PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL

(1)

// 11

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL

ORIENTE DEL ESTADO DE MEXICO

³PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA

POBLACIONAL´

ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA.

PROFESOR: CARLOS REYNAGA.

INTEGRANTES:

AGUILAR YAÑEZ JOSE LUIS

GALLARDO ORTIZ YANET

GORDILLO TREJO BEATRIZ

MONDRAGON CONTRERAS SANDRA IVETTE

ROJAS MARTINEZ DULCE GIOVANNA

ROMERO

(2)

³

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA

POBLACIONAL´

³

ERRORES TIPO

I

Y TIPO

II´

POR

POR SANDRA

SANDRA IVETTE

IVETTE MONDRAGÓN

MONDRAGÓN CONTRERAS

CONTRERAS

GRUPO 4C11

(3)

3

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL.

El propósito de la prueba de hipótesis es determinar si un valor propuesto El propósito de la prueba de hipótesis es determinar si un valor propuesto (hipotético) para un parámetro poblacional, por ejemplo para una media, (hipotético) para un parámetro poblacional, por ejemplo para una media, debe aceptarse como plausible con base en la evidencia muestral. Recuerde debe aceptarse como plausible con base en la evidencia muestral. Recuerde las distribuciones

las distribuciones de muestreo, en de muestreo, en general el general el valor de valor de una media una media muestralmuestral difiere del valor de la media poblacional. Si el valor de un estadístico difiere del valor de la media poblacional. Si el valor de un estadístico muestral, como la media muestral es cercano al valor propuesto con muestral, como la media muestral es cercano al valor propuesto con parámetro y solo difiere en una cantidad

parámetro y solo difiere en una cantidad que resulta des esperarse debido alque resulta des esperarse debido al muestreo aleatorio, entonces no se rechaza el valor hipotético. Si el muestreo aleatorio, entonces no se rechaza el valor hipotético. Si el estadístico muestral difiere del valor propuesto en una cantidad que no es estadístico muestral difiere del valor propuesto en una cantidad que no es atribuible a la casualidad, entonces se rechaza la hipótesis por no atribuible a la casualidad, entonces se rechaza la hipótesis por no considerarse plausible.

considerarse plausible.

Se han desarrollado tres métodos para pruebas de hipótesis, todos ellos Se han desarrollado tres métodos para pruebas de hipótesis, todos ellos conducentes a la misma decisión cuando se

conducentes a la misma decisión cuando se usan los mismos estándares deusan los mismos estándares de probabilidad y de riesgo.

probabilidad y de riesgo. Independientem

Independientemente ente del método que se utilice del método que se utilice en las pruebas en las pruebas de hipótesis,de hipótesis, observe que cu

observe que cuando se rechaando se rechaza el za el valor hipotéticvalor hipotético, y por tanto se o, y por tanto se acepta,acepta, esto no constituye una prueba de que el valor hipotético sea correcto. La esto no constituye una prueba de que el valor hipotético sea correcto. La aceptación

aceptación de un vade un valor lor propuesto como propuesto como un parámeun parámetro simplementro simplemente indicate indica que es un valor plausible d

que es un valor plausible de acuerdo con el valor observado en el e acuerdo con el valor observado en el estadísticoestadístico muestral.

muestral.

PASOS BÁSICOS

PASOS BÁSICOS EN LAS EN LAS PRUEBAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS USANDDE HIPÓTESIS USANDO EL O EL MÉTODO DE MÉTODO DE VALORVALOR

CRÍTICO

Paso 1.

Paso 1. Formular Formular lala hipótesis nhipótesis nulaula y y lala hipótesishipótesis al al teter r nnaativ tiv a.a. LLaa hipótesishipótesis

n

nulaula _____ es es v v alor alor pparamé aramé t t r r ic ic oo hiphipoot t é é tic tic oo q q u u e se c e se c omom p paraara c c oon n eel l r r esesul ul t t adoado mu

mu est est ral.ral. LLaa hipótesis nhipótesis nulaula sese r r echechazaaza ssoloolo si es psi es pooc c oo pprobabl robabl e e q q u u e e eel l r

r esesul ul t t adoado mu mu est est ral ral sese dé dé siensiendodo lala hipótesis c hipótesis c orr orr ect ect a.a. LLaa hipótesishipótesis al

(4)

Eje

Ejer r cici cici oo 1:1:

Un auditor toma una muestra de n= 36 y calcula la media muestral desea Un auditor toma una muestra de n= 36 y calcula la media muestral desea probar la suposición de que el valor medio de todas las cuentas por cobrar probar la suposición de que el valor medio de todas las cuentas por cobrar en una determinada empresa sea $260.00. El auditor desea rechazar este en una determinada empresa sea $260.00. El auditor desea rechazar este valor

valor supuesto supuesto de de $260.00 $260.00 solo ssolo si i la la media media muestral lo muestral lo contradicecontradice claramente, y así, en este procedimiento de prueba, al valor hipotético claramente, y así, en este procedimiento de prueba, al valor hipotético deberá otorgársele el beneficio de la duda. Las hipótesis nula y alternativa deberá otorgársele el beneficio de la duda. Las hipótesis nula y alternativa en esta prueba son

en esta prueba son  yy       ..

Paso 2.

Paso 2. Especific Especific ar ar eel l nivenivel d l d e signific e signific aanci nci aa q q u u e he habrá abrá d d ee u u ssar ar sese.. El nivel deEl nivel de

significancia es el criterio estadístico que se establece para rechazar la significancia es el criterio estadístico que se establece para rechazar la hipótesis nula. Si se establece 5% como nivel de significancia, entonces la hipótesis nula. Si se establece 5% como nivel de significancia, entonces la hipótesis nula se rechaza solo si el resultado muestral es tan diferente del hipótesis nula se rechaza solo si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que la probabilidad de

valor hipotético que la probabilidad de que una diferencia de esa magnitud oque una diferencia de esa magnitud o mayor se dé por

mayor se dé por casualidacasualidad es de d es de por casualidad es de 0.05 o menos.por casualidad es de 0.05 o menos.

Observe que si se usa como nivel de significancia 5%, existe una Observe que si se usa como nivel de significancia 5%, existe una probabilidad de 0.05 de rechazar la hipótesis nula aun cuando

probabilidad de 0.05 de rechazar la hipótesis nula aun cuando sea verdadera.sea verdadera. A esto se le conoce como error tipo I. La probabilidad de un error de tipo I es A esto se le conoce como error tipo I. La probabilidad de un error de tipo I es siempre igual al nivel de significancia que se utiliza como criterio para siempre igual al nivel de significancia que se utiliza como criterio para rechazar la hipótesis nula; al error tipo I se le designa mediante la letra rechazar la hipótesis nula; al error tipo I se le designa mediante la letra griega minúscula

griega minúscula  alfa y entoncesalfa y entonces  también designa el nivel detambién designa el nivel de significancia. Los niveles de significancia que se usan con más frecuencia significancia. Los niveles de significancia que se usan con más frecuencia en prueba de hipótesis son los niveles de 5% y de 1%.

en prueba de hipótesis son los niveles de 5% y de 1%.

Un error de tipo

Un error de tipo II II ocurre cuando no se rechaza la hipótesis nula, y por loocurre cuando no se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto se acepta, siendo falsa.

(5)

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL. 55

Situaciones posibles. Situaciones posibles. Hipótesis nula

Hipótesis nula verdadera

verdadera Hipótesis nula falsaHipótesis nula falsa Aceptar la

Aceptar la hipótesis nula

hipótesis nula Aceptación Aceptación correcta correcta Error Error tipo tipo IIII Rechazar la

Rechazar la hipótesis nula

hipótesis nula Error Error tipo tipo I I Rechazo Rechazo correctocorrecto

Paso 3.

Paso 3. E E l l egi egi r r eel l est est adí adí stic stic oo d d e e ppru ru eebaba. El estadístico de prueba es el. El estadístico de prueba es el

estadístico muestral o una versión estandarizada del estadístico muestral. estadístico muestral o una versión estandarizada del estadístico muestral. Por ejemplo, con objeto de probar un valor hipotético de la media Por ejemplo, con objeto de probar un valor hipotético de la media poblacional, como estadístico de prueba puede emplearse la media de una poblacional, como estadístico de prueba puede emplearse la media de una muestra aleatoria tomada de esa población. Sin embargo, si la distribución muestra aleatoria tomada de esa población. Sin embargo, si la distribución de muestreo para la media tiene d

de muestreo para la media tiene distribuciistribución normal, entonces es común queón normal, entonces es común que el valor de la media muestral se convierta a un valor Z el cual sirve entonces el valor de la media muestral se convierta a un valor Z el cual sirve entonces como estadístico de prueba.

como estadístico de prueba.

Paso 4.

Paso 4. Est Est abl abl eceecer r eel l v v alor alor oo lolos s v v alor alor es es c c rí rí tic tic ooss d d eel l est est adí adí stic stic oo d d e e ppru ru eebaba

. .

Una

Una vez vez especifespecificados la icados la hipótesihipótesis s nula, el nula, el nivel nivel de side significagnificancia y ncia y elel estadístico de prueba que se usaran, se establecen los valores críticos del estadístico de prueba que se usaran, se establecen los valores críticos del estadístic

estadístico de po de prueba. Puede haber uno o rueba. Puede haber uno o dos de estos valores, dependiendodos de estos valores, dependiendo de si se trata de una prueba unilateral o bilateral. En cualquiera de los dos de si se trata de una prueba unilateral o bilateral. En cualquiera de los dos casos un valor crítico establece el valor del estadístico de prueba que se casos un valor crítico establece el valor del estadístico de prueba que se requiere para

requiere para rechazar rechazar la la hipóthipótesis esis nula.nula.

Paso 5.

Paso 5. DeteDetermrmininar ar eel l v v alor alor d d eel l est est adí adí stic stic oo d d e pe pru ru eebaba. Por ejemplo, al probar . Por ejemplo, al probar

un valor hipotético para la media poblacional se toma una muestra aleatoria un valor hipotético para la media poblacional se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico se fijo como y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico se fijo como un valor Z, entonces la media muestral se convierte a un valor Z.

(6)

Paso 6.

Paso 6. T T omar omar lala d d ecisiónecisión. El valor del estadístico muestral obtenido se. El valor del estadístico muestral obtenido se

compara con los valores críticos del estadístico de prueba. A

compara con los valores críticos del estadístico de prueba. A continuación lacontinuación la hipótesis nula se acepta o se rechaza. Si se rechaza la hipótesis nula, se hipótesis nula se acepta o se rechaza. Si se rechaza la hipótesis nula, se acepta la alternativa. A su vez, esta decisión tendrá relevancia en otras acepta la alternativa. A su vez, esta decisión tendrá relevancia en otras decisiones que tienen que tomar los administradores de operación, por decisiones que tienen que tomar los administradores de operación, por ejemplo si

ejemplo si se mase mantiene ntiene o no un eso no un estándar de tándar de rendimiento rendimiento o cual de o cual de dosdos estrategias de mercado se debe utilizar.

estrategias de mercado se debe utilizar.

La distribución de probabilidad normal se puede usar para probar un valor La distribución de probabilidad normal se puede usar para probar un valor hipotético para la media poblacional 1) siempre que

hipotético para la media poblacional 1) siempre que     , debido al, debido al

teorema del límite central, o 2) cuando

teorema del límite central, o 2) cuando      pero la población tienepero la población tiene distribución y se conoce

distribución y se conoce ..

Formulas para calcular valores críticos. Formulas para calcular valores críticos.



__       



__       

Ejercicio 2: Dada la hipótesis nula formulada en el ejemplo 1, determine los Ejercicio 2: Dada la hipótesis nula formulada en el ejemplo 1, determine los valores críticos para la media muestral si se quiere probar la hipótesis con valores críticos para la media muestral si se quiere probar la hipótesis con un nivel de significancia del 5%. Dado que se sabe que la desviación un nivel de significancia del 5%. Dado que se sabe que la desviación estándar de los montos de las cuentas por cobrar es

estándar de los montos de las cuentas por cobrar es      los valoreslos valores

críticos son: críticos son:

Hipótesis:

Hipótesis:             Nivel de

(7)

          REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO Estadístico de prueba:

Estadístico de prueba:   obtenida de una muestra de n = 36 en la queobtenida de una muestra de n = 36 en la que

 

   



__  Valores críticos para la media muestral.Valores críticos para la media muestral.





__



 



__  



__



       



                      

Por tanto, para rechazar la

Por tanto, para rechazar la hipótesis nula la media muestral debe tener unhipótesis nula la media muestral debe tener un valor menor que $245.95 o mayor que

valor menor que $245.95 o mayor que $274.05. Así, en el caso de $274.05. Así, en el caso de una pruebauna prueba bilateral hay dos regiones de rechazo. Los valores

bilateral hay dos regiones de rechazo. Los valores            se usan parase usan para

establecer los valores críticos, debido a que en la distribución normal establecer los valores críticos, debido a que en la distribución normal estándar en las dos colas queda una proporción de 0.05 del área, lo que estándar en las dos colas queda una proporción de 0.05 del área, lo que corresponde al valor

corresponde al valor     que se fijo.que se fijo.

Región

(8)

En las pruebas de hipótesis los valores críticos suelen especificarse en En las pruebas de hipótesis los valores críticos suelen especificarse en términos de valores de Z en lugar de establecer en términos de la media términos de valores de Z en lugar de establecer en términos de la media muestral. Por ejemplo, los valores críticos Z para el nivel de significancia de muestral. Por ejemplo, los valores críticos Z para el nivel de significancia de 5%en la prueba bilateral son -1.96 y +1.96. Cuando

5%en la prueba bilateral son -1.96 y +1.96. Cuando se determina el valor de lase determina el valor de la media muestral, este se conv

media muestral, este se convierte a un valor Z ierte a un valor Z de modo que este valor puedade modo que este valor pueda compararse con los valores críticos Z.

compararse con los valores críticos Z. La formula de conversión, de La formula de conversión, de acuerdoacuerdo con si se conoce o no

con si se conoce o no , es:, es:

       __        __ Ejercicio 3. Ejercicio 3.

En el problema de la prueba de hipótesis de los ejercicios 1 y 2, suponga que En el problema de la prueba de hipótesis de los ejercicios 1 y 2, suponga que la media muestral es

la media muestral es   . Para determinar si se debe rechazar la. Para determinar si se debe rechazar la

hipótesis nula, esta media se convierte a un valor Z y se compara con los hipótesis nula, esta media se convierte a un valor Z y se compara con los valores críticos

valores críticos  1.96 como sigue:1.96 como sigue:



    Según el ejercicio 2Según el ejercicio 2

       __            

En el modelo para las pruebas de hipótesis, este valor de Z se encuentra en En el modelo para las pruebas de hipótesis, este valor de Z se encuentra en la región de rechazo de la cola izquierda. Así la hipótesis nula se rechaza y la región de rechazo de la cola izquierda. Así la hipótesis nula se rechaza y

(9)

REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO -1.96 -1.96 _+1.96_+1.96    

Observe que en el ejercicio 2 se llegara a la misma conclusión al comparar Observe que en el ejercicio 2 se llegara a la misma conclusión al comparar la media muestral

la media muestral     con los valores críticos para la mediacon los valores críticos para la media

anteriorm

anteriormente ente indicados.indicados.

Región

Región d d ee aacept cept aaciónción

Ejercicio 4. Ejercicio 4.

De los ejercicios 1 a 3 suponga que el auditor parte de la hipótesis De los ejercicios 1 a 3 suponga que el auditor parte de la hipótesis alternativ

alternativa de que el valor ma de que el valor medio de todas las cuentas edio de todas las cuentas por cobrar por cobrar es menor es menor que $260. Dado que la media muestral es $240, a continuación se prueba que $260. Dado que la media muestral es $240, a continuación se prueba esta hipótesis con un 5%como nivel de significancia mediante los esta hipótesis con un 5%como nivel de significancia mediante los procedimientos siguientes.

procedimientos siguientes.

1)

1) Determinando el valor Determinando el valor critico para la critico para la media media muestral, cuandomuestral, cuando

(10)

248.21 260.00 248.21 260.00 REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO      





__



 



__  



__



  







  Como

Como



 



 este valor se encuentra en la región de rechazo. Por tantoeste valor se encuentra en la región de rechazo. Por tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa



 







..

1)

1) DeterminaDeterminando el vndo el valor cralor critico itico en ten términos érminos de Z, donde de Z, donde z criticz criticoo

      ::       __             

Como Z = 2.7, esta región de rechazo a la izquierda del valor critico -1.64, Como Z = 2.7, esta región de rechazo a la izquierda del valor critico -1.64, la hipótesis nula se rechaza. Y esto se representa en la grafica siguiente. la hipótesis nula se rechaza. Y esto se representa en la grafica siguiente.

Región de Región de A

(11)

Error tipo uno

II yy

tipo

IIII

en pruebas de hipótesis

Como ya se había mencionado anteriormente la probabilidad máxima de Como ya se había mencionado anteriormente la probabilidad máxima de error tipo I se designa con la letra griega

error tipo I se designa con la letra griega  alfa. Esta probabilidad es siemprealfa. Esta probabilidad es siempre igual al nivel de significancia que se usa para probar la hipótesis nula. Esto igual al nivel de significancia que se usa para probar la hipótesis nula. Esto se debe a que

se debe a que por definición la por definición la proporción de árproporción de área ea en la regien la región de rechazoón de rechazo es igual a la proporción de resultados muestrales que se darían en esa es igual a la proporción de resultados muestrales que se darían en esa región dado que la

región dado que la hipótesis nula fuera verdaderhipótesis nula fuera verdadera.a.

La probabilidad del error tipo II por lo general se designa con la letra griega La probabilidad del error tipo II por lo general se designa con la letra griega



 beta. La única manera de determinar esta probabilidad es en relación conbeta. La única manera de determinar esta probabilidad es en relación con un valor específico en el rango de la hipótesis alternativa,

un valor específico en el rango de la hipótesis alternativa,

Ejercicio 5 Ejercicio 5

Con el ejercicio 4, la hipótesis nula es que la media de todas las cuentas por Con el ejercicio 4, la hipótesis nula es que la media de todas las cuentas por cobrar es de $260 y la hipótesis alternativa es que la media sea menor que cobrar es de $260 y la hipótesis alternativa es que la media sea menor que esta cantidad; la prueba se realiza con 5% como nivel de significancia. El esta cantidad; la prueba se realiza con 5% como nivel de significancia. El auditor indica, además, que una media verdadera de $240 o menos, sería auditor indica, además, que una media verdadera de $240 o menos, sería considerada como diferencia importante en relación con el valor hipotético considerada como diferencia importante en relación con el valor hipotético $260. Como antes

$260. Como antes     y el y el tamaño de la muestra tamaño de la muestra es n es n = 36 = 36 cuentas lacuentas la

determinación de la probabilidad del

determinación de la probabilidad del error tipo II requiere:error tipo II requiere:

1)

1) Formular la hFormular la hipótesis nula y ipótesis nula y alternativalternativa de esta prua de esta prueba.eba. 2)

2) Determinar el valor Determinar el valor critico de la critico de la media muestral necesario media muestral necesario para probar para probar la hipótesis nula con 5

la hipótesis nula con 5% de nivel de significancia% de nivel de significancia 3)

3) DeterminaDeterminar la r la probabilidad del probabilidad del error error tipo I tipo I correspondiente correspondiente al uso al uso deldel valor crítico arriba calculado como base para la

valor crítico arriba calculado como base para la regla de decisión.regla de decisión. 4)

4) DeterminaDeterminar la probabilidad del error tipo II cr la probabilidad del error tipo II correspondiente a la reorrespondiente a la reglagla de decisión dado el valor alternativo para la media $240

(12)

La solución completa es: La solución completa es:

1.-1.-           2.-2.-





__

 

__  



__



  



 



  Donde: Donde:



__



   



    



   





3.- La probabilidad máxima de error tipo I es igual a 0.05 (el nivel de 3.- La probabilidad máxima de error tipo I es igual a 0.05 (el nivel de significancia que se usa para

significancia que se usa para probar la hipótesis nula)probar la hipótesis nula)

4.- La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que la media de la 4.- La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que la media de la muestra aleatoria sea mayor o igual que $284.21, dado que

muestra aleatoria sea mayor o igual que $284.21, dado que la media de todasla media de todas las cuentas en realidad es $240.

las cuentas en realidad es $240.  











 







__



  



  



   



 

P (error tipo II) =

P (error tipo II) =         

En general, el valor crítico d

En general, el valor crítico determinaeterminado para la do para la media respecto a la hipómedia respecto a la hipótesistesis nula se baja y se usa como valor crítico respecto de la hipótesis alternativa nula se baja y se usa como valor crítico respecto de la hipótesis alternativa de que se trate.

de que se trate.

Manteniendo constantes el nivel de significancia y el tamaño de la muestra, Manteniendo constantes el nivel de significancia y el tamaño de la muestra, la probabilidad de error tipo II disminuye a medida que el valor alternativo la probabilidad de error tipo II disminuye a medida que el valor alternativo para la media se elige más alejado de la hipótesis nula y aumenta a medida para la media se elige más alejado de la hipótesis nula y aumenta a medida que este valor alternativo se elige más cerca del valor de la hipótesis nula. que este valor alternativo se elige más cerca del valor de la hipótesis nula.

(13)

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL. 1313       REGION DE REGION DE RECHAZO RECHAZO Error tipo I Error tipo I Rechazo correcto Rechazo correcto de la hipótesis de la hipótesis nula nula ACEPTACION ACEPTACION INCORRECTA DE INCORRECTA DE LA HIPÓTESIS LA HIPÓTESIS NULA ERROR TIPO NULA ERROR TIPO

IIII

Región

Región de de acpetacionacpetacion

0 0..0505 248.21 248.21 220000 248.21 248.21 220000 0 0.13.13

(14)

Ejercicio 6. Ejercicio 6.

Suponga que un desarrollador considera una discrepancia importante Suponga que un desarrollador considera una discrepancia importante importante en el ingreso familiar promedio o sea de $43,500 o menor, en importante en el ingreso familiar promedio o sea de $43,500 o menor, en lugar del nivel de ingreso propuesto, que es $45,000. Determine a) la lugar del nivel de ingreso propuesto, que es $45,000. Determine a) la probabilidad del error tipo I, b)

probabilidad del error tipo I, b) la probabilidad del error tipo II.la probabilidad del error tipo II.

a)

a) P P (error (error tipo I) tipo I) = = 0.05 0.05 (nivel(nivel , o , o nivel de significancia)nivel de significancia) b)

b) P (error P (error tipo II) = tipo II) = P (el vaP (el valos criticolos critico   sea sobrepasado dado quesea sobrepasado dado que

 

  

El valor critico inferior

El valor critico inferior                

Donde Donde__   Z=-1.645 Z=-1.645



__







 





 







 



 



  P (error tipo II) =

P (error tipo II) =          