Ciencias de la Computación I

Ciencias de la Computación I - Filminas de Clase – Facultad Cs. Exactas – UNCPBA – 2018

Autómatas de Pila y

Lenguajes Libres del Contexto

Ciencias de la Computación I

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Motivación

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L₁? L₁= { aⁿbⁿ/ n > 0 }

-¿Es posible diseñar un AF que reconozca el lenguaje L₂?

L₂= { x / x ∈{ (, )}^*y x es una cadena con paréntesis balanceados }

( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( ( ) )

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Es necesario agregar algo a los AF para incrementar su poder computacional

Memoria auxiliar que funciona como una Pila

Autómatas de Pila

tope

Símbolo de pila vacía

Z0 B A

A

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Autómatas de Pila

Dado un lenguaje L, libre del contexto, definido sobre un alfabeto A y una cadena x arbitraria, determinar si x ∈L o x ∉L.

AUTOMATA DE PILA

Cadena x SI

NO

Lenguaje Libre del Contexto

• Dos puntos de vista:

Como dispositivo reconocedorreconocedor de la pertenencia de una cadena a un lenguaje libre del contexto.

Como traductortraductor de una cadena en otra.

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Autómatas de Pila Reconocedores

Estados del AP:

Cantidad finita.

Un estado inicial.

Al menos un estado final o de aceptación.

Dada una cadena x en la cinta de entrada, si el AP lee toda la cadena y:

termina en unestado finalestado final

→cadena aceptadacadena aceptada

termina en unestado no finalestado no final

→cadena rechazadacadena rechazada

e0

e1

e2

e3

e4

e₅

mecanismo de control

cinta de entrada (contiene la cadena a ser leída)

cabeza lectora (se mueve a derecha o no se mueve) indicador de estado

a b c d …

Z0 B A

PILA: permite “recordar”

lo leído en la cinta

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Uso de la pila

L

= { a

b

/ n > 0 }

a a b b …

Z0

1)

Z0 A

a a b b …

2)

Z0 A A

a a b b …

3)

Z0 A

a a b b …

4)

Z0

a a b b …

5)

Si la cantidad de a´s es igual

a la cantidad de b´s se llega al final de la cadena con Z

en la pila

Ejemplo

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Autómatas de Pila Reconocedores

Formalmente, un AP reconocedor determinístico (APD) se define como una 7-upla

APD = <E, A, P, δ, e_i, F, Z₀>

E es un conjunto finito de estados; E ≠ ∅

A es el alfabeto de entrada

δes la función de transición de estados δ: E x ( A ∪{

ε

e_ies el estado inicial; e_i ∈E

F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F ⊆E

P es el alfabeto de la pila

Z₀símbolo distinguido de la Pila Z₀ ∈P

A ∩ P = ∅

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Autómatas de Pila Reconocedores

δes la función de transición de estados δ: E x ( A ∪{

ε

1)

δ (e

, α)

2) δ (e

ε

donde a ∈A; X ∈P;

α

Si existe transición de tipo (2), sólo se garantiza que AP es determinístico si

∀s: s∈A, δ( e_i, s, X) no está definida

e

e

a, X / α

e

e

ε , X / α

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L = { a

b

/ n > 0 }

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / ε

b,A / ε

e

ε , Z

/ Z

APD=<{e

,e

,e

,e

},{a,b}, {A,Z

}, δ, e

, Z

, {e

}>

Ejemplo

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Autómatas de Pila Reconocedores

Transiciones de tipo (1)

δ (e

, α) e

e

a, X / α

Estado actual

Símbolo por leer en cinta de entrada Tope de la Pila

Nuevo estado Acción sobre la Pila

Si α = ZYX deja X, apila Y, apila Z (Nuevo tope Z)

Si α = XX deja X, apila X (Nuevo tope X)

Si α = X deja X (No altera la Pila) Si α = ε elimina X (Desapila)

Z0 X X Z0

X

Z0 X Z0

X

Z0 Z0

X Z0

Y X Z

Ejemplo

Antes Después

Z0 X

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L = { a

b

/ n > 0 }

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / A

e

ε , Z

/ Z

APD=<{e₀,e₁,e₂,e_3,e₄}, {a,b}, {A,Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₄}>

e

b,A / ε

b,A / A

e

a,Z

/ AAZ

e

a,A / AAA

e

b,A / ε

APD=<{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₃}>

b,A / ε

e

ε , Z

/ Z

Otra forma

Ejemplos

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Autómatas de Pila Reconocedores

Descripción instantánea

Una configuración de un AP es una tripla

<e

,aω ω ω ω ,,,, x ββββ

con (1)lee el símbolo ay reemplaza el tope X por

α

donde a∈A; ω ∈A^*; X ∈P;α, β ∈P*; e_i ,e_j∈E con (2),no lee el símbolo ay reemplaza el tope X por

α

< e

, a ω ,X β >

< e

, a ω, X β >

estado actual

a símbolo a leer, ωresto cadena cinta X tope, βcadena debajo tope

e

e

a, X / α

(1)

e

e

ε , X / α

(2)

| (1) < e

, ω , αβ >

< e

, aω, αβ >

| (2)

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Autómatas de Pila Reconocedores

Cadena aceptada por AP

Una cadena ω ∈A^* es aceptada por AP = <E, A , P, δ,e₀, Z₀, F> sí y sólo sí

< e

, ω , Z

> | 

< e

, ε, α >

Los lenguajes aceptados por los AutAutóómatas de Pilamatas de Pilase denominan Lenguajes Libres (Independientes) del Contexto

Lenguajes Libres (Independientes) del Contexto o deTipo 2.Tipo 2 Luego, el lenguaje aceptado por el autómata de pila AP es:

L(AP) = {

ω

< e

, ω,

>

< e

, ε, α > y ω

α

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Ejemplo: Lenguaje libre del contexto determinístico

L = { w c w

/ w ∈{a,b}* }

e

a,A / AA b,B/ ε

e

ε , Z

/ Z

Ejemplos de cadenas c

abcba abbcbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA a,B / AB b,B / BB

e

c,A / A c,B / B

a,A / ε

APD=<{e

,e

,e

,e

}, {a,b,c}, {A,B, Z

}, δ, e

, Z

, {e

}>

c,Z

/ Z

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Ejemplo: Lenguaje libre del contexto no determinístico

L = { w w

/ w ∈{a,b}* }

a,A / AA b,B/ ε

e

ε , Z

/ Z

Ejemplos de cadenas ε

abba abbbba

…

e

a,Z

/ AZ

b,Z

/ BZ

b,A / BA a,B / AB b,B / BB

e

a,A / ε b,B / ε

a,A / ε

APND = <{e

,e

,e

,e

}, {a, b}, {A, B, Z

}, δ, e

, Z

, {e

,

e

}>

Para este lenguaje no existe una solución con AP determinístico e

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Autómata de Pila de No Determinístico

APND= <E, A , P, δ, e₀, Z₀, F>, siendo δno determinística definida como:

δ: E x (A∪{ε}) x P →P_f( E x P *) P_f denota los subconjuntos finitos de E x P*

1) δ( e_i,a, X) = {(e_j,α₁), (e_k, α₂), .... }

2) δ( e_i,ε, X) = {(e_n,β₁), (e_m, β₂),… }

donde a ∈A, X ∈P, α₁, α₂, β₁, β₂∈P* y e_i, e_j, e_k, e_n, e_m ∈E e_i

e_j a, X / α₁

a, X / α₂ ^ek

3) Combinadas (1) y (2)

Si lee a, con tope X dos caminos

Si no lee cinta con tope X dos caminos

Si lee a, y tope X un camino Si no lee a, y tope X otro camino CASOS DE NO DETERMINISMO

e_i

e_n ε, X / β₁

ε, X / β₂ ^em e_i

e_j a, X / α₁

ε, X / β₁ ^en

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Autómatas de Pila

Teorema:

Los APND tienen mayor poder de reconocimiento que los APD.

Es decir, hay lenguajes libres del contexto que pueden ser reconocidos por un APND pero no por un APD.

APND APD

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Análisis del Lenguaje

• Si el lenguaje es libre del contexto no determinístico hacer APND

• Si el lenguaje es libre del contexto

determinístico hacer APD (fijarse si agregaron

transiciones que generan no determinismo y

corregirlas)

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Uso de la pila (CASO MENOR n < i)

L = { a

b

/ n ≥ 0 y n < i}

Z0 A A A

n i

i>n

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / ε

e

b, Z

/ Z

b,A / ε b,Z

/ Z

b,Z

/ Z

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₃} >

Ej. de cadenas bbb

aabbb abb

… δ:

Desapila igual cantidad Leer de cinta hasta terminar la cadena

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Uso de la pila (CASO MENOR IGUAL n ≤ i)

L = { a

b

/ n ≥ 0 y n ≤ i}

Z0 A A A

n i

i ≥ n

e

a,Z

/ AZ

a,A / AA

e

b,A / ε

e

ε , Z

/ Z

b,A / ε

b,Z

/ Z

b,Z

/ Z

e

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e_0,e₃} >

Ej. de cadenas ε

bbbb

aabb

aabbb

δ: …

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Uso de la pila (CASO MAYOR n>i)

L = { a

b

/ i ≥ 0 y n > i} Si n>i tiene que llegar a leer toda la cadena y quedar A´s en la pila

Z0 A A

n

i

e

a,Z

/ AZ

e

a,A / AA

e

b,A / ε

e

ε , A / A

b, A / ε

APD = <{e₀,e₁,e₂,e₃}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e_1,e₃}>

Ej. de cadenas

a

aaaa aaabb aaaab

… δ :

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Uso de la pila (CASO MAYOR IGUAL n ≥ i)

L = { a

b

/ i ≥ 0 y n ≥ i}

e

a,Z

/ AZ

e

b,A / ε e

a,A / AA b,A / ε

Ej. de cadenas ε

aaa aab aabb aaaabb

…

A A

Z0

n

i

=

<

APD = <{e₀,e₁,e₂}, {a, b}, {A, Z₀}, δ, e₀, Z₀, {e₀,e₁,e₂} >

δ:

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Autómatas de Pila Traductores

Formalmente, un AP traductor (APT) se define como una 9-tupla AP

=

γ , S>



S es el alfabeto de salida



γ es la función de traducción; γ : E x ( A ∪ { ε }) x P → S

donde E, A , P, δ, e₀, Z₀, F se definen como antes y se agregan dos componentes

γestá definida siempre que δestá definida.

Si existe δ(e_j, a, X) =( e_k,α) y además γ(e_j, a, X) = t donde e_j, e_k∈E; a ∈A; X ∈P; α∈P^*; t ∈S^*

e

e

a, X / α, t

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Autómatas de Pila Traductores

Función de traducción para cadenas

El autómata sólo define la traducción, si el autómata AP subyacente

“acepta” la cadena.

Es decir, la traducción T( ω ): A* → S* asociada a AP

está definida como:

T( ω ) es válida ⇔ < e

, ω,

> | 

< e

, ε, α > donde ω ∈

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Ejemplo

L = { a

b

/ n > 0 }

e

e

a,A / AA,111

e

b,A / ε , ε

b,A / ε , ε

e

ε ^{, Z}

/ Z

, ε

AP=<{e

,e

,e

,e

}, {a,b}, {A,Z

}, δ , e

, Z

, {e

},

Traducir las cadenas

a

b

como 1