Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales
OCTUBRE 2020
Miguel Rollán Sánchez- Ramade
DIRECTOR DEL TRABAJO FIN DE MASTER:
Manuel Valdés del Fresno
Migu e l Ro ll á n Sá n c h e z -Ram a d e
TRABAJO FIN DE MASTER
PARA LA OBTENCIÓN DEL
TÍTULO DE MASTER EN
INGENIERÍA INDUSTRIAL
iii
Trabajo de Fin de Máster Máster en Ingeniería Industrial
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales
Autor:
Miguel Rollán Sánchez-Ramade
Director del Trabajo de Fin de Máster:
Manuel Valdés del Fresno Profesor Titular de Universidad
Dpto. de Ingeniería Energética
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid
Madrid, 2020
v
A Rosana y Carmen, mis hermanas.
vii
Resumen
En este trabajo, se realiza un estudio del comportamiento fuera de diseño de las turbinas axiales. Para ello, se ha desarrollado un programa de simulación en ©MATLAB orientado a su utilización por parte de los alumnos de ingeniería en las asignaturas relacionadas con las turbomáquinas térmicas.
Dada la importancia que tienen las turbomáquinas térmicas en la industria, es habitual que los estudiantes de ingeniería tengan asignaturas relacionadas con estas. Este trabajo se presenta con el objetivo de que dichos alumnos dispongan de un programa que les permita estudiar en detalle el comportamiento de las turbinas axiales fuera de diseño. En concreto, de las turbinas axiales en las que se produce la expansión de un gas no condensable, esto es, turbinas de gas. Los usuarios del programa podrán modificar tanto los parámetros de diseño de la turbina axial como sus condiciones de operación fácilmente. Los resultados serán presentados de forma que sean fácilmente visualizable y que ayuden a la comprensión del problema por parte del alumno.
En primer lugar y tras una breve introducción y planteamiento del problema, se presentará el modelo matemático de ecuaciones que contiene el programa. Así mismo, se expondrán las hipótesis y simplificaciones consideradas, todas ellas debidamente justificadas. La parte más importante de este modelo matemático es el cálculo de pérdidas en las coronas de álabes. Este se hará haciendo uso de la correlación de Ainley y Mathieson.
En segundo lugar, se detallará de qué forma se realiza la simulación en el programa para conseguir los dos objetivos principales de este: obtener el diseño de la turbina axial y hallar sus curvas características.
Se explicarán también distintas funcionalidades del programa complementarias que ayudan a la visualización y comprensión de los resultados obtenidos con la simulación.
En tercer lugar, se expondrán y comentarán para tres casos distintos los resultados que se obtienen con el programa. Estos casos son: turbina axial de un solo escalonamiento de acción, turbina axial de un solo escalonamiento de reacción y turbina axial de tres escalonamientos: uno de acción y dos de reacción.
En último lugar, en las conclusiones de este trabajo, se realizará una comparación de las curvas características obtenidas, con las de la bibliografía elaboradas de forma empírica. Resultando en que ambas tienen un comportamiento muy similar.
ix
Índice
Resumen vii
Índice ix
Índice de Figuras xi
Notación xv
1 Introducción y planteamiento 1
2 Modelo matemático 5
2.1 Obtención del diseño de la turbina axial 6
2.1.1 Obtención del diseño del escalonamiento 6
2.1.2 Control del cumplimiento de las hipótesis y de errores 16
2.2 Comportamiento fuera de diseño de la turbina axial 17
3 Simulación 21
4 Resultados 25
4.1 Turbina axial de un solo escalonamiento de acción 25
4.2 Turbina axial de un solo escalonamiento de reacción 33
4.3 Turbina axial de tres escalonamientos: uno de acción y dos de reacción 39
5 Conclusiones 55
Referencias
Anexo A: Planificación del proyecto
Estructura de Descomposición del Proyecto Diagrama de Gantt del proyecto
Anexo B: Presupuesto del proyecto Anexo C: Impactos del proyecto Anexo D: Resultados detallados
Turbina axial de un solo escalonamiento de acción Turbina axial de un solo escalonamiento de reacción
Turbina axial de tres escalonamientos: uno de acción y dos de reacción Anexo E: Manual del usuario del programa
Obtención del diseño de la turbina
Obtención de las curvas características de la turbina Visualización de los resultados detallados
Anexo F: Código del programa realizado en ©MATLAB
xi
Índice de Figuras
Figura 1. Imagen de la turbina de gas de un avión [6] 1
Figura 2. Imagen del rotor de la turbina de gas de una central de ciclo combinado [7] 1 Figura 3. Evolución del fluido en el rotor de una turbina axial 2 Figura 4. Planteamiento del problema de la obtención de las curvas características de una turbina axial
[2] 2
Figura 5. Criterio de signos utilizado de los ángulos del flujo [4] 8 Figura 6. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de las pérdidas en el perfil de los
álabes cuando la incidencia del flujo es nula [4] 11
Figura 7. Curva original de Ainley y Mathieson para adaptar el ángulo de salida del flujo a la situación
de relación paso-cuerda de 0.75 [4] 14
Figura 8. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de la incidencia de desprendimiento
cuando la relación paso-cuerda es de 0.75 [4] 15
Figura 9. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de la diferencia de incidencia de
desprendimiento [4] 15
Figura 10. Curva original de Ainley y Mathieson para el cálculo de las pérdidas en el perfil cuando la
incidencia del flujo no es nula [4] 18
Figura 11. Interpretación de la gráfica con el diagrama de velocidades de un escalonamiento de la
turbina [1] 22
Figura 12. Interpretación de la gráfica con el diagrama T-s de la turbina [1] 22 Figura 13. Diagrama de velocidades de la turbina monoescalonamiento de acción en condiciones de
diseño 26
Figura 14. Diagrama T-s de la turbina monoescalonamiento de acción en condiciones de diseño 26 Figura 15. Curvas características de la turbina monoescalonamiento de acción 27 Figura 16. Curvas características adimensionales de la turbina monoescalonamiento de acción 28 Figura 17. Puntos de isorrendimiento sobre la característica relación de expansión-gasto másico de la
turbina monoescalonamiento de acción 29
Figura 18. Puntos de isorrendimiento sobre la característica adimensional relación de expansión-gasto
másico de la turbina monoescalonamiento de acción 30
Figura 19. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor al variar la relación de expansión para distintos regímenes de giro de la turbina monoescalonamiento de acción 31 Figura 20. Diagrama de velocidades de puntos de operación con régimen de giro de diseño y presión de salida de 1.5 (azul), 1.75 (rosa), 2 (amarillo) y 2.25 (morado) [bar] de la turbina
monoescalonamiento de acción 32
Figura 21. Diagramas de velocidades de puntos de operación con presión de salida la de diseño y regímenes de giro de 20000 (rosa), 22500 (amarillo), 25000 (morado), 27500 (verde) y 30000 (celeste)
[rpm] de la turbina monoescalonamiento de acción 32
Figura 22. Diagrama de velocidades de la turbina monoescalonamiento de reacción en condiciones de
diseño 34
Figura 23. Diagrama T-s de la turbina monoescalonamiento de reacción en condiciones de diseño 34 Figura 24. Curvas características de la turbina monoescalonamiento de reacción 35 Figura 25. Curvas características adimensionales de la turbina monoescalonamiento de reacción
36 Figura 26. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor al variar la relación de expansión para distintos regímenes de giro de la turbina monoescalonamiento de reacción 37 Figura 27. Diagrama de velocidades de puntos de operación con régimen de giro de diseño y presión de salida de 1.5 (azul), 1.75 (rosa), 2 (amarillo), 2.25 (morado) y 2.5 (verde) [bar] de la turbina
monoescalonamiento de reacción 38
Figura 28. Diagramas de velocidades de puntos de operación con presión de salida la de diseño y regímenes de giro de 10000 (rosa), 15000 (amarillo), 20000 (morado), 25000 (verde) y 30000 (celeste)
[rpm] de la turbina monoescalonamiento de reacción 38
Figura 29. Diagramas de velocidades de la turbina de tres escalonamientos en condiciones de diseño 40 Figura 30. Diagrama T-s de la turbina de tres escalonamientos en condiciones de diseño 41 Figura 31. Curvas características para el régimen de giro de diseño de la turbina de tres
escalonamientos 42
Figura 32. Curvas características de la turbina de tres escalonamientos 43 Figura 33. Curvas características adimensionales de la turbina de tres escalonamientos 44 Figura 34. Puntos de isorrendimiento sobre la característica relación de expansión-gasto másico de la
turbina de tres escalonamientos 45
Figura 35. Puntos de isorrendimiento sobre la característica adimensional relación de expansión-gasto
másico de la turbina de tres escalonamientos 46
Figura 36. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor de cada escalonamiento al variar la relación de expansión para régimen de giro el de diseño de la turbina de tres
escalonamientos 47
Figura 37. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor del primer escalonamiento al variar la relación de expansión para distintos regímenes de giro de la turbina de tres
escalonamientos 48
Figura 38. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor del segundo escalonamiento al variar la relación de expansión para distintos regímenes de giro de la turbina de tres
escalonamientos 49
xiii
Figura 39. Evolución de los números de Mach a la salida del estator y del rotor del tercer escalonamiento al variar la relación de expansión para distintos regímenes de giro de la turbina de tres
escalonamientos 50
Figura 40. Diagramas de velocidades de puntos de operación con el régimen de giro de diseño y una presión de salida de 2 (rosa), 3 (amarillo), 4 (morado), 5 (verde), 6 (celeste), 7 (violeta) y 8 (azul) [bar]
de la turbina de tres escalonamientos 51
Figura 41. Diagramas de velocidades de puntos de operación con presión de salida la de diseño y regímenes de giro de 20000 (rosa), 22500 (amarillo), 25000 (morado), 27500 (verde) y 30000 (celeste)
[rpm] de la turbina de tres escalonamientos 53
Figura 42. Diagrama T-s de la turbina de tres escalonamientos en el punto de operación de presión de
salida 4 [bar] y régimen de giro el de diseño 53
Figura 43. Curvas características empíricas de turbina axial [1] 55
xv
Notación
b Cuerda axial del álabe
B Parámetro necesario para el cálculo de las pérdidas intersticiales
c Velocidad absoluta del flujo
ca Componente axial de la velocidad absoluta del flujo
CL Coeficiente de sustentación
cp Calor específico del gas
cy Componente tangencial de la velocidad absoluta del flujo
D Diámetro medio
Dh Diámetro hidráulico
GR Grado de reacción
H Altura del álabe
h Entalpía específica
h0 Entalpía específica de remanso
Hm Altura media del álabe
i Incidencia
is Incidencia de desprendimiento
l Cuerda del álabe
m Gasto másico
M Número de Mach
n Régimen de giro
np Rendimiento politrópico
p Presión
p0 Presión de remanso
Pef Potencia efectiva
Pint Potencia interna
RE Relación de expansión
Re Número de Reynolds
Rg Cociente ente la constante de los gases ideales y el peso molecular del gas
s Paso entre álabes
S Entropía específica
subíndice 075 Considerando una relación paso-cuerda de 0.75 subíndice e Relativo al estator
subíndice i Relativo al escalonamiento subíndice r Relativo al rotor
subíndice Sod Utilizando la correlación de Sodeberg
T0 Temperatura de remanso
T0,s Temperatura de remanso obtenida con un proceso isentrópico Ts Temperatura obtenida con un proceso isentrópico
u Velocidad periférica
W Trabajo específico
w Velocidad relativa del flujo
Y Coeficiente de pérdidas de presión de remanso
Yk Coeficiente de pérdidas intersticiales de presión de remanso Yp Coeficiente de pérdidas en el perfil de presión de remanso
Yp0 Coeficiente de pérdidas en el perfil de presión de remanso cuando la incidencia es nula
YS Coeficiente de pérdidas secundarias de presión de remanso
Z Número de álabes
ZA Parámetro de carga de Ainley
α Ángulo del flujo
α’ Ángulo del álabe
αm Ángulo de la velocidad media del flujo
β Ángulo relativo del flujo
γ Coeficiente de dilatación adiabática del gas
δ Ángulo de desviación del flujo
Δis Diferencia de incidencia de desprendimiento
ε Ángulo de deflexión del flujo
ζ Coeficiente de pérdidas de entalpía
ζk Coeficiente de pérdidas intersticiales de entalpía ζp Coeficiente de pérdidas en el perfil de entalpía ζs Coeficiente de pérdidas secundarias de entalpía
ηef Rendimiento efectivo
ηm Rendimiento mecánico
ηte Rendimiento total a estática
ηtt Rendimiento total a total
θ Ángulo de curvatura del álabe
λ Parámetro necesario para el cálculo de las pérdidas secundarias
μ Viscosidad dinámica del gas
ξ Ángulo de calado del álabe
ρ Densidad
xvii
σ Solidez
τ Tamaño del hueco libre
Φ Coeficiente de carga
Ψ Coeficiente de flujo
1
1 I NTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO
Las turbinas de gas tienen una gran importancia hoy en día en diversos campos de la ingeniería. Casi domina por completo el sector aeronáutico que es un sector capital en la actualidad. En el campo naval, se utilizan principalmente en buques militares combinadas con motores diésel para obtener una gran velocidad de propulsión. En la industria, se utilizan en grupos de cogeneración y en ciclos combinados empleando como combustible gas natural. Actualmente en España, un 23.3% de la potencia instalada para la generación de energía eléctrica corresponde a ciclos combinados [5].
Figura 1. Imagen de la turbina de gas de un avión [6]
Figura 2. Imagen del rotor de la turbina de gas de una central de ciclo combinado [7]
Introducción y planteamiento
2
Una turbina es una turbomáquina térmica motora. Permite convertir la energía térmica de un fluido que pasa a través de ella en energía mecánica. En las coronas de álabes de la turbina, se produce una variación del momento cinético del flujo, lo que provoca una expansión de este y el giro del rotor de la máquina. En las turbinas axiales, las líneas de corriente del fluido se encuentran en superficies cilíndricas coaxiales al eje de la máquina.
Figura 3. Evolución del fluido en el rotor de una turbina axial
La predicción del comportamiento fuera de diseño de las turbinas axiales es muy importante para el acoplamiento de la turbina y los turbocompresores en las turbinas de gas y para la regulación de la operación de estas. Disponer de las curvas características de la turbina es indispensable para conocer el funcionamiento de esta en las distintas condiciones de operación que se pueden dar.
En este trabajo se realizará un programa que permite la obtención de las curvas características de una turbina axial. Queda fuera de la finalidad de este programa optimizar el diseño termofluidodinámico de una turbina axial, este será el establecido por el usuario mediante una serie de parámetros de diseño.
Una vez obtenido el resultado del diseño de la turbina axial, el programa será capaz de generar las curvas características de esta.
A continuación, se va a plantear el problema que se tiene para la obtención de las curvas características de una turbina axial diseñada. Se considerará una turbina instalada en un banco de ensayos como el de la Figura 4:
Figura 4. Planteamiento del problema de la obtención de las curvas características de una turbina axial [2]
3
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 3
La instalación dispone de dos elementos principales. En primer lugar, una válvula estranguladora para modificar la relación de expansión de la turbina. En segundo lugar, un freno para modificar el régimen de giro del rotor de la turbina. La instalación también dispone de dos depósitos de gas a la entrada y a la salida de la turbina. El depósito a la entrada permite que las condiciones de ingreso a la turbina de temperatura y presión del gas sean constantes. El de la salida permite que el gas pierda su velocidad a presión constante en el escape de la turbina.
En una turbina, el gasto másico se produce por la diferencia de presiones existentes entre la entrada y la salida de esta. Por lo tanto, depende de la relación de expansión de la turbina. El régimen de giro es consecuencia de la existencia de dicho gasto másico, pero depende también del par resistente. Para unas condiciones del flujo a la entrada de temperatura y presión de remanso fijas, el comportamiento de la turbina dependerá de dos variables operativas de funcionamiento: la relación de expansión y el régimen de giro. El gasto másico y el rendimiento de la turbina serán variables dependientes de ambas:
𝑚, 𝜂 = 𝑓(𝑅𝐸, 𝑛)
5
2 M ODELO MATEMÁTICO
En este apartado se va a presentar el modelo matemático contenido en el programa de
©MATLAB realizado. Éste está formado por ecuaciones que tienen en cuenta una serie de hipótesis y parámetros que serán expuestos, todos ellos, a continuación. Es posible dividir el programa en dos funcionalidades principales: la de obtener el diseño termofluidodinámico de la turbina y la de predicción de su comportamiento fuera de diseño obteniendo las curvas características de la turbina diseñada.
El fluido de trabajo es el aire considerándolo como gas perfecto y compresible, algo que es acertado dado el nivel de presiones que se tiene en estas máquinas. Se tomarán las siguientes propiedades del fluido como parámetro:
𝛾 = 1.4 (1)
𝑐𝑝= 1005 [𝐽/(𝑘𝑔 ∗ 𝐾)] (2)
𝜇 = 2 ∗ 10−5 [𝑃𝑎 ∗ 𝑠] (3)
𝑅𝑔 = 8.314 [𝐽/(𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾)]
0.029 [𝑘𝑔/𝑚𝑜𝑙] (4)
El flujo puede considerarse adiabático por las velocidades relativamente altas que se tienen y por considerarse baja la diferencia de temperaturas existente entre el fluido y las paredes de la turbina y valorarse baja la superficie de transmisión.
Por otro lado, no se contemplarán efectos de flujo no estacionarios por movimiento relativo de coronas sucesivas de álabes, por lo que se considerará flujo estacionario.
Además, se tomará la hipótesis de que el flujo está en condiciones subsónicas en todos los puntos de la turbina. Esta última condición de flujo subsónico se verificará a posteriori.
Las condiciones del flujo en cada punto quedarán definidas por las siguientes variables:
temperatura y presión de remanso, temperatura y presión, densidad, velocidad, tanto absoluta como relativa, y sus correspondientes ángulos de flujo y números de Mach.
Para cada corona de álabes, estator o rotor, se considerarán dos condiciones del flujo distintas:
la de entrada a la corona y la de salida de la corona. Sin embargo, hay que tener en cuenta que a la salida del estator y a la entrada del rotor el flujo tiene las mismas condiciones.
Las condiciones del flujo a la entrada de la turbina se corresponden con las condiciones de entrada al primer escalonamiento de esta. Las condiciones del flujo a la salida de la turbina se corresponden con las condiciones de salida del último escalonamiento de esta. Las condiciones del flujo a la entrada de escalonamientos de la turbina distintos del primero serán las mismas que las de salida del escalonamiento previo.
Modelo matemático
6
2.1 Obtención del diseño de la turbina axial
Se muestran a continuación una serie de ecuaciones necesarias para hallar resultados importantes con respecto a la turbina en su conjunto. Posteriormente, se procederá a mostrar las ecuaciones que permiten obtener el diseño de cada escalonamiento de la turbina.
La relación de expansión de la turbina se definirá como:
𝑅𝐸 =𝑝0𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (5)
El trabajo específico interno, la potencia interna y la potencia efectiva de la turbina se definirán como:
𝑊 = ∑ 𝑊𝑖
𝑖
(6)
𝑃𝑖𝑛𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑊 (7)
𝑃𝑒𝑓 = 𝑃𝑖𝑛𝑡 ∗ 𝜂𝑚 (8)
El rendimiento total a total, el rendimiento total a estática y el rendimiento efectivo de la turbina se definirán como:
𝜂𝑡𝑡 = 𝑇0𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑇0𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑇0𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝑇0𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎,𝑠 (9)
𝜂𝑡𝑒= 𝑇0𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝑇0𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑇0𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎− 𝑇𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎,𝑠 (10)
𝜂𝑒𝑓= 𝜂𝑡𝑒∗ 𝜂𝑚 (11)
La energía cinética de salida de la turbina se considera que se pierde por fricción a presión constante en el escape, por lo que el rendimiento que se valora para el cálculo del rendimiento efectivo de la turbina es el rendimiento total a estática.
Se tomará como parámetro el rendimiento mecánico de la turbina:
𝜂𝑚 = 0.9 (12)
2.1.1 Obtención del diseño del escalonamiento
En este subapartado se expondrán las ecuaciones e hipótesis que permiten obtener el diseño de cada escalonamiento de la turbina axial.
En primer lugar, se considerará la hipótesis de flujo bidimensional en los álabes. Por ello, la componente radial de la velocidad será despreciable y las condiciones del flujo en el diámetro medio serán representativas de las del flujo en cualquier otro diámetro. De igual forma, el flujo será invariable de álabe a álabe de una misma corona. Al considerar la hipótesis de flujo bidimensional, los álabes no se considerarán construidos torsionados sino planos. Esta hipótesis será validada posteriormente.
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 7
Para el diseño de cada escalonamiento se utilizarán los siguientes parámetros adimensionales de diseño: coeficiente de carga, coeficiente de flujo y grado de reacción. Estos se definen a continuación:
𝛹 =𝑊𝑖
𝑢2 (13)
𝛷 =𝑐𝑎
𝑢 (14)
𝐺𝑅 = 𝛥ℎ𝑟
𝛥ℎ0𝑖 (15)
Se establece que el flujo entrará al estator del primer escalonamiento con un ángulo igual al de salida de dicho escalonamiento.
Por otra parte, la velocidad axial de entrada a la turbina se mantendrá constante a lo largo de toda la turbina en condiciones de diseño, algo que es habitual en el diseño de turbinas axiales.
La velocidad periférica y el diámetro medio de los álabes están relacionados mediante la siguiente ecuación, siendo en esta conocida la velocidad de giro del rotor la turbina:
𝑢 [𝑚/𝑠] =𝐷
2[𝑚] ∗ 𝑛[𝑟𝑝𝑚] ∗2𝜋
60[𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑟𝑝𝑚 ] (16)
Se podrá considerar, por el tipo de construcción de la turbina, que se mantiene constante el diámetro medio de los álabes, aunque varíe su altura a lo largo de toda la turbina. Por lo tanto, la velocidad periférica será la misma en todos. El diámetro medio de los álabes se obtendrá con la expresión anterior una vez conocido el triángulo de velocidades del escalonamiento.
Por otro lado, se establecerá que todos los escalonamientos deben obtener el mismo trabajo, algo que es deseable cuando se diseñan turbinas axiales.
Las dos consideraciones anteriores más la conservación de la velocidad axial hacen que todos los escalonamientos tengan el mismo coeficiente de carga y el mismo coeficiente de flujo para su diseño. Por lo que, cuando se fijen ambos, se fijarán para todos los escalonamientos. Esto no ocurre con el grado de reacción que puede fijarse distinto en cada escalonamiento.
Dado un rendimiento total a estática del escalonamiento es posible relacionar mediante la siguiente ecuación la relación de expansión con el trabajo específico del escalonamiento, siendo conocidas las condiciones a la entrada a este:
𝑊𝑖 = 𝑐𝑝∗ (𝑇01− 𝑇03) = 𝑐𝑝∗ 𝑇01∗ (1 − ( 1 𝑅𝐸𝑖)
𝛾−1
𝛾 ) ∗ 𝜂𝑡𝑒𝑖 (17)
𝑅𝐸𝑖 =𝑝01
𝑝3 (18)
Donde el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo de entrada al estátor del escalonamiento, el subíndice 2 a las condiciones del flujo a la salida del estátor y entrada al rotor del escalonamiento y el subíndice 3 a las condiciones del flujo a la salida del rotor del escalonamiento. Esta notación se utilizará hasta que se diga lo contrario.
Modelo matemático
8
Se quiere aclarar que el criterio de signos utilizado en cuanto a los ángulos del flujo, tanto si son de una corona de estator como de rotor, es el mostrado en la Figura 5. Además, los ángulos se tomarán siempre respecto a la dirección axial.
Figura 5. Criterio de signos utilizado de los ángulos del flujo [4]
La especificación de los tres parámetros adimensionales de diseño más el trabajo específico del escalonamiento, permiten definir por completo el triángulo de velocidades del escalonamiento.
Por lo tanto, mediante relaciones que provienen de la geometría del triángulo de velocidades es posible hallar las velocidades absolutas y relativas y los ángulos del flujo absoluto y relativo a la entrada y salida de cada corona, así como otras variables relacionadas. Teniendo en cuenta, además, la ecuación de Euler:
𝑊𝑖 = 𝑢 ∗ (𝑐𝑦2 + 𝑐𝑦3) (19)
Por otro lado, una vez conocido el triángulo de velocidades del escalonamiento, se utilizará el Criterio de Zweifel para hallar la solidez óptima de cada corona:
𝜎𝑒 = 𝑙𝑒 𝑠𝑒 = 2
0.8∗ cos2(𝛼2) ∗𝑡𝑎𝑛(𝛼2) + 𝑡𝑎𝑛(𝛼1)
cos(ξe) (20)
𝜎𝑟 = 𝑙𝑟 𝑠𝑟 = 2
0.8∗ cos2(𝛽3) ∗𝑡𝑎𝑛(𝛽3) + 𝑡𝑎𝑛(𝛽2)
cos(ξ𝑟) (21)
La línea media de los perfiles de los álabes se considera que es un arco de círculo por lo que los ángulos de calado se toman igual a los ángulos medios de los álabes.
Por otra parte, la incidencia de diseño del flujo en los álabes de la corona, sea de estator o de rotor, se tomará siempre como cero.
Así mismo, se determinará la desviación del flujo a la salida de cada álabe mediante la Regla de Carter aplicada a álabes de turbina:
𝛿𝑒 = 0.19 ∗𝜃𝑒
𝜎𝑒 (22)
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 9
𝛿𝑟 = 0.19 ∗𝜃𝑟
𝜎𝑟 (23)
Algunas ecuaciones termodinámicas que permiten hallar las condiciones del flujo en cada punto del escalonamiento (1, 2 o 3) son las siguientes:
𝑐𝑝∗ 𝑇0 = 𝑐𝑝∗ 𝑇 +𝑐2
2 (24)
𝜌 [𝑘𝑔/𝑚3] =𝑝 [𝑏𝑎𝑟] ∗ 105 [𝑃𝑎/𝑏𝑎𝑟]
𝑅𝑔 [ 𝐽
𝑘𝑔 ∗ 𝐾] ∗ 𝑇[𝐾] (25)
𝑆 = 5611 [ 𝐽
𝑘𝑔] + 𝑙𝑛 ( 𝑇 [𝐾]
273.15) − 𝑅𝑔 ∗ 𝑙𝑛 (𝑝 [𝑏𝑎𝑟]
1 ) (26)
𝑀𝑐 = 𝑐 [𝑚/𝑠]
√𝛾 ∗ 𝑇 [𝐾] ∗ 𝑅𝑔 [𝐽/(𝑘𝑔 ∗ 𝐾)] (27)
𝑀𝑤 = 𝑤 [𝑚/𝑠]
√𝛾 ∗ 𝑇 [𝐾] ∗ 𝑅𝑔 [𝐽/(𝑘𝑔 ∗ 𝐾)] (28)
Para hallar las condiciones del flujo en un punto (‘) que está en la misma isentrópica que otro se usará la ecuación:
𝑝′/𝑝 = (𝑇′ 𝑇)
𝛾
𝛾−1 (29)
Para calcular la altura del álabe necesaria en cada punto se usará la ecuación de la continuidad:
𝑚 [𝑘𝑔/𝑠] = 𝜌 [𝑘𝑔/𝑚3] ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 [𝑚] ∗ 𝐻 [𝑚] ∗ 𝑐𝑎 [𝑚/𝑠] (30) Por otro lado, se hará uso de la siguiente expresión utilizada por Hawthorne [3] para establecer la relación de aspecto de los álabes de cada corona. Esto simplifica el diseño geométrico de los álabes:
𝐻𝑚 𝑏 =2.5
𝛷 (31)
Además, se utilizarán el siguiente par de ecuaciones para hallar otras variables geométricas de cada corona de álabes:
𝑏 = 𝑙 ∗ cos(𝜉) (32)
𝑍 = 𝜋 ∗𝐷
𝑠 (33)
Modelo matemático
10
A continuación, se muestra el cálculo de pérdidas según la correlación de Ainley y Mathieson para cada corona de álabes, estator o rotor. Las pérdidas estarán compuestas por pérdidas en el perfil, pérdidas secundarias y, para el caso del rotor, también por pérdidas intersticiales.
Las pérdidas en el perfil son debidas a la fricción que genera el flujo a su paso por las coronas de álabes. Por otro lado, las pérdidas secundarias son debidas a vórtices que se producen cuando el flujo abandona una corona de álabes por la deflexión a la que se ve sometido. Por último, las pérdidas intersticiales son debidas a las fugas de fluido que se producen en el rotor por los intersticios.
En las expresiones del cálculo de pérdidas que se mostrarán a continuación, el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo a la entrada de la cascada de álabes y el subíndice 2 a las de salida de la cascada de álabes. En el caso de que se estén evaluando las expresiones para la corona de álabes de un rotor, se deben utilizar las magnitudes relativas y no absolutas de la velocidad, los ángulos del flujo y número de Mach.
Una vez establecido que la incidencia de diseño siempre será cero y considerando que la relación entre el espesor máximo y la cuerda del álabe es de 0.2, las pérdidas en el perfil de cada corona de álabes se calcularán de la siguiente forma:
𝑌𝑝0 = 𝑌𝑝(𝛼
1′=0)+ (𝛼1𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒
𝛼2 )
2
∗ (𝑌𝑝(𝛼
1′=𝛼2′)− 𝑌𝑝(𝛼
1′=0)) (34)
𝑌𝑝0(𝛼1′=0) = (−0.627 ∗ (𝛼2 100)
2
+ 0.821 ∗ (𝛼2
100) − 0.129) ∗ (1 𝜎)
2
+ (1.489 ∗ (𝛼2 100)
2
− 1.676 ∗ (𝛼2
100) + 0.242) ∗ (1 𝜎)
− 0.356 ∗ (𝛼2 100)
2
+ 0.399 ∗ ( 𝛼2
100) + 0.0077
(35)
𝑌𝑝0(𝛼
1′=𝛼2′) = (−1.56 ∗ (𝛼2 100)
2
+ 1.55 ∗ (𝛼2
100) − 0.064) ∗ (1 𝜎)
2
+ (3.73 ∗ ( 𝛼2 100)
2
− 3.43 ∗ (𝛼2
100) + 0.29) ∗ (1 𝜎)
− 0.83 ∗ ( 𝛼2 100)
2
+ 0.78 ∗ (𝛼2
100) + 0.078
(36)
Siendo estas expresiones un ajuste de las curvas originales de Ainley y Mathieson:
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 11
Figura 6. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de las pérdidas en el perfil de los álabes cuando la incidencia del flujo es nula [4]
Por otra parte, las pérdidas secundarias se obtendrán utilizando una corrección que hicieron Dunham y Came del método original de Ainley para el cálculo de estas pérdidas:
𝐶𝐿 = 2 ∗ (𝑡𝑎𝑛(𝛼2) + 𝑡𝑎𝑛(𝛼1)) ∗cos(𝛼𝑚)
𝜎 (37)
𝑍𝐴 = (𝐶𝐿∗ 𝜎)2 ∗ cos2(𝛼2)
cos3(𝛼𝑚) (38)
𝜆 = 0.0334 ∗ ( 𝑙
𝐻𝑚) ∗cos(𝛼2)
cos(𝛼1) (39)
𝑌𝑠 = 𝜆 ∗ 𝑍𝐴 (40)
Modelo matemático
12
Por último, el cálculo de las pérdidas intersticiales del rotor se hará utilizando una modificación que hicieron Dunham y Came del método original de Ainley para el cálculo de estas pérdidas:
𝑌𝑘𝑟 = 𝐵 ∗ ( 𝑙𝑟
𝐻𝑚𝑟) ∗ ( 𝜏 𝐻𝑚𝑟)
0.78
∗ 𝑍𝐴𝑟 (41)
Para ello, se considerará un intersticio radial y álabes sin llanta tomándose los siguientes parámetros:
𝐵 = 0.5 (42)
𝜏 = 0.0005 [𝑚] (43)
De esta forma, los coeficientes de pérdidas en el estator y en el rotor se obtendrán de la siguiente manera:
𝑌𝑒 = 𝑌𝑝0𝑒 + 𝑌𝑠𝑒 (44)
𝑌𝑟 = 𝑌𝑝0𝑟+ 𝑌𝑠𝑟+ 𝑌𝑘𝑟 (45)
𝜁 = 𝑌
1 +𝛾 2 ∗ 𝑀𝑐22
(46)
Por otro lado, se calcularán las pérdidas utilizando la correlación de Sodeberg, pero con el único objetivo de poder compararlas con las obtenidas anteriormente, ya que las que se tendrán en cuenta en el diseño del escalonamiento son las calculadas con la correlación de Ainley y Mathieson:
𝜁𝑝,𝑆𝑜𝑑= 0.025 ∗ (1 + ( 𝜀
90)
2
) ∗ (106 𝑅𝑒2)
1
4 (47)
𝜁𝑠,𝑆𝑜𝑑 = 3.2 ∗ 𝜁𝑝,𝑆𝑜𝑑∗ 𝑏
𝐻𝑚 (48)
𝜁𝑆𝑜𝑑𝑒 = 𝜁𝑝,𝑆𝑜𝑑𝑒 + 𝜁𝑠,𝑆𝑜𝑑𝑒 (49)
𝜁𝑆𝑜𝑑𝑟 = 𝜁𝑝,𝑆𝑜𝑑𝑟 + 𝜁𝑠,𝑆𝑜𝑑𝑟 + 𝜁𝑘𝑟 (50)
El número de Reynolds a la salida de cada corona de álabes se calcula con las siguientes expresiones:
𝐷ℎ =2 ∗ 𝑠 ∗ 𝐻𝑚∗ cos(𝛼2)
𝑠 ∗ cos(𝛼2) + 𝐻𝑚 (51)
𝑅𝑒2 = 𝜌2∗ 𝑐2∗ 𝐷ℎ
𝜇 (52)
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 13
Una vez calculadas las pérdidas, el rendimiento total a total y total a estática del escalonamiento pueden ser calculados con las siguientes expresiones:
𝜂𝑡𝑡𝑖 = 𝑊𝑖
𝑊𝑖 +𝑇3 𝑇2∗𝑐22
2 ∗ 𝜁𝑒+𝑤32 2 ∗ 𝜁𝑟
(53)
𝜂𝑡𝑒𝑖 = 𝑊𝑖
𝑊𝑖 +𝑇3 𝑇2∗𝑐22
2 ∗ 𝜁𝑒 +𝑤32
2 ∗ 𝜁𝑟+𝑐32 2
(54)
Donde, el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo de entrada al estátor del escalonamiento, el subíndice 2 a las condiciones a la salida del estátor y entrada al rotor del escalonamiento y el subíndice 3 a las condiciones a la salida del rotor del escalonamiento.
Debido a que se considera un juego reducido entre escalonamientos se puede suponer que se aprovecha la velocidad de salida de cada escalonamiento intermedio en el escalonamiento que le sucede. Por lo tanto, se deberá considerar el rendimiento total a total en estos escalonamientos intermedios. Sin embargo, en el último escalonamiento la energía cinética de salida se pierde a presión constante en el escape, por lo que deberá considerarse el rendimiento total a estática.
Por otra parte, es posible también calcular el rendimiento politrópico de la expansión que se produce en cada corona de álabes con la siguiente expresión:
𝑛𝑝 =
ln (𝑝1 𝑝2) log (𝜌1
𝜌2) (55)
Donde el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo a la entrada de la corona de álabes y el subíndice 2 a las de salida de la corona de álabes.
Se procede ahora a mostrar el cálculo de la incidencia de desprendimiento en una corona de álabes utilizando de nuevo la correlación de Ainley y Mathieson.
En las siguientes expresiones, el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo a la entrada de la cascada de álabes y el subíndice 2 a las de salida de la cascada de álabes. En el caso de que se estén evaluando las expresiones para la cascada de álabes de un rotor, se deben utilizar las magnitudes relativas y no absolutas de la velocidad y los ángulos del flujo.
En primer lugar, es necesario obtener una corrección del ángulo de salida del flujo para relaciones paso-cuerda (inversa de la solidez) distintas de 0.75:
𝛼2075 = 𝛼2
−0.1566 ∗ (1 𝜎)
2
− 0.1304 ∗ (1
𝜎) + 1.1855
(56)
La expresión anterior es un ajuste de la curva original que se muestra a continuación:
Modelo matemático
14
Figura 7. Curva original de Ainley y Mathieson para adaptar el ángulo de salida del flujo a la situación de relación paso-cuerda de 0.75 [4]
En segundo lugar, se obtendrá la incidencia de desprendimiento para el caso de que la relación paso-cuerda sea de 0.75 con la siguiente expresión:
𝑖𝑠075 = −7.42964338𝐸 + 03 + 9.38324849𝐸 + 02 ∗ 𝛼2075− 4.84425093𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2 + 1.31248547 ∗ (𝛼2075)3 − 1.97097487𝐸 − 02 ∗ (𝛼2075)4 + 1.55777238𝐸 − 04 ∗ (𝛼2075)5 − 5.06650281𝐸 − 07 ∗ (𝛼2075)6 − 2.15151451𝐸 + 03 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) − 3.75541046𝐸 + 03 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
+ 4.73149592𝐸 + 03 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
− 6.95986415𝐸 + 03 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
− 1.46140281𝐸 + 04 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
− 1.18863618 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
6
+ 2.38822652𝐸 + 02 ∗ 𝛼2075 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) + 4.09339093𝐸 + 02 ∗ 𝛼2075∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
− 5.89213313𝐸 + 02 ∗ 𝛼2075 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
+ 6.00517748𝐸 + 02 ∗ 𝛼2075∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
+ 1.49086759𝐸 + 03 ∗ 𝛼2075 ∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
− 1.03030011𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) − 1.73870470𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
+ 2.76692372𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
− 2.04281970𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
− 6.01813354𝐸 + 01 ∗ (𝛼2075)2∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
+ 2.16871097𝐸 − 01 ∗ (𝛼2075)3∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) + 3.60441904𝐸 − 01 ∗ (𝛼2075)3∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
− 6.21488463𝐸 − 01 ∗ (𝛼2075)3∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
+ 3.43763804𝐸 − 01 ∗ (𝛼2075)3∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
+ 1.20114290 ∗ (𝛼2075)3∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
− 2.23041001𝐸 − 03 ∗ (𝛼2075)4∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) − 3.65243817𝐸 − 03 ∗ (𝛼2075)4∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
+ 6.73702484𝐸 − 03 ∗ (𝛼2075)4∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
− 2.87604088𝐸 − 03 ∗ (𝛼2075)4∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
− 1.18508809𝐸 − 02 ∗ (𝛼2075)4∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
+ 8.98197525𝐸 − 06 ∗ (𝛼2075)5∗ (− 𝛼1′
𝛼2075) + 1.44650064𝐸 − 05 ∗ (𝛼2075)5∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
2
− 2.83702555𝐸 − 05 ∗ (𝛼2075)5∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
3
+ 9.63904165𝐸 − 06 ∗ (𝛼2075)5∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
4
+ 4.62393571𝐸 − 05 ∗ (𝛼2075)5∗ (− 𝛼1′
𝛼2075)
5
(57)
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 15
Esta expresión se ha obtenido de un ajuste de la siguiente gráfica original de Ainley y Mathieson:
Figura 8. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de la incidencia de desprendimiento cuando la relación paso-cuerda es de 0.75 [4]
En tercer lugar, se procede a calcular la diferencia entre la incidencia de desprendimiento considerando una relación paso-cuerda de 0.75 y la incidencia de desprendimiento deseada con una relación paso-cuerda determinada.
Para ello, se hace un ajuste de las curvas originales a continuación mostradas:
Figura 9. Curvas originales de Ainley y Mathieson para el cálculo de la diferencia de incidencia de desprendimiento [4]
En esta ocasión, el ajuste realizado es distintos en dos zonas de la gráfica. Hasta relaciones paso- cuerda de 0.75, la diferencia de incidencia de desprendimiento solo depende de la solidez y se utiliza la siguiente expresión:
𝛥𝑖𝑠= −49.091 ∗ (1 𝜎)
2
+ 33.042 ∗ (1
𝜎) + 2.6655 (58)
Modelo matemático
16
Para relación paso-cuerda mayor de 0.75, la diferencia de incidencia de desprendimiento buscada depende, además de la solidez, del ángulo de salida del flujo. Se utilizará entonces la siguiente expresión en el caso de que dicho ángulo de salida del flujo sea igual a 40, 50 o 60 grados:
𝛥𝑖𝑠 = −1.85891686𝐸 + 02 + 1.21062045𝐸 + 01 ∗ 𝛼2
+ 6.92626606𝐸 − 02 ∗ 𝛼22 − 6.48910056𝐸 − 03
∗ 𝛼23 + 1.21864165𝐸 − 04 ∗ 𝛼24 − 2.17885933𝐸
− 06 ∗ 𝛼25 + 1.89293321𝐸 − 08 ∗ 𝛼26
− 3.01393032𝐸 + 02 ∗ (1
𝜎) − 1.61615292𝐸 + 02
∗ (1 𝜎)
2
+ 5.75975369𝐸 + 02 ∗ (1 𝜎)
3
− 7.62473620𝐸 + 01 ∗ (1 𝜎)
4
− 3.94306042𝐸 + 02
∗ (1 𝜎)
5
+ 1.88700431𝐸 + 02 ∗ (1 𝜎)
6
(59)
Para ángulos de salida del flujo intermedios entre estos es necesario interpolar entre los valores que resultan al evaluar la expresión con 40, 50 o 60 grados.
Por último, para obtener la incidencia de desprendimiento deseada de la corona de álabes, basta con sumarle a la incidencia de desprendimiento cuando la relación paso-cuerda es de 0.75 la diferencia de incidencia de desprendimiento calculada anteriormente:
𝑖𝑠 = 𝑖𝑠075 + 𝛥𝑖𝑠 (60)
2.1.2 Control del cumplimiento de las hipótesis y de errores
Es necesario incluir una serie de condiciones que permitan verificar que el diseño de la turbina axial cumple con las hipótesis tomadas en un principio.
En primer lugar, se consideró la hipótesis de flujo bidimensional y esto solo es acertado si se tiene una baja relación entre el diámetro de cabeza y el de raíz de los álabes de cada corona de la turbina. En concreto, se cumple si:
𝐷 + 𝐻𝑚
𝐷 − 𝐻𝑚 ≤ 1.4 (61)
Por otro lado, la correlación de Ainley y Mathieson da valores aceptables para números de Reynolds en las condiciones de salida del álabe mayores de 50000. Es necesario comprobar esta condición para que la correlación sea válida:
𝑅𝑒2 > 50000 (62)
Así mismo, la correlación de Ainley y Mathieson se puede usar cuando se cumple que los valores de ciertas variables están dentro de un intervalo determinado:
0.3 ≤ 𝜎 ≤ 1 (63)
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 17
30° ≤ 𝛼2 ≤ 70° (64)
−1.1 ≤ (− 𝛼1′
𝛼2075 ) ≤ 1 (65)
Donde el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo a la entrada de la cascada de álabes y el subíndice 2 a las de salida de la cascada de álabes. En el caso de que se estén evaluando las expresiones para la cascada de álabes de un rotor, se deben utilizar las magnitudes relativas y no absolutas de los ángulos del flujo.
Por último, es necesario comprobar la hipótesis de flujo subsónico en todos los puntos de la turbina:
𝑀𝑐2 < 1 (66)
En el caso de que se esté comprobando para una corona de rotor, el número de Mach a evaluar será el de la velocidad relativa de salida.
2.2 Comportamiento fuera de diseño de la turbina axial
Una vez expuesto el modelo matemático necesario para la obtención del diseño de la turbina axial, se procede ahora a exponer el preciso para generar las curvas características de la turbina diseñada que permitan la predicción de su comportamiento fuera de diseño. Gran parte de las ecuaciones de esta parte del modelo matemático son comunes a la anterior.
En primer lugar, se van a exponer las ecuaciones necesarias para calcular el comportamiento de la turbina en cada punto de operación fuera de diseño. Se utilizarán las mismas ecuaciones globales de la turbina que en diseño, ecuaciones de la (5) a la (12). Estas, una vez obtenido el comportamiento de cada escalonamiento en el punto de operación determinado, permiten obtener algunas variables sobre el comportamiento global de la turbina para esas condiciones de carga.
Al variar el flujo másico, como consecuencia de hacer trabajar a la turbina en un determinado punto de operación, la presión de remanso y la temperatura de remanso de entrada a la turbina se considerará que se mantienen constantes y, por tanto, la densidad. Igualmente, el flujo seguirá entrando a la turbina con el mismo ángulo que en diseño. Además, se considerará flujo subsónico en todos los puntos de la turbina, algo que deberá comprobarse con posterioridad.
Con respecto al comportamiento de cada escalonamiento de la turbina en el punto de operación, se utilizará la ecuación de la continuidad (30) para calcular la velocidad axial en cada punto de esta, una vez han quedado las alturas del álabe en cada punto establecidas en el diseño de la turbina. De esta forma, fuera de diseño, la velocidad axial del flujo ya no se mantendrá constante a lo largo de la turbina como en el diseño de esta, sino que variará de un punto a otro según la ecuación de la continuidad para el gasto másico considerado.
La velocidad periférica variará según lo haga la velocidad de giro del rotor de la turbina. Lo hará siguiendo la ecuación (16), considerando el diámetro medio de los álabes obtenido en el diseño de la turbina. El ángulo de salida del flujo de los álabes será igual que el de diseño, ya que la desviación del flujo no cambia al variar el flujo másico, como pone de manifiesto la correlación de Carter. En una aproximación más rigurosa, se haría dependiente del número de Mach a la salida de los álabes, pero el error no es significativo.
Modelo matemático
18
De esta forma, queda definido el nuevo triangulo de velocidades y se pueden utilizar las relaciones geométricas de este para calcular el resto de las variables relacionadas con el mismo.
Una vez definido el triángulo de velocidades también es posible obtener el nuevo trabajo del escalonamiento con la ecuación (19) y el nuevo grado de reacción del escalonamiento.
Así mismo, se utilizarán las mismas relaciones termodinámicas que en el diseño, ecuaciones de la (24) a la (29), para hallar las condiciones del flujo en los distintos puntos.
Por otra parte, una vez definido el nuevo triángulo de velocidades del escalonamiento, se puede obtener la nueva incidencia de entrada del flujo a cada corona de álabes necesaria para el cálculo de las pérdidas. El cálculo de las pérdidas se hará, una vez más, atendiendo a la correlación de Ainley y Mathieson. Las pérdidas secundarias e intersticiales de cada corona de álabes se supone que se mantienen constantes e iguales a las de diseño. Una vez calculada la incidencia de desprendimiento de cada corona de álabes, se pueden corregir las pérdidas por perfil de diseño para adaptarlas a la situación de operación fuera de diseño con la siguiente gráfica de Ainley y Mathieson:
Figura 10. Curva original de Ainley y Mathieson para el cálculo de las pérdidas en el perfil cuando la incidencia del flujo no es nula [4]
A partir de la misma, se realiza el siguiente ajuste:
𝑌𝑝 = 𝑌𝑝0∗ (0.0113 ∗ (𝑖 𝑖𝑠)
5
+ 0.1053 ∗ (𝑖 𝑖𝑠)
4
+ 0.3591 ∗ (𝑖 𝑖𝑠)
3
+ 0.7569 ∗ (𝑖 𝑖𝑠)
2
− 0.147 ∗ (𝑖
𝑖𝑠) + 1)
(67)
De esta forma, es posible calcular los nuevos coeficientes de pérdidas con las ecuaciones (44) a la (46) y, con ellos, el rendimiento de cada escalonamiento con las ecuaciones (53) y (54).
También, es posible obtener el rendimiento politrópico de la expansión que se produce en cada corona de álabes con la ecuación (55).
Estudio del comportamiento fuera de diseño de turbinas axiales 19
Por último, al igual que en diseño, es necesario verificar que se cumplen las hipótesis tomadas.
Para ello, deberá verificarse la condición (62) para comprobar que la correlación de Ainley y Mathieson sea válida. Así mismo, para verificar la hipótesis de flujo subsónico, es necesario comprobar que se cumple la condición (66). Además, es conveniente realizar la comprobación siguiente en cada corona de álabes para que sea válido el ajuste (67):
−4 ≤ (𝑖
𝑖𝑠) ≤ 2 (68)
21
3 S IMULACIÓN
Una vez definido el modelo matemático contenido en el programa, se va a definir el proceso de simulación que tiene lugar cuando se ejecuta. De esta forma, se expondrá como se llevan a cabo las funciones principales del programa: obtención del diseño termofluidodinámico de la turbina y predicción de su comportamiento fuera de diseño. Además, se describirán otras funciones del programa complementarias a las principales que permiten una clara visualización de los resultados.
En primer lugar, el objetivo será obtener el diseño de la turbina axial. Para ello, se introducirán como variables de entrada al modelo: el gasto másico de la turbina, la temperatura de remanso a la entrada de la turbina, la presión de remanso a la entrada de la turbina, la presión deseada a la salida de la turbina, la velocidad de giro del rotor de la turbina y, por último, los parámetros adimensionales de diseño de los escalonamientos elegidos: el coeficiente de carga y el coeficiente de flujo que serán comunes para todos los escalonamientos y el grado de reacción de cada uno de los escalonamientos deseado.
Una vez definidas las variables de entrada y ejecutado el programa se obtendrán las variables de salida.
Las variables de salida de la simulación son muchas y son el resultado del diseño de la turbina. Las principales son la potencia efectiva, la relación de expansión y el rendimiento de la turbina. Entrando más en el detalle de cada escalonamiento, otras variables importantes de salida de la simulación son las condiciones del flujo en los distintos puntos de la turbina, las variables geométricas de cada corona de álabes, el triángulo de velocidades de cada escalonamiento y el trabajo específico, la relación de expansión y el rendimiento de cada escalonamiento.
Una vez obtenido el diseño de la turbina es necesario comprobar el cumplimiento de las hipótesis tomadas en el modelo matemático. Para ello, se dispondrá de distintos marcadores que indicarán si se han cumplido o no las hipótesis de flujo bidimensional, validez de la correlación de Ainley y Mathieson y flujo subsónico. De igual forma, se dispondrá de un marcador que controle que no se ha producido ningún error en la simulación y el programa ha encontrado una solución válida para las variables de entrada dispuestas.
Una vez comprobadas estas cuestiones, se puede decir que el diseño de la turbina se ha producido correctamente, esto es, conforme a las variables de entrada suministradas.
Por otro lado, el programa permite una vez diseñada la turbina axial generar gráficas, tanto de los triángulos de velocidades de todos los escalonamientos de la turbina como el diagrama T-s de esta, con el fin de poder visualizar mejor algunos de los resultados del diseño de la turbina. Estas gráficas deben interpretarse de la siguiente forma:
Simulación
22
Figura 11. Interpretación de la gráfica con el diagrama de velocidades de un escalonamiento de la turbina [1]
Figura 12. Interpretación de la gráfica con el diagrama T-s de la turbina [1]
Donde, una vez más, el subíndice 1 hace referencia a las condiciones del flujo de entrada al estátor del escalonamiento, el subíndice 2 a las condiciones del flujo a la salida del estátor y entrada al rotor del escalonamiento y el subíndice 3 a las condiciones del flujo a la salida del rotor del escalonamiento.
En segundo lugar, y solo una vez que está diseñada la turbina, el objetivo será obtener las curvas características de la turbina diseñada que permitan predecir su comportamiento fuera de diseño. Estas curvas características serán de las formas:
𝑚, 𝜂 = 𝑓(𝑅𝐸, 𝑛) 𝑚 ∗ √𝑇0𝑒
𝑝0𝑒 , 𝜂 = 𝑓 (𝑅𝐸, 𝑛
√𝑇0𝑒
)
