Mecánica I Tema 1 Cinemática de la Partícula

(1)

Mec´

anica I

Tema 1

Cinem´

atica de la Part´ıcula

Manuel Ruiz Delgado

(2)

Cinem´

atica de la part´ıcula

Definiciones: Cinem´atica, punto, s´olido

Definiciones: Sistemas de referencia, posici´on, coordenadas Definiciones: Reposo, movimiento

Definiciones: Trayectoria, ley horaria, ecuaciones horarias Vector velocidad

Vector aceleraci´on

Coordenadas cil´ındricas: velocidad y aceleraci´on Velocidad areolar

Movimientos centrales:

(3)

Definiciones

Cinem´atica: Es la parte de la Mec´anica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin entrar a considerar su causa.

Se puede ver como una extensi´on de la Geometr´ıa en la que, adem´as de

la posici´on, se considera el tiempo.

No se estudia la masa, fuerza, o energ´ıa; de eso se ocupa la Din´amica, que relaciona el movimiento con su causa.

Las magnitudes fundamentales que intervienen en cada una de ellas son:

Geometr´ıa L

Cinem´atica L T

(4)

Part´ıculas y s´

olidos

Cuerpo material: Cualquier objeto con masa. La Mec´anica Cl´asica no estudia el movimiento de cuerpos de masa nula o despreciable (solo como ligaduras o para transmitir fuerzas).

(5)

Part´ıculas y s´

olidos

Part´ıcula o Punto: Cuerpo material que se representa como un punto

geométrico del espacio, sin considerar para nada su extensión, orientación (actitud) o distribución de masa.

Sin masa en Cinem´atica, con masa en Din´amica.

No es necesario que sean pequeños: basta con que su orientación no influya en el movimiento. En Mecánica Celeste, por ejemplo, se tratan los planetas como puntos.

(6)

Part´ıculas y s´

olidos

Part´ıcula o Punto: Cuerpo material que se representa como un punto

geométrico del espacio, sin considerar para nada su extensión, orientación (actitud) o distribución de masa.

Sin masa en Cinem´atica, con masa en Din´amica.

No es necesario que sean pequeños: basta con que su orientación no influya en el movimiento. En Mecánica Celeste, por ejemplo, se tratan los planetas como puntos.

S´olido r´ıgido: Conjunto de part´ıculas cuyas distancias no var´ıan.

La Mecánica Clásica no estudia los sólidos deformables (Resistencia de Materiales y Elasticidad) ni los fluidos (Mecánica de Fluidos). Excepción:

(7)

Sistema de referencia

En Mec´anica Cl´asica los cuerpos se mueven en el espacio eucl´ıdeo

(8)

Sistema de referencia

tridimensional, R3 (RE: M3+1, RG: Riemann, S/Cuerdas: 1+3+6+. . . ).

Para definir la posici´on de una part´ıcula, se toma un

Sistema de referencia: Triedro o referencia triortogonal orientado a derechas, formado por

El origen de coordenadas, un punto O ∈ R3

Tres ejes Ox, Oy, Oz seg´un los versores i_, j_, k

x y

z

i j

k

(9)

Sistema de referencia

tridimensional, R3 (RE: M3+1, RG: Riemann, S/Cuerdas: 1+3+6+. . . ).

Para definir la posici´on de una part´ıcula, se toma un

Sistema de referencia: Triedro o referencia triortogonal orientado a derechas, formado por

El origen de coordenadas, un punto O ∈ R3

Tres ejes Ox, Oy, Oz seg´un los versores i_, j_, k

Unitarios i · i = 1 j · j = 1 k · k = 1 Ortogonales i · j = 0 i · k = 0 j · k = 0 A derechas k ₌ i _∧ j x y z i j k O

(10)

Definiciones

x y z b x y z M r O Vector posici´on de la part´ıcula M respecto a la

referen-cia Oxyz

(11)

Definiciones

referen-cia Oxyz

rM _{= O}M ₌ _x i ₊ _y j ₊ _z k

Coordenadas cartesianas de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz

(12)

Definiciones

referen-cia Oxyz

rM _{= O}M ₌ _x i ₊ _y j ₊ _z k

x = rM · i, y = rM · j, z = rM · k

Reposo de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz: sus coordenadas se

mantienen constantes ∀t

(13)

Definiciones

referen-cia Oxyz

rM _{= O}M ₌ _x i ₊ _y j ₊ _z k

x = rM · i, y = rM · j, z = rM · k

Reposo de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz: sus coordenadas se

mantienen constantes ∀t

x = x0, y = y0, z = z0 Cte. ∀t

Movimiento de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz: una o m´as

coordenadas var´ıan con el tiempo

(14)

Trayectoria

x y z b M r O

Curva C del espacio, lugar geom´etrico de las

(15)

Trayectoria

x y z b M r O

posi-ciones sucesivas de la part´ıcula M en ejes Oxyz.

El tiempo no es necesario: la trayectoria es un con-cepto geom´etrico.

(16)

Trayectoria

x y z b M r O

Se puede definir de varios modos:

definición geométrica: Dar los datos geométricos suficientes para identificar la curva en el espacio.

(17)

Trayectoria

x y z b M r O

ecuaciones impl´ıcitas: Se dan dos ecuaciones correspondientes a superficies,

cuya intersecci´on define la curva C:

(18)

Trayectoria

x y z b M r O

ecuaciones impl´ıcitas: Se dan dos ecuaciones correspondientes a superficies,

cuya intersecci´on define la curva C:

f (x,y,z) = 0, g(x, y,z) = 0

(19)

Trayectorias: definici´

on geom´

etrica

Avi´on en vuelo circular

horizontal a una altura constante

Planeador en vuelo circu-lar en una corriente as-cendente (t´ermica)

Tiro parab´olico en el

vac´ıo x y z b b M O x y z b M O x y z b M O Circunferencia horizontal de centro (0, 0, h) y radio R

H´elice circular, eje Oz, pasa por (R, 0, 0), pen-diente α

Par´abola que pasa por tres puntos dados

(20)

Trayectorias: ecuaciones param´

etricas

x y z b b M O θ x y z b M O θ x y z b M O x = R cosθ y = R sinθ z = h x = R cosθ y = R sin θ z = Rθ tan α x = 0 y = v0 cos αu z = v₀ sin α u − gu₂2

(21)

Trayectorias: ecuaciones impl´ıcitas

x y z x y z x y z x2 + y2 = R2 z = h x2 + y2 = R2 tan _R_{tan α}z = _xy x = 0 z = _{cot α}y − _2v2gy2 0 cos α 2

(22)

Ecuaciones horarias, ley horaria

Ecuaciones horarias: Ecuaciones param´etricas de la trayectoria, tomando como par´ametro el tiempo: x(t), y(t), z(t)

(23)

Ecuaciones horarias, ley horaria

Ley horaria: (sentido amplio) parámetro u de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, como función del tiempo: u(t)

(24)

Ecuaciones horarias, ley horaria

Ley horaria: (sentido estricto) par´ametro natural s de las ecuaciones

param´etricas de la trayectoria (longitud de arco recorrido), como funci´on del

(25)

Ecuaciones horarias, ley horaria

Ley horaria: (sentido estricto) par´ametro natural s de las ecuaciones

param´etricas de la trayectoria (longitud de arco recorrido), como funci´on del

tiempo: s(t) Trayectoria x(u), y(u), z(u) x(s), y(s), z(s) + Ley horaria u(t) s(t) ⇒ Ecuaciones horarias x(t), y(t), z(t) x(t), y(t), z(t)

(26)

Ecuaciones horarias, ley horaria

x y z b b M O θ s x y z b M θ x y z b M O x = R cos ω t y = R sin ω t z = h x = R cos ω t y = R sin ω t z = Rω t tan α x = 0 y = v₀ cos α t z = v0 sin α t − gt 2 2 θ = ω t s = Rω t θ = ω t s = Rωt cosα α Rωt R ω t t a n α u = t s = . . .

(27)

Vector velocidad

Vector velocidad de un punto M relativa a un sistema de referencia es la derivada respecto al tiempo de su vec-tor posici´on en esos ejes, considerados como fijos .

vM _{= l´ım} ∆t→0 rM₍_t _{+ ∆}_t_{) −} rM₍_t₎ ∆t = drM dt = ˙r M x y z b v M r O

(28)

Vector velocidad

Siempre se define respecto a unos ejes determinados, pero puede proyectarse en otros distintos

(29)

Vector velocidad

Siempre se define respecto a unos ejes determinados, pero puede proyectarse en otros distintos

Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su c´alculo es trivial:

rM _{= O}M ₌ _x(_t₎ i ₊ _y(_t₎ j ₊ _z(_t₎ k

vM = ˙rM = ˙x i + ˙y j + ˙z k + x ˙i + y ˙j + z ˙k =

(30)

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas

l´ım ∆t→0 r(t + ∆t) − r(t) ∆t r(t ) r(t+ ∆t) ∆_r t t + ∆t

(31)

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas

l´ım ∆t→0 r(t + ∆t) − r(t) ∆t = l´ım∆t→0 ∆r ∆t = d r d t = ds dt · d r ds = ˙s~τ r(t ) r(t+ ∆t) ∆_r t t + ∆t ∆r Vector unitario tangente ~τ

(32)

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas

l´ım ∆t→0 r(t + ∆t) − r(t) ∆t = l´ım∆t→0 ∆r ∆t = d r d t = ds dt · d r ds = ˙s~τ ˙s = v = |v| = p˙x2 + ˙y2 + ˙z2 |~τ| = 1 r(t ) r(t+ ∆t) ∆_r t t + ∆t ∆r Vector unitario tangente ~τ ∆s

(33)

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas

l´ım ∆t→0 r(t + ∆t) − r(t) ∆t = l´ım∆t→0 ∆r ∆t = d r d t = ds dt · d r ds = ˙s~τ= v = v ~τ ˙s = v = |v| = p˙x2 + ˙y2 + ˙z2 |~τ| = 1 r(t ) r(t+ ∆t) ∆_r t t + ∆t ∆r Vector unitario tangente ~τ ∆r ∆s M ~τ _v_(t) r(t )

(34)

Vector velocidad

x y z b b M ~ τ O v θ s r =    Rcos ωt Rsin ωt h    v = Rω    − sin ωt cos ωt 0    ˙s = v = Rω ~τ =  − sin ω t cos ωt   x y z b M ~ τ v θ r =    Rcos ωt Rsin ω t Rωttan α    v = Rω    − sin ω t cos ωt tan α    ˙s = v = _{cos α}Rω ~ τ = cos α  − sin ω t cos ωt   x y z b M ~τ v O r =    0 v0cos α t z0 + v0 sin αt − gt 2 2    v =    0 v0 cos α v0 sin α − g t    ˙s = pv2 0 − 2v0sin αg t + g 2 _t2

(35)

Hod´

ografa

Hod´ografa Es la curva descrita por el extremo de un vector equipolente al vector velocidad, llevado al origen (indicatriz).

b

(36)

Hod´

ografa

Si se considera el vector velocidad como vector posici´on de un punto, la Hod´ografa ser´ıa la trayectoria de este punto ficticio. No aparece el tiempo.

b

(37)

Hod´

ografa

Si se considera el vector velocidad como vector posici´on de un punto, la Hod´ografa ser´ıa la trayectoria de este punto ficticio. No aparece el tiempo.

x y z b b M ~ τ O v θ s v = Rω    − sin ωt cos ωt 0    ˙x ˙y ˙z ϕ x y z b M ~ τ v θ v = Rω    − sin ω t cos ωt tan α    ˙z v x y z b M ~τ v O v =    0 v0 cos α v0 sin α − gt    ˙x ˙y ˙z

(38)

Vector aceleraci´

on

Vector aceleraci´on de un punto M relativa a un

sis-tema de referencia es la derivada respecto al

tiempo de su vector velocidad en esos ejes, considerados como fijos .

γM = d vM dt = d2rM dt2 = ˙v M ₌ _¨rM _x y z b v M r γ O

(39)

Vector aceleraci´

on

Siempre se define respecto a los mismos ejes que la velocidad, pero puede proyectarse en otros.

(40)

Vector aceleraci´

on

Siempre se define respecto a los mismos ejes que la velocidad, pero puede proyectarse en otros.

Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su c´alculo es trivial

vM ₌ _˙x(_t₎ i ₊ _˙y(_t₎ j ₊ _˙z(_t₎ k

(41)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ

(42)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′

(43)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs

(44)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs ds ρ

(45)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′₌ ˙s ρ ~n = v ρ ~n = v~κ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs ds ρ

(46)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ = γt + γn = s¨~τ + v2 ρ ~n ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′₌ ˙s ρ ~n = v ρ ~n = v~κ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs ds ρ

(47)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ = γt + γn = s¨~τ + v2 ρ ~n ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′₌ ˙s ρ ~n = v ρ ~n = v~κ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs ds ρ ( Tangencial: γ_t = s¨~τ = ˙v ~τ Normal: γ_n = ˙s 2 ρ ~n = v2 κ ~n ~n γ_t γ_n γ M ~τ v(t)

(48)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

γ = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = d v d t = d dt (˙s~τ) = s¨~τ + ˙s ˙~τ = γt + γn = s¨~τ + v2 ρ ~n ˙~τ = d s d t · d~τ d s = ˙s~τ ′₌ ˙s ρ ~n = v ρ ~n = v~κ dϕ ρ ~τ ₊ _d~τ ~τ _~τ ₊ d~τ |d~τ| = |~τ| · dϕ = 1 · d_ρs ds ρ ( Tangencial: γ_t = s¨~τ = ˙v ~τ Normal: γ_n = ˙s 2 ρ ~n = v2 κ ~n ~n γ_t γ_n γ M ~τ v(t)

(49)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

v γ

Conocidas γ y v, las componentes intr´ınsecas se obtienen usando el desarrollo

del producto triple

⊥v z }| { v ∧ (γ ∧ v) = v2 γ − kv z }| { (γ · v) v

(50)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

v γ

γt

del producto triple

⊥v z }| { v ∧ (γ ∧ v) = v2 γ − kv z }| { (γ · v) v γ_t = (γ · v) v v2 |γt| = ˙v = |γ · v| v

(51)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

v γ γt γn γ ∧v

del producto triple

⊥v z }| { v ∧ (γ ∧ v) = v2 γ − kv z }| { (γ · v) v γ_t = (γ · v) v v2 |γt| = ˙v = |γ · v| v γ_n = v _{∧ (}γ ∧ v) v2 |γn| = v2 ρ = |γ ∧ v| v

(52)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

del producto triple

Intr´ınsecas: se ve el sentido f´ısico de cada t´ermino:

(53)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

del producto triple

v = v ~τ

(54)

Vector aceleraci´

on: coordenadas intr´ınsecas

del producto triple

v = v ~τ

γ_t = ˙v ~τ Var´ıa el m´odulo de v (T 0)

(55)

Vector aceleraci´

on

x y z b b M ~ τ n γ O v θ s v = Rω    − sin ωt cos ωt 0    γ = Rω2    − cos ωt − sin ωt 0    v = Rω ˙v = 0 γ = 0 ·~τ + v 2 R n ≡ ρ = R x y z b M ~ τ n γ v θ = ωt v = Rω    − sin ω t cos ωt tan α    γ = Rω2    − cos ωt − sin ωt 0    v = _{cos α}Rω ˙v = 0 γ = 0 ·~τ + v 2 R n ≡ ρ = R x y z b M ~τ v O γ r =    0 v0 cos αt z0 + v0sin αt − gt 2 2    v =    0 v0 cos α v0 sin α − gt    γ =    0 0 −g    ˙s = qv₀2 − 2v0 sin αgt+ g2t2

(56)

Vector aceleraci´

on

x y z b b M O r θ s b b b b

Un punto se mueve con velocidad de m´odulo variable v(t); su trayectoria es una circunferencia horizontal de radio R y centro a una altura h.

˙s = v → s = Z t 0 v(t) dt → r = R    coss/R sins/R h    θ = s R

(57)

Vector aceleraci´

on

x y z b b M O r θ s x y z b b ~τ O v θ s b b

˙s = v → s = Z t 0 v(t) dt → r = R    coss/R sins/R h    θ = s R v = ˙r = ˙s    −sins/R coss/R 0    = v ~τ

(58)

Vector aceleraci´

on

x y z b b M O r θ s x y z b b ~τ O v θ s z b n γ_n γ

˙s = v → s = Z t 0 v(t) dt → r = R    coss/R sins/R h    θ = s R v = ˙r = ˙s    −sins/R coss/R 0    = v ~τ  −sins/R − coss/R

(59)

Vector aceleraci´

on

x y z b b M O r θ s x y z b b ~τ O v θ s z b b τ n γ_n γ_t γ τ n γ_t > 0 γ_n ˙v > 0 τ n γ_t < 0 γ_n ˙v < 0

˙s = v → s = Z t 0 v(t) dt → r = R    coss/R sins/R h    θ = s R v = ˙r = ˙s    −sins/R coss/R 0    = v ~τ γ = ˙v = s¨    −sins/R coss/R 0    + s˙_R2    − coss/R −sins/R 0    = ˙v ~τ + v_ρ2 n

(60)

Coordenadas cil´ındricas

Plano π que contiene a M y a Oz

Coordenadas cartesianas r, z en π

Coordenada θ : ∠ (π, Oxz)

Versores en las direcciones en que crecen las coor-denadas: m´oviles z }| { u_r, u_θ, cte. z}|{ u_z

Polares: cil´ındricas sin z, planas

y z

π

x θ M z r u_θ u_r u_z O r rM ₌ _r u_r ₊ _z u_z ₌ _r _cos _θ i ₊ _r _sin _θ j ₊ _z k vM = ˙r u_r + r ˙ur + ˙z k = ˙r ur + r ˙θuθ + ˙z k γM = ¨ r − r ˙θ2 u_r + r ¨θ + 2˙r ˙θ u_θ + z¨k

(61)

Derivaci´

on de los versores: geom´

etrica

π θ θ ∆θ ∆uθ u_θ ur ur +∆ ur ∆ur O y x

(62)

Derivaci´

on de los versores: geom´

etrica

π θ θ ∆θ ∆uθ u_θ ur ur +∆ ur ∆ur O y x u_r u_θ ∆θ 1 1 ∆u_r ˙ur = du_r dt = l´ım∆t→0 ∆ur ∆t =

(63)

Derivaci´

on de los versores: geom´

etrica

π θ θ ∆θ ∆uθ u_θ ur ur +∆ ur ∆ur O y x u_r u_θ ∆θ 1 1 ∆u_r ˙ur = du_r dt = l´ım∆t→0 ∆ur ∆t = = l´ım ∆t→0 |∆ur| ∆t u_θ = l´ım ∆t→0 ∆θ ∆t u_θ = ˙ur = ˙θ uθ

(64)

Derivaci´

on de los versores: geom´

etrica

π θ θ ∆θ ∆uθ u_θ ur ur +∆ ur ∆ur O y x u_r u_θ ∆θ 1 1 ∆u_r ˙ur = du_r dt = l´ım∆t→0 ∆ur ∆t = = l´ım ∆t→0 |∆ur| ∆t u_θ = l´ım ∆t→0 ∆θ ∆t u_θ = ˙ur = ˙θ uθ l´ım ∆t→0 ∆uθ ∆t = l´ım ∆t→0 |∆uθ| ∆t (−u_r) = = l´ım ∆θ (−u_r_{) =} ˙u_θ = − ˙θ u_r π θ θ ∆θ ∆θ u_θ ur y x ˙ u_r ˙ u_θ

(65)

Derivaci´

on de los versores: anal´ıtica

Proyectar en ejes fijos, y derivar:

u_r = cosθ i + sin θ j u_θ _{= − sin}_θ i _{+ cos}_θ j M π θ θ uθ ur O y x

(66)

Derivaci´

on de los versores: anal´ıtica

Proyectar en ejes fijos, y derivar:

u_r = cosθ i + sin θ j u_θ _{= − sin}_θ i _{+ cos}_θ j M π θ θ uθ ur O y x ˙ur = ˙θ u_θ z }| { − sinθ i + cosθ j

˙u_θ = ˙θ − cosθ i − sin θ j

| {z } −ur ⇒ ˙ur = ˙θ uθ ˙uθ = − ˙θ ur

(67)

Vector velocidad en cil´ındricas

Se deriva el vector posici´on teniendo en cuenta

las derivadas de los versores m´oviles, ˙ur =

˙θ u_θ : rM ₌ _r u_r ₊ _z u_z x y z b M O r θ z

(68)

Vector velocidad en cil´ındricas

˙θ u_θ : rM ₌ _r u_r ₊ _z u_z vM = ˙r u_r + r ˙ur + ˙z uz = = ˙r u_r ₊ _{r ˙θ} u_θ ₊ _˙z u_z x y z b M O r θ z

(69)

Vector velocidad en cil´ındricas

˙θ u_θ : rM ₌ _r u_r ₊ _z u_z vM = ˙r u_r + r ˙ur + ˙z uz = = ˙r u_r ₊ _{r ˙θ} u_θ ₊ _˙z u_z x y z r ˙θ b ˙r ˙z M O r θ z vM = ˙r u_r + r ˙θ u_θ + ˙z u_z

(70)

Vector aceleraci´

on en cil´ındricas

Se deriva el vector velocidad, teniendo en cuenta las derivadas de los versores m´oviles,

˙ur = ˙θ uθ, ˙uθ = − ˙θ ur : vM = ˙r u_r + r ˙θ u_θ + ˙z u_z x z b ˙r r ˙θ ˙z M O r θ z

(71)

Vector aceleraci´

on en cil´ındricas

˙ur = ˙θ uθ, ˙uθ = − ˙θ ur : vM = ˙r u_r + r ˙θ u_θ + ˙z u_z γM = r¨ur + ˙r ˙ur + ˙r ˙θ uθ+ + r ¨θ u_θ + r ˙θ ˙uθ + z¨uz = x z b ˙r r ˙θ ˙z M O r θ z

(72)

Vector aceleraci´

on en cil´ındricas

˙ur = ˙θ uθ, ˙uθ = − ˙θ ur : vM = ˙r u_r + r ˙θ u_θ + ˙z u_z γM = rür + ˙r ˙ur + ˙r ˙θ uθ+ + r ¨θ u_θ + r ˙θ ˙uθ + züz = x z b ˙r r ˙θ ˙z M O r θ z = rü_r ₊ _{˙r ˙θ} u_θ ₊ _{˙r ˙θ} u_θ ₊ _{r ¨}_θ u_θ ₋ _{r ˙θ ˙θ} u_θ ₊ _z_ü_z ₌

(73)

Vector aceleraci´

on en cil´ındricas

˙ur = ˙θ uθ, ˙uθ = − ˙θ ur : vM = ˙r u_r + r ˙θ u_θ + ˙z u_z γM = rür + ˙r ˙ur + ˙r ˙θ uθ+ + r ¨θ u_θ + r ˙θ ˙uθ + züz = x z b ¨ r −r ˙θ2 r ¨θ ¨ z 2˙r ˙θ ˙r r ˙θ ˙z M O r θ z = rü_r ₊ _{˙r ˙θ} u_θ ₊ _{˙r ˙θ} u_θ ₊ _{r ¨}_θ u_θ ₋ _{r ˙θ ˙θ} u_θ ₊ _z_ü_z ₌ γM = ¨ r − r ˙θ2u_r + r ¨θ + 2 ˙r ˙θu_θ + zü_z

(74)

Velocidad areolar: conceptos previos

´

Area de un tri´angulo en el espacio, con un v´ertice en el origen:

A = 1

2 r ∧ ∆r

Vector normal al tri´angulo, de m´odulo |A| = 1 2 |r| · |∆r| sin α = 1 2 b h x y z A r _∆r r α h ∆r

Se usar´an para definir la velocidad areolar: concepto abstracto, pero muy ´util en movimientos centrales

(75)

Velocidad areolar

´

Area barrida por un punto en un tiempo ∆t

∆A = 1 2 r ∧ ∆r x y z b ∆A r _∆r b

(76)

Velocidad areolar

´

∆A = 1

2 r ∧ ∆r

Velocidad areolar: ´area barrida por un m´ovil en la uni-dad de tiempo: v_ar = l´ım ∆t→0 ∆A ∆t = 1 2 r ∧ l´ım∆t→0 ∆r ∆t = v_ar = 1 2 r ∧ v x y z b ∆A r _∆r x y z b var r _v

(77)

Velocidad areolar

´

∆A = 1

2 r ∧ ∆r

Velocidad areolar: área barrida por un móvil en la uni-dad de tiempo: v_ar = l´ım ∆t→0 ∆A ∆t = 1 2 r ∧ l´ım∆t→0 ∆r ∆t = v_ar = 1 2 r ∧ v x y z b ∆A r _∆r x y z b var r _v Aceleración areolar: γ_ar = d v_ar dt = 1 2 (v ∧ v + r ∧ γ) ⇒ γar = 1 2 r ∧ γ

(78)

Movimientos centrales

x y z b v r γ C b

(79)

Movimientos centrales

x y z b v r γ C b

El vector aceleraci´on pasa siempre por un punto fijo, el Centro.

La velocidad areolar respecto al Centro es un vec-tor constante (r _k γ)

(80)

Movimientos centrales

x y z b v r γ C x y z b var r _v

˙var = 1₂ r ∧ γ = 0 ⇒ var = ~Cte.

Son movimientos planos

r ∧ v = 2v_ar = ~Cte. ⇒ r ⊥ ~Cte.

(81)

Movimientos centrales

x y z b v r γ C x y z b var r _v

˙var = 1₂ r ∧ γ = 0 ⇒ var = ~Cte.

Son movimientos planos

r ∧ v = 2v_ar = ~Cte. ⇒ r ⊥ ~Cte.

r · ~Cte. = 0 ⇒ Ax + B y + C z = 0

Coordenadas polares en el plano del movimiento, origen (polo) en el Centro

(82)

Movimientos centrales

Velocidad areolar en cartesianas:

v_ar ₌ 1₂ i j k x y 0 ˙x ˙y 0 = 1₂    0 0 x ˙y − y ˙x    x y z b var r v θ

(83)

Movimientos centrales

Velocidad areolar en polares: Ley de ´areas

v_ar = 1₂ u_r u_θ u_z r 0 0 ˙r r ˙θ 0 = 1₂    0 0 r2 ˙θ    ⇒ r2 ˙θ = C (Cte. de ´areas)

(84)

Movimientos centrales

Velocidad areolar en polares: Ley de ´areas

v_ar = 1₂ u_r u_θ u_z r 0 0 ˙r r ˙θ 0 = 1₂    0 0 r2 ˙θ    ⇒ r2 ˙θ = C (Cte. de ´areas)

Por otro camino:

γ_θ = r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 0 −→r· r2θ¨+ 2r ˙r ˙θ = d

dtr

(85)

Consecuencias de la ley de ´

areas

˙θ no cambia de signo: r2 ˙θ = C r2 > 0 ⇒ ˙θ 6= 0 ˙θ = 0 ⇒ r → ∞

¡No!

b b ˙θ + -0 0 ˙θ → 0 r → ∞ b b b b

(86)

Consecuencias de la ley de ´

areas

˙θ no cambia de signo: r2 ˙θ = C r2 > 0 ⇒ ˙θ 6= 0 ˙θ = 0 ⇒ r → ∞

¡No!

b b ˙θ + -0 0 ˙θ → 0 r → ∞

Trayectoria r(θ) y C determinan v, γ → F´ormulas de Binet

b b θ r C r = r ˙θ τ b b θ r r ˙θ τ v

(87)

1

a

F´

ormula de Binet

(88)

1

a

F´

ormula de Binet

Conocidas r(θ) y C, hallar v(θ) , o v(θ)

Usar r2 d_dtθ = C para eliminar t : dθ = _rC2 dt

v ₌ dr dt ur + r ˙θ uθ = dr dθ C r2 ur + r C r2 uθ

(89)

1

a

F´

ormula de Binet

Conocidas r(θ) y C, hallar v(θ) , o v(θ)

Usar r2 d_dtθ = C para eliminar t : dθ = _rC2 dt

v ₌ dr dt ur + r ˙θ uθ = dr dθ C r2 ur + r C r2 uθ Introduciendo _dd_θr _r12 = − d dθ 1 r

, queda m´as compacto:

v = −C d dθ 1 r u_r + C r uθ ⇒ v 2 _{= C}2 " d dθ 1 r 2 + 1 r 2# 1a F´ormula de Binet

(90)

2

a

F´

ormula de Binet

Conocidas r(θ) y C, hallar γ(θ) (solo γr , pues γθ = 0 ). Usar r2 d_dtθ = C para eliminar t : dθ = _rC2 dt 1

(91)

2

a

F´

ormula de Binet

γ = γr = d2r dt2 − r ˙θ 2 ₌ d dt ˙r − r C r2 2 =

1_{No se puede sustituir en la derivada 2}a_{, solo en la 1}a 2_{Otro camino: derivar}

(92)

2

a

F´

ormula de Binet

γ = γr = d2r dt2 − r ˙θ 2 ₌ d dt ˙r − r C r2 2 = = d dθ h −C _dd_θ 1_r i C r2 − C2 r3 =

(93)

2

a

F´

ormula de Binet

γ = γr = d2r dt2 − r ˙θ 2 ₌ d dt ˙r − r C r2 2 = = d dθ h −C _dd_θ 1_r i C r2 − C2 r3 = γ = −C 2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r 2a F´ormula de Binet

1_{No se puede sustituir en la derivada 2}a_{, solo en la 1}a 2_{Otro camino: derivar}

(94)

Ejemplo: problema de Kepler

Aplicar la 2a f´ormula de Binet a la aceleraci´on gravitatoria:

F = m γ = −GM m

r2 ur (GM = µ) γ = −

µ

(95)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r

(96)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r Cambio: 1 r = u

(97)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r Cambio: 1 r = u u′′ + u = _Cµ2    Homog´enea: uh = A cos (θ + ϕ) Particular: up = _Cµ2

(98)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r Cambio: 1 r = u u′′ + u = _Cµ2    Homog´enea: uh = A cos (θ + ϕ) Particular: up = _Cµ2 r = 1 uc = 1 up + uh = 1 µ C2 + A cos (θ + ϕ)

(99)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r Cambio: 1 r = u u′′ + u = _Cµ2    Homog´enea: uh = A cos (θ + ϕ) Particular: up = _Cµ2 r = 1 uc = 1 up + uh = 1 µ C2 + A cos (θ + ϕ) r = C 2_/µ 1 + AC_µ 2 cos (θ + ϕ)

(100)

Ejemplo: problema de Kepler

F = m γ = −GM m r2 ur (GM = µ) γ = − µ r2 − µ r2 = − C2 r2 d2 dθ2 1 r + 1 r Cambio: 1 r = u u′′ + u = _Cµ2    Homogénea: uh = A cos (θ + ϕ) Particular: up = _Cµ2 r = 1 uc = 1 up + uh = 1 µ C2 + A cos (θ + ϕ) r = C 2_/µ 1 + AC_µ 2 cos (θ + ϕ) = p 1 + ecos (θ + ϕ) Ecuación polar de una cónica

(101)

Ejemplo: problema de Kepler

C´onica: la distancia r de un punto P de la curva a un punto fijo (Foco), partida por la distancia de P a una recta fija (Directriz) es una constante (excentricidad):

r D − r cosθ = e; r = p z}|{ eD − er cosθ → → r = p 1 + ecos θ b b F r P D θ D ir ec tr iz p b

(102)

Ejemplo: problema de Kepler

C´onica: la distancia r de un punto P de la curva a un punto fijo (Foco), partida por la distancia de P a una recta fija (Directriz) es una constante (excentricidad):

r D − r cosθ = e; r = p z}|{ eD − er cosθ → → r = p 1 + ecos θ b b F r P D θ D ir ec tr iz p b e = 0 Circunferencia e < 1 Elipse e = 1 Par´abola r(π) → ∞ e > 1 Hip´erbola r(arccos−1_e ) → ∞