NUMEROS REALES

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Índice

(Este mismo índice aparece en el marco de la izquierda para facilitar consultas sucesivas)

Los números naturales

El principio de inducción matemática

División exacta y división entera

Descomposición en factores primos

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

.

Algoritmo de Euclides

Representación de un número natural en una base cualquiera

Los números enteros

Los números racionales

Relación de orden en el conjunto de los racionales

Densidad del conjunto de los racionales

.

Propiedad arquimediana

Cardinal de los racionales

Representación decimal de los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

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Los números naturales

Los

números naturales

surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

(2)



Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.



El infinito de los números naturales se denomina

_{infinito numerable}

. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los

números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.



El conjunto de los naturales es un conjunto

totalmente ordenado

, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien

.



Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un

_elemento

mínimo

, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.



_{Principio de inducción matemática}

: si un subconjunto de verifica

que y, si , resulta que , entonces .

o

Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para

es claro que la suma de los 1 primeros números

naturales es

.

Suponiendo cierta la fórmula para , es

decir,

, veamos que también es cierta

(3)

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

o

Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:





Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que . Si tal existe se denomina

cociente exacto

de por , y la

_división

se denomina

_exacta

. En este caso se dice que

_{es divisible por}

, o que

_{es un divisor de}

, o que

_{es un múltiplo de}

.

Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los números , , y se

denominan

_dividendo

,

_divisor

,

_cociente

y

_resto

respectivamente y el

procedimiento para determinar y a partir de y se denomina

_división

entera

.



_{Descomposición en factores primos:}

Un

número primo

es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos. Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.

(4)

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).

(5)

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada

complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.



_{Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo}

de Euclides.

(6)

Según se dijo antes, calcular la factprización deoun número es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de una manera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como

algoritmo de Euclides

y consiste en lo siguiente:

o

Dados dos números , comenzamos relizando la división entera de entre .

o

Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como resto en la división anterior.

(7)

Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad de factorizar los números?



_{Representación de un número natural en una base}

cualquiera:

El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:

en base p, donde .

(8)

hasta que en la r-ésima divisón, se tenga . Se toma , y hemos terminado.

o

Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posicón que ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.

o

La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el

resultado de tomar p=2 y representar los números naturales en dicha base.

o

¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...

Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los

números enteros

={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}



Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.



Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b, 0, si a=b

el entero negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b) De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.



Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como

o

(-a)(-b)=ab

o

(-a)b=a(-b)=-(ab),

(9)



Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también

_{infinito numerable}

. También es un conjunto

_{totalmente ordenado}

, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene

elemento

mínimo

, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene

elemento máximo

.

Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los

números racionales

(o

fraccionarios

, o

quebrados

),

={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ... }



Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.

o

La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.

o

El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/ bd.

o

Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)

o

Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.



En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir,

(10)



En se puede definir un

_{orden total}

compatible con las

operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros. Por tanto con dicho orden es un conjunto

_{totalmente ordenado}

.



_{Densidad del orden:}

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional tal que .

Para ello, si , con b y d positivos,

basta con tomar

Ejercicio: probar que efectivamente (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es un

conjunto

denso

. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.



_{Propiedad arquimediana (o de Arquímedes):}

(11)

sea , si consideramos la sucesión de racionales , llegará un momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que este sea.

Por ejemplo:

Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.



_{El cardinal de los racionales:}

¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más

racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.

Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales. Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve en la siguiente gráfica:

(12)

Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo número racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo número racional, ya que 1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva de en , y por tanto que el cardinal de es que el cardinal de .

Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal de es igual que el de , es decir, que es un

conjunto infinito

numerable

.

Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre y .



_{Representación decimal de números racionales:}

(13)

que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333...

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.

o

Expresión decimal

exacta

, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó

367.2982345

Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

o

Expresión decimal

_periódica

es aquélla que tinene un

número infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333...,

125.67777777... ó 3.2567256725672567... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333...

La parte que no se repite se denomina

anteperíodo

y la que se repite,

_período

.



Periódica pura

es aquélla que no tiene anteperíodo.



Periódica mixta

es aquélla que sí tiene anteperíodo.

(14)

Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una expresión racional para la misma siguiendo la siguiente norma:



Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal original.



Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero formado por el anteperíodo, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como

denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos:

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Los números irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920...

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

Veamos otros ejemplos.

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En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de . Además se

muestra una manera de construir el número sobre la recta real con regla y compás y

finalmente se da una serie de números racionales que converge hacia .

Para construir la serie que converge hacia hemos usado obviamente la sucesión de cifras decimales indicada más arriba. También podíamos haber definido una sucesión de números

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donde es el mayor número entero que verifica .



Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el número sobre la recta real. El problema es conocido como

la rectificación de la circunferencia

y hay métodos algebraicos para demostrar que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de

la cuadratura del círculo

, que consiste en construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la

trisección del ángulo

, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

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La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta. ¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales

correctas?

También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.

Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual (en tanto por uno). Al cabo del año nuestro capital será .

Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al finalizar cada

uno dos semestres, al final del primer período tendremos y al finalizar el año

Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada

período, tendremos respectivamente al final de cada cuatrimestre.

...

Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año .

Se define como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos períodos infinitamente pequeños), siendo , es decir

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Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia del origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas o periódicas se corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman el conjunto de los

números irracionales

.

El conjunto de los irracionales, denotado por tiene, como , la propiedades de orden total, densidad y propiedad arquimediana. En cambio no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurre alguna forma de probar que no es numerable?

(pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)

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que consiste en considerar cada vez un cifra decimal más, de modo que el término es la fracción que da lugar a la expresión decimalm exacta formada por las n primeras cifras del número dado.

Los números reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los

números

reales

. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de números.