Serie Comunidad
2
Matemáticas
Dirección de contenidos y servicios educativos
Elisa Bonilla Rius
Gerencia de publicaciones escolares
Felipe Ricardo Valdez González
Coordinación editorial
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
Edición
César Jiménez Espinosa Alberto Lara Castillo Edgar García Manrique
Autoría
Apolo Castrejón Villar, Alicia Vicuña Guante, Martha Lilia Reyes Salgador, Ortos Soyuz Castrejón Torres
Revisión técnica
Alfredo Fuad Take González Juan Antonio Perujo Cano
Coordinación de corrección
Abdel López Cruz
Corrección
María del Carmen Solano, Nina Salazar
Dirección de arte y diseño
Quetzatl León Calixto
Diseño de portada
Brenda López Romero
Coordinación de iconografía e imagen
Ricardo Tapia García
Imagen
Equipo SM
Iconografía
Evelín Ferrer, Fernando Suárez Flores
Coordinación de diagramación
Jesús Arana
Diagramación
Jacquelinne Velázque Aldo Botello Báez Braulio Morales
Jesús Antonio Díaz de León Castañeda
Ilustraciones
Cecilia Cota, Dora Maritza Garduño, Judith Meléndrez, Bertha Ramírez, Guillermo López Wirth
Fotografía
Archivo SM, D.R. Pablo Picasso /ADAGP/SOMAAP / México/2008/ Pág. 19
M.C. © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Págs. 148, 182, 211, 269, 290 © 2011, OTHERIMAGES
Digitalización y retoque
Carlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni
Producción
Carlos Olvera, Teresa Amaya
Matemáticas 2
SERIE COMUNIDAD Primera edición, 2008 Segunda edición, 2011
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F.
Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro número 2830 ISBN 978-607-471-878-2
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia,
por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de
Ediciones, S. A. de C. V.
Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico
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P
r e s e n t a c i ó n p a r a e l a l u m n o
¿T
e has fijado en todas las cosas maravillosas que existen a tu alrededor y cuánto tienen que ver con las matemáticas? Incluso tú mismo estás lleno de matemáticas.¿Has visto un arco iris? Es un espectáculo fabuloso, ¿verdad? Ese evento puede explicarse gracias a la geometría: los rayos de luz sufren una desviación al atravesar las gotas de agua y se descomponen en los distintos colores que vemos en el arco iris.
Seguramente alguna vez has observado con algo de molestia el reloj que te despierta justo a las seis de la mañana. Ese reloj también está lleno de matemáticas. ¿A quién se le habrá ocurrido eso de medir el tiempo? Sin duda, su idea nos ha sido de mucha utilidad… Imagínate que en tu escuela dijeran: “Mañana la entrada será por la mañana”. ¿A qué hora llegarías? ¿Y tus compañeros?
Si alguna vez te toparas con una mariposa que tuviera un ala y no dos, de inmediato te darías cuenta de que hay algo raro en ella; esto se debe a que sabes que las mariposas son simétricas, pues tienen dos alas muy parecidas entre ellas.
Ya te estarás dando cuenta de lo mucho que sabes de matemáticas: manejas con cierta facilidad un reloj y reconoces a primera vista lo que es simétrico, entre muchas otras cosas que realizas todos los días y que se basan en tus conocimientos matemáticos.
Como ves, las matemáticas son algo que utilizamos todos los días. Al estudiarlas adquirimos herramientas que nos permiten resolver nuestros problemas cotidianos de una forma más sencilla.
Tu libro Matemáticas 1, de la serie Comunidad, está lleno de juegos que te ayudarán a seguir desarrollando el gusto por la asignatura y por observar las matemáticas en la naturaleza y en tu vida diaria.
Este libro, que se ha desarrollado según los contenidos de los programas oficiales, está hecho especialmente para ti. ¡Disfrútalo!
E
stimado profesor, estimada profesora:El propósito de Matemáticas 2, Serie Comunidad, es servir de apoyo para que los alumnos aprendan matemáticas por medio de actividades de construcción, al mismo tiempo que desarrollan las competencias que los capacitarán para responder a problemas de la vida real.
En la entrada de cada bloque se presenta una imagen y se plantean problemas detonadores para los que se recomienda una lectura grupal o por equipo con el fin de que los alumnos propongan y compartan estrategias de solución en las cuales apliquen sus conocimientos previos. Estas sesiones grupales son medulares para que los estudiantes asimilen que los conocimientos adquiridos sirven para resolver problemas.
En cada bloque encontrará la sección “Juegos y retos”, diseñada para trabajar en equipo, cuya finalidad es atraer la atención de los alumnos y permitir una aproximación lúdica e interesante a los conocimientos y procedimientos matemáticos que se estudiarán en las lecciones siguientes.
Las lecciones, de dos páginas, se pueden resolver en una o dos sesiones. En ellas se plantean preguntas y ejercicios para que los alumnos expresen, con sus palabras, lo que han aprendido y expongan argumentos. Asimismo, incluyen recuadros de información que permiten contrastar y complementar los conceptos y las estrategias de solución.
Al final de cada bloque se encuentran la secciones “TIC”, ideada para aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las matemáticas, y “Recreación”, que brinda a los alumnos la oportunidad de expresar de manera creativa lo que han aprendido en el bloque.
En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con tres innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.
• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación
de las lecciones considerando la carga horaria del programa vigente;
• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades
indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento; y
• para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple
que le permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes esperados en sus alumnos.
Esperamos que este material didáctico sea útil para la construcción de aprendizajes significativos en el aula.
Atentamente
Semana Sesión Lecciones
1
1 Entrada de bloque
2 Los frijoles saltarines
3 1 Multiplicación de números con signo I 4 2 Multiplicación de números con signo II 5 3 División de números con signo
2
6 4 Problemas de multiplicación y división de números con signo
7 Rompecabezas algebraico
8 5 Expresiones algebraicas
9 6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I 10 7 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II
3
11 8 Adición de polinomios 12 9 Sustracción de polinomios
13 10 Expresiones algebraicas equivalentes I 14 11 Expresiones algebraicas equivalentes II
15 El león no es como lo pintan
4
16 12 Reconocimiento de ángulos 17 13 Reproducción de ángulos
18 14 Estimación y medición de ángulos 19 15 Rectas, semirrectas y ángulos
20 16 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
5
21 17 Paralelas cortadas por una transversal 22 18 Ángulos interiores de triángulos 23 19 Ángulos interiores de cuadriláteros
24 Cubos al cubo 25 20 Factor de proporcionalidad I
6
26 21 Factor de proporcionalidad II 27 28 22 Proporcionalidad múltiple I 29 23 Proporcionalidad múltiple II 30 24 Problemas de conteo I7
31 25 Problemas de conteo II 32 26 Polígonos de frecuencia I 33 27 Polígonos de frecuencia II 34 35 TIC8
36 Recreación 37 Repaso yPrimera evaluación bimestral
38 39 40
B
l o q u e 1
D
o s i f i c a c i ó n
Semana Sesión Lecciones
9
41 Entrada de bloque
42 Cuatro cuatros
43 28 Jerarquía de las operaciones I 44
29 Jerarquía de las operaciones II 45
10
46 30 Solución de ecuaciones I 47 31 Solución de ecuaciones II 48 32 Problemas multiplicativos I 49 33 Problemas multiplicativos II 50 Adivina adivinador11
51 34 Prismas I 52 35 Prismas II 53 36 Pirámides54 37 Vistas de un cuerpo geométrico I 55 38 Vistas de un cuerpo geométrico II
12
56 39 Volumen de cubos y prismas rectangulares 57 40 Volumen de prismas 58 41 Volumen de pirámides 59 60 42 Problemas de volumen
13
61 43 Unidades de volumen 62 44 Unidades de capacidad63 45 Problemas de capacidad y volumen
64 Cazador de gigantes
65 46 Comparación de razones I
14
66 47 Comparación de razones II 67
48 Problemas de comparación de razones 68
69 49 Medidas de tendencia central I 70
50 Medidas de tendencia central II
15
71 72
51 Medidas de tendencia central III 73
74 52 Medidas de tendencia central IV
75 TIC
16
76 Recreación
77
Repaso y
Segunda evaluación bimestral
78 79 80
Semana Sesión Lecciones
17
81 Entrada de bloque 82 Cuadrados mágicos 83 53 Sucesiones I 84 85 54 Sucesiones II18
86 87 55 Sucesiones III 88 La liebre y la tortuga 89 56 Planteamiento de ecuaciones 9019
91 57 Solución de ecuaciones I 92 93 58 Solución de ecuaciones II 94 59 Solución de ecuaciones III 95 60 Solución de ecuaciones IV20
96 61 Ecuaciones con paréntesis
97 62 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios 98 63 Problemas que se resuelven con ecuaciones 99 64 Funciones I 100
21
101 65 Funciones II 102 103 66 Funciones III 104 Teselados 10567 Ángulos interiores de polígonos
22
106 107 68 Teselados I 108 109 69 Teselados II 11023
111 Buscando espías112 70 Gráficas de relaciones lineales I 113 71 Gráficas de relaciones lineales II 114
72 Gráficas de relaciones lineales III 115
24
116
73 Gráficas de relaciones lineales IV 117
118
74 Comportamiento de gráficas lineales I 119
120 75 Comportamiento de gráficas lineales II
25
121 TIC
122 Recreación
123
Repaso y
Tercera evaluación bimestral
124 125
Semana Sesión Lecciones
26
126 Entrada de bloque
127 La leyenda del ajedrez
128 76 Potencias 129 77 Producto de potencias 130 78 Cociente de potencias
27
131 79 Notación científica 132 133 80 Orden de magnitud 13481 Cálculos con notación científica 135
28
136 Triangulaciones 137 82 Congruencia de triángulos I 138 139 83 Congruencia de triángulos II 14084 Congruencia de triángulos III
29
141 142 85 Congruencia de triángulos IV 143 144 86 Congruencia de triángulos V 14530
146 87 Alturas de triángulos 147 88 Mediatrices de triángulos148 89 Bisectrices y medianas de triángulos
149 90 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I 150
91 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II
31
151 152 ¿Pescador o pescado? 153 92 Eventos independientes I 154 155 93 Eventos independientes II32
156 94 Regla del producto
157 95 Problemas de probabilidad
158 Carrera de obstáculos
159
96 Interpretación de gráficas de línea 160
33
161
97 Gráficas formadas por segmentos de recta I 162
163
98 Gráficas formadas por segmentos de recta II 164 165 TIC
34
166 Recreación 167 Repaso yCuarta evaluación bimestral
168 169 170
Semana Sesión Lecciones
35
171 Entrada de bloque 172 Animalirretos 173 99 Sistemas de ecuaciones I 174 175 100 Sistemas de ecuaciones II36
176 101 Sistemas de ecuaciones III 177 102 Sistemas de ecuaciones IV 178 179 Figurirretos 180 103 Traslación de figuras
37
181 104 Rotación de figuras I 182 105 Rotación de figuras II 183 106 Simetría 184 107 Diseños 18538
186108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I 187
188
109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II 189
190 Los dados
39
191
110 Eventos mutuamente excluyentes 192 193 111 Cálculo de la probabilidad 194 195 TIC
40
196 Recreación 197 Repaso yQuinta evaluación bimestral
198 199 200
A continuación mostramos cómo está estructurado Matemáticas 2. El libro está dividido en cinco bloques y cada uno se inicia con dos páginas:
Se enuncian los aprendizajes esperados de acuerdo al plan y programas de estudio, esto se hace con la finalidad de tener presente lo que se desea que el estudiante aprenda al término del bloque.
Imagen que ilustra la
aplicación de algunos conceptos matemáticos del bloque.
Problemas detonadores para
que reflexiones y conozcas el tipo de problemas que vas a estudiar en el bloque.
Dentro del bloque encontrarás frecuentemente dos páginas de la sección Juegos y
retos. Tienen el propósito de
introducir el estudio de los contenidos de una manera lúdica.
B4
5
BLOQUE
268
Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:
5.1. Representen con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. 5.2. Determinen las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.
Constru-yan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
5.3. Representen gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en-teros e interpreten la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. 5.4. Distingan en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente exclu-yentes. Determinen la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocu-rrencia.
Aprendizajes esperados
El Taj Mahal es un monumento localizado en Agra, India, construido por una fuerza de trabajo de 22 000 hombres. Este edificio de mármol blanco, que presenta una gran simetría, fue mandado a hacer por el emperador Shah Jahan, como un mausoleo para su esposa Arjumand Bano Begum.
En equipo lean los siguientes problemas; discutan al respecto y planteen cómo solucionarlos. Si no los pueden resolver, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen. a) El Taj Mahal tardó en construirse 23 años y la suma de los años en que se inició y se
terminó su construcción es 3 285. ¿Entre qué años fue construido este edificio? b) ¿Cuál es el eje de simetría del Taj Mahal en la fotografía?
c) La imagen de la derecha es un grabado de M. Escher, ¿observas simetría?
269
J u e g o s y r e t o s
158
La liebre y la tortuga
Érase una vez una liebre muy vanidosa a la que le gustaba presumir su velocidad y siem-pre se burlaba de las tortugas por ser lentas y pacientes. Pero un día la paciencia de las tortugas se terminó y decidieron darle una lección. Llamaron a su campeona velocista, una tortuga diferente a todas, con patas largas y un caparazón ligero, capaz de alcanzar la sorprendente velocidad de 1 km/h, es decir, un kilómetro por hora, velocidad jamás alcanzada por alguna tortuga.
Reunieron una comisión y fueron a retar a la liebre, quien se carcajeó más de me-dia hora antes de aceptar la apuesta.
—¡Muy bien! ¡Muy bien! Iré a la carrera y procuraré ser un digno contendiente. ¡Ja! —dijo la liebre sin poder aguantar la risa—. ¿Cuándo será la carrera?
—En un mes —dijeron las tortugas.
Durante un mes la tortuga velocista se dedicó a entrenar, pues quería asegurarse de mantener su velocidad de 1 km/h durante toda la competencia. Tal vez así gana-ría. En cambio, la liebre se dedicó a ir a fiestas y divertirse. No se ocupó de entrenar. Estaba muy confiada.
Llegó por fin el día de la carrera y todos los animales se reunieron para presenciar-la. Se indicó la salida y la meta. A las 10:00 de la mañana la competencia se inició en-tre grandes aplausos.
La liebre corría confiadamente a 16 km/h y la tortuga, que corría sin parar a 1 km/h, pronto se quedó muy atrás.
Después de 15 minutos la liebre encontró un árbol y se sentó a descansar bajo su sombra. Como se había desvelado casi un mes, pronto se quedó dormida.
Después de mucho tiempo la tortuga llegó adonde estaba la liebre. —Si no te apuras, te voy a ganar —advirtió la tortuga a la liebre con actitud muy deportiva.
—Cinco minutos más, mamá, por favor —dijo la liebre sin abrir los ojos y siguió en brazos de Morfeo.
De repente, la liebre despertó y miró su reloj.
—¡Las 3:15 de la tarde! Ya es muy tarde —dijo mientras se levantaba y volvía a co-rrer a 16 km/h.
Al cabo de un tiempo la liebre vio a la tortuga cerca de la meta. Calculó que su velocidad era suficiente para empatar la carrera.
—Le pondré un poco de emoción a esto, todavía no aumentaré mi velocidad —pensó la liebre.
Los espectadores veían cómo la liebre
al-canzaba rápidamente a la tortuga. Gritaron emocionados; iba a ser un final de fotografía.
Cuando la liebre se encontraba muy cerca de la tortuga, pensó en acelerar para ganar. Todavía le quedaban muchas reservas de energía
159 y podía lograrlo. Pero no pudo hacerlo, exactamente en el momento que
alcanzó a la tortuga, tropezó con una piedra y quedó tendida, retor-ciéndose de dolor unos segundos, el tiempo suficiente para que la tortuga cruzara la meta y ganara la carrera.
Desde entonces, la liebre, por confiada, es el hazmerreír de todos los animales.
Contesta las siguientes preguntas. ¿De qué distancia aproximadamente fue la carrera
de la liebre y la tortuga? ¿Cuánto tiempo duró la competencia?
En parejas determinen a qué hora la tortuga se encontró a la liebre durmiendo bajo el árbol. Recuerden que la liebre recorre 16 km cada hora y la tortuga, 1 km. Completen la siguiente tabla. Calculen el tiempo en que la liebre alcanzó a la tor-tuga. Tiempo (horas) Distancia de la salida (km) Liebre Tortuga 0 0 0 0.1 1.6 0.1 0.2 0.25 0.5 1 ESTRATEGIAS
Recuerden que 1 hora es igual a 60 minutos.
¿Cuántos minutos son un cuarto de hora?
¿Cuántos minutos son 0.1 horas?
¿A qué distancia del árbol se encuen-tra la tortuga cuando la liebre reanu-da la carrera?
¿A qué distancia del árbol está la tor-tuga 3 minutos después de que la liebre reanuda la carrera?
Todas las lecciones del bloque se componen de dos páginas.
Título de la lección
Los títulos de cada lección dan cuenta de los conceptos que se estudiarán.
Actividades de construcción del conocimiento
Actividades que presentan situaciones problemáticas para que las enfrentes con los conocimientos que ya tienes al mismo tiempo que desarrollas nuevas técnicas y conceptos para resolver problemas similares.
En las actividades se busca que:
•Observes e interpretes.
• Organices resultados.
• Discutas y analices.
• Encuentres regularidades.
• Reflexiones.
• Profundices en las ideas básicas.
Información
Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.
67
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
d) Contesta.
i) ¿Qué relación encuentras entre las fracciones de cada copia?
ii) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre las dimensiones de la fotografía y las de las copias? ¿Por qué?
Al dividir las dimensiones de una copia a escala entre las correspondientes del original, se obtiene una constante llamada factor de proporcionalidad. e) Comprueba que al multiplicar las dimensiones del original por el factor de
propor-cionalidad obtienes las dimensiones de la copia.
Largo Ancho Original 8 4 Copia 1 8 x 1 = 8 = 4 2 2 Copia 2 Copia 3 f) Contesta.
i) ¿Por cuánto se debe multiplicar el ancho del original para obtener el ancho de la co-pia 1?
ii) ¿Por cuánto se debe multiplicar el largo de la copia 1 para obtener el largo del original?
iii) ¿Podrías obtener el largo de la copia 1 dividiendo el largo del original entre algún número? ¿Entre cuál?
1
2 es el inverso multiplicativo de 2. Dividir un número entre 2 es igual que mul-tiplicarlo por 1
2 . 2 es el inverso multiplicativo de 12 . Dividir un número entre 12 es igual que multiplicarlo por 2.
g) Anota los inversos multiplicativos de los factores de proporcionalidad de las copias 2 y 3. Factor de proporcionalidad Inverso multiplicativo
Copia 2 Copia 3 66 L e c c i ó n 2 0 Factor de proporcionalidad I 1
Lee el texto y realiza lo que se pide.
Laura sacó fotocopias, de distintos tamaños, de una fotografía del templo de Apolo en Corinto.
a) Mide las dimensiones de las figuras anteriores y anótalas en la tabla.
b) Contesta.
i) ¿En qué copia las dimensiones son la mitad de las del original? ii) ¿En qué copia las dimensiones miden cinco cuartas partes de las del original? iii) ¿En qué copia las dimensiones miden tres cuartas partes de las del original? c) Escribe las fracciones y simplifícalas.
Largo
Copia 1 4 8
1
2 Copia 2 Copia 3 Original Original Original
Ancho
Copia 1 Copia 2 Copia 3
Original Original Original Copias Original 1 2 3 Largo (cm) 8 Ancho (cm) 4 Copia 1 Original Copia 2 Copia 3
82
Gráficas poligonales con la hoja de cálculo
En esta actividad utilizarás una hoja de cálculo para elaborar gráficas poligonales.
Supongamos que quieres graficar el número de minutos de televisión que ven a diario tú y tu amigo.
Abre la hoja de cálculo y registra los datos.
Selecciona los datos que quieres graficar.
En el menú escoge Insertar Gráfico y apare-cerá el asistente para gráficos. En Tipo de gráfico escoge la opción Líneas.
Presiona Siguiente dos veces y aparecerá un cuadro de diá-logo donde puedes asignar título a la gráfica y nombre a los ejes. Presiona Finalizar. La gráfica aparecerá en la hoja.
83
En el siguiente espacio puedes hacer lo que desees: un dibujo, un rompecabezas, un problema interesante, un cuento, un acertijo, una gráfica original, un juego…
La única condición es que emplees los conocimientos que adquiriste en este blo-que. A continuación te damos algunas sugerencias:
t Un dibujo como el cuadro de Picasso, donde haya ángulos y figuras geométricas.
t Un rompecabezas con los bloques de la página 30.
t Un cuento en el que los personajes sean monomios y polinomios.
t Un problema como el que le planteó el oráculo de Delfos a los atenienses.
El bloque se cierra con una evaluación de opción múltiple.
En las páginas 306 a 310 podrás encontrar un glosario con los términos que se usan en el libro.
Subraya la respuesta correcta.
1¿Cuál es el resultado de 3 + 4 × (2 – 7)?
a) –35 b) 35 c) –17 d) –23
2¿Cuál es la solución de la ecuación 5x + 8 = −32?
a) 4 b) 8 c) –8 d) –24
3¿Cuál es la solución de la ecuación 2(x + 12) = 2? a) –1 b) 1 c) 12 d) – 12
4¿Cuál es el desarrollo plano de un cubo?
a) b) c) d)
5¿Cuál es la vista superior del siguiente cuerpo?
a) b) c) d)
6El volumen de un cubo es 125 cm3. ¿Cuál es el área de una de sus caras? a) 5 cm2 b) 15 cm2 c) 25 cm2 d) 125 cm2
146
Q
R
P
Í n d i c e
Bloque 1 18
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
Juegos y retos. Los frijoles saltarines 20
1 Multiplicación de números con signo I 22 2 Multiplicación de números con signo II 24 3 División de números con signo 26 4 Problemas de multiplicación y división de números con signo 28 1.2 Resolver problemas que impliquen adición y
sustracción de expresiones algebraicas.
Juegos y retos. Rompecabezas algebraico 30
5 Expresiones algebraicas 32
6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas I 34 7 Adición y sustracción de expresiones algebraicas II 36
8 Adición de polinomios 38
9 Sustracción de polinomios 40
1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
10 Expresiones algebraicas equivalentes I 42 11 Expresiones algebraicas equivalentes II 44 1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer,
estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
Juegos y retos. El león no es como lo pintan 46
12 Reconocimiento de ángulos 48
13 Reproducción de ángulos 50
14 Estimación y medición de ángulos 52 1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones
relativas de dos rectas en el plano y elaborar defi niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
15 Rectas, semirrectas y ángulos 54 16 Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice 56 1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se
forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justifi car las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
17 Paralelas cortadas por una transversal 58 18 Ángulos interiores de triángulos 60 19 Ángulos interiores de cuadriláteros 62 1.7. Determinar el factor inverso dada una relación
de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
Juegos y retos. Cubos al cubo 64
20 Factor de proporcionalidad I 66 21 Factor de proporcionalidad II 68 1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver
problemas de proporcionalidad múltiple.
22 Proporcionalidad múltiple I 70 23 Proporcionalidad múltiple II 72
h
B
25 Problemas de conteo II 76
1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia. 26 Polígonos de frecuencia I 78 27 Polígonos de frecuencia II 80 TIC 82 Recreación 83 Evaluación 84 Bloque 2 86
2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.
Juegos y retos. Cuatro cuatros 88
28 Jerarquía de las operaciones I 90 29 Jerarquía de las operaciones II 92 2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el
uso de expresiones algebraicas.
30 Solución de ecuaciones I 94
31 Solución de ecuaciones II 96
32 Problemas multiplicativos I 98 33 Problemas multiplicativos II 100 2.3. Describir las características de cubos, prismas y
pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
Juegos y retos. Adivina adivinador 102
34 Prismas I 104
35 Prismas II 106
36 Pirámides 108
37 Vistas de un cuerpo geométrico I 110 38 Vistas de un cuerpo geométrico II 112 2.4. Justifi car las fórmulas para calcular el volumen de
cubos, prismas y pirámides rectos.
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
39 Volumen de cubos y prismas rectangulares 114
40 Volumen de prismas 116
41 Volumen de pirámides 118
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.
42 Problemas de volumen 120
43 Unidades de volumen 122
44 Unidades de capacidad 124
Q
R
P
2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.
Juegos y retos. Cazador de gigantes 128
46 Comparación de razones I 130
47 Comparación de razones II 132
48 Problemas de comparación de razones 134 2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central
de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.
49 Medidas de tendencia central I 136 50 Medidas de tendencia central II 138 51 Medidas de tendencia central III 140 52 Medidas de tendencia central IV 142
TIC 144
Recreación 145
Evaluación 146
Bloque 3 148
3.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.
Juegos y retos. Cuadrados mágicos 150
53 Sucesiones I 152
54 Sucesiones II 154
55 Sucesiones III 156
3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coefi cientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
Juegos y retos. La liebre y la tortuga 158
56 Planteamiento de ecuaciones 160
57 Solución de ecuaciones I 162
58 Solución de ecuaciones II 164
59 Solución de ecuaciones III 166
60 Solución de ecuaciones IV 168
61 Ecuaciones con paréntesis 170
62 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios 172 63 Problemas que se resuelven con ecuaciones 174 3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
64 Funciones I 176
65 Funciones II 178
66 Funciones III 180
3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
Juegos y retos. Teselados 182
67 Ángulos interiores de polígonos 184 3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
68 Teselados I 186
h
B
72 Gráficas de relaciones lineales III 196 73 Gráficas de relaciones lineales IV 198 3.7. Anticipar el comportamiento de gráfi cas lineales de
la forma y = mx + b, cuando se modifi ca el valor de b mientras el valor de m permanece constante.
74 Comportamiento de gráficas lineales I 200 3.8. Analizar el comportamiento de gráfi cas lineales de la
forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.
75 Comportamiento de gráficas lineales II 202
TIC 204
Recreación 205
Evaluación 206
Bloque 4 208
4.1. Elaborar, utilizar y justifi car procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el signifi cado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Juegos y retos. La leyenda del ajedrez 210
76 Potencias 212
77 Producto de potencias 214
78 Cociente de potencias 216
79 Notación científica 218
80 Orden de magnitud 220
81 Cálculos con notación científica 222 4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a
partir de construcciones con información determinada.
Juegos y retos. Triangulaciones 224
82 Congruencia de triángulos I 226 83 Congruencia de triángulos II 228 84 Congruencia de triángulos III 230 85 Congruencia de triángulos IV 232 86 Congruencia de triángulos V 234 4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un triángulo.
87 Alturas de triángulos 236
88 Mediatrices de triángulos 238
89 Bisectrices y medianas de triángulos 240 90 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo I 242 91 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo II 244 4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que
son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
Juegos y retos. ¿Pescador o pescado? 246
Q
R
P
93 Eventos independientes II 250
94 Regla del producto 252
95 Problemas de probabilidad 254
4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráfi cas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.
Juegos y retos. Carrera de obstáculos 256
96 Interpretación de gráficas de línea 258 4.6. Interpretar y elaborar gráfi cas formadas por segmentos
de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
97 Gráficas formadas por segmentos de recta I 260 98 Gráficas formadas por segmentos de recta II 262
TIC 264
Recreación 265
Evaluación 266
Bloque 5 268
5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coefi cientes enteros.
Juegos y retos. Animalirretos 270
99 Sistemas de ecuaciones I 272
100 Sistemas de ecuaciones II 274 101 Sistemas de ecuaciones III 276 102 Sistemas de ecuaciones IV 278 5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la
traslación de fi guras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de fi guras.
Juegos y retos. Figurirretos 280
103 Traslación de figuras 282
104 Rotación de figuras I 284
105 Rotación de figuras II 286
106 Simetría 288
107 Diseños 290
5.3. Representar gráfi camente un sistema de ecuaciones lineales con coefi cientes enteros e interpretar la
intersección de sus gráfi cas como la solución del sistema.
108 Gráficas de sistemas de ecuaciones I 292 109 Gráficas de sistemas de ecuaciones II 294 5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que
son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
Juegos y retos. Los dados 296
110 Eventos mutuamente excluyentes 298 111 Cálculo de la probabilidad 300 TIC 302 Recreación 303 Evaluación 304 Glosario 306 Bibliografía 311
18
BLOQUE
1
3
2 z 1 9 8y 2 12
Como resultado del estudio de este bloque se espera que los estudiantes:
1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.
2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.
4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de can-tidades.
5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.
Observa esta obra cubista de Pablo Picasso. Se llama Tres músicos.
En equipos lean los siguientes problemas, discutan al respecto y planteen cómo solucionarlos. Si no pueden resolverlos, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen.
a) En el museo donde se exhibe la pintura en forma temporal, ésta se debe mantener a una temperatura de 6 °F. ¿A cuántos grados centígrados equivale esa temperatura?
b) ¿Cómo reproducirías con regla y compás la cara del músico de la derecha?
c) La imagen de arriba es una reproducción a escala 1 a 15 de la obra origi-nal. ¿Cuál es la altura de la pintura real?
d) En otra versión de esta obra, Picasso colocó de distinta manera los tres personajes: primero el arlequin, en medio el flautista y al final el mon-je. ¿Cuántas opciones tuvo para ordenar a los tres músicos?
20
Los frijoles saltarines
Los frijoles saltarines es un juego divertido con el que aprenderás a multiplicar números positivos y negativos; se juega en grupos de dos o tres personas. Necesitan elaborar por grupo dos dados de cartulina como los siguientes.
Dado 1 Dado 2
También se pueden usar dos dados comunes, a los que deberán colocar etiquetas en las caras, con los números, signos y colores correspondientes.
Cada jugador debe hacer un tablero de 25 casillas como el siguiente:
El jugador o jugadora necesita también dos frijoles: uno café y uno negro, que pue-de sustituir por dos fichas como las pue-de la izquierda.
Reglas
1 Al iniciar la partida el jugador o jugadora coloca sus dos frijoles en el cuadro de salida, marcado con S en el tablero. El frijol café avanza a saltos de tres en tres casillas y el negro, de dos en dos.
2 Cada participante, por turnos, lanzará los dos dados, cuyo significado es el siguiente.
Dado 1. Los signos 1 indican que el frijol debe saltar hacia la derecha; los signos 2, que lo hará hacia la izquierda.
Dado 2. Los números indican cuántos saltos da el frijol. Si el signo del número es 1, debe respetarse la dirección del salto que señala el dado 1, pero, si el signo del número es 2, debe saltar en sentido contrario al que indica el dado 1.
3 El jugador o jugadora decide qué frijol avanza en cada tirada después de lanzar los dados.
4 Gana quien logre colocar sus frijoles a 5, 10 ó 15 saltos de una casilla de distancia entre ellos.
5 Si los frijoles no pueden avanzar, se pierde el turno.
2
2
2
+
+
+
–2
–3
–1
+3
+1
+2
S
3
2
21
21
ESTRATEGIAVeamos cómo jugaron Claudia y Antonio.
Primero tiró Claudia y le salió: 2 11. El signo 2 del dado 1 indica que debe
sal-tar a la izquierda y el 11 del dado 2, que debe dar un salto. Claudia escogió mover el frijol negro, que salta de dos en dos.
Antonio tiró los dados y obtuvo: 1 23. El signo 1 del dado 1 significa que debe
avanzar a la derecha y el 23 del dado 2, que debe dar tres saltos, pero como tiene sig-no 2, cambia el sentido de los saltos. El joven decidió mover el frijol café.
En su segundo tiro Claudia obtuvo: 2 21. El signo 2 del dado 1 señala que debe
avanzar a la izquierda, pero, como el 21 del dado 2 tiene signo 2, debe avanzar en
sentido contrario, es decir, un salto a la derecha. La joven decidió mover el frijol café.
Como los frijoles de Claudia quedaron a cinco saltos de una casilla de distancia, ella gana el juego.
Formen grupos de dos o tres integrantes y jueguen a Los frijoles saltarines.
• Realiza las siguientes actividades para mejorar tu estrategia en este juego.
a) Explica en qué casos los frijoles avanzan a la derecha y en cuáles a la izquierda.
b) Si tus frijoles quedan como en el dibujo y te sale 2 12, ¿cuál frijol moverías?
¿Por qué?
S
3 2S
2 3S
3 2S
3 2S
3 222
3 Observa lo siguiente.
Dado 1 Dado 2 Frijol
Dado 1 Dado 2 Frijol
Dado 1 Dado 2 Frijol
Multiplicación de números con signo I
1 Contesta de acuerdo con las reglas del juego Los frijoles saltarines.
a) Si el dado 1 muestra una cara azul y el dado 2 una cara verde, ¿hacia qué lado es el avance del frijol?
b) Si el dado 1 indica una cara verde y el dado 2 una cara azul, ¿hacia qué lado es el avance del frijol?
c) Si el dado 1 muestra una cara azul, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el avance sea a la derecha?
d) Si el dado 1 indica una cara verde, ¿qué debe suceder con el dado 2 para que el avance sea a la derecha?
2 Completa la tabla y contesta.
a) ¿En qué casos se avanza hacia la derecha?
b) ¿En qué casos se avanza hacia la izquierda?
Color de la cara del dado 1 Color de la cara del dado 2 Avance hacia la…
derecha
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 13 3 13 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 21 3 de nuevoel
juego
12, 12, 12,5 (13) × (12) 5 16 3 veces a la derecha ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −3, −3, −3,5 (−3) × (13) 5 −9 3 veces a la izquierda ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎨ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 13 5 (11) × (13) 5 13 1 vez a la derecha ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎨⎜ ⎜⎜⎜ ⎝23
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
•
Escribe las multiplicaciones y represéntalas en la recta.a) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
b) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
c) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
d) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
e) Dado 1 Frijol Dado 2 Multiplicación:
4 Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. Explica cómo llegaste a tus resultados.
5 Observa las rectas y completa las multiplicaciones.
2 3 5 3 (25)5 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 13 3 22 1 22 2 2 3 1 11 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
La multiplicación también puede realizarse con números negativos. La multiplicación se puede representar en la recta numérica.
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo. 3
24
Multiplicación de números con signo II
1 Completa las secuencias numéricas y anota cómo cambia cada secuencia.
a) 4, , 2, 1, 0, 21, , 23, La secuencia b) 20, 15, 10, , , 25, 210, , 220 La secuencia c) 5, 4, , , , 0, , , 23 La secuencia d) 220, 216, , 28, , , 4, , 12 La secuencia
2 Relaciona las secuencias anteriores con las multiplicaciones y anota los
resultados que faltan en las tablas. Pon especial atención en el signo del resultado.
3 14 13 12 11 0 21 22 23 24
15
3 15 14 13 12 11 0 21 22 23
24
3 Reúnete con dos compañeros o compañeras y comparen sus respuestas de la
actividad anterior. Luego, resuelvan la actividad 4.
4 Escriban los resultados de las multiplicaciones.
a) (16) 3 (13) 5 h) (23) 3 (16) 5 ñ) (23) 3 (21) 5 b) (16) 3 (12) 5 i) (23) 3 (15) 5 o) (23) 3 (22) 5 c) (16) 3 (11) 5 j) (23) 3 (14) 5 p) (23) 3 (23) 5 d) (16) 3 (0) 5 k) (23) 3 (13) 5 q) (23) 3 (24) 5 e) (16) 3 (21) 5 l) (23) 3 (12) 5 r) (23) 3 (25) 5 f) (16) 3 (22) 5 m) (23) 3 (11) 5 s) (23) 3 (26) 5 g) (16) 3 (23) 5 n) (23) 3 (0) 5 t) (23) 3 (27) 5
•
Coloreen de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con re-sultado igual a cero y de verde las casillas con rere-sultado negativo.disminuye de uno en uno
-20
-20
Obser va En la multiplicación de números con signo se cumple que: (15) 3 (24) 5 (24) 3 (15)25
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones de números con signo.
Recuerda El signo 1 de los números positivos puede omitirse.
5 Resuelve las siguientes operaciones con una calculadora.
3 22.5 22 21.5 21 20.5 0 0.2 1.2 1.8 2 20.3 20.1 0 0.2 0.4 0.6
•
Colorea de azul las casillas con resultado positivo, de amarillo las casillas con resul-tado igual a cero y de verde las casillas con resulresul-tado negativo.6 Escribe multiplicaciones cuyos resultados sean positivos, negativos y cero en
los espacios correspondientes de acuerdo con los colores que se establecieron en la actividad anterior.
7 Resuelve las multiplicaciones.
a) 3 3 5 5 b) 6 3 3 5 c) 7 3 8 5 d) 3 3 (25) 5 e) 6 3 (23) 5 f) 7 3 (28) 5 g) 23 3 5 5 h) 26 3 3 5 i) 27 3 8 5 j) 23 3 (25) 5 k) 26 3 (23) 5 l) 27 3 (28) 5
8 Completa la tabla.
Signo de los factores Signo del producto
+ 3 + = + 3 = 2 3 + = 2 2 3 = + Obser va Para cambiar el signo de un número en la calculadora científica, se utiliza la tecla 1/2.
El signo del producto de una multiplicación depende del signo de los factores.
Obser va En estos casos el paréntesis sirve para separar los signos 2 y 3. Recuerda Las cantidades que se multipli-can se llaman factores y el resultado de la multiplicación es el producto.
I
C
T
26
División de números con signo
1 Analiza las situaciones y realiza lo que se pide.
a) Claudia y Antonio siguen jugando Los frijoles saltarines. Claudia tiene la siguiente posición en su tablero y le toca tirar.
i) ¿Qué debe salir en los dados para que Claudia gane? Anota las dos posibilidades.
Dado 1 Dado 2
ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica.
Multiplicación: Multiplicación:
b) Antonio tiene esta posición en su tablero y le toca tirar.
i) ¿Qué debe salir en los dados para que Antonio gane? Anota las cuatro posibilidades.
ii) Escribe las multiplicaciones que corresponden a los movimientos anteriores y represéntalas en la recta numérica.
Multiplicación: Multiplicación: 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
S
2 3S
3 2 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Dado 1 Dado 2 de nuevoel
juego
27
2 Completa las multiplicaciones.
a) 4 3 5 20 b) 3 4 5 28 c) 7 3 5 56 d) 9 3 5 72 e) 4 3 5 220 f) 3 27 5 228 g) 3 (28) 5 256 h) 9 3 5 272 i) 3 5 5 220 j) 27 3 5 228 k) 27 3 5 256 l) 29 3 5 272 m) 24 3 5 20 n) 3 24 5 28 ñ) 3 8 5 56 o) 29 3 5 72
3 Resuelve las divisiones. Considera las multiplicaciones anteriores.
a) 20 4 4 5 b) 28 4 4 5 c) 56 4 7 5 d) 72 4 9 5 e) 220 4 4 5 f) 228 4 (27) 5 g) 256 4 (28) 5 h) 272 4 9 5 i) 220 4 (5) 5 j) 228 4 (228) 5 k) 256 4 (27) 5 l) 272 4 (29) 5 m) 20 4 (24) 5 n) 28 4 (24) 5 ñ) 56 4 8 5 o) 72 4 (29) 5
4 Completa la tabla.
Signo del dividendo Signo del divisor Signo del cociente
1 4 1 5
1 4 2 5
2 4 1 5
2 4 2 5
5 Realiza las operaciones y escribe los números que faltan.
a) 36 4 (26) = b) 256 4 8 = c) 234 4 2 = d) 281 4 9= e) 4 (25) = 40 f) 63 4 = 29 g) 272 4 (29) = h) 81 4 9= i) 45 4 (25) = j ) 4 4 = 232 k) 4 8 = 11 l) 4 (27) = 49 m) 1 4 2 2 3 4 5
( )
n) 5 21 3)
(
2 2 4 3 ñ) 2 3 4 1 5 5 4 o)6 Convierte las siguientes fracciones en número decimal usando la calculadora.
No olvides tener en cuenta los signos.
Para cambiar el signo de un número se usa la tecla 1/2 . a) 23 5 4 b) 5 21 22 _______ c) 5 5 28 d) 23 216 ______ 5 e) 23 5 220 _______ f) 5 23 225 g) 5 25 6 h) 5 3 22 5 2 1 3
)
(
2 4 5 Recuerda Para convertir una fracción en número deci-mal, el nume-rador se divide entre el deno-minador.-0.75
1.1. Resolver problemas que impliquen divisiones de números con signo.
Recuerda Si c 5 a 3 b, entonces: c 4 a 5 b, y c 4 b 5 a
I
C
T
_______28
Problemas de multiplicación y división de números
con signo
1 Contesta.
a) Escribe tres multiplicaciones cuyo resultado sea 224.
b) Anota dos multiplicaciones cuyo resultado sea 1. Utiliza sólo números enteros.
c) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 249.
d) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 49.
e) Escribe cuatro multiplicaciones cuyo resultado sea 0.
f) Escribe dos divisiones cuyo resultado sea –1.
g) ¿Qué número multiplicado por 4 da 212?
h) ¿Por qué número se debe dividir 24 para obtener 8?
i) ¿Por cuánto debe dividirse 234 para obtener –1? j) ¿Por cuánto debe multiplicarse 13 para obtener 1?
k) ¿Por qué número debe multiplicarse 4 para obtener 2 12 ? l) ¿Por qué número debe multiplicarse 23 para obtener 22? m) ¿Por qué número debe multiplicarse 57 para obtener 32 ? n) ¿Por qué número debe multiplicarse 57 para obtener 2 15 ?
2 Revisen en grupo sus respuestas y con ayuda de su profesora o profesor comparen las estrategias utilizadas para obtenerlas.
Recuerda
Los números en-teros son: • Los negativos: 21, 22, 23, 24, 25, etcétera. • Los positivos: 1, 2, 3, 4, 5, etcétera. • El cero
29
3 Escribe los números y las operaciones que faltan.
4 Lee el siguiente texto para que comprendas lo que son los grados Fahrenheit. El grado Fahrenheit es la unidad de medida de temperatura que se utiliza en algunos países de habla inglesa.
Para convertir grados Fahrenheit en grados centígrados se utiliza la fórmula
C 5 59 3 (F 2 32), donde F representa los grados Fahrenheit. Por ejemplo, para
conver-tir 20 8F (20 grados Fahrenheit) en centígrados se realiza lo siguiente.
C 5
a) Expresa en grados centígrados las siguientes temperaturas.
i) 10 8F = ______ 8C ii) 8 8F = ______ 8C iii) 50 8F = 8C
iv) 4 8F = _______ 8C v) 0 8F = ______ 8C vi) 27 8F = ______ 8C
b) Reúnete con dos o tres compañeros o compañeras y contesten las siguientes preguntas.
i) ¿Cuáles temperaturas en grados Fahrenheit son menores que 0 °C y cuáles
son mayores?
ii) Recuerden el problema del inciso a) de la página 11. ¿Cómo lo resolvieron? ¿Pueden resolverlo usando la fórmula de arriba? Discutan las estrategias que usaron y escojan las mejores. Anoten sus conclusiones enseguida.
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
5 93 (20 2 32)= 5 9 3 (212)=5 3 (212) = 9 260 9 ø 26.66 °C 4 50 10 3(25) 4(22) Recuerda El símbolo ø significa “aproximadamen-te igual a”.
30
Rompecabezas algebraico
Observa los siguientes bloques.
Dentro de cada bloque se indica su área. Observa que: 1 3 1 5 1, x 3 1 5 x
y x 3 x 5 x2.
Observa el área y el perímetro de los siguientes rectángulos.
Perímetro = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 8x Área 5 x2 1 x2 1 x2 5 3x2 Perímetro = x + 1 + x + x + 1 + 1 + 1 + x + 1 + 1 + x + x = 6x + 6 Área = x2 + x2 + x + x + x + x + 1 + 1 = 2x2 + 4x + 2
1
1
1
x
x
x
2x
x
x
x
x
x
1
1
1
x
x
x
Recuerda En primer grado viste quex 1 x 5 2x x + x 1 x 5 3x x2 1 x2 5 2x2
31
ESTRATEGIAReproduce cinco veces en cartulina cada uno de los bloques de la página anterior; conserva su tamaño. Resuelve los siguientes retos:
1 Arma con los bloques un cuadrado de 4x + 8 de perímetro y
x2 + 4x + 4 de área.
2 Determina con tus bloques el perímetro y el área de estas figuras:
• Analiza y contesta.
Recuerda cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado. ¿Cuánto debe medir el lado de un cuadrado para que su perímetro sea 4x + 8?
32
Expresiones algebraicas
1 Descubre cómo se forman las secuencias de las figuras y anota en la tabla su
perímetro. Secuencia 1 Secuencia 2 Secuencia 1 Figura Perímetro 1
2 + 2
2 3 4 5 6 7 81
x
x
x
1
x
x
x
1
1
x
1
1
x
1
1
1
x
Figura 3Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 1 Figura 2 Secuencia 2 Figura Perímetro 1
2 + 2
2 3 4 5 6 7 833
1.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.
• Contesta.
a) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 1? _______________________________ b) ¿Qué va cambiando en los perímetros de la secuencia 2? _____________________________
c) ¿Cuál es el perímetro de la figura n en cada secuencia?____________________________
2 Escribe el área y el perímetro de las figuras. Toma en cuenta las medidas de los
bloques de la página 30. a) b) Perímetro = ___________ Perímetro = _________ Área = ________________ Área = _____________ c) d) Perímetro = _______________ Perímetro = ____ Área = ____________________ Área = ________ e) f) Perímetro = _________ Área = ______________
3 Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
Perímetro = _____________
Área = __________________
Una expresión algebraica indica operaciones entre números y letras. Las letras se denominan literales.
34
Adición y sustracción de expresiones algebraicas I
1 Escribe el perímetro de las siguientes figuras. Anota la expresión más simple que puedas.
a) b)
Perímetro = ___________ Perímetro = _________
c) d)
Perímetro = ___________ Perímetro = _________
2 Observa el perímetro de cada figura y anota en las líneas los valores que faltan.
a) b)
Perímetro = 12z 1 8 Perímetro = 18a
3 Compara las respuestas de esta página con las de tus compañeros y compañeras. Con ayuda de su profesor o profesora, corrijan sus errores y busquen las expresiones más simples.
3x 1 2 5z 1 1 3 2 z 1 9 1 2 y 2 8 8y 2 12 y 2 2 1 3z 1 19 4y 2 z 4z 1 6 69a 2 7b 4a 1 3b Obser va El cuadrado y el pentágono son polígonos regulares porque sus lados y sus ángulos internos son iguales en cada caso.
12 + 8
y 1 135
4 Reúnete con un compañero o una compañera y plantéense uno a otro el siguiente juego varias veces. Después, contesten las preguntas.
i) Piensa un número entero. ii) Multiplícalo por dos.
iii) Al resultado anterior, suma el número siguiente al número que pensaste. iv) Suma 8 al resultado anterior.
v) Divide entre tres el resultado anterior. vi) Resta el número que pensaste al principio. vii) Te queda 3.
a) Si se denota como x al número que se piensa, ¿cómo se denota ese número
multiplicado por 2?
b) ¿Y cómo se denota el número siguiente?
c) ¿La división del inciso v) siempre es exacta? ¿Por qué?
d) ¿Siempre resulta 3 al final? ¿Por qué?
5 Inventa un juego como el anterior y plantéaselo a tus compañeros. • La primera instrucción deberá ser: “Piensa cualquier número”. • La última instrucción deberá ser: “Te queda 1”.
6 Contesta.
a) La suma de un número entero más el anterior es par o impar? ¿Por qué?
b) Si se suma el triple de un número entero más su quíntuplo, ¿el resultado siempre es divisible entre 4? ¿Por qué?
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
Si nos fijamos en las expresiones algebraicas podemos interpretarlas. Por ejem-plo, si n es un número entero, podemos saber que 6n es divisible entre 3, ya que al dividirlo entre 3 obtenemos 2n, o que 4n + 2 es un número par, ya que al divi-dirlo entre 2 se obtiene 2n + 1.
36
Adición y sustracción de expresiones algebraicas II
1 Observa la sucesión de figuras que se formó con los bloques de la página 30 y realiza lo que se pide.
a) Anota el área de las figuras anteriores y de las cuatro que seguirían. Toma en cuenta las medidas de la página 30.
Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Área X 2 + 1
b) Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y contesten las preguntas.
i ) Si el área de una figura de esta sucesión es 15x + 105, ¿el área de otra figura de la misma sucesión puede ser 20x 1 100? Justifiquen su respuesta.
ii) ¿Cuántos rectangulos verdes tiene una figura cuya área es 18x + 153?
iii) El área de una figura es 29x + 406, ¿cuál es el área de la figura anterior en la secuencia? ¿Cuál es el área de la fi-gura siguiente?
c) Observa cómo la figura 3 se puede transformar en un rectángulo de la misma altura; después forma un equipo de cuatro o cinco integrantes y contesten.
¿La figura de área 20x + 190 puede transformarse en rectángulo? ¿Por qué?
Figura 2
Figura 1 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Recuerda En primer grado asociaste suce-siones de figuras con sucesiones numéricas.
37
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
2 Escribe los valores que falten en la siguiente recta numérica y contesta.
a) Si n es igual a 1, ¿cuál es el valor de n 2 3? b) Si n 1 4 es igual a 5, ¿cuál es el valor de n?
c) Si n y el número anterior a n suman 29, ¿cuánto vale n?
d) Si n es un número entero y se suman n y el número siguiente, ¿el valor de la
suma es par o impar? Justifica tu respuesta.
e) Si n es un número entero y se suman n, el número siguiente y el número
siguiente del siguiente, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.
f) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y
los dos números siguientes.
g) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y los tres números siguientes.
3 Formen equipos de cuatro o cinco integrantes y comparen las respuestas de la
actividad anterior. Comenten, sobre todo, los procedimientos que usaron para contestar los incisos d), e), f) y g). Después resuelvan estos problemas:
a) La suma de cinco números enteros consecutivos es 35. ¿Qué números son?
b) La suma de siete números enteros consecutivos es 228. ¿Qué números son?
c) ¿La suma de tres números consecutivos cualesquiera es divisible entre 3? Justifica tu respuesta en tu cuaderno.
4 Comparen las respuestas de la actividad anterior con las de los demás equipos y, junto con su profesor o profesora, revisen los procedimientos que siguieron.
n + 4
n
38
Adición de polinomios
1 Resuelve las adiciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta las
áreas señaladas en la página 30.
a) b) c) d)
+
++
=
+ =+
+=
+
+=
=+
+=
=39
1.2. Resolver problemas que impliquen adición de expresiones algebraicas.
Suma de los términos no semejantes. Suma de los términos independientes. Suma de los
términos con x2.
Suma de los términos con x.
Un término o monomio es una expresión formada por el producto de números y literales elevadas a algún exponente; es decir, en un término sólo hay operaciones de multiplicación, división o potenciación. Un número solo y una literal sola tam-bién son términos. Ejemplos:
1 x 2x xyz 3xy 4x2 5
6 x3
Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo:
x, 3x, 6x y 34 x son términos semejantes porque tienen la misma literal elevada al
mismo exponente: x.
5x2y, –3x2y y 2
3 x2y son semejantes.
1, 2, –7, 0 y 12 son semejantes porque ninguno tiene literales. Los términos sin li-terales se llaman términos independientes.
Un polinomio es la adición o sustracción de varios términos. Por ejemplo:
2x 2 4 3x2 1 5x 2 1 5xy + 3
4 3z2 1 3xy 1 4z 2 x 2 y 1 2
2 Efectúa la adición de los siguientes polinomios. Fíjate en el ejemplo.
a) 3 x2 + 2x – 1 b) 4x2 – 3x + 2 c) –6x2 + 4x + 5 +2 x2 – 3x + 5 + x2 – 2x + 7 + 2x2 – 2x + 8 d) –x2 + 4x + 3 e) 5x2 + 4 f) 8x2 + 2 + 2x2 – 2x – 2 + 5x2 – 8x + x + 8 g) 3x2 + 2x – 1 h) 3x2 – 4x + 1 i) –9x2 + 4x 2x2 – 3x + 5 2x2 + 3x – 3 4x2 – 8 + 5x2 – x + 4 + 6x2 – 4x – 1 + 3x + 4
El resultado de sumar dos o más polinomios es otro polinomio formado por la suma de los términos semejantes y los términos no semejantes. Por ejemplo:
4x2 + 5x + 2z + 2
+ 5x2 – 3x + 3y – 6
9x2 + 2x + 2z +3y – 4
40
Sustracción de polinomios
1 Resuelve las sustracciones anotando el área de las figuras. Toma en cuenta el
área de las figuras de la página 30. a) b) c) d) 2
=
2 =2
=
2 = 2 2=
= 2=
2 =41
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. 2 Escribe los polinomios que faltan.
a) 5x2 1 3x 2 1 b) 6x2 1 2x 2 1 c) –6x2 1 2x 1 5 1 1 1 4x2 2 2x 1 1 5x2 2 2x 1 1 4x2 1 x 2 4 d) 23x2 1 x 2 2 e) 5x2 1 3 f) 8x2 1 2 1 1 1 x2 2 4x 2 1 5x2 2 8x 2 x 1 8
3 Realiza la sustracción de los polinomios.
a) 4x2 2 3x 2 4 b) 5x2 1 2x 2 2 c) 26x2 1 4x 1 5 2 (4x2 2 2x 1 5) 2 (2x2 2 2x 1 5) 2 (2x2 2 2x 1 8) d) 29x2 1 6x 1 2 e) 6x2 2 6x 1 4 f) 22x2 1 1 2 (5x2 1 x 2 3) 2 (3x2 2 8x) 2 (1 3x 1 2)
4 Efectúa las siguientes sustracciones y adiciones de polinomios.
a) 5x2 2 2x 2 4 b) 5x2 2 2x 2 4 2 (27x2 2 2x 1 5) 1 7x2 1 2x 2 5 c) 24z2 1 3z 1 4 d) 24z2 1 3z 1 4 2 (3z2 1 4z 1 2) 12 3z2 2 4z 2 2 e) 22y2 1 4x 2 3 f) 22y21 4x 2 3 2 (3y2 2 4x 2 3) 123y2 1 4x 1 3
5 Compara los resultados anteriores con los de tus compañeros y compañeras.
Corrijan los errores y digan qué relación hay entre las adiciones y las sustracciones.
6 Lee el siguiente texto y escribe en tu cuaderno cómo se resuelve, con una
adición, la sustracción de polinomios.
El inverso aditivo de un polinomio es el mismo polinomio, pero con signo opues-to en cada término. Por ejemplo:
El inverso aditivo de 3x2 1 2x 2 5 es: 23x2 2 2x 1 5
