5.4 GEOMETRÍA INTRÍNSECA LOCAL DE SUPERFICIES
5.4.3 Super…cies en el espacio euclídeo Ecuaciones de com-
Sea M una super…cie deE3. Fijada una carta (U; '¡1 = (u; v)), es claro que
el conjunto de campos locales (@ @u;
@
inducida por la carta (recordar 3.2.1), constituye una base del módulo XU.
Las derivadas naturales (40) con respecto a @ @u y
@
@v de los tres campos de
esta base local se podrán a su vez escribir como combinaciones lineales de estos mismos campos; de hecho, conocemos ya todos los coe…cientes de estas combinaciones lineales: son los símbolos de Christo¤el, los coe…cientes de la segunda forma fundamental y los del operador de Weingarten. En efecto, la ecuación (62) da en particular: D @ @ui @ @uj =r @ @ui @ @uj + hijº' (63) = 2 X k=1 ¡kij @ @uk + hijº' (i; j = 1; 2) ;
mientras que la de…nición del operador de Weingarten (53) da: ¡D @ @uiº' = 2 X j=1 lj i @ @uj (i = 1; 2) ;
utilizando los coe…cientes (50) de la segunda forma fundamental podemos reescribir estos dos conjuntos de ecuaciones como:
8 > > > > > < > > > > > : D@ @u @ @u = ¡ 1 11 @ @u + ¡ 2 11 @ @v + eº' D@ @u @ @v = ¡ 1 12@u@ + ¡ 2 12@v@ + fº' D@ @v @ @v = ¡ 1 22@u@ + ¡ 2 22@v@ + gº' ¡D@ @uº' = l11 @ @u + l21 @ @v ¡D@ @vº'= l12 @ @u+ l22 @ @v : (79)
Es importante observar ahora que todos los coe…cientes que aquí aparecen se obtienen a partir de los de las dos formas fundamentales (gij) y (hij). En
efecto:
(1) los símbolos de Christo¤el ¡k
ij dependen sólo (Proposición 4.4) de los
coe…cientes gij de la primera forma fundamental.
(2) los coe…cientes (lij) veri…can (54) la igualdad matricial (lij) = (gij)¡1(hij).
La consistencia de las igualdades (79) exige la existencia de relaciones entre las (gij) y las (hij) . Ya en el Teorema 4.7 se vio que la condición
(DUDVU)T an= (DVDUU )T animplica cierta relación (68) que hace patente
el carácter intrínseco de la curvatura de Gauss. Si ahora introducimos las notaciones Ui ´ @u@i y Kijkl ´< ¡rUirUjUk+rUjrUiUk; Ul > (i; j; k; l =
1; 2) , esta relación (68) equivale a
K1212= det(hij) ; (80)
Por otra parte, volviendo a la notación U ´ @ @u; V ´ @ @v y teniendo en cuenta (79), se encuentra: 8 < : (DUDVU)Nor =¡DU¡¡112@u@ + ¡212@v@ + fº ¢¢Nor = ³¡112e + ¡212f + @(f@u±') ± '¡1 ´ º (DVDUU)Nor = ¡ DV ¡ ¡1 11@u@ + ¡ 2 11@v@ + eº ¢¢Nor =³¡1 11f + ¡211g + @(e@v±') ± '¡1 ´ º y análogamente (intercambiando los papeles de u y v)
8 < : (DVDUV)Nor = ¡ DV ¡ ¡1 12@u@ + ¡212@v@ + fº ¢¢Nor = ³¡1 12f + ¡212g +@(f@v±')± '¡1 ´ º (DUDVV)Nor =¡DU¡¡122@u@ + ¡222@v@ + gº¢¢Nor= ³ ¡122e + ¡222f + @(g@u±')± '¡1´º Así, de la condición (DUDVU)Nor= (DVDUU)Nory de su análoga (inter-
cambiando los papeles de u y v) (DVDUV)Nor = (DUDVV)Nor se obtienen:
( @(e±') @v ± '¡1¡ @(f±') @u ± '¡1= ¡112e + (¡122 ¡ ¡111)f ¡ ¡211g @(g±') @u ± '¡1¡ @(f±') @v ± '¡1= ¡212g + (¡121 ¡ ¡222)f ¡ ¡122e ; (81) que se denominanecuaciones de Mainardi-Codazzi.
Las ecuaciones (80) y (81) se denominan ecuaciones de compatibi- lidad. Es importante recalcar que no existen otras relaciones de compati- bilidad entre la primera y la segunda forma fundamentales; concretamente, se veri…ca el siguiente resultado, que es una especie de análogo al teorema fundamental de la teoría de curvas:
Teorema 5.1 (Bonnet) Sean E; F; G; e; f; g :U ! R funciones diferencia- bles de…nidas sobre un abierto U de R2 (con coordenadas (u; v)), siendo
E > 0; G > 0; EG¡ F2 > 0, y veri…cando formalmente las igualdades
(80) y (81), con las ¡k
ij dadas por las ecuaciones (66). Existe entonces una
parametrización global ' :U ! U de una super…cie U en E3 para la que las
funciones E; F; G; e; f; g son los coe…cientes de sus formas fundamentales. Además la super…cie U está determinada salvo movimientos.
Demostración.Ver [5], 4.3, Teorema, con demostración en el Apén- dice al Capítulo 4
6 EJERCICIOS
Los enunciados de los ejercicios que siguen proporcionan muchos ejemplos para el desarrollo de la teoría. Intentar resolverlos (y lograrlo en bastantes casos) constituye una parte fundamental del curso. Repensarlos una vez re- sueltos ilustra en muchos casos sobre el ”puesto” que ocupa cada ejercicio en el desarrollo de la teoría. Se ha renunciado deliberadamente a dar indi- caciones sobre el grado de di…cultad de cada ejercicio (eventuales ”pistas” pueden surgir en las clases prácticas o en las tutorías). Para colecciones de problemas resueltos, ver por ejemplo [3] (cuyos convenios y notaciones son los de [4]); en todo caso, téngase en cuenta que no es ni mucho menos lo mismo intentar resolver problemas que ”estudiar” problemas resueltos.
6.1 TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO
EUCLÍDEO
6.1.1 (Curvatura y recta / Curvatura y circunferencia) Sea ® : I ! E2 una curva regular y sea · su curvatura. Probar que:
(a) La trayectoria de ® es un segmento de recta si y sólo si ·(t) = 0 (constante):
(b) La trayectoria de ® es un arco de circunferencia de radio r > 0 si y sólo si j ·(t) j= 1=r (constante).
6.1.2 (Hélices 1)
Sean a; b; c 2 R , con a y c no nulos. Considérese la curva ® : R 3 s 7! ¡
a cos¡sc¢; a sen¡sc¢; bsc¢ 2 E3. Si b 6= 0, se dice que la trayectoria de ® es
unahélice.
(a) ¿Es el parámetro s la longitud de arco? (b) Determinar la curvatura y la torsión de ®.
(c) Demostrar que la recta (afín) normal principal de ® en s corta al eje z bajo un ángulo igual a ¼=2 (independiente de s).
(d) Demostrar que las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con el eje z.
6.1.3 (Determinación diferenciable del ángulo) Sea ® : I ! E2 una curva plana, regular y sea T 2X
® su campo (unitario)
tangente.
(a) Probar que existe una función diferenciable µ : I ! R de forma que ~T = (cos µ; sen µ).
(b) Probar que se veri…ca: dµ
dt =j ®0j · , siendo · la curvatura de ®.
6.1.4 (Torsión y curva plana / Normales y circunferencia) Sea ® : I ! E3 una curva alabeada y sea ¿ su torsión. Probar que:
(a) La trayectoria de ® está sobre un plano (esto es, la curva es plana) si y sólo si ¿ (t) = 0 (constante).
(b) La trayectoria de ® está sobre una circunferencia si y sólo si las rectas (a…nes) normales principales de ® pasan todas por un punto …jo.
6.1.5 (Tangentes y recta) Sea ® : I ! E3 una curva regular.
(a) Probar que la trayectoria de ® está sobre una recta si y sólo si las rectas (a…nes) tangentes de ® pasan todas por un punto …jo. (b) ¿Se satisface todavía la conclusión de (a) si ® no es regular? 6.1.6 (Evolutas)
Sea ® : I ! E2 una curva regular, con curvatura ·(t) 6= 0 para todo t 2 I .
Sea N 2X® su campo (unitario) normal. La curva
¯(t) := ®(t) + 1
·(t)N (t) ; t~ 2 I
se denomina laevoluta de ® (su imagen es el lugar geométrico de los ”cen- tros de curvatura” de ®).
(a) Demuéstrese que, si d·
dt(t) 6= 0, la recta (afín) normal de ® en t es
tangente a ¯ en t.
(b) Considérense las rectas normales de ® en dos valores próximos (pero distintos) t1 y t2 del parámetro: Aproxímese t1 a t2 y de-
muéstrese que el punto de intersección de ambas rectas converge hacia un punto de la trayectoria de la evoluta de ®.
6.1.7 (Catenarias)
La trayectoria de…nida por la curva plana ® : R 3 t 7! (t; cosh t) 2 E2 se
denominacatenaria.
(a) Hallar la curvatura de ®. (b) Hallar la evoluta de ®. 6.1.8 (Cicloides)
La curva ® : [0; 2¼] ! E2 de ecuaciones x = rt ¡ rsen t; y = r ¡ r cos t
describe el movimiento de un punto …jo de una circunferencia C de radio r cuando ésta rueda apoyada sobre el eje x. La trayectoria de ® se denomina cicloide.
(a) ¿Es ® una curva regular?. Hallar su longitud. Reparametrizar ® por la longitud de arco.
(b) Hallar la curvatura de ®.
(c) Demostrar que la trayectoria de la evoluta de ® es otra cicloide. 6.1.9 (Teorema fundamental de la teoría de curvas, versión bidi-
mensional)
Dada una función diferenciable f : I ! R , demuéstrese que existe una única (salvo movimientos directos) curva regular ® : I ! E2parametrizada por la
longitud de arco y con curvatura f.
6.1.10 (Diferenciabilidad, regularidad, alabeo) Considérese la aplicación ® :R ! E3 dada por
®(t) := 8 < : (t ; e¡1=t2 ; 0) si t < 0 (0; 0; 0) si t = 0 (t ; 0 ; e¡1=t2) si t > 0
(a) Estudiar si ® es una curva (esto es, si es diferenciable).
(b) Estudiar si ® es regular, si es alabeada y qué ocurre con su curva- tura.
(c) Probar que el límite de los planos osculadores de ® cuando t ! 0¡
es el plano z = 0, pero que dicho límite es el plano y = 0 cuando t! 0+:
(d) Demostrar que la torsión de ® es nula en todos los puntos en los que está de…nida.
6.1.11 (Ángulo polar como parámetro)
Sea la curva plana ® : [a; b] 3 Á 7! (radio = ½(Á); ¶angulo = Á) 2 E2 ¡
forigeng, con ½ : [a; b] ! R+cierta función diferenciable. La curva está pues
dada en coordenadas polares y con el propio ángulo como parámetro. (a) Demostrar que la longitud de ® veri…ca:
L(®) = Z b a s (d½ dÁ)2+ ½2dÁ
(b) Demostrar que, si ® es regular, su curvatura · veri…ca: · = 2( d½ dÁ) 2¡ ½d2½ dÁ2 + ½2 ((dÁd½)2+ ½2)3=2
(c) Calcular la longitud y la curvatura de la curva (cuya imagen es una espiral logarítmica) ® : [0; 1) 3 Á 7! (½(Á); Á) 2 E2, donde
½(Á) = ae¡bÁ (con a; b 2 R+). Reparametrizar ® por la longitud
de arco.
6.1.12 (Curvas sobre esferas)
Sea una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco y
sean · y ¿ su curvatura y torsión, respectivamente.
(a) Probar que una condición necesaria para que la trayectoria de ® se encuentre sobre una esfera de radio r es que se veri…que:
§¿pr2¡ ·¡2= ·¡2d·
ds :
(b) Probar que, si pr2¡ ·¡2 6= 0, la condición de (a) es también
su…ciente.
6.1.13 (Máximos de la distancia de un punto a una curva)
Sea ® : I = (a; b) ! E2una curva regular. Supóngase que existen q 2 E2 y
t0 2 I tales que la distancia j ®(t) ¡ q j de q a la trayectoria de ® tenga un
máximo local en t0. Demostrar que la curvatura · de ® veri…ca j ·(t0) j¸
6.1.14 (Tangente, normal y binormal)
Sea una curva alabeada ® : I ! E3; parametrizada por la longitud de arco y
cuya torsión nunca es nula.
(a) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~T (t) aso- ciada al campo tangente de ® determina la curvatura y la torsión de ®.
(b) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~B(t) aso- ciada al campo binormal de ® determina la curvatura y el valor absoluto de la torsión de ®, pero deja indeterminado el signo de la torsión. Poner un ejemplo de esta indeterminación.
(c) Demuéstrese que el conocimiento de la función vectorial ~N (t) aso- ciada al campo normal principal de ® deja indeterminadas la cur- vatura y la torsión de ®. Poner un ejemplo de esta indetermina- ción.
(d) Probar que, si existe ~» 2 E3 tal que se veri…ca una de las dos
condiciones siguientes (
< ~T (t); ~» >= 0 ; para todo t2 I < ~B(t);~» >= 0 ; para todo t2 I ;
entonces necesariamente es ~» = ~0. No ocurre lo propio con la condición
< ~N(t);~» >= 0 ; para todo t2 I ; poner un ejemplo.
6.1.15 (Hélices 2)
Sea ® : I ! E3una curva alabeada cuya torsión nunca se anula. En general,
se dice que Im ® es una hélice si las rectas (a…nes) tangentes de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja. Pruébese que:
(a) Im ® es una hélice si y sólo si ·=¿ = cte.
(b) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) normales princi- pales de ® son paralelas a algún plano …jo.
(c) Im ® es una hélice si y sólo si las rectas (a…nes) binormales de ® forman un ángulo constante con alguna dirección …ja.
(d) Si a; b; c 2 R, los tres no nulos, y µ : I ! R es una función diferenciable con derivada nunca nula, entonces la curva ® : I 3 s 7! ¡acR senµ(s)ds ; acR cos µ(s)ds ; bcs¢ 2 E3 tiene por imagen
6.1.16 (Plano osculador)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco.
Sea P un plano afín que satisface las siguientes condiciones:
i. Existe s0 2 I tal que P contiene a la recta (afín) tangente de
® en s0.
ii. Dado cualquier entorno J ½ I de s0, existen puntos de ®(J)
a ambos lados de P .
Pruébese que P es el plano osculador de ® en s0.
6.1.17 (Plano osculador y círculo osculador)
Sea ® : I ! E3 una curva alabeada parametrizada por la longitud de arco.
Demuéstrese que:
(a) La posición límite de los planos a…nes que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s+h2), cuando h1; h2! 0, es el plano osculador
de ® en s.
(b) La posición límite de los círculos que pasan por los puntos ®(s); ®(s+ h1) y ®(s + h2), cuando h1; h2! 0, es aquel círculo del plano os-
culador de ® en s cuyo centro está sobre la recta normal principal de ® en s y cuyo radio es 1=·(s) . Este círculo se llama círculo osculador de ® en s.
6.1.18 (Proyección sobre el plano osculador)
Sea ® : I ! E3una curva alabeada. Pruébese que, para cada t 2 I, la
curvatura ·(t) es el valor absoluto de la curvatura en t de la curva plana ¼t± ®, siendo ¼t la proyección normal de E3sobre el plano (afín) osculador
de ® en t.
6.1.19 (Aceleraciones de una curva)
Dada una curva alabeada ® : I ! E3 parametrizada por la longitud de arco,
probar que se veri…ca
< ®0; ®0000 >=¡3·d· ds ; siendo · la curvatura de ®.
6.1.20 (Modelos 1)
Considérense dos partículas puntuales que se muevan diferenciablemente en E3. Probar que la distancia entre ellas (no nula) se mantiene constante si y
sólo si las proyecciones de sus velocidades sobre la dirección de la recta que las une son iguales.
6.1.21 (Modelos 2, cicloide)
Considérese la curva plana ® : [0; 2¼] 3 t 7! (rt ¡ rsent ; r + r cos t) 2 E2,
cuya trayectoria es una cicloide ”invertida” (ver Ejercicio 6.1.8).
(a) Dados t0 2 (0; ¼) y g 2 R+, reparametrícese ® j[t0;¼]por un cambio
de parámetro f : [0; ¿f]3 ¿ 7! t 2 [t0; ¼] tal que se veri…que
1 2( dL(®± f ) d¿ ) 2= g(® 2(t0)¡ ®2± f ) (¤) :
Probar que ¿f no depende de t0.
Observación: lo anterior puede reformularse así: si una bolita cae sin rozamiento siguiendo la trayectoria de una cicloide invertida dada, el tiempo que tarda (en llegar abajo) es independiente de la altura de partida (se dice en este sentido que la cicloide es ”tautócrona”). El ”tiempo” es el nuevo parámetro ¿ y la condición (¤) expresa la ”conservación de la energía” (no rozamiento) en el campo de aceleraciones (supuesto uniforme y de módulo g) en el que tiene lugar la caída.
(b) Considérese la evoluta ¯ : [0; 2¼] 3 t 7! ¯(t) 2 E2 de ®. Por
el Ejercicio 6.1.8c, su trayectoria será otra cicloide invertida, ”a- delantada” ¼ unidades (del parámetro común t) y ”elevada” 2r unidades de ordenada (altura) con respecto a ®. Probar que, para todo t 2 [0; ¼], se veri…ca:
j¯(t) ¡ ®(t)j + L(¯ j[t;¼]) = 4r (independiente de t) :
Observación: lo anterior constituye el fundamento del llamado ”péndulo de Huygens”, en el que se basaron los primeros cro- nómetros: un péndulo inextensible de longitud 4r, tendido desde el vértice de una cicloide invertida de altura 2r e impedido de so- brepasar la trayectoria de ésta, describirá al oscilar otra cicloide
(Parte b) y, bajo la in‡uencia sólo de la gravedad, mantendrá su período independientemente de la amplitud de la oscilación (Par- te a). Ello mejora el comportamiento de un péndulo simple, cuyo período sólo es independiente de la amplitud si ésta es pequeña. 6.1.22 (Frenet frente a reparametrizaciones y movimientos) Sea ® : I ! En (n¸ 2) una curva alabeada y sea (E
1; :::; En) su referencia
de Frenet.
(a) Sea f : J ! I un cambio de parámetro de ® que invierte orien- tación y consideremos la curva ~® = ® ± f :J ! En: Entonces la
referencia de Frenet ( eE1; :::; eEn) de ~® veri…ca:
e Ei = (¡1)i(Ei± f ) (i = 1; :::n¡1) ; eEn= (¡1)n(n¡1)=2(En± f) ; de donde se obtiene: ½ ~ !i+1;i =¡dfds(!i+1;i ± f) (i = 1; :::; n ¡ 2) ~ !n;n¡1 =¡(¡1)n(n+1)=2 dfds(!n;n¡1± f) ; y, …nalmente, ½ ~·i = ·i ± f (i = 1; :::; n ¡ 2) ~·n¡1= (¡1)n(n+1)=2(·n¡1 ± f ) :
(b) Sea A : En ! En un movimiento no directo y consideremos la
curva ~® = A ± ® : I ! En. Entonces la referencia de Frenet
( eE1; :::; eEn) de ~® veri…ca (8t 2 I): e Ei(t) = (A ~Ei(t))®(t)~ (i = 1; :::n¡1) ; eEn(t) =¡(A ~En(t))®(t)~ ; de donde se obtiene: ½ ~ !i+1;i = !i+1;i (i = 1; :::; n¡ 2) ~ !n;n¡1= ¡!n;n¡1 ; y, …nalmente, ½ ~·i = ·i (i = 1; :::; n¡ 2) ~·n¡1 =¡·n¡1 :
6.1.23 (Curvas planas ”en implícitas”)
Sea g : (R2 ¾)U ! R una función diferenciable de…nida sobre un abierto U
(s.p.d.g., 0 2 g(U)). Supongamos que p 2 g¡1(0)(½ U) es un punto ”regular”
para g; esto es, se veri…ca rg(Dg(p)) = 1, donde Dg es la matriz Jacobiana de g (s.p.d.g., y eligiendo adecuadamente las coordenadas cartesianas (x; y) enR2, (@g=@y)(p) 6= 0; y escribiremos p ´ (a; b)).
(a) Probar que g¡1(0) admite una ”parametrización (local, 1-dimensional)”
en torno a p, esto es (2.2.1), que existen un abierto U(3 p) de g¡1(0) en la topología relativa y una curva regular e inyectiva ® : I ! R2tales que ®(I) = U y la aplicación inversa ®¡1 :U ! I
es continua.
Indicación: utilizar el teorema de la función implícita (Teorema 2.4), que garantiza la existencia de
8 < : un entorno (Rx ¾) - de a un entorno (Ry ¾) J de b ¾ con-£ J ½ U una función diferenciable & : - ! J
tales que
f(x; y) 2 - £ J j g(x; y) = 0g = f(x; &(x)) j x 2 -g ; esto es, tales que
g¡1(0)\ (- £ J ) = gr¶af ica de & .
(b) Probar que la curvatura · de ® veri…ca · = ¡sgn ³ @g @y ´ h @2g @x2( @g @y)2¡ 2 @2g @x@y @g @x @g @y + @2g @y2( @g @x)2 i [(@x@g)2+ (@g @y)2]3=2 ± ® : (c) Concretar lo anterior para la función g : R2 3 (x; y) 7! x2+ y2¡
r22 R (con r > 0) en torno al punto p ´ (0; 1) 2 R2.
(d) Supongamos la siguiente de…nición alternativa de ”curva plana”: subconjunto de R2 que admite una parametrización (local, 1-
dimensional) en torno a cada uno de sus puntos. Aceptada esta de…nición, probar que: todo punto de una ”curva plana” está con- tenido en un abierto de la misma (en la topología relativa) que es la grá…ca de una función diferenciable & : (R ¾) - ! R, con - abierto.
6.1.24 (”El ocho”)
Sea la curva (regular e inyectiva) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 E2, cuya trayectoria denominaremos ”el ocho”.
(a) Probar que existe una función diferenciable g : R2 ! R tal que
®(I) = g¡1(0).
(b) Probar que cualquier función diferenciable ¹g : R2 ! R tal que
®(I) = ¹g¡1(0) veri…ca: D¹g(0; 0) = ¡ 0 0 ¢ (ninguna función ¹g
que tenga a ®(I ) por conjunto de nivel puede ser regular en ®(0)). (c) Comprobar que la aplicación ®¡1 : (E2 ¾)®(I) ! I(½ R) no es
continua en ®(0).
(d) Sea la curva (regular e inyectiva) ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sen s; sen 2s) 2 E2, cuya trayectoria es también el ocho. Comprobar que la apli-
cación
®¡1± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! (¡¼; ¼)(½ R)
no es diferenciable (y, por tanto, ®¡1 ± ¯ no es un cambio de
parámetro de ®, la curva ¯ no es una reparametrización de ® y la aplicación ®¡1± ¯ no es una curva en R).
6.2 SUPERFICIES EN EL ESPACIO AFÍN
6.2.1 (Super…cies que son conjuntos de nivel)
Determinar los valores de v para los que es una super…cie el conjunto de nivel f¡1(v)2 R3, donde: (a) f (x; y; z) := x2 a2 +y 2 b2 +z 2 c2 (b) f (x; y; z) := x2 a2 + y2 b2 ¡ z2 c2 (c) f (x; y; z) := x2 a2 +y 2 b2 ¡ z (d) f (x; y; z) := x2 a2 ¡ y2 b2 ¡ z (e) f (x; y; z) := xyz ¡ 1 (con a; b; c > 0).
6.2.2 (Plano tangente)
Considérense las super…cies (cuádricas) M deR3 de…nidas por las ecuaciones:
(a) x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (elipsoide) (b) x2 a2 + y2 b2 ¡z 2 c2 = 1 (hiperboloide de 1 hoja) (c) x2 a2 + y2 b2 ¡ z = 0 (paraboloide elíptico) (d) x2 a2 ¡ y2 b2 ¡ z = 0 (paraboloide hiperbólico)
(con a; b; c > 0). Determinar el plano tangente a cada una de ellas en el punto p de coordenadas x(p) = a ; y(p) = 0.
6.2.3 (¿Super…cies?)
Determinar si son super…cies los siguientes conjuntos: (a) f(x; y; z) 2 R3j z = 0 ; x2+ y2 < 1g
(b) f(x; y; z) 2 R3j z = 0 ; x2+ y2 · 1g
(c) f¡1(0) , siendo f(x; y; z) := z2.
6.2.4 (Cilindros)
Sea ® : I ! R2 una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse como un
conjunto de nivel regular para alguna función diferenciable de (un abierto de) R2 enR.
(a) Probar que el conjunto M ´ ®(I ) £ R (½ R3
) es una super…cie (denominadacilindro sobre ®(I ))
(b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ: J ! R2 es regular e inyectiva.
Probar que la aplicación
' :R2 ¾ J £ R 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u); v)2 M
6.2.5 (”El ocho” en super…cies)
Sea la curva (inyectiva y regular) ® : (R ¾)I ´ (¡¼; ¼) 3 t 7! (sen t; sen 2t) 2 R2, cuya trayectoria es ”el ocho” (recordar Ejercicio 6.1.24).
(a) Probar que
i. El conjunto S ´ ®(I) £ R(½ R3) puede expresarse como con-
junto de nivel f¡1(0) para cierta función diferenciable f :
R3! R.
ii. El conjunto S ¡ f(0;0; z) j z 2 Rg es una super…cie. (b) Considérese la aplicación diferenciable
' : (R2¾)U ´ I £ R 3 (u; v) 7! (sen u; sen 2u; v) 2 S(½ R3) :
i. Probar que ' no es una parametrización de S.
ii. Sea la curva ¯ : (R ¾)(0; 2¼) 3 s 7! (sens; sen2s; 0) 2 S. Probar que la aplicación
'¡1± ¯ : (R ¾)(0; 2¼) ! U(½ R2)
no es una curva.
iii. Sea la extensión diferenciable © de ' dada por
© : (R3 ¾)U £ R 3 (u; v; w) 7! (sen u; sen 2u + w; v) 2 R3: (resulta © jU£f0g= '). Probar que existen entornos A( ½
U £ R) de (0; 0; 0) y B(½ R3
) de ©(0; 0; 0) = (0; 0; 0) tales que ©(A) = B y © jA: A ! B es un difeomor…smo. Probar sin embargo que:
(© jA)¡1 jS\B 6= '¡1jS\B :
(c) Probar que el conjunto S no es una super…cie. 6.2.6 (Ejemplo de helicoide)
Sea la hélice ®(s) := (coss; sens; s). El subconjunto M de R3 constituido
por las rectas (a…nes) normales principales de ® se denominahelicoide. (a) Probar que la aplicación
' :R23 (s; t) 7! (t cos s; t sens; s) 2 R3
constituye una parametrización global de M (y, por tanto, M resulta ser una super…cie).
(b) Encontrar una función diferenciable f : R3! R tal que f¡1(0) =
M y rg(Df(p)) = 1, para todo p2 M.
6.2.7 (Super…cies de revolución)
Sea ® : I ! R2una curva plana cuya trayectoria pueda expresarse localmente
como un conjunto de nivel regular para alguna función función diferenciable de (un abierto de)R2 enR.
(a) Probar que el subconjunto M de R3 obtenido al girar la imagen
®(I) (supuesta en el plano x1x2 de R3y con ®2 > 0) en torno al
eje x1 es una super…cie (denominada super…cie de revolución
generada por ®(I) al girar en torno al eje x1).
(b) Sea un abierto J ½ I tal que ® jJ: J ! R2 es regular e inyectiva.
Probar que la aplicación
' : (R2¾)J£(¡¼; ¼) 3 (u; v) 7! (®
1(u); ®2(u) cos v; ®2(u)sen v)2 M
es una parametrización local de M .
(c) Dibujar y encontrar parametrizaciones para las super…cies de re- volución generadas por ®(I) al girar en torno al eje x1en los casos
siguientes:
i. ® : R 3 t 7! (t; 1) 2 R2. La super…cie es un cilindro (Ver
Ejercicio 6.2.4).
ii. ® :R 3 t 7! (t; cosh t) 2 R2. La super…cie es un catenoide.
iii. ® : [¡¼; ¼] 3 t 7! (b cos t; a + b sen t) 2 R2 ; a > b > 0. La
super…cie es un toro. 6.2.8 (Planos)
Sea L :R2 ! R3una aplicación lineal de rango 2, sea p 2 R3y consideremos
la aplicación ' :R2 3 q 7! L(¡!oq) + p2 R3.
(a) ¿Qué clase de conjunto es '(R2)?
(b) Sean q0; ~v02 R2. Dada la curva ® : I 3 t 7! q0+ t~v02 R2, ¿cuál
es la velocidad (' ± ®)0(0)?
6.2.9 (Proyección estereográ…ca)
Sea la esfera M := f(x1; x2; x3)2 R3 j x12+x22+x23 = r2g y sea p+ ´ (0; 0; r) 2
M su ”polo norte”. Considérese la aplicación ' :R2 ´ R2£ f0g ! M que
hace corresponder, a cada q = (q1; q2; 0), el punto (distinto de p+) donde la
(a) Determinar las ecuaciones de ' y probar que ' es una parametri- zación (local) de M.
(b) Determinar las ecuaciones de la carta '¡1 (denominada proyec-
ción estereográ…ca de M desde el polo norte sobre el plano ecuatorial).
(c) Determinar las ecuaciones del cambio de carta entre '¡1y la pro-
yección estereográ…ca ¹'¡1 desde el ”polo sur” p¡ ´ (0; 0; ¡r) 2
M:
6.2.10 (Banda de Moebius)
Sean r; l 2 R con r > l > 0. Sea la circunferencia C := f(x; y; 0) 2 R3 j
x2+ y2 = r2g y sea el segmento abierto S := f(0; r; z) 2 R3 jj z j< lg,
cuyo punto medio m pertenece a C. Movamos S de manera que, mientras el punto m recorre sobre C un ángulo u, el segmento S gira (en torno a m y manteniéndose ortogonal a C) un ángulo ¡u=2. El subconjunto M := fSuj
u2 [0; 2¼]g de R3, constituído por las sucesivas posiciones S
udel segmento
S, se denominabanda de Moebius. (a) Probar que la aplicación
' : (0; 2¼)£ (¡l; l) 3 (u; v) 7! 7! (¡(r + v senu
2) sen u ; (r + v sen u2) cos u ; v cosu2) 2 R3
constituye una parametrización local de M (b) Probar que M es una super…cie.
6.2.11 (Campos tangentes a super…cies 1) Sea el campo X 2 X(R3) con parte vectorial
~
X :R3 3 (x; y; z) 7! (¡zx; ¡zy; r2¡ z2)2 R3:
(a) Demostrar que la restricción de X a la esfera M := f(x; y; z) 2 R3j x2+ y2+ z2= r2g es tangente a ésta.
(b) Determinar la expresión analítica local de la restricción X jM2
X(M) en las coordenadas (u; v) de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) de M desde el polo norte (0; 0; r) sobre el plano ecuatorial.
6.2.12 (Campos tangentes a super…cies 2) Sea el campo de vectores X := xz @
@x + yz @ @y + (1 + z 2)@ @z 2 X(R 3):
(a) Demostrar que la restricción de X al hiperboloide de 1 hoja M := f(x; y; z) 2 R3j x2+ y2¡ z2= 1g es tangente a éste.
(b) Demostrar que la aplicación
' :R£(¡¼; ¼) 3 (t; #) 7! (cosh t cos # ; cosh t sen # ; senh t) 2 R3 es una parametrización local de M .
(c) Determinar la expresión analítica local de la restricción X jM 2
X(M) en las coordenadas (t; #).
6.3 SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO
6.3.1 (Gradientes de funciones en el espacio euclídeo)
Sea f :E3! R una función diferenciable. Considérese el cambio à : U ! U
de coordenadas cartesianas a polares dado en el Ejemplo 2.7 y sea p 2 U. Teniendo en cuenta las identi…caciones r ´ r ± á1; #´ # ± á1; Á ´ Á ± á1
(2.1.4):
(a) Probar que la expresión (recordar la Observación 2.1(2), donde se identi…caba el vector tangente df jp~»p 2 TpR con su parte vectorial
~»p(f ) 2 R, para todo ~»p 2 TpE3) df jp = P3i=1 @x@fi(p) dxi jp se
mantiene bajo el cambio Ã, esto es, se veri…ca : df jp= @ f @ r(p) drjp+ @f @#(p) d#jp+ @f @Á(p) dÁjp : (b) Probar que la expresión (3.1.1) (grad f)(p) =P3
i=1 @f @xi(p) ³ @ @xi ´ p
no se mantiene bajo el cambio Ã, sino que se obtiene: (grad f )(p) = @f @ r(p) µ @ @r ¶ p +1 r2 @f @#(p) µ @ @# ¶ p + 1 r2sen2# @f @Á(p) µ @ @Á ¶ p : 6.3.2 (Normales y esfera)
Sea M una super…cie conexa de E3. Probar que las rectas (a…nes) normales
a M pasan todas por un punto …jo si y sólo si M está sobre una esfera. ¿Qué ocurre si M no es conexa?
6.3.3 (PFF de la esfera en proyección estereográ…ca)
Obtener los coe…cientes de la primera forma fundamental de la esfera de radio r en la carta de la proyección estereográ…ca (Ejercicio 6.2.9) desde el polo norte sobre el plano ecuatorial.
6.3.4 (PFF de la esfera en polares)
Sea M ½ E3 una esfera de radio r. Sean # (colatitud) y Á (azimut) coorde-
nadas polares en M . Considérese la curva en M con expresión local asociada (Observación 2.18(3)) ½ #(t) = ¼2 ¡ t Á(t) = ln¡cot(¼ 4 ¡ t 2) ¢ ; t 2 [0;¼2) :
Determinar su longitud y comprobar que forma un ángulo  constante con los paralelos # = cte (la trayectoria de ® se llamaloxodroma).
6.3.5 (PFF de super…cies de revolución en coordenadas)
Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el
Ejercicio 6.2.7.
(a) Suponiendo que I es acotado y que la curva generadora ® : I ! E2
es regular e inyectiva y está parametrizada por la longitud de arco, probar que el área A(M) de la super…cie M viene dada por la expresión
A(M ) = 2¼ Z
I
½(s) ds ;
siendo ½(s) la distancia de ®(s) al eje de rotación (teorema de Pappus).
(b) Aplicar lo anterior para calcular el área del toro de…nido por la ecuación ( q x2 1+ x22¡ a)2+ x23¡ b2= 0 ; donde a > b > 0.
6.3.6 (Gradiente de funciones sobre super…cies)
Sea M una super…cie de E3 y sean f : M ! R una función diferenciable y
(U; '¡1) una carta de M . Se de…ne el gradiente de f como el campo de
vectores grad f 2 X(M) que veri…ca (8p 2 M y 8» 2 TpM )
Probar que se tiene: grad f jU= G¢¡@u@ ¢(f)¡ F ¢¡@v@ ¢(f ) EG¡ F2 @ @ u + E¢¡@v@¢(f )¡ F ¢¡@u@ ¢(f) EG¡ F2 @ @v ; donde E; F; G son los coe…cientes de la primera forma fundamental de M en la carta (U; '¡1) y donde ³ @
@ui ´ (f)(36)= @(f±')@u i ± ' ¡1 ; i = 1; 2. 6.3.7 (Super…cies no orientables)
Supóngase que una super…cie M puede ser recubierta por los dominios cone- xos de dos cartas (U; '¡1) y (U ; ¹'¡1), de forma que la intersecciónU \ U sea
la unión de dos componentes conexas (disjuntas), V1 y V2, y se veri…que:
det µ @(¹u; ¹v) @(u; v) ¶ jV1> 0 y det µ @(¹u; ¹v) @(u; v) ¶ jV2< 0 .
(a) Probar que M no es orientable.
(b) Aplicar lo anterior para demostrar que la banda de Moebius (Ejer- cicio 6.2.10) no es orientable.
6.3.8 (Diferenciabilidad de las curvaturas principales)
Considérense las curvaturas principales k1; k2 : M ! R (cuando hablamos
de las funciones, elegimos la notación de forma que sea k1 ¸ k2) de una
super…cie orientada (M; º) deE3.
(a) Probar que k1 y k2 son continuas en todo M y diferenciables (al
menos) en aquellos puntos de M en los que son distintas entre sí (puntos no umbílicos).
(b) Probar que, en cualquier carta (U; '¡1) de M , las funciones k 1 jU
y k2jU son las soluciones de la ecuación cuadrática
det µ e¡ kE f ¡ kF f¡ kF g ¡ kG ¶ = 0 ;
siendo E; F; G y e; f; g; los coe…cientes de las dos formas funda- mentales de (M; º) en dicha carta.
6.3.9 (SFF de super…cies de revolución en coordenadas)
Considérese una super…cie de revolución M de E3 como las descritas en el
Ejercicio 6.2.7. Supóngase que la curva generadora ® : I ! E2 está en el
plano x1x2 de E3, con ®2 > 0. Utilizando la parametrización local de M
dada por
' : J£ (¡¼:¼) 3 (u; v) 7! (®1(u); ®2(u) cos v; ®2(u) senv)2 M ;
donde J ½ I es un abierto tal que ® jJ es regular e inyectiva:
(a) Determinar los coe…cientes de la segunda forma fundamental. (b) Determinar las curvaturas principales, la curvatura de Gauss K y
la curvatura media.
(c) Probar que las líneas u = cte: y v = cte: de…nen líneas de curva- tura.
(d) Probar que, si ® está parametrizada por la longitud de arco, se veri…ca: