Prueba de Hipotesis de Una Muestra Ejercicios Resueltos (1)

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Capítulo 10

Estadística aplicada a los negocios

Prueba de hipótesis de una muestra

y la economía

Los ejercicios que aquí se presentan tienen como objetivo que el estudiante se familiarice con los datos que debe incorporar en los estadísticos de prueba y los pasos que debe seguir para llegar a los resultados solicitados, de acuerdo a los supuestos de cada situación.

En ningún momento se debe interpretar que los enunciados y supuestos son similares a los enunciados y supuestos de las pruebas escritas de la asignatura. Los ejercicios planteados son un complemento de las teletutorías y radiotutorías.

A. Cuando se conoce la desviación estándar de la población Ejercicio 2, página 347

Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal. La media muestral es de 12, y el tamaño de la muestra 36. La desviación estándar de la población es 3. Utilice el nivel de significancia 0,02.

Ho: u <= 10 H1: u > 10 a) Es una prueba de una o de dos colas?

Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea mayor que 10. La prueba está ubicada del lado derecho de la curva normal.

b) Cuál es la regla de decisión?

Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2,06 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba?

Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (12-10)/(3/Ѵ36) = 4 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho?

Dado que Zc = 4 > Zt = 2,06, se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor

P(z >= 4) = 0,000, ni siquiera está en la tabla de probabilidades de la página 782, por lo

que es menor que el alfa de 0,02 lo que implica que se rechaza la hipótesis nula con mayor seguridad.

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Ejercicio 4, página 347

Se selecciona una muestra de 64 observaciones de una población normal. La media de la muestra es de 215, y la desviación estándar de la población, 15. Lleve a cabo la prueba de hipótesis, utilice el nivel de significancia 0,03.

Ho: u >= 220 H1: u < 220 a) Es una prueba de una o de dos colas?

Es una prueba de una cola pues esto lo define la H1 la cual indica que el promedio sea menor que 220. La prueba está ubicada del lado izquierdo de la curva normal.

b) Cuál es la regla de decisión?

Se rechaza Ho si Zc < Zt es decir se rechaza si Zc < -1,89 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba?

Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (215-220)/(15/Ѵ64) = -2,67 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho?

Dado que Zc = -2,67 < Zt = -1,89, se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor

P (z <= -2,67). La probabilidad de encontrar un valor de z igual o menor a -2.67 es 0,5 – 0,4962 = 0,0038. Como 0,0038 es menor que el nivel de significancia de 0,03, entonces se rechaza Ho con más confianza ya que hay evidencia muy fuerte de que H0 no es verdadera.

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Ejercicio 8, página 348

En el momento en que fue contratada como mesera en el Grumney Family Restaurant, a Beth Brigden le dijeron: “Puedes ganar en promedio más de $80 al día en propinas”. Suponga que la desviación estándar de la distribución de población es de $3,24. Los primeros 35 días de trabajar en el restaurante, la suma media de sus propinas fue de $84,85. Con el nivel de significancia de 0,01. ¿La señora Brigden puede concluir que gana un promedio de más de $80 en propinas?.

a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho: u <= 80

H1: u >80

b) Cuál es la regla de decisión?

Se rechaza Ho si Zc > Zt es decir se rechaza si Zc > 2,33 c) Cuál es el valor del estadístico de prueba?

Zc = (x – u)/(σ/Ѵn) = (84,85 - 80)/(3,24/Ѵ35) = 8,85 d) Cuál es su decisión al respecto de Ho?

Dado que Zc = 8,85 > Zt = 2,33, se rechaza la hipótesis nula e) Cuál es el valor p? Interpreta este valor

P (z >= 8,85). La probabilidad de encontrar un valor de z igual o mayor a 8,85 es muy pequeño, cercano a 0 (no está en la tabla de la página 782). Como ese valor tan

pequeño es menor que el nivel de significancia de 0,01, entonces se rechaza Ho con más seguridad ya que hay evidencia muy fuerte de que H0 no es verdadera.

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B. Cuando no se conoce la desviación estándar de la población

Ejercicio 10, página 352 Sean las siguientes hipótesis:

Ho: µ = 400 H1: µ ≠400

En el caso de una muestra aleatoria de 12 observaciones seleccionada de una población normal, la media muestral fue de 407, y la desviación estándar de la muestra, de 6. Utilice el nivel de significancia 0,01.

a) Formule la regla de decisión?

Se rechaza Ho si tc > tt es decir se rechaza si tc > 3,106 b) Calcule el valor de estadístico de prueba

𝑡 =x̅ − µ𝑠/√𝑛=407−4006/√12 = 4,04

c) Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?

Dado que tc = 4,04 > tt = 3,106, se rechaza la hipótesis nula

Ejercicio 12, página 353

La administración de White Industries analiza una nueva técnica para armar un carro de golf; la técnica actual requiere 42,3 minutos de trabajo en promedio. El tiempo medio de montaje de una muestra aleatoria de 24 carros, con la nueva técnica, fue de 40,6 minutos, y la desviación estándar, de 2,7 minutos. Con un nivel de significancia de 0,10, ¿puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más breve?

a) Sean las siguientes hipótesis:

Ho: µ ≥ 42,3 H1: µ <42,3

b) Regla de decisión con n - 1 = 23 grados de libertad y un α = 0,10, prueba de una cola, la zona de rechazo se encuentra a la izquierda la distribución. Con los datos anteriores el valor crítico de la t de Student es: -1,319

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c) Calcule el valor de estadístico de prueba 𝑡 =x̅ − µ𝑠/√𝑛=40,6 − 42,32,7/√24 = −3,085

d) Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?

Dado que tc = -3,085 < tt = -1,319, se rechaza la hipótesis nula

Por lo tanto se puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es más breve, a un nivel de significancia de 10%.

Ejercicio 14, página 353

En la actualidad, la mayoría de los que viajan por avión compra sus boletos por internet. De esta forma, los pasajeros evitan la preocupación de cuidar un boleto de papel, además de que las aerolíneas ahorran. No obstante, en fechas recientes, las aerolíneas han recibido quejas relacionadas con los boletos, en particular cuando se requiere hacer un enlace para cambiar de línea. Para analizar el problema, una agencia de investigación independiente tomó una

muestra aleatoria de 20 aeropuertos y recogió información relacionada con la cantidad de quejas que hubo sobre los boletos durante marzo. A continuación se presenta la información.

14 14 16 12 12 14 13 16 15 14 12 15 15 14 13 13 12 13 10 13

Con un nivel de significancia de 0,05, ¿la agencia de investigación puede concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor de 15 al mes?

a) ¿Qué suposición se requiere antes de llevar a cabo una prueba de hipótesis? Que la característica que se está estudiando (cantidad de quejas por aeropuerto, en este caso) en la población, de la que se obtuvo la muestra, se distribuye

aproximadamente de acuerdo con la distribución de probabilidad normal.

b) Ilustre la cantidad de quejas por aeropuerto en una distribución de frecuencia o en un diagrama de dispersión. ¿Es razonable concluir que la población se rige por una distribución normal?

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Gráficamente, la distribución de los datos se “asemeja” a una distribución

aproximadamente normal. Aunque la herramienta gráfica no es suficiente para llegar a una conclusión definitiva.

c) Realice una prueba de hipótesis e interprete los resultados.

H0: µ ≥ 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto mayor o igual a 15) H1: µ < 15 (cantidad media de quejas por aeropuerto menor que 15)

Nivel de significancia α =0,05, es una prueba de una cola, la desviación estándar poblacional desconocida por lo que se debe usar la distribución t de Student para realizar la prueba con (n-1) = (20-1) = 19 grados de libertad. Por consiguiente, el valor crítico del estadístico de prueba t es -1,729 (por la cola inferior, dado que la hipótesis alternativa establece la relación “menor que”).

La regla de decisión es:

Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de t (tc) es menor que -1,729. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.

Se calcula el estadístico de prueba, t de Student: tc = x̅ − μs

√n

= 13,5 − 151,5044 √20

= −4,46

Dado que -4,46 < -1,729 se rechaza la hipótesis nula. Eso significa que, al nivel de significancia del 0,05, hay evidencia suficiente para concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor a 15.

0 2 4 6 8 10 12 10 12 14 y mayor... Fr e cu e n ci a Clase

Representación gráfica

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C. Pruebas de hipótesis relacionadas con proporciones

Ejercicio 22, página 359 Sean las siguientes hipótesis.

Ho: π = 0,40 H1: π ≠ 0,40

Una muestra de 120 observaciones reveló que p = 0,30. ¿Puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia de 0,05?

a) Formule la regla de decisión

b) Calcule el valor del estadístico de prueba

c) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?

a) La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que -1,96. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.

Es una prueba de dos colas, α/2 = 0,05/2 = 0,025, entonces qué valor debe tener Z, para una probabilidad de 0,475= (0,5 – 0,025), P(0 a Z) = 0,475 implica que Z = 1,96 b) Estadístico de prueba es:

Z

c

=

p−π √π(1−π) n

=

0,30−0,40 √0,40(1−0,40) 120

= −2,22

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Ejercicio 24, página 359

Un artículo reciente de USA Today informó que sólo hay un trabajo disponible por cada tres nuevos graduados de universidad. Las principales razones fueron una sobrepoblación de graduados universitarios y una economía débil. Una encuesta de 200 recién graduados reveló que 80 estudiantes tenían trabajo. Con un nivel de significancia de 0,02. ¿Puede concluir que una proporción mayor de estudiantes de su escuela tienen empleo?

Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hipótesis. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa. De cada tres graduados solo uno consigue empleo, esto quiere decir que 1/3 parte tiene trabajo, π=0,33

Ho: π = 0,33 H1: π ˃0,33

Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,02 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba:

P = 80/200 = 0,40

Z

c

=

p−π √π(1−π) n

=

0,40−0,33 √0,33(1−0,33) 200

= 2,12

Paso 4: Se formula la regla de decisión.

La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es mayor que 2,06. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.

Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, α = 0,02, entonces ¿Qué valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,480 = (0,5 – 0,02), P (0 a Z) = 0,480 implica que Z = 2,06

Paso 5: Se toma la decisión

Dado que 2,12 > 2,06 (Zc > Zt ), entonces se rechaza la hipótesis nula. Puede concluirse que una proporción mayor de estudiantes de la escuela tienen empleo.

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Ejercicio 26, página 359

Una investigación de la universidad de Toledo indica que el 50% de los estudiantes cambia de área de estudios después del primer año en un programa. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de la Facultada de Administración reveló que 48 habían cambiado de área de estudio después del primer año del programa de estudios. ¿Hubo una reducción significativa en la proporción de estudiantes que cambian de área el primer año en este programa? Realice una prueba con un nivel de significancia de 0,05.

Nota: se recomienda utilizar el procedimiento de los cinco pasos para la prueba de hipótesis. Paso 1: se establece la hipótesis nula y alternativa.

Ho: π = 0,50 H1: π <0,50

Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia: α = 0,05 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba:

Para calcular la proporción muestral se divide el número de estudiantes que cambiaron de área en la muestra, entre el total de muestra, esto es p = 48/100 = 0,48.

Z

c

=

p−π √π(1−π) n

=

0,48−0,50 √0,50(1−0,50) 100

= −0,40

Paso 4: Se formula la regla de decisión.

La regla de decisión es: Rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z (Zc) es menor que -1,65. No rechazar la hipótesis nula en caso contrario.

Para calcular el valor de Z tabular se hace lo siguiente: Es una prueba de una cola, α = 0,05, entonces ¿Qué valor debe tener Z?, para una probabilidad de 0,4500 = (0,5 – 0,05), en la tabla aparece la probabilidad 0,4505 entonces se toma esta probabilidad para resolver el ejercicio, esto quiere decir que P (0 a Z) = 0,4505 implica que Z = 1,65. Se utiliza -1,65 porque la hipótesis alternativa indica que la zona de rechazo se ubica en la cola izquierda de la distribución normal estándar.

Paso 5: Se toma la decisión

Dado que -1,65 < -0,40 ( Zt < Zc), entonces NO se rechaza la hipótesis nula, por tanto no hay evidencia estadísticamente significativa de que hubo una reducción en la proporción de estudiantes que cambian de área en el primer año en el programa.

Figure

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