Ejercicios Resueltos Analisis Real

EJERCICIOS RESUELTOS

ANALISIS REAL

EJERCICIOS CAPITULO 1 Sección 1.1

 Ejercicio Nº 1

Sea S=

𝟏 −

(−𝟏)𝒏

𝒏

/𝒏 𝜺 𝑵 . Determinar sup S e Inf S.

Desarrollo.

Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n

es impar, para esto se hará una tabla de valores.

1.- n es par

2.- n es impar

1 −

(−1)𝑛 𝑛

1 −

(−1)𝑛 𝑛 n par Sn n impar Sn 2 1 3 4/3 4 3/4 5 6/5 6 5/6 7 8/7 8 7/8 9 10/9 10 9/10 11 12/11 . . . . . . . . . . . . . . . . +∞ +∞

 Ejercicio Nº 2

Demostrar que el conjunto S = 𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟎 tiene cotas inferiores pero no superiores.

El conjunto S= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores es C= 𝑘 ∈ 𝑅/ 𝑘 ≤ 0

-∞ 0 +∞

No está acotada superiormente por tanto no existe un 𝜇 ∈ 𝑅/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 ∀𝑥 ∈ 𝑆

 Ejercicio Nº 3

Sea𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝑺*_{= Sup de S suponiendo que 𝑺}∗_{es y que 𝝁 ∉ S demostrar que el supremo}

del conjunto S ∪ 𝝁 es el mayor de los dos números 𝑺 ∗y 𝝁. Si 𝑆 ∗∈ 𝑆 ………. Por hipótesis

Y 𝑆 ∗ = Sup S ……….. Por hipótesis Sea 𝜇 ∉ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ^ 𝑆∗ ∈ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆∗

Entonces 0⊆ 𝑆∗ _{< 𝜇}

De esta forma demostramos que S ∪ 𝜇 tiene un Sup el cual sería Sup S ∪ 𝜇 =𝜇 ya que 𝜇 > 𝑆∗

 Ejercicio Nº 4

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝝁 ∈ 𝑺 es cota superior de S. Demostrar que 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝𝑆

0 𝑆∗𝜇

Supongamos que 𝜇 ∈ 𝑆, como hipótesis 𝜇 es la cota superior de S, implica que 𝜇 > 𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝑆, lo cual contradice la hipótesis ya que 𝜇 es la cota superiorde S. Por tanto: Si 𝜇 ∈ 𝑆 → 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆

 Ejercicio Nº 5

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅ Demostrar que 𝝁 ∈ 𝑺 es la cota superior de S ↔ 𝒕 ∈ 𝑹, 𝒕 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆

i) Si 𝜇 es cota superior de S……….por hipótesis Si 𝜇 es cota superior de S→ 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 ^ 𝑡 ∉ 𝑆 ….por definición Supongamos que 𝑡 ∈ 𝑆……….por hipótesis𝜇 es cota superior.

ii) 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 → 𝜇 es la cota superior de S 0 𝜇𝑡

 Ejercicio Nº 9

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 acotado, S0 ≤ 𝑺 , S0≠ ∅.

Demostrar que: inf S ≤ inf S0≤ Sup S0≤ Sup S

S0

0

S

El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que: C= 𝐾 ∈ 𝑅/ 𝐾 ≤ 0 𝑦 𝑇 = 𝑚 ∈ 𝑅/𝑚 ≥ 0

El conjunto S0∈ 𝑆 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria

N= 𝑦 ∈ 𝑅 /𝑦 ≤ 0 ^ 𝑦 ≥ inf 𝑆

El conjunto de las cotas superiores seria L= 𝑎 ∈ 𝑅 / 𝑎 ≥ 0 ^ 𝑎 ≤ 0 𝑆𝑢𝑝 𝑆 Si 𝑦 = inf 𝑆0 ^ 𝑎 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 → 𝑦 ≥ inf ^ 𝑎 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆₀ ≥ inf 𝑆 ^ 𝑆𝑢𝑝 𝑆₀ ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆₀ ^𝑆𝑢𝑝 𝑆₀ ≤ 𝑆𝑢𝑝 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆₀ ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆₀ ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆  Ejercicio Nº 10

Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅, S es acotado. Para un dado 𝝁 ∈ 𝑹 considérese el conjunto 𝝁𝑺 = 𝝁𝑺 / 𝑺 ∈ 𝑺

a) Demostrar que si 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑆 = 𝑎 inf 𝑆, 𝑆𝑢𝑝 𝑎𝑆 = 𝑎 𝑆𝑢𝑝 𝑆 =/ 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑠 = 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆

Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es 𝑎 inf 𝑆 Llamamos 𝜇 = inf 𝑆

𝜇 ≤ 𝑆, ∀ 𝑆 ∈ 𝑆………definición, teorema 2 𝑎𝜇 ≤ 𝑎𝑆……….por 𝑎, 𝑎 > 0

𝑎𝜇 es cota inferior del conjunto 𝑎𝑆 Por tanto: 𝑎𝜇 ≤ inf 𝑎 𝑆

Probemos ahora que 𝑎𝜇 es la mayor de las cotas de 𝑎𝑆, si V es cualquier cota inferior del conjunto 𝑎 𝑆 → 𝑉 ≤ 𝑎𝑆𝑉

𝑎 = 𝑆, 𝑉

𝑎 ≤ inf 𝑆 … … … . . … .. ……….sustitución

Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S 𝑉

𝑉

𝑎 ≤ 𝜇 𝑉 ≤ 𝑎𝜇 despejando 𝑎 > 0, 𝑎𝜇 es la cota mayor de las cotas inferiores del

conjunto 𝑎𝑆 𝑖𝑛𝑓 = 𝑎𝑆 = 𝑎𝜇 = 𝑎 inf 𝑆.

Sección 1.2

 Ejercicio Nº 2

Si 𝒚 > 0 probar que existen 𝒏 ∈ 𝑵 tal que 𝟏

𝟐𝒏 ≥ 𝒚 Por reducción a lo absurdo

1 2𝑛 ≥ 𝑦 2−𝑛 _{≥ 𝑦𝑥 = 𝑏}𝑦 𝑙𝑜𝑔₂2𝑛 _{≥ 𝑦𝑙𝑜𝑔} 𝑏𝑏𝑦 = 𝑥 −𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔₂ 𝑦𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑏𝑥 (−1)(𝑛) ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦(−1) 𝑛 ≤ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦

Si y > 0→ −𝑙𝑜𝑔₂ 𝑦 ∈ 𝑅 pero 𝑛 ∈ 𝑁 lo cual es una contradicción ya que un número natural es mayor que cualquier número real negativo.

 Ejercicio Nº3

Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional. Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales Sea 𝑥 =𝑎 𝑏 ^ 𝑦 = 2 donde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 → 𝑥 + 𝑦 =𝑎 𝑏+ 2 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑏 → 𝑥 − 𝑦 =𝑎 𝑏− 2 = 𝑎 − 𝑏 2 𝑏 → 𝑥𝑦 =𝑎 𝑏 2 →𝑥 𝑦= 𝑎/𝑏 2 = 𝑎 𝑏 2= 𝑎 𝑏 ( 1 2) →𝑥 𝑦= 2 𝑎 𝑏 =𝑏 2 𝑎 = 2 𝑏 𝑎  Ejercicio Nº4

¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional? Sea 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁

𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 2)(𝑐 + 𝑑 2) = (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 2 + 𝑏𝑐 2 + 2𝑏𝑑) = (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 2 𝑎´ + b´ 2 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 + 𝑑 2 = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 2 𝑎´ + b´ 2

∴ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional.

 Ejercicio Nº5

Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1 para cierto entero m

Demostrar que:

a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar Por contradicción

Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún

𝑚 ∈ 𝑍, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 = 2𝑚 + 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 También es impar por lo que se tiene 2𝑚 = 2𝑚 + 1 lo que implica que 0=1 ∴es una contradicción.

c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares?

Demostración: la suma de dos enteros pares es par.

i) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares………..hipótesis

x es par → 𝑥 = 2𝑎………. 𝑎 ∈ 𝑍

z es par → 𝑧 = 2𝑏………. 𝑏 ∈ 𝑍. 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏𝑎 → 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏)

∴ 𝑥 + 𝑧 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑧

ii) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares………..hipótesis Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares

x es par → 𝑧 = 20……….b ∈ 𝑧 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏 → 𝑥 ∙ 𝑧 = 2𝑎 ∙ 2𝑏

= 2(2𝑎𝑏) → 𝑥 ∙ 𝑦 es par ya que∃(2𝑎𝑏) ∈ 𝑍

Demostrar la suma de dos enteros impares es impar Sea x y z dos enteros impares

x es impar → 𝑥 = 2𝑎 + 1 … … … . 𝑎 ∈ 𝑧

z es impar → 𝑧 = 2𝑏 + 1 … … … . . 𝑏 ∈ 𝑧

𝑥 = 2𝑎 + 1 ^ 𝑧 = 2𝑏 + 1 → 𝑥 + 𝑧 = 2𝑎 + 1 + (2𝑏 + 1) =2(a+b)+2

=2(y)+2 y=(a+b) ∈ 𝑧

Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar

Sea a ^ b dos enteros impares

a es impar → 𝑎 = 2𝑚 + 1 … … … . . 𝑚 ∈ 𝑧 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑏 = 2𝑛 + 1 … … . … 𝑛 ∈ 𝑧 𝑎 = 2𝑚 + 1 ^ 𝑏 = 2𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 = (2𝑚 + 1)(2𝑛 + 1) = 4𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 + 1 = 2 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(2𝑚𝑛 + 𝑛 + 𝑚) ∈ 𝑍 d) si 𝑛2es par, también lo es n

sea n un entero par

𝑛2 _{𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛}2 _{= 2𝑚 … … … … . 𝑚 ∈ 𝑧}

→ 𝑛2 = 2𝑚 2… . . … 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛2 = 4𝑚2…………algebra

𝑛2 _{= 2 𝑚}2 _{… … … … . 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜}

Sea 𝑛2un entero par

𝑛2_{es par → 𝑛}2 _{= (2𝑚)}2_{… … … 𝑚 ∈ 𝑧 suponer n=2m+1}

→ 𝑛2 2 _{= (2𝑚)}2 _{n→ 2𝑚 + 1 → 𝑛}2 _{= (2𝑚 + 1)}2

n =2m ……….simp. 𝑛2 = 4𝑚2+ 4𝑚 + 1 ∴ 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑚 ∈ 𝑍𝑛2 _{= 2 2𝑚}2_{+ 2𝑚 + 1}

𝑛2 _{= 2𝑘 + 1 lo cual contradice la hipótesis}

e) Si𝑎2 = 2𝑏2, donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares Demostración: 𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → 𝑎 = 2𝑚 … … … 𝑚 ∈ 𝑍 𝑎 = 2𝑚 ^ 𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎2 = 2𝑏2 → (2𝑚)2 = 2𝑏2 → 4𝑚2 = 2𝑏2 → 4𝑚 2 2 = 𝑏 2 → 2𝑚2 _{= 𝑏}2 → 𝑏2 = 2𝑚2 → 𝑏 = 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠

f) Todo número racional puede expresarse de la forma 𝑎

𝑏 donde a y b son elementos uno

de los cuales por lo menos es impar.

Supongamos que a y b son pares a=2n y b=2m ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 →𝑎 𝑏→ 𝑎 𝑏 = 2𝑛 2𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∃𝑚, 𝑚 = 0, 0 ∈ 𝑧 0 = 2(0) 2𝑛 2(0)= 2𝑛 0 → 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑎

𝑏= 𝑏 ≠ 0

∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.  EJERCICIO Nº 6

Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para demostrar los siguientes enunciados

a) Existe un número real positivo y tal que 𝑦2 = 3

Si tres números reales cualesquiera 𝑦2_{, 𝑥, 3/𝑥 > 0 satisface que}

3≤ 𝑦2 _{≤ 3 +}𝑥 𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑛 ∈ 𝑛 𝑘 Demostración: a) z<x b) x≤ 𝑧 +𝑦 𝑛 a) z≤ 𝑥 b) 𝑥 ≤ 𝑧 +𝑦 𝑛

Debemos demostrar que 3=𝑦2 _por:

a) Ya sabemos que 3 ≤ 𝑦2 según la ley de tricotomía para los números 3 < 𝑦2 ó 3=𝑦2 si 3=𝑦2 hemos llegado a la condición que deseamos.

Debemos demostrar que la opinión 3<𝑦2 _{no es factible.}

Supongamos que 3<𝑦2 3 < 𝑦2 _{→ 𝑦}2_{− 3 > 0 … … … . . … . . 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎} ∃𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁∗ _{/ 𝑛(𝑦}2_{− 3) > 𝑦, 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑅} → 𝑦2− 3 >𝑦 𝑛 → 𝑦2 _{> 3 +}𝑦 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏  EJERCICIO Nº7

Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x≤ 𝟎

Si x<0, como x<y x*y<0

→ 0 > 𝑥 − 𝑦 → 𝑦 > 𝑥 → 𝑦 − 𝑥 > 0 Propiedad arquimidiana ∃𝑛 ∈ 𝑁∗ _/ 1 𝑛< 𝑦 − 𝑥 → 1 𝑦 − 𝑥 < 𝑛 1 < 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 → 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦

Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0

∃𝑚 ∈ 𝑁∗ _{/ 𝑚 − 1 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚} m≤ 𝑛𝑥 + 1 m≤ 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 ∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁∗ / 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 → 𝑥 <𝑚 𝑛 < 𝑦

∃𝑟 =𝑚

𝑛 / 𝑥 < 𝑟 < 𝑦 , para x,y ∈ 𝑅

Sección 1.3

 EJERCCIO Nº1

Escribir por comprensión los conjuntos dados y representarlos geométricamente en la recta real. a) V0.5(5) = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.5 < 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 5 − 0.5 < 𝑥 < 5 + 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 4.5 < 𝑥 < 5.5 = 4.5, 5.5 b) V0.25(-2) = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 < 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 − 2 < 0.25 − 2 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2.25 < −1.75 = −2.25, −1.75 c) V2∈ (a) = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈< 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈ +𝑎 < 𝑥 < 2 ∈ +𝑎 = −2 ∈ +𝑎, 𝑎 + 2 ∈ -2∈ +𝑎 x a +2∈  EJERCICIO Nº5 Sean 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑹 demostrar: a) 𝐴 ⊂ 𝐵 → º𝐴 ∘⊂ º𝐵

→ 𝐼𝑝 𝐶𝐵 … … … . 𝑝𝑜𝑟 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝐴 ⊂ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 / 𝐼𝑝 𝐶𝐵. . ....def .punto interior

→ 𝑃 ∈ º𝐵 … … … def. 𝑑𝑒 º𝐵 𝑃 ∈ º𝐴 → 𝑃 ∈ º𝐵

ºA⊂ºB……….def de inclusión. b) ºA=ºA

i) ººA⊂ºA

ii) ºA⊂ººA

Demostración:

i) ººA⊂ºA

𝑃 ∈ººA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝⊂ºA………..Punto interior. → 𝑃 ∈ºA ya que Ip ⊂ºA

→ººA⊂ºA……….def de inclusión

ii) ºA⊂ººA

𝑃 ∈ºA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝⊂ºA………..Punto interior. → 𝑃 ∈ººA ya que Ip ⊂ººA

→ºA⊂ººA……….def de inclusión ∴ Por paso i, ii, ººA=ºA

c) 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB

i) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB

𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∩ºB ……….. Punto inferior → 𝑃 ∈ºA ^ P ∈ºB ya que Ip ⊂ºA ∩ºB

→ 𝐴 ∩ 𝐵⊂ºA∩ºB……….def de inclusión

ii) ºA∩ºB ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵

P∈ ºA∩ºB → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 ……….. Punto inferior

→ 𝑝 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ya que Ip ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵

→ ºA∩ºB ⊂ º𝐴 ∩ º𝐵 ……….por def i,ii 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB

d) ºA∪ºB ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵

𝑃 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB ……….. Punto inferior → 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB……….Hipótesis. → ∃ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝⊂ºA∪ºB ………..def punto int. → 𝑃 ∈ ºA ∪ ºB………..def. unión →ºA∪ºB …………...………..def. unión 𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ºA∪ºB………def. Inclusión

e) 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´

𝐷𝑒𝑓. de 𝐴´ acumulación

𝑃 ∈ 𝑅, 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (∀ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ ∅)

A-B= _{𝑥 𝑥 ∈ 𝐴} ^ 𝑥 ∉ 𝐵

Demostración:

Sea P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴………def. conjuntos

→ ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∈ 𝐴 ≠ 0 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴 … … … . . def. 𝑑𝑒 𝐴 ) → ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ 0 Ya que P ∉A → 𝑃 ∈ 𝐴´……….def. de 𝐴´ P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴´………..S.H. 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´………Def. de inclusión i) A⊂B→ 𝐴 ⊂ 𝐵…………..………P∈ 𝐴 → ∃𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∩ 𝐴 ≠ ∅ P ∈ 𝐼𝑝 ^ 𝑃 ∈ 𝐴………….………def. Intersección. P∈ 𝐼𝑝^ 𝑥 ∈ 𝐵………...Hipótesis P∈ 𝐼𝑝 ∩ B ………Intersección

𝑃 ∈ 𝐵 ……….def. Puntos adherentes 𝐴 ⊂ 𝐵………..def. Inclusión. j) 𝐴 = 𝐴 𝐴 ⊂ 𝐴 i) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Gx ∩ 𝐴 ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 = 𝐴 ………..def. de inclusión ii) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ⊂ 𝐴 ………..def. de inclusión ∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖, 𝑒 𝑖𝑖 𝐴 = 𝐴

 EJERCICIO Nº7

Si A=

1

𝑛

/𝑛 𝜀 𝑁

∗

_{Entonces Determinar Fr A y Ext A.}

Desarrollo

1.- A=

1 𝑛

...Por

Hipótesis

2.- A= 1,1/2, 1/3, … ...

Sustitución de valores en n

3.- Fr A= A...

Definición de Punto Frontera y paso 2

4.- Ext A= ] − ∞, 0 𝑈 ··· 𝑈 1/3,1/2 𝑈 1 +

∞[...Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3

SECCIÓN 1.4 EJERCICIO 1 Desarrollo

a) Compruebe que (𝑮𝒏 )n𝝐𝑵∗ es una cubierta de A=]0,1[, donde 𝑮𝒏 = 𝟏 𝒏+𝟐, 𝟏 𝒏 . 1.- Sea (𝐺_𝑛 )n𝜖𝑁∗_{...Hipótesis} 2.- 𝐺_𝑛 = 1 𝑛+2, 1 𝑛 ...Dato

3.- 𝐺𝑛 = 1 3, 1 , 1 4, 1 2 , 1 5, 1 3 , … , 1 𝑛+2, 1 𝑛 …... Sustitución de Valores

4.- ∴ 𝐴 = 0,1 = 𝑈_𝑛∞ _{= 𝐺𝑛... Definición de Cubierta paso 1 y 3}

b)Use a) para comprobar que A no es compacto

1.- Sea 𝐺∗_{= 𝑎}

1, 𝑏1 , 𝑎2, 𝑏2 , … , 𝑎𝑚, 𝑏𝑚 ...Por parte a, dato

2.- si ∈= 𝑚𝑖𝑛⁡(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚)...Por pasó 1

3.- ∈> 0... Por paso 2

4.- 𝑎₁, 𝑏₁ , 𝑎₂, 𝑏₂ 𝑈 … 𝑈 𝑎_𝑚, 𝑏_𝑚 ⊂] ∈ ,1[...Unión de paso 1 y 2

5.- 0, ∈ 𝑦 ∈ ,1 Son disjuntos...Definición de Unión

(conjuntos disjuntos)

6.- 𝐺∗ _{no es un recubrimiento de A...Definición de recubrimiento}

paso 4 y 5

7.- ∴ 𝐴 no es compacto... .Definición de compacto y

paso 6

c) ¿De qué otra manera se justifica que A no es compacto?

c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.

 EJERCICIO 2

Si 𝐴₁, … , 𝐴_𝑛 Son compactos de R, demostrar que

𝐴𝑖 𝑛 𝑖=1

es un compacto de R.

Desarrollo

1.- Sea 𝐴𝑖 = 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 compactos de R… … … ….Dato

2.- 𝐴𝑖 es Cerrado y Acotado ∀𝑖= 1,2, … , 𝑛...Por

definición de Compacto y paso 1

3.- ∃ ∈_𝑖/ 𝐴_𝑖 ⊂ 𝑉_∈𝑖(0)...Definicion

de Compacto

4.- Sea ∈= 𝑚𝑎𝑥 ∈𝑖/𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ...Por paso 3

5.- 𝑛_𝑖=1𝐴_𝑖 ⊂ 𝑉_∈(0)...Definición de conjunto acotado

6.- 𝑛𝑖=1𝐴𝑖 es acotado... Por ser

Acotado y paso 5 7.- 𝑛_𝑖=1𝐴_𝑖 es compacto...Teorema de Heine Borel  Ejemplo Sea 𝐴_𝑛= 𝑛, 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ 𝑁∗ _{entonces 𝐴} 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1, +∞

1, +∞ No es acotado y por lo tanto no es compacto (Según el teorema de Heine

Borel).

 EJERCICIO 3

Justificar si el conjunto A es o no compacto, si

A= [0,1]U{2}.

1.- A= [0,1]U{2} ...Hipótesis

2.- R-A= ] −∞,0 [ U ]1,2[U]2,+∞[...Definición de punto exterior y paso 1 3.- R-A es abierto...Por definición y paso 2 4.- A es Cerrado... por paso 1

5.- A esta acotado por 𝑉_𝜀(0)... Definición de Vecindario 6.- A es Compacto... Teorema de Heine Borel

 EJERCICIO 4

La familia de intervalos 𝐺𝑛 = 1 𝑛,

2

𝑛 es una cubierta de 0,1 . Demostrar sin hacer uso del

teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de 𝐺_𝑛 recubre el intervalo 0,1 .

Desarrollo 1.- Sea (𝐺_𝑛 )n𝜖𝑁∗_{. ...Dato} 2.- 𝐺_𝑛 = 1 𝑛, 2 𝑛 ...Hipótesis 3.- 𝐺= 1,2 , 1 2, 1 , 1 3, 2 3 , … , 1 𝑛, 2 𝑛 , … ...Sustitucion de valores en paso 2 4.- si 𝐺∗= 1 𝑛, 2 𝑛 , 1 𝑛2, 2 𝑛2 , … , 1 𝑛𝑘, 1 𝑛𝑘 ...Definicion de 𝐺∗ y paso 3

5.- 𝐺∗es una subcoleccion finita de G...Por paso 4 6.- ∃/p=max 𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑘 ... Definición de Existencia 7.- 1 𝑝 ∉ 1 𝑛𝑖, 2 𝑛𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘... por paso 3,4 y 6

8.- 1

𝑝 ∈ 0,1 ... Definición

Cubierta de un conjunto

9.- ∴ ∃ subcoleccion finita de G que no recubre a 0,1 ...L.Q.Q.D

 De modo que tampoco es compacto.  EJERCICIO Nº6

Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-𝟏

𝒏 ),(2-𝟏 𝒏)[\n€N * } Dado que G={]-(2-1 𝑛 ),(2-1 𝑛) entoces G1 =]-(2-1 1 ), (2-1 1 ) [ = ]-1,1 [ G2 =]-(2-1 2 ), (2-1 2 ) [ = ]-3 2 , 3 2 [ G3 =]-(2-1 3 ), (2-1 3 ) [ = ]-5 3 , 5 3 [ K = ]-2,2 [  EJERCICIO Nº9

Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado

[0,2] es compacta (2,4] no es compacta

Sea Ui compacto^ Vj compacto cerrados y acotados → Ui Ώ Vj es compacto en R

EJERCICIOS CAPITULO II Sucesiones de números reales

 EJERCICIO Nº 1

Encontrar los diez primeros términos de la sucesión dada por el criterio indicado. a) (𝑺𝒎) = 𝟐𝒎

𝑠1 = 2 1 5 1 − 3 = 2 2= 1 𝑠2 = 2 2 5 2 − 3 = 4 7 𝑠₃ = 2 3 5 3 − 3 = 6 12= 1 2 𝑠₄ = 2 4 5 4 − 3 = 8 17 𝑠5 = 2 5 5 5 − 3 = 10 22= 1 11 𝑠₆ = 2 6 5 6 − 3 = 12 27= 4 9 𝑠₇ = 2 7 5 7 − 3 = 14 32= 7 16 𝑠₈ = 2 8 5 8 − 3 = 16 37 𝑠₉= 2 9 5 9 − 3 = 18 43= 3 7 𝑠10 = 2 10 5 10 − 3 = 20 47 b) 𝑺𝒎 = 𝟏 + −𝟏 𝒎 𝑠1 = 1 + −1 1 = 1 − 1 = 0𝑠6 = 1 −1 6 = 1 + 1 = 2 𝑠2 = 1 + −1 2 = 1 + 1 = 2𝑠7 = 1 −1 7 = 1 − 1 = 0 𝑠3 = 1 + −1 3 = 1 − 1 = 0𝑠8 = 1 −1 8 = 1 + 1 = 2 𝑠4 = 1 + −1 4 = 1 + 1 = 2𝑠9 = 1 −1 9 = 1 − 1 = 0 𝑠₅ = 1 + −1 5 = 1 − 1 = 0𝑠₁₀ = 1 −1 10 = 1 + 1 = 2 c) 𝑺𝒎 = 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝒎 𝑠₁ = 1 sin 𝜋(1) = 0.055𝑠₆ = 6 + sin 𝜋(6) = 1.9385

𝑠2 = 2 sin 𝜋(2) = 0.219𝑠7 = 7 + sin 𝜋(7) = 2.16212 𝑠3 = 3 sin 𝜋(3) = 0.493𝑠8 = 8 + sin 𝜋(8) = 3.3997 𝑠4 = 4 sin 𝜋(4) = 0.219𝑠9 = 9 + sin 𝜋(9) = 4.2632 𝑠₅ = 5 sin 𝜋(5) = 1.3537𝑠₁₀ = 10 + sin 𝜋(10) = 5.2125 d) 𝑺𝒎 = 𝟐𝒎+𝟏 𝒆𝒎 𝑆1 = 21_{+ 1} 𝑒1 = 3 𝑒𝑆6 = 26_{+ 1} 𝑒6 = 65 𝑒6 𝑆₂ = 2 2_{+ 1} 𝑒2 = 5 𝑒2𝑆7 = 27 + 1 𝑒7 = 129 𝑒7 𝑆₃ = 2 3_{+ 1} 𝑒3 = 9 𝑒3𝑆8 = 28 + 1 𝑒8 = 257 𝑒8 𝑆4 = 24_{+ 1} 𝑒4 = 17 𝑒4𝑆9= 29_{+ 1} 𝑒9 = 513 𝑒9 𝑆₄ = 2 4_{+ 1} 𝑒4 = 17 𝑒4𝑆9= 29+ 1 𝑒9 = 513 𝑒9 𝑆₅ = 2 5 _{+ 1} 𝑒5 = 33 𝑒5𝑆10 = 210_{+ 1} 𝑒10 = 1025 𝑒10 e) 𝑺_𝟏= 𝟏; 𝑺_𝟐 = 𝟐; 𝑺_𝒎+ 𝟐 =𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎 𝑺𝒎+𝟏−𝒔𝒎 𝑚 = 1, 𝑆1+ 2 = 𝑆3 = 𝑆₁+ 1 + 𝑆₁ 𝑆₁ + 1 − 𝑠₁ = 2 + 1 2 − 1= 3 1= 3 𝑚 = 2, 𝑆₂+ 2 = 𝑆₄ =𝑆2+ 1 + 𝑆2 𝑆₂+ 1 − 𝑠₂ = 3 + 2 3 − 2= 5 1= 5 𝑚 = 3, 𝑆₃+ 2 = 𝑆₄ =𝑆3+ 1 + 𝑆3 𝑆₃+ 1 − 𝑠₃ = 5 + 3 5 − 3= 8 2= 4

𝑚 = 4, 𝑆4+ 2 = 𝑆6 = 𝑆₄+ 1 + 𝑆₄ 𝑆4+ 1 − 𝑠4 =4 + 5 4 − 5= 9 −1= −9 𝑚 = 5, 𝑆₅+ 2 = 𝑆₇ =𝑆5+ 1 + 𝑆5 𝑆₅+ 1 − 𝑠₅ = −9 + 4 −9 − 4= −5 −13 = 5 13 𝑚 = 6, 𝑆₆+ 2 = 𝑆₈ =𝑆6+ 1 + 𝑆6 𝑆₆+ 1 − 𝑠₆ = 5 13+ (−4) 5 132(−9) =−56 61 𝑚 = 7, 𝑆₇+ 2 = 𝑆₉= 𝑆7 + 1 + 𝑆7 𝑆7+ 1 − 𝑠7 = −56 61 + ( 5 13) −56 61− 5 13 = 423 1033 𝑚 = 8, 𝑆₈+ 2 = 𝑆₈ =𝑆8+ 1 + 𝑆8 𝑆₈+ 1 − 𝑠₈ = 423 1033 + (− 56 61) 423 1033 − (− 56 61) = −0.38

f) (𝑺

𝒎

) = ((𝟏 +

𝟏 𝒎

)

𝒎

m=1→((1 +

1 1

)

1

_{= 2}

m=2→((1 +

1 2

)

2

_{= (}

3 2

)²=

9 4

m=3→((1 +

1 3

)

3

_{= (}

4 3

)³=

64 27

m=4→((1 +

1 4

)

4

₌₍

5 4

)

4

₌

625 256

m=5→((1 +

1 5

)

5

₌₍

6 5

)

4

₌

7776 3125

g) (𝑺

𝒎

) =(1 -

𝟐 𝒎𝟐

)

m =1→(1 -

2 12

) = -1

m =2→(1 -

2 22

)=

1-1 2

=

1 2

m =3→(1 -

₃2₂

)= 1-

2₉

=

7₉

m =4→(1 -

2 42

)=

1-2 16

=

14 16

=

7 8

m =5→(1 -

2 52

)=

1-2 25

=

23 25

h) ((𝑺

𝒎

) =

𝒏−𝟏 𝒏+𝟏

--- No tiene solución

i)𝑺

_𝟏

=1 ; 𝑺

_𝒎+𝟏

= 3𝑺

_𝒎

+ 1

m = 1→ 𝑆

2

= 3𝑆

1

+ 1

= 3(1) + 1

= 4

m = 2→ 𝑆

₃

= 3𝑆

₂

+ 1

= 3(4) + 1

= 13

m =3 → 𝑆

4

= 3𝑆

3

+ 1

= 3(13) + 1

= 40

m =4 → 𝑆

₅

= 3𝑆

₄

+ 1

= 3(40) + 1

= 121

m =5 → 𝑆

6

= 3𝑆

5

+ 1

= 3(121) + 1

= 364

j) 𝑺

𝟏

=1 ; 𝑺

𝟏

= 𝟐; 𝑺

𝒎+𝟐

=

𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎 𝑺𝒎+𝟏− 𝑺𝒎

m= 1 → 𝑆

₃

=

1+1+1 1+1−1

= 3

m= 2 → 𝑆

4

=

2+1+2 2+1−2

= 5

m= 3 → 𝑆

₅

=

3+1+3 3+1−3

= 7

m = 4 → 𝑆

₆

=

5+1+5 5+1−5

= 11

m = 5 → 𝑆

₇

=

7+1+7 7+1−7

= 15

k)𝑺

_𝟏

=3 ; 𝑺

_𝟐

= 𝟓; 𝑺

_𝒎+𝟐

= 𝑺

_𝒎

+𝑺

_𝒎+𝟏

m =1 → 𝑆

3

= 7

m =2 → 𝑆

₄

= 5 + 6 =13

m =3 → 𝑆

9

= 7 + 8 =15

m =4 → 𝑆

13

= 23

m =5 → 𝑆

₇

= 40

 EJERCICIO Nº3

De las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a

sucesiones de números racionales.

R= a), f) y g)

 EJERCICIO Nº3

Determine cuáles de las siguientes sucesiones son nulas

.

a)

𝟏 𝒏𝟐

=

lim

𝑥→∞ 1 𝑛2

= 𝐥im

𝑥→∞ 1 𝑛 2 𝑛 2 𝑛 2

=lim

_𝑥→∞0 1

= 𝑁𝑢𝑙𝑜

b)

_𝑛𝑛₃₊₂2

= lim

_𝑥→∞ 𝑛2 𝑛3₊₂

=

lim𝒙→∞ 𝒏𝟐 𝒏𝟑 𝒏𝟑 𝒏𝟑+𝟐 𝒏𝟑 = lim_𝑥→∞ 𝟎 𝟏+𝟎= 0 → 𝑁𝑢𝑙𝑜

c)

1+𝑛 𝑛2

=

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝟏+𝒏 𝒏𝟐 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝟏 𝒏𝟐+ 𝒏 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝒏𝟐 =

lim

_𝑥→∞ 0 1

= 𝑁𝑢𝑙𝑜

d)

1 𝑛2+1

lim

_𝑛→∞

(

1 𝑛2₊₁

) = lim

𝑛→∞

(

𝑛 𝑛 2 𝑛 2 𝑛 2 + 1 𝑛 2

)

=

lim𝑛 →∞ 1 𝑛 lim 𝑛 →∞1− lim𝑛 →∞ 1 𝑛 2

=

0 1−0

Es nula

 EJERCICIO N 4

Comparar que

𝐥𝐢𝐦

_𝒙→∞ 𝒏+𝟏 𝟐𝒏

=

𝟏 𝟐 𝑆_𝑛 − 𝑆 < 𝜀 → 𝑛+1 2𝑛 − 1 2 < 𝜀 Sea 𝜀 = 0.01 → 𝑛 + 1 − 𝑛 2𝑛 < 𝜀 1 2 0.01 < 𝑛 → 1 2𝑛 < 𝑛 50<n → 1 2𝜀< 𝑛

Los términos se encuentran en el entorno del centro 𝑦₂ y radio 𝜀, excepto los primeros cincuenta.

 EJERCICIO 5

Demostrar que las siguientes sucesiones de números racionales son convergentes.

a)

2𝑛+1 3𝑛

=lim

𝑥→∞ 2𝑛 +1 3𝑛

= lim

𝑥→∞ 𝟐𝒏 𝒏+𝟏 𝟑 𝒏

= lim

_𝑥→∞ 2+0 3

=

2 3

= 0.6

3𝑛 + 1

3𝑛

=

1

3

< 𝜀 →

2𝑛 + 1 − 2𝑛

3𝑛

< 𝜀 →

1

3𝑛

< 𝜀 →

1

3𝜀

> 𝑛

Sea

𝜀 = 0.01

1 3 0.01

< 𝑛

=33<n

b)

2𝑛 2₋₁ 2𝑛2₊₁

=lim

𝑥→∞ 2𝑛2−1 2𝑛2₊₁

= lim

𝑥→∞ 𝟐𝒏𝟐 𝒏𝟐− 𝟏 𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟐 𝒏𝟐+ 𝟏 𝒏𝟐

= lim

_𝑥→∞ 2−0 2+0

= 1

2𝑛

2

_{− 1}

2𝑛

2

_{+ 1}

− 1 < 𝜀 →

2𝑛

2

_{− 1 − 2𝑛}

2

_{− 1}

2𝑛

2

_{+ 1}

< 𝜀

−2 2𝑛 +1

< 𝜀 =

2 3𝜀2₊₁

< 𝑛

 EJERCICIO 8

Demostrar que (

𝑺𝒏) no es convergente sí:

a) (𝑆_𝑚) = 2𝑚

2𝑚 _{− 𝐿 < 𝜀}

−0.01 < 2𝑚 − 𝐿 < 0.01

−0.01 + 𝐿 < 2𝑚 _{< 0.01 + 𝐿; Para m=LL>0 obtenemos}

2𝐿 < 0.01 + 𝐿

𝐿 log2) < log⁡(0.01 + 𝐿

𝐿 log2) − log⁡(0.01 + 𝐿) < 0, ; No existe número natural que contenga la

desigualdad b) (𝑆𝑚) = −1 𝑚𝑚2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠_𝑚 = −𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 → 𝐿 𝑦 𝜀 = 0.01 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2_{− 𝐿 < 𝜀} −0.01 < −𝑚2− 𝐿 < 0.01 −0.01+L<−𝑚2 < 0.01 + 𝐿 0.01 − 𝐿 − 𝑚2 _{> −0.01 − 𝐿 para m=L L> 0.06 tenemos}

0 > 𝐿2+L 0.01………...…..no existe numero natural que verifique la

Desigualdad 0.2 para m por (𝑆𝑚) = m2 Supongamos que (𝑚2) − 𝐿

𝑚2_{− 𝐿 < 𝜀 → 0.01 < 𝑚}2_{− 𝐿 < 0.01−→ −0.01 + 𝐿 < 𝑚}2

𝐿0.01 + 𝐿

Para m=L L>0

𝐿2 _{< 0.01 + 𝐿}

𝐿2_{− 𝐿 − 0.01 < 0; no existen números reales que verifican la desigualdad}

∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑏. 1 𝑆𝑚 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒  EJERCICIO 9

Si 𝑠

_𝑚

= 𝑚 + 1 – 𝑚∀ 𝑚𝜖 𝑁

∗

Demostrar que entonces convergen las

sucesiones:

b) ( 𝑚𝑠

𝑚

)

Solución:

lim

_{𝑚 →}

𝑆

_𝑚

= 0

lim

_→∞

𝑚𝑠

𝑚

= lim

𝑚 →∞

𝑚( 𝑚 + 1 – 𝑚)

= lim

_{𝑚 →∞}

𝑚 𝑚 + 1 lim

𝑚 →∞

𝑚

= lim

_{𝑚 →∞} 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚

+

1 𝑚

− lim

𝑚 →∞ 𝑚 𝑚

= lim

𝑚 →∞

1 − lim

𝑚 →∞ 𝑚 𝑚

+

1 𝑚

- lim

𝑚 →∞

1

= 1 – 0-1

lim

_→∞

𝑚𝑠

𝑚

= 0

 EJERCICIO 12

Demostrar que la sucesión dada converge al límite indicado 𝟏 + 𝟐 𝒎 𝟐 → 𝟏

lim

𝑚 →∞

1 +

2

𝑚

2

= lim

𝑚 →∞

𝑚 + 2

𝑚

2

lim

𝑚 →∞ 𝑚 𝑚

+

2 𝑚 𝑚 𝑚 2

= lim

𝑚 →∞

1 +

2 𝑚

1

2

lim

𝑚 →∞

1 + ∞

1

2

= lim

𝑚 →∞

1 = 1

 EJERCICIO 27 Estudiar si 𝜶 = 𝟏 𝒏𝟐_+𝟏 𝒚 𝜷 = 𝟐𝒏

𝒏+𝟐− 𝟐 dan lugar a números iguales

∝= 𝟏 𝒏𝟐_{+ 𝟏} ; 𝜷 = 𝟐𝒏 𝒏 + 𝟐− 𝟐

𝑆𝑚 𝑅 𝐸𝑛 = 0

1

𝑛

2

_{+ 1}

−

2𝑛

𝑛 + 2

− 2 = 0

1

𝑛

2

_{+ 1}

−

2𝑛 − 2𝑛 − 4

𝑛 + 2

=

1

𝑛

2

_{+ 1}

−

−4

𝑛 + 2

= 0

= 1 𝑛2_{+ 1}+ 4 𝑛 + 2 = 0 −→ 𝑛 + 2 + 4𝑛2_{+ 4} 𝑛2_{+ 1 𝑛 + 2} −→ 4𝑛 2_{+ 𝑛 + 6} 𝑛2_{+ 1 𝑛 + 2} → lim_𝑛→∞ 4𝑛2+ 𝑛 + 6 𝑛3_{+ 2𝑛}2_{+ 𝑛 + 2}

→ lim

_𝑛→∞

4𝑛 2 𝑛 3

+

𝑛 𝑛 3

+

6 𝑛 3 𝑛 3 𝑛 3

+

2𝑛 2 𝑛 3

+

𝑛 𝑛 3

+

2 𝑛 3 =0 1= 0 ∴ ∝= 𝛽 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

 EJERCICIO 22

Demostrar que la sucesión 𝒏+𝟏

𝒏 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐮𝐜𝐞𝐢ón de cauchy 𝑆 ∈ 𝑃, 𝑞 ≥ 𝑚0 𝑆𝑝, 𝑆𝑞 < 𝜀 𝑝 + 1 𝑝 − 𝑞 + 1 𝑞 < 𝜀 𝑝𝑞 + 𝑞 − 𝑝𝑞 − 𝑝 𝑝 ∗ 𝑞 < 𝜀 𝑞 − 𝑝 𝑝 ∗ 𝑞 < 𝜀 1 𝑝 − 1 𝑞 < 𝜀 por hipótesis 𝑝 > 𝑚0, 𝑞 > 𝑚0 1 𝑝< 1 𝑚0 ; 1 𝑞 < 1 𝑚0 1 𝑝− 1 𝑞 < 1 𝑚₀+ 1 𝑚₀ 1 𝑝− 1 𝑞 < 2 𝑚₀ < 𝜀 ∴ 𝑚₀ = 2 𝜀 EJERCICIOS CAPITULO 3  EJERCICI Nº 1 Sean V= 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 , V= 𝒀𝟏, 𝒀𝟐 ∈ 𝑹𝟐

a) Verificar si la sig. Expresión es un producto interno en 𝑹𝟐 𝑈, 𝑉 = 𝑋, 𝑌, −2𝑋1𝑌2− 2𝑋2𝑌1+ 5𝑋2𝑌2

𝑈, 𝑉 = 𝑋₁, 𝑌₁− 2𝑌₂ + 𝑋₂, −2𝑦₁+ 5𝑌₂ 𝑋1+ 𝑋2, 𝑌1− 2𝑌2 + −2𝑌1+ 5𝑌2

𝑋1+ 𝑋2, 𝑌2− 2𝑌1 + −2𝑌2+ 5𝑌2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈, 𝑉 = 4 = 𝑋1, 𝑋2 , 𝑉 = 𝑌1, 𝑌2 b) ¿Para qué valores de K es el siguiente un producto interno 𝑹𝟐

𝑈, 𝑉 = 𝑋1𝑌1− 3𝑌1𝑌2 − 3𝑋2𝑌1+ 𝐾𝑋2𝑌2

𝑋₁+ 𝑋₂, 𝑌₁− 3𝑌₂ + −3𝑌₁+ 𝐾𝑌₂ 𝑋1+ 𝑋2, 𝑌13𝑌1 + −3𝑌2+ 𝐾𝑌2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌2 = −3𝑌2+ 𝐾𝑌2 𝑌₂+ 3𝑌₂ = 𝐾𝑌₂ 4𝑌₂ = 𝐾𝑌₂ 4 = 𝐾

Por tanto por K=4 es un producto interno en 𝑹𝟐

 EJERCICIO 2

Sean X,Y ∈ 𝑹𝒏 Demostrar que

b) 𝑿 + 𝒀 𝟐_{+) 𝑿 − 𝒀} 𝟐_{= 𝟐 𝑿} 𝟐_{+ 𝟐 𝒀} 𝟐 _{𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝑹}𝟐 _{𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐.} 𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 − 𝒚, 𝒙 − 𝒚 𝑥, 𝑦 + 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑥 − 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 𝑥 2_{+ 2 𝑥 𝑦 + 𝑦} 2_{+ 𝑥} 2_{− 2 𝑥 𝑦 + 𝑦} 2 𝑥 2_{+ 𝑦} 2_{+ 𝑥} 2_{+ 𝑦} 2 2 𝑥 + 2 𝑦 2

c) ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 <x, y>

( 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 ₎2_{− ( (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦))}2 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦 > + < 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 − 𝑦 > + < −𝑦, 𝑥 − 𝑦 ] = 𝑥, 𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 - 𝑥, 𝑦 - 𝑦, 𝑥 ] = x 2 + 2 𝑧, 𝑦 + y 2 - x 2+ 2 𝑥, 𝑦 - y 2 =4 𝑥, 𝑦 ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 𝑥, 𝑦 EJERCICIOS 3.3-3.4  EJERCICIO Nº1

Sean A, B ⊂ 𝑹𝒏 demostrar que a) A⊂B→ 𝑨° ⊂ 𝑩°

i) AC𝑅𝑛, Sea X un punto inferior de A si ∃𝜀, 𝜀 > 0 Tal que 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐴

Entonces 𝐴° ⊂ 𝐴

𝑖𝑖 )𝐵𝐶𝑅𝑛 _{Sea un punto inferior de B si ∃𝜀, 𝜀 > 0}

Tal que 𝐵𝜀 𝐵 ⊂ 𝐴 Entonces 𝐵°_{⊂ 𝐴}

Si A ⊂ B → X que es punto inferior de A también lo es de → 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐵𝜀 𝐵

→ 𝐴°_𝐶𝐵°

Por lo tanto A ⊂ B→ 𝐴°_{⊂ 𝐵}°

i) A ⊂ B → 𝑨 𝑪 𝑩

A ⊂ 𝑅𝑛, X e 𝑅𝑛 Se llama punto adherente de A si VG, G, Abierto tal que X ∈ G → G ∩ A ≠ 0 → X ∈ 𝐴

Si A ⊂ B → X también punto adherente de B y ∀𝐺 ; G abierto tal que X ∈ G

→ G ∩ B ≠ 0

→ 𝑋 ∈ 𝐵 Como 𝑋 ∈ 𝐴 𝑦 𝑋 ∈ 𝐵

Entonces 𝐴 ⊂ 𝐵 por lo tanto A⊂ B → 𝐴 ⊂ 𝐵

EJERCICIOS 3.5-3.15  EJERCICIO Nº 1

Demuestre haciendo uso de la definición del limite

a)

𝐥𝐢𝐦

_{𝒙,𝒚 =→(𝟎,𝟎)}𝒙 𝟒_+𝒚𝟒

𝒙𝟐+𝒚𝟐

= 𝟎

∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝜇, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2

𝑥 − 0 2 _{+ 𝑦 + 0} 2 _{< 𝛿 → 𝑓 𝑥, 𝑦 − 0 < 𝜀}

Debemos probar que ∃𝛿 > 0 tal que 𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{< 𝛿 → 𝑥 < 𝛿 𝑦 𝑦 < 𝛿} 𝑥4+ 𝑦4 𝑥2_{+ 𝑦}2 = 𝑥4+ 𝑦4 𝑥2_{+ 𝑦}2 ≤ 𝑥4+ 2𝑥2𝑦2+ 𝑦4 𝑥2_{+ 𝑦}2

𝑥2_{+ 𝑦}2 2 𝑥2_{+ 𝑦}2 = 𝑥 2_{+ 𝑦}2 _{= 𝑥} 2_{+ 𝑦} 2 _{< 𝛿}2_{+ 𝛿}2 _{= 2𝛿}2 _{= 𝜀} Entonces 𝛿2=𝜀 2→ 𝛿 = 𝜀 2 b) 𝐥𝐢𝐦 _{𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎)} 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟏 𝒚+ 𝒚𝒔𝒆𝒏 𝟏 𝒙 = 𝟎 (𝑥 − 0)2_{+ (𝑦 − 0)}2 _{< 𝛿} (𝑥)2_{+ (𝑦)}2 _{< 𝛿 → 𝑥𝑠𝑒𝑛}1 𝑦+ 𝑦𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 < 𝜀 𝑥 < 𝛿, 𝑦 < 𝛿 𝑥 + 𝑦 < 𝜀 Entonces 𝛿 = 𝜀

c) 𝐥𝐢𝐦

𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) 𝒙−𝟐 𝒙𝒚−𝟐𝒚

= 𝟏

(𝑥 − 2)

2

_{+ (𝑦 − 1)}

2

_{< 𝛿 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <}

𝜀

(𝑥 − 2)

2

_{+ (𝑦 − 1)}

2

_{<𝛿 𝑥 − 2 < 𝛿 𝑦 − 1 < 𝛿}

𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 =

(𝑥 − 2)

𝑦(𝑥 − 2)

− 1 =

1

𝑦

− 1 =

1 − 𝑦

𝑦

<

𝛿

𝑦

𝛿 ≤

1 2

→ 𝑦 − 1 < 𝛿 <

1 2

 𝑦 − 1 < 1 2

1- 𝑦 ≤ 𝑦 − 1 < 1 2

1 − 1 2

< 𝑦

1 2

< 𝑦



2 >

1 𝑦 - 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 < _𝑦 𝛿 < 𝑧𝛿 z↑ 𝛿 = 𝜀 → 𝛿 = 𝜀 𝑧 d)𝐥𝐢𝐦 _{𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎)} (𝒙 − 𝟏)𝟐_{+ (𝒚 + 𝟐)}𝟐 _{= 𝟎}

*∀ 𝜀 > 0 , ∃𝛿 > 0 tal que (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 + 2)}2 _{< 𝛿} = 𝑥 − 1 < 𝛿 𝑦 𝑥 + 2 < 𝛿 = [(𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 2)2] < 𝜀 -(𝑥 − 1)2+ (𝑦 + 2)2 = 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 < 𝛿2+ 𝛿2 = 2𝛿2 = 𝜀 = 𝛿2 _{= 𝜖 2} = 𝛿 = 𝜀 2  EJERCICIO N2 Determinar si existen:

a) 𝐥𝐢𝐦

_{(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)}𝒙𝒚−𝒙+𝒚 𝒙+𝒚

La función está definida en 𝑀 = 𝑅2− { 0,0 }

Haciendo 𝑀₁ = { 𝑥, 0 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 x} 𝑀2 = { 0, 𝑦 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 y} 𝑀, 𝐶 𝑀 ^ 𝑀2 𝐶 𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝐹 𝑥, 0 =𝑥(0) − 𝑥 + (0) 𝑥 + 0 = −𝑥 𝑥 = −1

Como 𝑭 𝒙, 𝟎 ≠ 𝑭(𝒚, 𝟎) No existe el límite

b) lim

(𝑥,𝑦 )→(0,0) 𝑥𝑦2 𝑥2+𝑦4 F está definida en 𝑀 = 𝑅2− { 0,0 } Si 𝑀₁ = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0} 𝑀₂ = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0} Como 𝑀1𝑀2 𝐶 𝑀, 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝑀2 𝐹 𝑥, 0 = 𝑥(0) 2 𝑥2_{+ (0)}4 = 0 𝑥2 = 0 𝐹 0, 𝑦 = (0)(𝑦) 2 (0)2_{+ (𝑦)}4 = 0 𝑦2 = 0

c)

𝐥𝐢𝐦

_{(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)} 𝒙𝟐+𝒚

𝒙𝟐+𝒚𝟐

Si

𝑀

₁

= {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 0}

𝑀

₁

= {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≠ 0

}

Como

𝑀

₁

y

𝑀

₂

⊂ 𝑀, F está definida en 𝑀

₁

y

𝑀

₂

f

𝑥, 0 =

𝑥 2₊₍₀₎ 𝑥2+(0)2

=

𝑥2 𝑥2

= 1

f

0, 𝑦 =

(𝑜) 2_+𝑦 (0)2+𝑦2

=

𝑦 𝑦2

=

1 𝑦

=

∞

Como f

𝑥, 𝑜 ≠ f 𝑜, 𝑦 límite

no existe

d) lim

₍𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝑥4+𝑦4 𝑥2+𝑦2

=0

𝑆

_𝑛

=

_𝑛1

, 0 𝑉

_𝑛

= 0,

1 𝑛

f 𝑆

𝑛

=

1 𝑛4 1 𝑛2

=

𝑛2 𝑛4

=

1 𝑛2

→ 0

f 𝑉

𝑛

=

1 𝑛4 1 𝑛2

= 𝑛

2

_𝑛

4

_{= 1 𝑛}

2

_{→ 0}

Como f (𝑆𝑛), y f (𝑉𝑛) Convergen al mismo limite entonces el límite existe y es igual a 0

 EJERCICIO Nº 3

Identificar las superficies siguientes.

𝑋

2

+ 4𝑌

2

= 16𝑍

2

𝑋

2

16

+

4𝑌

2

16

= 𝑍

2 𝑋2 16

+

𝑦4 4

= 𝑍

2 Cono Cuadrático

b) 𝑥

2

+ 4𝑦

2

+ 16𝑧

2

= 12

𝑥

2

12

+

4𝑦

2

12

+

16𝑧

2

12

= 1

𝑥

2

12

+

𝑦

2

3

+

4𝑧

2

3

= 1

𝑥2 12

+

𝑦2 3

+

𝑧2 3 4

= 1 ELIPSOIDE

e)

5𝑋

2

+ 2𝑌

2

− 6𝑍

2

10 = 0

5𝑋

2

+ 2𝑌

2

− 6𝑍

2

= 10

5𝑥

2

10

+

2𝑦

2

10

−

6𝑧

2

10

= 1

𝑥2 2

+

𝑦2 5

−

𝑧2 5 3

= 1

Hiperboloide de

una hoja

g)𝑋

2

+ 𝑌

2

+ 𝑍

2

− 4 = 0

𝑋

2

+ 𝑌

2

+ 𝑍

2

= 4

𝑋2 4

+

𝑌2 4

+

𝑍2

4

= 1 Hiperboloide de una hoja

h)5𝑋

2

+ 2𝑌

2

− 6𝑍

2

+ 10 = 0Hiperboloide de 2 hojas

5𝑋

2

+ 2𝑌

2

− 6𝑍

2

= −10

5𝑋

2

10

+

2𝑌

2

10

−

6𝑍

2

10

= −1

𝑋

2

2

+

𝑌

2

5

−

𝑍

2

5

3

= −1

i)𝑥

2

+ 2𝑦

2

− 4𝑧 = 0Paraboloide hiperbólico

𝑥

2

+ 2𝑦

2

= 4𝑧

𝑥

2

+

𝑦

2

1

2

= 4𝑧

j)2𝑥

2

− 3𝑦

2

− 6 = 1Cilindro hiperbólico

2𝑥

2

− 3𝑦

2

= 7

2𝑥

2

7

−

3𝑦

2

7

= 1

𝑥

2

7

2

−

𝑦

2

7

3

= 1