1-definiciones grafos

(1)

S

T

R

U

C

T

U

R

A

S

D

IS

C

R

E

T

A

S

II

Estructuras

Discretas II

Introducción a la

Teoría de Grafos

(2)

Grafos

Grafos:

Modelos matemáticos de situaciones reales

Ejemplos:

 Mapa de carreteras,

 Plano del tren eléctrico

 Plano callejero

 Red de PCs,

 Plano de un circuito eléctrico

 Arboles genealógicos, etc.

Aplicaciones:

Compiladores y traductores, Redes, Planificación, etc. Origen: 1736 (Los Puentes de Könisberg. Euler)

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(3)

Grafos

_{Desafortunadamente no existe una terminología estandarizada en}

la teoría de los grafos,

 Por lo tanto es oportuno aclarar que las presentes definiciones pueden variar ligeramente entre diferentes publicaciones de estructuras de datos y de teoría de grafos,

 En general se puede decir que un grafo, es la representación (para

nuestro caso) gráfica de los datos de una situación particular,

 Ejemplo:

Chicago

Boston Nueva York

Filadelfia

Vuelos de lagunas aerolíneas

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(4)

Definición: Grafo

Definición: Grafo

Los grafos de manera general pueden ser considerados diagramas o dibujos, de manera formal como un par de conjuntos.

Un grafo G = (V, E) se define como el par formado por:

 Un conjunto V cuyos elementos reciben el nombre de

vértices. El conjunto V de vértices del grafo, se denota por V(G).

 Un conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos

llamados aristas. El conjunto E de aristas del grafo, se denota por E(G).

 La notación general es:

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(5)

Definición: Grafo

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(6)

Definición: Grafo

Vértices Adyacentes:

Dos vértices v_i, v_j son adyacentes si son los extremos de una arista, es decir, si el par de vértices (v_i, v_j) es un elemento de E.

V={v₁, v₂, v₃}

E={(v₁,v₂), (v₂,v₃), (v₁,v₃)}

G

R

A

F

O

S

D

IG

R

A

F

O

(7)

Otros Tipos de Grafos

Multigrafo: es un grafo con varias aristas entre dos vértices.

V={v₁, v₂, v₃}

E={(v₁,v₂), (v₂,v₃), (v₂,v₃), (v₁,v₃), (v₁,v₃)}

Pseudografo: tiene aristas cuyos extremos coinciden (origen y fin en el mismo vértice), tales aristas se denominan lazos.

V={v₁, v₂, v₃}

E={(v₁,v₁), (v₁,v₂), (v₂,v₂), (v₁,v₃)}

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(8)

Tipos de Grafos

Digrafo (grafo dirigido): A cada arista se le asigna un orden en sus extremos, en el dibujo se indica con una flecha. Los pares que

forman los elementos de E son pares ordenados.

V={v₁, v₂, v₃}

E={(v₁,v₂), (v₂,v₃), (v₃,v₁)}

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(9)

Tipos de Grafos

En general si no se especifica que un grafo G es dirigido o no,

supondremos que es no dirigido.

La figura proporciona un ejemplo de un grafo dirigido sobre V= {a,

b, c, d, e} con E= {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c)}.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(10)

Otra Definición: Grafo

Grafo:

Un grafo es una terna G = (V, E, T), en donde

 V y E son conjuntos finitos,

 T es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de

A un par de elementos de V.

 Los elementos de V y de E se llaman, respectivamente,

"vértices" y "aristas" de G,

 T asocia entonces a cada arista con sus dos vértices.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(11)

Grado de un vértice

Es el número de aristas que parten de él. El grado de un vértice se conserva por isomorfismo.

Dado un vértice u de V(G), su grado es gr(u).

El vértice y es de grado 3 El vértice x es de grado 3 El vértice z es de grado 3 El vértice w es de grado 3

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(12)

Subgrafo

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

¿Qué tipo de subestructura nos sirve para analizar un grafo?

¿Es posible trazar dos grafos que parezcan distintos pero que tengan la misma estructura subyacente?

Definición

Si G = (V, E) es un grafo (dirigido o no), entonces G₁ = (V₁, E₁) es un

subgrafo de G si

  V1 V y E₁ E,

(13)

Subgrafo

Un subgrafo se obtiene eliminando alguna(s) arista(s) y/o vértice(s). Si se suprime un vértice, se suprimen todas las aristas que tienen por origen o fin dicho vértice.

G’ es un subgrafo de G, al suprimir el vértice x y las aristas que

llegan a él.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(14)

Subgrafo Recubridor

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Definición

Dado un grafo (dirigido o no) G = (V, E), sea G₁=(V₁, E₁) un subgrafo de G. Si V₁ = V, entonces G₁ es un subgrafo recubridor de G.

Los subgrafos G₃ y G₄ son subgrafos recubridores del grafo G en la parte a) de la figura anterior. Los grafos dirigidos G’’ y G’’’ son dos grafos

(15)

Subgrafo Inducido

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Definición

Sea G = (V, E) un grafo (dirigido o no). Si   U  V, el subgrafo de

G inducido por U es el subgrafo cuyo conjunto de vértices es U y

que contiene todas las aristas (de G) de la forma:

1) (x, y), para x, y U, si G es dirigido o; 2) {x, y} para x, y U, si G no es dirigido

Se denota a este subgrafo como U.

(16)

Subgrafo Inducido

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Para los subgrafos de la figura, se ve que G₂ es un subgrafo

inducido de G pero el subgrafo G₁ no es un subgrafo inducido ya

(17)

Subgrafo Inducido

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

EJEMPLO

Sea G el grafo de la figura.

•_{Los subgrafos}_G_{1 y}_G_{2 de la figura son inducidos.} • G₁=U₁ para U₁ ={b, c, d, e}.

• G₂=U₂ para U₂={a, b, e, f}.

• G₃ no es un subgrafo inducido; los vértices c, e están en

(18)

Grafo Regular

Un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado, si

dicho grado es k, el grafo se denominará k-regular.

Los grafos G, G’ son grafos 3-regular y 2-regular.

La regularidad de grafos se conserva por isomorfismo.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(19)

Grafo Completo

Un grafo es completo si cada par de vértices son los extremos de una arista.

Dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos.

Se designará el grafo completo con n vértices por K_n.

Se puede representar K_n, para n mayor o igual a tres, mediante los

vértices de un polígono regular P_n de n lados siendo las aristas de K_n

los lados y todas las diagonales de P_n.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(20)

Grafo Complementario

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Definición

Sea G un grafo no dirigido sin lazos con n vértices. El complementario de G, ( ) es el subgrafo de K_n formado por los n vértices de G y todas las

aristas que no están en G.

(Si G = K_n, es un grafo con n vértices y ninguna arista. A este grafo se le llama grafo nulo).

G

(21)

Grafo Bipartito

Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(22)

Ejemplos de Grafos

• _{Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |}

V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices.

• _{Un grafo regular no tiene por qué ser completo}

• Un grafo bipartido regular se denota K_m,n donde m, n es el grado de

cada conjunto disjunto de vértices.

• En la figura se tienen los grafos K_1,2, K_3,3, y K_2,5

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(23)

Matrices de Representación de un Grafo

Matriz de Adyacencia

Un grafo simple G = (V, E) con n nodos

Puede ser representado por su matriz de adyacencia A.

1 si { , } es un arco de .

0 en otro caso.

i j ij

v v

G

a

 





D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(24)

Matrices de Representación de un Grafo

Matriz de adyacencia para K₅.

d

a b

c

e a

c

e f

K5

a

0

1 0 0

1 1

b

1

0

1 0 0

1 c

0

1

0

1

0

1 d

0 0

1

0

1 e

1 0 0

1

0

1 f

1 1 1 1 1 1

a b c d e f

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(25)

Matrices de Representación de un Grafo

Matriz de Incidencia

Sea G=(V, E) un grafo no dirigido. Suponga que v₁,v₂,…v_n son los nodos y e₁,e₂,…,e_m son los arcos de G.

La matriz de incidencia con respecto a este ordenamiento de V y E

es la matriz de orden nxm

1 cuando el arco es incidente a .

0 en otro caso.

j i

ij

e

v

m

 





D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(26)

Matrices de Representación de un Grafo

Matriz de incidencia para K₅.

d a b c e a c e f e₂ e₁ e₃ e₄ e₅ e₈ e₇

e₆ e₁₀ e₉

a 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

b 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

c 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

d 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

e 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

f 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

e₁ e₂ e₃ e₄ e₅ e₆e₇e₈e₉ e₁₀

(27)

Caminos en un Grafo

Camino

Un camino en un grafo G es una sucesión finita de vértices y aristas alternos, donde cada arista tiene por extremos los vértices

adyacentes.

{ v₀, (v₀,v₁), v₁, (v₁,v₂) ,..., v_n-1, (v_n-1,v_n) , v_n}

A v₀ y v_n se les denomina extremos del camino.

Si x, y son vértices (no necesariamente distintos) de un grafo no

dirigido G = (V, E). Un camino x-y en G es una sucesión alternada finita (sin lazos)

x= x₀, e₁, x₁, e₂, x₂, e₃,...,e_n-1, x_n-1, e_n, x_n=y

de vértices y aristas de G, que comienza en el vértice x y termina en

el vértice y y que contiene las n aristas

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(28)

Caminos en un Grafo

Longitud del camino

La longitud de un camino es n, el número de aristas que hay en el camino (Si n = 0, no existen aristas, x = y, y el camino se denomina

trivial).

Camino cerrado

Cualquier camino x-y donde x = y (y n > 1) es un camino cerrado o ciclo. En caso contrario, el camino es abierto.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(29)

Caminos en un Grafo

Definición

Consideremos un camino x-y en un grafo no dirigido G = (V, E).

a) Si no se repite alguna arista en el camino x-y, entonces el camino

es un recorrido o camino elemental x-y.

b) Cuando ningún vértice del camino x-y se presenta más de una

vez, el camino es un camino simple x-y. El término ciclo se usa para

describir el camino simple cerrado.

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(30)

Caminos en un Grafo

w

x y

z

En el grafo de la figura se cumple:

 Es K₄ completo

 { x, y, w, z, y } es un camino

 { x, y, w } es un camino simple

 { x, y, w, z, x } es un ciclo

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(31)

Caminos en un Grafo

Teorema

Sea G = (V, E) un grafo no dirigido, con a, b V, ab. Si existe un camino elemental de a a b, entonces existe un camino simple de a a b.

Demostración.

Como hay al menos un camino elemental de a a b, se selecciona el

que tenga la longitud más corta, digamos {a,x₁},{x₁,x₂},...,{x_n,b}. Si este camino no es un camino simple, se tiene la situación

{a,x₁},{x₁,x₂},...,{x_k_-1,x_k},{x_k,x_k₊₁},{x_k₊₁,x_k₊₂},..., {x_m_-1,x_m},{x_m,x_m₊₁},...,{x_n,b},

donde k<m y x_k=x_m, posiblemente con k=0 y a(=x₀)=x_m, o m=n+1 y

x_k=b(=x_n₊₁). Pero entonces

{a,x₁},{x₁,x₂},...,{x_k_-1,x_k},{x_m,x_m₊₁},...,{x_n,b}

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(32)

Grafo Conexo

Definición

Sea G = (V, E) un grafo no dirigido. Decimos que G es conexo si

existe un camino entre dos vértices cualesquiera distintos de G.

Si e grafo G es dirigido y existe por lo menos un camino entre dos vértices cualesquiera entonces se dice que el grafo G es

fuertemente conexo.

Sin un grafo no cumple con las condiciones anteriores se dice que es disconexo o no-conexo.

Arista de Separación

Una arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(33)

Conectividad en Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Definiciones:_ _{Sea G=(V, E) un grafo conexo, se llama punto de corte a un vértice}

v de G, de modo que el subconjunto Gv de G con vértices V-{v} y

cuyas aristas son aquellas de E cuyos vértices están en V-{v} no es

conexo.

 _{Se llama istmo a una arista a de G de modo que el grafo (V, E-{}_a_})

no es conexo.

(34)

Conectividad en Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Observaciones:

 Sea un grafo G=(V, E) que posee k componentes conexas, se

verifica la desigualdad: #(E)  (#(V) - k)·(#(V) - k+1).

(35)

Caminos en un Grafo

Por lo tanto, un grafo no dirigido G = (V, E) es disconexo si y sólo si

V puede separarse en al menos dos subconjuntos V₁, V₂ tales que no

haya una arista en E de la forma {x, y} donde xV₁ e yV₂.

Un grafo es conexo si y sólo si tiene solamente una componente.

Definición Para cualquier grafo G = (V, E), el número de

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(36)

Caminos en un Grafo

Definición

Para cualquier grafo G = (V, E), el número de componentes de G se denota con (G).

Método para determinar si un grafo es conexo

Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente:

– _{Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la (n-1)-ésima}

potencia

– _{Se calcula la suma de las potencias de A hasta A}n-1

– _{Si todos sus elementos son}_{0, el grafo es conexo.}

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(37)

Isomorfismo de Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Definición

Sean G₁=(V₁, E₁) y G₂=(V₂, E₂) dos grafos no dirigidos. Una función f: V₁® V₂ es un isomorfismo de grafos si: 1) f es biyectiva

2)  a, b V₁, {a, b} E₁ si y sólo si {f(a), f(b)} E₂.

(38)

Isomorfismo de Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

V(G)={w, x, y, z}

E(G)={(x,y), (x,z), (x,w), (y,z), (y,w), (w,z)} V(H)={t, s, v, u}

E(H)={(s,v), (s,u), (s,t), (v,u), (v,t), (t,u)}

(39)

Isomorfismo de Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Para los grafos de las partes a) y b) de la figura, la función f

definida por

f(a)=w, f(b)=x, f(c)=y, f(d)=z

da como resultado un isomorfismo.

(De hecho cualquier correspondencia uno a uno entre {a, b, c, d} y {w, x, y, z} será un isomorfismo, ya que ambos grafos son

completos).

En consecuencia en lo que se refiere a la estructura estos grafos se

(40)

Isomorfismo de Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Para los grafos c) y d) de la figura se necesita un poco más de

cuidado. La función g definida por:

g(m)=r, g(n)=s, g(p)=t, g(q)=u

es uno a uno y sobre.

Sin embargo, aunque {m, q} es una arista del grafo de la parte c),

{ g(m), g(q)} = {r, u} no es una arista del grafo de la parte d).

(41)

Isomorfismo de Grafos

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

(42)

Grafo Etiquetado

D

e

fi

n

ic

io

n

es

:

G

ra

fo

s

Grafo o Digrafo etiquetado,

Se dice que un grafo o un digrafo es etiquetado si sus aristas tienen asignado un número.

A la etiqueta de una arista a de G se le suele designar longitud de

a.

Dado un camino, en un grafo etiquetado, se denomina longitud del camino a la suma de las etiquetas de las aristas, si todas las