quea+b= 0.
v)a(bc) = (ab)c vi)ab=ba vii)a1 =a
viii)a(b+c) =ab+ac
Estas propiedades nos dicen queZmes un anillo conmutativo.
Nótese que en general, el producto no tiene la propiedad cancelativa. Así, por ejemplo, enZ8se verifica que6·1 = 6·5, y sin embargo16= 5.
