III. — P LACAS y ENVOLVENTES DELGADAS
23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares
deremos primeramente una placa rectangular flexada por mo- mentos distribuidos uniformemente a lo largo de sus bordes (figu- ra 81). representa el momento flector por unidad de longi
tud en los bordes paralelos al eje y, y M2 es el momento por unidad
de longitud en los bordes paralelos al eje x.
El plano equidistante de las caras de la placa denominado plano medio le tomaremos por plano xy, y el eje z, perpendicular a este plano, le orientaremos hacia abajo. Consideremos un elemento de la placa (fig. 82) aislado mediante dos pares de planos paralelos a los xz e yz. La flexión pura de la placa se basa en la hipótesis de que durante la flexión las caras laterales del elemento permanecen planas y giran alrededor de las lineas neutras
n-n.
Si el sentido de los momentos es el de la figura 81, la parte superior del elemento queda comprimida y la inferior extendida. El plano medio n-n no experimenta deformación alguna durante la flexión y es, por tanto, la superficie neutra. Seanlas curvaturas de dicha superficie neutra en secciones paralelas a los planos zx y zy, respectivamente; ios alargamientos unita
134 RESISTENCIA DE MATERIALES
rios en las direcciones x e y de una hoja elemental abcd situada a la distancia z de la superficie neutra, por analogía al caso de una viga (pág. 85, Primera parte), serán
s* = p % = («)
r\ ' 2
Mediante las ecuaciones (38) (pág. 50, Primera parte), las fati- gas correspondientes valen
^=-r1”2(1 + íx1)’ 1 — ¡J.2 \rj r2l Ez ,, . , , (c) ( Í + ,1) . V2 rj
Estas fatigas son proporcionales a la distancia z a la superficie neutra. Los momentos de las fuerzas internas que obran sobre las caras igualados a los momentos exteriores, dan las
siguientes ecuaciones: axzdydz = Mxdyf (d) h üyzdxdz = M2dx. (e) h 2
Sustituyendo, en vez de ax y ay, las expresiones (b) y (c), y
teniendo en cuenta que
E r i -t2L
Siendo D la rigidez a la flexión de la placa
(ecuación 109), se tiene D(I + |i-) = Jfp
(116) Vi rJ Z ) ( - + f x ± ) = (117) [X2 h + 2
I
£
n 12(1 —¡x2 2PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 135
Vi rj
expresiones análogas a la ecuación (56) (pág. 87, Primara parte), correspondiente a la flexión pura de una barra recta.
136 RESISTENCIA DE MATERIALES
Llamando w a las flechas de la placa, aproximadamente tendremos 1 éhv 1 _ ¿hjo r, óx2 r9 ¿'y2 r j w*, t g Sustituyendo en (116) y (117), sale \ x2 o y * i2w . óho\ ¡iho , ¿¿w\ D( ^ + ^ -s) =J Í-
Análogas a la ecuación (79) (pág. 130, Primera parte), que da la ecuación diferencial de la elástica de una pieza recta. En el caso particular de que M1 = M2 = M, la curvatura de la elástica de la
placa en dos direcciones perpendiculares es la misma y dicha elástica es, por tanto, esférica. La curvatura de esa superficie esférica deducida de la ecuación (116) es
M D( 1 + ¡x)
Esta elástica, en forma de superficie esférica, corresponde a una placa plana de cualquier forma, si está solicitada por un mo- mento flector M uniformemente distribuido a lo largo de su borde. Hasta ahora hemos supuesto que la superficie media de la placa no experimenta deformación alguna; es decir, es una su- perficie neutra. Esta condición puede satisfacerse únicamente de modo riguroso si la elástica de la placa es una
superficie desarrollable: por ejemplo, la superficie cilindrica del artículo anterior. Para superficies no desarrollables solamente es una aproximación, y para que resulte suficiente es preciso que la flecha w de la placa sea pequeña comparada con el espesor h. Para ver esto, consideremos la
flexión de una placa circular producida por pares M repartidos uniformemente a lo largo de su borde. De lo expuesto se deduce que la elástica es una esfera de radio dado por la ecuación (120).
(118) (119)
1
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 137
138 RESISTENCIA DE MATERIALES
radio exterior, y 5, la flecha en el centro. Supongamos primera- mente que no hay deformación en el plano medio de la placa en sentido transversal; se tendrá
En este caso, la flexión de la placa viene forzosamente acompa- ñada de deformación en sentido circunferencial. El valor de esta
deformación en el borde de la placa es a — aí r 9 — r sen 9
r 9
Para una flecha 8 pequeña, el ángulo 9 es pequeño y puede escribirse
con suficiente aproximación, teniéndose
(f) Ahora bien,
Este valor representa el límite superior de la deformación circunferencial en el borde. Se ha obtenido suponiendo nula la deformación transversal. En realidad, existe cierta deformación transversal y la deformación circunferencial verdadera es menor que la dada por la ecuación (k) 55.
La teoría expuesta de la flexión de placas desprecia por com
55 Si las flechas no son pequeñas, y se considera la deformación de
la superficie inedia, se ve que en el caso do flexión pura de una placa circular de radio a =» 2 Mi la fatiga circunferencial de compresión en el bordo de la superficie media vale el 18 por 100 de la fatiga máxima por flexión cuando ia flecha en el centro es igual a seis décimos del espesor de la placa. Véase la publicación del autor en Memoirs of the Institute of Ways of Oommunication, San Petersburgo, 1915. Véase tam- bién Theory of Platea and Shella, 1940.
e a
6
e S_
3r (h)
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 139
pleto la deformación en el plano medio y considera solamente la deformación dada por las ecuaciones (a), cuyo valor máximo
en el ejemplo expuesto sería Se deduce, por tanto, que la deformación dada por (k) puede despreciarse y considerar como neutra la superficie media cuando — sea pequeño comparado h con —; es decir, si la flecha 8 es pequeña comparada con el
espesor h de la placa. Solamente en esta hipótesis los resultados que después obtendremos para casos concretos pueden utilizarse con la aproximación deseada.
24. Fatigas de origen térmico en las placas.—La ecuación (120) del artículo anterior se utiliza mucho para el cálculo de fatigas debidas a un calentamiento irregular de una placa. Sea t la diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de una placa y a el coeficiente de dilatación lineal del material que la forma. Suponiendo que la variación de temperatura a lo largo del espesor de la placa sigue una ley lineal, las dilataciones correspondientes también la seguirán, y si el borde de la placa está libre, la elástica que tomará la placa será una superficie esférica 56. La diferencia entre la dilatación imitaría
máxima y la dilatación en la superficie media es ^ y la cur- ¿i vatui'a debida a esta dilatación variada la dará la ecuación
orí h T ~ 2V de donde
ai
r ( n i )
Esta flexión de la placa no produce fatiga alguna con tal de que el borde de la placa esté libre y que la flecha sea pequeña comparada con el espesor.
Si, por el contrario, el borde de la placa está empotrado, el calentamiento producirá momentos flectores a lo largo del borde.
56 Se supone que las flechas son pequeñas comparadas con el espe-
140 RESISTENCIA DE MATERIALES
El valor de este momento deberá eliminar la curvatura debida al calentamiento irregular dada por la ecuación (121), para de este modo satisfacer la condición de empotramiento. De las ecuaciones (121) y (120), se obtiene para valor del momento por unidad de longitud en el borde empotrado:
y.t(\ -j- [L)D h
Puesto que M obra sobre una sección rectangular de ancho unidad y altura h, la fatiga máxima correspondiente será
Esta fatiga es proporcional al coeficiente de dilatación a, a la diferencia de temperatura t57 entre las dos caras de la placa y al
módulo de elasticidad. La diferencia de temperatura t crece al aumentar el espesor de la placa y, por consiguiente, las fatigas de origen térmico son mayores en las placas gruesas que en las delgadas. Conviene hacer notar que la ecuación (122), deducida para placas planas, es válida también con suficiente aproximación para chapas de forma esférica y cilindrica (véase pág. 267).
25. Flexión
de placas circulares cargadas simétricamente respecto del centro ®. — En este caso, la superficie elástica es simétrica respecto al eje perpendicular a la placa en su centro, y para estudiar las fatigas y deformaciones basta considerar una seo- ción diametral que pase por dicho eje. La figura 84 representa esa sección después de la deformación con su eje de simetría oz. Sea w la flecha de la placa en un
57 t representa la diferencia de temperatura entre las dos caras de
la placa, y no entre los líquidos o gases en contacto con dichas caras. Esta última, debido al cambio brusco de temperatura en la superficie de la placa, puede ser mucho mayor que í.
M 6 M h2 (122) ■)máx h3 6a£(l + \i)D <xt E ~~ 2 1 — fX FIG.84
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 141
punto cualquiera maciones,
representa el eiro de la superficie elástica en dicho punto. La curvatura de la placa en la sección diametral xz es
1
dhjo
d©, .
— = --- = (a)
r
,dx
2dx
Para determinar el radio de curvatura r2 en dirección perpen-
dicular al plano xz, es necesario observar que después de la defor- mación las secciones planas tales como nm, forman una superficie cónica de vértice B, punto de intersección de nm con el eje oz. Por tanto, AB es el valor del radio r% y de la figura se deduce
1 ©
- = ‘ - - (b)
r2
x
Suponiendo que las relaciones establecidas entre curvaturas y momentos flectores para el caso de flexión pura de una placa (artículo 23) son válidas para el problema que nos ocupa, y sus- tituyendo las expresiones (a) y (b) en las ecuaciones (116) y (117),
se V obtiene - --- ~CAJ&%zZ2r\- --- ^ M1 = Dp + n (123) "La, ¿LJllT~r \dx xl J,,_I>(? + |1|?). (124, ! --- \x dxI — " Fio. 85
Igual que anteriormente Mx y M2 representan momentos
flectores por unidad de longitud, Mx, a lo largo de secciones
circunferenciales tales como mn, y M2, a lo largo de secciones
diametrales xz. Las ecuaciones (123) y (124) contienen solamente una variable, <p, que se determina estableciendo el equilibrio de un elemento de la placa abcd (fig. 85), separado mediante dos secciones cilindricas ab y cd, y dos secciones diametrales ao y bo. El par que obra sobre la cara cd del elemento es
MxxdQ. (c)
dw dx
142 RESISTENCIA DE MATERIALES El par correspondiente en la cara ab es
(M1 + —58 dx) (x + dx)d%. (d)
dx
Los pares sobre las caras ad y be valen cada uno M2dx y su
resultante en el plano xz es
M2dxdQ (e)
Además de estos pares, tendremos en las caras ab y cd las fuerzas cortantes V x. Si V representa la fuerza cortante por
unidad de longitud, la total correspondiente a la cara cd del ele- mento es VxdQ. Despreciando cantidades de orden superior, la fuerza cortante sobre la cara ab tendrá el mismo valor. Estas dos fuerzas dan un par en el plano xz igual a
VxdMx. (/)
Sumando los momentos (c), (d), (e) y (/), con sus signos, la ecuación de equilibrio del elemento abed es
(Mx + dx) (x + dx)dQ — MxxdQ — M2dxdQ + VxdxdQ = 0, dx
de donde, despreciando cantidades de orden superior, se obtiene M1 + d^x- Jf2 + Vx=0. (g)
dx
Sustituyendo, en vez de M í y M2, en la ecuación (g), los valores
(123) y (124), se obtiene
+ = (125)
dx2 x dx x2 D
En cada caso particular de carga simétrica sobre placa cir- cular, se determina la fuerza cortante V mediante las ecuaciones de la estática, y después, usando la ecuación (125), el giro 9 y la flecha w de la placa. Sea, por ejemplo, una placa circular solicitada por una carga uniforme de intensidad q y una fuerza concentrada P aplicada en el centro. Cortando la placa por una su
58 Se deduce por simetría que sobre las caras be y ad del elemento
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 143
perficie cilindrica de eje oz y radio ox, la fuerza cortante V por unidad de longitud se hallará estableciendo el equilibrio de la parte interna de la placa. La carga exterior que actúa sobre dicho trozo es P + rzx2q. Esta carga será igual a la resultante de las
fuerzas cortantes distribuidas sobre la sección cilindrica, y, por tanto, 2nxV = P -f nx2q, de donde F = — -f —. (126) 22toc Sustituyendo en la ecuación (125), d‘¿(p 1 dcp 9 1f qx dx2 xdx x2 D j^ri d dx \x dx J D \ 2 2TZX/ de donde, integrando - j (*?) = ~ y. i~- + ~ log„ x\ -f Gv (h) xdx D \ 4 27t /
siendo O, una constante de integración. Integrando (h), se obtiene qx4 P [x2 logn x x2
•A/y — - 1 — - —
o sea,
’“=-£>-8-S(2")g-I-1, +^ + T <I2,)
Siendo O, una segunda constante de integración. Para de- formaciones pequeñas (fig. 84),
dw y sustituyendo en (127),
( f
+£ )
)ÍÜ?£LÍ_Í\+ C1?!+ C,16Z> 2 tzD \ 2
144 RESISTENCIA DE MATERIALES 64 D 32 D de donde, integrando, qx* , Px2 G,x2 w =nñ + ¿r~¿(l o£n X~ ^--- 2 !°g« * + C¡¡- f128) 64 A> 8 7ZJU 4
Las constantes de integración Gv C2 y C3 se determinan, en
cada caso particular, por las condiciones en el borde de la placa. En todo lo expuesto se ha admitido que la superficie media de la placa es una superficie neutra; es decir, que no existe de- formación en ese plano. Esta hipótesis es válida solamente si el borde de la placa está libre de tensiones en la superficie media de la placa y si las flechas son pequeñas comparadas con el espesor de la placa.