GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES Notas de curso

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(1)´ MARCO A. PEREZ B. Universidad Central de Venezuela. ´ tica. Escuela de Matema. GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES Notas de curso. Julio, 2013..

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(3) ´ n basadas en un curso dado por Francisco Tovar en la UCV entre finales Estas notas esta ´ n es responsabilidad del autor. de 2006 y principios de 2007. Cualquier error u omisio Los problemas presentados en estas notas fueron tomados del libro del profesor Manfredo Docarmo, “Differential Geometry of Curves and Surfaces”, del libro de la profesora Edith ´ cticas dadas por el profesor Tovar. I. de Ricabarra, “Geometr´ıa Diferencial”, y de las pra. i.

(4) ii.

(5) TABLA DE CONTENIDOS. 1. 2. 3. ´ ESPACIO METRICO Rn. 1. 1.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Transformaciones que conservan el producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Topolog´ıa del espacio eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.4. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.5. Diferencial en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.6. Aplicaciones entre abiertos de un espacio m´ etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. CURVAS REGULARES. 7. 2.1. Curvas param´ etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.3. Longitud de arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.4. Reparametrizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.5. Teor´ıa local de curvas parametrizadas por longitud de arco . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.6. Evoluta vs evolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. SUPERFICIES EN R3. 25. 3.1. Superficies param´ etricas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.2. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.3. Puntos y valores regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.4. Cambio de par´ ametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.5. Funciones diferenciables sobre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.7. Orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. iii.

(6) 4. ´ METRICA SOBRE SUPERFICIES 4.1. 5. 6. 7. 41. 4.2. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.3. Isometr´ıas entre superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. ´ DE GAUSS APLICACION. 41. 53. 5.1. Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 5.2. Curvaturas sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 5.3. Coeficientes de la segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 5.4. Estudio de superficies mediante polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.5. Aplicaci´ on de Gauss en coordenadas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.6. S´ımbolos de Christofell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5.7. L´ıneas asint´ oticas y l´ıneas de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. SUPERFICIES REGLADAS. 71. 6.1. Definici´ on y tipos de superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 6.2. Superficies regladas no cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 6.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. ´ GEODESICAS. 77. 7.1. Campo vectorial y derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 7.2. Paralelismo Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 7.3. Existencia y unicidad de geod´ esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 7.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. iv.

(7) CAPÍTULO 1. ´ ESPACIO METRICO Rn 1.1. Producto escalar. Recordemos que Rn es el espacio vectorial formado por las n-tuplas (x1 , . . . , xn ), donde cada xi pertenece al conjunto R de los n´ umeros reales, equipado con las operaciones: (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), para todo (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ; λ · (x1 , . . . , xn ) = (λ · x1 , . . . , λ · xn ), para todo (x1 , . . . , xn ) ∈ R1 y todo λ ∈ R. Otra operaci´ on importante definida sobre Rn es aquella conocida como producto escalar, definida por x·y =. n X. xi · yi , para todo x = (x1 , . . . , xn )ey = (y1 , . . . , yn ) en Rn ,. i=1. la cual tiene las siguientes propiedades: (1) x · (y + w) = x · y + x · w. (2) (λx) · y = λ(x · y). (3) · es definida positiva: x · x ≥ 0 para todo x ∈ Rn . Más a´ un, x · x = 0 si, y sólo si, x = 0. Proposici´ on 1.1.1 (Desigualdad de Schwarz). (x · y)2 ≤ x2 · y 2 , para todo x, y ∈ Rn .. El valor ||x|| :=. √. x · x es conocido como la norma del vector x.. 1.

(8) Usando el producto escalar se define la distancia entre dos vectores x e y: d(x, y) := ||x − y||.. Proposici´ on 1.1.2 (Desigualdad triangular). d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).. 1.2. Transformaciones que conservan el producto escalar. Sea T : Rn → Rn una transformaci´ on lineal tal que T (x · y) = T (x) · T (y). Note que este tipo de transformaciones preservan la norma de cualquier vector, y por ende la distancia entre dos vectores cualesquiera. En otras palabras, T es una isometr´ıa. Entre todas las isometr´ıas, tenemos dos tipos destacables que son: (1) Traslaciones: Fijemos un vector x0 ∈ Rn . La transformación Tx0 : Rn → Rn definida por Tx0 (x) = x + x0 es conocida como traslaci´ on con respecto a x0 . (2) Rotaciones: Sea 0≤θ ≤ 2π fijo. La transformación Tθ : R2 → R2 definida por Tθ (x1 , x2 ) = cos(θ) sen(θ) x1 · se conoce como rotación a razón de θ. −sen(θ) cos(θ) x2. Ejercicio 1.2.1. Demuestre que x · y = Tθ (x) · Tθ (y). 2.

(9) 1.3. Topolog´ıa del espacio eucl´ıdeo. Usando el concepto de distancia se puede definir una topolog´ıa en Rn , para todo x ∈ Rn . Se define B (x) = {y ∈ Rn : ||x − y|| < } como la bola abierta de centro x y radio .. Un conjunto U ⊆ Rn es abierto si para todo x ∈ U existe = (x) > 0 tal que B (x) ⊆ U .. Un conjunto V ⊆ Rn es cerrado si V c = Rn − V es abierto.. Si W es un conjunto cualquiera de Rn , se denota por int(W ) su interior, el cual es abierto, y por W a su clausura, la cual es cerrada. 3.

(10) 1.4. Aplicaciones continuas. Sea x un punto en Rn . Un conjunto U es un entorno de x si U es un abierto tal que x ∈ U . Una aplicaci´ on F : U ⊆ Rn → Rm es continua en un punto x0 ∈ U si para todo > 0 existe δ > 0 tal que F (U ∩ B (x0 )) ⊆ B (F (x0 )).. Ejemplo 1.4.1. Sea L : Rn → Rm una transformación lineal, es decir L(ax + by) = aL(x) + bL(y), para todo a, b ∈ R y x, y ∈ Rn . Sea   a11 · · · a1n  ..  .. (aij ) =  ... . .  am1 la matriz asociada a L. Tenemos que y = L(x) está  x1  .. (aij ) ·  .. ···. dado por la multiplicación    y1   ..   =  . ,. xn donde yi = Entonces:. Pn. j=1. amn. ym. aij xj , para cada i = 1, . . . , m. La norma de L está definida por ||L|| :=. ||L(x)||2 =. m X j=1. yj2 =. m n X X j=1. !2 ≤. aij xi. i=1. m X. n X. j=1. i=1. ! a2ij. ·. n X. qP. n i=1. Pm. j=1. a2ij .. !!2 x2i=1. i=1. ||L(x)||2 ≤ ||L||2 · ||x||2 . Para cualquier x0 ∈ Rn , se sigue que ||L(x) − L(x0 )||2 ≤ ||L||2 · ||x − x0 ||. Por lo tanto, para > 0, basta tomar δ = /||L||2 y tenemos que L es continua. 4.

(11) 1.5. Diferencial en Rn. Sea L(Rn , Rm ) el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales Rn → Rm , el cual es isomorfo a Rn·m . Si L, L0 ∈ L(Rn , Rm ) y λ ∈ R, se define la suma y el producto por un escalar como sigue: (L + L0 )(x) := L(x) + L0 (x), para todo x ∈ Rn . (λL)(x) := λL(x), para todo x ∈ Rn . Si (aij ) y (a0ij ) son las matrices asociadas a L y L0 respectivamente, la matriz asociada a L + L0 está dada por (aij + a0ij ), mientras que la matriz asociada a λL viene dada por (λaij ). Sea F : U ⊆ Rn → Rm una funci´ on continua (en cada punto de U ), donde U es un abierto. Se dice que F es diferenciable en x0 ∈ U si existe una transformación lineal dFx0 tal que Limh→0. ||F (x0 + h) − F (x0 ) − dFx0 (h)|| = 0. ||h||. La transformaci´ on dFx0 tiene una u ńica matriz asociada, conocida como la matriz jacobiana de F en x0 . Si F (x) = (F1 (x), . . . , Fm (x)), entonces dicha matriz viene expresada como:. dFx0. 1.6. ∂F1 ∂x1 (x0 ). ···  . .. .. = . ∂Fm (x ) · · · 0 ∂x1 . ∂F1 ∂xn (x0 ). .  .. . . ∂Fm ∂xn (x0 ). Aplicaciones entre abiertos de un espacio m´ etrico. Una aplicaci´ on continua F : U ⊆ Rn → Rm , donde U es abierto, es un homeomorfismo si es biun´ıvoca y bocontinua, es decir, si existe una aplicaci´ on F −1 : F (U ) ⊆ Rm → U ⊆ Rn tal que F −1 (F (x)) = x para todo −1 x ∈ U , F (F (y)) = y para todo y ∈ F (U ), F es continua en U y F −1 es continua en F (U ).. Un homeomorfismo F es un difeomorfismo si además F y F −1 son diferenciables. Si las derivadas parciales de F y F −1 son continuas hasta el orden k, diremos que el difeomorfismo es de clase C k . 5.

(12) Teorema 1.6.1 (Teorema de la Funci´ on Inversa). Sea F : U ⊆ Rn → Rm de clase C k y tal que dFx0 es un isomorfismo, para alg´ un punto x0 ∈ U . Entonces F es un difeomorfismo entre un entorno W de x0 y F (W ).. Ejemplo 1.6.1. Sea F : I ⊆ R → R3 una aplicación continua. Tenemos que F es de la forma F (t) = (x(t), y(t), z(t)), donde dFt0 = (x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )). Si dFt0 6= 0, entonces (x0 (t0 ), y 0 (t0 ), z 0 (t0 )) representa en vector tangente a la curva F (t) en (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )).. 6.

(13) CAPÍTULO 2. CURVAS REGULARES El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar ciertos conjuntos de R3 llamados ”curvas”, que son unidimensionales y se les puede aplicar los métidos del c´ alculo para caracterizarlas.. 2.1. Curvas param´ etricas. Definici´ on 2.1.1. Sea α : I ⊆ R → Rn una aplicación de I, un intervalo abierto, a Rn (para n = 2 o 3), diferenciable. Esta aplicaci´ on se denomina curva param´ etrica α(t) = (x(t), y(t), z(t)) con x(t), y(t) y z(t) diferenciables. El intervalo I es de la forma (a, b), y puede incluir los casos a = −∞ y/o b = ∞. El conjunto de puntos de Rn dados por (x(t), y(t), z(t)), con t ∈ I, se denomina traza de α. La variable t se conoce como par´ ametro de α. El vector α0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) se denomina vector tangente (o vector velocidad en términos f´ısicos).. Ejemplo 2.1.1. (1) Sea α : (0, 2π) → R2 la curva dada por α(t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos que, para x(t) = cos(t) y y(t) = sen(t), x2 (t) + y 2 (t) = 1, por lo que la traza de α está dada por la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1. 7.

(14) (2) La curva β : (0, π) → R2 dada por (cos(2t), sen(2t)) posee la misma traza que la curva α dada en el ejemplo anterior, pero con diferente velocidad: β 0 (t) = (−2sen(t), 2cos(2t)) = 2α0 (t). Se puede decir que β es dos veces m´ as r´ apida que α.. (3) Parametrizaci´ on racional del c´ırculo: Consideramos la familia de rectas que pasan por el punto (−1, 0). En general, estas rectas tienen por ecuación y = t(x + 1). Escogemos para cada recta el punto perteneciente a la circunferencia x2 + y 2 = 1.. Para ello, sustitu´ımos y = t(x + 1) en x2 + y 2 = 1, y nos queda: x2 + t2 (x + 1)2 = 1 x2 − 1 + t2 (x + 1)2 = 0 (x + 1)(x − 1) + t2 (x + 1)2 = 0 (x + 1)[x − 1 + t2 (x + 1)] = 0 (1 + t2 )x = 1 − t2 , tomando x 6= −1 x(t) =. 1 − t2 . 1 + t2. 2 2t = 1+t Sustituyendo, obtenemos y(t) = t 1−t + 1 As´ı la curva α : R → R2 dada por α(t) = 2 2. 1+t 2 1−t 2t es una parametrizaci´ on de la circunferencia x2 + y 2 = 1, pero sin el punto (−1, 0). Note 1+t2 , 1+t2 que α(t) → (−1, 0) si t → ∞ o si t → −∞. 8.

(15) (4) H´ elice: La curva α : I → R3 dada por α(t) = (a · cos(t), b · sen(t), b · t), con a, b ∈ R, es una hélice contenida en el cilindro x2 + y 2 = a2 , de paso 2πb.. (5) C´ uspide: Sea α : R → R2 la curva dada por α(t) = (t3 , t2 ). La traza de α está dada por el conjunto de puntos (x, y) tales que y 3 − x2 = 0. Para esta curva, se tiene α0 (0) = (0, 0). Note que no puede definirse un vector tangente a α en (0, 0).. (6) Lazo: Sea α : R → R2 la curva dada por α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4). Note que α(−2) = α(2) = (0, 0). Esta curva se conoce como lazo.. 9.

(16) Ejercicio 2.1.1. Parametrice racionalmente las siguientes curvas: (a) y − y0 = a · (x − x0 )2 . (b). (x−x0 )2 a2. +. (y−y0 )2 b2. = 1.. (c). (x−x0 )2 a2. −. (y−y0 )2 b2. = 1.. 2.2. Curvas regulares. En los ejemplos anteriores, vimos que para la curva α : R → R2 dada por α(t) = (t3 , t2 ) es imposible definir un vector tangente en el punto (0, 0). Este problema se evita cuando restringimos nuestro estudio de curvas paramétricas a un tipo especial de ellas conocido como curvas regulares. Definici´ on 2.2.1. Sea α : I ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Si α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I, entonces decimos que α es una curva regular. Esto nos permite construir un campo vectorial (campo tangente sobre la trayectoria de α). Si α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I, se define la recta tangente sobre cada punto α(t), parametrizada por s · α0 (t) + α(t).. 2.3. Longitud de arco de una curva. Sea α : I ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Consideremos una partición de I = [a, b] dada por a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b.. 10.

(17) Pn Denotaremos por l la longitud de α entre α(a) y α(b). Tenemos l ≈ i=1 |α(ti ) − α(ti−1 )|. Por el Teorema 0 del Valor Medio para la derivada, un ζi ∈ (ti−1 , ti ) y Pn se tiene |α(ti ) − α(ti−1 )| = |α (ζi )|(ti − ti−1 P),n para alg´ para cada i. Nos queda l ≈ i=1 |α0 (ζi )|(ti − ti−1 ). Tomando el l´ımite de i=1 |α0 (ζi )|(ti − ti−1 ) cuando n → ∞, tenemos que la integral Z b l := |α0 (u)|du a. define la longitud de arco de la curva α entre α(a) y α(b). Con este cálculo, se define además la funci´ on l : I → R≥0 longitud de arco Z t l(t) = |α0 (u)|du. a. Si α(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces l(t) viene dada por l(t) =. Rtp a. (x0 (u))2 + (y 0 (u))2 + (z 0 (u))2 du.. Ejemplo 2.3.1. Consideremos la parametrización del c´ırculo unitario α(t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos R 2π α0 (t) = (−sen(t), cos(t)), |α0 (t)| = 1 y por ende l = 0 1du = 2π. De forma similar, se tiene que la funci´ on longitud de arco viene dada por la funci´ on identidad. Definici´ on 2.3.1. Sea α : I ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Si |α0 (t)| = 1 para todo t ∈ I, diremos que α est´ a parametrizada por longitud de arco o que es de velocidad unitaria.. Ejercicio 2.3.1. Calcule la longitud del arco del c´ırculo unitario dado por una parametrización racional.. 2.4. Reparametrizaci´ on. Teorema 2.4.1. Si α : (a, b) ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) es una curva regular, entonces existe una reparametrizaci´ on β de α tal que β : (0, l) → Rn es de velocidad unitaria, donde l es la longitud de arco de α.. Rt Demostraci´ on: Por definici´ on, l(t) = a |α0 (u)|du. Note que l(t) es creciente porque l0 (t) > 0 para todo t ∈ (a, b). De donde l es un difeomorfismo. Definimos β(s) = (α ◦ l−1 )(s). Tenemos el diagrama conmutativo α (a, b) R. l (t ). β (0, l). Ahora veamos que β est´ a parametrizada por longitud de arco: β 0 (s) = (α ◦ l−1 )0 (s) = α0 (l−1 (s)) · (l−1 )0 (s) =. α0 (l−1 (s)) α0 (t) = 0 , donde l0 (t) > 0 con t = l−1 (s). 0 l (t) |α (t)|. |β 0 (s)| = 1.. 11.

(18) Ejemplo 2.4.1. Sea α : (0, 2π) → R2 la curva dada por α(t) = (r · cos(t), r · sen(t)) (parametrizaci´ on trigonométrica del c´ırculo x2 + y 2 = 1). Tenemos α0 (t) = (−r · sen(t), r · cos(t)) y |α0 (t)| = r. La longitud de arco viene dada por l(t) = r · t = s y l = 2πr. De donde t = s/r = l−1 (s). Por lo tanto, β : (0, 2π) → R2 tiene la f´ ormula β(s) = (α ◦ l−1 )(s) = (r · cos(s/r), r · sen(s/r)). Además, s s s s 1 1 , r · · cos = −sen , cos , β 0 (s) = −r · · sen r r r r r r y se sigue f´ acilmente que |β 0 (s)| = 1.. 2.5. Teor´ıa local de curvas parametrizadas por longitud de arco. Sea α : I ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) una curva regular. En el caso que α no satisface |α0 | ≡ 1, ¿qué mide |α0 |? F´ısicamente, |α0 (t)| representa la rapidez de α. ¿Qué mide |α00 (s)| cuando |α0 | ≡ 1? ¿Qué tanto se despega α de su vector tangente? En esta sección resolveremos estas preguntas introduciendo nuevos conceptos.. Definici´ on 2.5.1. Sea α : I ⊆ R → Rn (con n = 2, 3) parametrizada por longitud de arco, valor k(s) := |α00 (s)| se conoce como la curvatura de α.. Ejemplo 2.5.1.. (1) Si α : R → R3 viene dada por α(s) = s · ~a + ~b, donde ~a y ~b son vectores unitarios de R3 , se tiene que α0 (s) = ~a, |α0 (s)| = 1 y α00 (s) = 0. Por lo que k(s) = 0. En otras palabras, toda recta parametrizada por longitud de arco tiene curvatura 0. El rec´ıproco de este hecho también es cierto: Si α(s) es una curva regular parametrizada por longitud arco cuya curvatura es 0, entonces α es una recta o un segmento de recta. En efecto, si |α0 (s)| = 0 para todo s, se tiene que α0 (s) = ~a, para alg´ un vector constante ~a. Integrando de nuevo, se tiene α(s) = s · ~a + ~b, para alg´ un otro vector ~b. (2) La curva α : (0, 2πr) → R2 dada por α(s) = r · cos rs , r · sen rs está parametrizada por longitud de arco, pues α0 (s) = −sen rs , cos rs y |α0 (s)| = 1. Por otro lado, α00 (s) = − 1r · cos rs , − 1r · sen rs q 2 2 y k(s) = − 1r · cos rs + − 1r · sen rs = 1r . Por lo tanto, la curvatura de todo c´ırculo es el inverso multiplicativo de su radio.. Definici´ on 2.5.2. Se define el vector normal a una curva parametrizada por longitud de arco como el vector α00 (s) unitario ~n(s) := |α 00 (s)| .. Este vector est´ a orientado hacia la concavidad de α. Derivando la relación α0 (s) · α0 (s) = 1, se tiene 00 0 2α (s) · α (s) = 0. Como α00 (s) = k(s)~n(s), nos queda k(s)(~n(s) · α0 (s)) = 0, es decir ~n(s) ⊥ α0 (s). La notaci´ on usual para el vector velocidad α0 (s) que usaremos a partir de ahora es ~t(s) = α0 (s). 12.

(19) Definici´ on 2.5.3. Si n = 3, sobre cada punto de α(s) se asocia un plano definido por los vectores ~n(s) y ~t(s). Este plano se denomina plano osculador. En términos paramétricos, este plano tiene por fórmula (u, v) 7→ u~n(s) + v~t(s) + α(s).. Definici´ on 2.5.4. Dada una curva regular α : I ⊆ R → R3 parametrizada por longitud de arco, el vector ~b(s) := ~t(s) × ~n(s) se conoce como vector binormal de α en el punto α(s). Note que ~b(s) es unitario, y que adem´ as es ortogonal a ~t(s) y ~n(s).. Definici´ on 2.5.5. Dada una curva regular α : I ⊆ R → R3 parametrizada por longitud de arco, al triple de vectores (~t(s), ~n(s), ~b(s)) se le conoce como triedro de Fr´ enet-Serret.. Proposici´ on 2.5.1 (Propiedades). (1) |~t(s)| = |~n(s)| = |~b(s)| = 1. (2) ~t0 (s) = k(s)~n(s). Es otras palabras, k(s) mide c´ uanto se despega α(s) de su recta tangente. (3) ~t(s) ⊥ ~n(s), ~t(s) ⊥ ~b(s), ~n(s) ⊥ ~b(s). Tenemos que ~b(s) · ~t(s) = 0 implica ~b0 (s) · ~t(s) = ~b0 (s) · ~t(s) + k(s)(~b(s) · ~n(s)) = ~b0 (s) · ~t(s) +~b(s) · ~t0 (s) = 0. Por otro lado, ~b(s) · ~b(s) = 1 implica ~b0 (s) · ~b(s) = 0. De esto se deduce que ~b0 (s)||~n(s) (~b0 (s) y ~n(s) son paralelos). 13.

(20) Definici´ on 2.5.6. Se define la torsi´ on de α en α(s) al escalar τ tal que ~b0 (s) = −τ~n(s). Este escalar mide, en cierto sectido, cu´ anto se despega la curva de su plano osculador.. Ejercicio 2.5.1 (Propiedades). Usando ~t(s), ~n(s) y ~b(s) se puede describir la variación de estos vectores: (1) ~t0 (s) = k(s)~n(s). (2) ~n0 (s) = −k(s)~t(s) + τ~b(s). (3) ~b0 (s) = −τ~n(s). Estas relaciones pueden representarse mediante la siguiente multiplicación de matrices:     00   ~t (s) ~t(s) 0 k(s) 0  −k(s) 0 τ  ·  ~n(s)  =  ~n0 (s)  . ~b0 (s) ~b(s) 0 −τ 0. Ejemplo 2.5.2. Calculemos la torsi´ on de la hélice circular α(t) = (a · cos(t), a · sen(t), b · t). Primero tenemos √ √ Rt√ 2 + b2 du = t a2 + b2 . Redada por s(t) = a que |α0 (t)| = a2 + b2 . Por lo que la longitud de arco viene 0 . paremetrizando por longitud de arco, nos queda β(s) = a · cos √a2s+b2 , a · sen √a2s+b2 , √abs . Luego, 2 2 +b a s s √ √ cos , sen ,0 . β 0 (s) = √a21+b2 −a · sen √a2s+b2 , a · cos √a2s+b2 , b y β 00 (s) = − a2 +b 2 a2 +b2 a2 +b2. Entonces, k(s) = |β 00 (s)| =. a a2 +b2 .. Ahora calculemos el vector binormal y su derivada:.

(21)

(22)

(23)

(24) i j k

(25)

(26)

(27) −a·sen √ s

(28) a·cos √ 2s 2

(29)

(30) 2 2 a +b a +b ~b(s) = ~t(s) × ~n(s) =

(31)

(32) √ √ √ b a2 +b2 a2 +b2 a2 +b2

(33)

(34)

(35)

(36)

(37) −cos √a2s+b2

(38) −sen √a2s+b2 0 s b s a b · sen √ , −√ · cos √ ,√ = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 s s b b b ~b0 (s) = · cos √ · sen √ · ~n(s). , 2 ,0 = − 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a +b a +b Por lo tanto, τ =. b a2 +b2 .. Ahora consideremos una curva regular α : I ⊆ R → R2 con curvatura no nula, no necesariamente paremetrizada 0 por longitud de arco. Sabemos que s0

(39) (t) = |α

(40) (t)| representa la rapidez de la curva. Recordemos que 0

(41)

(42) ~ α (t) ~t(t) = 0 . Luego, k(t) = k(t(s)) =

(43) dt · dt

(44) . Como t = t(s(t)), se tiene t0 (s(t)) · s0 (t) = 1, por lo que |α (t)|. t0 (s(t)) =. 1 |α0 (t)| .. Luego, k(t) =. |~ t0 (t)| |α0 (t)|. =. dt ds x0 (t)·y 00 (t)−x00 (t)·y 0 (t) , ((x0 (t))2 +(y 0 (t))2 )3/2. si α(t) = (x(t), y(t)).. Se demostr´ o que k ≡ 0 si, y s´ olo si, α(t) es parte de una recta. Además vimos que si α(t) parametriza una circunferencia de radio r, entonces su curvatura viene dada por 1/r. ?1Se cumple el rec´ıproco para este tipo de curva y curvatura?. Teorema 2.5.1. Si α es una curva regular plana con curvatura constante en I = (a, b), entonces α(t) es un arco de una circunferencia. 14.

(45) Demostraci´ on: Supongamos, sin pérdida de generalidad, que α está parametrizada por longitud de arco. Sabemos que ~n0 (s) = −k(s)~t(s) + τ~b(s) = −k~t(s). Consideremos la curva β(s) = α(s) + k1 ~n(s). Tenemos β 0 (s) = α0 (s) + k1 ~n0 (s) = ~t(s) + k1 · (−k~t(s)) = 0. Se sigue que βs = ~v constante, es decir 1 ~v = αs + k1 ~n(s). Por lo que α(s) − ~v = − k1 ~n(s). Por tanto, |α(s) − ~v | = |k| , es decir, α(s) está contenida en una circunferencia de centro ~v y radio 1/|k|.. Teorema 2.5.2. Sea k : I ⊆ R → R una función continua a trozos. Entonces, una curva con velocidad unitaria β : I → R2 y curvatura k(s) est´ a dada por Z Z cos(θ(s))ds + c1 , sen(θ(s))ds + c2 , β(s) = donde θ(s) =. R. k(s)ds + θ0 .. p Demostraci´ on: Tenemos |β 0 (s)| = cos2 (θ(s)) + sen2 (θ(s)) = 1 y β 0 (s) = (cos(θ(s)), sen(θ(s))). Luego, β 00 (s) = (−θ0 (s) · sen(θ(s)), θ0 (s) · cos(θ(s))) y k(s) = |β 00 (s)| = |θ0 (s)|. Estas verificaciones prueban el teorema. Aunque podemos hacernos una pregunta válida: ¿De dónde salió β(s)? Resolviendo cierto sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.. Ejercicio 2.5.2. Hallar el sistema de EDO mencionado en la prueba anterior.. Siguiendo nuestro estudio de curvas no necesariamente parametrizadas por longitud de arco. Tenemos el siguiente ejercicio:. Ejercicio 2.5.3. Sea α : I ⊆ R → R3 con rapidez v(t) = |α0 (t)| = s0 (t) 6= 0. Entonces se verifica: (1) ~t0 (t) = v(t)k(t)~n(t). (2) ~n0 (t) = −v(t)k(t)~t(t) + v(t)τ (t)~b(t). (3) ~0 b(t) = −v(t)τ (t)~n(t).. Lema 2.5.1. Sea α : I ⊆ R → R3 una curva regular con velocidad v(t) no nula, entonces: (1) α0 (t) = v(t)~t(t). (2) α00 (t) = v 0 (t)~t(t) + v 2 (t)k(t)~n(t).. 15.

(46) Demostraci´ on: Como ~t(t) =. α0 (t) |α0 (t)|. =. α0 (t) v(t) ,. se tiene α0 (t) = v(t)~t(t). Derivando,. α00 (t) = v(t)~t0 (t) + v 0 (t)~t(t). Usando el ejercicio anterior, se obtiene α00 (t) = v 2 (t)k(t)~n(t) + v 0 (t)~t(t).. Teorema 2.5.3. Sea α : I → R3 una curva regular con curvatura no nula. Entonces: (1) ~t(t) =. α0 (t) |α0 (t)|. (2) ~b(t) =. α0 (t)×α00 (t) |α0 (t)×α00 (t)| .. =. α0 (t) v(t) .. (3) ~n(t) = ~b(t) × ~t(t). (4) k(t) =. |α0 (t)×α0 (t)| . |α0 (t)|3. (5) τ (t) =. (α0 (t)×α00 (t))·α000 (t) . |α0 (t)×α00 (t)|2. Demostraci´ on: (1) y (3) se siguen a partir de la definición. Para probar (2) y (4), hacemos los siguientes c´ alculos: α0 (t) × α00 (t) = (v(t)~t(t)) × (v 0 (t)~t(t) + k(t)v 2 (t)~n(t)) = k(t)v 3 (t)~t(t) × ~n(t), |α0 (t) × α00 (t)| = |k(t)v 3 (t)~b(t)| = |k(t)v 3 (t)|, porque ~b(t) es unitario. De estas dos igualdades se sigue ~b(t) =. α0 (t)×α00 (t) |α0 (t)×α00 (t)|. y k(t) =. |α0 (t)×α00 (t)| . |α0 (t)|3. Basta probar (5).. (α0 (t) × α00 (t)) · α000 (t) = k(t)v 3 (t)~b(t) · α000 (t), α000 (t) = (α00 (t))0 = (v 0 (t)~t(t) + v 2 (t)k(t)~n(t))0 = v 00 (t)~t(t) + v 0 (t)~t0 (t) + (2v(t)v 0 (t) + v 2 (t)k 0 (t))~n(t) + v 2 (t)k(t)~n0 (t) (α0 (t) × α00 (t)) · α00 (t) = v 0 (t)k(t)v 3 (t)~t0 (t) · ~b(t) + k 2 (t)v 5 (t)~b(t) · ~n(t). Sabemos que ~n0 (t) = −v(t)k(t)~t(t) + v(t)τ (t)~b(t) y ~t0 (t) = v(t)k(t)~n(t). Entonces, (α0 (t) × α00 (t)) × α000 (t) = k 2 (t)v 5 (t)~b(t) · (−v(t)k(t)~t(t) + v(t)τ (t)~b(t)) = k 2 (t)v 6 (t)τ (t), (α0 (t) × α00 (t)) · α000 (t) k 2 (t)v 6 (t)τ (t) = = τ (t). 0 00 2 |α (t) × α (t)| (k(t)v 3 (t))3. Definici´ on 2.5.7. Una isometr´ıa es una transformación af´ın T : Rn × Rn → R (con n = 2, 3) que preserva el producto escalar: T p · T q = p · q. Se puede verificar que una isometr´ıa es el resultado de componer una traslaci´ on, rotaci´ on o reflexi´ on.. 16.

(47) Ejercicio 2.5.4. Si α : I → Rn es una curva regular, entonces la curvatura y la torsión de α son invariantes por isometr´ıas.. Teorema 2.5.4 (Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Curvas). Si dos curvas tienen dominio (a, b), velocidad unitaria, la misma curvatura (no nula) y la misma torsión, entonces existe una isometr´ıa T tal que T (α) = β.. Teorema 2.5.5. Dadas dos funciones diferenciables k(s) > 0 y τ (s) de dominio I = (a, b), para todo punto P ∈ R3 y un triedro ortogonal {~t0 , ~n0 , ~b0 }, existe una u ńica curva α : I → R3 , con α(a) = P , triedro de ~ ~ Frénet {t0 , ~n0 , b0 } en P con k(s) y τ (s) como funciones de curvatura y torsión, respectivamente.. Demostraci´ on: El primer objetivo es construir las funciones ~t(s), ~n(s) y ~b(s). Se plantea el siguiente sistema de EDO con condiciones iniciales:      0   ~t(s) ~t (s) 0 k(s) 0  ~t(a) = ~t0 , 0  −k(s) ~n(a) = ~n0 , 0 τ (s)  ·  ~n(s)  =  ~n (s)  ~ ~b(s) ~b0 (s) 0 −τ (s) 0 b(a) = ~b0 . Para la coordenada x, tenemos:   0     x~t(s) x~t(s) 0 k(s) 0  −k(s) 0 τ (s)  ·  x~n (s)  =  x~n0 (s)  x~0b (s) x~b (s) 0 −τ (s) 0.   x~t(a) = x~t0 , x~n (a) = x~n0 ,  x~b (a) = x~b0 .. Lo mismo para las coordenadas y y z. Como la matriz del sistema es invertible, dicho sistema tiene soluci´ on y es u ńica. As´ı se obtienen las funciones ~t(s), ~n(s) y ~b(s). Se define la curva α como α(s) = Rs ~t(u)du + P . Tenemos que α(a) = P y α0 (s) = ~t(s). Falta ver que ~t(s), ~n(s) y ~b(s) son unitarios y 0 ortogonales entre s´ı. Consideremos el siguiente sistema con condiciones iniciales:   n1 (s) = ~t(s) · ~t(s), n1 (a) = ~t0 · ~t0 = 1,     n2 (s) = ~n(s) · ~n(s), n2 (a) = ~n0 · ~n0 = 1,    n (s) = ~b(s) · ~b(s), n (a) = ~b · ~b = 1, 3 3 0 0 ~t(s) · ~n(s), n4 (a) = ~t0 · ~n0 = 0, n (s) =  4     n5 (s) = ~n(s) · ~b(s), n5 (a) = ~n0 · ~b0 = 0,    n6 (s) = ~b(s) · ~t(s), n1 (a) = ~b0 · ~t0 = 0. Derivando, obtenemos:  0 n1 (s) = 2k(s)n4 (s),     n0 (s) = −2k(s)n4 (s) + 2τ (s)n5 (s),    20 n3 (s) = −2τ (s)n5 (s), n04 (s) = τ (s)n6 (s),     n0 (s) = −k(s)n6 (s),    50 n6 (s) = −τ (s)n4 (s) + k(s)n5 (s). Este sistema tiene soluci´ on u ńica. De las condiciones iniciales se obtiene que n1 (s) = 1, n2 (2) = 1, n3 (s) = 1, n4 (s) = 0, n5 (s) = 0 y n6 (s) = 0.. 17.

(48) 2.6. Evoluta vs evolvente. Definici´ on 2.6.1. Sea α : I → R2 una curva regular con curvatura no nula. Un punto P ∈ R3 es el centro de curvatura de α en un punto Q de α, si existe una circunferencia C centrada en P , con el mismo vector tangente y la misma curvatura en Q. A dicho c´ırculo C se le conoce como c´ırculo osculatriz.. El c´ırculo osculatriz se ”parece” a la curva en un entorno de Q. Su radio viene dado por 1/kα (Q). Definici´ on 2.6.2. El conjunto de centros de curvatura de una curva regular α, con curvatura no nula, es conocido como evoluta de α, y viene expresado por la siguiente fórmula: Eα (t) = α(t) +. 1 Jα0 (t) |α0 (t)|2 = α(t) + 00 Jα0 (t), 0 kα (t) |α (t)| α (t) · Jα0 (t). donde Jα0 (t) = (−y 0 (t), x0 (t)). Ejemplo 2.6.1. (1) Es f´ acil ver que la evoluta de una circunferencia viene dada por su centro. (2) En el caso de una elipse (0, 2π) → (a · cos(θ), b · sen(θ)), la evoluta viene dada por 2 (2 − b2 ) b2 − a2 · cos3 (t), · sen3 (t) , (0, 2π) → a b y posee la siguiente gr´ afica:. El concepto inverso de evoluta es aquél de evolvente. Definici´ on 2.6.3. Sea β : (a, b) → R2 una curva regular con velocidad unitaria. La evolvente o involuta de β que pasa por β(c), con a < c < b, est´ a dada por la fórmula Iβ := β(s) + (c − s)β 0 (s). Si α es una curva regular sin velocidad unitaria, entonces su evolvente en α(c) está dada por Iα := α(t) + (sα (c) − sα (t)) 18. α0 (t) . |α0 (t)|.

(49) Ejemplo 2.6.2. Dada la circunferencia unitaria (0, 2π) → (cos(θ), sen(θ)), su evolvente viene dada por la siguiente espiral:. Ejercicio 2.6.1. Sea β : (0, l) → R2 una curva regular con velocidad unitaria. Sea Iβ (t) la evolvente de β por β(c), con 0 < c < l. Entonces la evoluta de Iβ (t) es la propia curva β.. 2.7. Problemas. Problema 2.7.1. Encuentre una curva parametrizada α(t) cuya traza es la circunferencia x2 + y 2 = 1 tal que α(t) es el c´ırculo en sentido horario con α(0) = (0, 1).. Problema 2.7.2. Sea α(t) una curva paramétrica que no pasa por el origen. Si α(t0 ) es el punto de la traza de α m´ as cercano al origen y α0 (t0 ) 6= 0, muestre que el vector posición α(t0 ) es ortogonal a α0 (t0 ).. Problema 2.7.3. Una curva paramétrica α(t) tiene la propiedad de que α00 (t) ≡ 0. ¿Qué podemos decir de α?. Problema 2.7.4. Sea α : I → R3 una curva paramétrica, con α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I. Muestre que |α(t)| es una constante no nula si, y s´ olo si, α(t) es ortogonal a α0 (t) para todo t ∈ I.. Problema 2.7.5. Sea α : I → R3 una curva paramétrica y sea v ∈ R3 un vector fijo. Asuma que α0 (t) es ortogonal a v para todo t ∈ I y que α(0) es también ortogonal a v. Demuestre que α(t) es ortogonal a v para todo t ∈ I.. Problema 2.7.6. Muestre que las tangentes a la curva regular α(t) = (3t, 3t2 , 2t3 ) hacen un ángulo constante con la l´ınea y = 0, z = x.. Problema 2.7.7. Sea OA = 2a el di´ ametro de S 0 y OY y AV las tangentes a S 0 en O y A, respectivamente. Sea r la semirecta dibujada desde O que corta a S 0 en C y a la l´ınea AV en B. En OB se marca el segmento OP = CB. Si tomamos r sobre O, el punto P describe una curva α llamada Cisoide de Diocles. 19.

(50) Demuestre: (a) La traza de α(t) viene dada por. . 2at2 2at3 1+t2 , 1+t2. . , donde t = tan(α) ∈ R.. (b) (0, 0) es un punto singular del Cisoide. (c) Cuando t → ∞, α(t) se acerca a la l´ınea x = 2a, y α0 (t) → (0, 2a). Luego, cuando t → ∞, la curva y su tangente se acercan a x = 2a, decimos que x = 2a es una as´ıntota del Cisoide. Problema 2.7.8. Sea α : (−1, +∞) → R2 dada por α(t) =. . 3at 3at2 1+t3 , 1+t3. . . Pruebe que:. (a) Para t = 0, α es tangente al eje X. (b) Cuando t → ∞, α(t) → (0, 0) y α0 (t) → (0, 0). (c) Tome la curva con orientaci´ on contraria. Ahora, cuando t → −1, la curva y su tangente se acercan a la recta x + y + a = 0. Problema 2.7.9. Dada la curva α(s) = a · cos. s c. . , a · sen. s c. . ,b ·. s c. . , donde s ∈ R y c2 = a2 + b2 .. (a) Muestre que s es la longitud de arco. (b) Determine la curvatura y la torsi´ on de α. (c) Determine el plano osculador de α. (d) Muestre que las l´ıneas que contienen a n(s) y pasan a través de α(s) encuentran al eje Z en un ´ angulo constante π/2. (e) Muestre que las l´ıneas tangentes a α hacen un ángulo constante con el eje Z. 0. 00. 000. (s))·α Problema 2.7.10. Muestre que la torsi´ on τ de α está dada por τ (s) = − (α (s)∧α |k(s)|2. (s). .. Problema 2.7.11. Una curva regular α tiene la propiedad que todas sus tangentes pasan a través de un punto fijo. (a) Pruebe que la traza de α es un segmento o una recta. 20.

(51) (b) Vale la conclusi´ on hecha en (a) si α no es regular. Problema 2.7.12. Si α(t) = (sen(2t), sen(2t)), donde t ∈ (0, π), demostrar que hα(t), α0 (t)i = 0 para todo t ∈ (0, π), e interpretar el resultado.. Problema 2.7.13. Si un punto se mueve en el plano seg´ un la ley α(t) = (R · cos(wt), R · sen(wt)), con t ∈ R, donde R y w son constantes, demostrar que |α(t)| = R1 · |α0 (t)|2 . Problema 2.7.14. Si una part´ıcula se mueve en el plano seg´ un la ley α(t) = (t2 − t − 1, t2 − 2t), con t ∈ R, encontrar v(t) y a(t), los vectores de velocidad y aceleración, y expresar el parámetro de longitud de arco s(t) medida desde t = 0, y hallar s0 (t) y s00 (t). Encontrar la curvatura k(t) y el vector normal principal n(t) para α.. Problema 2.7.15. (a) Si α : I → R3 es una curva regular y ϕ : (c, d) → (a, b) un difeomorfismo entre lo intervalos (c, d) y (a, b), demostrar que β(z) = α(ϕ(z)) es una curva regular. (b) Si ϕ es una funci´ on diferenciable tal que ϕ0 (z) > 0 para todo z ∈ [c, d], ϕ(c) = a y ϕ(d) = b, mostrar que ϕ es un difeomorfismo entre [c, d] y [a, b]. (c) Idem si ϕ0 (z) < 0, ϕ(d) = a y ϕ(c) = b. (d) Demostrar que ϕ(z) = −z es reparametrización de α : [a, b] → R3 que interviene en la orientaci´ on, y hallar el dominio de ϕ.. Problema 2.7.16. Demostrar que: (a) α(t) = (t, −t, t), con t ∈ R, es una recta que pasa por el origen. (b) β(z) = (z 2 , −z 2 , z 2 ), con z ∈ R, no es reparametrización de α. (c) γ(σ) = (eσ , −eσ , eσ ), con σ ∈ R, es parametrización de una semirecta de la recta de la parte (a). Problema 2.7.17. Dibujar la traza de la curva α : R → R2 dada por  2 2  (−e−1/t , e−1/t ) si t ∈ (−∞, 0), (0, 0) si t = 0, α(t) =  −1/t2 −1/t2 (e ,e ) si t = (0, +∞). Demostrar que α es diferenciable pero no regular.. Problema 2.7.18. El cicloide se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que describe un punto sobre una circunferencia de radio r, cuando ésta rueda sin deslizar a lo largo de una recta fija. Demostrar que esta curva est´ a dada por α(t) = (r · (t − sen(t)), r · (1 − cos(t))). 21.

(52) Problema 2.7.19. La curva cardioide se define como los puntos del plano de una circunferencia de radio a que rueda sobre otra circunferencia de radio a. Demuestre que dicha curva se puede parametrizar por β(t) = (2a · cos(t) · (1 + cos(t)), 2a · sen(t) · (1 + cos(t))).. Problema 2.7.20. Calcule la longitud de arco, la curvatura y bosqueje el gráfico de las siguientes curvas: (a) α(t) = a · (cos(t) + sen(t), sen(t) − t · cos(t)). (b) α(t) = (c · cosh(t/c), t). (c) β(s) = a · (cos3 (s), sen3 (s)). (d) β(t) = (t, t2 ). a·cos(t) a·sen(t)·cos(t) (e) α(t) = 1+sen , (Lemniscata de Bernoulli). 2 (t) 1+sen2 (t) Problema 2.7.21. Sea β : (0, π) → R2 dada por β(t) = sen(t), cos(t) + Ln tan entre el eje negativo de las Y y el vector β(t). Demostrar:. t 2. . , donde t es el ´ angulo. (a) β es diferenciable y regular, excepto en t = π/2. (b) β es simétrica respecto al eje de las X. (c) La longitud del segmento tangente a la curva entre el punto de tangencia y la intersección con el eje de las Y es constante e igual a 1. 22.

(53) Problema 2.7.22. Probar que si todas las normales de una curva pasan por un punto fijo, la curva es un arco de circunferencia. (Recta normal es la que contiene al vector principal).. Problema 2.7.23. Una curva α : I → R3 se llama h´ elice si las tangentes de α forman ángulos constantes con una direcci´ on fija ~u. Si α es una curva con curvatura y torsión no nulas en I, parametrizada por longitud de arco, demostrar: (a) Si α es una hélice, las normales principales son paralelas a un plano fijo. D E. (b) Si cos(θ) = ~t, ~u entonces sen(θ) = ~b, ~u para una conveniente elección de ~u. (c) Si α es una hélice, probar que. k(s) τ (s). (d) Si para una curva α la relaci´ on. k τ. es constante.. es constante, entonces ella es una hélice.. Problema 2.7.24. Desarrollando las f´ ormulas de Frénet-Serret, calcular ~t, ~n y ~b, y las funciones de curvatura y torsi´ on de la c´ ubica alabeada α(t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ), con t ∈ R. Demostrar que esta curva es una hélice, hallando ~u y θ. Verificar que no es una hélice circular. Problema 2.7.25. Sea α : I → R2 una curva con curvatura no nula en I. La curva β(t) = α(t) + t ∈ I, se llama evoluta de α. Demostrar:. ~ n(t) k(t) ,. con. (a) La tangente de la evoluta en t = t0 es la recta normal de α en t = t0 . 1 (b) Poniendo R(t) = k(t) , probar que la longitud de la evoluta entre β(t1 ) y β(t2 ) es igual al valor absoluto de |R2 − R1 |, donde Ri = R(ti ) para i = 1, 2.. 23.

(54) (c) Una curva α cuya evoluta es β se llama envolvente de β. Toda curva con k(t) 6= 0, para todo t, tiene infinitas envolventes, trayectorias ortogonales de su familia de rectas tangentes. Pueden construirse aplicando un hilo sobre β y estir´ andolo manteniéndolo tangete a β. Construya la envolvente de un c´ırculo. Problema 2.7.26. Usando las ecuaciones canónicas locales, demostrar que la curva α(s), proyección de una curva α sobre el plano osculador en α(0) = P , tiene en P igual curvatura que α.. 24.

(55) CAPÍTULO 3. SUPERFICIES EN R3 3.1. Superficies param´ etricas regulares. Definici´ on 3.1.1. Una superficie parametrizada es un conjunto de la forma S = X(U ), donde U es un subconjunto abierto de R2 y X : U → R3 es una aplicación diferenciable (llamada una parametrizaci´ on de S). Para la misma traza S = X(U ) pueden haber varias parametrizaciones.. Ejemplo 3.1.1.. (1) La aplicaci´ on X : U → R3 , con U = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v 2 < 1}, dada por p X(u, v) = (u, v, 1 − u2 − v 2 ) es una parametrizaci´ on del hemisferio norte de la esfera S 2 (sin incluir el ecuador).. (2) La aplicacin Y : V → R3 , con V = (0, π/2) × (0, 2π), dada por Y (u, v) = (sen(u) · cos(v), sen(u) · sen(v), cos(u)) es una parametrizacin del polo norte de la esfera S 2 , que no incluye ni el ecuador ni el meridiano 0. 25.

(56) Dada una parametrizaci´ on X : U ⊆ R2 → R3 , fijemos un punto q = (u0 , v0 ). Considere los abiertos 2 Iq = U ∩ {(u, v) ∈ R : v = v0 } and Jq = {(u, v) ∈ R2 : u = u0 }. La curva σq (u) = X(u, v0 ), con u ∈ Iq , se conoce como la u-curva que pasa por q. De manera similar, τ (v) = X(u0 , v), con v ∈ Jq , es conocida como la v-curva que pasa por q.. Definici´ on 3.1.2. Una superficie parametrizable S, con parametrización X : U ⊆ R2 → R3 , se dice regular si dXq es inyectiva, para todo punto q ∈ U . El diferencial dXq es la matriz dada por  dXq = . ∂x ∂u (q) ∂y ∂u (q) ∂z ∂u (q). ∂x ∂v (q) ∂y ∂v (q) ∂z ∂v (q).   , donde X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).. ∂y ∂x ∂z Recuerde que dXq es inyectiva (o tiene rango 2) si, y sólo si, los vectores Xu = ∂u (q), ∂u (q), ∂u (q) y ∂y ∂z Xv = ∂x ∂v (q), ∂v (q), ∂v (q) son linealmente independientes (o equivalentemente, Xu × Xv 6= 0). Note que la inyectividad de dXq permite definir un plano tangente en X(q), dado por el conjunto Tq (S) := {Xu (q) · t + Xv (q) · h + X(q) : (t, h) ∈ R2 }.. Ejemplo 3.1.2. Los siguientes son ejemplos de superficies paramétricas ragulares: (1) Esfera unitaria S 2 : Consideremos la parametrización X(u, v) = (sen(u)·cos(v), sen(u)·sen(v), cos(u)), sobre el abierto (0, π) × (0, 2π), que cubre a toda la esfera menos al meridiano 0. Calculemos dXq y sus menores: 26.

(57) .  cos(u) · cos(v) −sen(u) · sen(v) =  cos(u) · sen(v) sen(u) · cos(v)  , −sen(u) 0 cos(u) · cos(v) −sen(u) · sen(v) = , det(M1 ) = sen(u) · cos(u), cos(u) · sen(v) sen(u) · cos(v) cos(u) · sen(v) sen(u) · cos(v) = , det(M2 ) = sen2 (u) · cos(v), −sen(u) 0 cos(u) · cos(v) −sen(u) · sen(v) = , det(M3 ) = −sen2 (u) · sen(v). −sen(u) 0. dXQ M1 M2 M3 Entonces tenemos. det(M1 ) = 0 ⇐⇒ sen(u) = 0 o cos(u) = 0 ⇐⇒ u = π/2, det(M2 ) = 0 ⇐⇒ sen(u) = 0 o cos(v) = 0 ⇐⇒ v = π/2 o v = 3π/2, det(M3 ) = 0 ⇐⇒ v = π. Estas menores no se anulan simult´ aneamente, lo que significa que la matriz de la diferenciable es de rango 2, para todo q ∈ U . Es decir, X(U ) es regular. (2) Cono circular: El bicono circular tiene por ecuación√z 2 = z 2 + y 2 . Su parte superior acepta la parametrizaci´ on X : R2 → R3 dada por X(u, v) = (u, v, u2 + v 2 ).. Calculamos la diferencial dXq , para cualquier q ∈ R2 :  dXq = . 1 0. 0 1. √ u u2 +v 2. √ v u2 +v 2.  .. Vemos que dXq no es diferenciable en (0, 0). Ahora consideremos Y : R>0 × (0, 2π) → R3 dada por Y (u, v) = (u · cos(v), u · sen(v), u). En dibujos, tenemos:. 27.

(58) En este caso, la diferencial dXq viene dada por   cos(v) −u · sen(v) dXq =  sen(v) u · cos(v)  . 1 0 Las menores nos dan: det(M1 ) = u, det(M2 ) = −u · cos(v) y det(M3 ) = u · sen(v), las cuales no se anulan simult´ aneamente pues u > 0. (3) Superficie de tangente a una curva alabeada (no plana): Sea α : I → R3 una curva alabeada y regular con |α0 | ≡ 1. Consideremos la aplicación X : R × I → R3 dada por X(u, v) = α(s) + u · ~tα (s).. El diferencial dXq = (Xu , Xs ) tiene por componentes Xu = ~tα (s), y Xs = ~tα (s) + u · ~t0α (s) = ~tα (s) + u · kα (s) · ~nα (s). Luego, Xu × Xs = ~tα (s) × (~tα (s) + u · kα (s) · ~nα (s)) = ~tα (s) × ~tα (s) + u · kα (s) · ~tα (s) × ~nα (s) = u · kα (s) · ~bα (s). Tenemos que Xu × Xs = 0 si, y s´ olo si, u = 0 o kα (s) = 0 o ~bα (s) = 0. Como ~bα (s) 6= 0, la superficie deja de ser regular sobre la curva α y cuando la curvatura se anula. (4) Tubos alrededor de una curva: Considérese una curva regular α : I → R3 parametrizada por longitud de arco. Fijemos una constante r > 0. Consideremos cada triedro de Frénet-Serret {~t(s), ~n(s), ~b(s)} en α(s). Para θ ∈ (0, θ), la combinación r · cos(θ) · ~n(s) + r · sen(θ) · ~b(s) representa un punto de la circunferencia de radio r, centrada en α(s) y contenida en el plano perpendicular a la recta generada por ~t(s).. La parametrizaci´ on X(s, θ) = r · cos(θ) ·~n(s) + r · sen(θ) ·~b(s) define un tubo circular de radio r alrededor de la curva α, exceptuando el corte correspondiente a θ = 0. 28.

(59) Ahora calculamos la diferencial dXq : Xs = r · cos(θ) · ~n0 (s) + r · sen(θ) · ~b0 (s), Xθ = −r · sen(θ) · ~n(s) + r · cos(θ) · ~b(s), ~n0 (s) = −k(s) · ~t(s) + τ (s) · ~b(s), ~b0 (s) = −τ (s) · ~n(s), Xs = r · cos(θ) · (−k(s) · ~t(s) + τ (s) · ~b(s)) + r · sen(θ) · (−τ (s) · ~n(s)) = −r · cos(θ) · k(s) · ~t(s) − r · sen(θ) · τ (s) · ~n(s) + r · cos(θ) · τ (s) · ~n(s), Xs × Xθ = r2 · sen(θ) · cos(θ) · k(s) · ~t(s) × ~n(s) − r2 · cos2 (θ) · k(s) · ~t(s) × ~b(s) = r2 · sen(θ) · cos(θ) · k(s) · ~b(s) + r2 · cos2 (θ) · k(s) · ~n(s). Como ~b(s) y ~n(s) son linealmente independientes y r > 0, tenemos que Xs × Xθ = 0 si, y s´ olo si, sen(θ) · cos(θ) · k(s) = 0 y cos2 (θ) · k(s) = 0. Tenemos que esta superficie no es regular en los puntos donde la curvatura se anula. Para aquellos puntos con curvatura no nula, las igualdades anteriores se satisfacen simult´ aneamente si, y s´ olo si, θ = π/2 o θ = 3π/2.. 3.2. Superficies regulares. Definici´ on 3.2.1. Un subconjunto S de R3 es una superficie regular si, y sólo si, para todo punto p ∈ S existe una aplicaci´ on X : U ⊆ R2 → V ⊆ R3 , donde U y V son abiertos de R2 y S respectivamente, tal que: (1) Existe q ∈ U que satisface X(q) = p ∈ V ∩ S. (2) X es un homeomorfismo de V en U . (3) La diferencial dXq es inyectiva para todo q ∈ U .. Ejemplo 3.2.1. (1) El paraboloide circular S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 } es un ejemplo de superficie regular. Consideremos la aplicaci´ on X : R2 → R3 dada por X(u, v) = (u, v, u2 + v 2 ), la cual cubre a toda S. Notamos que esta aplicaci´ on continua e invertible, cuya inversa es la proyección (x, y, z) 7→ (x, y), que también es continua. Por lo tanto, X es un homeomorfismo. 29.

(60) Al calcular la diferencial para todo punto q de R2 , tenemos   1 0 1 , dXq =  0 2u 2v que es inyectiva pues el determinante de. 1 0. 0 1. es siempre no nulo. Por lo tanto, S es una superficie. regular. (2) Consideremos la esfera de radio r > 0, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = r2 }. Las seis parametrizaciones p (u, v) 7→ (u, v, ± r2 − u2 − v 2 ), p (u, v) 7→ (u, ± r2 − u2 − v 2 , v), p (u, v) 7→ (± r2 − u2 − v 2 , u, v), con (u, v) ∈ U = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v 2 < r2 }, cubren a toda la esfera y son homeomorfismos con diferenciales inyectivas. Por lo tanto, S es regular.. (3) Recordemos que conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 } representa al bicono circular de eje Z. Esta superficie no es regular, pues se presenta un problema en el punto (0, 0, 0). ¿Cuál?. 30.

(61) Teorema 3.2.1. Sea f : U ⊆ R2 → R una función diferenciable. Entonces el gráfico de f es una superficie regular.. Demostraci´ on: Se define la siguiente parametrización para S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y) y (x, y) ∈ U }: X : U → R3 dada por X(u, v) = (u, v, f (u, v)). Note que es continua y que su inversa viene dada por la proyecci´ on X −1 = π|S sobre el plano XY restringida a S, que adems es continua en la topolog´ıa relativa de S.. Tenemos que X es un homeomorfismo con diferencial inyectiva   1 0 dXq =  0 1  . fu fv. Ejemplo 3.2.2. Volviendo al ejemplo del paraboloide, tenemos otro argumento para probar que éste es regular, por ser el gr´ afico de la funci´ on f : R2 → R3 dada por f (x, y) = (x, y, x2 + y 2 ).. Teorema 3.2.2 (Teorema del Rec´ıproco Local). Si S es una superficie regular, entonces para todo p ∈ S existe un abierto V ⊆ R2 que contiene a p y otro abierto W en alguno de los planos coordenados X = 0, Y = 0 o Z = 0 tales que V ∩ S se corresponde con el gráfico de una función diferenciable de la forma x = x(y, z), y = y(x, z) o z = z(x, y). Es otras palabras, se dice que, localmente, S es el gráfico de una funci´ on diferenciable de R2 en R3 .. 31.

(62) Demostraci´ on: Consideremos un punto p ∈ S y una parametrización X : U ⊆ R2 → R3 que contiene a p. Escribimos X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tenemos la diferencial  ∂x ∂x   Al menos una de las menores

(63)

(64)

(65)

(66) ∂(x, y)

(67)

(68) ∂x

(69)

(70)

(71) ∂u

(72) ∂(u, v)

(73) =

(74) ∂y ∂u. ∂x ∂v ∂y ∂v. ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u. ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v. ∂y ∂u ∂z ∂u. ∂y ∂v ∂z ∂v.

(75)

(76)

(77)

(78)

(79) ∂(x, z)

(80)

(81) ∂x ∂x

(82) ∂v

(83)

(84)

(85) =

(86) ∂u

(87) ∂(u, v)

(88)

(89) ∂z ∂z

(90) ∂u ∂v

(91)

(92)

(93) ∂(x,y)

(94) no se anula, pues S es regular. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que

(95) ∂(u,v)

(96) 6= 0. Consideremos

(97)

(98)

(99) ,

(100).

(101)

(102)

(103)

(104) ∂(y, z)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110) ∂(u, v)

(111) =

(112). ..

(113)

(114)

(115) ,

(116). la composici´ on π ◦ X : U ⊆ R2 → W ⊆ R2 . Como J(π ◦ X) posee determinante no nulo, podemos aplicar el Teorema de la Funci´ on Inversa (Teorema 1.6.1) para deducir que existe un entorno Uq de q y un entorno Wq de π ◦ X(q) tales que π ◦ X restringida a Uq es invertible y (π ◦ X)−1 : Wq → Uq es diferenciable. Denotando (π ◦ X)−1 (x, u) = (u(x, y), v(x, y)), se tiene que: X ◦ (π ◦ X)−1 (x, y) = (x(u(x, y), v(x, y)), y(u(x, y), v(x, y)), z(u(x, y), v(x, y))) = (x, y, z(x, y)). Entonces, localmente toda superficie se expresa como el gráfico de una función de R2 en R.. Corolario 3.2.1. Si S es una superficie regular, X : U ⊆ R2 → R es diferenciable y dXq tiene rango 2, entonces X −1 establece un homeomorfismo entre U y X(U ).. 3.3. Puntos y valores regulares. Definici´ on 3.3.1. Sea F : U ⊆ Rn → Rm una aplicación diferenciable. Los puntos regulares q de F son todos aquéllos donde dXq es sobreyectiva. Es el caso particular m = 1, es suficiente que ∇F (q) 6= 0. Diremos que c ∈ Rm es un valor regular de F si F −1 (c) está compuesto por puntos regulares. Ejemplo 3.3.1. Considere la esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + (z − 1)2 = c2 , c ∈ R} y la aplicaci´ on F : U ⊆ R3 → R dada por F (x, y, z) = x2 + y 2 + (z − 1)2 . Tenemos que ∇F (x, y, z) = (2x, 2y, 2(z − 1)), el cual es cero si, y s´ olo si, (x, y, z) = (0, 0, 1). Por lo tando, todos los puntos de S son regulares a excepci´ on de (0, 0, 1). Como F (0, 0, 1) = 0, tenemos que 0 no es un valor regular de F . Note adem´ as que x2 + y 2 + (z − 1)2 = 0 representa un u ńico punto (0, 0, 1). El hecho de que c no sea regular refleja un “mal” comportamiento de la superficie.. Teorema 3.3.1 (Teorema de la Funci´ on Impl´ıcita). Sea g : R3 → R una función diferenciable. Si ∇g(q) 6= 0, entonces existen abiertos Vq y Wg(q) de q y g(q), respectivamente, y una función diferenciable h : U ⊆ R2 → R tal que g(u, v, h(u, v)) = g(q) para todo (u, v, h(u, v)) ∈ Vq . 32.

(117) Teorema 3.3.2. Sea F : U ⊆ R3 → R una aplicación diferenciable. Si c es un valor regular de F , entonces F −1 es una superficie regular.. Demostraci´ on: Sea q ∈ F −1 (c). Entonces ∇F (q) 6= 0 porque c es un valor regular. Por el Teorema de la Funci´ on impl´ıcita, existe Vq entorno abierto de q y WF (q) = Wc entorno abierto de c, junto con una funci´ on diferenciable h : U ⊆ R2 → R tales que F (u, v, h(u, v)) = F (q) = c, para todo (u, v) ∈ U . Esto permite escribir X : U ⊆ R2 → R3 como X(u, v) = (u, v, h(u, v)), una parametrización de un entorno relativo de q ∈ F −1 (c). As´ı se verifica que F −1 (c) es una superficie regular.. 3.4. Cambio de par´ ametro. Consideremos una superficie regular S y p ∈ S. Sean X : U1 ⊆ R2 → S y Y : U2 ⊆ R2 → S dos parametrizaciones alrededor de p. Note que V1 = X −1 (X(U1 ) ∩ Y (U2 )) y V2 = Y −1 (X(U1 ) ∩ Y (U2 )) son entornos abiertos de R2 contenidos en U1 y U2 , respectivamente. La aplicación (Y −1 ◦ X)|V1 : V1 → V2 se denomina cambio de par´ ametro, y es diferencaible.. 33.

(118) 3.5. Funciones diferenciables sobre superficies. Sea S una superficie regular. ¿Qué significa que una función f : S ⊆ R3 → R sea diferencaible?. Definici´ on 3.5.1. Sea S una superficie regular y p ∈ S. Una función f : S ⊆ R3 → R se dice diferenciable en p si existe una parametrizaci´ on (o carta local) X : U ⊆ R2 → R3 que contiene a p, esto es X(u0 , v0 ) = p para alg´ un (u0 , v0 ) ∈ U , tal que f ◦ X : U → R es diferenciable en (u0 , v0 ). Diremos que f es diferenciable en S si lo es en cada p ∈ S.. Esta definici´ on no depende de la carta X escogida. Si Y : V → R3 es otra carta local alrededor de p. Entonces, como X −1 ◦ Y es diferenciable, se tiene que (f ◦ Y ) = (f ◦ X) ◦ (X −1 ◦ Y ) es diferenciable.. Ejemplo 3.5.1. La funci´ on f : R3 → R dada por f (x, y, z) = d2 ((x, y, z), (x0 , y0 , z0 )) (distancia al cuadrado entre (x0 , y0 , z0 ) fijo y (x, y, z)), es diferenciable en el sentido usual. Ahora consideremos la restricci´ on f |S 2 . Consideremos la carta X : (0, 2π) × (−π/2, π/2) → R3 dada por X(u, v) = (cos(u) · sen(v), sen(u) · sen(v), cos(v)), y un punto p ∈ S 2 que no está en el meridiano 0. Tenemos que f |S 2 es diferenciable en p, pues (f ◦ X)(u, v) = d2 ((cos(u) · sen(v), sen(u) · sen(v), cos(v)), (x0 , y0 , z0 )) = (cos(u) · sen(v) − x0 )2 + (sen(u) · sen(v) − y0 )2 + (cos(v) − z0 )2 lo es.. Sea F : S1 → S2 una aplicaci´ on entre superficies regulares. ¿Qué significa que F sea diferenciable?. Definici´ on 3.5.2. Una aplicaci´ on F : S1 → S2 entre superficies regulares es diferenciable en p ∈ S1 si existe una carta X : U ⊆→ R3 de S1 que contiene a p y otra carta Y : V ⊆ R2 → R3 de S2 que contiene a F (p) tal que Y −1 ◦ F ◦ X es diferenciable en (u0 , v0 ), donde p = X(u0 , v0 ). 34.

(119) 3.6. Plano tangente. Definici´ on 3.6.1. Sea S una superficie regular y p ∈ S. Sea X : U ⊆ R2 → R3 una parametrización que contiene a p y q ∈ U con X(q) = p. El plano tangente a S en p es el espacio vectorial generado por los vectores Xu (q) y Xv (q) (trasladados al punto p). Denotaremos por Tp (S) el plano tangente a S en p.. Ejercicio 3.6.1. El espacio tangente Tp (S) no depende de la parametrización X escogida sobre S. Definici´ on 3.6.2. Sea X : U ⊆ R2 → R3 una parametrización de una superficie regular. Un vector tangente a X en p ∈ S es un vector ~vp para el cual existe una curva α : (a, b) → X(U ) ⊆ R3 , representada por α(t) = X(u(t), v(t)), para la cual α(t0 ) = p y α0 (t0 ) = ~vp , donde a < t0 < b. Denotaremos por Xp (U ) al conjunto de los vectores tangentes a X en p.. 35.

(120) Teorema 3.6.1. Todo vector en Tp (S) es el vector tangente a una curva en S por p. De forma rec´ıproca, todo vector tangente a una curva en S que pasa por p yace en Tp (S).. Demostraci´ on: Sea v0 ∈ Tp (S). Entonces existe (w0 , s0 ) ∈ R2 junto con una parametrización X : U → 3 R tales que v = Xu · w0 + Xv · s0 . Entonces, definimos β(t) = q + t · (w0 , s0 ), con X(q) = p. Definiendo α(t) = X(β(t)), se tiene que α(0) = X(β(0)) = X(q) = p y α0 (0) = dXq (β 0 (0)) = dXq (w0 , s0 ) = v0 . Ahora probemos el rec´ıproco. Sea α : (a, b) → S ⊆ R3 tal que α(0) = p. Se define β = X −1 (α(t)), para un entorno de p. Evidentemente, X(β(0)) = p y X(β(t)) = α(t). Por lo tanto, α0 (0) ∈ Tp (S) ya que α0 (0) = dXq (β 0 (0)) ∈ Tp (S).. Definici´ on 3.6.3. Toda aplicaci´ on diferenciable F : S1 → S2 entre superficies regulares define, para cada punto p ∈ S1 , una transformaci´ on lineal dFp : Tp (S1 ) → TF (p) (S2 ) definida por dFp (v0 ) = (F ◦ α)0 (0), donde α es una curva regular que pasa por p tal que α0 (0) = v0 . Se puede demostrar que esta definición no depende de la curva α escogida.. Definici´ on 3.6.4. Sean S1 y S2 dos superficies regulares. Si ϕ : S1 → S2 es una aplicación diferenciable, con inversa diferenciable ϕ−1 : S2 → S1 , entonces diremos que ϕ es un difeomorfismo entre S1 y S2 .. 3.7. Orientabilidad. Definici´ on 3.7.1. Sea S una superficie regular. Consideremos una carta local X : U ⊆ R2 → R3 que Xu ×Xv contiene un punto p. Podemos definir para p un vector normal unitario ~np = |X , o con signo opuesto u ×Xv | Xu ×Xv −~np = |X . Diremos que S es una superficie orientable si para cada punto p ∈ S se puede definir un u ×Xv | campo normal unitario p 7→ ~np continuo sobre S.. Ejemplo 3.7.1. Consideremos la esfera S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}. Consideremos la parametrizaci´ on X : (0, 2π) × (0, π) → S 2 dada por X(u, v) = (sen(v) · cos(u), sen(v) · sen(u), cos(v)). Xu ×Xv Para esta parametrizaci´ on, tenemos el campo normal unitario ~n(u, v) = |X . La parametrizaci´ on u ×Xv | 2 Y : (0 + π/4, 2π + π/4) × (0, π) → S dada por Y (u, v) = (cos(u) · sen(v), sen(u) · sen(v), cos(v)). Para v esta parametrizaci´ on tenemos el campo normal unitario ~n(u, v) = |YYuu ×Y ırculo no cubierto por ×Yv | . En el semic´ X, pero cubierto por Y , las f´ ormulas de los campos X e Y coinciden, por lo que podemos definir un campo normal continuo sobre S. Por lo tanto, S 2 es una superficie orientable.. 36.

(121) Teorema 3.7.1. Si S es una superficie regular tal que se puede cubrir con parametrizaciones tales que las funciones de cambio de par´ ametro tienen jacobiano positivo en los puntos de intersección, entonces S es orientable.. Teorema 3.7.2. Toda superficie regular dada por F −1 (c), con c un valor regular de F , es orientable.. (F ,F ,F ) Demostraci´ on: ~np = √ x2 y 2 z 2 es el campo unitario normal y continuo sobre F −1 (c). Fx +Fy +Fz. Ejemplo 3.7.2. Las siguientes superficies son de los ejemplos más clásicos en cuanto a superficies no orientables: (1) Cinta de M¨ obius: La cinta de M¨ obius se define considerando un segmento de recta AB de longitud menor que 2, perpendicular al plano XY y con centro en el punto (0, 2, 0). Luego, movemos el centro de este segmento a lo largo de la curva determinada por la circunferencia x2 + y 2 = 4 en el plano XY . Al mismo tiempo, hacemos rotar el segmento AB sobre su centro. Estos desplazamientos se hacen de manera que cuando el centro a barrido un ángulo de u radianes, el segmento a barrido u/2 radianes al rotar alrededor de su centro.. Una carta X : (0, 2π) × (−1, 1) → R3 para parametrizar esta superficie viene dada por u u u X(u, v) = sen(u) · 2 − v · sen , cos(u) · 2 − v · sen , v · cos . 2 2 2. 37.

(122) Para cubrir el resto de la superficie, tenemos la carta u π u π u π Y (u, v) = − 2 − v · sen + · cos (u) , 2 + v · sen + · sen(u), v · cos + . 2 4 2 4 2 4. Por cambio de variables, tenemos X(u, v) = Y (u(u, v), v(u, v)), con los cambios de variables u = u + 3π/2, v = −v.

(123)

(124)

(125)

(126) Dicho cambio es de signo negativo:

(127) ∂(u,v) ∂(u,v)

(128) = −1. Al tratar de definir un campo normal unitario sobre la cinta, tenemos que ∂u + Yv · ∂u ∂u Xv = Yu · + Yv · ∂v. Xu = Yu ·. ∂v , ∂u ∂v . ∂v.

(129)

(130)

(131)

(132) De donde Xu × Xv =

(133) ∂(u,v) ∂(u,v)

(134) Yu × Yv = −Yu × Yv . (2) Botella de Klein: Consideremos la “curva ocho” α : (0, 2π) → R2 dada por α(t) = (sen(t), sen(t) · cos(t)).. La botella de Klein se genera al rotar una curva ocho centrada en un punto (0, a, 0), de forma parecida a como se hizo en el ejemplo anterior, a lo largo de la circunferencia x2 + y 2 = a2 en el plano Z = 0, para alg´ un a > 0.. 38.

(135) Una de las cartas locales para esta parametrización viene dada por Ka (u, v) = [((a + cos(u/2)) · sen(v) − sen(u/2) · sen(2v)) · cos(u)] i + [((a + cos(u/2)) · sen(v) − sen(u/2) · sen(2v)) · sen(u)] j + [sen(u/2) · sen(v) + cos(u/2) · sen(2v)] k. Note que la u-curva u 7→ Ka (u, 0) corresponde a la circunferencia x2 + y 2 = a2 en el plano Z = 0. Por otro lado, las v-curvas v 7→ Ka (u0 , v) representan a la curva ocho rotado u0 /2 en el plano perpendicular al plano XY correspondiente al ´ angulo u0 .. Compruebe que esta superficie no es orientable.. 3.8. Problemas. Problema 3.8.1. Demostrar que todo abierto de una superficie regular es a su vez una superficie regular. Problema 3.8.2. Demostrar que: (a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y 2 } es una superficie regular. (b) La aplicaci´ on X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), donde (u, v) ∈ R2 , es una parametrización de S, y entontrar la regi´ on que ella cubre. (c) Para la parametrizaci´ on (b), se˜ nalar las u-curvas y las v-curvas. Problema 3.8.3 (Superficie de revoluci´ on). Si la curva regular α(v) = (ϕ(v), ψ(v)), con v ∈ I, del plano XY no corta al eje Z, demostrar que la rotaci´ on de esa curva alrededor del eje Z genera una superficie regular, que puede ser cubierta con dos parametrizaciones del tipo X(u, v) = (ϕ(c) · cos(u), ϕ(v) · sen(u), ψ(v)), con (u, v) ∈ (0, 2π) × I. Problema 3.8.4. Cada componente conexa del hiperboloide de dos hojas, de ecuación −x2 − y 2 + z 2 = 1, puede representarse como una gr´ afica de una función. Parametrize la hoja superior: (a) Por medio de una funci´ on z = f (x, y). (b) Como superficie de revoluci´ on. Problema 3.8.5. (a) Definir el valor regular de una aplicación diferenciable. (b) Demostrar que la imagen inversa de un valor regular de F es una curva regular en R3 .. 39.