Se˜
nales y Sistemas 1
Sesi´
on 5
Jan Bacca R. Ana Mar´ıa Reyes.
Agenda
1 Representaci´on en series de Fourier de se˜nales peri´odicas continuas
Cr´
editos
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
−2 −1 0 1 2
Nota Do en el tiempo
segundos
0 50 100 150 200 250
0 5000 10000
Nota Do espectro en la frecuencia
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
Nota Re en el tiempo
segundos
0 50 100 150 200 250
0 2000 4000 6000
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
Nota Mi en el tiempo
segundos
0 50 100 150 200 250
0 2000 4000 6000
Nota Mi espectro en la frecuencia
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
segundos
Nota Fa en el tiempo
0 50 100 150 200 250
0 5000 10000
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
segundos
Nota Sol en el tiempo
0 50 100 150 200 250
0 5000 10000
Nota Sol espectro en la frecuencia
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
segundos
Nota La en el tiempo
0 50 100 150 200 250
0 5000 10000
Notas musicales
0 0.005 0.01 0.015
−2 −1 0 1 2
segundos
Nota Si en el tiempo
0 50 100 150 200 250
0 2000 4000 6000
Nota Si espectro en la frecuencia
Se˜
nales peri´
odicas exponencial compleja y sinusoidal
Definici´on
T0 =
2π
|ω0|
El periodo fundamentalT0 de
una se˜nal sinusoidal continua o una exponencial compleja peri´odica es inversamente proporcional a|ω0|, a la cual
nos referimos comofrecuencia
fundamental
−5 0 5
−1 0 1
T1, ω1
−5 0 5
−1 0 1
T2, ω2
−5 0 5
−1 0 1
T3, ω3
Se˜
nales peri´
odicas exponencial compleja y sinusoidal
−5 0 5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Conjuntos de exponenciales complejas
relacionadas
arm´
onicamente
Son conjuntos de exponenciales peri´odicas con un periodo com´un. Si
una se˜nal tiene perodoT0
ejω0T0= 1,
ω0T0 es un m´ultiplo de 2π
ω0T0 = 2πk,
k = 0,±1,±2, ...
Por lo tanto
ω0 =
2π
Conjuntos de exponenciales complejas
relacionadas
arm´
onicamente
Son conjuntos de exponenciales peri´odicas con un periodo com´un. Si
una se˜nal tiene perodoT0
ejω0T0= 1,
ω0T0 es un m´ultiplo de 2π
ω0T0 = 2πk,
k = 0,±1,±2, ...
Por lo tanto
ω0 =
2π
Conjuntos de exponenciales complejas
relacionadas
arm´
onicamente
Son conjuntos de exponenciales peri´odicas con un periodo com´un. Si
una se˜nal tiene perodoT0
ejω0T0= 1,
ω0T0 es un m´ultiplo de 2π
ω0T0 = 2πk,
k = 0,±1,±2, ...
Por lo tanto
ω0 =
2π
Conjuntos de exponenciales complejas
relacionadas
arm´
onicamente
El conjunto de exponenciales complejasrelacionadas arm´onicamente
φk(t) =ejkω0t=ejk(2π/T0)t
k = 0,±1,±2, ...
La frecuencia fundamental de la k-´esima exponencial es|k|ω0. La
relaci´on entre frecuencia y per´ıodo es:
2π
|k|ω0
= T0
Conjuntos de exponenciales complejas
relacionadas
arm´
onicamente
El conjunto de exponenciales complejasrelacionadas arm´onicamente
φk(t) =ejkω0t=ejk(2π/T0)t
k = 0,±1,±2, ...
La frecuencia fundamental de la k-´esima exponencial es|k|ω0. La
relaci´on entre frecuencia y per´ıodo es:
2π
|k|ω0
= T0
Series de Fourier
Representaci´on de se˜nales por sus componentes arm´onicos
Amplitud
ω
0 1 2 3 4 5 6
6ω0
5ω0
4ω0
3ω0
2ω0
ω0
Representaci´
on de los arm´
onicos
¿Com´o se representan las se˜nales en sus componentes arm´onicos?
0 5 10 15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 5 10 15
Representaci´
on en series de Fourier
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2
¿Cu´ales son los componentes arm´onicos de la siguiente se˜nal?
0 2 4 6
−1 0 1 2 3 4 a)
0 2 4 6
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Componentes armónicos
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Señal parcial
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Componentes armónicos
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Señal parcial
−1 0 1 2 3
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Componentes armónicos
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Señal parcial
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Componentes armónicos
0 1 2 3 4 5 6
−1 0 1 2 3
Señal parcial
−1 0 1 2 3
Ejercicio
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2
¿Cu´ales son los componentes arm´onicos de la siguiente se˜nal?C
0 2 4 6
−1 0 1 2 3 4 a)
0 2 4 6
−2 −1 0 1 2 b)
0 2 4 6
−1 0 1 2 3 4 Respuesta c)
0 2 4 6
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
El conjunto de exponenciales complejasrelacionadas arm´onicamente
φk(t) =ejkω0t=ejk(2π/T0)t
k = 0,±1,±2, ...
Una combinaci´on lineal de exponenciales complejas relacionadas
arm´onicamente tiene la forma
x(t) =
+∞ X
k=−∞
akejkω0t =
+∞ X
k=−∞
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
El conjunto de exponenciales complejasrelacionadas arm´onicamente
φk(t) =ejkω0t=ejk(2π/T0)t
k = 0,±1,±2, ...
Una combinaci´on lineal de exponenciales complejas relacionadas
arm´onicamente tiene la forma
x(t) =
+∞ X
k=−∞
akejkω0t =
+∞ X
k=−∞
Ejemplo
Considere una se˜nal peri´odicax(t), con frecuencia fundamental 2π, que
est´a expresada como
x(t) =
+3
X
k=−3
akejk(2π)t
donde
a0 = 1,
a1 =a−1=
1 4,
a2 =a−2=
1 2,
a3 =a−3=
Ejemplo
Rescribiendo y adicionando las componentes arm´onicas que tienen la
misma frecuencia fundamental
x(t) = 1 +1 4(e
j2πt+e−j2πt) +1
2(e
j4πt+e−j4πt) +1
3(e
j6πt+e−j6πt)
De forma equivalente utilizando la relaci´on de Euler
x(t) = 1 +1
2cos 2πt+ cos 4πt+ 2
Ejemplo
Rescribiendo y adicionando las componentes arm´onicas que tienen la
misma frecuencia fundamental
x(t) = 1 +1 4(e
j2πt+e−j2πt) +1
2(e
j4πt+e−j4πt) +1
3(e
j6πt+e−j6πt)
De forma equivalente utilizando la relaci´on de Euler
x(t) = 1 +1
2cos 2πt+ cos 4πt+ 2
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x0(t) = 1
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x1(t) =
1
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x0(t) +x1(t) = 1 +
1
2cos 2πt
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x0(t) +x1(t) +x2(t)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x3(t) =
2
Ejemplo
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Puesto que x(t)∗=x(t), cuando es una se˜nal real obtenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
ak∗e−jkω0t
Reemplazando k por−k en la sumatoria, tenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
a−∗kejkω0t
Requiere que ak =a∗−k o de forma equivalente
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Puesto que x(t)∗=x(t), cuando es una se˜nal real obtenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
ak∗e−jkω0t
Reemplazando k por−k en la sumatoria, tenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
a−∗kejkω0t
Requiere que ak =a∗−k o de forma equivalente
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Puesto que x(t)∗=x(t), cuando es una se˜nal real obtenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
ak∗e−jkω0t
Reemplazando k por−k en la sumatoria, tenemos
x(t) =
+∞ X
k=−∞
a−∗kejkω0t
Requiere que ak =a−∗k o de forma equivalente
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Reacomodando la sumatoria
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
h
akejkω0t+ak∗e−jkω0t
i
Ya que en la sumatoria se encuentran dos t´erminos complejos
conjugados
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enakejkω0t
o
Si ak se expresa en forma polar como
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Reacomodando la sumatoria
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
h
akejkω0t+ak∗e−jkω0t
i
Ya que en la sumatoria se encuentran dos t´erminos complejos
conjugados
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enakejkω0t
o
Si ak se expresa en forma polar como
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Reacomodando la sumatoria
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
h
akejkω0t+ak∗e−jkω0t
i
Ya que en la sumatoria se encuentran dos t´erminos complejos
conjugados
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enakejkω0t
o
Si ak se expresa en forma polar como
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enAkej(kω0t+θk)
o
Esto es,
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Akcos(kω0t+θk)
Otra forma se obtiene escribiendo ak de forma rectangular como
ak =Bk +jCk
Con esta expresi´on para ak se tiene
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enAkej(kω0t+θk)
o
Esto es,
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Akcos(kω0t+θk)
Otra forma se obtiene escribiendo ak de forma rectangular como
ak =Bk +jCk
Con esta expresi´on para ak se tiene
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enAkej(kω0t+θk)
o
Esto es,
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Akcos(kω0t+θk)
Otra forma se obtiene escribiendo ak de forma rectangular como
ak =Bk +jCk
Con esta expresi´on para ak se tiene
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Combinaciones lineales de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
x(t) =a0+ +∞ X
k=1
2<enAkej(kω0t+θk)
o
Esto es,
x(t) =a0+ +∞
2X
k=1
Akcos(kω0t+θk)
Otra forma se obtiene escribiendo ak de forma rectangular como
ak =Bk +jCk
Con esta expresi´on para ak se tiene
x(t) =a0+ +∞
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Suponiendo que una se˜nal peri´odica pudiera representarse en serie de Fourier, necesitamos un procedimiento para determinar los
coeficientes ak,
x(t)e−jnω0t =
+∞ X
k=−∞
akejkω0te−jnω0t
Integrando ambos miembros desde 0 hastaT = 2π/ω0
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt = Z T
0 +∞ X
k=−∞
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Suponiendo que una se˜nal peri´odica pudiera representarse en serie de Fourier, necesitamos un procedimiento para determinar los
coeficientes ak,
x(t)e−jnω0t =
+∞ X
k=−∞
akejkω0te−jnω0t
Integrando ambos miembros desde 0 hastaT = 2π/ω0
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt = Z T
0 +∞ X
k=−∞
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Intercambiando el orden de integraci´on y de sumatoria
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞ X
k=−∞ ak
Z T
0
ejkω0te−jnω0tdt
Agrupando los dos t´erminos de la derecha
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞
X
k=−∞
ak Z T
0
ej(k−n)ω0tdt
Utilizando la relaci´on de Euler
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = Z T
0
cos[(k−n)ω0t]dt+j
Z T
0
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Intercambiando el orden de integraci´on y de sumatoria
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞ X
k=−∞ ak
Z T
0
ejkω0te−jnω0tdt
Agrupando los dos t´erminos de la derecha
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞
X
k=−∞
ak Z T
0
ej(k−n)ω0tdt
Utilizando la relaci´on de Euler
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = Z T
0
cos[(k−n)ω0t]dt+j
Z T
0
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Intercambiando el orden de integraci´on y de sumatoria
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞ X
k=−∞ ak
Z T
0
ejkω0te−jnω0tdt
Agrupando los dos t´erminos de la derecha
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞
X
k=−∞
ak Z T
0
ej(k−n)ω0tdt
Utilizando la relaci´on de Euler
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = Z T
0
cos[(k−n)ω0t]dt+j
Z T
0
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = Z T
0
cos(k−n)ω0tdt+j
Z T
0
sen(k−n)ω0tdt
Parak 6=n, cos(k−n)ω0t y sen(k−n)ω0t son sinusoidales
peri´odicas con periodo fundamental (T/|k−n|). Ambas integrales del
miembro derecho de la ecuaci´on son cero.
para k=n el t´ermino dentro de la primera integral es uno y el de la
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = Z T
0
cos(k−n)ω0tdt+j
Z T
0
sen(k−n)ω0tdt
Parak 6=n, cos(k−n)ω0t y sen(k−n)ω0t son sinusoidales
peri´odicas con periodo fundamental (T/|k−n|). Ambas integrales del
miembro derecho de la ecuaci´on son cero.
para k=nel t´ermino dentro de la primera integral es uno y el de la
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt = (
T, k =n
0, k 6=n
0 0.5 1 1.5 2
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞ X
k=−∞ ak
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt
Si denotamos la integraci´on sobre cualquier intervalo de longitud T
por RT tenemos que
Z
T
ej(k−n)ω0tdt = (
T, k =n
0, k 6=n
En consecuencia el miembro derecho de la ecuaci´on se reduce aanT.
Por tanto
an=
1
T Z T
0
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Z T
0
x(t)e−jnω0tdt =
+∞ X
k=−∞ ak
Z T
0
ej(k−n)ω0tdt
Si denotamos la integraci´on sobre cualquier intervalo de longitud T
por RT tenemos que
Z
T
ej(k−n)ω0tdt = (
T, k =n
0, k 6=n
En consecuencia el miembro derecho de la ecuaci´on se reduce aanT.
Por tanto
an=
1
T Z T
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Se define la serie de Fourier de una se˜nal peri´odica continua:
x(t) =
+∞ X
k=−∞
akejkω0t =
+∞ X
k=−∞
akejk(2π/T)t
ak =
1
T Z
T
x(t)e−jkω0tdt = 1 T
Z
T
x(t)e−jk(2π/T)tdt
Conocidas como la ecuaci´on de s´ıntesis y ecuaci´on dean´alisis
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
Se define la serie de Fourier de una se˜nal peri´odica continua:
x(t) =
+∞ X
k=−∞
akejkω0t =
+∞ X
k=−∞
akejk(2π/T)t
ak =
1
T Z
T
x(t)e−jkω0tdt = 1 T
Z
T
x(t)e−jk(2π/T)tdt
Conocidas como la ecuaci´on de s´ıntesis y ecuaci´on dean´alisis
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica continua
El coeficiente a0 es el coeficiente constante o de CD de x(t)
a0=
1
T Z
T
x(t)dt
Ejemplo
Considere la se˜nal
x(t) = sen(ω0t)
Determine los coeficientes de la serie de Fourier.
De manera espec´ıfica, podemos expresar sen(ω0t)
sen(ω0t) =
1 2je
jω0t− 1
2je −jω0t
as´ı obtenemos
a1 = 21j, a−1 =−21j,
Ejemplo
Considere la se˜nal
x(t) = sen(ω0t)
Determine los coeficientes de la serie de Fourier.
De manera espec´ıfica, podemos expresar sen(ω0t)
sen(ω0t) =
1 2je
jω0t− 1
2je −jω0t
as´ı obtenemos
a1 = 21j, a−1 =−21j,
Ejemplo
Considere la se˜nal
x(t) = sen(ω0t)
Determine los coeficientes de la serie de Fourier.
De manera espec´ıfica, podemos expresar sen(ω0t)
sen(ω0t) =
1 2je
jω0t− 1
2je −jω0t
as´ı obtenemos
a1= 21j, a−1 =−21j,
Ejemplo
Considere la se˜nal
x(t) = 1 + sen(ω0)t+ 2 cos(ω0t) +cos
2ω0t+
π
4
Determine los coeficientes de la serie de Fourier.
Podemos expandirx(t) en t´erminos de exponenciales complejas:
x(t) = 1 +
1 + 1
2j
ejω0t+
1− 1
2j
e−jω0t+
1 2e
j(π/4)
ej2ω0t
+
1 2e
−j(π/4)
Ejemplo
Considere la se˜nal
x(t) = 1 + sen(ω0)t+ 2 cos(ω0t) +cos
2ω0t+
π
4
Determine los coeficientes de la serie de Fourier.
Podemos expandirx(t) en t´erminos de exponenciales complejas:
x(t) = 1 +
1 + 1
2j
ejω0t+
1− 1
2j
e−jω0t+
1 2e
j(π/4)
ej2ω0t
+
1 2e
−j(π/4)
Ejemplo
x(t) = 1 +
1 + 1
2j
ejω0t+
1− 1
2j
e−jω0t+
1 2e
j(π/4)
ej2ω0t
+
1 2e
−j(π/4)
e−j2ω0t
Por consiguiente los coeficientes de Fourier para este ejemplo son:
a0= 1,
a1=
1 +21j
= 1−1
2j
a−1 =
1−21j= 1 + 12j
a2= 12ej(π/4) =
√
2 4 (1 +j)
a−2= 12e−j(π/4) =
√
2 4 (1−j)
Ejemplo
x(t) = 1 +
1 + 1
2j
ejω0t+
1− 1
2j
e−jω0t+
1 2e
j(π/4)
ej2ω0t
+
1 2e
−j(π/4)
e−j2ω0t
Por consiguiente los coeficientes de Fourier para este ejemplo son:
a0= 1,
a1 =
1 +21j= 1−1 2j
a−1 =
1− 1
2j
= 1 + 12j
a2 = 12ej(π/4) =
√
2 4 (1 +j)
a−2 = 12e−j(π/4) =
√
2 4 (1−j)
Ejemplo
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1 ak = 0 si k es impar.
2 a
k es de valor real.
3 |ak|decrece con k2
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
ak =
1
T Z
T
x(t)e−j
2π
T ktdt
ak =−
1 2
Z 0
−1 2
e−j2πkt+1 2
Z 1 2
0
e−j2πkt
= 1
j4πk
2−ejπk−e−jπk
=
( 1
jπk; si k es impar
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
ak =
1
T Z
T
x(t)e−j
2π
T ktdt
ak =−
1 2
Z 0
−1 2
e−j2πkt+1 2
Z 1 2
0
e−j2πkt
= 1
j4πk
2−ejπk−e−jπk
=
( 1
jπk; si k es impar
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
ak =
1
T Z
T
x(t)e−j
2π
T ktdt
ak =−
1 2
Z 0
−1 2
e−j2πkt+1 2
Z 1 2
0
e−j2πkt
= 1
j4πk
2−ejπk−e−jπk
=
( 1
jπk; si k es impar
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
ak =
1
T Z
T
x(t)e−j
2π
T ktdt
ak =−
1 2
Z 0
−1 2
e−j2πkt+1 2
Z 1 2
0
e−j2πkt
1
jπk −jπk
(
1
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
=
(
1
jπk; si k es impar
0; otro caso
¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1 ak = 0 si k es impar.
2 ak es de valor real. 3 |ak|decrece con k2
4 Existe un infinito n´umero deak diferentes de cero.
Ejercicio
ak representa los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente se˜nal
cuadrada
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.5 0 0.5
¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1 ak = 0 si k es impar.
2 a
k es de valor real.
3 |ak|decrece con k2
Representaci´
on en series de Fourier
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 1
Considere la exponencial compleja discreta con frecuenciaω0+ 2π
ej(ω0+2π)n=ej2πnejω0n=ejω0n
La exponencial con frecuencia ω0+ 2π es la misma que aquella con
frecuencia ω0.
Paraω0=π o cualquier otro m´ultiplo impar deπ
ejπn= (ejπ)n= (−1)n
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 1
Considere la exponencial compleja discreta con frecuenciaω0+ 2π
ej(ω0+2π)n=ej2πnejω0n=ejω0n
La exponencial con frecuencia ω0+ 2π es la misma que aquella con
frecuencia ω0.
Paraω0=π o cualquier otro m´ultiplo impar deπ
ejπn= (ejπ)n= (−1)n
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 1
Considere la exponencial compleja discreta con frecuenciaω0+ 2π
ej(ω0+2π)n=ej2πnejω0n=ejω0n
La exponencial con frecuencia ω0+ 2π es la misma que aquella con
frecuencia ω0.
Paraω0=π o cualquier otro m´ultiplo impar de π
ejπn= (ejπ)n= (−1)n
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 2
Para que la se˜nalejω0n sea peri´odica con periodo N >0, debemos
tener
ejω0(n+N)=ejω0n
o, de manera equivalente
ejω0N = 1
Para que se cumplaω0N debe ser un m´ultiplo de 2π. Debe haber un
enterom tal que
ω0N = 2πm
o equivalente
ω0
2π =
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 2
Para que la se˜nalejω0n sea peri´odica con periodo N >0, debemos
tener
ejω0(n+N)=ejω0n
o, de manera equivalente
ejω0N = 1
Para que se cumplaω0N debe ser un m´ultiplo de 2π. Debe haber un
enterom tal que
ω0N = 2πm
o equivalente
ω0
2π =
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 2
Para que la se˜nalejω0n sea peri´odica con periodo N >0, debemos
tener
ejω0(n+N)=ejω0n
o, de manera equivalente
ejω0N = 1
Para que se cumplaω0N debe ser un m´ultiplo de 2π. Debe haber un
enterom tal que
ω0N = 2πm
o equivalente
ω0
2π =
Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas
Propiedad 2
Para que la se˜nalejω0n sea peri´odica con periodo N >0, debemos
tener
ejω0(n+N)=ejω0n
o, de manera equivalente
ejω0N = 1
Para que se cumplaω0N debe ser un m´ultiplo de 2π. Debe haber un
enterom tal que
ω0N = 2πm
o equivalente
ω0
2π =
Secuencia de sinusoidales discretas para diferentes
frecuencias
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(0*n)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n/8)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n/4)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n/2)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(3*pi*n/2)
Secuencia de sinusoidales discretas para diferentes
frecuencias
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n/2)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(pi*n)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(3*pi*n/2)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(7*pi*n/4)
0 10 20
−1 −0.5 0 0.5 1 x[n]=cos(15*pi*n/8)
0 10 20
Combinaci´
on lineal de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Una se˜nal discretax[n] es peri´odica con periodo N si
x[n] =x[n+N]
Con frecuencia fundamental ω0= 2π/N, el conjunto de todas las
se˜nales exponenciales complejas discretas que son peri´odicas con
periodo N est´a dado por
φk[n] =ejkω0n=ejk(2π/N)n k = 0,±1,±2, . . .
Todas las se˜nales tienen frecuencias fundamentales que son m´ultiplos de 2π/N y por lo tanto est´an relacionadas arm´onicamente. En forma espec´ıfica, φ0[n] =φN[n],φ1[n] =φN+1[n] y en general,
Combinaci´
on lineal de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Una se˜nal discretax[n] es peri´odica con periodo N si
x[n] =x[n+N]
Con frecuencia fundamental ω0= 2π/N, el conjunto de todas las
se˜nales exponenciales complejas discretas que son peri´odicas con
periodoN est´a dado por
φk[n] =ejkω0n=ejk(2π/N)n k = 0,±1,±2, . . .
Todas las se˜nales tienen frecuencias fundamentales que son m´ultiplos de 2π/N y por lo tanto est´an relacionadas arm´onicamente. En forma espec´ıfica, φ0[n] =φN[n],φ1[n] =φN+1[n] y en general,
Combinaci´
on lineal de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
Una se˜nal discretax[n] es peri´odica con periodo N si
x[n] =x[n+N]
Con frecuencia fundamental ω0= 2π/N, el conjunto de todas las
se˜nales exponenciales complejas discretas que son peri´odicas con
periodoN est´a dado por
φk[n] =ejkω0n=ejk(2π/N)n k = 0,±1,±2, . . .
Todas las se˜nales tienen frecuencias fundamentales que son m´ultiplos de 2π/N y por lo tanto est´an relacionadas arm´onicamente. En forma espec´ıfica, φ0[n] =φN[n],φ1[n] =φN+1[n] y en general,
Combinaci´
on lineal de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
La representaci´on de secuencias peri´odicas m´as general en t´erminos de combinaciones lineales
x[n] =X
k
akφk[n] =
X
k
akejkω0n=
X
k
akejk(2π/N)n
La sumatoria es sobrek, a medida que k var´ıa sobre un rangoN
enteros sucesivos
x[n] =X
{N}
akφk[n] =
X
{N}
akejkω0n=
X
{N}
akejk(2π/N)n
Por ejemplo,k podr´ıa asumir los valores k = 0,1, . . . ,N−1 o
Combinaci´
on lineal de exponenciales complejas
relacionadas arm´
onicamente
La representaci´on de secuencias peri´odicas m´as general en t´erminos de combinaciones lineales
x[n] =X
k
akφk[n] =
X
k
akejkω0n=
X
k
akejk(2π/N)n
La sumatoria es sobrek, a medida que k var´ıa sobre un rangoN
enteros sucesivos
x[n] =X
{N}
akφk[n] =
X
{N}
akejkω0n=
X
{N}
akejk(2π/N)n
Por ejemplo,k podr´ıa asumir los valores k = 0,1, . . . ,N−1 o
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta
x[n] =X
{N}
akφk[n] =
X
{N}
akejkω0n=
X
{N}
akejk(2π/N)n
Si evaluamos la ecuaci´on paraN valores sucesivos de n que
corresponden a un periodo dex[n],
x[0] = P
k={N} ak
x[1] = P
k={N}
akej2πk/N
.. .
x[N−1] = P
k={N}
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta hola
Considerando,
x[n] =X
{N}
akφk[n] =
X
{N}
akejkω0n=
X
{N}
akejk(2π/N)n
Al multiplicar ambos miembros por e−jr(2π/N)n y sumando losN
t´erminos
X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n= X
n={N} X
k={N}
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta hola
Considerando,
x[n] =X
{N}
akφk[n] =
X
{N}
akejkω0n=
X
{N}
akejk(2π/N)n
Al multiplicar ambos miembros por e−jr(2π/N)n y sumando losN
t´erminos
X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n = X
n={N} X
k={N}
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta
Intercambiando el orden de la sumatoria en el miembro derecho de la ecuaci´on
X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n= X
k={N} ak
X
n={N}
ej(k−r)(2π/N)n
Adem´as
X
n={N}
ejk(2π/N)n=
(
N, k = 0,±N,±2N, . . .
0, cualquier otro valor
k var´ıa en la sumatoria exterior, la sumatoria interior en el miembro derecho de la ecuaci´on es igual aN si k =r y 0 si k 6=r. Entonces, el miembro derecho de la ecuaci´on se reduce aNar,
ar =
1
N X
n={N}
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta
Intercambiando el orden de la sumatoria en el miembro derecho de la ecuaci´on
X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n= X
k={N} ak
X
n={N}
ej(k−r)(2π/N)n
Adem´as
X
n={N}
ejk(2π/N)n=
(
N, k = 0,±N,±2N, . . .
0, cualquier otro valor
k var´ıa en la sumatoria exterior, la sumatoria interior en el miembro derecho de la ecuaci´on es igual aN si k =r y 0 si k 6=r. Entonces, el miembro derecho de la ecuaci´on se reduce aNar,
ar =
1
N X
n={N}
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta
Intercambiando el orden de la sumatoria en el miembro derecho de la ecuaci´on
X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n= X
k={N} ak
X
n={N}
ej(k−r)(2π/N)n
Adem´as
X
n={N}
ejk(2π/N)n=
(
N, k = 0,±N,±2N, . . .
0, cualquier otro valor
k var´ıa en la sumatoria exterior, la sumatoria interior en el miembro derecho de la ecuaci´on es igual aN si k =r y 0 si k 6=r. Entonces, el miembro derecho de la ecuaci´on se reduce aNar,
ar =
1 X
Determinaci´
on de la representaci´
on en series de Fourier de
una se˜
nal peri´
odica discreta
ar =
1
N X
n={N}
x[n]e−jr(2π/N)n
Esto proporciona una expresi´on cerrada para obtener los coeficientes de la
serie de Fourier
Par de la serie de Fourier: Ecuaci´on de s´ıntesis y ecuaci´on de an´alisis
x[n] = P
k={N}
akejk(2π/N)n
ak = N1 P n={N}
Ejemplo
Para la onda cuadrada peri´odica: x[n] = 1 para−N1≤n≤N1, en un
intervalo de longitud N.
ak =
1
N
N1 X
n=−N1
e−jk(2π/N)n
b b b b b b
b b b b b b b b b b b
−N −N10 N1 N
1
n
Si permitimos que m=n+N1,
ak =
1
N
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)(m−N1)
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
Ejemplo
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)m
ak =
1
Ne
jk(2π/N)N1 1−e
−jk2π(2N1+1)/N
1−e−jk(2π/N)
!
= 1
N
e−jk(2π/2N)
ejk2π(N1+1/2)/N −e−jk2π(N1+1/2)/N e−jk(2π/2N)
ejk(2π/2N)−e−jk(2π/2N)
Para k 6= 0,±N,±2N, . . .
1
N
sen[2πk(N1+ 1/2)/N]
sen(πk/N)
y para k = 0,±N,±2N, . . .
ak =
2N1+ 1
Ejemplo
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)m
ak =
1
Ne
jk(2π/N)N1 1−e
−jk2π(2N1+1)/N
1−e−jk(2π/N)
!
= 1
N
e−jk(2π/2N)
ejk2π(N1+1/2)/N −e−jk2π(N1+1/2)/N e−jk(2π/2N)
ejk(2π/2N)−e−jk(2π/2N)
Para k 6= 0,±N,±2N, . . .
1
N
sen[2πk(N1+ 1/2)/N]
sen(πk/N)
y para k = 0,±N,±2N, . . .
ak =
2N1+ 1
Ejemplo
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)m
ak =
1
Ne
jk(2π/N)N1 1−e
−jk2π(2N1+1)/N
1−e−jk(2π/N)
!
= 1
N
e−jk(2π/2N)
ejk2π(N1+1/2)/N −e−jk2π(N1+1/2)/N e−jk(2π/2N)
ejk(2π/2N)−e−jk(2π/2N)
Para k 6= 0,±N,±2N, . . .
1
N
sen[2πk(N1+ 1/2)/N]
sen(πk/N)
y para k = 0,±N,±2N, . . .
ak =
2N1+ 1
Ejemplo
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)m
ak =
1
Ne
jk(2π/N)N1 1−e
−jk2π(2N1+1)/N
1−e−jk(2π/N)
!
= 1
N
e−jk(2π/2N)
ejk2π(N1+1/2)/N −e−jk2π(N1+1/2)/N e−jk(2π/2N)
ejk(2π/2N)−e−jk(2π/2N)
Para k 6= 0,±N,±2N, . . .
1
N
sen[2πk(N1+ 1/2)/N]
sen(πk/N)
y para k = 0,±N,±2N, . . .
ak =
2N1+ 1
Ejemplo
= 1
Ne
jk(2π/N)N1
2N1 X
m=0
e−jk(2π/N)m
ak =
1
Ne
jk(2π/N)N1 1−e
−jk2π(2N1+1)/N
1−e−jk(2π/N)
!
= 1
N
e−jk(2π/2N)
ejk2π(N1+1/2)/N −e−jk2π(N1+1/2)/N e−jk(2π/2N)
ejk(2π/2N)−e−jk(2π/2N)
Para k 6= 0,±N,±2N, . . .
1
N
sen[2πk(N1+ 1/2)/N]
sen(πk/N)
y para k = 0,±N,±2N, . . .
Ejemplo
ak =
2N1+ 1
N
Los coeficientes ak para N= 10,20 y 40
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −0.5
0 0.5 1 1.5
Ejemplo
ak =
2N1+ 1
N
Los coeficientes ak para N= 10,20 y 40
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −0.5
Ejemplo
ak =
2N1+ 1
N
Los coeficientes ak para N= 10,20 y 40
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 −0.5
0 0.5 1 1.5
Resumen de sesi´
on
Siguiente sesi´
on
Representaci´on de se˜nales aperi´odicas: La transformada continua de Fourier.
Representaci´on de se˜nales aperi´odicas: la transformada de Fourier de tiempo discreto.
La transformada de Fourier para se˜nales peri´odicas continuas.
La transformada de Fourier para se˜nales peri´odicas discretas. Lecturas recomendadas: secciones
I 4.1
I 4.2
I 5.1
I 5.2
