Tema 3: Juegos bipersonales

Tema 3: Juegos bipersonales

3. Juegos bipersonales

3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar

3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

Entorno multiagente

•

Situación:

•

múltiples agentes (jugadores) actúan en el mismo entorno

•

las acciones de los demás agentes influyen en la medida de

rendimiento de cada agente

•

ningún agente puede controlar las acciones de los demás agentes

•

hasta cierto punto, un agente puede predecir las acciones de los demás

Tipos de problemas multiagente :

• escenarios cooperativos: metas compartidas

• escenarios parcialmente cooperativos: algunas metas compartidas,

otras opuestas

Escenarios antagónicos: Juegos de suma cero

Juegos de suma cero:

• juegos donde las ganancias y perdidas suman cero

• lo que un jugador gana es lo que el otro pierde

• ejemplo “clásico” de escenarios antagónicos

• p.E.: Ajedrez, Póker, …

– Juegos con recompensas: la ganancia /perdida tiene cantidad

• el jugador quiere maximizar la cantidad

– Juegos sin recompensas: solo se gana o se pierde

Tipos de juegos:

• elementos de azar:

– con elementos de azar (backgammon) / sin elementos de azar (damas)

• información:

– información perfecta (damas) / información incompleta (póker)

3. Juegos bipersonales

3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar

3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

Tema 3: Juegos bipersonales

Modelar juegos bipersonales

•

Modelo similar a la búsqueda con un único agente (juegos unipersonales):

– Estados: cada situación del juego define un estado – Acciones:

• jugadas permitidas en una determinada situación

• los jugadores ejecutan sus acciones de forma alternando – Estado inicial: estado actual del juego

– Estado final: estado en el que termina el juego

•

Hay dos jugadores: max y min

•

No se busca un plan de acciones ya que el jugador contrario influye en el

progreso

•

Objetivo de un agente:

– encontrar la mejor jugada para él (la jugada que tiene las mayores posibilidades de llevarle a ganar el juego)

Ejemplo: Tres en Raya

Tres en Raya:

• dos jugadores (min y max)

• los jugadores van poniendo fichas en las casillas

de un tablero 3x3

– max usa las fichas

X

/ min usa las fichas

O

– una casilla puede contener como mucho una ficha

• Reglas:

– Inicialmente el tablero está vacío

– max empieza y los jugadores se van alternando en poner sus fichas

– max gana si obtiene una raya de tres fichas

X

– min gana si obtiene una raya de tres fichas

O

– si todas las casillas están ocupadas sin que haya una raya de 3 fichas del mismo tipo, hay empate

gana max

gana min

Modelar juegos bipersonales

Nótese:

• la función expandir

– codifica las jugadas (acciones) permitidas en una posición s

– supone implícitamente que los jugadores se alternan en realizar las jugadas

• la función de utilidad está definida sólo en los estados terminales s

– juegos de suma cero sin recompensas: max gana si y sólo si min pierde – gana max: U(s) = +∞ / gana min : U(s) = –∞ / empate: U(s) = 0

Conocimientos mínimos a priori de los agentes max y min :

– s₀ posición inicial (estado inicial)

– expandir: s  {s_i1, ..., s_in} cjto. finito de posiciones sucesores – terminal?: s  true | false prueba terminal

Ejemplo: Árbol de juego para Tres en Raya

. . .

. . .

max

max

min

min

...

–

∞

... ...

+

∞

0

terminal

utilidad

Árboles de juego

Definición:

Sea N un conjunto de nodos, E⊆N×N, L = {max,min}, y G = (N,E,L) un árbol etiquetado. G es un árbol de juego si

– G no es vacío

– la raíz está etiquetada max

– todos los sucesores de max son etiquetados min – todos los sucesores de min son etiquetados max

Observaciones:

• cada nivel del árbol de juego representa un ply (media jugada)

– en los nodos etiquetados max, es el turno del agente max – en los nodos etiquetados min, es el turno del agente min

• las hojas de un árbol de juego (completamente desarrollado)

representan las posiciones terminales del juego

Estrategias

Problema del agente max: ¿cómo determinar su mejor jugada?

• max podría aplicar métodos de búsqueda estándar, usando las posiciones en

las que él gana como estados meta

• pero min no querría realizar las acciones que el plan de max prevé para él !

Estrategia:

• define las jugadas de max para cada posible jugada de min

• un subárbol del árbol de juego

Estrategia óptima (ó racional) :

• la estrategia que implica el mejor resultado garantizado para max

• escenarios totalmente antagónicos con agentes racionales:

– max puede asumir que min hará lo mejor para sí mismo, lo cual el lo peor para max

• la estrategia óptima para max es la estrategia minimax:

estrategia óptima:

Ejemplo: estrategia minimax

max

min

terminal

0

0

utilidad

₊

∞

₊

∞ +∞ –∞

₀

₀

_–

∞

0

_-

∞

_-

∞

0

a

₁

a

₂

a

₃

a

_1,1

a

_1,2

a

_1,3

a

2,1

a

2,2

a

2,3

mejor jugada de max: a

₁

Método minimax

Método Minimax:

1. Generar el árbol de juego completo

2. Aplicar la función de utilidad en cada nodo terminal

3. Propagar las utilidades hacia arriba

– en los nodos max, usar la utilidad máxima de los sucesores

– en los nodos min, usar la utilidad mínima de los sucesores

4. Eventualmente los valores de utilidad llegan al nodo raíz (max)

{MinValor en el Minimax básico} Función MinValor(estado)

Si terminal?(estado) entonces devolver(U(estado))

sucesores ← expandir (min, estado) β ← +∞

Para cada s∈sucesores hacer β ← min(β,MaxValor(s)) devolver(β)

Fin {MinValor} {MaxValor en el Minimax básico}

Función MaxValor(estado)

Si terminal?(estado) entonces devolver(U(estado))

sucesores ← expandir(max, estado) α ← −∞

Para cada s∈sucesores hacer α ← max(α, MinValor(s)) devolver(α)

Fin {MaxValor}

Algoritmo:

• funciones mutuamente recursivas

• estado es el estado actual

Algoritmo Minimax básico

• α : máximo de la utilidad de los

sucesores de un nodo max

• β

: mínimo de la utilidad de los

sucesores de un nodo min

Decisiones imperfectas

Problema: crecimiento exponencial del árbol de juego

• incluso en juegos muy simples, es imposible desarrollar el árbol de

juego completo hasta todos sus nodos terminales

Solución: Heurísticas

• sustituir la prueba terminal por una prueba suspensión que detiene la

búsqueda aún sin llegar a una posición terminal:

– límite de profundidad fijo – posiciones “en reposo”

• aplicar una función de evaluación e, que estime la utilidad esperada

del juego correspondiente a una posición s determinada

– suele ser función lineal ponderada : e(s) = w₁ f₁(s) + w₂ f₂(s) + . . . + w_n f_n(s) – Ajedrez: e(s) = “suma de los valores materiales en s”

– Tres en Raya: e(s) = “nº de líneas abiertas para líneas max en s” – “nº de líneas abiertas para líneas min en s”

estrategia óptima:

Ejemplo: minimax con suspensión

max

min

3

12

evaluación e

₈

₂

₄

₆

₁₄

₅

₂

3

2

2

3

a

₁

a

₂

a

₃

a

_1,1

a

_1,2

a

_1,3

a

2,1

a

2,2

a

2,3

mejor jugada de max: a

₁

{MinValor: Minimax con suspensión} Función MinValor(estado)

Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado))

sucesores ← expandir (min, estado) β ← +∞

Para cada s∈sucesores hacer β ← min(β,MaxValor(s)) devolver(β)

{MaxValor: Minimax con suspensión} Función MaxValor(estado)

Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado))

sucesores ← expandir(max, estado) α ← −∞

Para cada s∈sucesores hacer α ← max(α, MinValor(s)) devolver(α)

Algoritmo:

• funciones mutuamente recursivas

• estado es el estado actual

Algoritmo Minimax con suspensión

• α : máximo de la evaluación de los

sucesores de un nodo max

• β

: mínimo de la evaluación de los

sucesores de un nodo min

Ejemplo: Tres en Raya

max

2

Suspensión en ply 3

...

max

min

...

...

...

0

1

1

₊

∞

1

2

1

+

∞

-

∞

2

₂

₊

∞

1

+

∞

+

∞

2

+

∞

+

∞

₊

∞

-∞

-∞

-∞

-∞

2

Juegos con recompensas variables

• Juegos sin recompensas variables:

– gana max: U(s) = +∞ / gana min : U(s) = –∞ / empate: U(s) = 0

• Juegos de recompensas variables: por ejemplo ganar puntos/dinero/…

– La utilidad de un nodo hoja depende de la recompensa

• la propia recompensa puede define la utilidad

– La función de evaluación tiene que evaluar la recompensa esperada – Ejemplo: cantidad de dinero que se gana, …

• A veces la estrategia minimax es dudosa:

a

₁

a

2

a

_1,1

a

_1,2

a

_1,3

a

2,1

a

2,2

a

2,3 101 102 99 100 99

?

Ejercicio 3.1

Considérese el siguiente árbol de juego desarrollado hasta ply 3. Los nodos

están etiquetados con los valores de la función de evaluación e.

a) Evalúe el árbol del juego en base al algoritmo minimax.

b) ¿Cuál es la mejor jugada para el agente max?

Poda

α-β

Nótese:

• a veces es posible calcular la utilidad de un nodo sin tener que evaluar

todos sus sucesores

max

min

3

12

8

2

14

5

2

3

≤ 2

2

3

a

₁

a

_1,1

a

_1,2

a

_1,3

a

2,1

a

₂

a

_2,2

a

_2,3

a

₃

a

_3,1

a

_3,2

a

_3,3

Utilidad más alta encontrada en un nodo max hasta el momento: α

max

min

. . .

α

β

Condición de poda:

β≤α

• La utilidad U

_min

del nodo min

será como mucho

β

• La utilidad U

_max

del nodo max

será al menos α

• No es necesario explorar los

sucesores restantes de min, ya

que se cumple en todo caso:

U

_min

≤ β ≤ α ≤ U

_max

Utilidad más baja encontrada en un nodo min hasta el momento: β

min

max

. . .

β

α

Condición de poda:

α≥β

• La utilidad U

_max

del nodo max

será al menos α

• La utilidad U

_min

del nodo min

será como mucho

β

• No es necesario explorar los

sucesores restantes de max, ya

que se cumple en todo caso:

U

_min

≤ β ≤ α ≤ U

_max

{MinValor: Minimax con poda α−β} Función MinValor(estado,α,β)

Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado))

sucesores ← expandir (min, estado) Para cada s∈sucesores hacer

β ← min(β,MaxValor(s,α,β ))

Si β ≤ α entonces devolver(β)

devolver(β) Fin {MinValor} {MaxValor: Minimax con poda α−β}

Función MaxValor(estado,α,β)

Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado))

sucesores ← expandir(max, estado) Para cada s∈sucesores hacer

α ← max(α, MinValor(s,α,β ))

Si α ≥ β entonces devolver(α)

devolver(α) Fin {MaxValor}

• α es el mejor valor de evaluación

para max en el camino hasta estado

• β

es el mejor valor de evaluación

para min en el camino hasta estado

Algoritmo:

• funciones mutuamente recursivas

• estado es el estado actual

Ejercicio 3.2

Considerese el árbol de juego del ejercicio anterior. Evalúe el árbol

utilizando el algoritmo minimax con poda α-β. Cuando aplica una poda,

indique la condición de poda correspondiente.

Resumen minimax

Problemas:

• efecto horizonte:

– la búsqueda se suspende justo cuando el jugador está por hacer una gran jugada

• suposición de racionalidad perfecta:

– suponga que max está a punto de perder si min juega de forma óptima

– sin embargo, hay una jugada que hace ganar a max, si min hace un solo error

Análisis:

• la eficiencia de minimax con poda α-β depende del orden en el que se

exploran los nodos

• en promedio, la poda α-β permite expandir 50% menos nodos que minimax

Extensiones:

• heurísticas “fuertes” basados en meta-razonamiento

3. Juegos bipersonales

3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar

3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

Tema 3: Juegos bipersonales

Juegos bipersonales con elemento de azar

• Muchos jugos tienen elementos de azar:

– p.E.: cualquier juego con dados

• ¿Cómo tratar estos elementos?

• Algoritmo: EXPEXTMINIMAX

• Idea:

– Utilizar el algoritmo minimax

– Añadir un nuevo jugador: “azar” que se incluye en el árbol siempre que haya un evento independiente de los jugadores y cuyo resultado es aleatorio

– Los sucesores de un nodo “azar” son las posibles situaciones que podrían ser el resultado de este elemento de azar

• p.E.: todos los posibles resultados de tirar un dado

– Cada uno de los sucesores de un nodo “azar” tiene asociado la probabilidad de que este resultado ocurra

• p.E.: en el caso del dado: P(1)=1/6, …, P(6)=1/6

Ejemplo: Backgammon simplificado

• Estado inicial:

• Objetivo:

– mover las fichas al lado opuesto (max= , al campo 5 y min= al campo 0)

• Reglas:

– max empieza y los jugadores se van alternando sus jugadas

– Cada jugada consiste primero en tirar una moneda; la cara tiene el valor 1 y la cruz el valor 2. Después se mueve una de las fichas 1 o 2 campos en la

dirección deseada (dependiendo del resultado de la tirada de la moneda) – No es posible mover una ficha a un campo que tiene una ficha del oponente – Si un jugador no puede mover sus fichas pierde su turno (si puede, tiene que

mover una ficha)

– Gana el jugador que primero ha movido ambas fichas al campo deseado

• El elemento de azar ocurre antes de elegir la jugada

Ejemplo: Backgammon simplificado

Representación eficiente de estados:

(x1,x2,y1,y2)

x1 y x2 posiciones de las fichas blancas e y1,y2 posiciones de las fichas negras

Árbol del juego:

(0,0,5,5)

azar

max

1;1/2 _2;1/2

min

1;1/2 2;1/2

…

(1,0,4,5) _(1,0,5,4)

azar

max

1;1/2 2;1/2

…

(1,0,5,5) (0,1,5,5) (2,0,5,5) (0,2,5,5)

azar

(2,0,4,5) (1,1,4,5)

azar

…

Expectminimax

• Objetivo: elegir la mejor jugada para max

• ¿Cómo propagar los valores de utilidad/evaluación de los nodos hoja a los

nodos superiores?

• Solución:



















⋅

=

∑

∈ ∈ ∈

azar

nodo

es

n

si

;

max(s))

ExpectMini

(P(s)

min

nodo

es

n

si

min

nodo

es

n

si

;

imax(s))

(ExpectMin

min

max

nodo

es

n

si

;

imax(s))

(ExpectMin

max

suspensión

de

o

terminal

nodo

es

n

si

;

e(n)

max(n)

ExpectMini

n) in, expandir(m s n) in, expandir(m s n) ax, expandir(m s

• Implementación: ejercicio

Ejemplo: Backgammon simplificado

• Situación actual: (toca a max)

(3,4,1,2); max tiene que mover una ficha (blanca) una posición

• Suponemos el algoritmo expectminimax con un nivel de suspensión de 5

• Como función de evaluación se usa la siguiente: e((a,b,c,d))=a+b+c+d

•

valores altos de a y b son buenos para max porque indican que sus fichas

están cerca de la meta (5)

•

valores altos de c y d son buenos para max porque indican que las fichas

de min estan lejos de su meta (0)

• para el estado actual: e((3,4,1,2))=10

0 1 2 3 4 5

max

(3,5,1,2) (4,4,1,2)

azar

min

1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2

azar

(3,5,1,0) (3,5,0,2) (4,4,0,2) (4,4,1,0) (4,4,1,1) (3,5,1,1) (4,5,0,2) (5,5,0,2) (4,5,1,0) (4,5,1,1) (4,4,1,1) (4,5,0,2) (4,4,0,2) (5,4,1,0) (4,4,1,0) (5,4,1,1) (5,4,0,2) (4,5,1,0) (4,5,1,1) (5,5,1,1)

e(nodo)

11

11

10

11

11

10

10

10

9

11

12

10

11

12

max

1;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 2;1/2 1;1/2

11

10

11

10

10

9

11

12

11

12

10

10,5

10,5

9,5

11,5

11,5

10,5

9,5

11,5

10,5

10

11

11

Funciones de evaluación/utilidad

Criterios de los funciones de evaluación/utilidad:

• no pueden devolver +∞ o –∞ (los nodos azar tendrían siempre valores +∞

o –∞)

• la escala de los valores si importa (no como en el algoritmo minimax):

max

0,1

min

azar

0,9 0,1 0,9

2

2 3

3 1

1 4

4

4

1

3

2

1,3

2,1

2,1

0,1 0,9 0,1 0,9

2

2 30

30 1

1 40

40

40

1

30

2

4,9

4,8

4,9

Funciones de evaluación/utilidad

Caso ideal:

• La función de evaluación debe ser una transformación lineal positiva de la

probabilidad de ganar (o de la recompensa esperada)

• Muchas veces es difícil establecer una función e que cumple este criterio (véase

el ejemplo)

• Juegos con recompensas:

– la propia recompensa suele proporcionar una buena función de evaluación

– Ejemplo: backgammon simplificado donde, además, el perdedor paga al ganador 1 euro por cada unidad de distancia de sus fichas respecto a la meta

e(nodo)

Estrategia ExpectMinimax/ Estartegias alternativas

• Estrategia del algoritmo ExpectMinimax:

– max siempre hace lo mejor para él (máximo) – min siempre hace lo mejor para si mismo

(mínimo)

– nodos de azar se pondera la utilidad por la probabilidad

max

azar

0,3 0,7

-1

3

0,1

1,8

0,6 0,4

5

-4

0,1 0,9

1

0

1,4

Estrategia optimista

– elige el máximo en los nodos de azar

0,3 0,7

3

1

3

0,6 0,4

5

-4

0,1 0,9

1

0

5

-1

Estrategia pesimista

– elige el mínimo en los nodos de azar

0,3 0,7

3

0

-1

0,6 0,4

5

-4

0,1 0,9

1

0

-4

-1

El dinero como función de utilidad

• El dinero puede proporcionar una función de utilidad

1.500.000 E

0,5 0,5

3.000.000 E

0 E

1.000.000 E

• Mejor U(s)∈(0..10): U(0E)=0; U(1.000.000E)=8; U(3.000.000E)=9

U=4,5

0,5

0,5

1.000.000 E

U=8

• Pero considera el siguiente ejemplo:

– Un ganador de un concurso puede aceptar el premio de 1.000.000 euros o jugarse el premio a cara y cruz. Si acierta gana el 3.000.000 euros y si no acierta pierde todo.

Complejidad ExpectMinimax

• Proporcional al número de nodos en el árbol

• d- nivel de suspensión, b- factor de ramificación

• Si no tuviéramos nodos de azar, sería la misma complejidad que en

el minimax: O(b

d

₎

• Si en cada jugada existe un elemento de azar con n posibilidades, la

complejidad se convierte en O(b

d

_*n

d

₎

• Ejemplo Backgammon: n=21 (2 dados) y b≈

20

Nr. jugadas anticipadas

incluyendo un nivel azar (d)

Nr. nodos (ap.)

1 20*21=420

2 176400

Ejercicio 3.3

Considere el siguiente árbol de juego. Evalúe el árbol utilizando el

algoritmo expectminimax. Las probabilidades de los diferentes nodos son

0,5 para cada acción en los nodos de azar del nivel 3 y los que se indican en

el árbol para los nodos de nivel 1.

max

azar

min

azar

0,2 0,1 0,7 0,1 0,9 0,3 0,7

Varios jugadores y alternancia no simétrica

Para más (o menos) jugadores y alternancias no estrictamente simétricas

• Ejemplo:

– Parchis: Si un jugador tiene un seis le toco otra vez – “La oca”: “de oca en oca y tiro porque me toca”

• Minimax y Expectminimax son igualmente aplicables:

– simplemente se añaden los nodos correspondientes en la posición correspondiente en el árbol

azar

min

0,2 0,1 0,7

max

…

Ejercicio 3.4

El algoritmo ExpectMinimax también es aplicable en determinados casos

en los que sólo actúa un agente y en los que existen elementos de azar.

Considere el siguiente juego. Un agente A quiere apostar dinero en una

casa de apuestas. Las reglas de las apuestas son siempre las mismas: hay

una probabilidad de ganar del 0,4 y de perder del 0,6. El agente puede

elegir entre las siguientes acciones: irse a casa con el dinero que le queda,

o apostar cualquier cantidad (entera) de su dinero.

Utilice el algoritmo ExpectMinimax para decidir que le conviene hacer al

agente si tiene un euro. Para ello realiza el árbol hasta incluyendo dos

rondas de apuestas. ¿Qué función de evaluación se puede usar?

3. Juegos bipersonales

3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar

3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

Tema 3: Juegos bipersonales

Juegos bipersonales con información incompleta

En muchos juegos los jugadores no conocen el estado del juego completamente

• El agente solo tienen información parcial sobre el estado actual

• El agente sólo sabe que el juego se encuentra en alguno de los estados que

concuerdan con la información de la que disponen

• El estado actual real es uno de una serie de estados posibles

• Ejemplo:

– juegos con cartas (que se reparten al principio), bridge, versiones simples de póker, …

(Primera) Idea:

• Considerar cada posible valor de los parámetros desconocidos y su

probabilidad de ocurrencia / crear un árbol para cada posible estado

• Aplicar el algoritmo ExpectMinimax

ExpectMinimax con información incompleta

• Situación actual del agente:

– En un momento dado (estado indeterminado s₀) existen n combinaciones distintas de valores para los parámetros desconocidos (estados posibles s₁,…,s_n)

– La probabilidad de que el estado actual sea s_i es p(s_i) con p(s₁)+…+p(s_n)=1 – El agente puede elegir entre m posibles acciones: a₁,…,a_m

• Combinar todos los posibles árboles (para todos los posibles estados s

₁

,…,s

_n

)

U(a₁|s₁) _U(a

1|sn)

U(a_m|s₁)

U(a_m|s_n)

• Obtener las utilidades para cada acción y cada posible estado s

_i

• Calcular la utilidad de cada acción:

∑

= ⋅ = n k k i k i p s U a s a U 1 ) | ( ) ( ) (

• Realizar la acción a

_i

que maximize U(a

_i

)

…

p(s₁) _p(sn) s₁

…

s_n a_{1 a} m a₁ a_m

…

s₀

Ejemplo 1: “Apuestas 1”

• Dos jugadores (min y max) y una baraja de cartas con 2 ases (A), 2 reyes

(K) y 2 reinas (Q).

• Reglas:

– Cada jugador pone un euro en el bote. Después obtiene una carta.

– A continuación max puede pasar (min gana el bote), o puede apostar 2 o 4 euros.

– Min puede pasar (max gana el bote) o igualar (poner igualmente dos euros). – Si min igual la apuesta de max, ambos enseñan sus cartas.

– Gana el bote aquel jugador cuyas cartas tiene mayor valor (A>K>Q) – Si ambas cartas tienen el mismo valor entonces se reparte el bote (nadie

gana ni pierde).

• Problema para max:

– max ha tenido una carta K y no conoce la carta de min – ¿Qué acción conviene a max?

Aplicar ExpectMinimax: Apuestas 1

<K,?> 2/5 <K,Q> <K,K> <K,A> 1/5 2/5 p 4 2 p i p i p 4 2 p i p i p 4 2 p i p i -1 1 3 _{1 5} -1 1 0 _{1 0} -1 1 -3 _{1 -5} 1 1 0 0 -3 -5

• Calcular la utilidad de cada acción:

4 1 5 5 2 0 5 1 1 5 2 4 8 0 3 5 2 0 5 1 1 5 2 2 1 1 5 2 1 5 1 1 5 2 , / / / ) ( U , / / / ) ( U / / / ) p ( U − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =

Aplicar ExpectMinimax: Apuestas 1

¿Porqué la utilidad de apostar 2 euros es -0,8?

• max tiene mayores posibilidades de perder dinero que de ganar dinero

Analizamos:

• si max tiene un K y apuesta 2 euros:

– Si min tiene K (probabilidad 1/5) max no pierde nada – Si min tiene A (probabilidad 2/5) max pierde 3 euros

• solo en el peor de los casos, es decir, si min iguala la apuesta • es lo que debería hacer min si tiene A

– Si min tiene Q (probabilidad 2/5) max gana 1 euro

• solo en el peor de los casos, es decir, si min pasa • eso es lo más razonable para min si tiene Q

• el algoritmo siempre considera el peor caso para max

– se supone que min siempre actúa lo mejor posible

Ejemplo 2: “Adivina la carta”

Consideramos el siguiente juego hipotético:

• min coge una carta de una baraja (A o K con la misma probabilidad) y max

tiene que adivinarla

• max puede pasar o intentarlo. si pasa min le paga 1 euro

• Luego min decide si pasa (tiene que pagar 10 euros a max) o permite a max

que lo intente.

• Finalmente, max intenta adivinar la carta.

Ejemplo 2: Adivinar la carta

• ¿Qual es la mejor jugada para max: pasar o intentarlo?

5 5 2 / 1 5 2 / 1 ) ( 1 1 2 / 1 1 2 / 1 ) ( = ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = i U p

U _{Según el algoritmo, max debe intentar de}

adivinar la carta aunque tenga un 50% de posibilidad de perder 5 euros. Mientras si

<?> 1/2 <K> 1/2 <A> p i p _i 1 +10 K A +5 -5 p i p _i 1 +10 K A -5 +5 +5 +5 +5 +5

¿Porqué no funciona bien el algoritmo?

• El algoritmo es:

– demasiado optimista para max

• Se supone que max siempre hace lo mejor para él

– Si la carta que tiene min es K max dirá K – Si la carta que tiene min es A max dirá A

– PERO: en realidad max no sabe la carta que tiene min

• Para hacer lo mejor para si mismo, max necesita toda la información

– sólo tiene información parcial

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Antes de nada:

– Formalizar el modelo de transición de estados del problema (el espacio de estados). – ¡Esta formalización es la misma para minimax y expectminimax y minimax con

estados de creencia!

Tenemos (conocimientos a priori del agente):

– estados, conjunto S={s₀,s₁,…}

– acciones, conjunto de acciones AC={a₁, a₂, …}

Conocimientos a priori y suposiciones:

• En cada estado hay un conjunto de acciones aplicables

– Sea A: S×AC→{0,1} una función que estima si se puede aplicar a en s







=

caso

otro

en

,

0

s

estado

al

aplicable

es

a

si

,

1

)

a

,

s

(

A

Más conocimientos a priori:

• Cada realización de una acción en un estado lleva con una determinada

probabilidad a otro estado y genera una observación

– el agente percibe las observaciones después de que se haya realizado la acción

– aplicar a en s

₃

lleva con probabilidad ¼ a s

₁

(generando o

₁

) y con

probabilidad ¾ a s

₂

(generando o

₂

)

– Conjunto posible de observaciones en el dominio: OB={o₁, o₂, …}

– Se supone una observación por defecto o_d∈OB que se percibe si “no se observa nada” (p.e.: mi oponente coge una carta y no me la enseña)

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

s₃ s₁ s₂ a,3/4,o₂ a,1/4,o₁

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Más conocimientos a priori:

• Formalizar las transiciones:

– T:S

×AC×S→[0,1]

es un modelo de transición

– T(s,a,s’) denota la probabilidad de que la acción a aplicado a s lleva al

estado s’ (p. E.:T(s

₃

,a,s

₁

)=1/4)

– T cumple que:

• s₃ s₁ s₂ a,3/4,o₂ a,1/4,o₁    = =

∑

∈ 0,enotro caso 1 s) A(a, si , 1 S ' s ) ' s , a , s ( T

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Más conocimientos a priori:

• Formalizar las observaciones:

– O: S×AC×S×OB →{0,1} es un modelo de observaciones

– O determina si una observación se genera como resultado de aplicar a a s

y teniendo como estado resultado s’ (p. E.:O(s

₃

,a,s

₁

,o

₁

)=1)

– Se supone:

• Cada tupla S×AC×S tiene una y sólo una observación asociada • Esta observación puede ser la observación por defecto o_d

s₃ s₁ s₂ a,3/4,o₂ a,1/4,o₁      = caso otro en 0, o n observació la genera a acción la con s' estado al s estado del n transició la si , 1 ) , ' , , (s a s o O

Más conocimientos a priori:

• Los modelos de observaciones y transiciones definen 3 tipos de acciones

posibles:

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Acciones deterministas Acciones con elementos de azar no observables

Acciones con elementos de azar observables s₃ s₁ a,1,o₁ s₃ s₁ s₂ a,3/4,o₁ a,1/4,o₁ s₃ s₁ s₂ a,3/4,o₂ a,1/4,o₁ - el resultado de a en s es determinista

- solo hay una posible observación

- resultado observable - p.e.: “jugar un as”

- el resultado de a en s es probabilística

- la observación recibida es siempre la misma - resultado no observable - p.e.: “coger una carta min”

- el resultado de a en s es probabilística

- la observación recibida es distinta en cada caso - resultado observable

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

• Ejemplo:

– Supón un juego hipotético con cartas: 4 ases (A) y 4 reyes (K)

– Cada jugador tiene unas cartas de la baraja (y no ve las cartas del otro jugador) – Los jugadores se alternan

• Hay dos turnos de coger cartas

• En cada turno cada jugador puede coger una carta o pasar

– Al final gana el que tiene mayor proporción de ases respecto a reyes y, si ámbos tiene la misma proporción, el que tiene más ases

– ¿Como se definirían los elementos del modelo de transición?:

Estados, Acciones, Observaciones

A(s_i,a)=¿?

T(s_i,a,s_j)=¿?

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

• Ejemplo:

– Estados:

• <x,y>; x - las cartas de max; y – las cartas de min • S={<x,y> con x,y∈{{},{A},{K},{A,A},{A,K},…} }

– Acciones:

• AC={“coger carta max”, “coger carta min”, “pasar max”, “pasar min”}

– Observaciones:

• OB={“K”,”A”,”nada”)

– A(s_i,a): definido por las reglas del juego

• Están definidos por las reglas del juego,

• A(<x,y>,”pasar max”,<x,y>)=1, si le toca a max • A(<x,y>,”pasar min”,<x,y>)=1, si le toca a min

• A(<x,y>,”coger carta min”,<x,y>)=1, si le toca a min • A(<x,y>,”coger carta max”,<x,y>)=1, si le toca a max

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Ejemplo:

– T(s,a,s’): definido por las reglas del juego

• Sea s=<x,y> y |x| e |y| el número de cartas de max y min; y x_A,y_A, x_K e y_K el número de ases y de reyes de max y min

• T(<x,y>,”pasar max”,<x,y>)=1 • T(<x,y>,”pasar min”,<x,y>)=1

• T(<x,y>,”coger carta max”,<x∪{A},y>) =(4- x_A – y_A)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”coger carta max”,<x∪{K},y>) =(4- x_K – y_K)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”coger carta min”,<x,y∪{A}>) =(4- x_A – y_A)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”coger carta min”,<x,y∪{K}>) =(4- x_K – y_K)/(8- |x| - |y|) • Para todas las demás pares de (s,a,s’): T(s,a,s’)=0

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

Ejemplo:

– O(s_i,a,s_j,o_k): definido por las reglas del juego

• O(<x,y>,”pasar max”,<x,y>,nada)=1 • O(<x,y>,”pasar min”,<x,y>,nada)=1

• O(<x,y>,”coger carta max”,<x∪{A},y>,A) =1 • O(<x,y>,”coger carta max”,<x∪{K},y>,K) =1 • O(<x,y>,”coger carta min”,<x,y∪{A}>,nada) =1 • O(<x,y>,”coger carta min”,<x,y∪{K}>,nada) =1

• El modelo de transición define el grafo del problema (espacio de estados):

• La misma acción puede llevar a diferentes estados (con alguna probabilidad)

Primero formalizar mejor el proceso de decisión en

juegos bipersonales

<{A,A},{K}>

<{A,A,K},{K}> <{A,A,A},{K}> <{A,A},{K,A}> <{A,A},{K,K}>

“pasar min”, p=1, nada “pasar max”, p=1, nada

“coger carta max”, p=3/5, K “coger carta max”, p=2/5, A “coger carta min”, p=3/5,nada “coger carta min”, p=2/5,nada

<{A},{K,A}>

ExpectMinimax con estados de creencias

• Los jugadores no conocen exactamente el estado actual del juego

– sólo tienen información parcial del estado del juego

– sólo saben que el juego se encuentra en alguno de los estados que concuerdan con la información de la que disponen

• Estados de creencia: anotado por b

– distribución de probabilidad sobre todos los posibles estados del juego – Sea S={s₁,…,s_n} el conjunto de estados del problema/juego.

– b=((s₁,p₁),…,(s_n,p_n))

• p_i= probabilidad/creencia de que el estado actual es s_i • p₁+…+p_n=1

– Representación comprimida de un estado de creencia:

• omitir todos los estados con probabilidad 0

– Definimos b(s)= la probabilidad del estado s en el estado de creencia b

• Si b=((s₁,p₁),…,(s_n,p_n)), entonces b(s₁)=p₁

Estado de creencias

Ejemplos:

• Apuestas 1:

– Estados: <x,y>, x,y ∈{K,Q,A} x- carta de max, y- carta de min

– Situación actual: ambos jugadores tienen una carta, max tiene K y no sabe la carta de min

– Estado de creencia (comprimido) de max:

• ((<K,Q>, 2/5),(<K,K>, 1/5), (<K,A>, 2/5))

• Adivinar la carta:

– Estados: <x>, x ∈{K,A} x- carta que tiene min

– Situación actual: min tiene una carta y max no sabe cual es – Estado de creencia (comprimido) de max:

• ((<K>, 1/2),(<A>, 1/2))

OJO:

– Por simplicidad omitimos otra información que está contenida en el estado/estado de creencia acerca de la situación actual del juego

ExpectMinimax con estados de creencias

• Problemas a resolver:

– 1. ¿Cómo cambia el estado de creencia al realizar una acción?

• crear el árbol del juego

– 2. ¿Cómo se evalúa la utilidad de un estado de creencia?

• evaluar los nodos hoja

– 3. ¿Cómo propagar la utilidad a los nodos superiores del árbol?

• O¿Cómo podemos crear el árbol del juego?:

– La realización de una acción proporciona una observación y cambia el estado (y, por tanto el estado de creencia).

– Si la acción contiene elementos de azar que son observables, cada observación genera un nuevo estado de creencia

– Cada acción se modeliza de la sigiente forma en el árbol del juego:

1. ¿Cómo cambia el estado de creencias al realizar

una acción?

a₁, p_a1 b₁₁’ b … a₂, p_a2 b_1n’ … o₁, p_o1 o_n, p_on posibles acciones en b

probabilidad de que se pueda ejecutar la acción suponiendo b

estados de creencia resultantes en función de la observación

posibles observaciones al realizar a en b con sus respectivas probabilidades

(puede ser sólo una observacion en acciones deterministas o no

nodo de decisión de un agente (max o min) nodo de azar

• ¿Cómo calcular los valores?

2. ¿Cómo cambia el estado de creencias al realizar

una acción?

) , ' , , ( ) ' , , ( ) ( ) ' ( ' _{1 1 1} 11 s b s T s a s O s a s o b S s ⋅ ⋅ ⋅ =

∑

∈

β

)

,

(

)

(

)

|

(

₁ 1

p

a

b

b

s

A

s

a

p

S s a

=

=

∑

⋅

∈ a₁, p_a1 b₁₁’ b b_1n’ … o₁, p_o1 o_n, p_on

∑∑

∈ ∈

⋅

⋅

⋅

=

=

S s s S o

a

s

O

s

a

s

T

s

b

a

b

o

p

p

' 1 1 1 1 1 1

)

o

,

s'

,

,

(

)

'

,

,

(

)

(

)

,

|

(

α

) , ' , , ( ) ' , , ( ) ( 1 1 1 1

∑∑∑

⋅ ⋅ = _n o s a s O s a s T s b α

α y β son factores que aseguran que y '( ') 1 ' 11 =

∑

∈S s s b 1 1 =

∑

= n i oi p ) , ' , , ( ) ' , , ( ) ( 1 1 1 1

∑∑

⋅ ⋅ = o s a s O s a s T s b β

• Ejemplo: Consideramos el siguiente espacio de estados

1. ¿Cómo cambia el estado de creencias al realizar

una acción?

Acciones deterministas: ((s₃,1)) ((s₂,1)) a,1 ((s₂,1/3),(s₃,2/3)) a,1 ((s₂,2/3),(s₃,1/3) ((s₃,1/3),(s₅,2/3)) a,1/3 ((s₂,1)) o₁,1 o₁,1 o₁,1 s₁ s₂ s₃ s₄ b,1/4,o₁ a,1,o₁ c,1/3,o₁ s₅ b,1/2,o₂ b,1/2,o₁ b,3/4,o₂ a,1,o₁ c,2/3,o₁ c,1,o₁

• Ejemplo:

1. ¿Cómo cambia el estado de creencias al realizar

una acción?

Acciones con elementos de azar (observable y no observable): ((s₂,1/3),(s₃,2/3)) b,1 ((s₁,1/2),(s₄,1/2)) ((s₁,1/3),(s₂,1/3),(s₃,1/3)) c,2/3 o₁,2/6 ((s₄,3/4),(s₅,1/4)) o₂,4/6 s₁ s₂ s₃ s₄ b,1/4,o₁ a,1,o₁ c,1/3,o₁ s₅ b,1/2,o₂ b,1/2,o₁ b,3/4,o₂ a,1,o₁ c,2/3,o₁ c,1,o₁ ((s₂,4/6),(s₅,2/6)) o₁,1

¡Dependiendo del estado, una misma acción podría ser determinista, con elementos de azar observable o con elementos de azar no observable !

coger carta min, p=1

1. ¿Cómo cambia el estado de creencias al realizar

una acción?

• Ejemplo:

– Supón un juego hipotético con cartas: 4 ases (A) y 4 reyes (K) – Estados: <x,y>; x - las cartas de max e y – las cartas de min

– Sea el siguiente estado hipotético de creencia: ((<{A},{A}>,3/7),(<{A},{K}>,4/7)) – Sea la siguiente secuencia de acciones: 1-max coge otra carta, 2- min coge otra carta,

3- max puede jugar una de sus cartas, …

K,p=4/7 A,p=3/7 ((<{A},{A}>,3/7),(<{A},{K}>,4/7)) ((<{A,K},{A,A}>,1/5),(<{A,K},{A,K}>,3/5),(<{A,K},{K,K}>,1/5)) ((<{A,K},{A}>,1/2),(<{A,K},{K}>,1/2)) _{((<{A,A},{A}>,1/3),(<{A,A},{K}>,2/3))}

…

((<{A},{A,A}>,1/5),(<{A},{A,K}>,3/5), (<{A},{K,K}>,1/5)) ((<{K},{A,A}>,1/5),(<{K},{A,K}>,3/5), (<{K},{K,K}>,1/5))

coger carta max, p=1

nada, p=1

jugar K, p=1 jugar A, p=1

nada, p=1 nada, p=1

2. ¿Cómo se evalúa la utilidad de un estado de

creencia?

• Suponemos que tenemos una función de utilidad U(s) o de evaluación e(s)

– definida para los estados

• Calcular U/e de un estado de creencia:

• La utilidad de un estado de creencia es la media de las utilidades de todos los

estados posibles ponderados por su probabilidad

• Ejemplo:

- sean los estados <x,y>, con x,y∈N,

- la función de evaluación e(<x,y>)=x-y:

→ e( ((<3,4>,1/4),(<5,2>,3/4)) )=1/2*(-1)+1/2*3=2

• Importante: U/e(s) tiene que ser acotada:

• No puede tomar valores como ∞ o -∞

• U/e:S→ (n_min, n_max) , siendo (n_min, n_max) un intervalo limitado (positivo y/o negativo)

∑

∈ ⋅ = S s s U s b b U( ) ( ) ( )

∑

∈ ⋅ = S s s e s b b e( ) ( ) ( )

3. ¿Cómo propagar la utilidad a los nodos

superiores del árbol?

• Propagación de los valores de utilidad:

• En principio igual que en el algoritmo ExpectMiniMax teniendo en cuenta las

probabilidades de poder realizar una acción:

b

-3

2

0

∑

= n i i iU(b ) p 1

Nodos azar:

1

)) b ( U p min( _ai ⋅ _i

Nodos min:

)) b ( U p max( _ai ⋅ _i

Nodos max:

p_a1=2/3 o_d, p=1 p_a2=1/4 o₁, p=1/3 od, p=1 p_a3=2/3 o₂, p=2/3 o_d, p=1 p_a2=1 p_a1=1 o_d, p=1 od, p=1 p_a2=1/2 p_a2=1 o₁, p=1/3 o₂, p=2/3

Nodos finales o de suspensión:

- como visto antes

5/3

-3

-2

-2

4/3

4/3

4/3

0

4/6

4/6

Ejemplo: De nuevo el ejemplo 2: Adivinar la carta

• Max hace lo mas razonable: pasar y ganar el euro seguro

((K,1/2),(A,1/2)) 1 10 0 0 p _i ((K,1/2),(A,1/2)) ((K,1/2),(A,1/2)) p i ((K,1/2),(A,1/2)) ((K,1/2),(A,1/2)) K A ((K,1/2),(A,1/2)) ((K,1/2),(A,1/2)) (1/2*5)+(1/2*-5)=0 (1/2*-5)+(1/2*5)=0

Se omiten los nodos de azar (todas

las acciones son deterministas) y las

probabilidades de poder realizar las

acciones (todas son 1)

Ejemplo 3: Póker (muy) simplificado

Juego: Dos jugadores (max y min) y una baraja con 4 ases (A) y 4 reyes (K)

Reglas:

– Primero max obtiene una carta y luego min.

– Después max puede elegir entre coger o no otra carta. – Después min decide si coge otra carta.

– Finalmente los dos enseñan sus cartas. Gana aquel cuyas cartas tienen mayor valor según el siguiente orden:

• {K,K}<{K}<{A,K}<{A}<{A,A} • El ganador recibe 3 euros del perdedor

• Si ambos tienen cartas del mismo valor entonces nadie gana ni pierde dinero.

• Problema:

– Max y min tienen ambos una carta. Max tiene un A y no sabe que tiene min – Max quiere saber si debe o no coger una segunda carta

Ejemplo 3: Póker (muy) simplificado

– Estados:

• <x,y>; x - las cartas de max; y – las cartas de min

– Acciones:

• AC={“2ª max”, “2ª min”, “no 2ª max”, “no 2ª min”}

– Observaciones:

• OB={“K”,”A”,”nada”)

– A(s_i,a): definido por las reglas del juego

• Las acciones están definidos en todos los estados (teniendo en cuenta cuando toca a cada jugador)

Ojo:

– se supone que el estado del juego respecto a “la secuencia de pasos” (se controla en otra parte)

– 1 –

Ejemplo 3: Póker (muy) simplificado

– T(s,a,s’): Sea s=<x,y> y |x| e |y| el número de cartas de max y min; y x_A,y_A, x_K e y_K el número de ases y de reyes de max y min:

• T(<x,y>,”no 2ª max”,<x,y>)=1 • T(<x,y>,”no 2ª min”,<x,y>)=1

• T(<x,y>,”2ª max”,<x∪{A},y>) =(4- x_A – y_A)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”2ª max”,<x∪{K},y>) =(4- x_K – y_K)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”2ª min”,<x,y∪{A}>) =(4- x_A – y_A)/(8- |x| - |y|) • T(<x,y>,”2ª min”,<x,y∪{K}>) =(4- x_K – y_K)/(8- |x| - |y|) • Para todas las demás pares de (s,a,s’): T(s,a,s’)=0

– O(s_i,a,s_j,o_k): definido por las reglas del juego

• O(<x,y>,”no 2ª max”,<x,y>,nada)=1 • O(<x,y>,”no 2ª min”,<x,y>,nada)=1 • O(<x,y>,”2ª max”,<x∪{A},y>,A) =1 • O(<x,y>,”2ª max”,<x∪{K},y>,K) =1 • O(<x,y>,”2ª min”,<x,y∪{A}>,nada) =1 • O(<x,y>,”2ª min”,<x,y∪{K}>,nada) =1

• Para todas las demás pares de (s,a,s’,o): O(s,a,s’,o)=0

Ejemplo 3: Póker (muy) simplificado

((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7))

0

2ª 2ª ((<A,AA>,1/7), (<A,KA>,4/7), (<A,KK>,2/7)) ((<A,K>,4/7), (<A,A>,3/7)) 2ª 2ª ((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 4/7,K 3/7,A ((<AK,K>,1/2), (<AK,A>,1/2)) ((<AA,K>,2/3), (<AA,A>,1/3)) 2ª 2ª ((<AA,K>,2/3), (<AA,A>,1/3)) ((<AA,AA>,1/15), (<AA,KA>,8/15), (<AA,KK>,6/15)) 2ª 2ª ((<AK,K>,1/2), (<AK,A>,1/2)) ((<AK,AA>,1/5), (<AK,KA>,3/5), (<AK,KK>,1/5)) (1/5*-3)+ (3/5*0)+ (1/2*3)+ (1/2*-3)=0 (2/3*3)+ (1/3*3)=3 (1/15*0)+ (8/15*3)+ (4/7*3)+ (3/7*0)=1,71 (1/7*-3)+ (4/7*3)+ (2/7*3)=2,14

2,8

0*4/7+2,8*3/7=1,2

1,71

Se omiten:

- nodos de azar innecesarios

Comentarios: Estrategia del algoritmo

• La estrategia del jugador max esta implementado de la siguiente forma:

– En estados de decisión de max, se supone que max elige la mejor opción (máximo)

– En estados de azar, se supone una utilidad de las diferentes posibilidades ponderado por la probabilidad

• sería posible cambiar a una estrategia más optimista o más pesimista

– En estados de decisión de min, se supone que min elige siempre la mejor opción (mínimo):

• Respecto a min, eso es demasiado pesimista

– a min también le puede faltar información por lo que no es siempre capaz de elegir la mejor acción para él.

• Posible extensión del algoritmo:

– Podemos suponer que min hace la mejor jugada según su estado de creencias – Para saber que acción hará min, max debe simular las acciones de min según su

“creencia sobre el estado de creencia de min”

Simular el razonamiento de min

Si max no cogiese ninguna carta,

¿qué jugada de min es la más probable?

((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 2ª 2ª ((<A,AA>,1/7),(<A,KA>,4/7),(<A,KK>,2/7)) ((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 1,71 2,14

1,71

2ª 2ª ((<A,KA>,2/7), (<A,KK>,2/7), (<K,KK>,1/7), (<K,KA>,2/7)) ((<A,K>,4/7), (<K,K>,3/7)) ((<A,K>,4/7),(<K,K>,3/7))

¿Si min tuviera K? (no sabe que max tiene A)

Probabilidad:4/7

1,29

1,29 1,71 2ª 2ª ((<A,AA>,1/7), (<A,AK>,2/7), (<K,AK>,2/7), (<K,AA>,2/7)) ((<A,A>,3/7), (<K,A>,4/7)) ((<A,A>,3/7),(<K,A>,4/7))

¿Si min tuviera A? (no sabe que max tiene A)

Probabilidad: 3/7

-1,71

-1,29

-1,71

Con la información de max: min debe coger una segunda carta con probabilidad 4/7 (si tuviera un Rey)

Simular el razonamiento de min

• Introducción del resultado de las acciones de min en el razonamiento de max:

U=1,96

((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 2ª 2ª 2ª ((<A,AA>,1/7), (<A,KA>,4/7), (<A,KK>,2/7)) ((<A,K>,4/7), (<A,A>,3/7)) 2ª ((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 1,71 2,14

1,2

p=4/7

p=3/7

• Propagación de las utilidades en los nodos min:

∑

= n i i iU b p 1 ) (

• Se puede seguir este mismo razonamiento de forma recursiva:

– Para simular el razonamiento de min, min simularía el razonamiento de max y así sucesivamente hasta se llega a los nodos finales

Comentarios: Descubrir información

• Conocer el estado con más certeza mejora considerablemente el

razonamiento de max.

• El propio hecho de que min elige una u otra acción puede cambiar el estado

de creencias de max

• Supón que max no coge ninguna carta adicional pero min sí coge una:

– ¿Cómo sería el estado de creencia de max después de esta secuencia?

((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 2ª

((<A,AA>,1/7), (<A,KA>,4/7), (<A,KK>,2/7)) ((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7))

• Usando la simulación del razonamiento de min de antes:

– Para ser racional, min debe coger una segunda carta si tiene un Rey y no debe coger una segunda carta si tiene As: cabe suponer que tenía Rey

((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7)) 2ª

((<A,KA>,1/2), (<A,KK>,1/2)) ((<A,K>,4/7),(<A,A>,3/7))

• Se puede utilizar la simulación del razonamiento de min para descubrir

información

Comentarios ExpectMinimax con estados de

creencias

• Complejidad

– El algoritmo es mucho más complejo que los algoritmos Minimax y ExpectMinimax

– El número de estados es finito, pero el número de estados de creencia es infinito (por el uso de las probabilidades)

– El cálculo de los estados de creencias resultantes a la aplicación de una acción es más costoso que el calculo del estado siguiente

– Mayor falta de información implica:

• Estados de creencias son más difusos (más estados posibles) • Las acciones propuestas son menos viables

• El cálculo de los estado se creencia es más costoso • Ejemplo: adivinar 2 cartas entre 30

• Las extensiones del algoritmo (simulación del razonamiento de min)

aumentan aún más la complejidad

• Posibles mejoras de la complejidad: comprimir los estados de creencia:

– Concentrarse en la información más relevante (p.e: en el póker: probabilidad de que el contrario tenga mejores cartas que yo)

Ejercicio 3.4

Póker simplificado 2:

Considere el siguiente juego de dos jugadores (B y C) y una baraja con 4 ases

(A) y 4 reyes (K):

– Para jugar, cada jugador pone un euro en el bote. B obtienen una carta y puede elegir si quiere otra. Después obtiene C su(s) cartas.

– A continuación B puede pasar (C gana el bote), o puede apostar 2 euros.

– Si apuesta le toca a C. C puede pasar (B gana el bote) o igualar (poner la misma cantidad que B).

– Si C iguala la apuesta de B, ambos enseñan sus cartas. Gana el bote aquel jugador cuyas cartas tiene mayor valor según el siguiente orden:

• {K,K}<{K}<{A,K}<{A}<{A,A}

– Si ambos tienen cartas del mismo valor entonces se reparte el bote.

• Problema:

– B ha cogido solo una carta y C ha obtenido un As: – C quiere saber si le conviene coger una segunda carta