VIGAS ECUACIONES DIFERENCIALES

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

CALCULO DIFERENCIAL

APLICADAS EN VIGAS

ESTRUCTURALES

CALCULO IV

CATEDRÁTICO:

_{Lic. LEYVA GONZALES Nobel}_{Lic. LEYVA GONZALES Nobel}

ESTUDIANTE :

_{RICALDI VICTORIO Orlando}_{RICALDI VICTORIO Orlando}

Carlos Carlos

SEMESTRE

:

IV

HUANCAYO - PERÚ

2014 2014

“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y DEL

“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y DEL RECONOCIMIENTORECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”

(2)

DEDICATORIA DEDICATORIA

DEDICO ESTA INVESTIGACION, A MIS PADRES, DEDICO ESTA INVESTIGACION, A MIS PADRES, POR CONFIAR EN MÍ. Y SIEMPRE APOYARME. POR CONFIAR EN MÍ. Y SIEMPRE APOYARME. Y A MIS MAESTROS. QUE

Y A MIS MAESTROS. QUE SIEMPRE ME BRINDARONSIEMPRE ME BRINDARON UNA OPOTUNIDAD

(3)

Contenido

1 INTRODUCCION: ... 4

2 CUERPO DEL TRABAJO ... 5

2.1 ECUACION DIFERENCIAL ... 5

2.2 VIGAS EN FLEXION ... 7

1.1.1. Ecuación diferencial de la curva elástica y fecha de flexión. ... 7

2.2.1 Viga con soporte simple. ... 11

2.2.2 Viga con soporte interconstruido o biempotrada. ... 12

2.2.3 Viga en voladizo. ... 13

2.3 PANDEO EN VIGAS ... 13

2.4 VIGAS SOMETIDAS A TORSION ... 15

2.5 EJEMPLO ... 17

2.5.1 Ejemplo Viga biempotrada ... 17

2.5.2 Ejemplo de torsión con flexión. ... 19

3 CONCLUSIONES ... 22

(4)

1 INTRODUCCION:

En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, que consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos. Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problema de flexión y finalmente el de torsión. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de cómo realizar dicha integración.

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería. El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relación.

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de una función.

Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y = f(x), su derivada f´(x)=dx/dy, en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a≤c≤b tenemos que si ∫ f(t)dt si a≤x≤b, existe entonces en cada punto x del intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada. F´(x)= f(x).

(5)

2 CUERPO DEL TRABAJO

2.1 ECUACION DIFERENCIAL

Recordemos la hipótesis de Bernoulli: “durante la deformació n de una pieza recta sometida a esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a sí misma”, lo cual conduce a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricentro mecánico se deforman una misma magnitud

ε

x. Esta deformación

ε

x puede escribirse en función de los desplazamientos axiales u como:

Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación (

ε

x) con componentes de desplazamiento (u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática. La expresión de la deformación especificas (ds = dx) y después que se desplace:

La tensión en cada punto de la sección se obtiene a partir de la ley de Hooke:

Una expresión que relaciona una medida de tensión (σx) con un a medida de deformación (

ε

x) se denomina una relación constitutiva (define el comportamiento mecánico del material constitutivo). Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemos que el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre la sección:

(6)

Si la sección es homogénea:

Si la sección no es homogénea se define el valor:

Consideremos una barra de sección transversal A (constante o de variación suave, sometida a una carga distribuida p(x) en la dirección del eje de la barra. Se ha supuesto que la variación de la sección es suficientemente suave de tal forma que es aceptable la hipótesis de Bernoulli de que la deformación

ε

x es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra (una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx.

El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas actuando sobre el mismo.

Reemplazando:

Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplifica a:

Que es una ecuación diferencial:

 Ordinaria: es función de una única coordenada x,

 Segundo orden: el máximo orden de derivación que aparece es 2,

 Lineal: no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas

 Coeficientes constantes: los coeficientes que multiplican a la incógnita y sus derivadas no dependen de la coordenada x.

(7)

Para resolver esta ecuación debe conocerse, además de la carga externa p(x), cuales son las condiciones de contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben fijarse es 2 (el orden de la ecuación) y en general una en cada extremo de la barra. Estas pueden ser de desplazamiento (fijar el valor de u) o de fuerza (fijar el valor de N o equivalentemente el de

ε

).

2.2 VIGAS EN FLEXION

1.1.1. Ecuación diferencial de la curva elástica y fecha de flexión.

Mostramos el aspecto general que presenta una viga horizontal al encorvarse bajo las cargas que soporta, las cuales se suponen verticales. Imaginemos la viga descompuesta en delgadas láminas horizontales. Debido al encorvamiento, las láminas situadas en la región superior de la viga se encuentran comprimidas, en tanto que las situadas en la región inferior están estiradas. Ambas regiones están separadas por una capa cuyas fibras no están ni estiradas ni comprimidas; esa capa recibe el nombre de capa o superficie neutra.

Consideremos ahora un elemento diferencial longitudinal de la viga, tal como se ilustra en la, sometido a momentos opuestos de signo opuestos.

(8)

Hay que distinguir entre:

Cargas distribuidas, dF(x) = q(x) dx = w(x) dx, tales como el propio peso de la

viga, que se aplican de forma uniforme a lo largo de la viga (en general, funciones w(x) continuas a trozos)

Cargas concentradas, dF (x) = q(x) dx = , tales como las

reacciones verticales Vi en los apoyos, que se aplican como Wi localizadas en los puntos Xi.

(9)

La abstracción matemática consiste en hacer tender a = 0

Donde hemos puesto F(0) = Wo y Xo = 0. Conseguimos así rebajar en uno el orden de la ecuación diferencial y”, quedando:

Recordando igualmente que M´(x) = -F(x), el momento flexor M puede calcularse como la integral:

(10)

Condiciones de contorno:

La solución general de la ecuación y” depende de 4 constantes arbitrarias que pueden fijarse con condiciones de contorno (Ilustración 5). Tenemos tres tipos de condiciones:

A dichas condiciones de contorno deben añadirse las condiciones de empalme:

Ilustración 5: Condiciones de contorno para vigas con soporte simple, empotradas y en voladizo

(11)

2.2.1 Viga con soporte simple.

Supongamos que tenemos una viga horizontal de longitud 2l que está apoyada sobre sus extremos (Ilustración 6). Se trata de encontrar la ecuación de su curva elástica y(x) y su deflexión máxima cuando:

(12)

2.2.2 Viga con soporte interconstruido o biempotrada.

Una viga horizontal de longitud l esta empotrada en sus extremos (Ilustración 7). Encontrar la ecuación de su curva elástica y su deflexión máxima o flecha de deflexión cuando:

(13)

2.2.3 Viga en voladizo.

Una viga horizontal de longitud l está apoyada en su extremo izquierdo y libre en el derecho (Ilustración 8). Encontrar la ecuación de su curva elástica y su de deflexión máxima o fecha de flexión cuando:

2.3 PANDEO EN VIGAS

En el siglo XVIII Leonard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica sometida a una fuerza axial de compresión (Ilustración 9) Hemos visto que la relación entre el momento flexor M(x) y el radio de curvatura R(x) en un punto x de la viga viene dada por:

(14)

Supongamos primeramente que la curvatura es pequeña, de manera que

El momento flexor M(x) a una distancia x del extremo izquierdo de la viga es igual al producto de la fuerza F por el brazo de momento:

Soluciones:

Es decir, se trata de un de un problema de auto valores (cargas críticas) y auto funciones (modos de desviación) cuyo significado físico es el siguiente: la columna se desvía solo cuando la fuerza de compresión tiene uno de los valores:

(15)

Consideremos ahora curvaturas k no necesariamente pequeñas. Recordemos que la curvatura de definía como el cociente:

2.4 VIGAS SOMETIDAS A TORSION

Respecto a la torsión, usando el mismo criterio anterior, consideraremos como positivos los momentos torsores que vectorialmente coincidan con la dirección positiva del eje x; lo mismo diremos del giro correspondiente. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsión de Saint Venant (sin restricción de alabeo) se dividen en: a) Una ecuación diferencial ordinaria que, conocida la rigidez a torsión, gobierna el comportamiento global de la pieza en función de esfuerzos y deformaciones generalizadas; y b) Una ecuación diferencial en derivadas parciales cuya solución permite conocer la distribución de tensiones de corte sobre la sección transversal y evaluar la rigidez a torsión.

Conduce a una ecuación diferencial similar (formalmente idéntica) a la de la barra con esfuerzos axiales. Observando la Ilustración 11, el equilibrio entre los momentos actuando en dos secciones transversales separadas dx y un momento torsor distribuido es:

(16)

Donde Mx (x) es el momento torsor (esfuerzo interno)

Y mx (x) es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje. La ecuación constitutiva asociada es

Donde J es el momento polar de inercia, ρ es un factor que depende de la forma de la sección (que sólo es 1 para secciones circulares o anulares cerradas) y de otras condiciones geométricas asociadas a la restricción de alabeo y la longitud de la pieza, G es el módulo de elasticidad transversal y θ es el ángulo específico de giro (deformación generalizada asociada)

El reemplazo de estas últimas dos ecuaciones en la primera conduce a (para secciones uniformes):

(17)

2.5 EJEMPLO

2.5.1 Ejemplo Viga biempotrada

Como un primer ejemplo sencillo observemos como obtener la solución de una viga biempotrada con carga uniforme.

Cuyas condiciones de contorno son:

Integrando esta ecuación diferencial se obtiene

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de biempotramiento tendremos

(18)

Donde hemos denominado con

En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas resultante, las dos primeras ecuaciones son de resolución inmediata,

Lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces

De donde:

En consecuencia el momento flector:

Evaluado en los extremos y el centro:

Para ver el valor de los momentos sobre los empotramientos debe recordarse que hay que cambiar el signo al que actúa en el extremo izquierdo (cara negativa). El corte puede obtenerse derivando el momento o

(19)

Nuevamente, las reacciones verticales de apoyo resultan de evaluar el corte en los extremos:

En tanto que los desplazamientos son:

El máximo desplazamiento es en el centro:

2.5.2 Ejemplo de torsión con flexión.

Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida qz excéntrica que (además de flexión en el plano x − z) produce un momento torsor dis tribuido mx = −qz e (ver Figura 8.4.1.1). Es importante recordar que los distintos esfuerzos están desacoplados, por lo cual la solución de este problema consiste en resolver en forma independiente: a) la flexión en el plano x − z debida a la carga distribuida y las condiciones de contorno a flexión que tenga (no están indicadas en la figura) b) la torsión debida a la aplicación excéntrica de la carga que es lo que interesa en este punto. Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los extremos están impuestos de valor φ1 y φ2

(20)

La ecuación diferencial a resolver es (con ρ = 1 e It = J)

Las constantes de integración se determinan en función de las condiciones de contorno:

De donde:

Con lo cual (reordenando)

Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan por separado la influencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. La solución encontrada puede verse como la combinación (suma) de las siguientes soluciones:

 Debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en los extremos. Esto se conoce como solución de la ecuación diferencial no-homogénea (con término independiente no nulo) y condiciones de contorno homogéneas (giros nulos), y se la denomina “solución particular” porque depende de la distribución de carga.

(21)

 Debido a cada una de las condiciones de contorno (en forma separada) y sin carga de tramo. Esto se conoce como “solución general de la ecuación diferencial homogénea” (termino independiente nulo) y

(22)

3 CONCLUSIONES

 Las ecuaciones diferenciales fueron y son un gran avance para la ciencia, y aún más para nuestra carrera profesional con su uso en las estructuras desarrolladas a través de estas.

(23)

4 BIBLIOGRAFIA

 Frank Ayres, Ecuaciones diferenciales, McGraw Hill

 S. Novo, R. Obaya y J. Rojo, Ecuaciones y sistemas diferenciales, McGraw-Hill, Madrid

 Dr. Fernando Flores, ECUACIONES DIFERENCIALES, Cálculo de desplazamientos