Act. 2. Unidad 2.
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA.
ING. HERMILIO BARTOLO ROJAS.
MODELOS DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS.
GRUPO: 3CA.
ALUMNA: ERIKA MONSSERRAT SOLÍS VELA.
INGENIERÍA CIVIL.
MÉRIDA, YUCATÁN A 09 DE MARZO DEL
2021.
Act. 2. Unidad 2. Formulación matemática del problema de programación lineal.
Valor: 20 puntos.
Contexto del problema.
El carbón es una roca negruzca formada por plantas que llevan muertas entre 1 y 400 millones de años, y que se extrae de las profundidades de la Tierra, aunque a veces puede aflorar en la misma superficie, se ordena y clasifica según su contenido de carbono. El que muestra el contenido más bajo de carbono, y que representa la etapa inicial de su formación, es el lignito éste contiene alrededor de un 33% de carbono y se forma a partir de los depósitos de turba. A medida que crece la cantidad de roca y suelo que se encuentran por encima del lignito, las altas presiones hacen que el carbón se endurezca cada vez más. El carbón más duro y antiguo es el carbón de antracita que contiene alrededor de un 90% de carbono.
En México los principales yacimientos de carbón se localizan en 3 regiones que, por orden de importancia, corresponden a los estados de Coahuila, Oaxaca y Sonora.
En la región carbonífera del norte de Coahuila se encuentra localizada la empresa Minera del Norte, S. A. de C. V., que está formada por dos unidades productoras de carbón. Las unidades MICARE y MIMOSA que extraen del subsuelo Lignito y Antracita.
La empresa vende la producción de ambos materiales a los siguientes precios; La tonelada de lignito en $ 180,000 y la tonelada de antracita en $ 440,000.
El proceso de producción se lleva de la siguiente manera; Primero se corta el material, después se procede al tamizado y a la selección, y por último se realiza un lavado del material.
La producción requiere del uso de maquinaria:
Los tiempos de uso de la máquina de corte son: 4 horas para el Lignito y 3 horas para la Antracita.
La máquina de tamizado emplea los siguientes tiempos: 3 horas para el Lignito y 5 horas para la Antracita.
La máquina de lavado requiere: 3 horas para el Lignito y 8 horas para la Antracita.
Es importante considerar que la máquina de corte no puede trabajar más de 12 horas al día, la máquina de tamizado no puede trabajar más de 15 horas al día y la máquina de lavado no puede trabajar más de 18 horas al día.
Si el objetivo de la empresa minera es maximizar su beneficio ¿Cuál debe ser la producción diaria de cada material?
1.- Determinar la función objetivo:
2.- Determinar las restricciones:
3.- Trabajar con las restricciones:
Si x = 0
= 4
Si y = 0
= 3
Si x = 0
Si y = 0
Max Z = 180 x + 440 y (EN MILES) Variables de decisión:
X = Producción de material lignito.
Y = Producción de material.
Máquina de corte:
M 1=4 x +3 y ≤ 12 Máquina de tamizado:
M 2=3 x +5 y ≤15Máquina de lavado:
M 3=3 x+8 y ≤ 18
Condiciones de no negatividad:
M 4=x ≥ 0 M 5= y ≥ 0
Si x = 0
Si y = 0
Recta M4 M 4=x ≥ 0
Recta M5 M 5= y ≥ 0
4.- Realizar el punto de prueba, para determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad:
5.- ya se determinó el lado de dicha frontera que cumple
Punto de prueba (0, 0)
M 1=4 x +3 y ≤ 12
4(
0)
+3(
0)
≤120 ≤12 VERDADERO
M 2=3 x +5 y ≤15 3 (0)+5 (0) ≤15
0 ≤15 VERDADERO
M 3=3 x+8 y ≤ 183 (0)+8 (0) ≤ 18
0 ≤18 VERDADERO
M 4=x ≥ 0
M 5= y ≥ 0
M4 Y M5 SON CONDICIONES
DE NO NEGATIVIDAD POR
LO TANTO EL ESPACIO DE
SOLUCIÓN ESTÁ EN EL
PRIMER CUADRANTE.
5.- Graficamos y obtenemos el área factible de solución:
RECTA M1 RECTA M1
RECTA M2 RECTA M2
RECTA M3 RECTA M3
RECTA M4 RECTA M4
RECTA M5 RECTA M5
TODAS LAS RECTAS JUNTAS (M1, M2, M3, M4 Y M5)
TODAS LAS RECTAS JUNTAS (M1, M2, M3, M4 Y M5)
6.- Se obtiene la región de solución
7.- Evaluamos los vértices de la región factible de solución:
))
El vértice G = (0, 2.25) se puede ubicar en la gráfica.
La intersección está en M1 y M3 por lo tanto se realiza el método suma y resta para sacar el vértice exacto:
M1 =
4 x +3 y=12M3 = 3 x+8 y =18
Por lo tanto, H = ( 42 23 , 36
23 )
El vértice I = (0, 0) está ubicado en el origen.
El vértice J = (3, 0) se puede ubicar en la gráfica.
Sustituimos en una de las 2 restricciones (M1):
4 x +3 y=12
4 x +3( 36
23 )=12 4 x =12− 108
23 4 x = 168
23
x=
168 23
4
x= 4 2
23
8.- Sustituimos en la función objetivo los valores de las coordenadas en los vértices:
Máximo
X = 1.826086957 Y = 1.565217391
9.- Interpretación del resultado:
Función objetivo (EN MILES):
