6.4.1 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas)
Sean M una super…cie de E3, ® : I ! M una geodésica no trivial de M y
V un campo de vectores a lo largo de ® y tangente a M. Probar que V es paralelo a lo largo de ® si y sólo si la norma j V j y el ángulo que forma V con ®0 son constantes a lo largo de ®.
6.4.2 (Super…cie de bisectrices recti…cantes de una curva alabea- da)
Sea ® : I ! E3una curva alabeada y sea (T; N; B) su triedro de Frenet. Para
cada t 2 I , llamemos bisectriz recti…cante de ® en t a la recta afín que pasa por ®(t) y tiene por dirección la del vector ~T (t)+ ~B(t). Supongamos que el conjunto M , unión de todas las bisectrices recti…cantes de ®, constituye una super…cie M deE3.
(a) Dar una parametrización local en torno a cada punto de M . (b) Calcular la curvatura de Gauss de M y comprobar que sólo de-
pende de la curvatura y de la torsión de ®.
(c) Demostrar que la curva ® es plana si y sólo si la curvatura media de M en los puntos de la imagen de ® es nula.
(d) Estudiar si ® es geodésica de M .
(e) Estudiar si ® de…ne una línea de curvatura de M.
(f) Probar que, si las funciones curvatura y torsión de ® coinciden, entonces cualquier recta afín contenida en M y que corte a la imagen de ® es una bisectriz recti…cante de ®.
(g) Estudiar si el campo T + B, tangente a M , es paralelo a lo largo de ®.
6.4.3 (Geodésicas en el plano, cilindro y esfera)
Probar que las siguientes curvas ® : I ! M son geodésicas de las siguientes super…cies M deE3:
(a) ®(t) := p + t~» (con p 2 M , ~» 2 E3) y M un plano que contenga
(de hecho, M podría ser cualquier super…cie que contuviera) a la imagen de ®.
(b) ®(t) := (r cos(at+b); r sen(at+b);ct+d) (con a; b; c; d; r(> 0) 2 R) y M := f(x1; x2; x3)2 E3 j x21+ x22 = r2g (cilindro).
(c) ®(t) := r(cos at)~» + r(sen at)~´ (con a; r(> 0) 2 R y ~»;~´ 2 E3
ortonormales) y M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j x21 + x22+ x23 = r2g
(esfera).
(d) Probar que, en los tres casos (plano, cilindro y esfera), todas las geodésicas de M son de esa forma.
6.4.4 (Reparametrización de geodésicas)
Sea ° : I ! M una geodésica de una super…cie M de E3:
(a) Supongamos que ° es no trivial y sea f : J ! I un cambio de parámetro de °. Probar que ° ± f : J ! M es geodésica de M si y sólo si existen a; b 2 R tales que
f (s) = as + b ; 8s 2 J :
(b) Sean p ´ °(t0); » ´ °0(t0) , para cierto t0 2 I. Sea °» la geodésica
maximal por ». Probar que °(t) = °»(t¡ t0) ; 8t 2 I:
(c) Supóngase que °(t0) = °(t1); °0(t0) = °0(t1); para ciertos t0; t12 I .
Probar que ° es periódica, de período t1¡ t0.
6.4.5 (Super…cies geodésicamente completas)
Una super…cie M deE3se dicegeodésicamente completa si toda geodésica
maximal de M tiene por dominioR. ¿Cuáles de las siguientes super…cies son geodésicamente completas?:
(a) La esfera M := f(x1; x2; x3) 2 E3j x21+ x22+ x23 = r2g:
(b) La esfera exceptuado el polo norte M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j
x2
1+ x22+ x23 = r2; x36= rg:
(c) El cono M := f(x1; x2; x3) 2 E3j x12+ x22¡ x23= 0; x3 > 0g:
(d) El cilindro M := f(x1; x2; x3)2 E3j x21+ x22= r2g:
(e) El cilindro exceptuada una generatriz M := f(x1; x2; x3) 2 E3 j
x2
6.4.6 (Transporte paralelo en el plano)
Sea M un plano afín deE3. Dados dos puntos p; q 2 M y un vector tangente
~»p 2 TpM, probar que, para cualquier curva ® : [a; b]! M que una p y q, la
imagen de ~»ppor el transporte paralelo hasta q a lo largo de ® es ~»q. 6.4.7 (Transporte paralelo a lo largo de geodésicas en la esfera) Sea la esfera M := f(x; y; z) 2 E3 j x2+ y2+ z2= r2g y sea p ´ (0; 0; r) su
”polo norte”.
(a) Consideremos la curva (cuya trayectoria es un semimeridiano de azimut Á 2 R)
®Á : [0; ¼]3 t 7! (r sen t cos Á; r sen t sen Á; r cos t) 2 M :
i. Dado » =(1; 0; 0)p 2 TpM , hallar V» 2 Xk®Á(M). Hallar el
transporte paralelo de » de p = ®Á(0) a ®Á(¼) a lo largo de
®Á:
ii. Dado ´ =(v1; v2; 0)p2 TpM , hallar el transporte paralelo de
´ de p = ®0(0) a ®0(¼) a lo largo de ®0:
(b) Sean »; ´ 2 TpM tales que j » j= j ´ j. Probar que existe un
camino cerrado ® : [a; b] ! M con ®(a) = ®(b) = p tal que la imagen de » por el transporte paralelo hasta p a lo largo de ® es ´:
6.4.8 (Transporte paralelo a lo largo de curvas de tangencia) Sean M1 y M2 dos super…cies de E3 (con derivadas covariantes r1 y r2) y
sea ® : I ! E3una curva tal que ®(I ) ½ M
1 \ M2. Supongamos V 2 X® tal
que sea tangente a ambas super…cies a lo largo de ®.
(a) Probar con un ejemplo que V puede ser r1-paralelo (a lo largo de
®) y a la vez no serr2-paralelo (a lo largo de ®).
(b) Probar que, si M1 y M2 son tangentes a lo largo de ®, entonces
V es r1-paralelo si y sólo si es r2-paralelo. En particular, ® es
6.4.9 (Transporte paralelo y reparametrizaciones)
Sea M una super…cie deE3, sea ® : I ! M una curva regular y sea f : J ! I
un cambio de parámetro de ®. Probar que:
(a) Un campo de vectores V 2 X®(M) es paralelo a lo largo de ® si y
sólo si V ± f 2 X®±f(M) es paralelo a lo largo de ®± f.
(b) Dados dos puntos p; q 2 M, el transporte paralelo de p a q a lo largo de una curva ® que los une es el mismo que a lo largo de cualquier reparametrización de ® que preserve la orientación. (c) Dados dos puntos p; q 2 M, el transporte paralelo de p a q a
lo largo de una curva ® que los une es el inverso del transporte paralelo de q a p a lo largo de cualquier reparametrización de ® que invierta la orientación.
6.4.10 (Isometrías e isometrías locales 2)
(a) ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones à son isometrías locales?: i. F : S2(1) 3 p 7! 2p 2 S2(2), dondeS2(r) es la esfera de radio
r de E3 centrada en el origen. ii. F :S2(r)3 p 7! ¡p 2 S2(r) .
iii. F : M 3 (x1; x2; x3)7! ((a+bxr1) cos x3; (a +bxr1)senx3; bxr2)2
¹ M ; siendo ½ M :=f(x1; x2; x3)2 E3j x21+ x22= r2g (cilindro) ¹ M :=f(x1; x2; x3)2 E3j ( p x2 1+ x22¡ a)2+ x23= b2 ; a > b > 0g (toro)
(b) Sean los cilindros de E3
½
M :=f(x1; x2; x3)2 E3 j x21+ x22 = r2g
¹
M :=f(x1; x2; x3)2 E3 j x21+ x22 = ¸2r2 ; ¸ > 0g
: i. Dada una aplicación diferenciable F : M ! ¹M , probar que
F no puede ser una isometría local si ¸6= 1
n ; con n 2 Z +.
ii. Probar que M y ¹M no pueden ser isométricos si ¸6= 1. iii. Probar que, para todo ¸ > 0, existen abiertos U de M y U de
¹
M que son isométricos (recordar el Teorema de Minding). (c) Sean M := f(x1; x2; x3)2 E3 j x1sen x3= x2cos x3g un helicoide
(Ejercicio 6.2.6) y ¹M la super…cie de revolución de E3 generada
(notaciones como en el Ejercicio 6.2.7) por Im ® (supuesta en el plano x1x3) al girar en torno al eje x3, siendo ® : (0; 1) ! E2
entre abiertos de M y ¹M que preserva la curvatura de Gauss pero que no es una isometría. Concluir que el ”recíproco” del teorema egregio de Gauss (Proposición 3.26(2)) no es cierto.
6.4.11 (Super…cies simétricas respecto de un plano)
Sea M una super…cie de E3 que es simétrica por re‡exión respecto de un
plano afín ¦.
(a) Probar que toda geodésica de M que pase por un punto de ¦ y tenga allí una velocidad tangente a ¦ está necesariamente conte- nida en ¦.
A partir de ahora, supóngase que la intersección ¦ \ M es la imagen de una curva regular ° : [0; L] ! M tal que °(0) = °(L) (puede utilizarse, sin necesidad de demostración, que, en estas condiciones, ¦ no es nunca tangente a M ).
(b) Sea º cualquier elección de normal unitaria (local) a M . Probar que º ± ° es tangente a ¦.
(c) Probar que ° de…ne una línea de curvatura. A partir de ahora, supóngase que j°0j = cte:
(d) Probar que ° es geodésica. (e) Probar que °0(0) = °0(L).
6.4.12 (Curvatura, geodésicas y transporte paralelo en un para- boloide de revolución)
Considérese el paraboloide (elíptico) de revolución M de E3 de…nido por la
ecuación 2z = x2+ y2 . Sea la curva
® : [0; 2¼] 3 t 7! (½0cos t; ½0sent;
½20
2)2 M ; donde ½0 > 0 es una constante.
(a) ¿Puede alguna reparametrización de ® ser geodésica de M ? (b) Calcular la curvatura de Gauss de M .
(c) Determinar todas las geodésicas de M que pasan por el origen o = (0; 0; 0).
(d) Demostrar que toda isometría F : M ! M veri…ca F(Im ®) = Im ® y, en particular, deja …jo el punto o.
(e) Denótese p = ®(0) = ®(2¼). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®.
6.4.13 (Super…cie tangente a un plano a lo largo de una curva) Sean M una super…cie y P un plano de E3. Supóngase que M \ P = Im®,
donde ® : [0; 1] ! E3 es una curva regular, parametrizada por la longitud de
arco y tal que ®(0) = ®(1). Supóngase además que M y P son tangentes a lo largo de ®.
(a) Probar que ® de…ne una línea de curvatura y asintótica de M . (b) Probar que los puntos de Im ® son puntos parabólicos o planos de
M .
(c) Denótese p = ®(0) = ®(1). Hallar el ángulo £ 2 (¡¼; ¼] que forma cualquier vector tangente a M en p con su transportado paralelo de nuevo hasta p a lo largo de ®.
(d) ¿Es posible que ® sea geodésica de M ? (e) Poner un ejemplo concreto de M , P y ®.
6.4.14 (Carácter de los puntos de una super…cie 2)
Sea p un punto de una super…cie M deE3. Estudiar las implicaciones lógicas
que existen entre las siguientes a…rmaciones, dando una demostración (si se piensa que la posible implicación es cierta) o un contraejemplo (si se piensa que es falsa):
(a) El punto p es un punto plano de M .
(b) Por p pasan tres (segmentos de) rectas distintas contenidas en M . (c) Todas las geodésicas de M que pasan por p son no-alabeadas a su
paso por p.
6.4.15 (Super…cie de Schwarzschild)
Sea ¹ un número real positivo. Considérese la curva plana ® : (2¹; 1) 3 ½7! (2p2¹(½¡ 2¹); ½) 2 E2.
(a) Calcular la curvatura ·® de ®.
(b) Probar que el subconjunto M de E3 obtenido al girar la imagen
de ® en torno al eje x1 es una super…cie. Encontrar una parame-
trización local en torno a cada punto de M .
(c) Calcular los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en la carta asociada a la parametrización anterior.
(d) Calcular la curvatura de Gauss de M y clasi…car los puntos de M . (e) Estudiar si ® es geodésica de M , si de…ne una línea de curvatura
de M y si de…ne una línea asintótica de M .
(f) Encontrar una base de campos (a lo largo de ® y tangentes a M ) paralelos (respecto de la derivada covariante en M ).
La super…cie ”de Schwarzschild” M es la versión 2-dimensional de ciertos conjuntos de simultaneidad en la descripción relativista del sistema solar; el parámetro ¹ representa una longitud carac- terística relacionada con la masa del sol.
Referencias
[1] A. M. Amores. Curso básico de curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001. [2] T. M. Apostol. Análisis matemático. Reverté, 1979.
[3] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Ejercicios de Geometría Dife- rencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 1998.
[4] A. F. Costa, M. Gamboa, and A. Porto. Notas de Geometría Diferencial de Curvas y super…cies. Sanz y Torres, 2001.
[5] M. P. do Carmo. Geometría diferencial de curvas y super…cies. Alhambra, 1990.
[6] J. E. Marsden. Elementary classical analysis. Freeman, 1974. [7] W. S. Massey. Introducción a la topología algebraica. Reverté, 1972. [8] J. A. Thorpe. Elementary Topics in Di¤erential Geometry. Springer,