S . T I M O S H E N K O
PROFESOR DE MECÁNICA TEÓRICA Y PRÁCTICA DE LA UNIVERSIDADDE STANFORD
R E S I S T E N C I A
D E
MATERIALES
SEGUNDA PARTE TEORÍA Y PROBLEMAS MÁS
COMPLEJOS
TRADUCIDO DEL INGLÉS por
TOMÁS DELGADO PÉREZ DE ALBA
INGENIERO INDUSTRIAL Y AERONÁUTICO
E S P A S A - C A L P E , S . A .
M A I ) R I 1 )xn NOTACIONES N O T A C I O N E S
„ az Fatigas normales ligadas a planos perpendiculares al
eje x, y o z. a„ Fatiga normal ligada a un plano perpendicular a la dirección n. aFl Fatiga normal en el
punto de fluencia. ot Fatiga normal de trabajo. t Fatiga
cortante. xzx Fatigas cortantes paralelas a los ejes y, 2, x,
y ligadas a planos perpendiculares a ios ejes x, y, z. t< Fatiga cortante de trabajo.
8 Alargamiento total, flecha total, e Alargamiento unitario.
Alargamiento unitario en las direcciones x, y. z. y Distorsión unitaria, peso por unidad de volumen. E Módulo de elasticidad en tracción y compresión.
O Módulo de elasticidad por cortadura, p. Relación de Poisson.
A Dilatación.
K Módulo de elasticidad por volumen. M, Momento torsor.
M Momento flector en una viga. V Fuerza cortante en una viga.
A Área de sección recta. ly, Iz Momentos de inercia de
una figura plana con relación a los ejes y y z.
ky, h. Radios de giro correspondientes a Iu) /s.
h Momento de inercia polar. z Momento resistente. C Rigidez a la torsión.
l Longitud de una barra, luz de una viga.
P , Q Fuerzas concentradas. t Temperatura, espesor. ü Energía de deformación.
e Distancia, longitud de un arco. Q Carga por unidad de longitud.
xn NOTACIONES Í N D I C E
Páginas
Capítulos --- ,—
i.—PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 1
1. Vigas sobre fundación elástica ... 1
2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica 12 3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elás tica ... 16
4. Carga lateral y compresión axial combinadas 27 5. Vigas continuas con acciones axiales y transver sales ... 37
6. Tirantes con carga transversal ... 41
7. La elástica mediante series trigonométricas ... 46
8. Flexión de vigas en un plano principal que no es plano de simetría. Centro de torsión ... 53
9. Anchura efectiva de alas delgadas ... 59
10. Limitaciones del método de superposición ... 62
II.—PIEZAS CURVAS ... 68
11. ... Fatigas de flexión en barras curvas ... ... 68
12. Casos particulares ... 72
13. Deformación de barras curvas ... 82
14. Arco articulado en los extremos ... 97
15. Fatigas en un volante ... 100
16. Elástica de una barra con una linea media circular. 104 17. Deformación de barras con una pequeña curvatura inicial ... 107
18. Flexión de tubos curvos ... 110
19. Flexión de una barra curva fuera del plano de cur vatura inicial ... 115
III. —PLACAS y ENVOLVENTES ... DELGADAS 121 20. Flexión de una placa en superficie cilindrica ... 121
21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud cargada uniformemente ... 123
22. Deformación de nlacas rectangulares que tienen una pequeña curvatura inicial ... 129
23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares 133 24. Fatigas de origen térmico en las placas ... 137
XIV ÍNDICE
C a pi t u l o * P A g i n a*
25. Flexión de placas circulares cargadas simétricamen
te respecto al centro ... 138
26. Placa circular cargada uniformemente ... 142
27. Placa circular cargada en el centro ... 149
28. Placa circular cargada concéntricamente ... 152
29. Deformación de una placa circular que tiene un agujero en su centro y está cargada simétricamente 154
30. Flexión de placas rectangulares ... 159
31. Depósitos de pared delgada sometidos a presión in terior ... 163
32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared delgada ... 168
33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas ... 178
34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido uniformemente a lo largo de su línea media 181 IV. ... — PANDEO DE BABEAS, PLACAS y OÁSOABAS ... 189
35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de elasticidad ... 189
36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica ... 204
37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuer zas axiales uniformemente distribuidas ... 209
38. Pandeo de barras de sección variable ... 211
39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica 214 40. Pandeo de vigas entramadas ... 216
41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión externa ... 220
42. Pandeo de placas rectangulares ... 228
43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales ... 234
V.—DEEOBMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE un E J E. . .241
44. Cilindro de pared gruesa ... 241
45. Fatigas producidas por zunchado ... 245
46. Disco giratorio de espesor uniforme ... 249
47. Disco giratorio de espesor variable ... 258
48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran lon gitud ... 263
VI.—TORSIÓN ... 270
49. Ejes de sección no circular ... 270
50. Analogía de la membrana ... 272
51. Torsión de perfiles laminados ... 279
52. Torsión de tubos delgados ... 282
63. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas secciones no pueden alabear libremente 286 54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared delgada ... 298
65. Fatigas secundarias en la torsión ... 302
56. Resorte helicoidal de espiras abiertas ... 308
VII. ... — CONCENTRACIÓN DE FATIGAS ... 316
57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas... 316
68. Fatigas en una placa con un agujero circular 318
ÍNDICE XV
59. Otros casos de concentración de fatigas en piezas
extendidas ... 323
60. Concentración de fatiga en torsión ... 329
61. Eje circular de diámetro variable ... 334
62. Concentración de fatiga en flexión ... 340
63. Investigación de la concentración de fatiga con mo delos ... 347
64. Método fotoelástico para la medida de fatigas 351 65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga 356 66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos ... 359
VIII. ... — Dio FORMACIONES PLÁSTICAS ... 366
67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de Hooke ... 366
68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales. . 376
69. Fatigas residuales en la flexión plástica ... 383
70. Torsión plástica ... 387
71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa sometidos a presión interior ... . ... 392
IX.—PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ... 398
72. Ensayos de tracción ... 398
73. Ensayo de compresión ... 405
74. Endurecimiento por deformación ... 408
75. Endurecimiento por deformación y fatigas resi duales ... 414
76. Tipos de rotura ... 420
77. Tiempo de efecto e histéresis ... 425
78. La fatiga alterna en los metales ... 431
79. Diversos factores que afectan al límite de tole rancia ... 437
80. Fatiga variable y concentración de fatiga ... 443
81. Propiedades mecánicas de los metales a temperatu ras elevadas ... 458
82. Diversas teorías de la rotura... 468
83. Fatigas de trabajo ... 477
Indice DE AUTORES ... 495
RESISTENCIA DE MATERIALES
S E G U N D A P A R T E
CAPÍTULO PRIMERO PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS
1. Vigas sobre fundación elástica.—Consideremos una viga
prismática apoyada en toda su longitud sobre una fundación elástica continua, tal que cuando la viga se deforma la intensidad de la reacción distribuida de modo continuo es en cada sección
2 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A TETtT\T,ER
proporcional a la flecha de dicha sección L Con esta hipótesis, la reacción por unidad de longitud de la barra puede representarse por la expresión ky, donde y es la flecha y k una constante denominada corrientemente módulo de la fundación. Esta constante representa la reacción por unidad de longitud cuando la flecha es igual a la unidad. La sencilla hipótesis de que la reacción por unidad de longitud es proporcional a la flecha da resultados satisfactorios en muchos casos prácticos. Por ejemplo, en el caso de carriles sobre traviesas la solución obtenida con esta hipótesis está de acuerdo con las determinaciones reales 1.
1 Véase S. Timoshenko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E., volumen 54,
pág. 277, 1932. La teo-ía de la flexión de una barra sobre fundación elástica ha sido desarrollada por E. Winkier, Die Lehre v. d. Elastizat u. Festigkeit, Praga, 1867, pág. 182. Véase también A. Zim- mermann, Die Berechnung des Eisenbahn -Oberbaues, Berlín, 1888. Los Ultimos estudios de la teoría pueden verse en las siguientes publicacio-
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 3 AI estudiar la elástica de una viga, se obtuvo 2
EI*^=q, (a)
donde q representa la intensidad de la carga que obra sobre la viga. En un trozo descargado, la única fuerza sobre la viga es la reacción de intensidad ky. Por consiguiente,
q = — ky, y la ecuación (a) será:
EI^ = -ky. (1) dx4 Empleando la notación 4 y—
\ i El,
la solución general de la ecuación (1) puede escribirse y = (A eos ¡3x -f- B sen fix) + e - P* (C eos [3a; + D sen (3x) (b)
lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la ecuación (1). En cada caso particular se hallarán las constantes A, B, C y D por las condiciones especiales del mismo. Sea, por ejemplo, el caso de una sola carga concentrada que actúa sobre una
(o) viga de longitud infinita
(fig. 1). Tomemos
2 como origen de coordenadas el punto de
Fin. l aplicación de la fuerza. Por simetría, basta considerar el trozo de viga a la derecha de la carga —fig. 1 (b)—. Para aplicar a este caso la solución general
(ó), empezaremos por determinar las constantes. Es lógico
suponer que en puntos situados sobre la viga a distancia infinita de P la flecha y el giro de la sección correspondiente sean nulos. Esta condición puede satisfacerse únicamente si las constantes A y B de la ecuación (6) son nulas. Por consiguiente, la elástica para la parte de viga que se considera será
2 Véase Strenght oj Materials, primera parte, pág. 131, P
V7Z7r WJWM/‘7?7Z7/. ~
y M M.
4 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A
TETtT\T,ER y = e~$x ((7 eos fke -f D sen pa;). (c)
Las dos constantes que quedan, G y D, las encontraremos por las condiciones en el origen, * = 0. En este punto, la elás tica debe tener una tangente horizontal; luego
utilizando para y la expresión (c).
e~ 3* (G eos $x + D sen fix - G sen ¡3a;—D eos Pa;) x _ o = 0; de
donde
La ecuación (c) será, por tanto,
y = Ce~ x (eos pa; + sen pa;). (d)
Las derivadas consecutivas de esta ecuación son: -- = — 2 p(7e sen Pa;, dx
= 2 p2Oe (sen pa; — eos Pa;) (e)
dx2
= 4 BnCe ~ ?x eos pa;. (/)
dx3
La constante G la determinaremos ahora,puesto que para * = 0 la fuerza cortante en el trozo de viga queconsidera-
p
mos —fig. 1 (6)— es —r-, El signo — procede del convenio esta- ¿¡ blecido para el signo de la fuerza cortante (véase página 68, Primera 'parte). Por consiguiente,
4 RESISTENCIA T)E MATERIALES empleando la ecuación (/), EL ■ 4 p3C = 2 de donde <7 í_ sps/,
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (d) y (e), se obtiene
F jPR
^ — --- e~'f-x (eos{3a; +sen ¡3a;)= — e_h* (eos pz -f- sen fia;)
(3)
8 %PEIt 2 k
M = — El. —==—■ — e“P* (sen8a; — cospz). (4) da;2 4 (3
Las ecuaciones (3) y (4) tienen la forma de ondas, cuya am
plitud decrece gradualmente. La longitud de onda a es igual al período de las funciones eos {ix y sen jix; es decir,
o=— = 2 7, i/i—-1 m
p I t
Para simplificar la determinación de la flecha, el momento flector y la fuerza cortante, se emplea la tabla numérica que se
PROBLEMAS ESPECIALES EN' LA ELEXFÓN PE VTOAS 6 inserta a continuación, en la que se emplean las notaciones si-guientes:
<p = e ~3* (eos pa: 4- sen $x)', \
\J» = — e~ (sen $x — eos pa;; > '
G)
0 = e~ P* eos pa;; ^ = e _ 3* sen pa;. )
En la figura 2 se dan gráficamente las funciones <¡> y
TABLA I FUNCIONES 9, (|(, 0 Y 5 pa: 9 * 0 5 pa: 9 + 0 = 0 1,0000 1,0000 1,0000 0 3,6 — 0,0366 — 0,0124 — 0,0245 — 0,0121 0,1 0,9907 0,8100 0,9003 0,0903 3,7 — 0,0341 — 0,0079 — 0,0210 — 0,0131 0,2 0,9651 0,6398 0,8024 0,1627 3,8 — 0,0314 — 0,0040 — 0,0177 — 0,0137 0,3 0,9267 0,4888 0,7077 0,2189 3,9 — 0,0286 — 0,0008 — 0,0147 — 0,0140 0,4 0,8784 0,3564 0,6174 0,2610 4,0 — 0,0258 0,0019 — 0,0120 — 0,0139 0,5 0,8231 0,2415 0,5323 0,2908 4,1 — 0,0231 0,0040 — 0,0095 — 0,0136 0,6 0,7628 0,1431 0,4530 0,3099 4,2 — 0,0204 0,0057 — 0,0074 — 0,0131 0,7 0,6997 0,0599 0,3798 0,3199 4,3 — 0,0179 0,0070 — 0,0054 — 0,0125 0,8 0,6354 — 0,0093 0,3131 0,3223 4,4 — 0,0155 0,0079 — 0,0038 — 0,0117 0,9 0,5712 — 0,0657 0,2527 0,3185 4,5 — 0,0132 0,0085 — 0,0023 — 0,0108 1,0 0,5083 — 0,1108 0,1988 0,3096 4,6 — 0,0111 0,0089 — 0,0011 — 0,0100 1,1 0,4476 — 0,1457 0,1510 0,2967 4,7—■ 0,0092 0,0090 0,0001 — 0,0091 1,2 0,3899 — 0,1716 0,1091 0,2807 4,8 — 0,0075 0,0089 0,0007 — 0,0082 1,8 0,3355 — 0,1897 0,0729 0,2626 4,9 — 0,0059 0,0087 0,0014 — 0,0073 1,4 0,2849 — 0,2011 0,0419 0,2430 5,0 — 0,0046 0,0084 0,0019 — 0,0065 1,5 0,2384 — 0,2068 0,0158 0,2226 5,1 — 0,0033 0,0080 0,0023 — 0,0057 1,6 0,1959 — 0,2077 — 0,0059 0,2018 5,2 — 0,0023 0,0075 0,0026 — 0,0049 1,7 0,1570 — 0,2047 — 0,0235 0,1812 5,3 — 0,0014 0,0069 0,0028 — 0,0042 1,8 0,1234 — 0,1985 — 0,0376 0,1610 5,4 — 0,0006 0,0064 0,0029 — 0,0035 1,9 0,0932 — 0.1S99 — 0,0484 0,1415 5,5 0,0000 0,0058 0,0029 — 0,0029 2,0 0,0667 — 0,1794 — 0,0563 0,1230 5,6 0,0005 0,0052 0,0029 — 0,0023 2,1 0,0439 — 0,1675 — 0,0618 0,1057 6,7 0,0010 0,0046 0,0028 — 0,0018 2,2 0,0244 — 0,1548 — 0,0652 0,0895 5,8 0,0013 0,0041 0,0027 — 0,0014 2,3 0,0080 — 0,1416 — 0,0668 0,0748 5,9 0,0015 0,0030 0,0026 — 0,0010 2,4 — 0,0056 — 0,1282 — 0,0669 0,0613 0,0 0,0017 0,0031 0,0024 — 0,0007 2,5 — 0,0166 — 0,1149 — 0,0658 0,0492 6,1 0,0018 0,0026 0,0022 — 0,0004 2,6 — 0,0254 — 0,1019 — 0,0636 0,0383 6,2 0,0019 0,0022 0,0020 — 0,0002 2,7 — 0,0320 — 0,0895 — 0,0608 0,0287 6,3 0,0019 0,0018 0,0018 + 0,0001 2,8 — 0,0369 — 0,0777 — 0,0573 0,0204 6,4 0,0018 0,0016 0,0017 0,0003 2,9 — 0,0403 — 0,0660 — 0,0534 0,0132 6,5 0,0018 0,0012 0,0015 0,0004 3,0 — 0,0423 — 0,0563 — 0,0493 0,0070 6,6 0,0017 0,0009 0,0013 o,ooor» 8,1—■ 0,0431— 0,0469 — 0,0450 0,0019 6,7 0,0016 0,0006 0,0011 0,0006 3,2 — 0,0431 — 0,0383 — 0,0407 — 0,0024 6,8 0,0015 0,0004 0,0010 0,0006 3,3 — 0 0422 — 0,0306 — 0,0364 — 0,0058 0,9 0,0014 0,0002 0,0008 0,0006 3.4 3.5— 0,0408— 0,0389 — 0,0237— 0,0177 — 0,0323— 0,0283 — 0,0085— 0,0106 7,0 0,0013 0,0001 0,0007 0,0006
7 RESISTIA CIA RE MATERIALES
Empleando la notación (6) y las ecuaciones (d) a (/), se obtiene F==“<p(P*)> Óf==~ '
2 k dx h
(7) F = — Elfit = — -6(p*).
da;3 2
Usando estas ecuaciones junto con la tabla I, se calculan fácilmente las flechas, el giro, el momento flector y la fuerza cortante para cualquier sección recta de la vita. La flecha máxima y el momento flector máximo acontecen en el origen y valen, respectivamente,
* = (y),-o=^’ (8)
2k
M0= (M)^0= (9)
4£
Utilizando la expresión (3) y el principio de superposición, se puede calcular fácilmente la flecha producida en una viga de longitud infinita sobre fundación elástica por cualquier clase de carga.
Como ejemplo, consideraremos el caso de una carga uniforme repartida sobre una longitud l de una viga infinitamente larga (fig. 3). Consideraremos un punto cualquiera
A y sean c y b las distancias desde
este punto a los extremos de la parte cargada. La flecha en A,producida por un elemento de carga qdx, se obtendrá sustituyendo qdx en lugar de P en la ecuación (3) y será
t „jipBr
L i [*
y/'///// y//
8 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES
(10')
La flecha producida en A por toda la carga valdrá
__ fg _px ^CQg ax _|_ gen ax-j _j_ í _9^_ e -P* (cos
Rx
y Jo sm Jo 8PEI, P
+ sen ¡3a:) = — (2 — e~?b eos $b — e-!2* eos pe). (g) 2 k
Si c y b son grandes, los valores de e~$b y e~°c
son pequeños
y laflecha (¡7) será igual, aproximadamente, a es decir, en
fC
puntos alejados de los extremos y pertenecientes a la parte car-gada, puede despreciarse la flexión de la barra y suponerse que la carga uniforme q se transmite directamente a la fun 1 ación elástica. Tomando el punto A en uno de los extremos de la parte cargada se tiene c = 0, b — l, e~ c eos pe = 1 Suponiendo que l es
grande, tendremos también e~$b eos p6 = 0. Por tanto,
y = JJp es decir, la flecha ahora es la mitad de la encontrada anteriormente.
De modo parecido, y utilizando la ecuación (4), puede deducirse la expresión del momento flector en A. Si el punto A se toma en la viga, fuera de la parte cargada, y suponemos que b y c representan la mayor y la menor de las distancias de dicho punto a los extremos de la parte cargada de la viga, la flecia en A será
y — [ e ~ P* (eos p# -f sen Bx) — f —-^X - e ~ (eos Bx
Jo 8P*EI, Jo
+ sen p#) = — (e~eos pe — e~Pb eos ptí). (h) 2 k
Cuando c = 0 y 6 = 1 es una cantidad grande, se obtiene para la flecha el valor , que coincide con el hallado anterior- z te mente. A medida que 6 y c aumentan, la flecha (h) disminuye y tiene a cero para valores crecientes de b y c.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 9 El caso de que la solicitación sea un par —fíg. 4 (a)—, puede analizarse utilizando la solución (3) correspondiente a una carga aislada. La acción del par es equivalente a la de las dos fuerzas P de la figura 4 (ó), si Pe vale Mo, cuando e tiende hacia cero.
Utilizando la primera de las ecuaciones (7), la flecha a una distancia x del origen, valdrá
9ÍP*) — <prp(®+*ii
{<p(Pzj — <p[p(x + e)]}
2
&
2 kM0Qdq>
2k dx Deducido de las ecuaciones (7),
dx
por lo que la elástica que produce el par MQ responde a la
ecuación
V = -
k
Diferenciando esta ecuación, se obtiene: dy dx M = — —°0(pa:), dx2 2 y 1c d3y ' dxs M0{io (¡3a:). Y — — El.
10 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES
(10')
Utilizando estas ecuaciones junto con la tabla I, puede cal-cularse rápidamente la flecha, el giro, el momento flector y la tuerza cortante en cualquier sección de la viga.
Consideraremos ahora el caso de que sobre la viga actúen varias cargas concentradas. Veremos, como ejemplo, la flexión de un carril producida por las acciones contra él de las ruedas de una locomotora. Para aplicar los resultados de nuestro análisis, es necesario admitir que el carril está embebido de modo continuo en una fundación elástica. Esta hipótesis es aceptable \ puesto que la distancia entre traviesas es pequeña comparada con la longitud de onda a de la elástica dada por la ecuación (5). Para, obtener el valor del módulo de la fundación le, se divide la carga necesaria para hundir a la traviesa la unidad de longitud entre la
separación de traviesas. A este efecto, se suponeque la traviesa está solicitada por dos cargas correspondientes a la presión de los carriles. Supongamos, por ejemplo, que la traviesa se hunde 1 cm. en los puntos de
apli-cación de dos cargas de 5.000 kg. y que la separación entre traviesas es 50 cm., tendremos
¿ _ JbQM =100 kg./cm.* 1 X 50
Para el caso de una sola rueda cuya carga es P, se utilizan las ecuaciones (8) y (9) para el cálculo de la flecha máxima y del momento flector máximo. La fatiga máxima debida a la flexión del carril será
_ -Mmáx _ P _ P |/4E/j ^
máx Z 4(5Z iZ ’ k donde Z representa el momento resistente del
carril3. Para com
. " Al escribir la ecuación (i) se ha supuesto que la fórmula obtenida en la teoría elemental de vigas puede aplicarse en la sección de aplicación de la carga P. Un análisis más profundo de la cuestión jnuestra que, debido a las fatigas locales, el resultado es muy distinto del que da la ecuación elemental (i).
11 RESISTE'N'CTA T>E MATEHTALES
parar las fatigas en carriles cuyas secciones son semejantes geo-métricamente, la ecuación (i) se pone en la forma siguiente:
(?)
siendo A el área de la sección del carril. Como el segundo factor del segundo miembro de la ecuación (?) permanece constante para secciones geométricamente semejantes, y como el tercer factor no depende de las dimensiones del carril, se deduce que la fatiga máxima es inversamente proporcional al área de la sección recta; es decir, inversamente proporcional al peso del carril por unidad de longitud.
El valor
aproximado de la presión i?máx sobre una
traviesa se obtiene multiplicando la flecha máxima por la separación entre traviesas l y por el módulo de la fundación. De la ecuación (8),
(k) De aquí se deduce que la acción sobre la traviesa depende principalmente de la separación entre traviesas l. Debe señalarse que k influye con su raíz cuarta en las ecuaciones (?) y (&). Por consiguiente, un error en la determinación de k vendrá muy reducido al influir sobre amáx y /¿máx.
Cuando son varias las cargas que actúan sobre el carril, se emplea el método de superposición. Veamos, como ejemplo, un caso numérico. Sea un carril de Iz = 1.800 cm.* y supongamos una
separación de traviesas tal que k = 100 kg./cmA De la ecuación (2), y de la ecuación (5),
2*71
a = — = 684 cm.
Tomaremos, por ejemplo, un sistema de cuatro ruedas igua* les separadas a 165 cm. Escogiendo el origen de coordenadas en el
12 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES
PRORT,TOMAR TOSPTOCTALTOR TON LA TOLEXIÓN T)TO VTOAS 1] las demás serán los de la tabla II y los de las funciones 9 y <Ji de la tabla de la página 5, los que también se indican.
Superponiendo los efectos de las cuatro ruedas que actúan sobre el carril, el momento flector en el punto de apoyo de la primera rueda, en virtud de la ecuación (4), será
P P
M, = — (1 — 0,207 — 0,053 + 0,008) = 0,75 — >
4p 43
es decir, el momento es un 25 por 100 menor que el que produce una carga aislada P. Procediendo en forma análoga, se obtiene para el punto de contacto de la segunda rueda
P P
M2 = — (1 — 2 x 0,207 — 0,053) = 0,533 —
43 43
Puede observarse que, debido a la acción de las ruedas adya-centes, el momento bajo la segunda rueda es mucho menor que debajo de la primera. Este resultado ha sido comprobado en multitud de determinaciones experimentales. Utilizando la ecua-ción (3) y los valores de la última fila de la tabla II, se haya la flecha bajo la primera rueda:
8, = ^ (I + 0,234 — 0,042 — 0,012) = 1.18 2 ¿ 21c
Las flechas, en los otros puntos, pueden obtenerse de modo análogo.
Se ve, por tanto, con qué facilidad puede aplicarse el método de superposición y obtener el efecto debido a una combinación de cargas cuando se conoce su disposición y su separación.
El estudio realizado ha sido hecho suponiendo que la fundación es capaz de desarrollar reacciones negativas. Puesto que existe juego entre el carril y los pernos, hay una pequeña resis
T A B L A I I Cargas i 2 3 4 0 1,51 - 0,207 0,234 3,03 — 0,053 — 0,042 4,55 0,008 — 0,012 i 1
14 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES
tencia en el movimiento hacia arriba del carril, lo que tiende a aumentar el momento flector debajo de la primera y última rueda. En el problema intervienen, además, otros elementos que pueden afectar al resultado del análisis. Sin embargo, en general, la teoría expuesta para la flexión del carril, en virtud de cargas estáticas, está en satisfactorio acuerdo con los experimentos realizados.
Problemas
1. Utilizando loa datos de la tabla II, construir el diagrama de momentos flectores para el carril, suponiendo que la acción de cada rueda es igual a 20.000 kg. Este diagrama mostrará que los momentos son negativos para las secciones medias entre ruedas, ¡o que indica que
durante el movimiento de la
locomotora el carril está sometido a un cambio en la acción de las fatigas de flexión, lo que puede ocasionar roturas por fatiga alterna.
2. Encontr
ar el momento flector en el centro de la parte cargada de la viga de la figura
3, y el giro en Fia. 5 ¡a
elástica correspondiente al extre
mo izquierdo del mismo trozo. 3. Encontrar la flecha en un punto cualquiera A, bajo la carga triangular que obra sobre la viga infinitamente larga, apoyada de modo continuo y elástico, de la figura 5.
Respuesta:
Procediendo del mismo modo que al deducir la ecuación ((/), página 7, se tiene
y " T$k 1[WC) ~ W6) ~ 2 Í3W(P6) + 4 P<5]
2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica. — Si una viga larga embebida en una fundación elástica
se flexa por la acción de una fuerza P y de un
momento M0 aplicados en su extremo (fig. 6), podremos utilizar la
solución general (b) del artículo anterior. Puesto que flechas y momento-flector tienden hacia cero, a
medida que x aumenta deberá tomarse A — B = 0, y tendremos y = e~P* (C eos p* + D sen $x).
i 1
Fio. 6
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 15 Para determinar las constantes de integración C y D, dis-ponemos de las condiciones en el origen; es decir, bajo la carga P:
El, = ~ Ma
\dx2! xs*0
Elt = — V = P.
UW*-0
Sustituyendo la expresión (o) en estas ecuaciones, se obtienen dos ecuaciones lineales en C y D, de las que
1 M
C = —i— (P — plf0); D =
2 fPEIz 2 [PEI,
con estos valores la ecuación (a) se escribe Q — {3&
y = ^y;Ej tp cos $x ~ (cos P* ~sen ^)1
= ^ {Pe^) - pif0 [0(p*) - £(?*)]}. (11)
Sustituyendo en (11) x = 0, se obtiene la flecha bajo la carga
'ir>
La expresión del giro se obtiene diferenciando la ecuación (11). En el extremo (x = 0), este giro vale
ldñ ~ 1 (P- 2 pif0). (12)
2p *EIZ
Empleando estas ecuaciones y el método de superposición, pueden resolverse problemas más complejos.
Si una viga larga uniformemente cargada, apoyada sobre fun-dación elástica, tiene un extremo simplemente apoyado —figura 7 (a)—, la reacción R se encuentra estableciendo que la flecha en el apoyo es nula. Observando que la flexión de la viga es despreciable a distancia grande del apoyo y que su depresión en la
16 RESISTENCIA DE MATERIALES
fundación será igual a y, se calcula el valor de R sustituyendo
IC
M0 = 0 y á = yr en la ecuación (11')- Así se obtiene; «c
La elástica se obtiene restando las flechas dadas por la ecuación (11) paraP = R, M0— 0, de la depresión uniforme de
viga p y así se obtiene:
q e~$x „ y = --- Ji eos Ba4
* 233E/2
= - (1 — e-P*cospa;). (14) k
En el caso de extremo empotrado —fig. 7 (ó)—, los valores de la reacción R y del momento M0 se obtienen
estableciendo que en el apoyo la flecha y el giro son nulos. q Observando que a distancia grande del apoyo la flecha vale ^, y
empleando las ecuaciones (11') y (12), se obtienen para el cálculo de R y Ma las ecuaciones siguientes b
k 2 $*EIt 1 (R + 2p3/0) 2¡y EI, de donde (15) El signo menos de M0 indica que el momento tiene la dirección
indicada por la flecha de la figura 7 (b).
4 En las ecuaciones (11') y (12) se sustituye P = — R, ya que la
L
2P* R = 2 PS#/,- = k (13) la (R + pJ/0) 0PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 17
Problemas
1. Encontrar la elástica de una viga semiinfinita sobre fundación elástica articulada en el extremo y solicitada por el par Mu (fig. 8).
Solución: La reacción en la ar ticulación se obtiene por la ecuación (11'), teniendo en cuenta que 8 = 0; lo que da p=
Sustituyendo este valor de P en la ecuación (11) se obtiene ■ e — 3* sen $x
2 QPEI,
Por diferenciaciones sucesivas se obtiene dy
dx
dh)
V = - EIz ¿ 5 = ~ 3-^ 0 ' 9(3*)'
1. Encontrar el momento flector M0 y la fuerza P, que actúan en «i
extremo de una viga semiinfinita sobre fundación elástica (figu- la 11), ai se conocen la flecha 8 y el giro i en dicho extremo.
SoTnc'Jn: Loa valores Ma y P se obtienen de las ecuaciones (11')
S 1121 sustituyendo las cantidades dadas en lugar de 8
. ^ Encontrar la elástica para una viga semiinfinita sobre fundación elástica producida por una carga P, aplicada a la distancia o del extremo A de la viga (fig. 10). Fio. 8 (16) <P y dxa ' M = — El, : - 9(3*), (6)
18 RESISTENCIA DE MATERIALES
Solución: Supongamos que la viga continúa a la izquierda de A, tal y oomo se representa en la figura por línea de trazos lia esto caso
la ecuación (3) da la elástica para x > 0, y en la sección A de la viga infinita ficticia, en virtud de la simetría y
empleando las ecuaciones (7),
tendremos
M=4-p«Po), P = Je«3c). (e) Para obtener la elástica deseada es evidentemente necesario superponer a las flechas de la viga v ficticia infinita las flechas que en una viga semiinfinita producen las cargas de la figura 10 (6). Utilizando las ecuaciones (3), (11) y (c) se obtiene para x > 0 y = <p(fte) + ¡ VQifrx + C)j + m<$mx + c)J ~ + c] j <d) o sea v =TÍ +T> i 0(3c)0W(:r + C)1 + -(-1 lj/(Pc)0[P(^ + c)] — + c>] j.
Esta expresión es también válida para — c < x < 0; en este caso debe emplearse el valor absoluto de x; en lugar de x en <p(Px).
3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elástica.—La flexión de una viga de longitud finita embebida en una fundación elástica puede estudiarse mediante la solución (3), correspon-diente al caso de viga de longitud infinita unida al método de superposición L Consideremos, por ejemplo, el caso de una viga de longitud finita con los extremos libres solicitada por dos fuer-zas P simétricamente aplicadas —fig. 11 (a)—. Este caso de carga corresponde al de una traviesa bajo la acción de las presiones de los carriles. A cada una de las tres porciones de la viga puede
1 Este método de análisis ha sido desarrollado por M. Hetenyi,
Final Report of the Second Congrega of the. International Aaaoc. f. Bridge and, Structural Engineering, Berlín, 1938.
CA\ p 0 \\//A (T''' y 0 \(t>) y PlG. 10
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 19
aplicarse la solución general (ó) del artículo 1.° y calcular las constantes de integración por las condiciones en los extremos y en los puntos de aplicación de las cargas. Puede, sin embargo, obtenerse la solución de modo mucho más sencillo, superponiendo las soluciones correspondientes a los dos casos de carga, sobre una viga de longitud infinita, que muestran las figuras 11 (b)
y 11 (c)-
En la figura 11 (b) actúan sobre la viga de longitud infinita las dos fuerzas P. En la figura 11 (c) dicha viga está cargada con
las fuerzas Q0 y momentos $T0. aplicados fuera del trozo A B de la
viga e infinitamente próximos a los puntos A y B extremos de la viga dada —fig. 11 (a) — . Se ve fácilmente que escogiendo de modo conveniente las fuerzas Q0 y los momentos M0, puede anularse la
fuerza cortante y el momento flector producidos por las fuerzas P en las secciones A y B de la viga de longitud infinita, representada en la figura 11 (ó). Por consiguiente, la parte central de la viga infinita estará en las mismas condiciones que la viga finita representada en la figura 11 (a), y, por tanto, todo aquello referente a la flexión de esta última viga puede deducirse superponiendo los casos que muestran las figuras 11 (ó) y ll (c). DESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n Arí P - C ♦ B Ji m «i A y/////////////, V 1 '///A Ca) B jP & zz/z/zz/zz/zA y A B Wi ¡(ó) 0. .'«M. pí h—¡— i Fio. 11
RESTSTEWCTA BE MATERIALES
Para establecer las ecuaciones que determinan los valores apropiados de M0 y Q0, consideraremos la sección en A de la viga
infinitamente larga. Tomando el origen de coordenadas en este punto y empleando las ecuaciones (7), calculemos el momento flector M' y la fuerza cortante F' producidas en este punto por las fuerzas P.
(o)
= 0[Mj.
¿á
El momento M” y la fuerza cortante V" producidos en el mismo punto por las fuerzas indicadas en la figura 11 (c), se obtienen mediante las ecuaciones (7) unidas a las (10'); lo que da
M" = 9° fl + W0] + ^ [i + 6(PQ],
43 ¿
^ (b)
v=- %ci - e(W] -^[i - <?mi
Z A
Los valores apropiados de Ma y Qü se obtienen de las
ecua-ciones
M' + M” = 0,
V'+V” =0, \ (c)
que se resuelven en cada caso con facilidad empleando la tabla I. Conocidos Ma y Q0, la flecha y momento flector en cualquier
sección de la viga dada —figura 11 (o)- se obtienen utilizando las ecuaciones (7), (10) y (10'), junto con el método de superposición. El caso particular de la figura 12 se resuelve en la forma expuesta, haciendo c — 0.
De esta forma, se obtiene para valor de la flecha en los extremos y en el centro de la viga las expresiones siguientes:
PBOBLEMAS ESPECIALES Eli LA FLEXIÓN DE VIDAS 19 2 Pj3 ChpZ eos p/ k ShpZ + sen pZ nu ¡il >il Ch — eos— 4Pp 2 2 Ve k ShpZ -4- sen pZ El momento flector en el centro es
QUP5P* Sh— sen - 2 P ¡3 ShpZ -f sen pZ
5 El método empleado para el caso de carga simétrica — figura 11 (a)— puede aplicarse también para el caso de carga anti- eunétrica —fig. 14 (a)—. Q0 y M0 constituyen en este caso un . sistema antisimétrico — fig. 14 (c)—. Los valores de Q0 y M0 se (d) ■■yb = («) (/) Ma
20 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES
El caso de una carga aislada en el centro (fig. 13), puede deducirse también del estudiado
—fig. 11 (a)—. Basta
hacer c — ~ y escribir P en 2 J
lugar de 2 P.
De esta forma, se obtiene para el valor de las
flechas en los extremos y centro las expresiones siguientes: P? pZ Ch - eos — 2 Pp y a = Vb • ShpZ- sen pi 2 _ Pp ChpZ + eos pZ -f ^c 2k ShpZ -f sen pZ
El momento flector en el punto de aplicación de la carga vale P ChpZ— eos pZ Me 4p ShpZ -f sen pZ (9) ih) (i)
determinan mediante un sistema de ecuaciones establecido de modo análogo a como se han escrito las ecuaciones (a), (b) y (c).
Conocidos Qü y M0. todos los resultados concernientes a la
flexión de la viga de la figura 14 (a) pueden obtenerse superpo-niendo los casos correspondientes a las figuras 14 (ó) y 14 (c).
Teniendo las soluciones correspondientes a los casos de carga simétrica y de carga antisimétrica, puede resolverse con facilidad cualquier otro caso de carga utilizando el principio de
superposición. Sea, por ejemplo, el caso de carga asimétrica de la figura 15 (a). Su solución puede encontrarse superponiendo los casos de carga simétrica y antisimétrica de las figuras 15 (ó) y 15 (c). El problema de la figura 16 puede resolverse de modo análogo. En cada caso, el problema se reduce a la determinación de valores apropiados de las fuerzas Q0 y momentos M0, mediante las
ecuaciones (c).
Al analizar la flexión de vigas de longitud finita se observa que la influencia de fuerzas aplicadas en un extremo de la viga sobre la flecha en el otro extremo depende del valor de ¡5L Esta cantidad aumenta al crecer la longitud de la viga. Al mismo tiempo (vcase tabla I), las funciones y, y 0 decrecen rápida'
22 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES PROBT/BINTAS ESPBCTAPES T?N PA FLEXIÓN DE VIGAS
mente, y por encima de cierto valor de ¡31 puede suponerse que las fuerzas que actúan en un extremo de la viga tienen una influencia despreciable sobre las deformaciones del otro extremo. En este caso, la viga puede considerarse como infinitamente larga, ya que
las cantidades <p (¡31), (¡3!) y 6(¡31) son desprecia- bles comparadas con la unidad en las ecuaciones (b), lo que sim-plifica considerablemente las ecuaciones (c).
En general, el análisis de la flexión de vigas de longitud finita se Jiace clasificándolas en tres grupos:
I. Vigas cortas, (31 < 0,60.
II. Vigas de longitud media, 0,60 < ¡3?<5. III. Vigas largas, (31 > 5.
Al examinarse el caso de vigas delprimer grupo, puede des preciarse por completo la flexión y considerar la viga como ab-solutamente rígida, por ser la flecha que origina muy pequeña comparada con la depresión de la fundación. Sea, por ejemplo, el caso de una carga aislada en el centro (fig. 13) y supongamos = 0,60, encontraríamos, mediante las fórmulas dadas anteriormente para ya e ye, que la diferencia entre la flecha en el
21
23 RESISTENOTA EE TVTATERT AT.ES
centro y la flecha en el extremo es alrededor del 6/2 por 100 de la
flecha total. Esto indica que la flecha de la fundación se obtiene con gran aproximación considerando infinitamente rígida la viga y empleando para la flecha la fórmula
P
y = —
¡el
La característica esencial de las vigas del segundo grupo es que una fuerza que actúa en un extremo produce un efecto considerable en el otro. Estas vigas deben estudiarse según lo expuesto para vigas de longitud finita.
En las vigas del tercer grupo puede suponerse, al estudiar un extremo de la viga, que el otro extremo está infinitamente alejado. Puede considerarse, por consiguiente, la viga como infinitamente larga.
En todo lo estudiado se ha supuesto a la viga embebida de modo continuo en la fundación; pero los resultados obtenidos pueden aplicarse también a casos en que la viga está apoyada en un gran número de apoyos elásticos equidistantes. Como un ejemplo de esta clase, expondremos el caso de una viga horizontal AB (fig. 17), que sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales equidistantes, cargadas uniformemente a razón de q kg./cm.1.
Todas las vigas están articuladas en los extremos. Sean EI1 y lx la
rigidez a la flexión y la longitud de las vigas verticales. La flecha en su centro será
5 ql\ Rl\ ,.
y = --- — --- — (?)
384 El, 48 EI1
Donde R es la acción mutua entre la viga horizontal AB y la vertical considerada. Resolviendo en R la ecuación (/), se ve que la viga horizontal AB está bajo la acción de una fuerza concentrada —fig. 17 (c)—, cuyo valor es
p 5 / 48 EI\ m
#=-3*1 --- (¿)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 24 Suponiendo que la distancia a entre las vigas verticales es pequeña comparada con la longitud l de la viga horizontal y sustituyendo las fuerzas concentradas por una carga uniforme equivalente —fig. 17 (c)~, puede también reemplazarse la dis-
tribución de carga indicada en la figura con línea de trazos por una carga distribuida continuamente de intensidad.
9i ~ %
Donde
ñql, 4SEI, Vi — ó K '
8 a
La ecuación diferencial de la elástica de la viga A B es, por consiguiente,
WTd*y - a EIdx*~ h
Se ve que la viga horizontal está en análogas condiciones que una viga cargada uniformemente y embebida en una fundación elástica.
La intensidad de la carga y el módulo de la fundación están dados por las expresiones (l). Para estudiar la deformación de la viga, puede utilizarse el método de superposición expuesto
////////y////////////// , ¿
FIG.17
(i!)
ap
25 RESISTENCIA T>E M ATEPT AT.ES
anteriormente o integrar directamente la ecuación (m). "Esco-giendo el último camino, escribiremos la integral general de ia ecuación (m) en la forma siguiente:
sen ¡3xShPyx + C2 sen (3rCh(3x + C3 eos (3x h / (n)
X Sil ¡3x + C4 eos ¡3:rCh ¡3x.
Tomando en el centro el origen de coordenadas —fig. 17 (c)—, se deduce por simetría que
0.
Sustituyendo en la ecuación (n) y utilizando las condiciones an los extremos articulados
(d2y\ 2 2 sen — Sh— 2 <71 = k eos (314- Ch¡3í P?, 2 2 eos —Ch — Q __ 71 4 fc eos [31 + Ch[3í
La elástica será, por consiguiente, o 2 sen — Sb — sen ¡3xSh¡ia; eos ¡31-¡-Ch[31 2 eos —Cb— 2 2 eos [3xCh¡3x eos ¡31 -fi Cb¡31
La flecha en el centro se obtiene haciendo x = 0, y vale / 2 eos — Cb (y) = ^ 1 ^ W *“° ¿\ cospl+Chpi/ se encuentran 7: v = t fe)
26 RESISTENCIA DE MATERIALES
Sustituyendo este valor en la ecuación (k), se halla la reacción en el apoyo central de la viga vertical correspondiente al punto medio de AB.
Es interesante subrayar que esta reacción puede ser negativa, lo que indica que la viga horizontal actúa como soporte de las vigas verticales cuando es suficientemente rígida. En caso con-trario, puede aumentar la flexión de algunas vigas verticales.
Problemas
1. Encontrar la expresión general de la elástica para el caso de
figura 12.
ütvputala:
2 P¡i Chpx eos |i(l — x) + Ch3 (l— x) eos ¡la:
y ~~ k Shpl + senpl
2. Encontrar las flechas en los extremos y el momento en la
seo-Fio. 18 Fia. 19
ción central de una viga flexada por dos pares iguales y opuestos Mt
(figura 18). •¿¿espites ta: 2 MJ13w Sh|31 — sen(3Z y“ yb k X Sh (31 +• sen ¡lí’ Sh eos v. -p Ch sen Mc = 2 M0 .■ Shpl-f sen pt
3. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central de una viga apoyada sobre fundación elástica, que tiene sus extremos art. arlados y que está cargada en su punto medio (fig. 19).
¿tnupuanla: _ P$ Shpí — sen ¡lí Vc ~ 2* Chpi + eos 01* P Shjlf + senfll Me~4& Chpr+cosp‘ A P —1
r
yPROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 27
4. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central de una viga sobre fundación elástica, con los extremos articulados y sometida a una carga uniformemente repartida (fig. 20).
Respuesta: 2 Chacos| Chpí + cospí, oh 7 sen -r 922 W2 Ch¡3¿ + eos¡3Z
6. Encontrar los momentos Sectores en los extremos de la viga de la figura 21, que descansa sobre una fundación elástica, está cargada
_L a <7 r •</
de modo uniforme y con una carga concentrada en ese punto medio y tiene perfectamente empotrados los extremos.
Respuesta: Sh — sen —
P 2 2 q Sh(3Z—sen
P Shpi + sen pí2 (5a Shpl + sen ¡il
Fio. 23
6. Encontrar la elástica de una viga sobre fundación elástica soli-citada por una carga concentrada que actúa en un extremo (fig. 22). Respuesta:
2PP
—-—j—y- | ¡Sh|3í eos p.xOh¡3(2 — ®) — sen SíCh^a; eos P(i — *)]•
Me = Fio. 21 A Fio. 20 Mo = — s fc(Sh2(3í —sen* (37)
28 RESISTENCIA DE MATERIALES
PROBLEMAS ESPECIALES TW LA ELEXT<VNr LE VTOAS 29
está flexada por un par Ma, aplicado en un extremo (iig. 23). Hallar la
elástica.
Respuesta:
[Chpi sen |5xSh(5(Z — x) — cos pZShpx sen ¡5(Z — *)).
4. --- Carga lateral y
compresión axial combinadas.—Comenzaremos por el problema
sencillo de una pieza con los extremos articulados solicitada por una fuerza aislada P — ---
rt/WM■WV"\1/IA rt1 f. 1wv AT» 4* A P
y comprimida axialmente por dos fuerzas S iguales y opuestas (fig. 24). Suponiendo que la fuerza P ac-túa en uno de los planos
principales de la pieza, tendremos flexión en el mismo plano. Las ecuaciones diferenciales de la elástica para los dos trozos en que P divide a la pieza son
pueden expresarse las soluciones generales de las ecuaciones (a) y (ó), en la forma siguiente:
= Cj cos px + C2 sen px — ^ x,
y = (?3 cos px + C4 sen px — — --- — (l— a:). (d)
SI
Puesto que en los extremos de la pieza la flexión es nula, se tiene Cl = 0, C3 = — C4 tg pl. = 2Af„p» ^ fc(Ch2|3i — eos2 (51) Fio. 24 (a) (¿) í17) Sy — P^- C)- (l ~ x). S_ El = P\: Eid^y=~ dx2 Empleando la notación n T dfy ci El -E = — Sy x, dx2 l (c)
30 RESISTENCIA DE MATERIALES
Las otras dos constantes se deducen de la continuidad de la elástica en el punto de aplicación de la carga P, lo que obliga a que las ecuaciones (c) y [d) den la misma flecha y el mismo giro para x = l — c. Tendremos
C2 sen p(l — c) = C4 [sen p(l — c) — tg pl eos p(l — c)],
P C¿p eos p(l — c) = C\p [eos p(l — c) + tg pl sen p(l — c)] + —»
S de donde
P sen pe ,, Psenp(l—c)
(y2 " --- j O4 =---
Sp sen pl Sp tg pl
Sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene para el trozo iz-quierdo de la pieza P sen pe Pe y — — --- sen px x. --- (18) Sp sen pl - SI Diferenciando, tendremos dy P sen pe Pe — — —eospx --- dx S sen pl SI d2y Pp sen pe sen px. dx2 S sen pl
Las expresiones que corresponden al trozo de la derecha se obtienen escribiendo l — a; en lugar de a:; l — c, en vez de c, y
cambiando el signo de en las ecuaciones (18) y (19). De este modo, se obtiene P sen p(l — c) n . P(l — c) y = --- --- r- sen p(l — x) 5_—' (l — x), (20) Sp sen pl oí dy P sen p(l—c) , . P(l—c) . Jl — 1eosp(l— as) --- -1 (21) dx S sen pl SI dy2 Pp sen p(l — c) . . 7 , --- 7, 7- sen p(l — x). (19)
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 31
--- (22)
32 RESISTENCIA DE MATERIALES
En el caso particular de que la carga se aplique en el centro de la pieza, se escribe c — e introduciendo la notación
z _ pw _ f 4 El 4 de !a ecuación (18), deducimos P l pl pl\ PP tg u — u » * “s s ( i , ,- ¡=^ ( “ r r 5 ü T r ' ‘1 - w
El primer factor de la expresión (24) representa la flecha que produciría ia carga P actuando sola. El segundo factor indica en qué proporción crece esa flecha por la acción de las fuerzas S de compresión axial.
Cuando S es pequeña comparada con la carga de Euler
S„ = —p—), la cantidad u es pequeña y el segundo factor de la ecuación (24) se aproxima a la unidad, lo que indica que en este caso el efecto sobre la flecha de la fuerza axial de compresión es despreciable. Cuando S se aproxima al vaior de Euler, ia
71
cantidad u tiende a — —véase ecuación (23)— y ei segundo ZJ
factor de la expresión (24) crece indefinidamente, de acuerdo con el análisis ya efectuado de la carga crítica (véase página 238, primera parte).
El valor máximo del momento flector acontece bajo la carga y su valor, deducido de la segunda de las ecuaciones (19), es
' x 2
También el primer factor de la expresión (25) representa el momento flector producido por la carga P actuando sola, mientras que el segundo factor, denominado «factor de amplificación», representa la influencia sobre el momento flector máximo de las fuerzas axiales S.
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 33
se puede con facilidad obtener la solución para el caso de una pieza solicitada por un par aplicado en su extremo (fig. 25). Basta suponer en el análisis anterior que c disminuye y tiende hacia cero, mientras que Pe permanece constante e igual a M0.
Haciendo Pe = M0 y sen kc = Ice en la ecuación (18), se obtiene para
la elástica la expresión M0[,enpx x\ S \ sen pl i) de donde dy _ M0 fp eos px 1\ dx S \ sen pl 1/ Los giros de la viga en los extremos son
dy\ 1 _________ J\ (27)
dx}x^0 S \senpi 1} 6Pl 1211860211 (2w)2/
dy\ ¡jp 1\ _ MJ, 31 1 ________ 1_
dxjx^¡ S \tgpl l) 2>EI \2wtg2M (2w)2
De nuevo los primeros factores de las expresiones (27) y (28) representan los giros que produciría el par M0 actuando solo (véase
pág. 151, Primera parte), y los segundos factores representan el efecto de las fuerzas axiales S.
Examinando las ecuaciones (18) y (26), se ve que la fuerza transversal P y el par M0 figuran en ellas linealmente, mientras que
la fuerza axial S figura de modo más complejo, ya que p también depende de S (véase ecuación 17). De esto se deduce que si en el punto G (fig. 24) se aplican dos fuerzas P y Q, la flecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo la flecha producida por la carga Q y las fuerzas axiales S a la flecha producida por la carga P y las mismas fuerzas axiales.
34 RESISTENCIA DE MATERIALES
Una consecuencia análoga se obtiene para el caso referente a pares aplicados en un extremo de la viga.
Esta superposición especial puede generalizarse fácilmente en el caso de varias cargas (fig. 26). Para cada porción de la pieza puede escribirse una ecuación análoga a las ecuaciones (a) y (b), y obtenerse una solución semejante a las ecuaciones (c) y (d). Las constantes de la integración pueden encontrarse de las condiciones de continuidad en los puntos de aplicación de las cargas y de las condiciones de apoyo de los extremos de la pieza. De esta forma se vería que la flecha en cualquier punto de la pieza es una función lineal de las cargas P1, P%y que
la flecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo las flechas producidas en dicho punto por cada una de las cargas la-terales, obrando siempre la fuerza axial S. Consideremos el caso general de n fuerzas, de las que m están aplicadas a la derecha de la sección recta para la que se quiere calcular la flecha. La expresión de esta flecha se obtiene empleando la ecuación (18) para las fuerzas Pv P2,.... Pm y la ecuación (20) para las fuerzas, Pm+1, Pm+2,.... Pn. La
flecha buscada será
sen px *-*» x <-m --- S P< sen pct — — S P¡c4 Sp sen pl i -1 SI i -1 sen — x) i—» + o --- r 2 P,-senp(/—c¿)- ¿psenpl i-m + i l X’_-” ■ —S PS-Ci). (29) o í t - m + 1 5 "A. . Fia. 26
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 35
7 Diversos casos particulares de piezas comprimidas cargadas
la-teralmente han sido estudiados pox A. P. Vander Fleet, Buíl. Soc. oj
STBiJClA I» MATEMÁ1E8.—T. 11 8
de Pp en la ecuación (29) y reemplazando sumas por integra ciones, se obtiene la siguiente expresión para la elástica:
x C7~x SÍ .L aenpx /**-* y = I q senpede—— J --- qede Sp sen pl sen p(l — x) ir Jl — X I—X ri- I q{l — c)dc. Jl—m q sen p(l — c)dc + Sp sen pl Integrando SI ( f - H cos x(¡—x) (30) Sp2 pl 2 8 eos
36 RESISTENCIA DE MATERIALES u cos u
—
u
24Diferenciando la ecuación (30), se obtienen fácilmente las ex-presiones del giro y del momento flector. El giro en el extremo izquierdo de la pieza es pl 6 ql* 384 El u ~~~2 Ü/)r iy).'“2 Sp2\cosu (31) qls tg u — u * X - --- (32) sí 28 ( ) -\dxfx _ „ pl 24 El -u*
El momento flector máximo acontece en el centro y vale i, Pl\ ,3o í v 2 S coa ~ ql22(1 — COS U) 8 u2cos u Mmix = -Ellpt\ =EI (33)
Empleando la solución (26) para el caso de un par junto con la solución (29) para cargas transversales y utilizando el método
T’ROBTj'EMAS ESPECUAEES EX EA EEEXTÓX BE
VTOAS 37
de superposición, pueden resolverse fácilmente diversos casos liiperestáticos de flexión de piezas. Sea, por ejemplo, el caso de una pieza empotrada en un extremo y cargada de modo uniforme (fig. 27). El momento flector M0 en el empotramiento se deduce de
la condición de que esta sección no gira en la
deformación. Utilizando las ecuaciones (28) y (32), la condición se escribiré qP tg u —« M0l I 3 3 0, 24 El de donde ql24 tg 2u(tg u— u) 8 u(tg2u— 2 u)
En el caso de una pieza uniformemente cargada con ambos extremos empotrados, los momentos M0 en los extremos se
ob-tienen de la ecuación ql8 tgu — u M0l f 3
8 El [_2 u tg 2 u FIG.27 3EI\2utg2u (2 u)2 M0 = - (34) ■—1
(2«)
2J
24 El 138 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES
I
6 El' \2u sen 2u (2 «)* ql2 tgu — u 12 i , , -u3 tgu
3
De las expresiones (34) y (35) se deduce que los valores de los momentos hiperestáticos se deducen multiplicando los momentos obtenidos en la teoría elemental de vigas por ciertos factores de amplificación. Los cálculos necesarios pueden simplificarse preparando tablas numéricas que dan los factores de amplificación \
0, de donde
PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 39 Obtenido el momento máximo para una pieza esbelta la fatiga máxima numéricamente se encuentra combinando las ta- tigas de compresión y flexión, lo que da
8 ,
Á + ~z
donde A y Z son el área de la sección recta y el módulo de la sección, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de una pieza comprimida con los extremos articulados y cargada lateralmente de modo uniforme,
mediante la ecuación (33) se obtiene
,_l " , ^ ,ts
T +7T^ * ñ --- (f)
Al escoger las dimensiones apropiadas para la sección recta de una pieza de esta clase, es necesario tener en cuenta que el segundo miembro de la ecuación (/) no es lineal en 8, puesto que la cantidad u también depende de S, según se ve en la ecuación (23). Debido a esto, la fatiga máxima aumenta en mayor grado que la fuerza 8. Por tanto, el método corriente de determinar las dimensiones de una sección, tomando 10
|Cmaxl = --- > (9)
n
donde n es el coeficiente de seguridad, falla en este caso.
Si la pieza comprimida debe proyectarse de suerte que co-mience la fluencia cuando las fuerzas 8 y q se hagan n veces mayores, la sección debe escogerse de modo que omáx sea algo
menor que — , de suerte que quede satisfecha la ecuación » 1*1 = ® 2(1 — e o s ^ ^ n A 8 Z u\ eos tq siendo u1 = nu.
bien definido.
10 Se supone que el material de la pieza tiene un punto de fluencia
8 ql92(1 — eos u)
40 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES
Multiplicando los dos miembros de (h) por n, se obtiene nS nql22(1 — cos «,)
O t'i = --- 1 --- , (i)
A 8 Z u\ cos ux
lo que indica que la fatiga máxima alcanza al punto de fluencia cuando S y q se han hecho n veces mayores. En otros casos de carga puede aplicarse un procedimiento análogo para el proyecto de piezas comprimidas. Se deduce de lo expuesto anteriormente que para contar con un coeficiente de seguridad n en el proyecto de piezas comprimidas 1, debe utilizarse, en lugar de la ecuación
(g) una ecuación análoga a la (A), en la que el parámetro u se sustituye por el u1 =ynu.
Problemas
1. Encontrar el giro en el extremo izquierdo de una pieza
com-primida con los extremos articulados y cargada en el centro con la fuerza P.
Respuesta:
(dy\ _ P 1 — cos u _ Pl2 1 — cos u
\dx)x=o 2S cos u 16 Él 1
2 w2 cos u
2. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida
con carga triangular (fig. 28).
Soluc-ióv: Sustituyendo en la ecuación (29) —en lugar de y reemplazando las sumas por integrales, se obtiene
1 Este método para el proyecto de piezas comprimidas fué desarrollado por
K. S. Zavriev. Memoirs of the Institule of Engiueers oj Ways of Communicatiun, 1913,
41 sen px ¡RESISTENCIA DE MATERIALES l~xQnO , x Ií~xq0ci ,
y = o —7 ~r sen pedo —
-y-de
Sp sen pl jo l SI Jo l
, sen p(l — x) (l qac .. ,1 — x C1 q„c .
,
+ o , ~ sen p{l — c)dc — ~{l — o)do
Sp sen pl Ji—x lc SI Ji—x l
derivando respecto a x, se halla
(J)*_0= 6^kr(p-1)
{£),-, = ~ 6p*EI(a “ !)*
donde a y son las funciones dadas por las expresiones (361 (véase página 37).
3. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida
cargada simétricamente con dos fuerzas P, tal como indica la figura 23. Respuesta:
(dy) = _ _ p /eos pb t
\dx)x=0 \dx) x _ j 'S’LogP?
4. Una pieza comprimida con los extremos empotrados está
car-gada tal como indica la figura 29. Encontrar los momentos Sectores Ma
en los extremos.
Solución: Los momentos Mn seencuentran por la condición de
que
los extremos de la pieza comprimida no giren. Utilizando la solución
del problema anterior, y las ecuaciones (27) y (28), se puede escribir la ecuación siguiente, que sirve para obtener M0:
a+ P(*2LPb_ i\ = 0, &EI + 3í;íP + S¡ _ pl * de donde 2 PEI u feos pb = SI tg u \ eos u p ó - - - 26 — P d k J c — — c — l JfiG. 29 >)•
42 RESISTENCIA T)E MATERIALES
5 Vigas continuas con acciones axiales y transversales.—
En el caso de una viga continua con acciones axiales se procede como en el caso elemental de viga continua (véase pág. 192, Primera parte) y se consideran dos tramos adyacentes (fig. 30) 11,
empleando las ecuaciones (23), (27) y (28) e introduciendo las notaciones siguientes para el tramo n:
. . . . sji Un 4, El' - e l — i - - - 1 - 1 L2 un sen 2 u„ (2 un)12J p » = s f — - - - ] L(2m„)2 2w„ tg 2 un\ tg un — un Y» = —: --- - 3 "
Se deduce que el giro en el extremo derecho del tramo n — figura 30 (a)—, producido por los momentos que actúan en los extremos Mn_ x y Mn, es
q M nln Mn— / i
-‘W.—’Ts/r (a>
11 Esta teoría se debe a H. Zimmermann, Sitzungsb. Akad. Wiss.,
Berlín, 1907 y 1909.
(36)