9 Tests de hipótesis
En la sección anterior hemos visto como estimar un parámetro desconocido mediante un intervalo de con…anza. En muchas ocasiones, el propósito de una investigación es determinar si es verdadera o no, alguna hipótesis sobre algún parámetro. Los métodos que se utilizan para esto se llaman pruebas o tests de hipótesis.
Una hipótesis estadística es una expresión acerca del valor de una o varias características o parámetros de la población. Comenzaremos viendo algunos test de hipótesis acerca de la media de una población.
9.1 Tests para una media
Ejemplo 9.1 Se realizan 6 mediciones de una misma muestra con una téc- nica cuyo un error de medición tiene = 0:08mg=ml: Se quiere saber si el verdadero valor del especimen que está midiendo es mayor que 1:22g=ml
Las 6 mediciones se pueden considerar una muestra aleatoria X1; X2; ::; X6 donde cada v.a. tiene distribución N( ; 0:082) y es el verdadero valor del especimen medido.
Se debe entonces veri…car si > 1:22; o si 6 1:22, ésta última es la llamada hipótesis nula (H0). La hipótesis que deseamos probar la llamaremos hipótesis alternativa (HA): Para simpli…car por el momento usaremos = 1:22 como hipótesis nula. Esto queda expresado:
H0 : = 0 HA: > 0 en este caso
H0 : = 1:22 HA: > 1:22
Debemos notar que al decidirnos por una de las dos hipótesis, podemos cometer dos tipos de errores diferentes. Podemos equivocarnos al concluir que > 1:22cuando en realidad no lo es (error de tipo I : rechazar H0cuando es verdadera), o concluir que = 1:22, cuando en realidad es mayor que 1:22 (error de tipo II : aceptar H0 cuando es falsa). Recordemos que nunca conocemos cuánto vale , y sólo podemos hacer inferencias, basadas en la muestra, acerca de su valor.
Los procedimientos que vamos a ver, nos permiten acotar la probabilidad de cometer un error de tipo I, por eso es importante saber cuál debe ser la hipótesis nula y cuál la alternativa.
Lo más natural será calcular el promedio de las 6 mediciones x y com- pararlo con el valor 0, ya que sabemos que X es un estimador de ; si x resulta mucho más grande que 0; tendremos motivos para pensar que en realidad > 0 (cuánto más grande sea x; mayor será la evidencia contra H0 : = 0 a favor de HA : > 0). Debemos decidir cuándo consider- aremos que x es lo su…cientemente “mayor que 0 ” como para rechazar la hipótesis nula. Para esto debemos considerar un estadístico con distribución conocida cuando H0 es verdadera y de…nir una zona de rechazo. Usaremos el estadístico de prueba:
Z = X 0
=p
n = X 1:22
0:08=p 6 que tiene distribución N(0; 1) cuando = 0 :
Se puede establecer una regla de decisión como la siguiente: rechazar H0
cuando el valor del estadístico de prueba es mayor que 1:65; de este modo nos aseguramos que P (error de tipo I ) = P p
6 X 1:22 =0:08 > 1:65 = 0:05:
En general la regla es:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA : > 0; cuando
pn (x 0)
> z entonces P (error de tipo I ) = PH0
pn X 0 = > z = , este valor se llama nivel de signi…cación. Al …jar un nivel de signi…cación = 0:05;
nos aseguramos que la probabilidad de cometer error de tipo I, no puede ser mayor que 0.05. Se llama zona de rechazo, a la región que queda a la derecha del valor z .
En nuestro ejemplo, se hicieron 6 repeticiones, y se obtuvo x = 1:28; reem- plazando X por x = 1:28; el estadístico de prueba toma el valor p
6(1:28 1:22)=0:08 = 1:84: Como este valor cae en la zona de rechazo, podemos rec- hazar la hipótesis nula con nivel 0:05. Esto signi…ca que podemos a…rmar que el verdadero valor del especimen medido es mayor que 1.22 y la probabilidad de equivocarnos al hacer esta a…rmación es a lo sumo 0:05
También podemos razonar de esta manera: si fuera = 1:22, ¿cuál es la probabilidad de obtener una media muestral tan grande o más que el valor
1:28?, o lo que es equivalente, ¿cuál es la probabilidad de que el estadístico de prueba alcanzara un valor mayor o igual que 1:84?.
Esta probabilidad puede calcularse ya que el estadístico de prueba tiene distribución N(0; 1) cuando = 1:22y es PH0
p6 X 1:22 =0:08 > 1:84 = 1 (1:84) = 1 0:9671 = 0:0329. Esto es lo que se llama el “valor-p”, cuánto menor sea este p; más evidencia tengo contra H0: En nuestro ejem- plo, p = 0:0329 es una probabilidad bastante pequeña, podemos rechazar H0
y a…rmar la alternativa, es decir que > 1:22
Otra manera de expresar la regla de decisión, es decir que se rechaza H0, cuando el “valor-p” es menor que : En realidad el “valor-p” es el menor nivel de signi…cación (el más exigente) para el cual se puede rechazar H0 con los valores observados.
En este caso “valor-p”= 0:0329, esto signi…ca que podemos rechazar H0
hasta con un nivel 0:0329
Tratemos de resumir los principales conceptos que hemos visto hasta aquí.
En un procedimiento de test de hipótesis tenemos siempre dos hipótesis para contrastar. En investigaciones cientí…cas la hipótesis alternativa (HA) suele llamarse "hipótesis del investigador" y la hipótesis nula (H0) representa lo contrario, que no hay diferencias. En el ejemplo analizado, la hipótesis nula era H0 : = 0 y la hipótesis alternativa es HA: > 0. En otros ejemplos la hipótesis alternativa también podría ser HA: < 0 o HA: 6= 0: La igualdad siempre está en H0:
Un procedimiento de test de hipótesis está determinado por un estadís- tico de prueba que debe tener una distribución conocida e independi- ente del parámetro sobre el cual estamos haciendo inferencias. Dado ese estadístico de prueba, se de…ne una zona de rechazo y una regla de decisión. Dicha regla puede de…nirse como: "se rechazará H0 cuando el valor del estadístico de prueba cae en la zona de rechazo". En el ejem- plo, la zona de rechazo eran los valores a la derecha de z . Siempre que la hipótesis alternativa es de la forma HA : > 0 la zona de rechazo son los valores a la derecha de un punto crítico; en el caso HA: < 0 la zona de rechazo son los valores a la izquierda de un punto crítico;
y en el caso HA : 6= 0 la zona de rechazo es bilateral, es decir está formada por la unión de valores a la derecha y a la izquierda de dos puntos críticos.
Al tomar una decisión, ya sea aceptar o rechazar H0 podemos cometer un error, hay entonces dos tipos de errores:
–Error de tipo I : rechazar H0 cuando es verdadera –Error de tipo II : aceptar H0 cuando es falsa
Se denomina nivel de signi…cación del test a la probabilidad de cometer un error de tipo I, = P (error de tipo I ) . Este nivel de signi…cación se …ja "a priori" y luego se determina cual debe ser la zona de rechazo, para que el nivel de signi…cación sea el deseado. El área de la zona de rechazo es igual al nivel de signi…cación ( ) elegido.
Se de…ne el valor-p como la probabilidad de que el estadístico de prueba tome un valor "tan extremo" como el obtenido, si fuera cierta la hipóte- sis nula. O también puede de…nirse como el menor nivel de signi…cación para el cual se puede rechazar la hipótesis nula con los valores obser- vados. Estas dos de…niciones son equivalentes. Es importante observar que, el p-valor y el nivel de signi…cación son cosas diferentes, el valor-p depende de los valores observados, mientras que el nivel de signi…cación se de…ne a priori.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 9.2 Se sabe que la distribución del perímetro cefálico de recién nacidos de sexo masculino, es normal con media = 36 cm y desviación típica = 1:97 cm. Se han observado los perímetros cefálicos de 10 re- cién nacidos cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo, y se ha obtenido x = 34:5 cm. ¿Se puede inferir en base a estos datos, que la media del perímetro cefálico de los niños cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo es menor que la de la población general? Suponemos que la distribución en estos niños también es normal y con el mismo :
Podemos enunciar el problema como sigue:
H0 : = 0 HA: < 0 o sea:
H0 : = 36 HA: < 36
usaremos el mismo estadístico de prueba, que en este caso es:
Z = X 0
=p
n = X 36
1:97=p n ahora, la regla de decisión es:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA : < 0; cuando
pn (x 0)
< z la zona de rechazo es el área a la izquierda de z : Si deseamos un nivel de signi…cación = 0:01, usamos el valor z0:01 = 2:326
Con los datos del ejemplo, al reemplazar X por x = 34:5, el valor que toma el estadístico es: p
10(34:5 36)=1:97 = 2:41, este valor cae en la zona de rechazo, de modo que podemos rechazar H0 a nivel = 0:01. Es decir, podemos a…rmar que la media del perímetro cefálico de los niños cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo es menor que la media de la población general. También se dice que el resultado es signi…cativo al 1%; también podríamos calcular el “valor-p”= P (Z < 2:41) = 0:008, (recordemos que esto signi…ca que podemos rechazar H0 aun con ese nivel, o decir que es signi…cativo al 0.8%)
Los dos ejemplos que hemos visto son tests unilaterales, porque la alter- nativa sólo puede ocurrir en una dirección.
En estos tests hemos usado siempre H0 : = 0 para cualquiera de las dos alternativas, en realidad los test unilaterales que hemos de…nido y los que de…neremos más adelente, también sirven cuando la hipótesis nula es H0 : 0 contra la alternativa HA : > 0; y cuando la la hipótesis nula es H0 : 0 contra la alternativa HA: < 0.
Veamos ahora un ejemplo donde la alternativa puede ser > 0 o < 0. Ejemplo 9.3 En un estudio de niños con hipotiroidismo congénito (HC), se midió talla a un grupo de 13 niños con HC de sexo masculino y 6 mses de edad, y se obtuvo x = 67:16: Se desea saber si el valor medio de la talla de los niños con HC di…ere del valor medio de la población general. Se sabe que la distribución de tallas para niños sanos de esa edad, es normal con media 68.2 cm y desviación típica 2.34 cm. En este caso se puede suponer que la distribución de tallas de los niños con HC también es normal con la misma desviación típica.
En este caso no hay una hipótesis a priori de que las tallas de los niños con HC son mayores o menores que las de la población general ( 0 = 68:2), es por eso que la alternativa debe ser HA: 6= 0:
Decimos que este es un test bilateral, en general el problema se expresa:
H0 : = 0 HA: 6= 0
que en nuestro caso es:
H0 : = 68:2 HA: 6= 68:2
Usaremos el mismo estadístico de prueba que en los ejemplos anteriores:
Z = X 0
=p
n = X 68:2
2:34=p n
pero ahora parece razonable rechazar H0, cuando x sea mucho mas grande o mucho más pequeño que 68.2, dicho de otro modo, cuando la distancia entre x y 68.2 sea grande. Esto signi…ca que una vez que evaluemos Z reemplazando X por x, deberemos considerar su valor absoluto.
La regla de decisión es:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA: 6= 0; cuando
pnjx 0j > z =2
es importante observar que la zona de rechazo es la región a la derecha de z =2y la región a la izquierda de z =2, es una región bilateral; como siempre, si = 0; el área total de la zona de rechazo es . Si elegimos un nivel de signi…cación = 0:05 tenemos z0:025 = 1:96; entonces se rechaza H0 cuando el estadístico tome un valor superior a 1.96 o inferior a -1.96. Con los datos del ejemplo tenemos p
13 (67:16 68:2) =2:34 = 1:60;este valor no está en la zona de rechazo, y por lo tanto no podemos a…rmar, a nivel 0.05, que las tallas de los niños de 6 meses con HC di…eran, en promedio, de las de la población general. También podemos calcular el “valor-p”, que ahora es
PH0
p13 X 68:2 =2:34 > 1:60 = P (jZj > 1:60) =
= P (Z > 1:60) + P (Z < 1:60) =
= 2 (1 (1:60)) = 0:11 este “valor-p” no brinda su…ciente evidencia para rechazar H0
¿Cuándo se considera que hay su…ciente evidencia para rechazar la hipóte- sis nula?. Esto depende de la situación; pero en la mayoría de las aplicaciones, se considera que un valor-p 0:05 es su…ciente evidencia. Esto equivale a elegir un nivel de signi…cación = 0:05:
Si el test da no signi…cativo, esto no debe tomarse como una demostración de que = 0; sino sólo de que no hay su…ciente evidencia en contra. Esto puede deberse a una muestra demasiado pequeña. Con el mismo x; si en vez de n = 13 fuera n = 30; tendríamos Z = 2:43, que cae en la zona de rechazo para un nivel 0.05, (es signi…cativo al 5%), más aun el “valor-p” es 0.015
Se debe observar que los test bilaterales son más conservadores que los unilaterales, para un mismo valor del estadístico de prueba, el valor-p es mayor para un test bilateral que para un test unilateral.
Podemos resumir lo que hemos visto sobre test para la media , cuando la muestra X1; X2; :::; Xn proviene de una distribución normal con conocido.
Hipótesis nula: H0 : = 0
Valor de estadístico de prueba: z =p
n (x 0) = Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel
HA: > 0 z > z
HA: < 0 z < z
HA: 6= 0 z > z =2 o z < z =2 Realice los ejercicios de 1 a 5
Cuando la distribución de los datos es normal, pero desconocemos el valor de , no podemos usar el mismo estadístico de prueba que en el caso anterior.
Recordemos lo que vimos al construir intervalos de con…anza, en este caso usamos un estadístico con distribución de Student.
Cuando = 0, el estadístico
T = X 0
S=p
n tiene distribución de Student con n 1grados de libertad Usaremos entonces este estadístico de prueba, del mismo modo que antes usamos el Z.
Ejemplo 9.4 Se desea estudiar si el nivel de aluminio en la sangre en la población de niños que reciben antiácidos con aluminio, di…ere de la población
general de niños que no reciben estos antiácidos. La distribución de los nive- les de aluminio en sangre es aproximadamente normal; además el nivel medio de aluminio en sangre en la población de niños que no reciben antiácidos es de 4:13 g=l: Se seleccionó una muestra de diez niños que reciben este tipo de antiácidos, y se obtuvo x = 37:20 g=l y s = 7:13 g=l
Igual que en el ejemplo 9.3, se tiene un valor de referencia 0 = 4:13, y se quiere decidir si la media verdadera de la distribución di…ere de 0:
Podemos enunciar el problema como:
H0 : = 0 HA: 6= 0
Se puede de…nir la regla de decisión del siguiente modo:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA: 6= 0; cuando
pnjx 0j
s > t =2 donde t =2 se busca en la tabla de Student para n 1grados de libertad. Si deseamos un nivel de signi…cación = 0:05, el valor crítico para 9 grados de libertad es t0:025 = 2:262. Esto signi…ca que la zona de rechazo es el área a la derecha de 2:262 y el área a la izquierda de 2:262.
Reemplazando por los valores de la media muestral x = 37:20: y la desviación típica muestral s = 7:13; calculamos el valor del estadístico y obtenemos t = p
10 (37:20 4:13) =7:13 = 14:67: Este valor cae en la zona de rechazo, podemos a…rmar que el nivel medio de aluminio en sangre de esta población es diferente de 4.13.
En este caso el valor del estadístico es mucho mayor que el valor crítico t0:025 = 2:262, si hubiéramos elegido un nivel de signi…cación = 0:001, el valor crítico sería t0:0005 = 4:781, y también rechazaríamos H0 con este nivel de signi…cación. No podemos calcular exactamente el valor-p, pero podemos a…rmar que p < 0:001.
Ejemplo 9.5 Consideremos ahora la situación de una droga antihiperten- siva. Se debe mostrar evidencia de que la presión sistólica media de los individuos que reciben esta droga es menor que la de los que reciben la droga estándar. Se sabe por investigaciones previas que estos últimos tienen una presión sistólica cuya distribución es normal con media de 130 mm Hg; y puede suponerse que para los individuos tratados con la nueva droga la dis- tribución también es normal con media desconocida. Se desea probar que
esta media es menor que el valor 0 = 130: Se seleccionan 26 individuos con hipertensión, se les administra la nueva droga, y se obtiene una media muestral de x = 121:5 mm Hg y una desviación s = 19.2.
Este es un test unilateral. Podemos plantearlo como:
H0 : = 0 HA: < 0 o también como:
H0 : 0 HA: < 0
para las dos situaciones, planteamos la regla de decisión:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA : < 0; cuando
pn (x 0) s < t calculamos el valor del estadístico t = p
26 (121:5 130) =19:2 = 2:257; el valor crítico es t0:05= 1.708, entonces como el valor del estadístico es menor que 1:708 se rechaza la hipótesis nula. Podemos ver en la tabla para 25 grados de libertad que el valor crítico correspondiente a = 0:025es 2.060 y el correpondiente a = 0:01es 2.485. Esto signi…ca que si elegimos un nivel de signi…cación = 0:025podemos rechazar H0, pero no podríamos hacerlo con nivel = 0:01: El valor-p está entre 0.01 y 0.025, podemos a…rmar que p < 0:025.
Podemos resumir los diferentes test para la media , cuando la muestra X1; X2; :::; Xn proviene de una distribución normal con desconocido como sigue:.
Hipótesis nula: H0 : = 0
Valor del estadístico de prueba: t =p
n (x 0) =s Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel
HA: > 0 t > t
HA: < 0 t < t
HA: 6= 0 t > t =2 o t < t =2 Realice los ejercicios 6 y 7
Del mismo modo que en la construcción de un intervalo de con…anza, cuando no conocemos la distribución de los datos, si la muestra es su…cien- temente grande, podemos utilizar el teorema del límite central.
Ejemplo 9.6 Consideremos los datos del ejemplo 8.3, supongamos que se sabe que la concentración media de zinc en el hígado de esa especie de peces, que viven en una área libre de contaminación es de 8.2 g=g, pero se de- sconoce la forma de esa distribución. ¿ Se puede a…rmar, en base a estos datos, que los peces examinados tienen niveles de zinc mayores que ese valor esperado?
El problema puede plantearse como:
H0 : = 0 HA: > 0
y en este caso, como n es grande, podemos aplicar el resultado del teorema del límite central y usar el estadístico
Z = X 0
S=p n
ya que, según ese teorema, cuando = 0 tiene una distribución aproxi- madamente N(0; 1).
Entonces podemos de…nir, como siempre, una regla de decisión:
rechazar H0 : = 0 a favor de HA : > 0; cuando
pn (x 0) s > z con los datos del ejemplo, x = 9:15 g=g y s = 1:27 g=g, reemplazando en el estadístico, obtenemos un valorp
56 (9:15 8:2) =1:27 = 5:59, vemos en la tabla de la distribución normal que el valor-p = P (Z > 5:59) < 0:0001, esto signi…ca que hay muy fuerte evidencia para rechazar H0; y se puede rechazar con cualquier nivel de signi…cación razonable.
Podemos resumir el caso test para la media de una distribución descono- cida, cuando n es grande:
Hipótesis nula: H0 : = 0
Valor del estadístico de prueba: z =p
n (x 0) =s
Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel (aproximado)
HA: > 0 z > z
HA: < 0 z < z
HA: 6= 0 z > z =2 o z < z =2
En este caso el nivel es aproximado, porque no conocemos la distribución exacta del estadístico de prueba, sino que estamos utilizando una aproxi- mación.
Práctica 6
1. Para cada una de las siguientes aseveraciones, diga si es una legítima hipótesis estadística y por qué: (a) H : > 100 (b) H : x = 45 (c) H : s 0:2 (d) H : < 18 (e) H : 0:01 (donde es el parámetro de una distribución exponencial)
2. Denotemos por el verdadero promedio de radiactividad. El valor 5 pCi/L (picocuries por litro) se considera como valor de corte entre agua segura y no segura. ¿Recomendaría usted probar H0 : 6 5 versus HA: > 5 o H0 : = 5versus HA: < 5? Explique su razonamiento.
(Sugerencia: considere las consecuencias de error de tipo I y tipo II para cada posibilidad)
3. La distribución de presiones arteriales diastólicas para la población de mujeres diabéticas con edades entre 30 y 34 años se supone normal con media desconocida y desviación típica = 9:1 mmHg. Se desea conocer si la presión diastólica media de esta población es diferente de la de la población general de mujeres de esa edad, 0 = 74:4 mmHg.
(a) Enuncie las hipótesis nula y alternativa y plantee el test corre- spondiente.
(b) Se elige una muestra de diez mujeres diabéticas, cuya presión diastólica es x = 82 mmHg, cuál es su conclusión con nivel
= 0:05?
(c) Calcule el valor-p
4. Se ha determinado el punto de fusión de 16 muestras de cierta marca de aceite vegetal hidrogenado, resultando x = 94:32. suponga que el punto de fusión es una v. a. cuya distribución es normal con = 1:20 (a) ¿Brindan estos datos evidencia para a…rmar que la media del
punto de fusión es menor que 95?
(b) Calcule el p-valor
(c) ¿Cuál sería su conclusión usando un nivel 0:01?
5. Considerando los datos del ejercicio 7 de la Práctica 5, se desea probar que el nivel medio de hemoglobina de los niños expuestos a niveles altos de plomo es inferior al de la población general, 0 = 11:59 g=100ml.
¿Cuál es el menor nivel de signi…cación para el cuál se puede hacer esa a…rmación?¿Cuál es su conclusión?
6. Considerando los datos del ejercicio 9 de la Práctica 5, si se sabe que el valor real del suero es 245,
(a) ¿Se puede a…rmar con nivel = 0:05; que el procedimiento de análisis está dando un error sistemático?
(b) De una acotación del valor-p
7. Un artículo reporta los siguientes valores para ‡ujo térmico del suelo de 8 terrenos cubiertos por polvo de carbón:
34.7 35.4 34.7 32.5 28.0 18.4 24.9 37.7
La media de ‡ujo térmico del suelo para terrenos cubiertos sólo con pasto es 29.0 Si se supone que la diistribción de ‡ujo térmico es normal,
¿sugier la información que el polvo de arbón es e…caz para aumentar la media de ‡ujo térmico sobre la del pasto?
(a) Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes usando = 0:05.
(b) Acote el p-valor
(c) Si la distribución de ‡ujo térmico no fuera normal, podría usar el procedimiento anterior?
8. La ingesta de cinc recomendada para mayores de 50 años es de 15 mg=dia. Se seleccionó una muestra de115 hombres entre 65 y 74 años para los que se determinó la ingesta diaria de cinc y se obtuvo x = 11:3 y s = 6:43. No se puede a…rmar nada sobre la distribuciónde la ingesta de cinc en la población.
(a) ¿Puede a…rmarse con nivel 0:05 que el promedio de la ingesta diaria de cinc en la población de hombres entre 65 y 74 años es inferior a la recomendación?
(b) Calcule aproximadamente el valor-p
9. En una investigación de la toxina producida por cierta serpiente ve- nenosa, un investigador preparó 32 frascos diferentes, cada uno con 1 g de la toxina, y luego determinó la cantidad de antitoxina necesaria para neutralizar la toxina. Se encontró que la cantidad promedio mues- tral de antitoxina necesaria fue de 1.89 mg, y la desviación estándar muestral fue de 0.42 mg. Otra investigación anterior indicaba que el ve- radero promedio de cantidad neutralizante era de 1.75 mg/g d toxina.
¿Contradice la nueva información el valor sugerido por el investigador anterior?
10. Se piensa que la incidencia de cierto tipo de defecto de cromosomas en la población de hombres adultos en un país es de 1 en 80. Una muestra aleatoria de 600 individuos de poblacones penales de ese país revela que 12 tenían tales defectos. ¿Se puede concluir que la tasa de incidencia de ese defecto en los prisioneros dei…ere de la tasa presupuesta para toda la población de hombres adultos?
(a) Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes usando = 0:05.
¿Qué tipo de error puede cometerse al llegar a una conclusión?
(b) Calcule el valor p. Con base a este valor p, se podría rechazat H0
al nivel de signi…cación 0.20?
11. Denotemos por p a la proporción de votantes que están a favor del candidato A contra el candidato B, en cierta elección. Considere que se desea probar H0 : p = 0:5versus HA: p6= 0:5 con base a una muestra aleatoria de 25 votantes. Denotemos por X al número de votantes en la muestra que está a favor del candidato A y representemos con x el valor observado de X
(a) ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es más adecuada y por qué? R1 = fx : x 7 o x 18g R2 = fx : x 8g R3 =fx : x 17g
(b) En el contexto de la situación de este problema, describa cuales son los errores tipo I y tipo II
(c) ¿Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba Xcuando H0es verdadera? Utilícela para calcular la probabilidad de error de tipo I.
(d) Calcule la probabilidad de error de tipo II cuando p = 0:3, cuando p = 0:4 y cuando p = 0:7
(e) ¿Qué se concluye si 6 de los 25 entrevistados elige al candidato A?
12. La calibración de una báscula debe veri…carse al pesar 25 veces un especímen de prueba de 10kg. Supongamos que los resultados de difer- entes pesadas son independientes entre si y que el peso en cada intento es una v. a. con distribución normal con = 0:2kg. Denotemos por el verdadero promedio de lectura de peso de la báscula. (si la báscula está bien calibrada ese debe ser el verdadero valor del especímen que se está pesando)
(a) ¿Cuáles hipótesis deben probarse?
(b) Según el protocolo de control de calibración, la báscula debe reca- librarse cuando x 10:1032 o x 9:8968: ¿Cuál es la probabil- idad de que la recalibración se realice cuando en realidad no es necesaria?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no se considere necesaria la reca- libración cuando de hecho = 10:1? ¿Cuándo = 9:8?
(d) Sea z = (x 10) =( =p
n): ¿Para qué valor c, es la región de rechazo de la parte (b) equivalente a la región bilateral jzj > c?
(e) Vuelva a expresar el procedimiento de prueba de la parte (b) en términos del estadístico de prueba Z = X 10 =( =p
n) 13. Con los datos del ejercicio 4,
(a) ¿cuál es la probabilidad de no poder probar que la media del punto de fusión es menor que 95 cuando en realidad es 94? ¿cómo se llama este tipo de error?
(b) ¿Qué debería hacerse para que la probabilidad calculada en a) fuera menor que 0.10?
