III. — P LACAS y ENVOLVENTES DELGADAS
26. Placa circular cargada uniformemente
do.—El giro y la flecha se obtienen haciendo P = 0 en las ecua- ciones (127) y (128). Al estar el borde empotrado, 9 = 0 para x = a y para x = 0, siendo a el radio exterior de la placa, obteniéndose de
este modo las ecuaciones siguientes
derivadas de la (127):
(i
l^ — -=0, y sustituyendo estos valores en la ecuación (127), se obtiene 9 = -q—(a* — x2). (129) 16 DLas flechas se calculan mediante la ecuación(128).Poniendo en esta ecuación P = 0 y los valores (ct) delasconstantes C, y C2, tendremos qx4 qa2x2 w — --- - -- \- GV (o) 64 D 32 D * qx3 Gl x 16 D 2 ~~ x j ' qx? C-jX .16 D 2 Xi ') ■ / % =0 de donde C2 = 0 y G. = 9—, (a) 2 1 8 D
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 145
Puesto que en el borde la flecha es nula tendremos f f ° ‘ + o1 = o ,
146 RESISTENCIA DE MATERIALES
64 D 32 D de donde
64 D Sustituyendo en la ecuación (ó) se tiene
w = (a2 — x2)2. (130)
64 D
La flecha máxima, correspondiente al centro de la placa, vale
*=*£. (131)
64 D
Esta flecha es s/8 de la flecha de una tira (fig. 76) empotrada en
los extremos y de longitud igual al diámetro de la placa. Los momentos flectores se obtienen por las ecuaciones (123) y (124), sustituyendo en ellas, en vez de 9, el valor (129). Se obtiene
J/1 = -^[a2(l + (x)-x2(3 + p)], (c)
lo
[a2 (1 + p) — x2 (1 + 3 g)]. (d)
16
En el borde (x = a), estas ecuaciones dan o o En el centro (x = 0),
Ml=M3 = í-±Pqa*. (/)
10
La fatiga máxima acontece en el borde y su valor es , , _ 6 g o2^3?a2
Mmáx - ¿2 g 4
Borde simplemente apoyado.—Utilizaremos para resolver este caso el método de superposición. Se ha visto —ecuación (e)— que en el caso de borde empotrado existen en él momentos ne-
2
gativos de valor Mx = — — —fig. 86 (a)—. Si este caso se 8
147 RESISTENCIA BE MATERIALES
1 16 qa\
combina con la flexión pura de la figura 86 (b), con objeto de eli- minar el momento flector del borde, tendremos la flexión de una placa con el borde simplemente apoyado. La deformación debida
a la flexión pura se obtiene por la ecuación (120). Sustituyendo en esta ecuación
*■ 8.0(1 + fi)
La flecha correspondiente en el centro de un casquete esférico es (véase pág. 90, Primera parte)
a2 qa4, 2r 160(1 + (i)*
Sumando esta flecha a la (131), obtendremos la flecha total
Para fi = 0,3 esta flecha es unas cuatro veces mayor que la que corresponde a borde empotrado.
Para el cálculo de los momentos flectores es necesario super- poner a los momentos (c) y (d), encontrados para el caso de borde empotrado, el momento constante
qa% 8 Se obtiene ^i = 4(3 + ^(a2-a:^ 16 = -£[«*(3 + (z)-^a + 3,1)]. ib
El momento flector máximo acontece en el centro y vale Fia. 86
\M,
se tiene
PLACAS Y ENVOI/VWTES DELGADAS 148
La fatiga máxima correspondiente es
Para comparar las fatigas de flexión ax y <t„ en la cara inferior
de la placa, según que el borde esté empotrado o apoyado, se ha representado en la figura 87 la variación de estas fatigas a lo largo del radio de la placa. Midiendo las ordenadas desde el eje horizontal que pasa por el punto 0, se obtienen las fatigas para
el caso de borde empotrado. Añadiendo a estas fatigas el valor constante es decir, midiendo las ordenadas desde el eie
4/r J
horizontal que pasa por el punto O j de la figura 87, se obtienen las fatigas para una placa simplemente apoyada. Se observará que la distribución de fatigas en el caso de borde empotrado es más favorable.
Hasta ahora hemos despreciado el efecto de la fuerza cortante en la deformación. Cuando el espesor de la placa es maycr de lo corriente, comparado con su radio, esta influencia puede ser considerable y debe tenerse en cuenta L La flecha adicional por cortadura se encuentra de modo análogo a lo hecho para
qa2 ~h2 (134) 8 6üfj 3(3 + (X) á2 10
149 ■RESISTENCIA DE MATERIALES
(136) vigas (artículo 39, Primera parte). En el caso de carga uniforme, la fuerza cortante (ecuación 126) es
Si se supone sobre el espesor de la placa la misma distribución de fatiga cortante que en el caso de una barra de sección rectangular, la fatiga es máxima en la superficie media y su valor a una distancia x del centro de la placa es
_ 3 F _ 3 qx 2 h 4 h La distorsión correspondiente será
T 3 qx
y ~G~ iOh
y la flecha adicional debida a esa distorsión en el elemento abcd (figura 85) es
Sumando estas flechas a lo largo del radio de la placa v te- niendo en cuenta que en el borde la flecha es nula, se obtiene
Uniéndola a la flecha (130) debida a ios momentos flectores, se
tendrá la flecha total
o, utilizando la ecuación (109),
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 151
En el caso de placas gruesas, el segundo término del parén- tesis, que representa el efecto de la fatiga cortante, puede ser de importancia práctica.
La teoría expuesta sobre placas circulares está basada en que las flechas son pequeñas comparadas con el espesor. Para flechas grandes debe tenerse en cuenta la deformación de la superficie media. De este modo puede verse que para grandes flechas la placa resulta más rígida de lo que indica la teoría expuesta 59 y las
flechas no son proporcionales a la carga. En el caso de una placa circular cargada uniformemente y con el borde empotrado, la flecha puede calcularse por la ecuación siguiente a:
que está de acuerdo con los resultados experimentales. En las aplicaciones se emplean a veces placas muy delgadas. En estos casos, las fatigas de flexión son pequeñas comparadas con las co- rrespondientes a la deformación de la superficie media y la placa puede considerarse como una membrana sin rigidez a la flexión s.
La flecha en el centro de una membrana circular cargada uniformemente viene dada por la ecuación
(138) El mismo resultado se obtiene despreciando 8 en la ecuación (137) frente al término 860. Los experimentos realizados con
membranas están de acuerdo con la ecuación (138) 61.
En el caso de una placa circular uniformemente cargada, de espesor variable, la variación del espesor con la distancia radial puede expresarse con suficiente exactitud por la ecuación
fie»
e 6a’
59 Véase la publicación del autor, ya citada, pág. 133. Véase tam-
bién Theory of Piales and Shells, 1940.
’ Véase H. Hencky, Zeitschr. f. Math. u. Physik., vol. 63, página 311, 1915.
61 Bruno Eck, Zeitschr. ). angew. Math. und Mech., vol. 7, página 498,
1927. Para información y diagramas, véase Techn. Notes, 738, 1939, en Nat. Adv. Cotnm. Aeron.
152 RESISTENCIA DE MATERIALES
donde — es la relación entre el espesor a la distancia x y el es- n0
pesor h0 en el centro, y p una constante. La forma de ia sección
diametral de la placa para diversos valores de la constante 8 se ve en la figura 88. La fatiga máxima por flexión aT en dirección
radial a la distancia x del centro, viene dada por ia expresión 3aa2°x = ÍT*
donde y es un factor que varía con la distancia radial x. Los valores de este factor 62 para una placa con el borde em-
62 Estos valores están tomados del trabajo de O. Piehler, Die Bieguny
Kreiwymmeirischer Dlutten von Veranderlicher Dicke, Berlín, 1928. Fia. 88
PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 153
pofrrado vienen dados por las curvas de la figura 89. Para borde simplemente apoyado, las curvas son las de la figura 90.