ESTADISTICA TECNICA. CURSO LUNES 1 er CUATRIMESTRE 2005

ESTADISTICA TECNICA

CURSO LUNES

1

CUATRIMESTRE 2005

Equipo Docente

• Profesor Titular Consulto: Ing Mermoz

• Profesor Asociado : Ing García

• Profesores Adjuntos: Lic. Pano, Ing. Mutz.

Curso Lunes

• Ing Javier Gil

• Ing. Jorge Bursky

• Ing María de los Angeles Sarquis

• Sra María Stewart Harris

• Sr Pablo Centeno Lappas

Tema

Repaso de Distribuciones

Combinación Lineal, TCL, Mezcla Esperanza Parcial y Problemas económicos

Módulo I

Inferencia sobre la media

Inferencia sobre la varianza Módulo II Regresión lineal simple

Regresión lineal múltiple Módulo III Parcial

Inferencia comparación de Poblaciones Normales

Inferencia en Procesos de Poisson Inferencia en Procesos de Bernoulli

Módulo II Análisis de La Varianza

Ténicas de Muestreo Ajuste de Distribuciones

Módulo III

Evaluación Integradora

Bibliografía

Inferencia Estadística y Diseño de Experimentos (Ing. García, Eudeba 2004) (*)

Apuntes Estadística Técnica (Ing. Mermoz)

Probabilidad y Estadística para Ingenieros (Walpole & Myers) Ed.

Prentice Hall

Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos (Canavos) Ed.

Mc Graw Hill

Trabajos Prácticos de Estadística Técnica (*) (*) Mínimo Indispensable

Clase Repaso Distribuciones Bibliografía sugerida

Inferencia Estadística y Diseño de Experimentos (Ing.

García, Eudeba 2004) (Cap. I y Cap. XV)

Apuntes de Estadística Técnica: Ing. Mermoz (Cap 1 al 5)

Variables Aleatorias

Sucesos Aleatorios: resultados cualitativos o cuantitativos

Variable Aleatoria: es una función que le asigna a cada suceso aleatorio de un determinado experimento un número real

Variable Aleatoria Discreta: el número de valores que puede tomar es contable (finito o infinito)

Variable Aleatoria Continuas: sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta real

Variables Aleatorias Discretas

Función de Probabilidad:

Definición: Dada una variable aleatoria X, p(x) es una función de probabilidad si cumple:

∑

∀

≥

1 ) (

0 ) (

x p

x x

p

Notación: p(x) = p(X=x)

Variables Aleatorias Discretas

Función de Distribución o Probabilidad Acumulada.

) 1 (

) ( )

(

) 1 (

1 ) (

) ( 1

) ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

−

−

=

≤

≤

−

−

=

+

= +

=

≥

=

=

≤

=

∑

∑

≥

≤

a F b

F b

x a p

x F x

G

x p x

G x

F

x p x

X p x

G

x p x

X p x

F

i i

x x

i x

x

i

Variables Aleatorias Continuas

RECORDEMOS P (X=x) = 0 , nos interesan entonces las probabilidades de intervalos

Función de densidad : f(x) es una función de densidad de probabilidad si cumple

∫

∫

≤

≤

=

=

∀

≥

∞

∞ b

a

b x

a p dx

x f

dx x

f

x x

f

) (

) (

1 )

(

0 ) (

Función de Distribución o Probabilidad Acumulada.

) ( )

( )

( )

( )

(

1 ) ( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

b G a

G a

F b

F b

x a P

x G x

F

dt t f x

X p x

G

dt t f x

X p x

F

x x

−

=

−

=

≤

≤

= +

=

≥

=

=

≤

=

∫

∫

∞ +

∞

−

Variables Aleatorias Continuas

Variables Aleatorias Medidas Descriptivas

Momentos

2 2

2

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

x E x

E x

Var

dx x f x

x Var

dx x f x

x E

dx x f x x

E

dx x f x x

E

k K

K K

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

µ µ µ

µ

2 2

2

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

) ( (

) ( )

(

) ( )

(

x E x

E x

Var

x p x

x Var

x p x x

E

x p x

x E

x p x x

E

k k

i k

i K

i i

−

=

−

=

= −

−

=

=

=

∑

∑

∑

∑

µ µ µ

µ

Sesgo

Simétrica Asimetría positiva

Asimetría negativa

2 / 3 3

3 E(x ) / (Var(x)) asimetría de

e Coeficient

µ α = −

3 < 0 α

3 > 0

α α^{3 = 0}

Curtosis

leptocúrtica

mesocúrtica

platicúrtica

2 4

4 E(x ) / (Var(x)) curtosis de

e Coeficient

µ α = −

4 > 3 α

4= 3 α

4< 3 α

Variables Aleatorias

Discretas

• Bernoulli

• Pascal

• Binomial

• Poisson

• Hipergeométrica

Continuas

• Uniforme

• Normal

• Lognormal

• Gamma

• Beta

• Weibull

• Pareto

• Gumbel

Binomial

( ) ( )

) 1

.(

. )

(

. )

(

1

; /

p p

n r

Var

p n r

E

p r p

p n n r

P

−

=

=

 −

 

= 

Poisson

• Sucesos puntuales que ocurren en un continuo, de magnitud muy pequeña en relación a éste.

•La probabilidad de ocurrencia de los sucesos en una porción de continuo es independiente de la posición de la porción dentro del mismo

•La probabilidad de ocurrencia de un suceso dentro del continuo es independiente de la ocurrencia de sucesos en otras porciones

( )

/ !

r e t m

m r

P

m r

Po

=

= λ

Poisson

m m

m x

Var x

E

3 1 1

) ( )

(

4 3

+

=

=

=

=

α

α

Uniforme

12 /

) (

) (

2 / ) (

) (

) /(

1 )

(

a

b x

Var

b a

x E

b x

a a

b x

f

−

=

+

=

≤

≤

∀

−

=

5 /

4= 9 α

3 = 0 α

Función de Densidad:

Clasificación de los Parámetros

• Forma: de ellos depende la simetría, curtosis de la curva de la función de densidad

•Posición: desplazan a la función de densidad sin alterar su forma

•Escala: contraen o expanden a la curva de la función de densidad sin alterar su forma. Pueden ser

eliminados con un cambio de variable

Normal

)2

( 2 / 1

2 ) 1

; /

(

µ

π σ σ

µ = e

x

f

)

( ) (

σ µ

=

= x Var

x E

4= 3 α

3 = 0 α

1 )

(

0 )

(

=

=

= −

z Var

z E z x

σ

µ

Normal

Una PYME autopartista produce ejes en un torno. El diámetro de los ejes producidos por el torno es

aleatorio de media y varianza

Calcular el porcentaje de defectuosos para las siguientes especificaciones del diámetro

a) b) c)

σ µ ±

σ µ ± 2

σ

µ ± 3

Lognormal

*)

*, (

ln

σ µ

N y

con

y x

e x

≈

=

∴

=

)2

*

* (ln

2 / 1

2

*

*) 1

*;

/

(

µ

π σ σ

µ = e

x x f

) 1 .(

) (

) (

2 2

2

* )

*

* 2 ( 2

2 )

* * (

−

=

=

=

=

+ +

σ σ

µ µ σ

σ µ

e e

x Var

e x

E

) ) ( 1 ln(

2

*

µ σ µ µ

+

=















 

 +

=

2 2

* ln 1

µ σ σ

Ejercicio Propuesto Nro 14

Los montos pagados en concepto de siniestros por una aseguradora en el último trimestre, pueden ser considerados distribuidos por una lognormal con valor medio$12000 y desvio $10000. Para

establecer el nuevo valor para las primas a cobrar, calcular el monto que es superado por el 80% de los siniestros y el valor que solamente supera el 20%

de los siniestros.

Lognormal

Gamma

(

)

G r

t F

MOLINA de

lación z x

ada estandariz Forma

x Var

x E x

e x x

f

Po x

λ λ β

α β

β α

β α

β α

β α

β β α

γ

α β

=

 =



 



 = =

=

=

=

>

≥

≥



 





= Γ

− −

1 /

; /

Re

) (

) (

0 0

0

) ( ) 1

; / (

2

1



 

 +

=

= α α

α α

1 2 3

2

4 3

Gamma Aproximación de Wilson Hilferty

 





 



 



 



 + −

≅ 1

9 3 1

) ,

/

(

α β

α α β

γ

α

F x x

F

Cálculo exacto con Excel

DISTR.GAMMA(x;alfa;beta;acum)

acum=1 función de probabilidad acumulada.

 





 



≥  −

* 2

25 αβ

β

α F ^x α

Si

Aprox.Normal

Gamma

Las ventas mensuales de un artículo tienen

distribución Gamma de media 20000 unidades y desvio 4000 unidades.

a) Calcular la venta mensual que es superada con 70% de probabilidad.

b) Calcular la probabilidad de que en un año determinado las ventas mensuales superen las 16000 unidades en más de 8 meses.

Gamma

El control de recepción de una tela consiste en revisar 5 rollos por lote. En caso de encontrar algún rollo de longitud inferior a 50 m el lote es rechazado.

La longitud de los rollos queda determinada por la

aparición de la segunda falla. Se sabe que estas fallas se producen en promedio 1 cada 160 m de tela.

A) Calcular el porcentaje de lotes rechazados.

B) La longitud que puede garantizarse en un rollo cualquiera con 90% de probabilidad.

Beta

( ) ( )

1 1 )

( ) (

0 0

1 0

) 1

; (

/ 1

+

 

 

  −

=

=

>

>

≤

≤

− −

=

ν

ν ρ ν

ρ ν

ρ

ρ ν

ρ ν

ρ ρ β

ν

x Var

x E

x

x x

x f

n m

m

ación parametriz

Otra +

=

=

ν

ρ

(

)

(

)

F

binomial la

con lación

bi = − =

= / 1;

, / Re

ν ρ

ρ

β

ν

Beta

5 .

= 0 ν

ρ

5 .

´> 0 ν

ρ ´< 0.5

ν ρ 1

, 1 >

< n m

1 ,

1 <

> n m

Beta Aproximación de Paulson

 

 





 

 





+

≅ −

n m

A

N M

G A n

m x

F

) 1 ,

/

(

β

 

 

  −

= 1 1

3

n x

A m

M m

3 3 − 1

= N n

3 3 − 1

=

Cálculo exacto con Excel

DISTR.BETA(x,m,n,0,1)

DISTR.BETA.INV(probabilidad;alfa;beta;0;1)

Beta

El rendimiento de un proceso de fabricación sigue una distribución Beta cuya media es de 57% y el desvio estándar de 17%.

A) Calcular la probabilidad de que durante tres días el rendimiento sea inferior al 50%

B) Calcular el valor del rendimiento que solo es superado el 5% de los casos

Weibull

( )



 



 



 

 + Γ

 −



 

 + Γ

=



 

 + Γ

=

= ^

 



−

ω β ω

β ω β ω

ω

β

1 1 1 2

) (

1 1 )

(

; /

2

x 2

Var x E

e x

G

x W

6 ,

> 3

ω

6 ,

< 3

ω

6 ,

= 3

ω

Ejercicio Propuesto Nro 22

Weibull

La resistencia a la fatiga de una pieza del motor de un avión tiene distribución Weibull. Se ha determinado que la resistencia media es de 20000 k ciclos y el desvio es de 5600 k ciclos. Se desea que la

probabilidad de que la pieza falle por fatiga sea del 1%. Establecer el máximo periodo de recambio (en ciclos ) para lograr la confiabilidad deseada

Pareto

( )

) 1 (

1

= −

 ≥



 



− 

=

b x b

E

x x x

F

b P

θ

θ θ

Aproximación de la Binomial

Si n>20...aproximaciones

CRITERIO DE MERMOZ

( )

no

pp =

−

3

1 2

23 ,

0

( ) _ ^





 





−

−

= +

≤

) 1

( 5 .

; 0

/

p np

np F r

p n r F

Normal ón

aproximaci n

N bi

( ^{r n p} ) ^F ( ^{r m np} )

F

Poisson ón

aproximaci n

Po

bi

= =

>

/

; /

CRITERIO

CLASICO ^{es valida la aproximación Normal}

p n

p n

Si >10 ∧ (1− ) >10