Operadores lineales acotados en espacios de Banach

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Operadores lineales acotados en espacios de Banach

Problemas para examen

Definici´ on de operadores lineales acotados

Sean X, Y espacios normados. Denotemos por B(X, Y ) al conjunto de los operadores lineales acotados X → Y .

1 Ejercicio. Sea T : X → Y un operador lineal. Demuestre la equivalencia de cuatro f´ormulas para la norma de kT k.

2 Ejercicio. Sea T : X → Y un operador lineal. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

kT k < +∞.

T es una funci´on Lipschitz continua.

T es una funci´on uniformemente continua.

T es una funci´on continua.

T es una función continua en el punto 0_X. T es una función continua en algún punto de X.

3 Ejercicio. Demuestre que el espacio B(X, Y ), dotado de la norma de operadores, es un espacio normado.

4 Ejercicio. Sean X, Y, Z espacios normados y sean T ∈ B(X, Y ), U ∈ B(Y, Z). Denote- mos por U T a la composici´on U ◦ T . Demuestre que U T ∈ B(X, Z) y kU T k ≤ kU k kT k.

5 Ejercicio. Supongamos que Y es un espacio de Banach. Demuestre que B(X, Y ) es un espacio de Banach.

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Ejemplos de operadores lineales

6 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞) y sea a ∈ `^∞(N). Definimos Ma: `^p(N) → `^p(N) mediante la regla

M_ax := (a_kx_k)_k∈N.

Calcule M_ae_p, donde e_p = (δ_p,k)_k∈N. Demuestre que kM_ak = kak∞.

7 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞) y sean a, b ∈ `^∞(N). Demuestre que M1_N = I y M_aM_b = M_ab, donde 1_N es la sucesi´on constante 1 y ab es el producto de las sucesiones a y b por componentes.

8 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞) y sea a ∈ `^∞(N). Denotemos por Ma al operador del Ejercicio 6. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) M_a es invertible;

(b) ´ınf_k∈N|a_k| > 0;

(c) 0 /∈ clos{a_k: k ∈ N}.

9 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞). Defina los operadores de desplazamiento a la izquierda y a la derecha en el espacio `^p(Z). Demuestre que estos operadores son invertibles e isom´etricos.

10 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞). Defina operadores de desplazamiento a la izquierda y a la derecha en el espacio `^p(N). Calcule sus normas kLk y kRk y sus productos LR y RL, determine si alguno de estos operadores es isom´etrico. Para cada uno de estos dos operadores calcule su n´ucleo e imagen y determine si tiene propiedad inyectiva o suprayectiva.

11 Ejercicio. Sean (X, F , µ), (Y, G, ν) espacios de medida, µ(X) < +∞, ν(Y ) < +∞, y sea K ∈ L^∞(X × Y, F ⊗ G, µ ⊗ ν). Sea p ∈ [1, +∞]. Definimos A_K: L^p(X, µ) → L^p(Y, ν) mediante la siguiente regla:

(A_Kf )(x) :=

Z

Y

K(x, y)f (y) dν(y).

Demuestre que el operador A_K es acotado.

12 Ejercicio (un caso particular de la prueba de Schur). Sean (X, F , µ), (Y, G, ν) espacios de medida y sea K : X × Y → C una funci´on F ⊗ G-medible. Supongamos que

C₁ := sup

x∈X

Z

Y

|K(x, y)| dν(y) < +∞, C₂ := sup

y∈Y

Z

X

|K(x, y)| dµ(x) < +∞.

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Definimos A_K: L²(X, µ) → L²(Y, ν) mediante la siguiente regla:

(A_Kf )(x) :=

Z

Y

K(x, y)f (y) dν(y).

Demuestre que A_K es acotado y kA_Kk ≤√ C₁C₂.

Funcionales lineales acotados

Dado un espacio normado (real o complejo) V , denotamos por V^∗ al conjunto de los funcionales lineales acotados definidos en V . En otras palabras, V^∗ = B(V, C), si V es complejo, y V^∗ = B(V, R), si V es real.

13 Ejercicio. Escriba 4 f´ormula equivalentes para la norma del funcional lineal.

14 Ejercicio. Sea f : V → C un funcional lineal. Muestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

kf k < +∞.

f es una funci´on Lipschitz continua.

f es una funci´on uniformemente continua.

f es una funci´on continua.

f es una función continua en el punto 0_X. f es una función continua en algún punto de X.

15 Ejercicio (lema principal para el teorema de Hahn–Banach). Sean V un espacio normado real, W un subespacio de V , u ∈ V \ W , f ∈ W^∗. Demuestre que existe F ∈ (W + Ru)^∗ tal que F |_W = f y kF k = kf k.

16 Ejercicio. Enuncie y demuestre el teorema de Hahn–Banach para el caso real.

17 Ejercicio. Enuncie el teorema de Hahn–Banach para espacios normados complejos.

Muestre como deducirlo de teorema de Hahn–Banach para espacios normados reales.

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18 Ejercicio. Demuestre un corolario del teorema de Hahn–Banach: dado un vector no nulo v en V , existe un funcional lineal acotado f que no se anula en v. M´as precisamente, f se puede construir de tal manera que kf k = 1 y f (v) = kvk.

19 Ejercicio. Demuestre que existe f en V^∗ tal que kf k = 1, f (u) = 1 y para cada v en V con kvk ≤ 1 se tiene que Re(f (v)) ≤ 1. Explique el sentido geom´etrico de esta afirmaci´on.

20 Ejercicio. Demuestre un corolario del teorema de Hahn–Banach: dada una lista v₁, . . . , v_m linealmente independiente de vectores en V , existe una lista de funcionales f1, . . . , fm en V^∗ tal que fj(vk) = δj,k para cualesquiera j, k en {1, . . . , m}.

21 Ejercicio. Sea V un espacio normado y sean v, u en V tales que v 6= u. Demuestre que existe f en V^∗ tal que f (v) 6= f (u).

22 Ejercicio. Sea V un espacio vectorial normado. Recuerde la definici´on del espacio bidual V^∗∗. Definimos Λ : V → V^∗∗ mediante la siguiente regla:

Λ(v)(f ) := f (v) (v ∈ V, f ∈ V^∗).

Demuestre que Λ es una isometr´ıa lineal.

23 Ejercicio. Si la funci´on Λ del ejercicio anterior es suprayectiva, se dice que el espacio V es reflexivo. Recuerde ejemplos de espacios reflexivos. Recuerde al menos un ejemplo de espacio no reflexivo.

Teoremas de la transformaci´ on lineal abierta y de la gr´ afica cerrada

24 Ejercicio. Recuerde el teorema de Baire. Muestre el siguiente corolario del teorema de Baire. Sea X un espacio m´etrico completo no vac´ıo y sea (E_k)_k∈N una sucesi´on de subconjuntos de X tal que X =S

k∈NEk. Entonces existe un k en N tal que int(clos(E^k)) 6=

∅.

25 Ejercicio. Sea X, Y espacios normados y sea T ∈ B(X, Y ). Supongamos que existe r > 0 tal que BY(0, 1) ⊆ T (rBX(0, 1)). Demuestre que la funci´on T es abierta.

26 Ejercicio. Sea Y un espacio normado y sean P, Q subconjuntos de Y . Demuestre que clos(P ) + clos(Q) ⊆ clos(P + Q).

27 Ejercicio (teorema de la trasnformaci´on lineal abierta). Sean X, Y espacios de Banach y sea T ∈ B(X, Y ) tal que T (X) = Y . Demuestre que la funci´on T es abierta.

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28 Ejercicio. Sean X, Y espacios de Banach y sea T ∈ B(X, Y ) una transformaci´on lineal continua y biyectiva. Demuestre que su inversa tambi´en es continua.

29 Ejercicio. Sea X un espacio vectorial y sea N₁ y N₂ dos normas en X tales que los espacios (X, N₁) y (X, N₂) son completos, y la norma N₂ se domina por N₁, es decir, existe C > 0 tal que para cada x en V se cumple la desigualdad N₂(x) ≤ CN₁(x). Demuestre que las normas N₁ y N₂ son equivalentes.

30 Ejercicio. Sean X, Y espacios vectoriales y sea T : X → Y una transformaci´on lineal.

Recuerde la definición de la gráfica de T y demuestre que la gráfica de T es un subespacio del espacio vectorial X × Y .

31 Ejercicio. Recuerde la definici´on del producto de espacios de Banach X, Y . Demuestre que las proyecciones naturales π₁: X ×Y → X y π₂: X ×Y → Y son continuas y abiertas.

32 Ejercicio. Enuncie y demuestre el teorema de la gr´afica cerrada para transformaciones lineales en espacios de Banach.

El principio de acotaci´ on uniforme

Los resultados de los Ejercicios 33y 34 fueron obtenidos por Banach y Steinhaus.

33 Ejercicio. Enuncie y demuestre el principio de acotaci´on uniforme para colecciones en B(X, Y ), donde X es un espacio de Banach, Y es un espacio normado.

34 Ejercicio. Demuestre el siguiente corolario del principio de acotaci´on uniforme. Sea X un espacio de Banach, Y un espacio normado (T_n)_n∈N una sucesi´on en B(X, Y ) converge puntualmente, esto es, para cada x en X existe un vector S(x) en Y tal que

n→∞l´ım kT_n(x) − S(x)k_Y = 0.

Demuestre que

sup

n∈N

kTnk < +∞, S ∈ B(X, Y ) y

kSk ≤ sup

n∈N

kT_nk.

Sugerencia: muestre que el principio de acotaci´on uniforme se puede aplicar al conjunto {T_n: n ∈ N}.

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35 Ejercicio. Sea X un espacio de Banach y sea A un subconjunto de X. Demuestre que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:

(a) el conjunto A es acotado;

(b) para cada f en X^∗, el conjunto f (A) es acotado.

Se recomienda combinar el principio de acotaci´on uniforme con el Ejercicio22.

36 Ejercicio. Sean X, Y espacios de Banach sea F un subconjunto de B(X, Y ). Demues- tre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) el conjunto F es acotado en B(X, Y ), esto es, sup

T ∈F

kT k < +∞;

(b) para cada x en X y cada f en Y^∗, el conjunto {f (T x) : T ∈ F } es acotado en C.

Se recomienda combinar el resultado del Ejercicio 35con el principio de acotaci´on uniforme.

El grupo de operadores lineales acotados invertibles en un espacio de Banach

Sea X un espacio de Banach. Denotemos por Inv(B(X)) al conjunto de los elementos invertibles en el álgebra B(X) y por inv : Inv(B(X)) → B(X) a la operación de inversión.

37 Ejercicio. Demostrar que B(X) es una ´algebra compleja asociativa con identidad, que es un espacio normado complejo, que la norma tiene la siguiente propiedad submul- tiplicativa:

kST k ≤ kSk kT k,

y que kIk = 1. Por definici´on, esto significa que B(X) es una ´algebra de Banach con identidad.

38 Ejercicio. Demostrar que Inv(B(X)) es un grupo.

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39 Ejercicio (sobre la serie de von Neumann). Sea A ∈ B(X) tal que kAk < 1. Demostrar que la serie P∞

k=0A^k converge, I − A ∈ Inv(B(X)), y (I − A)⁻¹ =

∞

X

k=0

A^k.

M´as a´un, demostrar que

k(I − A)⁻¹k ≤ 1

1 − kAk, k(I − A)⁻¹− Ik ≤ kAk 1 − kAk.

40 Ejercicio. Usando el resultado del Ejercicio 39 explicar que I pertenece al interior del conjunto Inv(B(X)), y la funci´on inv es continua en el punto I.

41 Ejercicio. Sea S ∈ Inv(B(X)) y sea T ∈ B(X) tal que kT − Sk < 1

kS⁻¹k. Demostrar que T ∈ Inv(B(X)) y

kT⁻¹− S⁻¹k ≤ kT − Sk kS⁻¹k² 1 − kT − Sk kS⁻¹k. Sugerencia: escribir T como

T = S − (S − T ) = S(I − S⁻¹(S − T )) (1) 42 Ejercicio. Demostrar que el conjunto Inv(B(X)) es abierto y la función inv es continua. Primer método: usar los resultados del Ejercicio 41. Segundo método: usar la for- mula (1) y los resultados del Ejercicio 40.

El espectro de un operador lineal acotado

Sea X un espacio de Banach. Dado S en B(X), el espectro de S se define mediante la f´ormula

Sp(S) := {λ ∈ C : λI − S /∈ Inv(B(X))}.

Dado S en B(X), la funci´on resolvente de S es RS: C \ Sp(S) → B(X), R_S(λ) := (λI − S)⁻¹.

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43 Ejercicio. Sea S ∈ B(X). Demostrar que si λ ∈ C tal que |λ| > kSk, entonces λ /∈ Sp(S) y

kR_S(λ)k ≤ 1

|λ| − kSk. Por consecuencia, el conjunto Sp(S) es acotado y

λ→∞l´ım kRS(λ)k = 0.

44 Ejercicio. Sea S ∈ B(X). Demostrar que el conjunto Sp(S) es cerrado y la funci´on R_S es continua.

45 Ejercicio. Sea S ∈ B(X) y sean λ, ν ∈ C \ Sp(S). Demostrar que

R_S(λ) − R_S(ν) = −(λ − ν)R_S(λ)R_S(ν) = −(λ − ν)R_S(ν)R_S(λ).

Por consecuencia, R_S(λ) y R_S(ν) conmutan.

46 Ejercicio. Sean S ∈ B(X), λ ∈ C \ Sp(S). Demostrar que

ν→λl´ım

RS(ν) − RS(λ)

ν − λ = −(R_S(λ))².

47 Ejercicio. Sean S ∈ B(X), ϕ ∈ B(X)^∗. Definimos f : C \ Sp(S) → C mediante la regla

f (λ) := ϕ(R_S(λ)).

Demostrar que la funci´on f es holomorfa y l´ım

λ→∞f (λ) = 0.

48 Ejercicio. Sea S ∈ B(X). Demostrar que Sp(S) 6= ∅.

49 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞). Calcule el espectro de los operadores de desplazamiento a la izquierda y a la derecha en el espacio `^p(Z). Ya conocimos a estos operadores en el Ejercicio 9.

50 Ejercicio. Sea p ∈ [1, +∞). Calcule el espectro de los operadores de desplazamiento a la izquierda y a la derecha en el espacio `^p(N). Ya conocimos a estos operadores en el Ejercicio 10.

51 Ejercicio. Sean p ∈ [1, +∞), a ∈ `^∞(N). Calcule el espectro del operador de multi- plicaci´on M_a definido en el Ejercicio 6.