Y SUPERFICIES
GRUPO F
¤Curso 03 - 04
Índice General
1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO 7
1.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL . . . 7
1.1.1 Estructura vectorial deRn . . . . 7
1.1.2 Estructura afín deRn. . . . 8
1.1.3 Espacio vectorial tangente en un punto de Rn . . . . . 9
1.1.4 Estructura euclídea deRn . . . . 9
1.2 CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE CURVAS . . . 14
1.2.1 Funciones diferenciables de variable real. Curvas . . . . 14
1.2.2 Campos a lo largo de una curva . . . 15
1.2.3 Velocidad y aceleraciones de una curva . . . 17
1.2.4 Vectores tangentes y velocidades de curvas . . . 18
1.3 PARAMETRIZACIONES DE CURVAS REGULARES . . . . 18
1.3.1 Parámetro de una curva . . . 18
1.3.2 Longitud de una curva . . . 19
1.3.3 Curva regular. Parametrización por la longitud de arco 20 1.4 REFERENCIA MOVIL DE FRENET . . . 21
1.4.1 Referencia móvil. Curva alabeada . . . 21
1.4.2 Referencia de Frenet . . . 22
1.4.3 Fórmulas de Frenet. Curvaturas . . . 24
1.4.4 Teorema fundamental de la teoría de curvas . . . 25
1.5 CURVAS ALABEADAS PLANAS . . . 26
1.5.1 Diedro de Frenet . . . 26
1.5.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura . . . 29
1.6 CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO . . . 29
1.6.1 Triedro de Frenet . . . 29 1.6.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión . 31
¤Estos apuntes son reelaboración de unas notas de Javier Lafuente
2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN 32
2.1 PRELIMINARES DE ANÁLISIS . . . 32
2.1.1 Aplicaciones diferenciables enRn. Matriz Jacobiana . . 32
2.1.2 Vectores tangentes y derivaciones . . . 33
2.1.3 Diferencial y regla de la cadena . . . 34
2.1.4 Difeomor…smos. Teoremas de la función inversa e im-plícita . . . 36
2.1.5 Integración. Teoremas de Fubini y del cambio de variable 39 2.2 SUPERFICIES . . . 42
2.2.1 Parametrizaciones locales de subconjuntos de Rn . . . 42
2.2.2 Super…cies . . . 42
2.2.3 Cartas en super…cies . . . 46
2.3 APLICACIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES. PLANO TANGENTE . . . 47
2.3.1 Aplicaciones diferenciables entre subconjuntos del es-pacio afín . . . 47
2.3.2 Plano tangente a una super…cie en un punto . . . 49
2.3.3 Diferencial y regla de la cadena para aplicaciones entre subconjuntos . . . 52
2.3.4 Representación local de aplicaciones entre super…cies . 53 2.3.5 Difeomor…smos entre super…cies. Teorema de la fun-ción inversa . . . 55
2.4 CAMPOS DE VECTORES SOBRE SUPERFICIES . . . 58
2.4.1 Campos de vectores sobre subconjuntos del espacio afín 58 2.4.2 Campos de vectores tangentes a super…cies . . . 59
2.4.3 Derivación natural en el espacio afín . . . 62
3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO 65 3.1 PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . 65
3.1.1 Estructura euclídea de los espacios tangentes a E3 . . . 65
3.1.2 Formas bilineales sobre super…cies . . . 67
3.1.3 Primera forma fundamental . . . 69
3.1.4 Longitudes de curvas en super…cies . . . 71
3.1.5 Áreas en entornos coordenados . . . 71
3.2 SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL . . . 74
3.2.1 Orientación de super…cies . . . 74
3.2.2 Curvatura normal de curvas en super…cies orientadas . 75 3.2.3 Segunda forma fundamental . . . 77
3.2.4 Una interpretación geométrica de la segunda forma fundamental. . . 79
3.3 APLICACIÓN DE (GAUSS-)WEINGARTEN . . . 80
3.3.1 Aplicación de Weingarten . . . 80 3.3.2 Curvaturas de super…cies orientadas. Bases adaptadas 82
3.3.3 Aplicación de Gauss . . . 84
3.3.4 Expresión local de super…cies como grá…cas de funciones 86 3.3.5 Clasi…cación de los puntos de una super…cie. Direccio-nes principales . . . 87
3.3.6 Fórmula de Euler. Direcciones asintóticas . . . 88
3.3.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas. Geodésicas . . 90
3.4 ISOMETRÍAS Y CONGRUENCIAS . . . 92
3.4.1 Isometrías entre super…cies . . . 92
3.4.2 Super…cies localmente homogéneas . . . 95
3.4.3 Congruencias entre super…cies. Rigidez . . . 97
4 GEOMETRIA INTRINSECA LOCAL DE SUPERFICIES 99 4.1 DERIVACION COVARIANTE . . . 100
4.1.1 Las proyecciones tangente y normal . . . 100
4.1.2 Derivada covariante en una super…cie . . . 100
4.1.3 Expresión local de la derivada covariante. Símbolos de Christo¤el . . . 102
4.1.4 Carácter intrínseco de la derivación covariante y de la curvatura de Gauss. . . 104
4.2 TRANSPORTE PARALELO . . . 106
4.2.1 Transporte paralelo. Carácter intrínseco . . . 106
4.2.2 Transporte paralelo, geodésicas e isometrías . . . 108
4.2.3 Transporte paralelo y curvatura de Gauss . . . 112
4.3 CURVATURA Y TOPOLOGIA* . . . 120
4.3.1 Triangulaciones e integración en super…cies . . . 120
4.3.2 Teorema de Gauss-Bonnet . . . 121
4.3.3 Super…cies topológicas de R3. . . 125
5 APÉNDICES 126 5.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO126 5.1.1 Aplicaciones en un espacio euclídeo. Demostración de la Proposición 1.5 . . . 126
5.1.2 Invariancia de las curvaturas de una curva alabeada. Demostración de la Proposición 1.22 . . . 127
5.1.3 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales* . . . 129
5.1.4 Curvas alabeadas en el espacio. Demostración del Teo-rema 1.29 (teoTeo-rema fundamental)* . . . 130
5.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN . . . 131
5.2.1 Diferenciabilidad de las componentes locales de un cam-po tangente. Demostración del Lema 2.32 . . . 131
5.2.2 Curvas integrales de un campo* . . . 132
5.3.1 Coordenadas ortogonales. Demostración de la
Propo-sición 3.7* . . . 133
5.3.2 Aplicaciones autoadjuntas. Demostración de la Propo-sición 3.17 . . . 134
5.3.3 Indicatriz de Dupin* . . . 135
5.3.4 Rigidez de la esfera. Demostración del Teorema 3.33 (Hilbert-Liebmann)* . . . 137
5.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES . . 138
5.4.1 Carácter intrínseco de la derivación covariante. De-mostración de la Proposición 4.4* . . . 138
5.4.2 Carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Demos-tración del Teorema 4.7* . . . 139
5.4.3 Super…cies en el espacio euclídeo. Ecuaciones de com-patibilidad* . . . 139
6 EJERCICIOS 142 6.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO142 6.1.1 (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia) . . . 142
6.1.2 (Hélices 1) . . . 142
6.1.3 (Determinación diferenciable del ángulo) . . . 143
6.1.4 (Torsión y curva plana / Normales y circunferencia) . . 143
6.1.5 (Tangentes y recta) . . . 143
6.1.6 (Evolutas) . . . 143
6.1.7 (Catenarias) . . . 144
6.1.8 (Cicloides) . . . 144
6.1.9 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidimensional) . . . 144
6.1.10 (Diferenciabilidad, regularidad, alabeo) . . . 144
6.1.11 (Ángulo polar como parámetro) . . . 145
6.1.12 (Curvas sobre esferas) . . . 145
6.1.13 (Máximos de la distancia de un punto a una curva) . . 145
6.1.14 (Tangente, normal y binormal) . . . 146
6.1.15 (Hélices 2) . . . 146
6.1.16 (Plano osculador) . . . 147
6.1.17 (Plano osculador y círculo osculador) . . . 147
6.1.18 (Proyección sobre el plano osculador) . . . 147
6.1.19 (Aceleraciones de una curva) . . . 147
6.1.20 (Modelos 1) . . . 148
6.1.21 (Modelos 2, cicloide) . . . 148
6.1.22 (Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos) . . 149
6.1.23 (Curvas planas ”en implícitas”) . . . 150
6.1.24 (”El ocho”) . . . 151
6.2.1 (Super…cies que son conjuntos de nivel) . . . 151
6.2.2 (Plano tangente) . . . 152
6.2.3 (¿Super…cies?) . . . 152
6.2.4 (Cilindros) . . . 152
6.2.5 (”El ocho” en super…cies) . . . 153
6.2.6 (Ejemplo de helicoide) . . . 153
6.2.7 (Super…cies de revolución) . . . 154
6.2.8 (Planos) . . . 154
6.2.9 (Proyección estereográ…ca) . . . 154
6.2.10 (Banda de Moebius) . . . 155
6.2.11 (Campos tangentes a super…cies 1) . . . 155
6.2.12 (Campos tangentes a super…cies 2) . . . 156
6.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO . . . 156
6.3.1 (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo) . . . . 156
6.3.2 (Normales y esfera) . . . 156
6.3.3 (PFF de la esfera en proyección estereográ…ca) . . . 157
6.3.4 (PFF de la esfera en polares) . . . 157
6.3.5 (PFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . . 157
6.3.6 (Gradiente de funciones sobre super…cies) . . . 157
6.3.7 (Super…cies no orientables) . . . 158
6.3.8 (Diferenciabilidad de las curvaturas principales) . . . . 158
6.3.9 (SFF de super…cies de revolución en coordenadas) . . . 159
6.3.10 (Curvatura de Gauss sin parametrización) . . . 159
6.3.11 (Tangencia, extremos y curvaturas principales) . . . 160
6.3.12 (Direcciones asintóticas y líneas asintóticas) . . . 160
6.3.13 (Líneas de curvatura y líneas asintóticas) . . . 160
6.3.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 1) . . . 161
6.3.15 (Puntos no umbílicos) . . . 161
6.3.16 (Meridianos y paralelos en super…cies de revolución) . . 161
6.3.17 (Geodésicas, curvas planas y líneas de curvatura) . . . 162
6.3.18 (Super…cie de binormales de una curva alabeada) . . . 162
6.3.19 (Geodésicas planas y esferas o planos) . . . 162
6.3.20 (Isometrías e isometrías locales 1) . . . 162
6.3.21 (Ejemplo de super…cie de revolución 1) . . . 163
6.3.22 (Ejemplo de super…cie de revolución 2) . . . 163
6.3.23 (De todo un poco 1) . . . 164
6.3.24 (De todo un poco 2) . . . 164
6.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES. VARIOS . . . 165
6.4.1 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas) . . . 165
6.4.2 (Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva ala-beada) . . . 165
6.4.4 (Reparametrización de geodésicas) . . . 166 6.4.5 (Super…cies geodésicamente completas) . . . 166 6.4.6 (Transporte paralelo en el plano) . . . 167 6.4.7 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera)167 6.4.8 (Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia) 167 6.4.9 (Transporte paralelo y reparametrizaciones) . . . 168 6.4.10 (Isometrías e isometrías locales 2) . . . 168 6.4.11 (Super…cies simétricas respecto de un plano) . . . 169 6.4.12 (Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un
pa-raboloide de revolución) . . . 169 6.4.13 (Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva)170 6.4.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 2) . . . 170 6.4.15 (Super…cie de Schwarzschild) . . . 171
1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL
ES-PACIO EUCLÍDEO
Prerrequisitos académicos del curso:
Algebra lineal. Cálculo diferencial en varias variables reales, incluyendo los teoremas de la función inversa e implícita. Cálculo integral en varias variables, incluyendo el teorema del cambio de variable.
1.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAL
1.1.1 Estructura vectorial de Rn
Como es habitual, Rn representa el cuerpo de los números reales. Los
ele-mentos del conjuntoRnde n-tuplas ordenadas de números reales pueden ser
considerados como vectores de un espacio vectorial euclídeo o como puntos de un espacio afín. Trataremos de precisar aquí este asunto.
Rntiene estructura natural de espacio vectorial sobre R. Denotamos por
(~e1; :::; ~en) a la base ordenada natural ocanónica, es decir, ~ei:= (0; :::; 1(i; :::; 0);
con i = 1; :::; n; de forma que se tiene la identidad: ~» = (»1; : : : ; »n) =
n
X
i=1
»i~ei , para todo (»1; : : : ; »n)2 Rn
Observación 1.1 También podría pensarse que Rn es un espacio vectorial
abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base (~e1; :::; ~en) que
permite identi…car cada vector ~» = Pn
i=1»i~ei 2 Rn con sus coordenadas
(»1; : : : ; »n).
Es bien conocido el isomor…smo canónico que existe entre el espacio vecto-rial de las aplicaciones lineales deRnenRmy el espacio vectorialR(m; n) de
las matrices de m …las y n columnas con coe…cientes reales. La composición de aplicaciones lineales corresponde al producto de matrices. Una matriz A de m …las y n columnas con coe…cientes reales del tipo
A = 0 B @ a11 : : : a1n ... ... ... am1 : : : amn 1 C A
puede escribirse como el conjunto de sus vectores columna A = (~a1; : : : ; ~an) ; con ~ai = 0 B @ a1i ... ami 1 C A 2 Rm (i = 1; :::; n) :
Interpretada ahora como aplicación: A : Rn 3 ~» 7! A~» 2 Rm (donde A~»
denota el producto matricial de A por la matriz columna ~» 2 Rn), la matriz
A representa la única aplicación lineal de Rn enRm que transforma la base
canónica (~e1; :::; ~en) de Rnen el sistema ordenado (~a1; : : : ; ~an) de vectores de
Rm. Todo ello nos permite escribir:
A = ( A~e|{z}1 ~a1 ; :::; A~e|{z}n ~an ) 2 R(m; n) y, si B 2 R(p; m), se tiene: AB = (B(A~e1); :::; B(A~en)) 2 R(p; n) :
En el caso particular m = n, la condición necesaria y su…ciente para que la matriz A = (~a1; : : : ; ~an) sea isomor…smo lineal de Rn es que el conjunto
(~a1; : : : ; ~an) sea base, esto es, det(A) 6= 0. Si det(A) > 0 , se dice que la base
(~a1; : : : ; ~an) es(tá) positiva(mente orientada), o también que A : Rn 3
~» 7! A~» 2 Rn preserva la orientación. En particular, la base canónica
(~e1; :::; ~en) es positiva.
1.1.2 Estructura afín de Rn
Los elementos p = (p1; :::; pn) de Rn también pueden pensarse como puntos
de un espacio afínRnsobre el espacio vectorialRn. Si ~» = (»
1; : : : ; »n)2 Rn,
denotamos por ¿~» la traslación de vector ~» :
¿~» :Rn3 p 7! p +~» 2 Rn :
Si p, q 2 Rn , de…nimos el vector
¡pq : = q! ¡ p 2 Rn;
y se veri…ca la identidad q = p + ¡pq .!
Llamaremos o ´ (0; :::; 0) 2 Rn : Obsérvese que, si p = (p
1; :::; pn) es un
punto deRn; entonces ¡op = (p!
1; :::; pn) es un vector de Rn.
Observación 1.2 También podría pensarse que Rn es un espacio afín
abs-tracto (sobre un espacio vectorial de dimensión n), en donde se ha des-tacado una referencia afín (o; ~e1; :::; ~en) que permite identi…car cada punto
1.1.3 Espacio vectorial tangente en un punto de Rn
Si p 2 Rn, ~» 2 Rn, denominaremosvector tangente en p correspondiente
a ~» al par (p;~» ). Emplearemos la notación » ´ ~»p´ (p;~» )
(el uso de la negrita » irá aumentando a medida que nos vayamos familia-rizando con el concepto de vector tangente). Geométricamente, ~»pse repre-senta por el vector ~» ”apoyado” en el punto p. Se denomina a ~» laparte vectorial de ~»p:
El conjunto TpRn := f~»p j ~» 2 Rng tiene estructura natural de espacio
vectorial; para ello, basta con declarar que la biyección natural Rn 3 ~» 7!
~»p 2 TpRn sea un isomor…smo lineal, es decir:
(¸~» + ¹~´)p = ¸~»p+ ¹~´p ; 8¸; ¹ 2 R y 8~»;~´ 2 Rn:
El conjunto ((~e1)p; :::; (~en)p) constituye una base de TpRn, que
denomina-remoscanónica. Obviamente se tiene: ~»p=
Pn
i=1»i(~ei)p .
El espacio TpRnse denomina espacio (vectorial) tangente en p 2 Rn.
1.1.4 Estructura euclídea de Rn
En el espacio vectorialRn se de…ne el producto escalar canónico por:
< ~»; ~´ > : = n X k=1 »k´k , 8~» ´ (»1; : : : ; »n); ~´´ (´1; : : : ´n) 2 R n
Fijada cualquier base b ´ (~a1; : : : ; ~an), la no-degeneración de la forma
bilineal simétrica <; > es equivalente (!) a que det <; >b´ det 0 @ < ~a: : :1; ~a1> : : : < ~a: : : 1: : :; ~an> < ~an; ~a1> : : : < ~an; ~an> 1 A 6= 0 ;
mientras que el carácter de…nido positivo de <; > implica (pero, salvo para n = 2, no es equivalente a) que
½
< ~ai; ~ai > > 0 ; i = 1; :::; n
det <; >b > 0 :
En efecto: Como se sabe, al ser <; > una forma bilineal simétrica, existen bases ¹b en las que la matriz de productos escalares <; >¹b es
diagonal. La no-degeneración de <; > es entonces equivalente a que, en dichas bases¹b, todos los elementos de la diagonal principal de<; >¹b
sean no nulos. Pero es bien conocido (ver la Observación 3.6) que, al cambiar de base (b = ¹bA), se veri…ca <; >b= AT <; >¹bA. Se sigue
que la no-degeneración de <; >es equivalente a que det <; >b 6= 0.
Por otra parte, el carácter de…nido positivo de<; >, aparte de implicar que < ~ai; ~ai > > 0 (i = 1; :::; n), es obviamente equivalente a que,
en cualquier base¹bque haga diagonal a<; >¹b, todos los elementos de
la diagonal principal sean positivos, lo que a su vez implica (mismo argumento que antes) que det <; >b> 0
En (Rn; <; >) existen bases ortonormales. Dado ~»2 Rny dada cualquier
base ortonormal (~a1; : : : ; ~an), se tiene la identidad
~» =Xn
i=1
< ~»; ~ai > ~ai :
La norma de ~» es j ~» j:= +q< ~»; ~» > y el coseno del ángulo (no orientado)](~»;~´) 2 [0; ¼] determinado por los vectores no nulos ~» y ~´ viene de…nido por
cos](~»;~´) := < ~»; ~´ >
j ~» jj ~´ j (1) Cuando consideramos Rncon esta estructura natural de espacio vectorial
euclídeo, lo denotaremos por En. En el caso particular de E3, se de…ne el
producto vectorial por: ~» £ ~´ : = det 0 @ ~e»11 ~e»22 ~e»33 ´1 ´2 ´3 1 A ; 8~»;~´ 2 E3
Observación 1.3 1. El módulo ¯¯¯~» £ ~´¯¯¯ representa el área del paralelogra-mo determinado por ~» y ~´, esto es:
¯¯ ¯~» £ ~´¯¯¯ = v u u tdet à < ~»; ~» > < ~»; ~´ > < ~´; ~» > < ~´; ~´ > ! (1) =j ~» j |{z} base j ~´ j j sen] (~»;~´) j | {z } altura : (2) En efecto(ver [5], 1.4): Introduciendo el símbolo (con i; j; k 2 f1; 2; 3g)
"ijk :=
8 < :
+1 , si fijkg es una permutación par de f123g ¡1 , si fijkg es una permutación impar de f123g 0 , si dos índices son iguales
es inmediato comprobar que (8i; j) : ~ei£ ~ej = P3m=1"ij m~em.
De donde se sigue:
<~ei£~ej; ~ek£~el>= 3 X m=1 "ijm"mkl ! = ±ik±jl¡±il±j k= det µ < ~ei; ~ek > < ~ei; ~el > < ~ej; ~ek> < ~ej; ~el > ¶
y, por la (cuatri)linealidad de ambos miembros, se obtiene:
¯ ¯¯~» £~´¯¯¯2=<~»£ ~´;~» £ ~´ >= det à < ~»; ~» > < ~»; ~´ > < ~´; ~» > < ~´; ~´ > !
2. Sean ~»;~´; ~Â 2 E3. Entonces se veri…ca:
< ~»£ ~´; ~ >= det (~»;~´; ~Â) y (~»£ ~´) £ ~ =< ~»;~ > ~´¡ < ~´; ~ > ~» (3) En efecto(ver [5], 1.4): La primera expresión se deduce inme-diatamente de la de…nición de producto vectorial (de hecho, es equivalente a ésta). Para la segunda (que pone de mani…esto que el producto vectorial no es asociativo), basta tener en cuenta que:
(~ei£~ej)£~ek = 3 X l;m=1 "ijm"mkl~el=! 3 X l=1 (±ik±j l¡±il±jk)~el=< ~ei; ~ek > ~ej¡ < ~ej; ~ek > ~ei
y, por la (tri)linealidad de ambos miembros, se obtiene el resul-tado deseado
3. Sean ~»;~´;~»0; ~´02 E3 tales que ~» y ~´ son linealmente dependientes de ~»0
y ~´0, esto es, (~»;~´) = (~»0; ~´0)A; con A una matriz 2£ 2. Entonces se veri…ca:
~» £ ~´ = (det A) (~»0£ ~´0) (4) En efecto:Para todo ~Â, se tiene:
< ~»£ ~´; ~ >(3)= det(~»; ~´; ~Â) = det µ (~»0; ~´0; ~Â) µ A 0 0 1 ¶¶ = = det A det(~»0; ~´0; ~Â)(3)= det A < ~»0£ ~´0; ~ > ;
y, al ser ~» £ ~´ y ~»0£~´0 colineales, el resultado se sigue
Dada una matriz A = (~a1; : : : ; ~an) 2 R(n; n), la condición para que el
conjunto (~a1; : : : ; ~an) constituya una base ortonormal es que ATA = I
elementos de (~a1; : : : ; ~an)). En este caso la transformación (o la matriz) A
se dice ortogonal (también se dice que A es una isometría lineal). El conjunto O(n) de transformaciones ortogonales tiene estructura natural de grupo. Es inmediato ver (!) que A 2 O(n) si y sólo si A preserva el producto escalar, es decir:
< A~»; A~´ >=< ~»; ~´ > ; 8~»; ~´ 2 En
Si A 2 O(n) , es 1 = det(I) = det(ATA) = (detA)2, con lo que detA = §1.
Si detA = 1, se dice que A esortogonal positiva, o también que la base (~a1; : : : ; ~an) es ortonormal positiva. El conjunto SO(n) := fA 2 O(n) j
det A = 1g es un subgrupo de O(n) cuyos elementos se llaman rotaciones. En el caso deE3, es fácil ver que A 2 SO(3) si y sólo si A preserva el producto
escalar y el vectorial, es decir:
< A~»; A~´ >=< ~»; ~´ > y (A~»)£ (A~´) = A(~» £ ~´) , 8~»;~´ 2 E3
Observación 1.4 También podría pensarse que En es un espacio vectorial
euclídeo abstracto de dimensión n, en donde se ha destacado una base orto-normal positiva (~e1; :::; ~en) que permite identi…car los vectores con sus
coorde-nadas. El producto escalar quedaría de…nido como antes, independientemente de la base ortonormal elegida; y lo propio ocurriría, si n = 3, con el producto vectorial, independientemente de la base ortonormal positiva elegida.
Por lo visto en 1.1.2, En posee una estructura canónica de espacio afín
euclídeo. Si p; q 2 En, la distancia entre p y q es d(p; q) :=j ¡!pq j.
Proposición 1.5 Sea à : En ! En una aplicación arbitraria.
Considéren-se las siguientes a…rmaciones: (i) Ã es lineal, (ii) Ã es inyectiva, (iii) Ã preserva normas de vectores, (iv) Ã preserva distancias entre puntos, (v) Ã preserva productos escalares de vectores. Entonces se tienen las siguientes implicaciones:
1. (i) + (iii) , (v) 2. (i) + (iii) ) (iv) 3. (i) + (iv) ) (iii) 4. (iv) ) (ii) 5. (v) ) (i) + (ii) 6. (iii) + (iv) ) (v)
Observación 1.6 Se sigue de lo anterior: 1. (v) ) (i) + (ii) + (iii) + (iv)
2. (iv) ) (ii). Además: (iv) + (i) ) (iii) + (iv). Pero: (iv) ; (i) (Ejemplo: Ã(~») = ~» + ¡cte)!
3. (iii) + (i) ) (ii) + (iv) + (v). Pero: (iii) ; (i) (Ejemplo: Ã(~») = (¯¯¯~»¯¯¯;0;:::0))
Un movimiento en En es una aplicación A : En ! En que preserva
distancias entre puntos, es decir, d(A(p); A(q)) = d(p; q); 8p; q 2 En. Se
sigue de la Proposición 1.5(4) que los movimientos son inyectivos. Por otra parte, se prueba fácilmente que A : En ! En es un movimiento si y sólo si
puede expresarse en la forma:
A(p) = A(¡op) + ~» ;! (5) donde A 2 O(n) y ~» 2 En.
En efecto (ver por ejemplo [8], Cap.22, Teorema 1): La condición su…ciente es inmediata, puesto que tanto las traslaciones (obvio) como las isometrías lineales (Proposición 1.5(1) y (2)) preservan distancias. Probemos la condición necesaria. Sea~» ´ A(o). La aplicaciónB :
En 3 p 7! A(p) ¡ ~» 2 En preserva obviamente distancias; además,
preserva normas de vectores, ya que se tiene
jB(¡op)! j ´¯¯¯B(¡op)! ¡ ~0¯¯¯ B(o)=o= jB(p) ¡ B(o)j ´ d(B(p); B(o)) = d(p; o) ´ j¡!opj :
Por la Proposición 1.5(6), B preserva productos escalares; y, por la Proposición 1.5(1), B es lineal. De donde se sigue: B(p) = A(¡op)! , conA 2 O(n).
De lo anterior se concluye que:
(1) Los movimientos son biyectivos; la inversa A¡1de A viene dada por
A¡1 :En 3 p 7! A¡1(¡!op)¡ A¡1~» 2 En :
(2) Se veri…ca
¡¡¡¡¡¡!
Un movimiento se dice directo si la parte ortogonal A del mismo es una rotación, esto es, si A 2 SO(n).
Para cada p 2 En, el espacio T
pEn tiene estructura natural (o canónica)
de espacio vectorial euclídeo, de…niendo, para todo ~»p; ~´p 2 TpEn;
< ~»p; ~´p> := < ~»; ~´ >2 R ; (7) si, además, n = 3, se de…ne:
~»p£~´p:= (~»£ ~´)p2 TpE3 : (8)
Observación 1.7 A partir de aquí, se puede trabajar en el nivel de abstrac-ción sugerido en las observaciones 1.1, 1.2 y 1.4, y suponer que En es un
espacio a…n euclídeo abstracto (sobre un espacio vectorial euclídeo de dimen-sión n), en donde se ha destacado una referencia afín euclídea (o;~e1; :::; ~en)
que permite identi…car los puntos y vectores con sus coordenadas.
1.2 CURVAS Y CAMPOS A LO LARGO DE
CUR-VAS
1.2.1 Funciones diferenciables de variable real. Curvas
Sea I un intervalo abierto de R . Una función f : I ! R se dirá diferen-ciable si posee derivadas continuas de todos los órdenes (esto es, si es de clase C1). Se denotarán por df
dt; d2f
dt2; : : : ;
dkf
dtk; : : : sus derivadas sucesivas. Si
el intervalo I no es abierto, se dirá que f : I ! R es diferenciable si existen un intervalo abierto ~I ¾ I y una extensión ~f de f a ~I (esto es, una función
~
f : ~I ! R tal que ~f jI= f ) diferenciable.
El conjunto F(I) de funciones diferenciables f : I ! R tiene estructura natural de anillo (pero no de cuerpo: las funciones que se anulan en algún punto no poseen inversa).
Una aplicación ® : I 3 t 7! (®1(t); : : : ; ®n(t)) 2 Rn se dirádiferenciable
si cada componente ®i : I ! R (i = 1; :::; n) es una función diferenciable.
Laderivada de ® es la aplicación d® dt : I3 t 7! ( d®1 dt (t); : : : ; d®n dt (t))2 R n. Se denotarán por d2® dt2; : : : ; d k®
dtk; : : : las derivadas sucesivas de ®:
Cuando una aplicación diferenciable ® : I ! Rn se considera aplicación
sobreRn como espacio afín se llamacurva. Cuando se considera aplicación
sobreRn como espacio vectorial, se denota por ~® : I ! Rn y se denomina
curva vectorial. La variable en I se denomina parámetro de la curva. Ejemplo 1.8 Curvas: (a) ® : R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 (imagen, recta); (b)
® : R 3 t 7! (p1+ r cos t; p2+ rsent) 2 R2 (no inyectiva; imagen,
® : [¡2¼; 2¼] 3 t 7! (p1+ t cos t; p2+ tsent) 2 R2 (no inyectiva; imagen,
”cardioide”); (e) la aplicación ® :R 3 t 7! (t; jtj) 2 R2 no es una curva; (f )
® : (¡¼; ¼) 3 t 7! (sent; sen2t) 2 R2 (inyectiva; imagen, ”el ocho”).
Observación 1.9 De…nimos pues las curvas como aplicaciones; la imagen de una curva (subconjunto de Rn) es sólo uno de los ”ingredientes” de
és-ta. A veces, no obstante, se denomina a una curva por su imagen (recta, circunferencia, catenaria, cicloide,...); se trata de un abuso de lenguaje.
En el Ejercicio 6.1.23d se propone una de…nición alternativa de curva plana, a saber: subconjunto de R2 que admite una ”parametrizacón (local,
1-dimensional)” en torno a cada uno de sus puntos (en cuanto a la termino-logía, ver 2.2.1). Esta de…nición sería análoga a la que más adelante (2.2.2) daremos para super…cies de R3. Sin embargo, adoptar aquí esta de…nición
de curva supondría dejar fuera de consideración subconjuntos con ”picos”, o con ”autointersecciones”, o del tipo ”el ocho” (Ejercicio 6.1.24), lo que no parece razonable. Después de todo, el estudio de muchas curvas tiene su ori-gen en la mecánica, donde el parámetro es el tiempo, las curvas están ”para ser recorridas” (Ejercicios 6.1.20 y 6.1.21) y las citadas peculiaridades no son en absoluto rechazables.
El conjunto de todas las curvas vectoriales de…nidas sobre el intervalo I tiene estructura natural deR-espacio vectorial y de F(I)-módulo.
Sean ~V ; ~W : I ! Rn dos curvas vectoriales con el mismo parámetro y
sea f : I ! R una función diferenciable. Entonces se veri…ca: d dt(~V + ~W ) = d dtV +~ d dtW ;~ d dt(f ~V ) = df dtV + f~ d dtV :~ (9) Si consideramos Rn como espacio euclídeo (esto es, En), se veri…ca
tam-bién: d dt < ~V ; ~W >=< d dtV ; ~~ W > + < ~V ; d dtW > ;~ (10) y si, además, n = 3, se tiene:
d dt(~V £ ~W ) = d dtV~ £ ~W + ~V £ d dtW~ (11) 1.2.2 Campos a lo largo de una curva
Uncampo (diferenciable) de vectores V a lo largo de una curva ® : I! Rn viene determinado por una curva vectorial (con el mismo parámetro)
~
V : I! Rn; y se de…ne como la aplicación:
V ´~V® : I 3 t 7! V(t) := ³ ~ V (t)´ ®(t) 2 T®(t)R n
Se denomina a ~V la parte vectorial de V. Obviamente se tiene, para todo t 2 I: V(t) = n X i=1 Vi(t)(~ei)®(t)
y las funciones diferenciables Vi : I! R reciben el nombre de componentes
de ~V ( y de V).
Ejemplo 1.10 (conviene hacer un dibujo) (a) sobre una curva ® : I!R2
arbitraria, se da el campo V(t) = (0; 1)®(t) (campo ”constante”, ”vertical” y
unitario), con parte vectorial ~V (t) = (1; 0); (b) sobre la curva ® : R 3 t 7! (0; t)2 R2, se da el campo V(t) = (1; t)
®(t), con parte vectorial ~V (t) = (1; t);
(c) sobre la curva ® : R 3 t 7! (p1+ cos t; p2 + sent) 2 R2, se da el campo
V(t) = (®(t)¡ p)®(t) (normal unitaria ”exterior” a la circunferencia Im ®),
con parte vectorial ~V (t) = ®(t) ¡ p.
La familia X® de campos a lo largo de la curva ® tiene estructura natural
de R-espacio vectorial y de F(I)-módulo.
Considerando Rn como espacio vectorial euclídeo (esto es, En), y dados
V; W2X® y t 2 I, se de…ne, de acuerdo con (7):
< V; W > (t) :=< ~V (t); ~W (t) >2 R ; y si, además, n = 3, se de…ne:
(V£ W)(t) : = (~V (t) £ ~W(t))®(t)2 T®(t)E3:
De…niendo …nalmente laderivada de V como el campo V02 X
®tal que V0(t) : = Ã d~V dt (t) ! ®(t) , 8t 2 I ;
resulta inmediato ver que las reglas formales análogas a las establecidas en (9) para ~V y ~W siguen siendo válidas ahora cuando V; W son campos (a lo largo de ®)
(V + W)0= V0+ W0 ; (f V)0 = df
dtV + fV
0;
siéndolo también la análoga a (10) si consideramosRn como espacio euclídeo
(esto es, En)
d
dt < V; W >=< V
0; W > + < V; W0> ;
así como la análoga a (11) si n = 3
1.2.3 Velocidad y aceleraciones de una curva
Se de…ne lavelocidad de una curva ® : I ! Rn como el campo ®0 2 X ®
determinado por la derivada d®
dt de la curva ®, esto es,
®0: I 3 t 7! ®0(t) := µ d® dt(t) ¶ ®(t) 2 T®(t)Rn :
Nótese que, al ser
d®
dt(t) = lim¢t!0
¡¡¡¡¡¡¡¡¡! ®(t)®(t + ¢t)
¢t ;
esta derivada es ya una curva vectorial
Así, la parte vectorial de ®0(t) es d®
dt(t) y se tiene: ®0(t) = n X i=1 d®i dt (t)(~ei)®(t) : El campo ®00:= (®0)02 X
® se denomina laaceleración de la curva ®.
En general, el campo ®(k) := (®(k¡1))02 X ®, que veri…ca ®(k)(t) = µ dk® dtk (t) ¶ ®(t) , 8t 2 I ; se denomina (k ¡ 1)-ésima aceleración de la curva ®.
Ejemplo 1.11 (conviene hacer un dibujo) (a) Sea la curva ®(t) := (t3; t2)2
R2; el campo de velocidades es ®0(t) = (3t2; 2t)
®(t), con parte vectorial d®dt(t) =
(3t2; 2t); el campo de aceleraciones es ®00(t) = (6t; 2)
®(t), con parte vectorial d2®
dt2(t) = (6t; 2). (b) Sea la curva ®(t) := (p1+ cos t; p2+ sent) 2 R2; el
campo de velocidades es ®0(t) = (¡sent; cos t)
®(t), con parte vectorial d®dt(t) =
(¡sent; cost); el campo de aceleraciones es ®00(t) = ¡(cos t; sent)®(t)(normal
unitaria ”interior” a la circunferencia Im ®), con parte vectorial d2®
dt2(t) =
¡(cos t; sent).
Proposición 1.12 Sea ® : I ! Rn una curva. Consideremos Rn como
es-pacio euclídeo (esto es,En) y sea A : En ! Enun movimiento con aplicación
ortogonal A :En ! En, como en (5). En tal caso, la curva A ± ® : I ! En
se denomina congruente con ® y se veri…ca: dk(A ± ®) dtk (t) = A µ dk® dtk(t) ¶ ; 8t 2 I; 8k = 1; 2; :::
Demostración. Al ser A(®(t)) = A(¡¡!o®(t)) + ~» ; 8t 2 I (y para cierto~» 2 En);se tiene: d(A ± ®) dt (t) = d(A(¡o®))! dt (t) = lim¢t!0 A(¡¡¡¡¡¡¡!o®(t + ¢t))¡ A(¡¡!o®(t)) ¢t = = A( lim ¢t!0 ¡¡¡¡¡¡¡¡¡! ®(t)®(t + ¢t) ¢t ) = A d® dt(t) ; y así sucesivamente
1.2.4 Vectores tangentes y velocidades de curvas
Sea ® : I ! Rn una curva tal que 0 2 I y ®(0) = p . Se dice entonces que
® es una curva por (el punto) p 2 Rn.
Si S es un subconjunto de Rn tal que p 2 S, una curva por p en S es
una curva por p cuya imagen (y la de alguna extensión diferenciable a un intervalo abierto, si el dominio de la curva no lo es) está contenida en S. Denotaremos por C(p; S) a la familia de dichas curvas.
Fijemos p 2 Rn. Si ® 2 C(p; Rn); el vector ®0(0) pertenece a T
pRn y se
veri…ca: ®0(0)1:2:3
= Pni=1d®i
dt (0)(~ei)p. Además, para cada ~»p2 TpRn; la curva
® :R 3 t 7! p + t~» 2 Rn veri…ca ®0(0) = ~»p . De donde se concluye:
TpRn=f®0(0) j ® 2 C(p; Rn)g :
Este es el primer paso para hacer de los vectores tangentes algo ”analíti-camente útil” (ver luego, apartado 2.1.2).
1.3 PARAMETRIZACIONES DE CURVAS
REGU-LARES
1.3.1 Parámetro de una curva
Sea ® : I ! Rn una curva. Como ya dijimos antes, la variable t de I se
denomina parámetro de ®.
Un difeomor…smo f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I entre intervalos de R se dice que preserva la orientación si df
ds(s) > 0 ; 8s 2 J. Si df
ds(s) < 0 ;
8s 2 J ; se dice que invierte la orientación. Por ejemplo, el difeomor…smo f : (¡b; ¡a) 3 s 7! t = ¡s 2 (a; b) invierte la orientación.
Aplicando la bien conocida regla de la cadena (2.1.3) a la composición de funciones de la forma J! I ! Rf n; resulta:
Proposición 1.13 Sea ® : I ! Rnuna curva y sea f : J 3 s 7! t = f (s) 2 I
1. Se veri…ca: (®± f)0 = df ds(® 0± f) : 2. Dado V 2 X®, se veri…ca: (V± f)0 = df ds(V 0± f ) :
Demostración: para todos2 J, se tiene:
(®±f)0(s)1:2:3= µ d(®± f ) ds (s) ¶ (®±f)(s) = µ df ds(s) d® dt(f(s)) ¶ ®(f (s)) 1:2:3 = df ds(s) ® 0(f (s)) y también (V±f)0(s) 1:2:2= Ã d(~V ± f ) ds (s) ! (®±f)(s) = Ã df ds(s) d~V dt (f (s)) ! ®(f (s)) 1:2:2 = df ds(s) V 0(f (s))
Un difeomor…smo f : J ! I, que permite pasar de ® a ®±f , se denomina uncambio de parámetro de ®; la nueva curva ®±f : J ! Rn se denomina
unareparametrización de ®. Tanto la relación de ”ser reparametrización” como la de ”ser reparametrización con la misma orientación” son de equiva-lencia sobre la familia de curvas y de…nen, por paso al cociente, los conceptos de trayectoria (imagen de la curva) y de trayectoria orientada (imagen dotada de un sentido de recorrido).
Ejemplo 1.14 Las curvas ® :R 3 t 7! (t; 0) 2 R2 y ¯ :R 3 t 7! (t3; 0)2 R2
poseen la misma trayectoria pero no son reparametrización una de la otra (sí lo serían si el dominio de ambas fuera R+).
1.3.2 Longitud de una curva
Consideremos Rn como espacio euclídeo (esto es,En).
Sea ® : I = [a; b] ! En una curva. Se llamalongitud de ® a la integral
(ver 2.1.5)
L(®) := Z b
a j ®
0(t) j dt
Observación 1.15 1. Si el intervalo de de…nición es abierto por algún lado, p.e. I = [a; b), se de…ne obviamente L(®) := limx!bRax j ®0(t)j dt
(suponiendo que el límite exista; por ejemplo, la curva ® : (0; 1] 3 t 7! (3; ln t)2 R2 posee longitud in…nita).
2. Una curva continua ® : I = [a; b] ! En se dice recti…cable si existe
un número a > 0 que acota superiormente la longitud de cualquier po-ligonal inscrita en ella (ver [2], De…nición 8.24). Condición necesaria y su…ciente para que ® sea recti…cable es ([2], Teorema 8.25) que cada componente ®i : I = [a; b]! E1 (i = 1; :::; n) sea de variación acotada.
Para ello es a su vez su…ciente ([2], Teorema 8.6) que cada d®i
dt exista
y esté acotada en (a; b). Así pues, nuestras curvas (diferenciables) son todas recti…cables. Para convencerse de que nuestra de…nición de lon-gitud coincide con la habitual para curvas continuas recti…cables (esto es, el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas), ver [5], 1.3, Ejercicio 8, [1], 2.3, Teorema 13.
Proposición 1.16 Sea ® : I = [a; b] ! En una curva y f : J = [c; d] !
[a; b] un cambio de parámetro de ®. Entonces L(®± f) = L(®) :
Demostración.Es consecuencia directa de la Proposición 1.13(1) y de la fórmula del cambio de variable en integrales de Riemann cuando la derivada del cambio de variable no se anula nunca (Teorema 2.11 en 2.1.5): L(®±f) := Z d c j (®±f) 0(s)j ds =Z d c j ® 0(f(s))j j df ds(s) j ds = Z b a j ® 0(t) j dt
1.3.3 Curva regular. Parametrización por la longitud de arco Una curva ® : I ! Rn se dice regular en t
0 2 I si ®0(t0) 6= ~0®(t0) . Se dice
que ® es regular si es regular en todo t 2 I. Se sigue de la Proposición 1.13(1) que, si ® : I ! Rn es regular y f : J ! I es un cambio de parámetro
de ®, entonces ® ± f es también regular.
Conviene distinguir, de entre las entidades matemáticas asociadas a una curva regular, las que dependen sólo de la trayectoria y las que dependen de la parametrización regular concreta. Así, por ejemplo, el campo ®0 depende
obviamente de la parametrización, mientras que el campo ®0=j ®0j depende
sólo de la trayectoria orientada, y el conjunto de rectas a…nes tangentes a ® depende sólo de la trayectoria.
Se dice que una curva regular ® : I ! En está parametrizada por la
longitud de arco si veri…ca la condición j ®0(s) j= 1; 8s 2 I. En tal caso
se tiene
L(® j[a;b]) = b¡ a ; 8a; b 2 I ; a < b
Intuitivamente, si una curva ® está parametrizada por la longitud de arco y …jamos un punto x0 = ®(s0), cualquier otro punto x de la imagen de ®
queda determinado por la distancia (con signo) que hay que recorrer sobre la curva para llegar desde x0 hasta x.
Obsérvese que, si j ®0j= 1, se tiene: < ®0; ®00 >= 0 (esto es, velocidad y
aceleración son ortogonales).
Proposición 1.17 Sea ® : I ! Enuna curva regular y t
0 2 I. La aplicación g : I 3 t 7! s ´ g(t) := Z t t0 j ®0(t) j dt 2 g (I ) ´ J veri…ca dg dt(t) =j ®0(t) j> 0 y su inversa f = g¡1 : J ! I es un cambio de
parámetro de ®. Además, la curva ® ± g¡1 : J ! En está parametrizada por
la longitud de arco. Demostración: j (®±g¡1)0(s) jPr op. 1.13(1)= j dg ¡1 ds (s) j j ® 0(g¡1(s))j= 1 j ®0(t) j j ®0(t)j= 1
Ejemplo 1.18 La curva (hélice) ® : (0; 1) 3 t 7! (3 cost 2; 3sen t 2; 5t) 2 E 3 veri…ca j®0(t)j = p109 2 . Haciendo s ´ g(t) := Rt t0 j ® 0(t) j dt = p109 2 t, se obtiene: t = p2s
109; la reparametrización de ® por la longitud de arco es la
curva ® ± g¡1: (0;p109 2 )3 s 7! (3 cos s p 109; 3sen s p 109; 10s p 109)2 E 3. En general,
la di…cultad en reparametrizar una curva regular por su longitud de arco no está tanto en hallar el nuevo intervalo J o en encontrar la función g : I ! J (lo que supone calcular una integral), sino en invertir g.
1.4 REFERENCIA MOVIL DE FRENET
Comenzamos con algunas de…niciones básicas: 1.4.1 Referencia móvil. Curva alabeada
Una referencia móvil (a lo largo) de una curva ® : I ! En es un
sistema ordenado (E1; :::; En) de campos Ei a lo largo de ® de forma que,
para cada t 2 I, el sistema (E1(t); :::; En(t)) es una base de T®(t)En . Si para
cada t 2 I esta base es ortonormal positiva, entonces se dice que (E1; :::; En)
es una referencia móvil euclídea de ®.
Obsérvese que, de acuerdo con lo dicho en 1.2.2, para cada t 2 I se tiene Ei(t) = ( ~Ei(t))®(t) ´ (®(t); ~Ei(t)) ;
El que la base (E1(t); :::; En(t)) de T®(t)Ensea ortonormal positiva
equiva-le (recordar 1.1.4) a que, escribiendo los Ei(t) en la base ((~e1)®(t); :::; (~en)®(t)),
la matriz
A(t)´ (E1(t) ; :::; En(t))
veri…que
AT(t)A(t) = In y det A(t) = 1 :
Una curva ® : I ! En (n¸ 2) se dice alabeada en t
02 I si el conjunto
de n ¡ 1 vectores (®0(t
0); : : : ; ®(n¡1)(t0)) de T®(t0)E
n es linealmente
indepen-diente. Se dice ® es alabeada si es alabeada en todo t 2 I. Toda curva alabeada es regular. Aplicando repetidamente la regla de la cadena se com-prueba que el concepto de ”ser alabeada” depende sólo de la trayectoria y no de la parametrización regular concreta.
En efecto: Seaf : J ! I un cambio de parámetro de ®(por tanto
df
ds no se anula nunca). Se tiene:
8 > > > > > < > > > > > : (®± f)0 P rop: 1:13(1)= dsdf (®0± f ) (®± f)00=¡dfds (®0± f)¢0= dds2f2 (®0± f) +dfds (®0± f)0 Prop: 1:13(2)= = dds2f2 (®0± f ) + (dfds)2 (®00± f) ;
con lo que((®± f )0; (®± f )00)son linealmente independientes si y sólo si lo son (®0± f; ®00± f). Y así sucesivamente
1.4.2 Referencia de Frenet
Una referencia de Frenet de una curva ® : I ! En es una referencia
móvil euclídea (E1; :::; En) de ® que veri…ca, para cada t2 I , la propiedad:
Span(E1(t); :::; Ek(t)) = Span(®0(t); : : : ; ®(k)(t)) ; para k = 1; : : : n¡ 1 :
El resultado fundamental es el siguiente:
Teorema 1.19 Sea ® : I ! En una curva. Entonces se tiene:
1. Si ® admite una referencia de Frenet, entonces necesariamente ® es alabeada.
2. Si ® es alabeada, entonces ® admite una referencia de Frenet, que puede de…nirse inductivamente de la siguiente forma:
(a) Se de…ne el campo E12 X® como
E1:=
"1
j "1j
, con "1:= ®0
(b) Supuesto que se han de…nido (E1; :::; Ek¡1), con k = 2; :::; n¡ 1 ,
se de…ne Ek := "k j "kj , con "k := ®(k)¡ k¡1 X i=1 < ®(k); Ei > Ei
(c) Supuesto que se han de…nido (E1; :::; En¡1); queda determinado un
único En tal que (E1; :::; En) es una referencia de Frenet de ®.
3. La referencia de Frenet de ® construída en el apartado 2 es la única que veri…ca además la siguiente propiedad:
< ®(k); Ek> > 0 ; k = 1; : : : ; n¡ 1 : (12)
Demostración. Los apartados 1 y 2 son inmediatos. Probemos 3: Obviamente la referencia (E1; :::; En)de Frenet de® construída en 2
veri…ca (12), ya que, parak = 1; : : : ; n¡ 1, se tiene:
< ®(k); Ek>=< Ã j "k j Ek+ k¡1 X i=1 < ®(k); Ei > Ei ! ; Ek>=j "kj> 0 :
Sea (F1; :::; Fn) otra referencia de Frenet de® que veri…ca (12).
En-tonces necesariamente E1= F1. Fijemos k = 2; :::; n¡ 1 y
suponga-mos que Ei= Fi, parai = 1; : : : k¡ 1; de la de…nición de referencia
de Frenet se tiene: ½ ®(k)= Pk i=1< ® (k); E i > Ei ´Pki=1¡1< ®(k); Ei > Ei+ < ®(k); Ek> Ek ®(k)= Pk i=1< ®(k); Fi > Fi = Pk¡1 i=1 < ®(k); Ei > Ei+ < ®(k); Fk > Fk ; ) ) < ®(k); Ek > Ek=< ®(k); Fk > Fk ; al ser, por (12), < ®(k); E k>; < ®(k); Fk >positivos y Ek; Fk
unita-rios, se deduce queEk = Fk. Finalmente, supongamos que Ei = Fi,
para i = 1; : : : n¡ 1; se concluye que En = Fn
Observación 1.20 1. Por lo que respecta al subconjunto (E1; :::; En¡1),
el método de construcción dado en el apartado 2 no es sino el método de ortonormalización de Schmidt aplicado a (®0; : : : ; ®(n¡1)).
2. Denominaremos a la única referencia de Frenet de ® que veri…ca la propiedad (12) la referencia de Frenet de ®: En lo sucesivo, no se considerarán otras referencias de Frenet.
1.4.3 Fórmulas de Frenet. Curvaturas Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E
1; :::; En) su referencia de Frenet.
Si V es un campo a lo largo de ® podemos escribir la identidad: V =
n
X
i=1
< V; Ei > Ei;
en particular, escribiremos (para todo j = 1; :::; n): E0j =
n
X
i=1
!ijEi ; con !ij :=< Ei; E0j > :
Ahora bien, se tiene (para j = 1; :::; n ¡ 1): (
Ej 2 Span(®0; : : : ; ®(j )) ; ) Ej0 2 Span(®0; : : : ; ®(j+1)) ; ) !ij = 0; si i > j + 1
< Ei; Ej >= cte; para todo i ; ) 0 = dtd < Ei; Ej > (10)
= !ji+ !ij; para todo i
Se deduce que las anteriores expresiones de las E0
j (j = 1; :::; n) pueden
escribirse en forma matricial:
(E01; :::; E0n) = (E1; :::; En) 0 B B B @ 0 ¡!21 ¢ ¢ ¢ 0 !21 0 ... ... ... ... 0 ¡!n;n¡1 0 ¢ ¢ ¢ !n;n¡1 0 1 C C C A (13) y se conocen por el nombre defórmulas de Frenet.
Observación 1.21 Se veri…ca: !i+1;i > 0 ; i = 1; :::; n¡ 2. Unicamente
!n;n¡1 puede tener cualquier signo.
En efecto: Por de…nición, cualquier referencia de Frenet(E1; :::; En)
de ® veri…ca (para todoi = 1; :::; n):
®(i) = i¡1 X j=1 < ®(i); E j > Ej+ < ®(i); Ei > Ei ´ Vi¡1+'iEi (¤) ;
con Vi¡12 Span(®0; : : : ; ®(i¡1)); de donde se deduce que
®(i+1)= Vi0¡1+d'i
dt Ei+ 'iE0i ´ Wi+ 'iE0i (¤¤) ;
Sea ahora i = 1; :::; n¡ 1. Se tiene: !i+1;i :=< Ei+1; E0i> (¤¤) = < Ei+1; 1 'i® (i+1) >(=¤) 'i+1 'i :
Pero, si(E1; :::; En)es la referencia de Frenet de®, se veri…ca (para
i = 1; :::; n¡ 1): 'i (12)> 0. Se sigue de lo anterior que (para i = 1; :::; n¡ 2): !i+1;i > 0
Sea ® : I ! En una curva alabeada y sea (E
1; :::; En) su referencia de
Frenet. Con las notaciones del apartado anterior, se denomina curvatura i-ésima (i = 1; :::; n ¡ 1) a la función diferenciable
·i :=
!i+1;i
j®0j : I ! R ;
se sigue de la Observación 1.21 que (para i = 1; :::; n ¡ 2): ·i > 0:
1.4.4 Teorema fundamental de la teoría de curvas
El interés de las curvaturas (de una curva alabeada) está en que son objetos sólo dependientes de la trayectoria orientada (Proposición 1.22(1)) y en que determinan, salvo movimientos directos, la curva (Teorema 1.24):
Proposición 1.22 (Invariancia de las curvaturas) Sea ® : I ! En (n¸ 2)
una curva alabeada con curvaturas ·i : I ! R (i = 1; :::; n ¡ 1):
1. Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que preserva orientación y consideremos la curva ~® := ® ± f :J ! En: Entonces, si ~·
i : J ! R
(i = 1; :::; n¡ 1) son las curvaturas de ~®; se tiene ~
·i = ·i ± f (i = 1; :::; n ¡ 1)
2. Sea A : En! En un movimiento directo y consideremos la curva ~® :=
A ± ® : I ! En. Entonces, si ~·
i : I ! R (i = 1; :::; n ¡ 1) son las
curvaturas de ~®, se tiene ~
·i = ·i (i = 1; :::; n¡ 1)
Demostración. Ver Apéndice 5.1.2
Observación 1.23 Si el cambio de parámetro en el apartado 1 no preservara orientación, se tendría (ver Ejercicio 6.1.22a)
½
~·1=¡·1 ± f (para n = 2)
Por otra parte, si el movimiento en el apartado 2 no fuera directo, se tendría (ver Ejercicio 6.1.22b)
½
~·i =¡·1 (para n = 2)
~·1 = ·1 y ~·2 =¡·2 (para n = 3) :
Teorema 1.24 (Teorema fundamental de la teoría de curvas) Dadas ·i :
I3 s 7! ·i(s) 2 R funciones diferenciables (i = 1; :::; n ¡ 1); con ·i > 0 para
i = 1; :::; n¡ 2; existe una única (salvo movimientos directos) curva alabeada ® : I 3 s 7! ®(s) 2 En parametrizada por la longitud de arco y con curvaturas
·i (i = 1; :::; n¡ 1):
Demostración. La versión bidimensional de este teorema es fácil (Ejercicio 6.1.9) de demostrar. La versión tridimensional (Teorema 1.29), esencialmente análoga a la versión general, exige para su demos-tración ciertas nociones de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales (ver Apéndice 5.1.3*) y se demuestra en el Apéndice 5.1.4*
1.5 CURVAS ALABEADAS PLANAS
1.5.1 Diedro de Frenet
En el caso de una curva plana ® : I ! E2, resulta lo mismo decir regular que
decir alabeada. Si ® es regular, su única curvatura ·1 := !j®210j se denota por
· y se denominacurvatura de ®. Si (E1; E2) es la referencia de Frenet (o
diedro de Frenet) de ®, es habitual llamar:
T´ E1campo tangente y N ´ E2 camponormal :
Las fórmulas de Frenet (13) se reducen entonces a: (T0; N0) = (T; N) µ 0 ¡ j®0j · j®0j · 0 ¶ ; (14) con · := 1 j®0j < N; T0> :
Observación 1.25 Sea ® : I ! E2 una curva plana regular.
1. Nótese que, si bien ® ”proporciona” la tangente T de Frenet, es el espa-cio euclídeo E2 el que induce la normal N. Fijado t
02 I, y escribiendo
para la parte vectorial de la tangente ~T (t0)´ (cosµ0; sen µ0), con µ02
2. En realidad, existe (pero esto es algo que hay que demostrar, ver Ejerci-cio 6.1.3a) una función diferenciable µ : I ! R tal que ~T = (cos µ; sen µ). Además esta función µ veri…ca (Ejercicio 6.1.3b): dµ
dt =j ®0j ·.
3. Consideremos la curva vectorial ~N : I ! E2 que asocia, a cada punto
de I, la parte vectorial de la normal de Frenet. Nótese que, en realidad, ~
N toma sus valores en la circunferencia unidad centrada en el origen. Sea un subintervalo I ½ I y sea t 2 I . Entonces se tiene:
lim I!ftg L( ~N jI) L(®jI) =j ·(t) j : En efecto: L( ~N jI) = RI¯¯¯d ~N dt(t)¯¯¯ dt (14) = RIj·(t)j ¯¯d® dt(t)¯¯dt, y el resultado se sigue
Cotéjese esta expresión en los casos sencillos (Ejercicio 6.1.1) de la curva (de curvatura · = 0 y con imagen una recta)
®(t) = p + t~» ; ) ~T (t) = ¯~»
¯¯~»¯¯¯ ; ) ~N(t) = cte ; ) L( ~N jI) = 0 y de la curva (de curvatura · = 1
r y con imagen una circunferencia)
®(t) = p + r(cos t; sen t) ; ) ~T (t) = (¡sen t; cos t) ; ) ) ~N(t) = (¡ cos t; ¡sen t) ; ) L( ~N jI) = 1
rL(®jI) :
Las fórmulas (14) son especialmente signi…cativas en el caso de que la curva esté parametrizada por la longitud de arco s (es decir, si j ®0 j= 1).
Si tomamos una referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) ´ (0; 0) y con base ortonormal la dada por ( ~T (0); ~N(0)), la curva tiene unas coordena-das ® (s) = (x (s) ; y (s)) cuyo desarrollo en serie de Taylor en s = 0 resulta determinado, en este caso, por los valores de la curvatura y sus sucesivas derivadas en el 0: En efecto, teniendo en cuenta que ~T (s) = ¡dxds(s) ;dyds(s)¢ y las fórmulas (14), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de
~
T en función de la base ( ~T ; ~N) , con unos coe…cientes que resultan ser com-binaciones de las sucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienza así: 8 > > > > > > < > > > > > > : d ~T ds = · ~N ; d2T~ ds2 = d ds ³ · ~N´= d· dsN + ·~ d ~N ds =¡· 2T +~ d· dsN ;~ d3T~ ds3 = µ ¡3·d· ds ¶ ~ T + µ ¡·3+d2· ds2 ¶ ~ N ; etc.
Al ser ®(s) = ®(0)+ d® ds(0) | {z } ~ T (0) s +1 2 d2® ds2(0) | {z } d ~T ds(0) s2+ 1 3! d3® ds3(0) | {z } d2 ~T ds2(0) s3+ 1 4! d4® ds4(0) | {z } d3 ~T ds3(0) s4+ ::: ; obtenemos …nalmente: 8 > > < > > : x (s) = s¡ 1 3!· 2(0) s3+ 1 4! µ ¡3· (0)d· ds (0) ¶ s4+ : : : y (s) = 1 2· (0) s 2+ 1 3! d· ds(0) s 3+ 1 4! µ ¡·3(0) + d2· ds2(0) ¶ s4+ : : :
En el caso de que la curva plana sea analítica, las expresiones anteriores son válidas para todo s 2 I y constituyen la expresión explícita de lo predicho por el Teorema 1.24 para esta clase de curvas, a saber, que quedan determinadas, salvo movimientos directos, por los valores de la curvatura y sus sucesivas derivadas en un punto.
Observación 1.26 De lo anterior se desprenden muchas otras propiedades geométricas interesantes. Por ejemplo, se ve que
· (0) = lim
s!0
2y (s) s2 ;
esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de · como el hecho de que la curvatura cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido.
Por otra parte, tomando módulos y teniendo en cuenta que la curva está parametrizada por la longitud de arco, se ve que
j · (0) j = lims!0 2d (s) L(® j[0;s])2
;
donde d (s) es la distancia entre el punto ®(s) y la recta afín que pasa por ®(0) y tiene por dirección ~T (0); esta expresión (intrínseca) permite intuir que el módulo de la curvatura no depende de la parametrización.
Sea ® : I ! E2 una curva alabeada y sea (T; N) su diedro de Frenet.
Para cada t 2 I, las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tiene por direccio-nes ~T (t) y ~N (t) se denominan recta tangente y recta normal de ® en t, respectivamente. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía la imagen de la curva de estar contenida en su recta tangente (Ejercicio 6.1.1a). Por otra parte, la propiedad de que la distancia de la curva a un punto …jo tuviera un máximo local para algún valor (interior al dominio) del parámetro acotaría inferiormente la curvatura en dicho valor del parámetro (Ejercicio 6.1.13).
1.5.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura
Proposición 1.27 Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura.
Entonces se veri…ca: · = det(® 0; ®00) j®0j3 : (15) Se sigue que: signo(·) = signo(< ®00; N >) : Además, si j®0j = 1, se deduce: j·j = j®00j .
Demostración.Recordar que, por ser(T; N)una referencia móvil euclídea, es det(T; N) = 1. Se tiene:
( ®0=:j®0j T T0 (14)= j®0j ·N ; ) (® 0; ®00) = (T; N)µ j®0j dj® 0j dt 0 j®0j2· ¶ ; ) ) det(®0; ®00) =det(T; N) | {z } 1 det µ j®0j dj®0j dt 0 j®0j2· ¶ =j®0j3· :
Se sigue que el signo de · es el signo del determinante de la matriz que transforma la base (T; N)en la base(®0; ®00). Pero, al serTy®0
colineales y con el mismo sentido, este signo resulta ser igual al signo del producto escalar < ®00; N >.
Finalmente, sij®0j = 1, es®00 = ·N; de donde se siguej·j = j®00j
1.6 CURVAS ALABEADAS EN EL ESPACIO
1.6.1 Triedro de Frenet
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada. Sus curvaturas ·
1 := !j®210j > 0 y
·2 := !j®320j reciben ahora los nombres de curvatura · y torsión ¿ de ®,
respectivamente . Si (E1; E2; E3) es la referencia de Frenet (o triedro de
Frenet) de ®, es habitual llamar
T´ E1 campotangente ; N ´ E2 c. normal principal y B ´ E3c. binormal ;
por ser (T; N; B) una referencia ortonormal positiva, resulta de (3) T£ N = B :
Las fórmulas de Frenet (13) quedan en la forma: (T0; N0; B0) = (T; N; B) 0 @ 0 ¡ j® 0j · 0 j®0j · 0 ¡ j®0j ¿ 0 j®0j ¿ 0 1 A ; (16)
con
· := 1
j®0j < N; T0> y ¿ :=
1
j®0j < B; N0> :
De forma análoga a como se hizo en el caso de las curvas planas, se puede calcular el desarrollo de Taylor (en el parámetro) de la curva, expresada ésta en la referencia afín euclídea con origen el punto ® (0) y con base ortonormal la dada por (~T(0); ~N(0); ~B(0)) . Los primeros términos de dicho desarrollo, cuando ® está parametrizada por la longitud de arco s (es decir, cuando j ®0j= 1), son 8 > > > > < > > > > : x (s) = s¡ 1 3!· 2(0) s3+ 1 4!(¡3·(0) d· ds (0))s 4+ : : : y (s) = 1 2· (0) s 2+ 1 3! d· ds(0) s 3+ 1 4!(¡· 3(0) + d2· ds2 (0)¡ ·(0)¿ 2(0))s4+ : : : z (s) = 1 3!· (0) ¿ (0) s 3+ 1 4!(2 d· ds (0) ¿(0) + ·(0) d¿ ds (0))s 4+ : : :
Observación 1.28 De nuevo se deducen de lo anterior propiedades de la geometría de la curva. Por ejemplo, se ve que
¿ (0) = lim
s!0
3!z (s) ·(0)s3 ;
esta expresión (no intrínseca) permite intuir tanto el signo de ¿ como el hecho de que la torsión no cambia de signo cuando cambia el sentido de recorrido (recordar que la curvatura · es siempre positiva).
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de
Fre-net. Para cada t 2 I, las rectas a…nes que pasan por ®(t) y tienen por direcciones ~T (t); ~N(t) y ~B(t) se denominan recta tangente, recta nor-mal principal y recta binornor-mal de ® en t, respectivamente. Y los pla-nos a…nes que pasan por ®(t) y tienen por plapla-nos (vectoriales) directores Span( ~T (t); ~N(t)); Span( ~N(t); ~B(t)) y Span( ~T (t); ~B(t)) se denominanplano osculador, plano normal y plano recti…cante de ® en t, respectivamen-te. Intuitivamente, la curvatura mide cuánto se desvía la imagen de la curva de estar contenida en su recta tangente y la torsión mide cuánto se desvía de estar contenida en su plano osculador (Ejercicio 6.1.4a).
Teorema 1.29 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión tri-dimensional) Sean ·; ¿ : I ! R funciones diferenciables, con · > 0 (sin pérdida de generalidad, supondremos que 0 2 I). Sea p 2 E3 y sea (³ ´
~³p; ´ ´ ~´p; Â ´ ~Âp) una base ortonormal positiva de TpE3. Existe una
úni-ca curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco, con
curvatura · y torsión ¿ , y veri…cando ®(0) = p; T(0) = ³; N(0) = ´ y B(0) = Â.
Demostración. Ver Apéndice 5.1.4* (exige ciertas nociones de sis-temas lineales de ecuaciones diferenciales, que pueden encontrarse en el Apéndice 5.1.3*)
1.6.2 Algoritmo para el cálculo de la curvatura y la torsión Proposición 1.30 Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sean · y ¿ su
curvatura y torsión, respectivamente. Entonces se veri…ca: · = j® 0£ ®00j j®0j3 y ¿ = det(®0; ®00; ®000) j®0£ ®00j2 : (17) Además, si j®0j = 1, se deduce: · =j®00j y ¿ = det(® 0; ®00; ®000) j®00j2 :
Demostración. Recordar que, por ser (T; N; B) una referencia móvil eu-clídea, esdet(T; N; B) = 1. Se tiene:
8 > < > : ®0 =:j®0j T T0 (16)= j®0j ·N N0 (16)= ¡ j®0j ·T+ j®0j ¿B ; ) ) (®0; ®00; ®000) = (T; N; B) 0 @ j® 0j dj®0j dt ¤ 0 j®0j2· ¤ 0 0 j®0j3·¿ 1 A ; ) ) 8 > > > > > > < > > > > > > : j®0£ ®00j(4)=¯¯¯¯det µ j®0j dj®0j dt 0 j®0j2· ¶¯¯ ¯¯ jT £ Nj| {z } 1 =j®0j3· det(®0; ®00; ®000) =det(T; N; B) | {z } 1 det 0 @ j® 0j dj®0j dt ¤ 0 j®0j2· ¤ 0 0 j®0j3·¿ 1 A = j®0j6 ·2¿ : Finalmente, sij®0j = 1, es 8 > < > : ®0 = T T0 (16)= ·N N0 (16)= ¡·T+¿ B ; ) (®0; ®00; ®000) = (T; N; B) 0 @ 1 0 ¡· 2 0 · d· dt 0 0 ·¿ 1 A ; ) ) · = j®00j y ¿ = det(®0; ®00; ®000) j®00j2
2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFIN
Se estudian aquí las super…cies del espacio afínR3, sin usar aún la
estruc-tura euclídea. Conviene recordar lo dicho en los apartados 1.1.1 al 1.1.3. Comenzamos reinterpretando algunas nociones preliminares y resultados del análisis de funciones de varias variables.
2.1 PRELIMINARES DE ANÁLISIS
En lo que sigue, consideraremos el espacio afín Rn con su topología usual.
Hay que advertir que, aunque dicha topología es la inducida por la distancia euclídea estándar (1.1.4), todas las nociones de distancia enRnque provienen
de una norma inducen la misma topología, por lo que ésta no presupone una distancia concreta. Hasta el apartado 2.1.5, no será necesario por tanto considerar un producto escalar concreto en Rn.
2.1.1 Aplicaciones diferenciables en Rn. Matriz Jacobiana
Sean (x1; :::; xn) las coordenadas canónicas de Rn, esto es, tales que:
xi :Rn3 (a1; :::; an)7! ai 2 R (proyección i-ésima):
Denotaremos por (y1; :::; ym) las coordenadas análogas enRm:
Sea U un abierto de Rn . Una aplicación F : U ! Rm se determina por
suscomponentes Fj ´ yj ± F : U ! R . Decimos entonces que
yj = Fj(x1; :::; xn) (j = 1; :::; m)
son las ecuaciones de F. Sea U un abierto de Rn. Una función f : U
! R se dirá diferenciable si posee derivadas parciales continuas de todos los órdenes (esto es, si es de clase C1). Recordemos aquí la de…nición de
derivada parcial (de 1er orden) de f con respecto a xi (i = 1; :::; n)
en p 2 Rn :
@f @xi
(p) := d
dt(f ± ®)(0) ; siendo ® : I! Rn la curva ®(t) = p + t~e
i (en la Observación 2.2(2) veremos
que, de hecho, podríamos tomar aquí como curva ® cualquiera que veri…cara ®0(0) = (~ei)p).
Una aplicación F : U ! Rm se dirá diferenciable si todas sus
Sea F :U ! Rm una aplicación diferenciable. LaJacobiana de F en p
2 U es la matriz (m £ n) dada por: DF (p) := µ@(F 1; : : : ; Fm) @(x1; :::; xn) ¶ (p)´ 0 B @ @F1=@x1 ¢ ¢ ¢ @F1=@xn ... ... @Fm=@x1 ¢ ¢ ¢ @Fm=@xn 1 C A (p) : 2.1.2 Vectores tangentes y derivaciones
Sean p 2 Rn y ~»
p 2 TpRn. Resulta útil considerar el vector tangente ~»p
bajo el punto de vista de una ”derivación de funciones”: dada una función diferenciable f :U ! R de…nida sobre un abierto U de Rn que contiene a p,
se de…ne laderivada direccional de f según ~»pcomo el número real
~»p(f ) := Df(p)(~») = n X i=1 @f @xi (p)»i :
Esto signi…ca, para los elementos de la base canónica (recordar 1.1.3) ((~e1)p; :::; (~en)p) de TpRn :
(~ei)p(f) =
@f @xi
(p) (i = 1; :::; n) ; lo que justi…ca introducir la notación
µ @ @xi ¶ p ´ (~ei)p (i = 1; :::; n) :
Con esta notaciónestamos de hecho reinterpretando el vector tan-gente(~ei)p, que pasa, de ser (recordar 1.2.4) la velocidad ®0(0) de la
curva ®(t) := p + t~ei, a ser el ”operador” que asocia, a cada
fun-ción f de…nida en un entorno de p, su derivada parcial @f =@xi en
p. Este es el segundo paso para hacer de los vectores tangentes algo ”analíticamente útil”
Así, la base canónica de TpRn se escribirá
õ @ @ x1 ¶ p ; : : : ; µ @ @xn ¶ p !
y la velocidad de una curva ® : I ! Rn en ¿ 2 I tendrá la expresión:
®0(¿ )1:2:3= n X i=1 d®i dt (¿ ) µ @ @xi ¶ ®(¿) :
2.1.3 Diferencial y regla de la cadena
Sea F :U ! Rm una aplicación diferenciable de…nida sobre un abierto U de
Rn. Se llamadiferencial de F en p 2 U a la aplicación lineal
dF jp : TpRn3 ~»p 7! (DF (p)(~»))F(p)2 TF (p)Rm;
es decir, se trata de la aplicación lineal que tiene por matriz, respecto de las bases canónicas de TpRn y de TF (p)Rm, la matriz jacobiana DF (p) . Se tiene
así: dF jp µ @ @xi ¶ p = m X j=1 @Fj @xi (p) µ @ @yj ¶ F (p) (i = 1; :::; n) (18) Observación 2.1 En particular, se tiene:
1. Si ® : I ! Rn es una curva y ¿ 2 I: d®j¿ µ d dt ¶ ¿ (18) = n X i=1 d®i dt (¿) µ @ @xi ¶ ®(¿) 2:1:2 = ®0(¿ ) :
2. Si f : U ! R es una función diferenciable, p 2 U y ~»p 2 TpRn, se
tiene: df jp~»p = Ã n X i=1 @f @xi (p)»i ! f (p) 2:1:2 = ³~»p(f) ´ f(p) :
Es frecuente (y muy útil en desarrollos posteriores de la geometría dife-rencial) identi…car el vector tangente³~»p(f )
´
f (p) 2 Tf(p)R con su parte
vectorial, esto es, con el número ~»p(f )2 R. Si se hace esta identi…ca-ción, se encuentra: df jp~»p= Pn i=1 @f @xi(p) »i = Pn i=1 @f @xi(p) (dxi jp~»p);
y, al ser ~»p2 TpRn arbitrario, se obtiene la expresión
df jp= n X i=1 @f @xi (p) dxi jp ;
que resultará familiar del curso de cálculo diferencial.
SeanU ½ Rn, V ½ Rm abiertos y F y G aplicaciones diferenciables:
U F
! V! RG l ;
entonces G ± F : U ! Rl es una aplicación diferenciable, y se veri…ca para
todo p 2 U
Esta es exactamente la versión geométrica de la clásica regla de la cadena, que establece, en términos de matrices jacobianas, la igualdad:
D(G± F )(p) = DG(F (p))DF (p) y que, en coordenadas, se escribe:
@ (zk± G ± F ) @xi (p) = m X j=1 @(zk± G) @yj (F (p)) @(yj± F ) @xi (p) (k = 1; :::; l ; i = 1; :::; n) ; en donde se han tomado coordenadas (xi) en Rn, (yj) en Rm, (zk) en Rl y
se supone que yj = Fj(x1; :::; xn) (j = 1; :::; m) y zk = Gk(y1; :::; ym) (k =
1; :::; l) son las ecuaciones de F y G respectivamente. Observación 2.2 :
1. Si F : (Rn ¾)U ! Rm es una aplicación diferenciable y ® : I ! U es
una curva, se tiene para todo ¿ 2 I : (F ± ®)0(¿ )Obs:2:1(1)= d(F ± ®) j ¿ ¡d dt ¢ ¿ (19) = = (dF j®(¿)± d® j¿) ¡d dt ¢ ¿ Obs:2:1(1) = dF j®(¿) ®0(¿ ) : (20) Surge así la siguiente interpretación geométrica de la diferencial: Dados p 2 U; » 2 Tp Rn y cualquier curva diferenciable ® por p (1.2.4) tal
que ®0(0) = », se tiene:
dF jp» = (F ± ®)0(0) :
2. Si f :U ! R es una función diferenciable, p 2 U, ~»p2 TpRn y ® : I !
Rn es cualquier curva por p tal que ®0(0) = ~»
p, se tiene: ~»p(f ) Obs: 2:1(2) = P arte vect: de ³df jp~»p ´(20) = d(f ± ®) dt (0) : (21) En particular, la curva ® por p utilizada para de…nir (2.1.1) la deri-vada parcial @f
@xi(p) podría haber sido cualquiera que veri…cara ®
0(0) = ³ @ @xi ´ p.
